Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ing...
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Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di MilanoA.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Ing. Elettronica Ing. TelecomunicazioniTema n°1
ú ú(barrare il proprio corso)
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
Equazioni differenziali
1.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C B � $C B � %C B œ !Þww wa b a b a bb) Determinare una soluzione particolare dell'equazione
C B � $C B � %C B œ &/ Þww w %Ba b a b a b �
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 1_________________________________________________________________________________
2
2. Si consideri l'equazione differenziale:
C œ ÞC
#B � "w
#
a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.
b. Risolvere il problema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale
C œ "Þa b!c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è
definita.
Curve e integrali di linea
3. Calcolare il momento d'inerzia di una linea materiale omogenea rappresentata da una
circonferenza di raggio e massa , rispetto a un asse passante per un punto dellaV Qcirconferenza e perpendicolare al piano che la contiene.(Prestare particolare cura nell'impostazione dell'esercizio, scrivendo esplicitamente le equazioni parametriche
della curva in un opportuno riferimento e indicando qual è l'asse di rotazione in questo riferimento).
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 1_________________________________________________________________________________
3
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale , oppurejdimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati.
lima b a bBßC Ä !ß!
# #
% # %Œ �BC � $CB
B � C � &C
5. Sia 0 À ‘ ‘8 Ä definita da
0 œ ß − Ï !ß ! Þa b k k a bB B Blog# 8 per ‘
a. Calcolare per `0`B3a bB 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 8Þ
b. Detta un arco di curva regolare, calcolare , dove è la< <a b c da ba b> À M Ä 0 > 0‘8 ..>
funzione del punto , e semplificare l'espressione ottenuta.a
c. Applicare la formula trovata al punto b alla curva data da< À !ß " Äa b ‘$
<a b a b> œ > >ß > >ß >cos sin
e semplificare l'espressione trovata.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 1_________________________________________________________________________________
4
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 Bß C œ / #BC � Ca b ˆ ‰�B ##
1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di MilanoA.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Ing. Elettronica Ing. TelecomunicazioniTema n°2
ú ú(barrare il proprio corso)
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
Equazioni differenziali
1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C B � $C B œ #BÞww wa b a bb) Risolvere il problema di Cauchy:
ÚÛÜ
a b a ba ba bC B � $C B œ #BC ! œ !
C ! œ Þ
ww w
w "$
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 2_________________________________________________________________________________
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2. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C � œ Þ#BC "
" � B Bw
#
b) Risolvere il problema di Cauchy:
œ a bC � œ
C " œ #
w #BC"�B B
"#
precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del problema.
Curve e integrali di linea
3. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva piana la cui equazione in forma polare è:
3 * 1*
œ ß − !ß # Þ#
Œ � c dsin
#
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3
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Sia l'insieme di definizione della funzioneI © ‘#
0 Bß C œ" � B � %C
C Ba b a blog
sin
# #
.
Dopo aver determinato analiticamente l'insieme ed averlo disegnato, dire se:I
I ú ú I ú ú è aperto SI' NO è chiuso SI' NO
I ú ú I ú ú è limitato SI' NO è connesso SI' NO
5. Data la funzione
0 Bß C œBß C
! Bß C œ !ß ! Þa b ā a ba b a b
B C�#B �#BCB �C �B C
$ $ #
# # # # per
per
Á !ß !a b1) Stabilire se è continua o meno nell'origine.02) Stabilire se è derivabile o meno nell'origine.03) Stabilire se è differenziabile o meno nell'origine.0(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 2_________________________________________________________________________________
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6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 Bß C œ B C B � C � "a b a b#
1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di MilanoA.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Ing. Elettronica Ing. TelecomunicazioniTema n°3
ú ú(barrare il proprio corso)
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
Equazioni differenziali
1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C B � #C B œ !Þwwa b a bb) Determinare una soluzione particolare dell'equazione
C B � #C B œ $/ #BÞww �Ba b a b sin
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 3_________________________________________________________________________________
2
2. Risolvere il problema di Cauchy:
ā ˆ ‰C œ
C œ
w BC
# '
sincos
1 1
e precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è
definita.
Curve e integrali di linea
3. Calcolare l'integrale di linea
( È#
D.=
dove l'arco di curva: .# 1 è
ÚÛÜB œ > >C œ > >
D œ >>
cos
sin#
− !ß #c d
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 3_________________________________________________________________________________
3
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale , oppurejdimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati.
limlog
sina b a bBßC Ä !ß! # # #
B " � BC
B B � #CÞ
a b
5. Data la funzione
0 Bß C œBß C
! Bß C œ !ß ! Þa b ā a ba b a b
#BCB �C
2
# % per
per
Á !ß !a b1) Calcolare la derivata direzionale di nell'origine rispetto al generico versore0a bcos* *ß sin Þ2) Stabilire se nell'origine vale la formula del gradiente.
3) Stabilire se è differenziabile o meno nell'origine.0(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 3_________________________________________________________________________________
4
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 Bß C œ / #C � B � %Ba b ˆ ‰�C # #
1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
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Politecnico di MilanoA.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Ing. Elettronica Ing. TelecomunicazioniTema n°4
ú ú(barrare il proprio corso)
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
Equazioni differenziali
1.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C B � 'C B � *C B œ !Þww wa b a b a bb) Risolvere il problema di Cauchy:
ÚÛÜ
a b a b a ba ba bC B � 'C B � *C B œ !C ! œ #C ! œ "Þ
ww w
w
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 4_________________________________________________________________________________
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2. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C � œ " � B Þ#C
" � Bw #
#
b) Risolvere il problema di Cauchy:
œ a bC � œ " � B
C ! œ "
w ##C"�B#
precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del problema.
Curve e integrali di linea
3. Calcolare l'integrale di linea
(#
C.=
dove # 1 è l'arco di sinusoide per C œ B B − !ß Þsin c d
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Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Sia l'insieme di definizione della funzioneI © ‘#
0 Bß C œ"
" � B � Ca b a ba blog log #
.
Dopo aver determinato analiticamente l'insieme ed averlo disegnato, dire se:I
I ú ú I ú ú è aperto SI' NO è chiuso SI' NO
I ú ú I ú ú è limitato SI' NO è connesso SI' NO
5. Data la funzione
0 Bß C œBß C
! Bß C œ !ß ! Þa b ā a ba b a b
B �CB �C
' '
# % per
per
Á !ß !a b1) Stabilire in quali punti del piano è derivabile, calcolando esplicitamente le derivate in
tal caso (semplificare le espressioni trovate!);
2) Stabilire in quali punti del piano è differenziabile;
(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 4_________________________________________________________________________________
4
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 Bß C œ BC B � C � "a b a b#
1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di MilanoA.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Ing. Elettronica Ing. TelecomunicazioniSvolgimento Tema n°1
ú ú(barrare il proprio corso)
Equazioni differenziali
1.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C B � $C B � %C B œ !Þww wa b a b a bb) Determinare una soluzione particolare dell'equazione
C B � $C B � %C B œ &/ Þww w %Ba b a b a b �
a)
! !# � $ � % œ !
a ba b! !� " œ !à œ "ß Þ! !� % œ �%
Integrale generale dell'omogenea:
D B œ - / � - / Þa b " #B �%B
b) Poiché il termine noto è soluzione dell'omogenea, cerchiamo una soluzione particolare
dell'equazione nella forma
C B œ EB/a b �%B
C œ E/w �%Ba b�%B � "
C œ E/ "'ww �%Ba bB � )
E/ "' � $ � %B œ &/�%B %Bc da b a bB � ) �%B � " �
�& �"E œ &àE œ
C B œ B/a b � �%B
2. Si consideri l'equazione differenziale:
C œ ÞC
#B � "w
#
a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.
b. Risolvere il problema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale
C œ "Þa b!
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2
c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è
definita.
a. Soluzioni costanti: Per C œ !Þ C Á !ß
.C .B " "
C #B � " C #œ à � œ #B � " � -
# logk k
C œ �"
#B � " � -"# logk k
b. " œ C ! œa b � à - œ �"Þ"
-
C B œ"
" �a b "
# logk k#B � "
poiché dev'essere B Á � #B � " Á #ß B Á" �"„/# # e cioè , la soluzione è definitalogk k #
nell'intervallo:
Œ �� ß Þ" / � "
# #
#
Curve e integrali di linea
3. Calcolare il momento d'inerzia di una linea materiale omogenea rappresentata da una
circonferenza di raggio e massa , rispetto a un asse passante per un punto dellaV Qcirconferenza e perpendicolare al piano che la contiene.(Prestare particolare cura nell'impostazione dell'esercizio, scrivendo esplicitamente le equazioni parametriche
della curva in un opportuno riferimento e indicando qual è l'asse di rotazione in questo riferimento).
Circonferenza passante per l'origine:
<a b a b* * * * 1œ V �V ßcos ß V − !ß #sin c dAsse di rotazione: l'asse , quindi la distanza del punto dall'asse è la sua distanzaD
dall'origine nel piano :a bBß C
M œ B � C .= œ V " � �Q Q
P #( (ˆ ‰ ’ “a b#
1# # # #
!
##
1* * *
VV. œcos sin
œ # " � # %QV QV QV
# # #
# # #
! !
# #
1 1 1* * * 1( (a b1 1
cos . œ . œ œ #QV Þ#
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale , oppurejdimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati.
lima b a bBßC Ä !ß!
# #
% # %Œ �BC � $CB
B � C � &C
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3
BC � $CB BC $CB
B � C � &C B � C � &C B � C � &Cœ � ´ 0 Bß C � 1 Bß C Þ
# # # #
% # % % # % % # %a b a b
k k k ka b º º k k0 Bß C œ Ÿ œ B Ä !
BC B C
B � C � &C C
# #
% # % #,
perciò 0 Bß C Ä !Þa b1 Bß B œ
$B
B � 'Ba b $
# %µ $B Ä !à
1 Bß B œ Ä Þ$B $
#B � &B #ˆ ‰# %
% )
Perciò non esiste il limite di , e pertanto neanche il limite di partenza.1
5. Sia 0 À ‘ ‘8 Ä definita da
0 œ ß − Ï !ß ! Þa b k k a bB B Blog# 8 per ‘
a. Calcolare per `0
`B3 œ "ß #ß ÞÞÞß 8Þ
3a bB
b. Detta un arco di curva regolare, calcolare<a b> À M Ä ‘8
.
.>0 >a ba b<
dove è la funzione del punto a, e semplificare l'espressione ottenuta.0c. Applicare la formula trovata al punto b alla curva data da< À !ß " Äa b ‘$
<a b a b> œ > >ß > >ß >cos sin
e semplificare l'espressione trovata.
Attenzione: i primi due punti di questo esercizio sono ambientati in con qualsiasi.‘8 8Vanno quindi svolti per qualsiasi (e non per o ), usando le opportune notazioni.8 8 œ # $
a.` # B #B
`Bœ † œ Þ
3
# 3 3
#ˆ ‰k k k k k kk k k k k klog
log logB
B B
B B B
b.
. #< > > # >
.>0 > œ f0 > † > œ < > œ < > < > Þ
> >a b a b a b a b a b a ba b a b " "a b k k k ka b a b
k k k ka b a b< < << <
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3œ" 3œ"
8 83
# #w w3 33
log log
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.>0 > œ < > < >
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<a b a b> œ > >ß > >ß > àcos sin
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4
k ka b È È< > œ #> œ > #à#
<wa b a b> œ > � > >ß > � > >ß "cos sin sin cos
" a b a b a b a b3œ"
$
3w3< > < > œ > > > � > > � > > > � > > � > œ #>Þcos cos sin sin sin cos
. # > � #
.> #> > >0 > œ #> œ œ Þ
# > # # > #a ba b Š ‹ Š ‹È È<
log log log log#
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 Bß C œ / #BC � Ca b ˆ ‰�B ##
ā a b a ba ba b a b0 œ / #BC � C � #C œ #C/ �#B � BC � " œ !
0 œ / #B � #C œ #/ B � C œ !ÞB
�B # �B #
C�B �B
# #
# #
�#B
I punti stazionari sono:
a b a b a b!ß ! à "ß " à �"ß�" Þ
Matrice hessiana:
L0 Bß C œ / Þ#C �'B � %B � C � #B C # � %B � %BC
# � %B � %BCa b Œ �a b a ba b�B
$ # #
#
#
�#
L0 !ß ! œ !ß !!a b a bŒ �## �#
indef.; punto di sella
L0 "ß " œ / "ß "�'a b a bŒ ��" ## �#
def. neg. punto di max. rel.
L0 "ß " œ / "ß "�'a b a bŒ �� � � �
## �#
�" def. neg. punto di max. rel
1
Es. Punti
1
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3
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5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di MilanoA.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Ing. Elettronica Ing. TelecomunicazioniSvolgimento Tema n°2
ú ú(barrare il proprio corso)
Equazioni differenziali
1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C B � $C B œ #BÞww wa b a bb) Risolvere il problema di Cauchy:
ÚÛÜ
a b a ba ba bC B � $C B œ #BC ! œ !
C ! œ Þ
ww w
w "$
a) Soluzione omogenea:
!# � $ œ !!
! œ !à! œ �$
Integrale generale dell'omogenea:
D B œ - � - / Þa b " #�$B
Soluzione particolare della non omogenea: cerco
C B œ EB � FBàa b #
C B œ #EB � Fà C B œ #w wwa b a b EÞ
#E � $ #EB � F œ #Ba b Þ
ā ā#E � $F œ !'E œ #
E œ
F œ
"$
� #*
Integrale generale:
C B œ - � - / � B B"
$a b " #
�$B # � Þ#
*
b) Soluzione del problema di Cauchy:
C B œ - / � B#
$w �$B
#a b � �#
*
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 2_________________________________________________________________________________
2
œ a ba bC ! œ - � - œ !
C ! œ -- œ
" #w
##�$ �
� à - œ Þ& &
#( #(#*
"œ "$
C B œ " � / � B B"
$a b & #
#( *� Þa b�B #
2.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C � œ Þ#BC "
" � B Bw
#
b) Risolvere il problema di Cauchy:
œ a bC � œ
C " œ #
w #BC"�B B
"#
precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del problema.
+ B œ àa b #B"�B#
E B œ + B .B œ " � Ba b a b a b' log #
C œ - � " � B .B œ - � B � Þ" " " B
" � B B " � B ## ##
#œ � œ �( ˆ ‰ k klog
b)
# œ C " œ - � à - œ à" " (
# # #a b œ �
C œ � B � B" ( B
" � B # ##
#œ �log per − !ß_ Þa b
Curve e integrali di linea
3. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva piana la cui equazione in forma polare è:
3 * 1*
œ ß − !ß # Þ#
Œ � c dsin
#
3* *w œ à# #
sin cos
.= œ � . œ � . œ .# # # #
É ËŒ � Œ �3 3 * * ** * * *
# w#% #
sin sin cos sinº º
P œ ( º º!
#1 11
sin sin cos*
*#. œ # >.> œ # � > œ %Þ( c d
!!
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 2_________________________________________________________________________________
3
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Sia l'insieme di definizione della funzioneI © ‘#
0 Bß C œ" � B � %C
C Ba b a blog
sin
# #
.
Dopo aver determinato analiticamente l'insieme ed averlo disegnato, dire se:I
I ú ú I ú ú è aperto SI' NO è chiuso SI' NO
I ú ú I ú ú è limitato SI' NO è connesso SI' NO
I œ Bß C Þ˜ ™a b − À B � %C 8 "à B Á !ß C Á !‘# # #
I ú I ú è aperto SI' NO è chiuso SI' NO ú úX XI ú I ú è limitato SI' NO è connesso SI' NO ú úX X
5. Data la funzione
0 Bß C œBß C
! Bß C œ !ß ! Þa b ā a ba b a b
B C�#B �#BCB �C �B C
$ $ #
# # # # per
per
Á !ß !a b1) Stabilire se è continua o meno nell'origine.02) Stabilire se è derivabile o meno nell'origine.03) Stabilire se è differenziabile o meno nell'origine.0(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
1) Proviamo che
lima b a bBßC Ä !ß!0 Bß C œ !Þa b
k ka b k k k k k k k k k k k k0 Bß C Ÿ Ÿ œ
B C � # B � # B C B C � # B � # B C
B � C � B C B � C
$ # $ #$ $
# # # # # #
œ � � ´ 0 � 0 � 0 ÞB C # B # B C
B � C B � C B � C
k k k k k k$ #
# # # # # #
$
" # $
Ora: è positivamente omogenea di grado , è positivamente omogenea di grado , 0 # 0 " 0" # $
è positivamente omogenea di grado , sono tutte continue fuori dall'origine, quindi ciascuna"delle tre tende a per . Per il teorema del confronto anche , quindi! Bß C Ä !ß ! 0 Bß C Ä !a b a b a bè continua.
2)
0 Bß ! œa b � œ �#Bà !ß ! œ �#Þ#B `0
B `B
$
#a b
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 2_________________________________________________________________________________
4
0 !ß C œ !àa b `0
`C!ß ! œ !Þa b
In particolare, è derivabile nell'origine.03) differenziabile nell'origine se e solo se:0
0 Bß C � #B
B � CÄ ! Bß C Ä !ß ! Þ
a bÈ a b a b# #
per
» » » »a bÈ È Èâ ââ ââ ââ ââ ââ â a b0 Bß C � #B B C � #B C
B � C B � C B � C � B C B � Cœ œ œ
� #B
# # # # # # # # # #
B C�#B �#BCB �C �B C
$ $ #$ $ #
# # # #
Ÿ Ÿ œB C � # B C B C � # B C
B � C � B C B � C B � C
k k k k k k k ka bÈ a b$ # $ #$ $
# # # # # # # # $Î#
œ � ´ 1 � 1 ÞB C # B C
B � C B � C
k k k ka b a b
$ #
# # # #$Î# $Î#
$
" #
Ora: è positivamente omogenea di grado , è positivamente omogenea di grado 2,1 " 1" #
quindi entrambe tendono a zero. Per il teorema del confronto, il limite desiderato è zero, e è0differenziabile nell'origine.
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 Bß C œ B C B � C � "a b a b#
œ a ba b0 œ $B C � #BC � #BC œ BC $B � #C � # œ !
0 œ B � #B C � B œ B B � #C � " œ !ÞB
# #
C$ # # #
I punti stazionari sono:
a b a bŒ ��" � ß" "
# %ß ! à à !ß C Þe la retta !
Matrice hessiana:
L0 Bß C œ Þ#C " � $B � C B # � $B � %C
B # � $B � %Ca b Œ �a b a ba b �#B#
L0 ß ! œ ß !!a b a bŒ ��" �"
"" �#
indef.; punto di sella
L0 œŒ � Œ �� �� ß � ß" " " "
# % # %
�
�
$)
"%
" "% #
def. neg. punto di max. rel.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 2_________________________________________________________________________________
5
L0 !ß C œ !ß C#C " � Ca b a bŒ �a b
! !! ! !! !
semidef. casi dubbi.
Studiamo i punti della retta mediante il segno, poiché .B œ ! 0 !ß C œ !a b!Lo studio del segno ci dice che:
i punti per e per sono punti di massimo relativo (perché in queia b!ß C C ā " C 8 !! ! !
punti è nulla e in un intorno è negativa);0per sono punti di minimo relativo (perché in quei punti è nulla e in un! 8 C 8 " 0!
intorno è positiva);
i punti e sono di sella (perché in quei punti è nulla e in ogni intorno cambiaa b a b!ß ! !ß " 0di segno).
1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di MilanoA.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Ing. Elettronica Ing. TelecomunicazioniSvolgimento Tema n°3
ú ú(barrare il proprio corso)
Equazioni differenziali
1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C B � #C B œ !Þwwa b a bb) Determinare una soluzione particolare dell'equazione
C B � #C B œ $/ #BÞww �Ba b a b sin
a)
!# � # œ !
! œ „3 #ÈIntegrale generale dell'omogenea:
D B œ - #B � - #B Þa b Š ‹ Š ‹È È" #cos sin
b)
$/ #B œ $/�B B �"�#3sin Imˆ ‰a bCerchiamo una soluzione particolare dell'equazione complessa
A � #A œ $/ww B �"�#3a bdella forma
A B œ E/a b B �"�#3a b
A œ E � " � #3 /ww B �"�#3#a b a b
E/ � " � #3 � # œ $/B �"�#3 B �"�#3#a b a b’ “a bE œ œ $ œ
$ $
" � "' "(�" � %3
�" � %3�" � %3
a b a b
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 3_________________________________________________________________________________
2
A B œ / œ / #B � 3 #B$ $
"( "(a b a b a ba b�" � %3 �" � %3B �"�#3 �Ba b cos sin
C B œ A B œ / #B � % #B$
"(a b a b a bIm �B �sin cos
2. Risolvere il problema di Cauchy:
ā ˆ ‰C œ
C œ
w BC
# '
sincos
1 1
e precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è
definita.
Risolviamo l'equazione a variabili separabili:
( (cos sinC.C œ B.B
sinC œ � B � -cos
Imponiamo la condizione iniziale:
sin1 1
' #� � -œ cos
"
#œ -
sin cosC œ � BÞ"
#
Devo risolvere l'equazione in , quando varia in un intorno di C B B œ 1# . La condizione
�" Ÿ � Ÿ B Ÿ � Ÿ B Ÿ" $ # #
# # $ $
"
#� B Ÿ "cos dà cos , quindi .1 1
In questo intervallo risulta
C B œ � 8 B 8# #
$ $a b Œ �arcsin
"
#� Bcos per 1 1
(negli estremi dell'intervallo la funzione arcsin non è derivabile).
Curve e integrali di linea
3. Calcolare l'integrale di linea
( È#
D.=
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 3_________________________________________________________________________________
3
dove l'arco di curva:# è
ÚÛÜB œ > >C œ > >
D œ >>
cos
sin#
− !ß #c d1 .
<wa b a b> œ > � > >ß > � > >ß #>cos sin sin cos
k k a b a b a ba b É<w # # #> œ > � > > � > � > > � #> .> œcos sin sin cos
œ " � &> .>ÞÈ #
( (È È ” •ˆ ‰#
1 1
D.= œ > " � &> .> œ " � &> œ"
"&!
## # $Î#
!
#
œ " � #! � " Þ"
"&’ “ˆ ‰1#
$Î#
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale , oppurejdimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati.
limlog
sina b a bBßC Ä !ß! # # #
B " � BC
B B � #CÞ
a b
Calcoliamo il limite di qualche restrizione.
0 Bß B œB " � B
B B � #Ba b a blog
sin
#
# # #µ µ œ Ä !Þ
B † B B B
B � #B #B #
# $
% # #
0 Bß B œ œ ÞB " � B B B "
B B � #B B � #B $ˆ ‰ a b#
$ $
# # % % %
log
sinµ
†
Poiché restrizioni di lungo curve diverse hanno limiti diversi, il limite di partenza non0esiste.
5. Data la funzione
0 Bß C œBß C
! Bß C œ !ß ! Þa b ā a ba b a b
#BCB �C
2
# % per
per
Á !ß !a b1) Calcolare la derivata direzionale di nell'origine rispetto al generico versore0a bcos* *ß sin Þ2) Stabilire se nell'origine vale la formula del gradiente.
3) Stabilire se è differenziabile o meno nell'origine.0(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 3_________________________________________________________________________________
4
1.
1 > œ 0 > œ œ > Ä !ß#> #> #>
> � > � >a b a bcos
cos cos
cos sin cos sin cos* *
* * * * *
* * * * *ß > µsin
sin sin sin$
# # % % # # %
# # #
per
purché sia cos cos* *Á Á0. Per 0 si ha
H 0 !ß ! œ 1 ! œa bcos sin* *ßw
#a b a b #à
sin *
*cos
per è e cos* œ ! 1 > ´ ! H 0 !ß ! œ !Þa b a ba b0 1ß„
2. La formula del gradiente non vale nell'origine perché la generica derivata direzionale
non è combinazione lineare di .cos sin* *ß3. Pertanto non è differenziabile nell'origine.0
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 Bß C œ / #C � B � %Ba b ˆ ‰�C # #
œ a b a ba b0 œ / #B � % œ #/ B � # œ !
0 œ / #C � B � %B � %C œ !ÞB
�C �C
C�C # #�
I punti stazionari sono:
Š ‹�#ß " Þ„ $ÈMatrice hessiana:
L0 Bß C œ / Þ# % � #B
% � #Ba b Œ �a ba b�C �
� %B � B � # # � %C � C# #a bL0 �#ß " œ / �#ß "
#Š ‹ Š ‹Œ �� $ � $!
! �% $È ÈÈ� "Š ‹� $È
indef.; punto di sella
L0 �#ß " œ / �#ß "#Š ‹ Š ‹Œ �� $ � $
!
! % $È ÈÈ�"� $È def. pos.; punto di min. rel.
1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di MilanoA.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Ing. Elettronica Ing. TelecomunicazioniSvolgimento Tema n°4
ú ú(barrare il proprio corso)
Equazioni differenziali
1.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C B � 'C B � *C B œ !Þww wa b a b a bb) Risolvere il problema di Cauchy:
ÚÛÜ
a b a b a ba ba bC B � 'C B � *C B œ !C ! œ #C ! œ "Þ
ww w
w
a)
! !# � ' � * œ !
! œ �$
Integrale generale:
C B œ / - B � - Þa b a b�$B" #
b)
C B œ / - B � $- � -w �$B" # "a b a b�$
œ a ba bC ! œ - œ #C ! œ
#w �$- � - œ "# "
- œ #à - œ (# "
C B œ / (B � # Þa b a b�$B
2. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
C � œ " � B Þ#C
" � Bw #
#
b) Risolvere il problema di Cauchy:
œ a bC � œ " � B
C ! œ "
w ##C"�B#
precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del problema.
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2
a).
+ B œ àa b #"�B#
E B œ + B .B œa b a b' ˆ ‰log "�B"�B
C œ - � " � B .B œ - � " � B .B œ" � B " � B " � B
" � B " � B " � BŒ �œ � Œ �œ �( (Œ �ˆ ‰ a b# #
œ - � Þ" � B " � B
" � B $Œ �ā Ÿa b $
b) " œ C ! œ - � à - œ à" #
$ $a b œ �
C œ � B" � B # " � B
" � B $ $Œ �ā Ÿa b $
per − �"ß "a bperché è il più ampio intervallo contenente , in cui la soluzione e i coefficientia b�"ß " B œ !!
dell'equazione sono definiti.
E' accettabile anche la risposta "per B − �"ß_a b" in quanto la soluzione è definita in
questo intervallo; in la soluzione si annulla, il denominatore del coefficiente siB œ " + Ba bannulla ma, nel senso dei limiti, l'equazione è ancora soddisfatta.
Curve e integrali di linea
3. Calcolare l'integrale di linea
(#
C.=
dove # 1 è l'arco di sinusoide per C œ B B − !ß Þsin c d.= œ " � 0 B .B œ " � B.BÉ a b Èw ##
cos
( (#
1
C.= œ B!
sin È c d" � B.B œ B œ >cos cos#
œ � " � > .> œ " � > .> œ # " � > .> œ > œ ?( ( (È È È c d" �" !
�" " "# # # Sh
œ # ?.? œ ? ? � ? œ # � "( c d È!
"#
!"
SettShSettSh
Ch Sh Ch SettSh .
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 4_________________________________________________________________________________
3
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Sia l'insieme di definizione della funzioneI © ‘#
0 Bß C œ"
" � B � Ca b a ba blog log #
.
Dopo aver determinato analiticamente l'insieme ed averlo disegnato, dire se:I
I ú ú I ú ú è aperto SI' NO è chiuso SI' NO
I ú ú I ú ú è limitato SI' NO è connesso SI' NO
I œ Bß C Þ˜ ™a b − À ! 8 B � C 8 " " 8 B � C 8 /‘# # # o
I ú I ú è aperto SI' NO è chiuso SI' NO ú úX XI ú I ú è limitato SI' NO è connesso SI' NO ú úX X
5. Data la funzione
0 Bß C œBß C
! Bß C œ !ß ! Þa b ā a ba b a b
B �CB �C
' '
# % per
per
Á !ß !a b1) Stabilire in quali punti del piano è derivabile, calcolando esplicitamente le derivate in
tal caso (semplificare le espressioni trovate!);
2) Stabilire in quali punti del piano è differenziabile;
(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
1) Fuori dall'origine è certamente derivabile. Calcoliamo:0
`0
`Bœ œ'B B � C � #B B � C
B � C B � C
%B � 'B C � #BC& # % ' '
# % # %# #
( & % 'ˆ ‰ a ba b a b
`0
`Cœ œ'C B � C � %C B � C
B � C B � C
'B C � #C � %B C& # % $ ' '
# % # %# #
# & * ' $ˆ ‰ a ba b a b
Nell'origine:
0 Bß ! œ B à Bß ! œ %B à !ß ! œ !àa b a b a b% $`0 `0
`B `B
0 !ß C œ C à !ß C œ #Cà !ß ! œ !Þa b a b a b# `0 `0
`C `C
2) Le derivate parziali calcolate al punto precedente sono evidentemente continue fuori
dall'origine, quindi 0 − G Ï !ß !" #a ba b‘ e pertanto è differenziabile fuori dall'origine.
Studiamo la differenziabilità nell'origine.
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4
0 !ß ! differenziabile in se e solo sea b0 Bß C
B � CÄ ! Bß C Ä !ß ! Þ
a bÈ a b a b# #
per
» »a bÈ È0 Bß C
B � C B � Cœ œ
# # # #
B � C
B � C
' '
# %a bœ � Ÿ �
B � C B � C CB
B C B C
B � C B � C CBœ B � C Ä !
' ' ' '
# % # % %#
$a b a b ¸ ¸ k kÈ È È È# # # # ##
per . Per il teorema del confronto, anche , e è differenziabilea b a bBß C Ä !ß ! Ä ! 00 BßC
B �C
a bÈ # #
nell'origine.
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 Bß C œ BC B � C � "a b a b#
œ a ba b0 œ C œ !0 œ BC œ !ÞB
#
C
�" � #B � C�# � #B � $C
I punti stazionari sono:
a b a bŒ �!ß " à à B ß ! Þ" "
% #ß e la retta !
Matrice hessiana:
L0 Bß C œ Þ#C C
C #Ba b Œ �a ba b a b
# �# � %B � $C�# � %B � $C �" � B � $C
L0 !ß " œ !ß "# "!
a b a bŒ �" indef.; punto di sella
L0 œŒ � Œ �� �" " " "
% # % #ß ß
" "# %"%
$)
def. pos. punto di min. rel.
L0 B ß ! œ B ß !!#B
a b a bŒ �a b! !!
!! �" � B!
semidef. casi dubbi.
Studiamo i punti della retta mediante il segno, poiché .C œ ! 0 B ß ! œ !a b!
Lo studio del segno ci dice che:
i punti per e per sono punti di minimo relativo (perché in quei puntia bB ß ! B ā " B 8 !! ! !
0 è nulla e in un intorno è positiva);
per sono punti di massimo relativo (perché in quei punti è nulla e in un! 8 B 8 " 0!
intorno è negativa);
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 4_________________________________________________________________________________
5
i punti e sono di sella (perché in quei punti è nulla e in ogni intorno cambiaa b a b!ß ! !ß " 0di segno).