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IEP CESAR VALLEJO Primer Ao

lgebra 1

Los conjuntos numricos son los siguientes:

1. Conjunto de los Nmeros Naturales (N), son nicamente los enteros positivos. N = {1, 2, 3, 4, ........................ n}

2. Conjuntos de los Nmeros Enteros (Z), son aquellos que resultan de la unin de los naturales y la diferencias de dichos nmeros:

Z = {-n, ......, 2, 1, 0, 1, 2 ........., n} 0 Z ; Z = {Z , Z, Z + }

3. Conjunto de Nmeros Racionales (Q), son aquellos que provienen del cociente de 2 nmeros enteros donde el denominador es diferente de cero. Q = {x/x = a /b. a b Z; b 0 }

Luego: Q =

).,.,( mixtoPpuroPExactoDecimales

iosfraccionar

Enteros

4. Conjunto de Nmeros Irracionales (Q') Esta formado: - Radicales inexactos : 2/1,7,2 3 ........ - Nmeros trascendentes : pi, e, .............

5. Conjunto de los Nmeros Reales (R) Esta formado por la unin de los nmeros racionales e irracionales. R = Q Q| donde: R: Reales negativos R+: Reales positivos

6. Conjunto de los Nmeros Imaginarios, Se obtiene de extraer races a cantidades negativas, son de la forma:

PAR A = i Unidad Imaginaria: i 1 (notacin de Gauss) Luego i.AA =

Ejemplo: 1.44 = = 2 . i

7. Conjunto de los Nmeros Complejos, Se denomina nmero complejo a la suma de un nmero real con un nmero imaginario.

# Complejo (c) =

CAPTULO 1: CONJUNTOS NUMRICOS

a b iParte imaginaria

Parte real


lgebra 2

Esquema de Clasificacin de los Nmeros

Luego: N Z Q R C Q Q' = Q U Q' = R R I = R UI = C

EJERCICIOS

1. Si m es un nmero entero par. El cul de las alternativas nos representa siempre un nmero par? a) 3m + 3 b) 7m + 2 c) 3m + 5 d) 6m + 7 e) 7m + 7

2. Si k es un nmero par Cul de las siguientes es un nmero impar? a) 2k b) 2k + 1 c) 7k d) b y c e) a y b

3. Cual de las siguientes relaciones es correcta. a) 52 es un nmero natural b) 5 + 3i es un nmero real c) 7 es un nmero irracional d) 3 8 es un nmero imaginario e) 4i es un nmero complejo

4. Cul es el mayor nmero entero de 2, 7? a) -3 b) 2 c) -2 d) 3 e) -1

5. Si a < 0 b > 0 entonces a b, dar un resultado: a) Siempre negativo b) Un nmero natural c) Un nmero entero d) Un nmero racional e) Un nmero Irracional

6. Luego de resolver la siguiente ecuacin: 3x2 + 4 = -5 sus soluciones pertenecen a los nmeros a) Reales b) Enteros c) Naturales d) Complejos e) Imaginarios

Complejos

(C)

Reales (R)

Imaginarios (I)

Racionales

(Q) Irracionales

(Q')

Enteros

(Z) Fraccionarios

Naturales

Cero (Z)

Negativos (Z-)


lgebra 3

7. Si a < 0 y b = -3, entonces el producto de a . b pertenece a los nmeros a) Naturales b) Entero c) Imaginarios d) Reales Positivos e) Reales Negativos

8. Si: x = 2

1+ 2 entonces diremos que x es un nmero:

a) Entero b) Natural c) Racional d) Irracional e) Negativo

9. Qu nmero entero se encuentra entre 5,5 y 6,5 a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 4

10. Respecto a los nmeros que se encuentra entre 4 y 5 podamos afirmar que son nmeros a) Entero b) Racional c) Imaginarios d) Irracional e) b y d

11. El resultado de x en 5

1

2

3=

x es un nmero

a) Entero b) Racional c) Imaginarios d) Irracional e) Complejo

12. Al sumar 0,7 con 1,3 obtendremos un nmero: s) Reales b) Imaginario c) Irracional d) Complejo e) Entero negativo

13. Indicar la proposicin incorrecta:

a) La suma de 2 nmeros enteros nos da otro entero. b) El producto de dos nmeros racionales nos da la posibilidad de obtener un

nmero entero. c) El producto de 2 nmeros racionales dos da siempre un entero d) Al sumar dos nmeros complejos existe la posibilidad de obtener un nmero

imaginario e) Si multiplicamos racional entero podran darse el caso de obtener nmero

entero

14. El nmero real que le sigue a 2 es:

a) 2,2 b) 2,000 c) 2,02 d) 3 e) Indeterminado

15. Si los lados de un tringulo son:2, 1 y 5 , al sumar sus lados nos resulta un nmero a) Irracional b) Entero c) Natural d) Entero e) Imaginario


lgebra 4

16. Si los m es un nmero entero par. Cul de las alternativas nos representa siempre un nmero impar? a) 2m + 6 b) m + 1 c) m 2 d) m + 8 e) m + 6

17. Si m es un nmero impar. Cul de las alternativas siempre representa un nmero par? a) n + 2 b) n 5 c) 2n + 7 d) 3n + 1 e) b y d

18. Cul de las siguientes alternativas es incorrecta? a) 9 Resulta ser un nmero Real b) 2 es un nmero entero c)

2

1+ 3 es un nmero racional d) 3 + 4i es un nmero

complejo e) Todas son incorrectas.

19. El menor nmero real que le sigue a 3 es: a) 3,3 b) 3,0001 c) 4 d) 3,03 e) 3,00001

20. Si a < 0 y b < 0 entonces a . b resulta un nmero a) Real negativo b) Imaginario c)Real positivo

d) Entero negativo e) Entero positivo

21. Si: a un nmero entero negativo b un nmero real Son producto nos resulta un nmero .... a) Real b) Imaginario c) Racional d) Entero e) No se puede determinar

22. Cul de las siguientes relaciones es correcta? a) 62 es un nmero natural b) 6 + 4i es un nmero real c) 0,484950 .. es un nmero racional d) 3 8 es un nmero imaginario e) resolver

2

5

2

1+ su resultado es un entero

23. Al sumar 0,2 con 2,8 obtendremos un nmero a) Entero b) Imaginario c) Complejo d) Real e) a y d

24. Si: x > 0 y y < -2. se deduce que xy + yx es: a) Siempre positivo b) Puede ser cero c) Siempre negativo d) Puede ser positivo e) Puede ser negativo


lgebra 5

25. Cul de los enunciados es falso? a) 52 un nmero entero b) 41/2 es irracional c) 3.5 es racional d) 5 + 3i es imaginario e) 0,345 es un real

FORMACIN DEL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES

La unin de los conjuntos de nmeros racionales e irracionales recibe el nombre de conjunto de nmeros reales. Al conjunto de los nmeros reales se representa as: R

Es decir Q I = R:

Grficamente

Citemos algunos elementos del conjunto R:

R = {0,4; 2 ; 1,57; 3 ; 1 ; 5 ; pi; e; 32

; 0,45; 0; 3 8 ; -2,56; 47 ; ...}

Nota: An existe nmeros que no estn dentro de R como ejemplos:

4 = ? (no tiene solucin en R) 4 16 = ? (no tiene solucin en R)

6 25 = ? (no tiene solucin en R)

En general

n a = ? (no tiene solucin en R)

donde: n : par a : nmero negativo

LOS NMEROS REALES EN LA RECTA NUMRICA

El CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES est dado por la unin del CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES con el CONJUNTO DE LOS NMEROS IRRACIONALES. Es decir: R = Q I

N Z

Q

I

R

N Z

Q

I

R


lgebra 6

0 -1 -2 -3 -4 -5 +1 +2 +3 +4 +5 ....... .......

10/3 3/2 0,5 -5/2

Adems los racionales incluyen a los naturales, a los enteros y a las mismas fracciones o su representacin decimal. Cada uno de estos conjuntos pueden ser representados en la recta numrica.

Para los nmeros naturales (N):

Para los nmeros enteros (Z):

Para los nmeros racionales (Q):

Si en la recta numrica donde hemos ubicado a los nmeros racionales, ubicamos tambin a los nmeros irracionales (con aproximacin al dcimo) , tendremos entonces representados a los NMEROS REALES EN LA RECTA NUMRICA.

As:

Comentarios alrededor de la RECTA NUMRICA para R :

Si slo ubicamos a los NATURALES o a los ENTEROS en la RECTA NUMRICA, no a todos sus puntos les corresponde un nmero N o Z.

Si ubicamos a los RACIONALES o a los IRRACIONALES o a los REALES en la RECTA NUMRICA, cada uno de sus infinitos puntos estn asociados con cada uno de los infinitos nmeros Q, I o R.

Los nmeros N, Z, Q, I, R situados a la derecha del CERO siempre son POSITIVOS. Los que se sitan a la izquierda del CERO siempre son NEGATIVOS. As: Si a es un nmero real a > 0, significa que el nmero a es positivo. a < 0, significa que el nmero a es negativo.

0 -1 -2 -3 -4 -5 +1 +2 +3 +4 +5 ....... .......

0 1 2 3 4 5 .......

0 -1 -2 -3 -4 -5 +1 +2 +3 +4 +5 ....... .......

0,5

- 2 2 3

5/2 3/2 10/3


lgebra 7

Los conjuntos N, Z, Q, I, R representados en la recta numrica estn ordenados de menor a mayor de izquierda a derecha, a lo largo de toda la recta. Por eso decimos que el conjunto R es ORDENADO. Es decir:

De modo que: -6 < -1/2 0 > -1/2 0 < 2

Entre dos nmeros reales, por ms cerca que se encuentren el uno del otro en la recta numrica, siempre hay otro nmero real. Esto nos permite afirmar que entre dos nmeros reales existen otros infinitos nmeros reales; por lo tanto decimos que el conjunto R es DENSO.

Todo nmero real tiene un punto asociado a l en la recta numrica; por eso decimos que el conjunto R es COMPLETO.

Si deseamos hallar un nmero real comprendido entre otros dos, slo tenemos que sumar dichos nmeros y dividir la suma entre 2. As:

Entre 5 y 7 tenemos el nmero que resulta de efectuar 275 + , es decir 6.

Entre 2, 15 y 2,16 tenemos el nmero que resulta de efectuar: 2

16,215,2 + es decir: 2,155

Entre 2 y 5 tenemos el nmero que resulta de efectuar: 252 + ; si consideramos 5

aproximado al centsimo tendremos 5 = 2,24; es decir: 224,22 +

= 2,12 EJERCICIOS I. Ubicar aproximadamente los siguientes nmeros reales en la recta numrica.

1. 3; 5 ; 2 ; -7 ; +10

2. pi ; 5,2 ; 7,1 ; -6,2

3. 0,3 ; 5,6 ; -1,1 ; 0,3 ; 4,5

4. 7/2 ; 1/5 ; 0,5 ; 3,1 ; -1,6

5. 2,8 ; 11 ; 7 ; -5 ; 1/7

6. 4,2 ; -0,1 ; -1 ; 0 ; -3

7. 1/9; 0,4; +7 ; -8,1 ; -1

8. 1,6 ; 13 ; 3 ; 1,4 ; -8

II. Resuelve los siguientes problemas 1. Sealar las afirmaciones correctas:

I. Q = R III. N Z II. Z Q IV . Q I =

0 -1/2 -6 +1

2

10


lgebra 8

a) Slo I b) Slo II c) Slo III d) II y III e) Todas

2. 1 + 3 da como resultado: a) Un nmero natural b) Un nmero entero c) Un nmero racional d) Un nmero irracional e) Todas son correctas

3. Al operar: 2 0,4142..., se obtiene como resultado: a) Un nmero entero d) Un nmero racional b) Un nmero real c) 1 e) Todas son correctas

4. El nmero real que le sigue a 1 es:

a) 1,1 b) 1,00001 c) 2 d) 1,01 e) Indeterminable

5. Cul de los siguientes grficos es correcto?

a) Slo I b) Slo II c) Slo III d) Slo IV e) I y IV

6. Si m < 0 y r > 0, entonces m r, dar un resultado:

a) Siempre positivo d) Un nmero natural b) Un nmero entero c) Un nmero racional e) No es posible precisar

7. Si a > 0 y b < -1 se deduce que ab + ba es:

a) Siempre positivo b) Siempre negativo

Z Z Q

Z Q R Q I

IVII

I II


lgebra 9

c) Puede ser cero d) Puede ser positivo o negativo e) No podemos afirmar nada

8. Cul de los siguientes enunciados es falso? a) 72 es nmero entero b) 0,0775 es nmero real c) 3,7 es nmero racional d) 51/2 es racional e) 2 : 2 tiene como resultado irracional

9. Si a Z, b Z y adems: a > 0,

ba < 0 el valor de b a ser:

a) Positivo si b > 0 d) Siempre positivo b) Siempre negativo c) Negativo si b > 0 e) N.A.

10. Sealar las afirmaciones incorrectas: I. 3 es irracional porque lleva raz. II. Z N = N

III. Q I = R

a) Slo I b) Slo II c) Slo III d) I y II e) II y III

11. Si a N; b I: Entonces (a + b) es un nmero:

a) Natural d) entero b) Irracional e) Racional c) No real

12. Cul es el nmero real que antecede a 6?

a) 5 b) 5,9 c) 5,99 d) 5,999 e) Indeterminable


lgebra 10

13. Cul de las siguientes afirmaciones es correcta? I. A todos los puntos de la recta numrica en N les corresponde un nmero. II. A todos los puntos de la recta numrica en Z les corresponde un nmero. III. A todos los puntos de la recta numrica en R les corresponde un nmero racional.

a) Slo I b) Slo II c) Slo III d) I y II e) Ninguna

1. GENERALIDADES

1.1 NMEROS ENTEROS Los nmeros naturales y sus correspondientes negativos, junto con el cero (0), forman los nmeros enteros (Z). El nmero entero consta de partes:

OBSERVACIN: Cuando un nmero no tiene signo se sobreentiende que es positivo a excepcin del cero. 35 = +35 +35 = 35

CAPTULO 2: NMEROS ENTEROS

Nmeros

Enteros ( Z )

Cero (0) Nmeros

Enteros -

Nmeros Enteros

Z+)

positivos

+1, +2, +3

negativos

,-3, -2, -1

- 24

Signo

(negativo) Valor

numrico

+

17

Signo

(positivo) Valor

numrico

Se lee menos 24

Se lee ms 17

El cero no es positivo ni negativo, es neutro.


lgebra 11

1.2 VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO ENTERO

Se llama valor absoluto de un nmero entero al nmero cardinal que resulta de prescindir su signo, tambin se le considera como la distancia del nmero dado al cero. El valor absoluto de un nmero se expresa encerrando este nmero entre dos barras.

El valor absoluto de +5 es 5, y se escribe |+5| = 5. El valor absoluto de 6 es 6, y se escribe |6| = 6.

El valor absoluto de 0 es 0, y se escribe | 0 | = 0.

Nota: Al valor absoluto tambin se le llama mdulo.

1.3 EL OPUESTO DE UN NMERO ENTERO.

El opuesto de un nmero entero es el nmero que tiene el mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo:

El opuesto de +8 es 8 El opuesto de 15 es + 15 -49 y +49 son nmeros opuestos.

1.4 RELACIN DE ORDEN EN Z

Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay nmeros enteros mayores o menores que otros.

Un nmero entero es menor que otro, si est colocado a la izquierda de l en la recta numrica; y es mayor, cuando est a su derecha.

Analicemos los siguientes ejemplos:

Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2 en la recta numrica, a partir del 0. As, tenemos que:

El nmero menor es -6, porque es el que est ms a la izquierda; luego

viene el -2, el +4 y el +7. En smbolos queda: -6 < -2 < +4 < +7.

En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor -1, +2, +5, 0 y -3. Tenemos:

-5

-4

-3

-2

-1

0 +1

+2

+4

-

+

-6

-7

+5

+6

+7

+8

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2

+4

- +

-6-7 +5

+6

+7

+8


lgebra 12

El nmero mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda: +5 > +2 > 0 > -1 > -3

CONCLUSIONES TILES

Analizando los ejemplos anteriores, podemos sacar algunas conclusiones muy importantes. Estas nos servirn para ordenar nmeros enteros sin dibujar la recta numrica:

* Todo nmero entero positivo es mayor que 0. * Todo nmero entero positivo es mayor que cualquier nmero entero negativo. * Todo nmero entero negativo es menor que 0.

* Todo nmero entero negativo es menor que cualquier entero positivo.

Ejemplos:

a) +7 > +2 b) +87 > +54 c) 5 > 9 d) 45 > 72 e) +51 > 0 f) 0 > 6

Entre enteros positivos, es mayor el que tiene un valor absoluto mayor. Por ejemplo, si ordenamos +40, +9, +300 de mayor a menor, tenemos que: el mayor valor absoluto lo tiene 300, luego sigue 40 y finalmente 9. Entonces decimos:

+300 > +40 > +9

Mientras ms lejos de 0 est un nmero entero positivo, su valor es mayor, porque est ms a la derecha.

En los enteros negativos sucede lo contrario: mientras ms lejos de 0, su valor es menor, porque est ms a la izquierda en la recta numrica.

Esta conclusin nos permite determinar que en los enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.

Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor -40, -9, -300. El menor es -300, porque tiene el valor absoluto mayor, le sigue -40 y luego -9.

-300 < -40 < -9

2. ADICIN EN EL CONJUNTO

2.1 DEFINICIN DE ADICIN Es la operacin binaria que, dados 2 enteros a y b llamados sumandos, hace corresponder un tercer entero S llamado suma.

S = a + b


lgebra 13

2.2. REPRESENTACIN GEOMTRICA DE UN NMERO ENTERO.

Todo nmero distinto de cero se puede representar por una flecha que parte del cero y llega al punto correspondiente a dicho nmero. Ejemplo: :+4;5

Nota: Si el nmero es positivo, la flecha se dirige hacia la derecha; pero si el nmero es negativo, la flecha se dirige hacia la izquierda.

2.3 PROCEDIMIENTO PARA SUMAR DOS NMEROS ENTEROS

1 Caso : Para sumar dos nmeros positivos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo ms (+). (+3) + (+5) = + 8

2 Caso : Para sumar dos nmeros negativos, se suman sus valores absolutos y al

resultado se le antepone el signo menos (-).

(-4) + (-2) = -6

3 Caso: Para sumar un nmero

positivo y un nmero negativo, se resta el menor valor absoluto del mayor valor absoluto y al resultado se le antepone el signo del nmero que tenga mayor valor absoluto.

(+5) + (-3) = +2

-5

-4

-3

-2

-1

0 +1

+2

+4

-

+

-6

+5

+6

-5

+4

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +4

- +

+5 +6

+5 +3

+7 +8

-5

-4

-3

-2

-1

0 +1

+2

+4

-

+

-6

-7

+5

-2

-4

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1

+2

+4

- +

-6 +5

? -3

+5

+6

sumandos suma


lgebra 14

(-6) + (+2) = -4

Nota: Un nmero sin signo es un nmero positivo

7 = +7 ; 18 = +18

Observacin: a) Para sumar tres o ms nmeros positivos, se usa el

primer caso. (+5) + (+32) + (+27) = +64 (+18) + (+9) + (+45) = +72

b) Para sumar tres o ms nmeros negativos, se usa el segundo caso.

(-3) + (-2) + (-7) + (-4) = -16 (-24) + (-18) + (-57) = -99

c) Para sumar tres o ms nmeros de signos distintos, primero se suman los nmeros positivos, luego los nmeros negativos y finalmente los dos resultados.

(-14) + (+8) + (-15) + (21) + (-2) + (+12) = +10 (+8) + (+21) + (+12) = +41 (-14) + (15) + (2) = -31 (+41) + (-31) = +10

d) La suma de un nmero y su opuesto es cero. (Cero no tiene signo).

(+8) + (-8) = 0 (-15) + (+15) = 0

3. SUSTRACCIN EN EL CONJUNTO

3.1 DEFINICIN DE SUSTRACCIN Es la operacin inversa a la adicin que consiste en: Dados dos nmeros enteros llamados minuendo y sustraendo. Encontrar un tercer nmero llamado diferencia.

M S = D M = S +D

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1

+2

+4

-

+

-6-7

+2

-6

?

Minuendo

Sustraendo

Diferencia


lgebra 15

3.2 PROCEDIMIENTO PARA RESTAR DOS NMEROS ENTEROS Para calcular la diferencia de dos nmeros enteros, se debe sumar el minuendo con el

opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b) (+3) - (-8) = (+3) + (+8) = +11 3.3 ESCRITURA SIMPLIFICADA (+4) + (-8) = 4 - 8 = -4 (-3) + (-5) = -3 - 5 = -8 (-12) - (-15) + (-13) = -12 + 15 - 13 = -10 (-16) + (+13) + (-3) + (+8) = -16 + 13 - 3 + 8 = 21 - 19 = 2

4. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIN Y SUSTRACCIN EN

4.1 REGLA DE SUPRESIN DE SIGNOS SIGNOS La adicin y la sustraccin en ZZ son consideradas como una nica operacin

llamada suma algebraica.

Para resolver una suma algebraica debemos aplicar correctamente las reglas prcticas que rigen la supresin de signos de coleccin:

1 Todo signo de coleccin precedido por un signo + puede ser suprimido, escribiendo luego los nmeros contenidos en su interior, cada cual con su propio signo.

7 + (-5 - 9 + 3) = 7 - 5 - 9 + 3 14 + (-5 - 8) + (-2 + 5 + 1) = 14 - 5 - 8 - 2 +5 + 1

2 Todo signo de coleccin precedido por un signo - puede ser eliminado, escribiendo luego cada uno de los nmeros contenidos en su interior con su signo cambiado.

Nota: Signos de coleccin usuales: ( ); [ ]; { }.

(+14) - [(+18) - (+3) + (-15)] = 14 - [18 - 3 - 15] = 14 - 18 + 3 + 15 = 14

S = -(15 16 32 - 19) S = -15 + 16 + 32 + 19 S = +67 - 15 = + 52


lgebra 16

S = -(-95 + 33 + 96 - 32) = 95 33 96 + 32 = +127 129 = - 2

4.2 PROCEDIMIENTO El procedimiento para resolver las operaciones combinadas de adicin y sustraccin es la siguiente:

Elimina los parntesis: + 9 + 5 + 6 4 7 6. (siguiendo regla de signos) Agrupa los enteros positivos: +9 + 5 + 6 = +20 Agrupa los enteros negativos: -4 7 6 = -17 Rene ambos resultados: +20 -17 = +3

Y aplica lo ya establecido. Otra forma de operar:

Suprimir los signos de coleccin, empezando por los ms internos. Para suprimir parntesis (o corchetes o llaves). Efectuamos las operaciones

indicadas al interior, transformndolas en un solo nmero. Luego aplica lo establecido anteriormente.

E = -8 + {-2 + 5 [-7 (+7)] - 9} E = -8 + {-2 + 5 [-7 - 7] - 9} E = -8 + {-2 + 5 [-14] - 9} E = -8 + {-2 + 5 + 14 - 9} E = -8 + {+8} = 0

EJERCICIOS

1. Efectuar: a) S = 15 + 6 + 12 b) S = (-8) + (-9) + (-13) c) S = 42 + 48 + 80

d) S = (-34) + (-12) + (-10) + (-8) e) S = (-15) + (-16) + (-12) f) S = -6 7 13 29

2. Simplificar: a) M = +12 + 39 + 42 + 83

b) N = 981 + 1293 + 1939

c) O = -491 490 992

d) Q = -582 583 592

e) R = -672 693 963

3. Resolver:


lgebra 17

a) M = -(15 16 9 + 8) b) N = -(13 + 19 -6) + (9 7 - 5) c) P = -(30 + 26 - 93) (15 - 16) d) Q = -(8 9 7 13) + (15 - 9) e) R = -(7 + 6 - 9) (3 3 - 6) f) M = -(45 38 - 93) (69 - 79) g) N = -(95 96 - 101) (39 + 39) h) P = -(93 83 - 73) + (95 - 101) i) Q = -(59 63 - 72) (83+ 94)

4. Representa con una flecha cada uno de los siguientes nmeros.

a) +7 b) -5 c) 3 d) -4

5. Calcula y representa en una recta numrica:

a) (+4) + (+6) b) (7) + (4) c) (+9) + (4) d) (11) + (+7)

6. Efectuar las siguientes operaciones:

a) (+345) + (+134) b) (+457) + (345)

c) -4599 + (234) d) (348) + (764)

7. Efecta las siguientes operaciones:

a) (+2615) - (+3561) b) (+4539) - (1561)

c) (-2365)- (-4587) d) (+1594)-(-2954)

8. Efectuar:

7 - [+8- 3 + 5] - {9 + 5}

9. A = {(-50) + (-100) - (-7)}- (+8 - 13) B = - (19 + 3- 7) - {+5 - (7 - 4)}

Calcular: A - B - [ -A - (-A - B)]

10. Efectuar:

a) 5 - [-3- (-4- 7(-3) - 9)] + 6 b) 6 + [-4 + (-8- (+6)- 5)] - 9


lgebra 18

c) -8 - {-3- [7 + (-3- 1)]- 7} + 3

Calcule el valor de: A + B + C.

11. Efectuar: (+9) + (+5) (-6) + (-4) (+7) + (-6) 12. Efectuar:

E = -8 + {-2 + 5 [-7 (3 + 6 - 2)] - 9}

13. Efectuar las siguientes operaciones: a) -38 + (16 - 30) b) -125 (27 (-26)) + (-37 + 12) c) 8 13 + (16 - 25) (52 19 + 17) d) -16 + (-7) (38 - 17) (-15 - 19) e) 26 (9 18 - 6) (-12) (16 - 9) 12

14. Calcular el valor de las siguientes operaciones combinadas: a) -5 [-17 + (15 -6)] + (-15 - 8) {-1 + (8 - 9) + (7 - 10)} b) -13 {-4 + [9 + (-5 6 + 12) + (-2)] - 5} c) -15 + {-3 [8 4 + (6 - 1)] + 12 [6 (5 - 11)]} d) -14 {-9 [15 (16 + 31)] [-12 + (-8 - 7)]} e) {4 15 [7 (3 2 - 6) - 8] [-3 (7 - 5)]}

15. Calcular el valor de las siguientes operaciones combinadas: a) - 5 (-8) + {-9 [-6 + (5 - 9)] [9 7 - 6]} b) {-7 + [-6 + 15 (-9 + 13 + 17) (6 - 5)]} c) - 9 -[15 (7 - 8) - 6] [9 (6 - 3)] d) {14 [9 (6 - 17) - 3] [-5 (8 3 - 7)]} e) 19 [-7 (6 3 - 19)] [-9 2 - 7]

5. MULTIPLICACIN EN EL CONJUNTO 5.1 DEFINICIN Operacin aritmtica directa que consiste en repetir una cantidad denominada multiplicando tantas veces como lo indique otra, llamada multiplicador.

P = a + a + a + + a + a n veces


lgebra 19

P = a x n

5.2 PROCEDIMIENTO PARA MULTIPLICAR DOS NMEROS ENTEROS:

1. Si multiplicamos dos nmeros del mismo signo ; se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo mas (+).

Ejemplos:

(+2) (+7) = +14 (4) (5) = +20

2. Si multiplicamos dos nmeros de diferentes signos; se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo menos ().

Ejemplos:

(+3) (4) = 12 (6) (+5) = 30

Consideramos:

Regla de Signos

(+) . (+) = (+) () . () = (+) (+) . () = () () . (+) = ()

Adems: Resolver:

(4) x (-6) x (2)

PASO 1: Se multiplican los valores numricos normalmente.

4 x 6 x 2 = 48

PASO 2: Se cuentan los signos negativos, si es un nmero par el resultado es positivo, si es impar es negativo.

multiplicando

producto multiplicador

Un solo signo negativo

1 es impar


lgebra 20

(4) x (-6) x (2) resultado = -480 final

OBSERVACIN:

1) Par x Par = Par 2) Par x Impar = Par 3) Impar x Impar = Impar 4) Inverso multiplicativo de un nmero entero a es:

a

1

6. DIVISIN EN EL CONJUNTO

6.1 DEFINICIN La divisin es una operacin inversa a la multiplicacin, tal que conociendo 2 cantidades llamadas dividendo y divisor, se encuentra llamada cociente tal que multiplicada por el divisor reproduzca el dividendo

TRMINOS: D : Dividendo d : Divisor q : Cociente

En la divisin de nmeros enteros se cumple la siguiente "ley de signos"

( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) ( - ) = ( - ) ( - ) ( + ) = ( - ) ( - ) ( - ) = ( + )

Nota:

a. Al dividir dos nmeros enteros puede ser que no resulte otro nmero entero.

b. Nunca se puede dividir por el nmero "0".

Ejemplos:

0

5 = No existe

=

00,

5 si se puede dividir.

7. OPERACIONES COMBINADAS DE MULTIPLICACIN Y

NOTACIN:

D d d

D = q q D d = q


lgebra 21

DIV ISIN Las operaciones combinadas se realizan teniendo en cuenta la siguiente prioridad

operativa:

1. Se resuelven los signos de coleccin: { } ; [ ] ; ( )

2. Se resuelven las operaciones de multiplicacin y divisin (si aparecen seguidas se resuelven de izquierda a derecha).

3. Despus de resolver las operaciones de multiplicacin y divisin, se resuelven las operaciones de adicin y sustraccin.

4. Si se tiene: 3 . 24 ; Primero se desarrolla la potencia y luego se multiplica; es decir: 3 . 16 = 48.

EJERCICIOS

1. Efectuar:

a) (+32) (7) b) (+27) (13)

c) (214) (+12) d) (243) (254)

2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a) 2 (4 + 5) 4 + [9 . 3 6 + 5] b) [(4 + 6) (3) (2 5 + 3)] 10 + 8 + 15 c) {2 [3 + (6 + 2.4 5)]} {5 [8 (9 + 3 . 2 7)]}

3. Efectuar:

a) (11 4)5 4(6 + 2) + 4(5 3) 2(8 6) b) 3(9 2) + 2(5 1) (4 + 3) + 3(6 4)(8 7) c) 300 3(5 2) + (6 + 1)(9 3) + 4(8 + 1) d) [(5 + 2)3 + (6 1)5] [(8 + 6)3 (4 1)2]

4. Efectuar: E = (+3)(-5) + [(-2)(-5) - (+7)(-8)]

5. Si: A = (-4)(-3)+[-(-5)(+2) - (+4)(-2)] B = (-2)(-3)(+4) + (-7)(-2)(-1)

Calcular: A.B

6. Si: M = -[-(-2+5) + (-3)(-1)] + (-2)(-3) N = -2+{-[(-3)(+2) - (-4)(+1)] + 7}

Calcular: 2N + 3M


lgebra 22

7. Efecta:

a) (+13) (-17) b) (+157) (-234)

c) (-347) (+15) d) (-756)(+124)

8. Calcular: E = (-2)(-7)(+6) - (+3)(-7)(-5)+[-4-(3-(-2)(+5))]

9. Si: A = -{-3-[2-(3-7)+5]} B = +2-{5-[3-(-4-2)-5]}

Calcular: A . B

10. Si: M = (+3)[(-2)(+7)-(-3)(-2)(+4)] N = (-2)[-5-(-3)(4) - (+5)(-2)(-1)]

Calcular: M . N 11. Efecta las siguientes operaciones:

a) (25 + 2) + 2 . [(2 + 3)(5 2)] 4 . [(26 20) + (15 19)] b) (25.5) 2 + 10 (50.10) 2 . (3 1) + 3 . (16.4) c) 25 + [3(12 2) + 2 (10.5)] (27.9). 3 + 5 (2 + 8) + 3

12. Calcular: E = (13-7)(4) - 5(8+1) + 5(7-4) - 6(9-7) + 3(9-2) + 3(4-1)(3+2) + 3(5-2)(9-7)

13. Si: x = (-2)(+3) + (-5) [-4+2(7-3(4-6))] y = (-5)(-4) [(+6)(-17)-(-11)(+12)]

Calcular: M = 3x - 2y

14. Resuelve:

a) (-5) x (-3) x (-2) x (7) b) (5) x (3) x (2) x (4)

c) (-9) (-4) (-3) (2) d) (-3) (-6) (-7)

15. Multiplica:

a) (-8) x (-7) x (6) b) (-5) x (-2) x (-3) x (2) c) (4) x (9) x (-6) x (-1)

d) (3) x (8) x (4) x (-1) e) (7) x (-3) x (5) x (2)

16. Efectuar: A = (2 + 2 + 2 + 2 + + 2) (3 + 3 + + 3) 8 veces 5 veces


lgebra 23

a) 200 b) 240 c) 100 d) 150 e) 120

17. Efectuar: B = [(-3) + (-3) + (-3) + + (-3)] x [(-2) (5)]

a) -33 b) -10 c) 330 d) -330 e) -110

18. Calcula las siguientes divisiones de enteros.

a) (-24) -(+3) b)(+12) (+2) c) (-15) (-5) d) (+11) (+1) =

e) (+9) (-9) f) (-6) (+1) g) (+6) (-1) h) 0 (-4)

19. Resuelve las siguientes divisiones exactas de nmeros enteros.

a)

=

404

d)

=

+

755

b)

=

153

e)

=

+

186

c)

=

+

4812

f) +

=

155

20. Calcular:

a) 1488 -16 b) -1517 -37 c) -6420 12 d) -3015 -45

e) -34858 -601 f) -9867 -143 g) -66234 798 h) 98775 -225

8. POTENCIACIN EN EL CONJUNTO 8.1 DEFINICIN DE LA POTENCIACIN Es aquella expresin que se representa por:

na = a x a x a x a x a .(n veces) = P

a : Base n : Exponente

11 veces


lgebra 24

P : Potencia

Ejemplos:

* 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 * (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27

En efecto, como podemos notar el exponente nos indica la cantidad de veces que se va a multiplicar la base por s misma.

Observar:

1. Para: n = 1 a1 = (1)(a) = a, luego a1 = a

2. Para: n = 0 a0 = 1; a 0

Ejemplos:

* (-2)0 = 1 * -20 = -1

Podemos notar que en el primer ejemplo, el exponente nulo afecta a todo lo que est entre parntesis y en el segundo ejemplo nicamente el exponente nulo afecta al valor numrico 2, sin tomar en cuenta el signo, por ello obtenemos respuestas distintas.

8.2 LEY DE SIGNOS PARA LA POTENCIACIN

( + )PAR = ( + ) ( + )IMPAR = ( + ) ( - )PAR = ( + ) ( - )IMPAR = ( - )

Observaciones:

1. Cualquier nmero entero positivo elevado a un exponente positivo par o impar, tendr siempre una potencia positiva.

2. Si se tiene una base entera negativa, entonces obtendremos:

(Negativo)Par = Positivo

(Negativo)Impar = Negativo

Ejemplos:


lgebra 25

(-7)3 = (-7)(-7)(-7) = -343 (entero negativo)

(-10)2 = (-10)(-10) = 100 (entero positivo)

EJERCICIOS

1. Hallar cada una de las siguientes potencias: a) 152 b)(-5)2 c) -24 d) (-2)4 e) (-3)5

2. Calcular las siguientes potencias y contesta:

12 ; 13 ; 120 ; 18 ; (-1)7 ; (-1)4 ; (-1)6 ; (-1)5 ; (-1)11

a) Cunto valen todas las potencias de 1? b) Cunto valen las potencias de base -1 elevadas a un exponente par? c) Cunto valen las potencias de base -1 elevadas a un exponente impar?

3. Hallar cada una de las siguientes potencias: a) 162 b) (-7)3 c) -34 d) (-5)2 e) (-2)5

4. Calcular los productos de las siguientes potencias de igual base: a)53 . 52 b) (-3)3 . (-3)2 c) (-1)300 (-1)100 (-1)4477 d) (-2)2 (-2)5

1. DEFINICION DEL ALGEBRA Rama de la matemtica que trata de la cantidad considerada del modo ms general,

sirvindose de letras para representarla.

CAPTULO 3: INTRODUCCIN AL LGEBRA


lgebra 26

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es el conjunto de variables y/o constantes ligados por las diferentes operaciones algebraicas: adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin o raz aritmtica; o una combinacin de stas. Toda expresin algebraica debe tener un nmero limitado de trminos. Ejemplos:

* 2x2 - xy + 2 * -7y + xy

* -4x * 8

Observaciones: En una expresin algebraica la variable nunca debe figurar como exponente.

Ejemplo: * x2x + x3x - 1 No es una expresin algebraica porque la variable aparece como exponente.

Como se mencion antes, una expresin algebraica debe tener un nmero limitado de trminos. Ejemplo: * 3x + 3x + 3x + 3x + . . . .

No es una expresin algebraica porque tiene trminos.

3.. EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS O TRASCENDENTES Es el conjunto de nmeros y letras ligados entre s por las operaciones de adicin, multiplicacin, potenciacin, etc.; en un nmero infinito de veces o todas las que no estn incluidas en el caso anterior. Ejemplos:

* 5x-1 * Sen(2x + 3)

* Log3 x * arc tg x

* 3 cos h x * xdx

Importante: Antes de analizar y clasificar a una expresin matemtica en algebraica o no algebraica, se deber simplificar o reducir a dicha expresin lo ms que se pueda.

4. TRMINO ALGEBRAICO


lgebra 27

Es la misma expresin algebraica en la cual aparecen exclusivamente las diferentes operaciones algebraicas entre sus bases a excepcin de la adicin y sustraccin. Ejemplos:

* 53 yx

52

* -128-4

z y3m-

* 3

x

cab9 * 2

Para determinar si una expresin algebraica es un trmino algebraico, se tendr que

reducir previamente a la expresin lo mximo.

Ejemplos: *

xyy3x2 22

No es un trmino algebraico, ya que reduciendo equivale a:

x

y3yx2

xyy3

xyx2 22

= 2 trminos

4.1 ELEMENTOS DE UN TERMINO ALGEBRAICO

Son los siguientes:

{ 43421LiteralParte

543

Coef.cba777

Exponente

-Signo

5. TERMINOS SEMEJANTES

Dos o ms trminos algebraicos son SEMEJANTES, si poseen la misma parte literal afectada de los mismos exponentes. La adicin o sustraccin de 2 o ms trminos semejantes se reducen a un solo trmino algebraico.

5x3; 9x3;15x3 Son trminos semejantes


lgebra 28

3x2y3; 7x2y3; 4x2y3; 4y3x2 Son trminos semejantes

4x4y5 ; 3x5y4 No son trminos semejantes

Ejemplo:

Si: 5x7yb-4 es semejante con 8xa+3 y2

Hallar: a+b

Solucin:

Si son semejantes, entonces las variables deben de poseer los mismos exponentes:

En "x": 7 = a + 3 a = 4 En "y": b - 4 = 2 b = 6 a + b = 4 + 6 = 10

6. SIMBOLOS DE COLECCIN O AGRUPACION

Son smbolos que se utilizan para separar o agrupar expresiones algebraicas.

Ejemplo:

( ) parntesis ; { } llave

[ ] corchete ; barra o vnculo

7. REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES

Se debe tener en cuenta los siguientes criterios para poder operar con los smbolos de coleccin y los signos de la adicin y sustraccin.

1. Cuando el signo (+) le sucede a un smbolo de agrupacin, se puede prescindir de ste y la expresin no se altera.

Ejemplo:

{ } 4x3m84x3m8 +=++

2. Cuando el signo (-) precede a un smbolo de coleccin, para prescindir de ste, tenemos que cambiar de signo a toda la expresin que aparece dentro.

Ejemplo:

[ ] 9z8y4x39z8y4x3 +=++


lgebra 29

Adicin y Sustraccin Se presentan dos casos:

1 Si son semejantes se efectan las operaciones indicadas solo con los coeficientes y luego se le agrega la parte literal.

Ejemplo:

5x3 + 7x3 = (5 + 7)x3 = 2x3 8x2y 13x2y + 2x2y = (8 13 + 2) = 3x2y

2 Si no son trminos semejantes la operacin que da indicada, no se puede efectuar.

Ejemplo: 4x3 + 5x2 = 4x3 + 5x2 3x2y - 9x2 + 5y = 3x2y - 9x2 + 5y EJERCICIOS

1. Hallar las siguientes sumas de trminos semejantes. a) +13a 2a a b) +5r2s 2r2s + r2s c) +7rs2 2rs2 + rs2 d) 5xy + 9xy 5xy e) 2x2y + 7x2y 3x2y + 7x2y f) 3x2y2 + 6x2y2 7x2y2 5x2y2

2. Efectuar:

a) 4xy - 5xy + 6xy + 7xy - 8xy b) 5m + 6m + 7m - 18m

c) 3ab - 4bc - 5ab + 6bc d) 3xy + 4xy - 5xz - 6xz - 7xy

3. Reducir:

a) 3a + 4a + 5a - 3(4a + 5) b) -6x + 5 - 3(-2x + 4) c) 3x + 4(3x - 4) + 5x + 4(-5x + 4) d) 2(x + 4) - 3(x + 3) + 4(x - 2)

4. Simplificar:

a) 3ab {2ab [5ab (12ab 5ab)] 3ab} b) [3x2 8x2 (12x2 + 23x2)] c) 4x {3x+[5x (12x 23x) + 8x] 13x} + 7x d) {3m2 [2m2 + (3m2 8m3) (5m2 + 9m2)]}


lgebra 30

5. Si el termino 5xay7 es semejante con el trmino 8x5yb. Hallar: a + b.

6. Si: t1 = 2x5yb-3 y t2 = 7xa-2y8; son dos trminos semejantes. Hallar: b a.

7. Si: t1 = (a+3)x3yb y t2 = (b+7)xay5; son trminos semejantes. Hallar : t1 + t2.

8. Si: t1 = (a+5)x6yb+2 y t2 = (b 3)xa-5y11; son trminos semejantes. Hallar: t1 + t2.

9. Completa la siguiente tabla:

10. Cul de las siguientes expresiones no es un trmino algebraico? Por qu?

a) 7x-2 b) xywabpq c) 24799x2y5 d) 5 e) x-1

11. Completa el siguiente cuadro:

Trmino Algebraico

Parte Constante

Parte Variable

3x x

5x3 -2x2y x3yz2

12. Cuntas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

TRMINO ALGEBRAICO

PARTE CONSTANTE PARTE VARIABLE

5x

-4wz

14ywz

-45x2w

34x3z5

-16x12y7w10

12wz3yx24


lgebra 31

I) Los nmeros son constantes. II) Las variables se representan con nmeros. III) 5 es una variable.

a) Slo I y III b) Slo II c) Slo I d) Slo III e) Ninguna

13. Representa mediante trminos algebraicos las siguientes proposiciones:

a) La edad de una persona. b) El doble del nmero de personas en el mundo. c) El triple del nmero de pasajeros que suben a un autobs. d) Menos el doble de la altura de un rbol.

14. Utilizando trminos algebraicos representa las siguientes proposiciones.

a) Dos veces el nmero de postulantes a la universidad. b) Cinco veces el dinero que gaste. c) Menos tres veces el nmero de colegios del Per. d) Menos ocho veces el rea de un cuadrado.

15. Completa la siguiente tabla:

Trmino Algebraico

Parte Constante

Parte Variable Exponentes

5x-9y2 4x-1wz3

-25x3y8w-4 -14x-4w5z3

16. Completa el siguiente cuadro:

Trmino Algebraico

Parte Constante

Parte Variable

-4x -x

8x5y2z 325x2wa

17. Cuntas de las siguientes proposiciones son Falsas? I) 3 es un trmino algebraico. II) 3x2yw es un trmino algebraico. III) x es un trmino algebraico. a) Slo I b) Slo II c) Slo III


lgebra 32

d) I y III e) I y II

18. Completa la siguiente tabla: Trmino

Algebraico Parte

Constante Parte

Variable Exponentes

4x5y-1 -x-1

-3x-2 -xy2

5xy2z3w4

19. Relaciona correctamente los trminos semejantes:

a) 5x2 ( ) 2xw3z5 b) -2xy ( ) -7x3y3 c) xw3z5 ( ) -10xy d) 9x3w5 ( ) -x2 e) 3x3y3 ( ) x3w5

20. Reduce los siguientes trminos semejantes: I) 5x + 3x II) 4x3w + 4x3w III) 2x2z + 7x2z

IV) 3x2y2 + 6x2y2 V) 13xw 3xw

Dar por respuesta el trmino de mayor parte constante.

a) 17xw b) 8x3w c) 9x2z d) 10xw e) 8x2y2

21. Cul de las siguientes expresiones no es algebraica: I) x3 + 2x2 + 4w II) x + x2 + x3 + x4 + x5 + III) 3wx2 - 2

a) I y III b) Slo III c) Slo I d) Todas e) Slo II

22. Se tiene los siguientes trminos semejantes: -2xmz7; 4x2zn; -x2z7 Hallar: nm ++++

a) 2 b) 3 c) 0 d) 1 e) 4

23. Seala en que caso no se tiene una expresin algebraica: I. x3 + 2x 1 II. xy + xw + 4 III. 4 + 5 - 7

a) Slo II b) Slo I c) Slo III d) Slo I y II e) Todas

24. Reduce los siguientes trminos semejantes:


lgebra 33

a) 5x + 4x b) 12x2 5x2 c) -4xw + xw d) -2x2z3 + 4x2z3

e) -3wy2 2wy2 f) 4xyz + 5xyz + 2xyz g) 9x2 2x2 + 8x2 20x2

En los siguientes problemas suprime los signos de agrupacin y luego simplifica:

25. 3x + {8x2 3x} [-2x + 8x2] Seala la expresin que se obtiene:

a) -2x b) 2x c) 0 d) x e) -x

26. -7x2 (3x + w) + [7x2 + w] Indica la expresin obtenida:

a) -3x b) 3x c) -w d) 7x2 e) -2w

27. (4x - 5) + [3x - 13] {-5x 8 + w} {5x - w} Seale la parte constante del trmino que se obtiene:

a) 1 b) -2 c) 2 d) -1 e) 3

28. {5w 7 + y} + [-3 + 4x + y] {2 + 2w} + {14w 2 4x} Indique la parte constante del trmino algebraico resultante.

a) 3 b) 7 c) 2 d) -7 e) -3

29. 3y {2y (3w + 5x) + [-5w + 3y] + 10w} Seala la suma de las partes constantes

a) -9 b) -7 c) 9 d) -3 e) 7

30. {(3y 7 - w) + 4 [-2y 3x - 3] 5y} + 10x Dar por respuesta la suma de las partes constantes.

a) 3 b) 5 c) 8 d) 7 e) 9

31. -3x + {5w [5z 3x (-5w + 4z)]} + z a) z b) x c) w d) x e) 0

32. 4w {-8x [8y 4w + (8x 8y)]} 9x a) 0 b) 7x c) 7y d) 3w e) -7y

33. 3x + {9xw {2x 4xw (5xy2 4 7x) + [3x + 13xw (-3x + 4)]} +


lgebra 34

10xy2} a) 12x 15xy2 d) -12x + 15xy2 b) 15x 12xy2 e) -12x 15xy2 c) 15x + 12xy2

34. -7x {-5x2 + 7x} + (2x 5x2) Indica la expresin que se obtiene:

a) 12x b) -12x c) x d) x e) 0

35. 7w2 + [-3y - z] {-3y 4z + 7w2} a) 3z b) 2z c) x d) 3y e) 4x

36. (3x + 2) [9x + 4 - w] + {-7x 5 - w} (7w 13x - 7) Seala la parte constante del trmino algebraico que se obtiene:

a) 8 b) 6 c) -6 d) -7 e) 7

37. (4w y + 3) - (8y 3 7w) + [-4 9w + 9y] {-2w + 2} Indica la parte constante del resultado a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

38. -4z + {-2w + (7y 3w) [3y 4z] - y} Seala la suma de las partes constantes. a) -2 b) 3 c) 4 d) -5 e) -7

Reduce en cada caso:

39. 3x2 + 4x2 + 7x2

40. 4w3 + 2w3 8w3

41. 5z4 + 7z4 2z4

41. -12y5 + 3y5 + 2y5

42. -5x7 + 7x7 + 2x7

43. -3w2 2w2 4w2

44. 3z3 2z3 4z3

45. 10y4 4y4 3y4


lgebra 35

46. 9xw + 2xw + 4xw

47. -12xy 3xy xy

1. DEFINICIN DE ECUACIN Ecuacin es una igualdad de 2 expresiones algebraicas que se verifica o satisface solo para determinados valores de sus incgnitas.

Ejemplos: (1) 6x + 1 = 13 Se satisface solo para (x = 2)

(2) x 5 = 6 Se satisface solo para (x = 11)

* Observaciones:

El signo IGUAL separa a una ECUACION en primer miembro (el de la izquierda) y el segundo miembro (el de la derecha).

Cada miembro esta formado por uno o ms trminos algebraicos. Resolver una ecuacin significa hallar los valores de x que la satisfacen.

2. ECUACIONES EQUIVALENTES

Son aquellas que tienen las mismas races o soluciones.

Ejemplos: En una ecuacin como 5x 7 = 8; la raz es 3; es decir, tal ecuacin se satisface solo para x = 3

En otra ecuacin como 158

51

9x

++ ; la raz tambin es 3 es decir; tal ecuacin tambin se satisface solo para x = 3. Luego; ambas ecuaciones son equivalentes

3. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES

1. Si sumamos o restamos a los dos miembros de una ecuacin una cantidad constante; la ecuacin que obtenemos es EQUIVALENTE a la primera.

Ejemplos: En la ecuacin x + 4 = 5; podemos verificar que su RAZ es 1. Si restamos 4 a ambos miembros, la ecuacin obtenida es equivalente a la primera; es decir:

CAPTULO 4: ECUACIONES LINEALES CON UNA INCGNITA


lgebra 36

x + 4 4 = 5 4 x = 5 4 x = 1

Importante:

Despejar una incgnita significa dar a todos los pasos necesarios para que aparezca en uno de los 2 miembros SOLO LA INCGNITA. En nuestro ejemplo; hemos despejado x aplicando la primera propiedad.

Atencin:

Los valores de x que satisfacen a una ecuacin reciben el nombre de SOLUCIONES O RACES. Estas se agrupan en un conjunto al que llamamos conjunto solucin o C.S.

Si la ecuacin es de grado n, entonces tendr n soluciones o races.

Regla Prctica:

Podemos trasladar un termino de un miembro al otro (TRANSPOSICION DE TERMINOS) con el solo cambio del signo de su coeficiente.

x + b = a x = a b / x es la incgnita.

2. Si multiplicamos o dividimos a los 2 miembros de una cantidad constante diferente de cero, la ecuacin que obtenemos es EQUIVALENTE a la primera.

Ejemplo: En la ecuacin 3x = 6, podemos verificar que su raz es 2. Si dividimos por 3 a ambos miembros; la ecuacin obtenida es equivalente a la primera; es decir.

36

3x3

= 36

x = x = 2

Regla prctica:

Dada: ax = b; entonces: x = b/a Dada: b

a

x= ; entonces: x = a . b

Una ecuacin de primer grado con una incgnita tiene la siguiente forma general:

ax + b = 0 x : incgnita a y b : coeficientes a , b Q

Despejamos x en:

Aplicamos la primera propiedad de ecuaciones: ax = -b Aplicamos la segunda propiedad de ecuaciones

a

bx

=


lgebra 37

Atencin:

Si a 0 y b 0; existe raz o solucin racional. Si a = 0 y b 0, no existe solucin. Si a 0 y b = 0, tendremos x = 0 Si a = 0 y b = 0, tendremos solucin INDETERMINADA O no DEFINIDA.

4. PROCEDIMIENTO PRCTICO DE RESOLUCIN DE UNA ECUACIN

El procedimiento es el siguiente: 1. Suprimimos signos de coleccin o agrupacin. 2. Efectuamos reduccin de trminos semejantes en cada miembro. 3. Hacemos transposicin de trminos, escribiendo los que son independientes en uno de

los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la ecuacin. 4. Volvemos a reducir trminos semejantes. 5. Despejamos la incgnita.

EJERCICIOS

Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 4x 1 = x 4

2. 3x 2 = x + 6

3. 7 5x = 3x 1

4. 12x 12 = 16x + 8;

5. 7x + 5 3x = 4x + 3 2x

6. 16x 21 = 20x + 3

7. 19 3x + 5x = 15 4x

8. 20x + 7 2 = 15x + 3

9. 16 4x + 6x = 12x + 8

10. 13x 2,4 = 6,2 + 11x

11. 4x 10x + 15 = 8x 13

12. 7x 6x 4 = 15x + 3 6x

13. -0,5 + 10x = -8,5 + 2x

14. 6x (4x + 2) = (x 1) + 4

15. 65

2x23

2x+

=+

16. 2)1x2(312)1x(

21

=+

17. 6)2x(312)1x(

52

+=+

18. 5)3x(21

x)1x(41

+

=+


lgebra 38

19. 4x)6x(32)5x(

23

21

+=

+++

20. 303

)1x(7x5

x5)4x(32

+

+=+

21. 20x + 6 4x = 12,0 + 6x ; hallar x:

a) 1/3 b) 3/5 c) 9/2 d) 7/2 e) 8/4

22. Resolver: -2x + 7x 3 = 3x x + 6

a) 2 b) 5 c) 6 d) 4 e) 3

23. Resolver: 2x + 8 3x = 4x + 15 2x

a) -8/3 b) 3/5 c) -7/3 d) 8/3 e) -6/4

24. Resolver: 17x 4 + 13x = 12x 5 + 8x

a) 171

b) 161

c) 151

d) 181

e) 201

25. Resolver: 14x 15 + 2x = 2x + 40 + 3x

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2

26. 3(x 4) + 6 = 5(x + 1) 13; hallar x:

a) 1/9 b) 41

c) 21

d) 31

e) 1/8 27. Resolver:

3(x+1) + 4(2x1) = 5(x+5) 2(x3)

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

28. 31

4x3

3x2

+= , hallar x:

a) x = 6 b) x = 7 c) x = 8 d) x = 10 e) x = 9

29. Resolver:

4x4

41

2x

=+


lgebra 39

a) x = 3 b) x = 5 c) x = 2 d) x = 6 e) x = 7

30. Resolver: 1

41x5

x4)1x(61

++

=++

a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 1/5 e) 5

31. Resolver: 6)2x(

512)2x(

31

+

=+

a) 64 b) 60 c) 48 d) 30 e) 32

32. Resolver: 4x)6x(

32)5x(

23

21

+=

+++

a) 10 b) 20 c) 30 d) -21 e) -10

33. Resolver:

15(2x + 1) 2 = 3(-2x + 8) 2

a) 1/5 b) 1/6 c) 1/8 d) e) 1/7

34. Resolver: )]2x(4[2)2x(

34

+=+

a) 13/4 b) 15/4 c) 16/4 d) 3 e) 17/5

35. Resolver:

-13 [3(x + 2) + 4] = 11 [6 (-2x - 2) + 1]

a) 1547

b) 1546

c) 1548

d) 1549

e) 1550

Resuelve las siguientes ecuaciones:

24. - x - 2 = - 7

25. 4x = 12

26. 4x + 2 = x + 8


lgebra 40

Dar por respuesta el valor de: x + 5

27. 18 4x + 6x = 3x + 9x + 8 Dar el valor de: x - 2

a) - 1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

28. 4(3x 2) = 3(3x 2) + 1 Dar el valor de:

x

36

a) 9 b) 18 c) 4 d) 3 e) 36

41. Resolver: 15 (2x - 1) = 8 (2 3x)

42. Resolver: 2x + 1 = 4(x - 6)

43. Resolver: 7 3(x + 1) = x 3 (x - 1)

44. Resolver: 5x 2(x - 6) = 2x + 2(x - 1)

45. Resolver: 5 (2x 1) = 9 (2 + 3x 46. Resolver: (3x + 2) + (x + 1)=(2x + 4) + (x + 3) 47. Resolver: 3(5x + 1) 2(6x + 3) = 2(x - 1) 48. Resolver: (5x + 4)(3x + 1)=(4x + 2)(3x - 7)

Consiste en que a partir de un ENUNCIADO se escriba una IGUALDAD relacionando los DATOS y la INCOGNITA (lo que se pide en el problema)

FORMA VERBAL TRADUCCIN FORMA SIMBLICA

CAPTULO 5: PLANTEO DE ECUACIONES


lgebra 41

LENGUAJE ENUNCIADO MATEMTICO

1. Lee atentamente el problema las veces que sea necesario. El objetivo es comprender el enunciado.

2. Representa con una letra lo que pide el problema (incgnita) y escribe los datos que te ofrecen.

3. Relaciona mediante una igualdad lo que pide el problema y los datos brindados.

4. Resuelve la igualdad (ecuacin) planteada.

Ten en cuenta las siguientes interpretaciones

ENUNCIADO INTERPRETACIN FORMA SIMBLICA (FORMA VERBAL) (LENGUAJEMATEMTICO

Un nmero x

La suma de 2 nmeros x + y

El doble de un nmero 2x

El triple de un nmero 3w

El cuadruple de un nmero 4y

Dentro de 3 aos tendr 14. Jos puedes calcular qu edad tengo?

Si a tu edad le adiciono 3 aos es igual a 14.

OBSERVACIN

No existe un mtodo nico para plantear una ecuacin, pero a continuacin te damos algunas recomendaciones.


lgebra 42

El doble de lo que tengo, 2x + 7 aumentado en 7

Yo tengo 20 ms que t Lo que yo tengo = 20 + lo que t tienes x = 20 + y

yo : 20 + y ; tu : y Yo tengo S/. 40 menos que t Lo que yo tengo = lo que t 40

o tambin se dice: tienes T tienes S/. 40 ms que yo y = x 40 yo : x 40 ; t : x

A excede a B en 7 Tambin:

A es mayor que B en 7 El exceso de A sobre B es 7 B es excedido por A en 7 La diferencia entre A y B es 7

A es el doble de B Tambin:

A es dos veces B B es la mitad de A

A es el triple de B Tambin:

A es tres veces B B es la tercera parte de A

PROBLEMAS

1. El cudruplo de un nmero, disminuido en su mitad es 14. Cul es el exceso de 14 sobre dicho nmero?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

2. La suma de cuatro nmeros impares consecutivos es 48.Cul es el mayor de los sumandos?

a) 18 b) 15 c) 12 d) 10 e) 9

3. Cuando se le pregunta a Andrea cunto gast de los S/.120 que le dio su padre, ella contesta: Gast la stima parte de lo que no gast. Cunto gast?

A B = 7

A = 2B Dos veces

A = 3B Tres veces


lgebra 43

a) S/.12 b) S/.15 c) S/.16 d) S/.18 e) S/.20 4. El exceso de 36 sobre un nmero es tanto como dicho nmero excede a 14. Cul es el

exceso de 100 sobre la quinta parte del nmero en mencin? a) 5 b) 20 c) 25 d) 75 e) 95

5. El precio de una calculadora excede en S/.12 al de un libro de Razonamiento Matemtico. Si por ambos artculos se pag S/.120, cunto cost la calculadora?

a) S/.59 b) S/.68 c) S/.71 d) S/.75 e) S/.77

6. Hallar un nmero tal que, 10 ms el triple de dicho nmero es igual a 70. Dar como respuesta el doble del nmero. a) 20 b) 30 c) 10 d) 40 e) 50

7. Cierto nmero es tal que el duplo ms el quntuplo resulta igual a el triple ms 100. Hallar la quinta parte de dicho nmero.

a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 25

8. Tena S/.85, gast cierta suma y lo que me queda es el cudruplo de lo que gast. Cunto gast?

a) S/.34 b) S/.20 c) S/.17 d) S/.68 e) S/.42

9. Dos nmeros estn en la relacin de 5 a 7. Si su suma es 24, calcula la diferencia de los nmeros.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

10. Entre 40 personas, el nmero de varones es al de damas como 3 es a 7. Cuntas damas hay? a) 30 b) 60 c) 28 d) 50 e) 46

11. La suma de dos nmeros es 32 y el mayor excede al menor en 8. Calcula el valor del nmero mayor.

a) 18 b) 20 c) 22 d) 28 e) 30

12. La suma de 3 nmeros es 58. El primero es el doble del segundo y el tercero excede en 3 al primero. Cul es el nmero menor?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15

13. Tres hermanos se reparten S/.339. Si lo que le toca a cada uno es como 3 nmeros impares consecutivos, cunto le toca al hermano intermedio?

a) S/.109 b) S/.111 c) S/.113


lgebra 44

d) S/.115 e) S/.117

14. Un nmero es tal que el doble de, 5 ms dicho nmero, es igual al triple de, 2 ms el mismo nmero. Cul es? a) 66 b) 62 c) 9 d) 4 e) 6

15. Un nmero es tal que su doble, su triple, su cudruplo y su quntuplo suman 392. Determinar la cuarta parte de dicho nmero. a) 7 b) 8 c) 9 d) 32 e) 28

16. Un nmero entero es igual a la diferencia entre el quntuplo del entero siguiente menos el quntuplo del entero anterior. Dar como respuesta el entero. a) 2 b) 6 c) 4 d) 8 e) 10

17. El doble de la suma de dos nmeros es 148 y la quinta parte de su diferencia es 4. Calcula el nmero mayor.

a) 40 b) 45 c) 47 d) 50 e) 51

18. Si repartes S/.95 en 2 partes de modo que el triple de la parte menor exceda en S/.49 a la parte mayor, cul es la diferencia entre ellas?

a) S/.23 b) S/.25 c) S/.20 d) S/.24 e) S/.27

19. La tercera parte de la suma de 2 nmeros es 52 y el doble de su diferencia es 56. Cul es el nmero mayor?

a) 92 b) 90 c) 82 d) 88 e) 86

20. Tres nmeros pares consecutivos son tales que la suma del mayor con el menor equivale al segundo aumentado en 22. Dar el menor nmero de ellos.

a) 18 b) 20 c) 21 d) 24 e) 22

21. Un nmero es tal que su doble ms su triple resulta igual a 35. Hallar dicho nmero. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

22. Hay un nmero tal que su triple, aumentado en 5, es igual al cudruple de dicho nmero aumentado en 1.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

23. Un nmero es tal que el quntuple equivale al triple de, 24 ms dicho nmero. Hallar el doble del nmero.

a) 62 b) 64 c) 68 d) 68 e) 72


lgebra 45

24. Cul es el nmero cuyo duplo aumentado en la unidad da como resultado 55? a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29

25. La suma de dos nmeros es 300 y su diferencia 42, cul es el nmero mayor? a) 153 b) 165 c) 171 d) 177 e) 183

26. El mayor de dos nmeros es cuatro veces el menor. Si la suma de ambos es 105, calcular su diferencia.

a) 21 b) 84 c) 63 d) 95 e) 105

27. Calcular un nmero cuya tercera parte aumentada en 2, exceda en 1 a la suma de la quinta y la sexta parte.

a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

28. La suma de dos nmeros es 20 y su diferencia es 4. Hallar el producto. a) 86 b) 84 c) 96 d) 94 e) 92

29. La suma de dos nmeros es 300. Si el doble del menor excede en 40 al mayor aumentado en 80, cul es el nmero menor?

a) 160 b) 40 c) 140 d) 70 e) 180

30. La suma de tres nmeros enteros consecutivos es 234; cul es el duplo del nmero intermedio?

a) 77 b) 78 c) 82 d) 156 e) 84

31. Al sumar tres nmeros enteros pares consecutivos, se obtiene 102. Cul es el cudruple del nmero menor?

a) 34 b) 128 c) 32 d) 64 e) 62

32. Dos nmeros sumados dan 600. Si el triple del menor excede en 140 al mayor disminuido en 100, calcular el nmero menor.

a) 140 b) 160 c) 120 d) 150 e) 130

33. Si Judith tiene el triple de dinero del que tiene Mariela, ms S/. 30, cunto dinero tiene Judith, si entre las dos tienen S/. 390?

a) S/.90 b) S/.270 c) S/. 300 d) S/.360 e) S/.180

34. Pedro tiene el doble de figuras que Mario aumentado en 6.Si la diferencia de ambas cantidades es 16, cuntas figuras tiene cada uno?

a) 10 y 26 b) 12 y 28 c) 13 y 29 d) 9 y 25 e) 8 y 24


lgebra 46

35. La suma de 3 nmeros impares consecutivos es 51. Cul es el nmero posterior del mayor?

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

36. Un cuarto de un tercio de dos sextos de un nmero es cuarenta y ocho. Cul es el nmero?

a) 1624 b) 1248 c) 128 d) 1728 e) 1458

37. Cul es el nmero cuyo cudruple excede en 3 al triple de 7?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

38. Cul es el nmero cuyo doble excede en 20 a su suma con 8?

a) 28 b) 26 c) 30 d) 24 e) 32

39. Cul es el nmero que excede a 24 tanto como es excedido por 56?

a) 32 b) 36 c) 40 d) 42 e) 44

40. Cul es el nmero que multiplicado por 2 es 4 unidades menos que 3 veces 6?

a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3

41. 17 excede a un nmero en tanto como este excede a 13. Calcula el exceso del nmero sobre 7. a) 8 b) 6 c) 5 d) 3 e) 9

42. Sabiendo que 3 nmeros enteros consecutivos suman 204, calcula la suma de las cifras del nmero intermedio.

a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

43. El exceso del doble de un nmero sobre la mitad del mismo es 30. Cul es el nmero en referencia?

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

44. Dos nmeros que suman 20 se igualan al sumarle 4 al mayor y duplicar el menor. El nmero mayor es:

a) 6 b) 8 c) 12


lgebra 47

d) 18 e) 20

45. Qu nmero excede a 80 en la misma medida que es excedido por 200?

a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160

46. La edad que tengo es el cudruple de la edad que tuve hace 15 aos. Cuntos aos tengo?

a) 15 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24

47. Cul es el mayor de dos nmeros enteros consecutivos cuya suma es 103?

a) 48 b) 49 c) 50 d) 52 e) 54

48. Calcula un nmero que aumentado en 36 resulte el doble del nmero, disminuido en 18.

a) 36 b) 54 c) 64 d) 72 e) 74

49. El quntuple del exceso de un nmero sobre 20 es 100. Cul es el nmero?

a) 24 b) 36 c) 40 d) 52 e) 58

50. El doble de un nmero disminuido en 70 es el triple de 16. Cul es el nmero en mencin?

a) 72 b) 82 c) 94 d) 96 e) 98

51. De 2 nmeros cuya suma y diferencia suman 20, el mayor de ellos es:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

52. La suma de 3 nmeros consecutivos es 33. Calcula el mayor de ellos.

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

53. La suma de 2 nmeros enteros consecutivos es 537. Cul es el nmero mayor?

a) 267 b) 268 c) 269 d) 270 e) 271

54. Si al triple de un nmero le disminuimos 15, obtendremos el doble del nmero, aumentado en 40, Cul es el nmero?


lgebra 48

a) 55 b) 45 c) 40 d) 60 e) 62

55. Augusto compra una camisa y un pantaln por S/.118. Cunto pag por el pantaln, si este costaba S/.32 ms que la camisa?

a) S/. 70 b) S/. 65 c) S/. 80 d) S/. 75 e) S/. 68

56. Se reparten S/. 130 entre 3 personas de modo que la segunda reciba S/. 20 ms que la primera y S/. 15 menos que la tercera. Cunto recibe la tercera?

a) S/. 45 b) S/. 50 c) S/. 60 d) S/. 25 e) S/. 40

57. La suma de las edades de Mara y Jos es 35 aos. Si Mara es 9 aos mayor que Jos, cuntos aos tendr Jos dentro de 12 aos?

a) 13 aos b) 22 aos c) 25 aos d) 20 aos e) 26 aos

58. La suma de 2 nmeros enteros pares consecutivos es 270. Calcula el menor de ellos.

a) 132 b) 130 c) 136 d) 134 e) 138

59. El doble de la suma de 2 nmeros es 148 y la quinta parte de su diferencia es 4. Calcula el nmero mayor.

a) 40 b) 45 c) 47 d) 50 e) 54

60. La suma de dos nmeros enteros impares consecutivos es 156. Cul es el nmero menor?

a) 75 b) 80 c) 79 d) 77 e) 78

1. CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. Por su naturaleza Se clasifican de acuerdo a la forma de los exponentes que afectan a sus variables. Pueden ser: A. Expresiones Algebraicas Racionales

CAPTULO 6: POLINOMIOS


lgebra 49

Es aquella donde llevadas todas sus variables al numerador se ven afectadas de exponentes enteros.

A su vez se subdividen en: A.1. Expresin Algebraica Racional Entera (E.A.R.E.)

Es aquella donde llevadas todas sus variables al numerador, stas se ven afectadas de exponentes enteros y positivos. Ejemplos: * 4x5 - 2x2 + 3

*

2

yx 34

* -1/383 3 . zxy

* 323

32

3xyyx2

y

x

y

x2++

A.2. Expresin Algebraica Racional Fraccionaria (E.A.R.F.) Es aquella donde llevadas todas sus variables al numerador, por lo menos una de ellas est afectada de un exponente negativo. Ejemplos: * x15 + x10 - x5 + 2x -5 Exponente negativo

* 2y-3 + 2y-1 + 2

* 1zyxyx1xyz

yx 111

)(

B. Expresiones Algebraicas Irracionales Es aquella expresin, donde por lo menos una de sus variables estn afectadas de un exponente fraccionario o de un signo radical, es decir que tienen letras dentro de un radical. Ejemplos: *

38 x - x + 3 7x - 3

* 218 3

zxyzx3 /++

* 1y

1

x

1+

Observacin Para clasificar una expresin cualquiera, se deber simplificar lo mayor posible efectuando operaciones y llevando sus variables al numerador, para luego analizar sus exponentes. Se puede realizar de acuerdo a :


lgebra 50

Segn sunmero de trminos

Segn lanaturalezade suexponente

Monomios

Polinomios

Binomios ...... 2 trminosTrinomios ...... 3 trminosCuatrinomios ...... 4 trminos

Polinomios ...... n trminos................................................

1trmino

Racional

Irracional

Entera

Fraccionaria

Polinomios, vienen a ser expresiones algebraicas cuyos trminos son todos racionales

enteros.

Ejemplos: * 3 xy ............ 1 trmino monomio * x2 + x ............ 2 trminos binomio * 4x2y - 2x + 3 ............ 3 trminos trinomio Para n trminos polinomios

2. VALOR NUMRICO Cuando mas variables adoptan un valor, los monomios o polinomios arrojan un valor que se denomina valor numrico. Ejemplo:

P(x) = 4x + 14 P(1) = 4 . 1 + 14 = 18

P(1) = 18 P(2) = 4 . 2 + 14 = 22

P(2) = 22 P(3) = 4 . 3 + 14 = 26

P(3) = 26 M(x; y) = 4x2y3

M(2, 1) x = 2 y = 1


lgebra 51

M(2, 1) = 4(2)2 (1)3 M(2, 1) = 16

P(x, y) = 4x + 5xy P(2, 3) x = 2 y = 3

P(2, 3) = 4(2) + 5(2)(3) P(2, 3) = 38

VALOR NUMERICO

Es el resultado obtenido luego de reemplazar a las variables de una expresin algebraica por cantidades o constantes definidas.

Ejemplo: Si: E(x; y) = 2x2 + 5xy - y3

Hallar el valor numrico (V.N.) de E(x,y) si se sabe que x = 3, y = 2. Solucin:

E(3;2) = 2(3)2 + 5(3)(2) - (2)3 = 2(9) + 5(6) - 8 E(3;2) = 18 + 30 - 8 = 40

Ejemplo: Si: P(x;y) = 2x2 + 5xy - y2 Calcular: P (5; 0) Solucin: x = 5; y = 0 P(5; 0) = 2(5)2 + 5(5)(0) - (0)2 P(5; 0) = 2(25) + 0 - 0

P(5; 0) = 50 3. GRADOS

GRADO DE UN POLINOMIO El grado es una caracterstica especial que solo poseen los polinomios y est relacionada con los exponentes de la parte variable.

Existen dos tipos de grado :Grado Relativo y Grado Absoluto.

3.1 Grados de un monomio

1. Grado Relativo (G.R.)

Esta indicada por el exponente que afecta a la variable.


lgebra 52

2. Grado Absoluto (G.A.)

Esta indicado por la suma de todos los grados relativos del monomio.

M(x;y;z) = 5x7y5z3

GR(x) = 7 GR(y) = 5 GA = GR(x) + GR(y) + GR(z) GR(z) = 3 GA = 7 + 5 + 3 =15

3.2 Grados de un Polinomio

1. Grado Relativo (GR).- Esta indicado por el mayor exponente que afecta a la variable a lo largo del polinomio.

2. Grado Absoluto (GA).- Esta indicado por el mayor grado absoluto de uno de sus trminos.

Ejemplo: Sea el polinomio:

GR(x) = 6 GR(y) = 5 GR(z) = 0 GA(P) = 9

Ejemplo :

= = =

= + 14243 14243 14243

4 3 4 2 5 6 6 4 5

GA 7 GA 7 GA 10

P(x, y) 5x y z 7x y z 12x y z

Calcular: E = GR(x) + GR(y) + GA(P)

Solucin:

Nota: Las nicas que tienen grado son las variables que se encuentran en el sub-ndice del polinomio P.

GR(x) = 6

43 4 2 1 4 3 4 2 1 4 3 4 2 1

7

64 3 5 8

12 2 6 3 9

6 5 4 2 =

+

=

=

=

GA

z yx

GA

zyx

GA

z yx ) y , x ( P


lgebra 53

GR(y) = 5 GA(P) = Al mayor grado absoluto de uno de sus trminos GA = 10

E = 6 + 5 + 10 = 21

EJERCICIOS 1. Llena los siguientes cuadros, colocando una (x) en el casillero correcto.

Expresin

ExpresinAlgebraica

(por su naturaleza) No es

E. A. Racional

Irracional

Ent. Fracc.

y2 - 2xy +y x

2z

3y2

x

1+++

2x x+

32 63 2x x+

x1xLog 2x sen+

x2- 2x

xy + x1/2 y -1/2 - ab-

2

21 2 1x x+ + +


lgebra 54

EXPRESION

Expresin Algebraica

(Por el nmero de trminos)

Trmino

Algebraico

.

Monomio

Polinomio

1xx1

++

- 2x+ pi +y

x3-xy2+y5+3

x1/3 - x2/3 + y

4x y-2

2x + 1

abcd . . . xyz

3 3 )x1(x3x1 +++

-1

3. Cul o cules de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I. 53 zy2 ; es una expresin irracional II. 3

x

3x

232 ++

; es racional fraccionaria

III. 121x3 )/( ; es racional entera

a) slo I b) I y II c) slo III d) Todas e) slo II

4. Si: A(x) = 2x + 5; calcular el valor numrico en cada caso.


lgebra 55

* A(1) * A(-2) * A(3) * A(-4) * A(+5) * A(-6) * A(+7) * A(-8) * A(9)

5. Si: B(x) = -3x - 7; calcular el valor de numrico en cada caso.

* B(0) * B(1) * B(-2) * B(-3) * B(-4) * B(5) * B(-6) * B(7) * B(-8)

6. Si: C(x) = x2 + 2; calcular el V.N. en cada caso:

* C(1) * C(-1) * C(2) * C(-2) * C(3) * C(-4) * C(5) * C(-6) * C(7)

7. Si: E(x) = 32 1x + ; calcular el valor numrico en cada uno:

* E(0) * E(2) * E(1) * E(5) * E(1) * E(2) * E(4) * E(a) * E(b)

8. Si: L(x;y) = 2 33 1x y + ; calcular el valor numrico en cada caso.

* L(0;0) * L(2;1) * L(1;2) * L(5;3) * L(1;4) * L(2;3) * L(4;2) * L(a;3) * L(b;2)

9. Si: E(x;y;z) = 3 2 2x y z + ; calcular el valor en cada caso:

* E(0;0;1) * E(2;3;1) * E(1;3;2) * E(5;3;1) * E(1;3;4) * E(-2; 3;2)

10. Hallar el valor numrico de cada polinomio para el valor de la variable indicada:

a) N(x) = 22x + 4x + 5; Para: x = 2 b) I(y) = 3 22y y+ + y 13; Para y = 3 c) T(m) = 4 3 22m m m + + 8m + 3; Para m = 2

11. Hallar el valor numrico de los siguientes trminos para: a = 1; b = 5; c = 4; m = -1; n = -2

a) 8bcm b) 3bm n c) 35abc d) 2 24ab c e) 2cmn f) 2 2n b g) 2 3ab cm n h) -4mn i) abcmn


lgebra 56

12. Si: A(z) = 3 23 2z z+ + 3z - 15 Calcular: M = 2A(3) - 3A(2)

13. Si: f(x) = 3x - 5 Hallar: f(1) 14. Si: g(x) = 2x - 3x + 2 Hallar: g(0) 15. Si: h(x) = 2x - 4x + 5 Hallar: h(1) 16. Si: p(x) = (x - 4)2 + 2 Hallar: p(0) 17. Si: q(x) = (x+5)2 - 7 Hallar: q(1) 18. Si: r(x) = (x2 - 4x + 6)2 3 Hallar: r(0)

19..Si: P(x) = 5x + 7 y Q(x) = 2x - 5

Calcular: N = P(3) + Q(2) + P[Q(3)]

20. En los siguientes monomios y polinomios, halla el grado relativo para cada variable adems el grado absoluto :

a) x2y5 b) x3w2 c) x7z4 d) y2w3z7 e) xwz

f) x2y3 + x4y

g) x3y5 x2y7

h) w6z4 + w2z5

i) y7w3z4 y2w5z

j) z4x5w12 + z7x3w14

Resuelve los siguientes problemas :

21. Si el G.A. de 7x2yn es 9. Hallar GR(y) a) 6 b) 7 c) 5 d) 9 e) 2

22. Si el G.A. de -2wny2 es 7. Hallar GR(w) a) 5 b) 7 c) 6 d) 3 e) 4

23. Hallar el G.A. de 4znyn+1 si GR(z) = 4 a) 8 b) 7 c) 5 d) 4 e) 9


lgebra 57

24. Hallar el GA de -5wnzn+2 si GR(w) = 3 a) 4 b) 7 c) 8 d) 3 e) 2

25. Hallar el G.A. de 12xnwn+1zn+2 si GR(w) = 2 a) 7 b) 17 c) 8 d) 6 e) 4

26. El G.A. de 2x2yn + x3y2 es 7. Hallar GR(y) a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

27. El G.A. de 8wnz3 7wz4 es 10. Hallar GR(w) a) 3 b) 4 c) 7 d) 5 e) 9

28. Hallar el G.A. de 7y3zn + 4ynz si GR(y) es 7. a) 4 b) 7 c) 9 d) 11 e) 10

29. Hallar el G.A. de -3xnwn+1 2x2wn+3 si GR(x) = 5 a) 7 b) 8 c) 10 d) 11 e) 9

30. Hallar el grado de 4wnzn+1yn+2 3wn+2zn+3y4 si GR(y) = 5 a) 14 b) 15 c) 12 d) 17 e) 7

31. Si de: M = 4xn+1ym+2wn+3m GR(x) = 3 ; GR(y) = 5. Hallar GA(M) a) 19 b) 18 c) 20 d) 21 e) 22

32. Dado : M = 3wn+4zn+by5-b ; GR(w) = 7. Hallar GA(M) a) 27 b) 7 c) 17 d) 14 e) 15

33. Si de : P = 3xnw3+n + 2xnw2+n se sabe que GA(P) = 7. Hallar GR(w) a) 7 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

34. Hallar el GA(P) si


lgebra 58

P = -5w5-by2-aza+b 8w3+ay1-a-bz4+b a) 4 b) 7 c) 3 d) 5 e) 8

35. Dado: P = 8xn+1y4 + 7xn+2y4 5xn+3y si GR(x) = 2 [GR(y)]. Hallar G.A.(P) a) 11 b) 10 c) 7 d) 6 e) 9

36. En cada uno de los siguientes monomios, determina su coeficiente; su parte literal, sus grados relativos de cada variable y su grado absoluto.

a) E(x,y,z) = 5x3y4z6 b) L(x,y) = 6x5y3 c) C(x,y,z) = 24x3yz2

d) N(x,y,z) = 9xy3z4 e) A(x,y,z) = 25x6y7z5

37. Escribe cada uno de los monomios (de dos variables) cuyas caractersticas son:

a) Nombre: R ; coeficiente = 35 ; Grado relativo a: x = 4 ; Grado relativo a: y = 7.

b) Nombre: F ; coeficiente = 28 ; Grado relativo a: x = 7 ; Grado absoluto = 12.

38. Escribe cada uno de los monomios (de tres variables) cuyas caractersticas son:

a) Nombre: V; coeficiente = 7 ; Grado relativo a: x = 9. Grado relativo a: y = 7 ; Grado relativo a: z = 4.

b) Nombre: C ; coeficiente = 24 ; Grado relativo a: x = 3. Grado relativo a: y = 7 ; Grado relativo a: y = 7 ; Grado absoluto = 15.


a) Nombre R, coeficiente = 15; grado relativo a: x = 6; grado absoluto = 9 b) Nombre F; coeficiente = (n+2); grado relativo a: x = n; grado relativo a: y = 4; grado absoluto = 7.


a) Nombre V; coeficiente = 15; grado relativo a: x = 7; grado relativo a y = 8; grado relativo a: z = 5.

b) Nombre C; coeficiente = (2b + 3); grado relativo a: x = 3; grado relativo a: y = b 2; grado relativo a: z = 5; grado absoluto = 16.


lgebra 59

41. En cada uno de los siguientes monomios, determina su coeficiente, su parte literal, sus grados relativos a cada variable y su grado absoluto.

E(x,y,z) = -5x6y2z4 L(x,y,z) = 3x2y8z7 P(x,y,z) = 24x4y7z8 Q(x,y,z) = -8x5y4z3

42. Calcular el coeficiente del monomio:

(2)2m+n 8x2m+1yn+2

Si su grado absoluto es 16 y su grado relativo a "y" es 5.


a) Nombre R, coeficiente = 15; grado relativo a: x = 6; grado absoluto = 9

b) Nombre F; coeficiente = (n+2); grado relativo a: x = n; grado relativo a: y = 4; grado absoluto = 7.


a) Nombre V; coeficiente = 15; grado relativo a: x = 7; grado relativo a y = 8; grado relativo a: z = 5.

b) Nombre C; coeficiente = (2b + 3); grado relativo a: x = 3; grado relativo a: y = b 2; grado relativo a: z = 5; grado absoluto = 16.

45. En cada uno de los siguientes monomios, determina su coeficiente, su parte literal, sus grados relativos a cada variable y su grado absoluto.

E(x,y,z) = -5x6y2z4 L(x,y,z) = 3x2y8z7 P(x,y,z) = 24x4y7z8 Q(x,y,z) = -8x5y4z3

46. Calcular el coeficiente del monomio:

(2)2m+n8x2m+1yn+2

Si su grado absoluto es 16 y su grado relativo a "y" es 5.


lgebra 60

47. En cada un

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