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Urtiurto: evento isolato nel quale una forza relativamente intensa
agisce per un tempo relativamente brevesu due o più corpi in contatto tra loro[approssimazione impulsiva: trascuro forze esterne]
m1 m2
21Fr
12Fr
Urti su scale diverse
4He++
p+
meteor-crater
1200 m
∆t ≈ 4 ms
αΝ
r risultato di un contatto fisico
r risultato di una interazione tra particelle
Quantità di Moto negli Urti
per ogni tipo di urtola quantità di moto totale si conserva
L esercita su R forza F(t)R esercita su L forza –F(t)
F(t) e –F(t) sono coppia di forze azione e reazione:r intensità varia nel tempor intensità è uguale istante per istante
∫
∫
−=∆
=∆
i
i
i
i
t
tL
t
tR
dttFp
dttFp
))((
)(
t
F
F(t)
- F(t)
0=∆+∆∆−=∆
LR
LR
pppp
costanteppp LR =+=rrr
le forze impulsive sono interne al sistema,quindi NON influenzano la quantità di moto totale
Energia negli Urti
l’energia cinetica NON si conserva sempre negli urti
posso avere conversione in
r energia termicar energia acusticar energia potenziale elastica (deformazione dei corpi)r energia rotazionale
urto elastico: energia cinetica totale non cambia[es. urto fra bocce]
urto anelastico: energia cinetica totale non si conserva[es. urto palla di gomma su pavimento]
urto perfettamente anelastico:massima trasformazioneenergia cinetica totale,i due corpi rimangono uniti[es. urto palla di plastilina su pavimento]
ftotitot KK )()( =
...)()( +++= potthftotitot EEKK
2,1,
)()(
iif
itotftot
mmmKK+=
≠
in tutti i casi la quantità di moto si conserva semprehttp://ww2.unime.it/weblab/ita/wf2/urti/urti_ita.htm
Urti in UNA dimensione
urto perfettamente anelastico[conservo solo quantità di moto]
prima
dopo
le particelle dopo l’urto rimangono unite con velocità vf
fii
fi
vmmvmvmpp
rrr
rr
)( 212211 +=+
=
)( 21
2211
mmvmvmv ii
f ++
=rr
r
esempio: pendolo balistico
dispositivo per determinare velocità dei proiettili
vMm
mV)( +
= conservazione quantità di moto
ghMmVMm )()(21 2 +=+ conservazione
energia meccanica
ghm
Mmv 2+=
cmhkgMgmsmv
3.64.55.9/630
====
trasformo alta velocità proiettile in bassa velocità corpo pesante [di facile misurazione]
urto elastico[conservo quantità di moto ed energia cinetica]
ffii
fi
vmvmvmvmpp
22112211rrrr
rr
+=+
=prima
dopo
(1)
222
211
222
211 2
121
21
21
)()(
ffii
ftotitot
vmvmvmvm
KK
+=+
=
bersaglio mobile)()( 222111 fififi vvmvvmpp −−=−⇒=
rr
)()()()( 22
222
21
211 fififtotitot vvmvvmKK −−=−⇒=
divido le due precedenti equazioni e sostituisco …)()( 2211 fifi vvvv +=+
iif
iif
vmmmmv
mmmv
vmm
mvmmmmv
221
121
21
12
221
21
21
211
2
2
+−
++
=
++
+−
=
))(())(( 1222211111 fifififi vvvvmvvvvm −+−=−+
N.B. note: m1, m2v1i, v2iconservazione p (1)
+velocità relative (2)
velocità relative uguali ed opposte prima e dopo l’urto
(2) )()( 2121 ffii vvvv −−=−
02 ≠iv
bersaglio fisso
ffifi vmvvmpp 22111 )( =−⇒=rr
22211111 ))(()()( ffififtotitot vmvvvvmKK =−+⇒=
divido le due precedenti equazioni e sostituisco …
if
if
vmm
mv
vmmmmv
121
12
121
211
2+
=
+−
=
02 =iv
rmasse uguali [m1=m2]
if
f
vvv
12
1 0=
= scambio di velocità [es. urto fra bocce/palle da biliardo]
r bersaglio massiccio [m2>>m1]
proiettile rimbalza indietro [es. urto palla golf su palla cannone
palla da baseball su mazza]if
if
vmmv
vv
12
12
11
2
=
−=
r proiettile massiccio [m1>>m2]
if
if
vvvv
12
11
2=
=proiettile indisturbato, bersaglio scatta in avanti [es. urto palla cannone su palla golf]
http://ww2.unime.it/weblab/ita/wf2/urti/urti_ita.htm
esempi: urto elastico
if
f
vvv
12
1 0
=
=urto fra palle di biliardo uguali:
pendolo multiplo: palline di uguale massa
rapida successione di urti elastici:
ad ogni urto una palla si ferma epalla successiva si muove con stessa velocità
Urti in DUE dimensioni
prima dopo
urto non frontale (corpi non allineati nella direzione del moto)
dopo urto i corpi non si muovono sullo stesso asse
⇒
conservazione quantità di moto:
ffii
fi
vmvmvmvmpp
22112211rrrr
rr
+=+
=
per componenti:
fyfyiyiy
fxfxixix
vmvmvmvmvmvmvmvm
22112211
22112211
+=+
+=+⇒
φθ
φθ
sinsin00
coscos0
2211
221111
ff
ffix
vmvmvmvmvm
−=+
+=+
conservazione energia cinetica[per urti elastici solamente!!!]
222
211
222
211 2
121
21
21
ffii vmvmvmvm +=+
Centro di Massa
palla lanciata in aria:traiettoria parabolica[tipo moto proiettile]
mazza da baseball lanciata in aria:moto complicato e diverso per le varie partimazza = sistema di punti materialicentro di massa: punto che si muove lungo
traiettoria parabolica[tipo moto proiettile]
centro di massa di un corpo (o sistema di corpi):punto che si muove come se 4 tutta la massa fosse lì concentrata4 e le forze esterne agissero lì
permette di descrivere moto complessivo del sistema meccanico
esempio: sistema di due particelle collegate da sbarra rigida [priva di massa]
M1 < M2
r applico F vicino ad M1
sistema ruota in senso orario
r applico F vicino ad M2
sistema ruota in senso anti-orario
r applico F vicino al CMsistema trasla si muove come se tuttala massa fosse concentratanel CdM
individuo centro di massa con questo esperimento !!
Posizione del centro di massaposizione media della massa del sistema
21
2211
mmxmxmx
defCM ++
=
esempio: x1=0, x2=dse m1 = m2 ⇒ xCM= (x1+x2)/2 metà stradase m2 = 2m1 ⇒ xCM= 2/3 d vicino particella pesante
sistema n particelle in 3 dimensioni
Mxm
mxm
mmmxmxmxmxmx ii
i
ii
n
nndefCM
∑∑∑ ==
+++++++
=...
...
21
332211
Mym
mym
mmmymymymymy ii
i
ii
n
nndefCM
∑∑∑ ==
+++++++
=...
...
21
332211
Mzm
mzm
mmmzmxmzmxmz ii
i
ii
n
nndefCM
∑∑∑ ==
+++++++
=...
...
21
332211
yx
zP(xi,yi,zi) particella di coordinate (xi,yi,zi)
vettore posizione:kzjyixr iiii
rrrr++=
irr
sistema di n particelle
∑
∑ ∑ ∑
=
=
++=++=
n
iiiCM
i i iiiiiii
CMCMCMCM
rmM
r
M
zmymxmkzjyixr
1
1 rr
rrrr
vettore posizione CM
nel linguaggio dei vettori:
corpi rigidi [distribuzioni continue di materia]
∫= dmrM
rCMrr 1 ∫∑
∫∑∫∑
→∆
→∆
→∆
→∆
=
→∆
=
→∆
=
dmzMM
zmz
dmyMM
ymy
dmxMM
xmx
i
i
i
m
ii
defCM
m
ii
defCM
m
ii
defCM
1
1
1
0
0
0
N.B. se oggetto possiede simmetriaCM si trova su centro, asse o piano di simmetria
Moto di un Sistema di Particelle
N.B. sistema isolato:0===∑ dt
pdaMF totCMest
rrr
⇒ costantevMp CMtot ==rr
nnCM rmrmrmrM rrrr+++= ...2211
nnCM vmvmvmvM rrrr+++= ...2211
nnCM amamamaM rrrr+++= ...2211
Il CM è utile nella descrizione del moto del sistema
∑=
=n
iiiCM rm
Mr
1
1 rr
dtrdv i
i
rr=
dtvda i
i
rr=
le forze internesi elidono a due a due[azione e reazione]
∑=+++= estnCM FFFFaMrrrrr ...21
il CM si muove come particella di massa Msu cui agisce la risultante delle forze esterne
dtpdaMF tot
CMest
rrr
==∑
esempi: moto centro di massa
fuoco artificiale
gest FFrr
=
CM segue traiettoria parabolica
[la stessa del razzo inesploso]
ballerina che fluttua in aria:
traiettoria testa-busto orizzontale !!![non parabolica
come nel lancio di un corpo]
CM segue traiettoria parabolica
Moto di un Sistema di Particelle
Il CdM è utile nella descrizione del moto del sistema
Mvm
dtrdm
Mdtrdv iii
iCM
CM∑∑ ===
rrrr 1 velocità CDM
totiiiCM ppvmvM rrrr=== ∑∑
⇓
quantità di moto totale è pari alla massa totale per la velocità del CdM
[moto particella massa M, velocità vCM]
∑∑ === iii
iCM
CM amMdt
vdmMdt
vda rrr
r 11
∑∑ == iiiCM FamaMrrr
⇓somma forze esterne(quelle interne si elidono a coppie)
dtpdaMF tot
CMest
rrr
==∑
il CdM si muove come particella di massa Msu cui agisce la risultante delle forze esterne
sistema isolato:0∑ =estF
rcostantevcostantep CMtot ==
rr⇒
conservazione quantità di motopropulsione di un razzo[sistema a massa variabile]
durante il moto si conserva la massa del sistema[massa combustibile + massa navetta]
fi pp =
0))(( <+++−= dMcondvvdMMUdMMv
Udvvu −+= )( velocita` relativa prodotti di scarico
dtdvMu
dtdM
dvMudM
=−
=−
ove R=-dM/dt rapidita`consumo conbustibile
MaRu = spinta del razzo (I0 equazione del razzo)
∫∫ −=
−=
f
i
f
i
M
M
v
v MdMudv
MdMudv
f
iif M
Muvv ln=− (II0 equazione del razzo)
devo diminuire la massa finale per avere aumento di velocita`