PRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPredavanje VIIj

dr Živojin Stamenković docentdr Živojin Stamenković, docent

Arhimendov zakon

• Arhimedov zakon: Jedna legenda govori da jeautor poznatog uzvika “Eureka!”, znameniti antičkimislilac Arhimed iz Sirakuze (287.‐212. god. prenove ere) od svojeg vladara tiranina Dionizijanove ere) od svojeg vladara, tiranina Dionizijadobio zadatak da odredi koliko u sastavu njegovekrune ima bakra, a koliko zlata, tako da ne rastavljakrune ima bakra, a koliko zlata, tako da ne rastavlja(oštećuje) krunu.

• Uzvik je navodno nastao dok se Arhimed brčkao ujkadi i kada mu je sinul ideja da je lakši dok jepotopljen u vodi negoli kad je napolju.

• Tragom rešavanja problema došao je do punovažnijeg zaključka, koji poznajemo kao znamenitiA hi d kArhimedov zakon.

Arhimendov zakon ‐ Sila uzgonag

• Sila uzgona je jednakatežini fluida istisnutogtežini fluida istisnutogtelom (težini istisnine),deluje vertikalno uvis iprolazi težištem istisnutezapremine (ne težištemtela).tela).

Arhimedov zakon plivanje telaArhimedov zakon‐plivanje tela

k č i l i k l• Ako se u tečnosti nalazi neko telozapremine V onda okolna tečnostd l j iti il dP dAdeluje pritisnom silom dP=pdAna svaku površinicu dA površi Apotpoljenog tela ili njegovog delapotpoljenog tela ili njegovog dela.

• Od interesa je odreditil j ć il i i k k jrezultujuću silu pritiska kojom

tečnost deluje na potpoljeno telo.• Horizontalne sile se uzajamnaoponištavaju pa je rezultujućah l l d k lhorizontalna sila jednaka nuli.

Arhimedov zakon‐plivanje telap j• Na donji deo tela deluje tečnostvertikalnom silom usmerenomnaviše čije je intenzitet:j j

N ji d t l d l j t č t1 1zP gV

• Na gornji deo tela deluje tečnostvertikalnom silom usmerenomnaniže:

1 2zP gV

• Razlika između ovih sila iznosi:

1 2 1 2z z zP P P g V V gV

Arhimedov zakon plivanje telaArhimedov zakon‐plivanje tela

• Sila koja je određena odnosi se na slučajpotpuno potopljenog tela i zapremina V jep p p p j g p jjednaka zapremini tela.

• Ova sila se naziva i sila potiska ili Arhimedova• Ova sila se naziva i sila potiska ili Arhimedovasila.

• Arhimed je ovaj zakon iskazao rečima: “Svakotelo potopljeno u tečnosti trpi silu koja jetelo potopljeno u tečnosti trpi silu koja jejednaka težini telom istisnute tečnosti”.

Određivanje sile potiskaj p• U bilo kojoj tački na površini telana dubini z ispod slobodnena dubini z ispod slobodnepovršine pritisak je određenizrazom:izrazom:

N ki i l dAp gz

• Na svaki usmereni element dApovršine A potpuno potpoljenogt l i V d l j iltela zapremine V deluje silapritiska dP=-pdA. Na celokupnupovršinu A tela deluje rezultujućapovršinu A tela deluje rezultujućasila pritiska okolne tečnosti:

A

P pdA

Određivanje sile potiskaj p

• Ako se na prethodni izraz primenu GausovaAko se na prethodni izraz primenu Gausova formula dobija se:

P d dV

• Iz izraza za pritisak na dubini z je:V

P gradp dV • Iz izraza za pritisak na dubini z je:

p p pd i j k k p p pgradp i j k gkx y z

V

P gk dV

P gVk

Dejstvo sila na potpoljeno teloj p p j• Silu potiska trpe va tela potpoljenau tečnosti ili gasnoj sredini.

• Napadna tačka ove sile je u težištuNapadna tačka ove sile je u težištuD zapremine potpoljenog tela.N t lj t l d l j i il G• Na potpoljeno telo deluje i sila GZemljine teže koja je takođevertikalna i usmerena naniže, anapadna tačka joj je u težištu telaC.

• Prva linija koja spaja tačke D i CPrva linija koja spaja tačke D i Cnaziva se osom plivanja

Analiza dejstva silaj

• G=P telo lebdi u tečnosti naG P telo lebdi u tečnosti nadubini na kojoj je ostvaren uslovjednakosti silaj

• G>P telo tone sve do nekepreprekeprepreke

• G<P telo izronjava sve dotledok se sila kojom tečnost delujedok se sila kojom tečnost delujena deo tela koji je potopljen neizjednači silom G Tada se kažeizjednači silom G. Tada se kažeda telo pliva na površinitečnosti.tečnosti.

Ravnoteža potpoljenog telap p j g

• Za ravnotežu potopljneogp p j gtela u tečnosti, poredjednakosti sila G i Pjednakosti sila G i P,potrebno je još da napadnatačka D potiska i težište Ctačka D potiska i težište Ctela leže na istoj vertikali.

• U suprotonom se javljaspreg sila koje okreću telospreg sila koje okreću telosve dok se tačke C i D nenađu na istoj vertikalinađu na istoj vertikali.

Stabilna ravnoteža• Da bi ravnoteža bila stabilnapotrebno je da centar potiska Dleži iznad težišta C tela, jer samou tom slučaju, pri izvođenju telaiz ravnotežnog položaja, nastalig p jspreg sila P i G vraća telo upočetni položaj.početni položaj.

• Ovo važi za potpuno potpoljenatela dok je uslov stabilnosti zatela dok je uslov stabilnosti zadelimično potopljena tela

l ž ijimnogo složeniji.

Stabilnost tela pri plivanjuStabilnost tela pri plivanju

• Najpre je neophodno definisati pojmoe vezane za plivanje tela.p j

• To su:P ši li j• Površina plivanja

• Dubina potapanjap p j• Osa inklinacije• Potpoljena zapremina

Stabilnost tela pri plivanjup p j

• Slobodna površ tečnosti ili• Slobodna površ tečnosti iliravan plivanja “seče” plovnibj k t tj d li ičobjekat tj. delimično

potopljeno telo po nekojšravnoj površi.

• Ta zamišljena presečnaj pravna površ zove sepovršina plivanja (označenpo š a p a ja (o ačena slici plavom bojom)

Stabilnost tela pri plivanjup p j

• Dubina potapanja ili gaz jeDubina potapanja ili gaz jerastojanje od slobodne površinedo najdublje tačke plovnogj j p gobjekta.

• Potopljena zapremina to jePotopljena zapremina to jezapremina dela tela koji senalazi u tečnosti (šrafirani deo).nalazi u tečnosti (šrafirani deo).

• Skoro svi plovni objekti imajuvertikalnu ravan simetrije Ovavertikalnu ravan simetrije. Ovase ravan sa površi plivanja sečepo uzdužnoj osi nazvanoj osapo uzdužnoj osi nazvanoj osainklinacije (upravno na crtež).

Stabilnost tela pri plivanjuStabilnost tela pri plivanju

• Delimično potopljeno telo tj. Plovni objekat je u stanju ravnoteže ako je sila potiska jednaka j j p jsili Zemljine teže (koja deluje na telo) i ako je pri tome osa plivanja vertikalnapri tome osa plivanja vertikalna.

• Takva ravnoteža može da bude:• Stabilna• Labilna• Labilna • Indiferentna

Vrste ravnotežaVrste ravnoteža

d l i bj k i d i ž• Kada se plovni objekt izvede iz ravnotežnogpoložaja (ako se npr. nakrene oko uzudužne ose

) i k il k j d l j bj k t ć jza ugao ) i ako sile koje deluju na objekat vraćajunjega u prvobitni položaj, onda je ravnotežastabilnastabilna.

• Ukoliko sile još više udaljavaju telo odž l ž j d j ž l bilravnotežnog položaja onda je ravnoteža labilna.

• Ukoliko se ne dešava ni vraćanje u prvobitnipoložaj niti udaljavanje od ovog, onda jeravnoteža indiferentna.

Ljuljanjej j j

• Plovni objekat nalazi se u indiferentnoj ravnotežij jkada se kreće translatorno u horizontalnom pravcuili kada se obrće oko vertikalne ose.

• Naprotiv, obrtanjem tela oko uzdužne horizontalneose (bočno ljuljanje) i oko poprečne ose koja stoji( j j j ) p p j jupravno na uzdužnoj osi u ravni plivanja (uzdužnoljuljanje) menja se u opštem slučjau i veličina ioblik potpoljenog dela tela, te se samim tim,premešta i centar potiska potopljene zapremine.

• Stabilnost plovnog objekta najmanja je u odnosuna uzdužnu osu, odnosno u odnosu na bočno,ljuljanje, te se ova stabilnost uglavnom i proverava.

Provera stabilnosti

• Ako se plovni objekat obrne za• Ako se plovni objekat obrne zamali ugao oko oseinklinacije O O onda težišteinklinacije O-O onda težišteobjekta ostaje u istoj tački,dok se centar potiska iz Ddok se centar potiska iz Dpremešta u D’.

• U novom položaju vertikalni• U novom položaju vertikalnipravac sile potiska P’ seče osuuzdužnog preseka objekta uuzdužnog preseka objekta utački M koja se nazivametacentarmetacentar.

Provera stabilnostiProvera stabilnosti

• Zbog simetričnosti plovnog objekta, intenzitet sile potiska u starom i novom položaju se ne menja, jer su zapremine potpoljenog dela i izronjenog del međusobno jednake.j

• Iz ovod uslov sledi da važi:'P P V

• Prema tome pri obrtnju tela oko uzdužne ose sila 'P P gV

potiska se ne menja po intenzitetu, ali deluje u drugoj tački, pa sa silom Zemljine teže obrazuje g j p j jspreg koji nastoji da obrne telo oko uzdužne ose.

Položaj metacentraj

• Da bi se telo vratilo u• Da bi se telo vratilo uprvobitni položaj, odnosnoda bi ravnoteža bila stabilnada bi ravnoteža bila stabilnaneophodno je dametacentar M bude iznadmetacentar M bude iznadtežišta C tela.

• Rastojanje od centra• Rastojanje od centrapotiska D do metacentra Mnaziva se metacentričninaziva se metacentričnipoluprečnik i označava se sarr.

Položaj metacentraj• Ako se sa obeleži rastojanjetačaka D i C onda međusobnitačaka D i C, onda međusobnipoložaj ovih rastojanjaodređuje vrstu ravnotežejdelimično potoljenog tela.

• Za slučaj r> ravnoteža jej jstabilna.

• Ako je r= ravnoteža jeindiferentna, jer nema obrtnogmomenta koji bi vratio telo uprvobitni položajprvobitni položaj

• Ako je r> metacentar ležiispod težišta ravnoteža jeispod težišta, ravnoteža jelabilna (nestabilna).

Određivanje metacentričkog poluprečnikaOdređivanje metacentričkog poluprečnika

k bi i ili h d i k i ij i b• Kako bi se primenili prethodni kriterijumi trebaizračunati veličinu poluprečnika r, pošto se dsmatra poznatom veličinom (određuje se premapravillima statike krutog tela).

• Za male uglove , do 15o, može se smatrati dacentar potiska opisuje kružni luk okop p jmetacentra M za koji se pretpostavlja da jenepomičan.nepomičan.

• Za veće uglove ova pretpostavka ne važi.

Određivanje metacentričkog poluprečnikaOdređivanje metacentričkog poluprečnika• Sa x1 i x2 označimo horizontalna1 2

rastojanja sile potiska u starom inovom položaju od uzdužne osekroz tačku O.

• Ad i Al označavaju desni i levid ši li j k jideo površine plivanja koji suusled simetrije međusobnojednakijednaki.

• Ako A označava celokupnupovršinu plivanja iz momentnepovršinu plivanja iz momentnejednačine se dobija:

g I 2

1 2A

g Ix x x dAP V

Određivanje metacentričkog poluprečnikaOdređivanje metacentričkog poluprečnika

U th d j j d či i I j• U prethodnoj jednačini I je moment inercije celokupne površine plivanja za uzdužnu osu plovnog objekta.

• Sa slike sledi relacija:sinx x r r

• Iz dobijenih izraza sledi:1 2 sinx x r r

IrV

V

Metacentrički poluprečnikMetacentrički poluprečnik

j d ičk l č ik• Brojna vrednost metacentričkog poluprečnika nezavisi od ugla a, što ne važi za veće vrednosti ovog

lugla.• Najmanjem poluprečniku (pri istoj potopljenojzapremini) odgovara najmanji moment inercije.

• Kod plovnih objekata obično je najmanji momentinercije za uzdužnu osu koja prolazi kroz O.

• Provera stabilnosti prema uzdužnoj osi garantujep j g jstabilnost plovnog objekta i prema bilo kojojdrugoj osi.g j