Prezentacija mr Maja Petrovic

ЈАЈАСТЕ КРИВЕ И ГЕНЕРАЛИЗАЦИЈА ХУГЕЛШЕФЕРОВЕ КОНСТРУКЦИЈЕЦ

Магистарска теза

Маја М. ПетровићМаја М. Петровић

септембар 2o1o Београд

Јајасте равне криве –Увод

ВЕ

Јајасте равне криве, њихова геометријска структура, генеза као и примена у инжењерствујесу предмет овог рада. Ове затворене, конвексне и континуалне криве се могу појединачнокласификовати по геометријским својствима, по реду и разреду. Оне могу иматиј ј ј Л

ШЕФ

ЕРО

једнозначан математички запис, а могу настати спајањем кружних лукова, пројицирањемпросторних кривих на раван или неку геометријску површ, могу бити равни пресеци некихобртних површи или светлосних цилиндара и конуса јер су сенке неких површи.

Криве јајастог облика су биле предмет и Њутновог изучавања У његовој класификацији ЈА

ХУГ

ЕЛ

Криве јајастог облика су биле предмет и Њутновог изучавања. У његовој класификацијикривих трећег реда налази се и кубна крива са јајастим делом коју је касније,планиметријском конструкцијом помоћу два неконцентрична круга описао немачкиматематичар Фриц Хугелшефер (Fritz Hügelschäffer, 1948.). Ова крива има јасно дефинисану

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

конструкцију, математичку формулу и примену у авиоинжењерству. У раду се разматра ипроширење Хугелшеферове конструкције, како би се сагледале још неке врсте и типовисродних јајастих кривих.

Р ј б ј ј ј ј б И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

Равна крива чији облик наликује контури јајета је била предмет изучавања многихматематичара, физичара, астронома и уметника:

КРИ

ВЕ

И

Албрехта Дирера (Albreht Dürer, 1471 - 1528)Галилеа Галилеја (Galileo Galilei, 1564 - 1642)

Ђовани Касини (Giovanni Domenico Cassini, 1625-1712)Сер Исака Њутна (Sir Isaac Newton, 1643-1727)

Истраживање кривих јајастог облика је и данас веома актуелно због ергономичностиовоидне, бионичке форме што се види у радовима: ЈА

ЈАСТ

Е ( )

Рене Декарта (René Descartes, 1596 - 1650)( )

Џемса Максвела (James Clerk Maxwell, 1831 –1879)

ф р у р Ј

немца Јирген Колера (Jürgen Köller), 2000. год. мађарског геометричара Ђорђи Нађа - Фирера (György Nagy-Führer), 2002. год.јапанског математичара Нобуо Јамамотоа (Nobuo Yamamoto), 2007. год. америчког математичара Стивена Вилсона (Steven Wilson), 2008. год.

Архитектонски факултет Београд, 2о1о.

америчког математичара Стивена Вилсона (Steven Wilson), 2008. год. холандског математичара Јана Васенара (Jan Wassenaar), 2009. год.

Врсте и типови јајастих кривих

ВЕ

Пројекције просторних кривих на раван или неку геометријску површ:

ЛШЕФ

ЕРОНастанак јајастих кривих

Раванска крива 4. реда (квартика) настала пројицирањем пресечне просторне криве две квадрике нараван управну на заједничку раван симетрије, најопштији је случај добијања јајасте криве.

Примери пресека неких квадрика су дати на следећим сликама:

ЈА

ХУГ

ЕЛАЛ

ИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕПресечна крива конуса и сфере

може се пројицирати на раванкружног пресека конуса тако дасе добије јајаста крива Ове

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

се добије јајаста крива. Овеповрши, потребно је поставити уположај тако да постојетангенцијалне равни једне идруге које су у блиском положају

КРИ

ВЕ

Идруге које су у блиском положају(једна површ „продире“ другу)како би се добила дводелнакрива. Ако просторну кривупројицирамо на раван нормалну

ЈАЈА

СТЕ

ројицира о а ра а ор а уна правац осе конуса добијамоДекартов овал (Слика 1).

Ј


Слика 1: Пресек конуса и сфере


ВЕ

Пројекције просторних кривих на раван или неку геометријску површ:

ЛШЕФ

ЕРО

• Пресеком два обртна конуса којима су осе паралелнедобија се просторна крива која се ортогоналним

ј

• Пресек елипсоида и хиперболичког цилиндра јеједноделна или дводелна просторна крива. Ако

ј ј

ЈА

ХУГ

ЕЛпројицирањем на раван кружног пресека конуса видикао јајаста крива, (Слика 2).

ову криву посматрамо у правцу који је управанна изводнице хиперболичког цилиндра онда сеона види као јајаста равна крива (са једним или2 овала, у зависности од међусобног положајаових двеју површи) (Слика 3)

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

ових двеју површи), (Слика 3).

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

КРИ

ВЕ

ИЈА

ЈАСТ

Е

Ј


Слика 2: Пресек два обртна конуса Слика 3: Пресек елипсоида и хиперболичког цилиндра


ВЕ

Настанак јајастих кривих Равни пресеци обртних површи:

ЛШЕФ


ЈА

ХУГ

ЕЛАЛ

ИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

КРИ

ВЕ

И

Kрива јајастог облика je пресек псеудосфере и косе

Слика 5: Касинијеви овали (равни пресек торуса)

ЈАЈА

СТЕ

Kрива јајастог облика je пресек псеудосфере и косеравни. Ако је раван управна на осу ротације, пресекје круг. Псеудосфера је површ константне,негативне кривине која настаје ротацијом трактрисеоко z- осе, (Слика 4). Јоко z осе, (Слика 4).

Пресек торуса и равни су Касинијеви овали. Дводелну криву је могуће добити у случају када је раван паралелна осовини торуса и постављена у положај близак тангенцијалној равни са унутрашње

Слика 4: Пресек псеудосфере (Белтрамијеве површи) и равни


положај близак тангенцијалној равни са унутрашње стране торуса, (Слика 5).

(Белтрамијеве површи) и равни


ВЕ

Настанак јајастих кривих

Сенке неких површи:Сенка круга на сферу при паралелном Л

ШЕФ


Дисторзија елипсе:Сенка круга на сферу при паралелномосветљењу или из тачкастог извора јекрива јајастог облика, (Слика 6)

ЈА

ХУГ

ЕЛАЛ

ИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

КРИ

ВЕ

И

Конструкција јајасте криве коју је извео немачки математичар Фриц

Слика 7: Конструкција елипсе и њена дисторзија (јајаста крива)

ЈАЈА

СТЕ

Конструкција јајасте криве коју је извео немачки математичар ФрицХугелшефер помоћу два неконцентрична круга је у ствари,транспонована позната конструкција елипсе методом концентричнихкругова. За два концентрична круга чији су пречници једнакипречницима велике и мале осе елипсе, постави се произвољна

Јрадијална права која сече оба круга; из добијене тачке пресека намањем кругу (тачка А) паралела са великом осом, а из пресечне тачкена већем кругу (тачка В) паралела са мањом осом се секу и дају тачку(С) елипсе. Хугелшефер помера мањи круг из концентричног положајаза параметар d, тако да сада пресеци одговарајућих паралела из

Слика 6: Сенка круга на сферу


за параметар d, тако да сада пресеци одговарајућих паралела изцентрално придружених тачака формирају јајасту криву, (Слика 7)


ВЕ


Комбинација кружних лукова:Јајасти равни лик добијен тангенцијалним настављањем кружних лукова један Л

ШЕФ


Јајасти равни лик добијен тангенцијалним настављањем кружних лукова једанна други има следећу конструкцију:

на први полукруг полупречника r са центром C1 се надовезују симетрично са обестране две осмине круга двоструко већег полупречника (2r) са центрима C2 и C3 (онисе налазе на крајевима претходног полукруга) а затим се на њих надовезује још један ЈА

ХУГ

ЕЛ

се налазе на крајевима претходног полукруга), а затим се на њих надовезује још једанлук који је четвртина круга са центром C4 и полупречником a=2r-r√2. Центар C4 сеналази у пресеку полупречника претходних лукова, под углом од 45º у односу на осукриве, (Слика 8). Ова конструкција има практичну примену у дизајну, јер не захтевакомпликоване геометријске везе, нити егзактну математичку формулу.

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

И ГЕ

НЕР

АКОНСТСлика 8: Конструкција

јајасте криве (метод 45º)

КРИ

ВЕ

И

Математичар Роберт Диксон у књизиМатографикс - Како нацртати правококошије јаје приказује седамконструкција јајасте криве методом

ЈАЈА

СТЕ

конструкција јајасте криве методомнастављања кружних лукова један надруги и назива је Еуклидско јаје. Датеконструкције представљају јајастеравне криве добијене спајањем Јравне криве добијене спајањемкружних лукова у сврху апроксимацијеконтуре кокошијег јајета, (Слика 9)


Слика 9: Јајасте криве - конструкција Роберта Диксона


ВЕ


Комбинација кружних лукова:За конкретне вредности полупречника r кружних лукова може се Л

ШЕФ


За конкретне вредности полупречника r кружних лукова може седобити златно јаје, (Слика 10)

Златно јаје је крива чији је однос између њеног обима и збиравелике и мале осе Φ = 1.61803… тј. стоје у пропорцији златногпресека ЈА

ХУГ

ЕЛ

пресека

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

Слика 10: Златно јаје (метод 45º)

И ГЕ

НЕР

АКОНСТЗа тупоугли троугао Пенроусовог поплочавања –

троугао са угловима 36º - 36º - 108ºдобиће се златно јаје, (Слика 12)

КРИ

ВЕ

ИЗлатно јаје и низ петоугла

ЈАЈА

СТЕ

Ј

Слика 11: Златно јаје и петоугао


Слика 12: Златно јаје и троугао


ВЕ


Крива јајоликог облика такође може настати и комбинацијом још неких кривих другог реда: две половинеразличитих елипси којима је заједнички параметар b (мала оса), док су им велике полуосе различите a ≠ c(С 13) б б б Л

ШЕФ


(Слика 13); део елипсе и парабола; део елипсе и хипербола; кружни лук и парабола или кружни лук ихипербола, водећи рачуна да се тангенте у крајњим тачкама датих делова коника поклапају

ЈА

ХУГ

ЕЛАЛ

ИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

КРИ

ВЕ

ИЈА

ЈАСТ

Е

Ј

Слика 14: Пример (котирана пројекција)

Слика 13: Конструкција јајасте фигуре у равни помоћу


Слика 13: Конструкција јајасте фигуре у равни помоћу две полуелипсе идентичних малих оса


ВЕ

Примери јајастих кривих као делова кривих са математичким записима

ЛШЕФ

ЕРОПримери јајастих кривих као делова кривих са математичким записима

ЈА

ХУГ

ЕЛАЛ

ИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

Б) Кеплерова јајаста крива

И ГЕ

НЕР

АКОНСТА) Њутнова кубна функција

В) Декартов овал

КРИ

ВЕ

И

Г) Мингова јајаста крива

ЈАЈА

СТЕ

Ј

Слика 15 (А Е): Низ примера јајастих кривих које се на датим графицима функција виде

Д) Касинијеви овалиЕ) Ланац кривих јајастог

обликађ) Двоструко асиметрично јаје


Слика 15 (А - Е): Низ примера јајастих кривих које се на датим графицима функција виде као затворени делови задатих аналитичких кривих


ВЕ

Примери јајастих кривих као делова кривих са математичким записима

ЛШЕФ

ЕРОПримери јајастих кривих као делова кривих са математичким записима

ЈА

ХУГ

ЕЛ

к = 0;к = 0 1;

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

к = 0.1;к = 0.2;к = 0.3;к = 1/3

И ГЕ

НЕР

АКОНСТА) трансформација круга Б) трансформација елипсе В) трансформација елипсе преко

јајасте криве до троуглаТрансформација Торстен Силкеа:

КРИ

ВЕ

ИЈА

ЈАСТ

Е

Д) Бернулијева лемниската ђ) јајаста форма

Ј

Г) Сего крива Е) низ јајастих кривих


Слика 16 (А - Е): Јајасте криве које су настале неком трансформацијом) ј ј р

Хугелшеферова конструкција јајасте криве

ВЕ

Хиперболизам Њутнова трансформација

Њутнова трансформација равне кривепомоћу дате праве и тачке : Л

ШЕФ

ЕРОХиперболизам – Њутнова трансформација

Уопштена Њутнова трансформацијаравне криве помоћу дате криве иу д р

Њутн полази од равне криве Гo и помоћу задатетачке S (xs ;ys ) и праве m (x = xm ) у истој равниОxy добија нову криву Г. За сваку тачку P(xp;yp )криве Г једнозначно је придружена тачка ЈА

ХУГ

ЕЛ

р р у д ртачке:

криве Гo једнозначно је придружена тачкаQ(xQ;yQ) криве Г на следећи начин:

o права SP сече праву m у тачки М (xm ; yм );

o на паралели праве m из тачке P, ортогоналним АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

пројицирањем на праву m из тачке М налази сетачка Q новодобијене криве Г

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

КРИ

ВЕ

И

Слика 18: Уопштени хиперболизам

Уопштена Њутнова трансформација настаје

ЈАЈА

СТЕ

р ф р ј јкада се права m (x = xm ) замени новом кривому равни Оxy. За дату тачку S (xs ; ys ) и двекриве Г1 и Г2 у равни Оxy хиперболизмомнастаје нова крива Г. Свака права постављена

Ј

Слика 17: Хиперболизам

кроз S сече криву Г1 у тачки P1 (x1 ; y1 ) , акриву Г2 у тачки P2 (x2 ; y2 ). Тачка Q (xQ ; yQ )новодобијене криве Г се налази у пресекупаралеле Оx из P1 и паралеле Оy из P2 .


р

Хугелшеферова конструкција јајасте кривеУопштени Хиперболизам ВЕ

Прва крива Г1 је круг k1 (1) са полупречником a и центром C1 у координатном почетку O, нека је другакрива Г2 круг k2 (2) полупречника b са центром C2 такође у O. Тачка C2 је дата тачка S Њутноветрансформације хиперболизмом новодобијена крива је елипса са центром у координатном почетку O

Уопштени Хиперболизам

ЛШЕФ

ЕРО

трансформације, хиперболизмом новодобијена крива је елипса са центром у координатном почетку O,великом осом a и малом осом b.

k1 : P1 (x1, y1) , C1 (0, 0), r1= a, x12+ y1

2 = a2 (1)

k2 : P2 (x2, y2) , C2 (0, 0), r2= b, x22+ y2

2 = b2 (2) ЈА

ХУГ

ЕЛ

2 2 ( 2 2) 2 ( ) 2 2 2 ( )

Свака тачка E (x1, y2) новодобијене криве - елипсе (e) –испуњава услов: y1 : y2 = x1 : x2 (3)

Квадрирањем услова (3) и заменом једначина (1) и (2), ј ( ) АЛ

ИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

следи једначина елипсе (e):

Нека је сада прва крива Г1 круг k1 (4) са полупречником a и центром C1 у координатном почетку O, некаје друга крива Г2 круг k2 (5) полупречника b са центром C2 и нека је она дата тачка S Њутнове И

ГЕ

НЕР

АКОНСТ

трансформације. Центар другог круга C2 је померен за параметар w > 0 по x-оси, тада хиперболизмомнастајејајаста кубна крива.

k1 : P1 (x1, y1) , C1 (0, 0), r1= a, x12+ y1

2 = a2 (4)

k : P (x y ) C ( w 0) r b (x +w)2+ y 2 b2 (5) КРИ

ВЕ

И

k2 : P2 (x2, y2) , C2 (-w, 0), r2= b, (x2 +w)2+ y22 = b2 (5)

Свака тачка Q (x1, y2) новодобијене јајасте криве – (јаје) –испуњава услов: y1 : y2 = (x1 +w) : (x2 +w) (6)

Квадрирањем услова (6) и заменом једначина (4) и (5) , ЈАЈА

СТЕ

Квадрирањем услова (6) и заменом једначина (4) и (5) ,следи једначина јајасте криве (јајe):

Ј

За w=0 следи g(x)=1 тј. новодобијена крива је елипса (e)


Хугелшеферова конструкција јајасте криве

ВЕ

Анализа и својства овако добијенекубне криве:

o Кубна крива са једначином

ЛШЕФ

ЕРОКубна хиперболичка парабола типа А

настала пројицирањем пресечнекриве параболичког и хиперболичког

записана у експлицитном облику

је симетрична у односу на x-осу ЈА

ХУГ

ЕЛцилиндра

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

КРИ

ВЕ

ИЈА

ЈАСТ

Е

Ј

Слика 20: Пресек хиперболичког и

параболичког цилиндра


Слика 19: График функције кубне криве

Допуна Хугелшеферовe конструкцијеЦелокупна крива кубна хиперболичка парабола ВЕ

Математичком анализом кубне криве датеједначином:са параметрима a b>0 w≠0 установљава се

Целокупна крива – кубна хиперболичка парабола

ЛШЕФ

ЕРО

Хипербола као дуална крива темељног круга

са параметрима a,b>0, w≠0 установљава седа је област дефинисаности криве:

ЈА

ХУГ

ЕЛ

из чега произилази да постоји још једандео криве који се не добија конструкцијом АЛ

ИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

Хугелшефера.

За овај део криве потребно је одредити конструктивно решење тј. које почетне темељне криве хиперболизмом дају И

ГЕ

НЕР

АКОНСТ

Слика 22: Правоугла хипербола као пројективни темељне криве хиперболизмом дају недостајући део кубне хиперболичке параболе типа А, дефинисан у интервалу:

КРИ

ВЕ

И

Правоугла хипербола је пројективникомплемент круга

комплемент круга у односу на прамен паралела y-правца

ЈАЈА

СТЕ

b2x2+(a2+w2)y2+2wxy2=a2b2

4w2y2=b2 (a2+w2-2wx)

о е е ру аk: x2+ y2 = a2

у односу на прамен паралела y-правца иима једначину

h: x2 - y2 = a2

Ј

2wx+a2+w2=0

a=5, b=3, w=2

yдок за добијање једначине хиперболе запрамен паралела x-правца довољно је уједначини круга променити предзнакчлана x2 .


Слика 21: Комплетна кубна крива са асимптотама

Допуна Хугелшеферове конструкцијеКонструкција укупне кубне криве методом Фриц Хугелшефера ВЕ

Прва крива Г1 је сада правоугла хипербола h1 (10) са полупречником a и центром C1 у координатномпочетку O, нека је друга крива Г2 правоугла хипербола h2 (11) полупречника b са центром C2. Центардруге хиперболе C2 је померен за параметар w > 0 по x-оси и он је дата тачка S Њутнове трансформације.

Конструкција укупне кубне криве методом Фриц Хугелшефера

ЛШЕФ

ЕРО

h1 : P1 (x1, y1) , C1 (0, 0), r1= a, x12- y1

2 = a2 (10)

h2 : P2 (x2, y2) , C2 (-w, 0), r2= b, -(x2 +w)2+ y22 = b2 (11)

Новодобијена крива која настаје хиперболизмом две правоугле хиперболе (Слика 23) је недостајући део ЈА

ХУГ

ЕЛ

Новодобијена крива која настаје хиперболизмом две правоугле хиперболе (Слика 23) је недостајући деокубне хиперболичке параболе типа А са једначином:

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

и може се записати и у облику:тј. као линеарна дисторзијахиперболе

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

КРИ

ВЕ

ИЈА

ЈАСТ

Е

Ј


Слика 23: Хиперболизам две правоугле хиперболе Слика 24: Конструкција укупне кубне криве

Варијација кривих у зависности од полазних параметара

ВЕ

Варијација форме јајасте криве узависности од положаја центратемељних кругова (w):

ЛШЕФ

ЕРОВаријација форме јајасте криве у

зависности од полупречника темељнихкругова (a и b):

ЈА

ХУГ

ЕЛ

a=4, b=2, w=1

a=4, b=4, w=3a=8, b=4, w=12

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

, ,

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

КРИ

ВЕ

И

a=3, b=5, w=6

ЈАЈА

СТЕ

a=5, b=7, w=3

На графицима су поред тражене кубнекриве дате једначином:

приказани и темељни кругови и њихови Јприказани и темељни кругови и њиховикомплементи (правоугле хиперболе),односно асимптоте.


Слика 25: Галерија кубних кривих


ВЕ

Кубна крива облика:распада се на асимптотску праву и асимптотскупараболу (Слика 26) у случају када параметри a, b иw испуњавају услов: a = w . Л

ШЕФ

ЕРО

у ју у

ЈА

ХУГ

ЕЛa=0, b=2, w=1.5

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕСлика 27: Комбинована

кубна крива

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

Ако су задати параметари a=0, b>0, w≠0 тада седобија двограна крива са сингуларном тачком укоординатном почетку. Ова крива је комбинованакубна крива - Лоншанова крива (Слика 27). Онанастаје и као прва пројекција пресека

КРИ

ВЕ

Инастаје и као прва пројекција пресекапараболичког и хиперболичког цилиндра ако суквадрике постављене у тангенцијалан положај(Слика 28):

ЈАЈА

СТЕ

Ј

Слика 26: Распаднута кубна крива:


Слика 26: Распаднута кубна крива:


ВЕ

Комбинација претходна два примера и могућност добијања кривих виших редова

ЛШЕФ

ЕРО

ЈА

ХУГ

ЕЛПроменом положаја центра (тачка S Њутновог хиперболизма)прамена правих које се радијално простиру и секу темељне кругове(концентричне или неконцентричне) настају нове криве. На овајначин се генерализује конструкција Хугелшефера, а добијене криве

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

р уј ру ц ј у ф р , д ј рсу другог или вишег реда:

За два концентрична круга (w = 0 тј

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

За два концентрична круга (w = 0, тј.С1=С2) и за параметар p = b тј. померајцентра прамена правих хиперболизмомнастаје крива са самопресечном тачкоми двострука права (x-оса):

Генерализација Хугелшеферове конструкције

КРИ

ВЕ

Ии двострука права (x оса): конструкције

ЈАЈА

СТЕ

Ј

Крива која настаје хиперболизмом два неконцентричнакруга (центри темељних кругова С1 и С2 померени поx-оси за параметар w≠0) и за параметар p = 0 (S = С1)


је симетрична у односу на y-осу и има јајасти облик.

ПРОСТОРНО САГЛЕДАВАЊЕ ЈАЈАСТИХ КРИВИХ И ФОРМЕ ДОБИЈЕНЕ ЊИХОВОМ МОДИФИКАЦИЈОМ ВЕ

Д Д Ц

ЛШЕФ

ЕРО

Ротација планарне јајасте криве D око осе s:Транслација планарне јајасте криве D дужправе р:

ЈА

ХУГ

ЕЛ

ОВОИД

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

Транслација јајасте криве D дуж отворене криве линије d:

КОСИ ОВОИДНИ ЦИЛИНДАРОВОИД

Ротација јајасте криве D око у-осе:

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

и иј

КРИ

ВЕ

И

ОВОИДНА ФОРМА ТОРОИД

ЈАЈА

СТЕ

Планарна јајаста крива D као директриса правоизводне површи:

Ј


КОНОИД КОНУС

ПРИМЕНА ЈАЈАСТИХ КРИВИХ У ИНЖЕЊЕРСТВУ И ДИЗАЈНУ

ВЕ

Примери примене овоидних форми у архитектури, саобраћају, дизајну, уметности, а и свакодневном животу с обзиром на њену ергономичност:

ЛШЕФ

ЕРО

Поред изгледа датих објеката дате су

ЈА

ХУГ

ЕЛапроксимације њихових контура Хугелшеферовомјајастом кривом (целом кривом или деловима овекриве):

Свака крива је задата параметрима a, b и w

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

Свака крива је задата параметрима a, b и w(односно, задат је њен облик на основу односапараметара), ротирана је и скалирана тако дапостаје контура објекта.

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

КРИ

ВЕ

И

Национални центар за извођачке уметности

ЈАЈА

СТЕ

Национални центар за извођачке уметности (The National Centre for the Performing Arts),

2007, Пекинг,арх. Пол Андреа (Paul Andreu, 1938 - ) Градска већница (London City Hall), 2002,

Лондон арх Норман Фостер (Norman Foster 1935 )

Зграда Геркин (The Gherkin),

2004,

ЈЛондон, арх. Норман Фостер (Norman Foster, 1935 - )

Јајаста форма објекта није изабрана само због визуелног ефекта већ због

енергетске ефикасности (

Аеродинамичко моделовање је показало да се максимална природна вентилација добија

ј

Објекат са три дворане (опера, хала и позориште) има познатији назив „Јаје“ (The Egg). Вештачко језеро

окружује грађевину тако да изгледа као да јаје плута на води.

Архитектонски факултет 2о1о.

(минимизирањем површине зграде спречава се нежељени губитак или

добит топлоте).

када се основа једног спрата заротира за неколико степени у односу на спратове испод.

као да јаје плута на води.


ВЕ

ЛШЕФ

ЕРОНапредна компјутерска техника је омогућила

да се испита и изврши симулацијааеродинамичких особина објекта и да се наоснову ове турбуленције дође до ергономичнеф бј

ЈА

ХУГ

ЕЛформе објекта.

АЛИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕМодел струјања ваздуха око

зграде Геркин (Краставчић)

И ГЕ

НЕР

АКОНСТКула чисте технологије (Clean Technology Tower)

је објекат будућности који је елегантна комбинација биомимикрије, дизајна ваздушних струјања и соларне енергије.

Адријан Смит (Adrian Smith) и Гордон Гил (Gordon Gill) су

КРИ

ВЕ

Идизајнери ове јајасте форме

ЈАЈА

СТЕ

Кибертектонско јаје (The Cybertecture Egg) је објекат Џемса Лоа (James Law), чија изградња треба да се заврши ове године у М б ј И ј ЈМумбаију, Индија.

Користећи јајасти облик зграде, око 15% грађевинског материјала је смањено у

ђ Чудесно јаје (Wonder egg),


поређењу са конвенционалним ортогоналним зградама

Јапан


ВЕ

Модел Р4/5 аутомобила марке Ферари

ЛШЕФ

ЕРОМодел Р4/5 аутомобила марке Ферари,

италијанског инжењера и дизајнера Андрее Пинифарине (Andrea Pininfarina, 1957 - 2008) има

фарове јајастог облика, као и јајасти профил.

ЈА

ХУГ

ЕЛАЛ

ИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ„Индустријска Фабержеова јаја“ – резервоари у Немачкој, као

и постројења четири резервоара у Енглеској (Egg-shaped digesters) су армирано бетонске конструкције са спољним облогама и

јајастог облика

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

КРИ

ВЕ

И

Ергономичну јајасту форму имају и предметикоји нас окружују у свакодневном животу.Такође и због своје сведене естетике и

ЈАЈА

СТЕ

Такође и због своје сведене естетике иелеганције, ове форме привлаче нашупажњу.

Профил кокпита једрилице који за контуру има Хугелшеферову јајасту криву Јконтуру има Хугелшеферову јајасту криву

Аеродинамичка испитивања овог модела напројекту ТУ Делф (Холандија) су показалада Хугелшеферова јајаста крива има


предност над кружним, елиптичким идругим овалним формама.

ЈАЈАСТЕ КРИВЕ И ГЕНЕРАЛИЗАЦИЈА ХУГЕЛШЕФЕРОВЕ КОНСТРУКЦИЈЕ

Закључак

У овом раду анализиране су јајасте криве полазећи од познате Хугелшеферове конструкције.

Показано је да постоје различити типови равних кривих које имају овоидан облик и које се могу појединачно класификовати по геометријским својствима, генези, типу и реду. Такође, показано је да постоје и оне

криве са прецизно дефинисаном конструкцијом и математичком формулом, а једна таква крива 3. реда је Хугелшеферова јајаста крива. Хугелшеферова јајаста крива.

Доказано је да постоји могућност допуне конструкције кубне криве која као део има јајасту криву насталу конструкцијом Фриц Хугелшефера помоћу два неконцентрична круга. Допуна Хугелшеферове конструкције се заснива на комплементности круга и правоугле хиперболе. Коришћењем метода конструктивне, аналитичке, диференцијалне и алгебарске геометрије извршена је допуна овог дела кубне хиперболичке параболе типа А диференцијалне и алгебарске геометрије извршена је допуна овог дела кубне хиперболичке параболе типа А

и приказани су резултати применом графичких софтвера и аплета. Графички су приказане поједине варијације ове криве у зависности од полазних параметара. Извршена је и генерализација Хугелшеферове

конструкције и на тај начин су сагледане могућности добијања кривих другог или вишег реда.

О ћ ј ф ј ј ј ј Омогућено је визуелно сагледавање нових просторних форми које као водиљу имају јајасту равну криву. Цилиндар, конус, тороид и коноид су само неке од форми које су изучаване са аспекта геометрије и

математике и сваки карактеристични представник из посматране групе је графички приказан.

Због ергономије и аеродинамике јајасте криве, њена примена у дизајну у инжењерству је велика. Истражена је и показана естетска оправданост примене јајасте криве у архитектури. У последњем поглављу овог рада је

извршена апроксимација контуре архитектонских објеката Хугелшеферовом јајастом кривом.

Овакав начин приступа проблематици кривих које имају овоидни облик отвара могућности даљих истраживања: кривих трећег, четвртог или вишег реда и компаративна анализа облика ових кривих, истраживања: кривих трећег, четвртог или вишег реда и компаративна анализа облика ових кривих, испитивање струјница око кубне хиперболичке параболе у зависности од облика криве (тј. у функцији

параметара кривих), анализирање аеродинамике просторних форми које као водиљу имају јајасту криву као и повезивање са још неким областима науке или праксе.


ВЕ

ЛШЕФ

ЕРО

ЈА

ХУГ

ЕЛАЛ

ИЗА

ЦИЈ

РУКЦИЈЕ

И ГЕ

НЕР

АКОНСТ

КРИ

ВЕ

ИЈА

ЈАСТ

Е

Ј

Архитектонски факултет Београд, 27. септембар 2о1о.

Prezentacija mr Maja Petrovic

Documents

Transcript of Prezentacija mr Maja Petrovic