Presentation 03

17 mars 2011 Régulation numérique � 1 / 20

Régulation numérique (REN)Chapitre 3 : Transformée en z

Prof. Mi hel ETIQUEmi hel.etique�heig-vd. hHaute E ole d'Ingénierie et de Gestion du anton de Vaud (HEIG-VD)Département des Te hnologies Industrielles (TIN)http://www.heig-vd. h/tin17 mars 2011

mailto:[email protected]

http://www.heig-vd.ch

http://www.heig-vd.ch/tin

http://www.heig-vd.ch/tin

Les béné� es apportés par la transformée de Lapla e


Gain en e� a ité dans l'analyse mathématique des systèmes dynamiques, les al uls étant allégés :

■ résolution d'équations di�érentielles

■ al ul des régimes transitoires

■ analyse de la stabilité des systèmes■ inter onne tion de systèmes analogiques dynamiques

La transformée en est un outil équivalent, adapté aux signaux et systèmesdis rets.

Les béné� es apportés par la transformée de Lapla e


Gain en e� a ité dans l'analyse mathématique des systèmes dynamiques, les al uls étant allégés :

■ résolution d'équations di�érentielles

■ al ul des régimes transitoires

■ analyse de la stabilité des systèmes■ inter onne tion de systèmes analogiques dynamiques

La transformée en z est un outil équivalent, adapté aux signaux et systèmesdis rets.

Transformée en z : a priori obs ure . . .

17 mars 2011 Régulation numérique � 3 / 20■ Lien entre la transformée de Lapla e

Xa (s) =1

s−s1



Xa (s) =1

s−s1■ . . . et le signal

xa (t) = ǫ(t) · es1·t



Xa (s) =1


xa (t) = ǫ(t) · es1·t

x a ( t )

t0

f _ 0 3 _ 0 5 . e p s

s1 étant un p�le de Xa(s)

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_03//Figures/F_03_05.pdf



Xa (s) =1


xa (t) = ǫ(t) · es1·t

■ Lien entre la transformée en z

X (z) = zz−p1



Xa (s) =1


xa (t) = ǫ(t) · es1·t


X (z) = zz−p1

■ . . . et le signal

x [k] = ǫ[k] · pk1



Xa (s) =1


xa (t) = ǫ(t) · es1·t


X (z) = zz−p1

■ . . . et le signal

x [k] = ǫ[k] · pk1

x ( k )

k0

f _ 0 3 _ 0 6 . e p s

p1 étant un p�le de X(z)


Signaux


Temps Amplitude

Continu 0 t 0 t

Dis ret 0 t 0 t

Amplitude Temps1 signal analogique ontinue ontinu2 signal quanti�é dis rète ontinu3 signal dis ret ontinue dis ret4 signal numérique dis rète dis ret

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn//chap_03//Figures/F_03_01_1.pdf




Système de régulation numérique


A

w ( k h )

y ( k h )

u ( t ) x ( t )u ( k h )

A N A L O G I Q U EN U M E R I Q U E

A L G O R I T H M E

S Y S T E M EA

R E G L E R

H O R L O G E

y ( k h )

k h

t

w ( k h )

k h t

h

t

y ( t )

v ( t )

n ( t )

c o n s i g n e

b r u i t s u r l a m e s u r e

g r a n d e u r r é g l é e

c o m m a n d ec o m m a n d e

p e r t u r b a t i o n

f _ 0 1 _ 0 1 . e p s

D

D

AS

u ( k h )

k h


Signaux dis rets

17 mars 2011 Régulation numérique � 6 / 20■ Conditions :

x(t) = 0 pour t < 0

x[k] = 0 pour k < 0

Signaux dis rets

17 mars 2011 Régulation numérique � 6 / 20■ Impulsion unité dis rète

∆[k] =

{

1 pour k = 00 pour k 6= 0

−1 0 1 2 3 4 5

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

k

delta

[k]

Impulsion unité discrète

f_03_03_1.eps


Signaux dis rets

17 mars 2011 Régulation numérique � 6 / 20■ Saut unité dis ret

ǫ[k] =

{

1 pour k ≥ 00 pour k < 0

−1 0 1 2 3 4 5

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Saut unité discret

k

epsi

lon[

k]

f_03_03_2.eps


Transformée en z

Les béné� esapportés par latransformée deLapla eTransformée en z:a priori obs ure

. . .SignauxSystème derégulationnumériqueSignaux dis retsTransformée en zTransformée en zTransformée en z: ommentaireExemple:transformée en zde l'impulsionunité dis rète ∆[k]Exemple:transformée en zd'un signalexponentielExemple: signal dedurée �niePropriétés de latransformation en

zExemple:estimateurnumérique de ladérivéeMéthodes de al ul de latransformée enExempleInversion de latransformée enDé omposition enéléments simples:exempleInversion pardivisionpolyn�mialeInversion pardivisionpolyn�miale:exemple17 mars 2011 Régulation numérique � 7 / 20

Transformée en z

17 mars 2011 Régulation numérique � 8 / 20■ Transformée en z bilatérale

X (z) =+∞∑

k=−∞

x [k] · z−k

Transformée en z

17 mars 2011 Régulation numérique � 8 / 20■ Transformée en z unilatérale

X (z) =

+∞∑

k=0

x [k] · z−k |z| > r0

■ Evaluation de la somme :

X (z) = x [0] + x [1] · z−1 + x [2] · z−2 + x [3] · z−3 + . . .

Transformée en z

17 mars 2011 Régulation numérique � 8 / 20■ Rayon de onvergen e r0 tel que |z| > r0

X (z) = x [0] + x [1] · z−1 + x [2] · z−2 + x [3] · z−3 + . . .

R e

I m

0

C o n v e r g e n c e

D i v e r g e n c e

r 0

Z

f _ 0 3 _ 0 2 . e p s


Transformée en z : ommentaire

17 mars 2011 Régulation numérique � 9 / 20■ Transformée de Lapla e

X(s) = L{x(t)} =

∫ +∞

0x (t) · e−s·t · dt |s| ≥ s0

■ Transformée en z

X (z) =

+∞∑

k=0

x [k] · z−k |z| > r0


17 mars 2011 Régulation numérique � 9 / 20■ Transformée de Lapla e : la fon tion x(t) objet de la transformation estmultipliée dans l'espa e temps par une fon tion de type exponentiel

X(s) = L{x(t)} =

∫ +∞

0x (t) · e−s·t · dt s ≥ s0


17 mars 2011 Régulation numérique � 9 / 20■ Transformée de Lapla e : la fon tion x(t) objet de la transformation estmultipliée dans l'espa e temps par une fon tion de type exponentiel

X(s) = L{x(t)} =

∫ +∞

0x (t) · e−s·t · dt s ≥ s0

■ −→ pour autant que la variable omplexe s ait une valeur assurant la onvergen e, la surfa e omprise entre l'axe du temps t et la fon tion

x (t) · e−s·test �nie et l'intégrale existe.


17 mars 2011 Régulation numérique � 9 / 20■ Il en va exa tement de même pour la transformée en z :

X (z) =+∞∑

k=0

x [k] · z−k


17 mars 2011 Régulation numérique � 9 / 20■ Il en va exa tement de même pour la transformée en z :

X (z) =+∞∑

k=0

x [k] · z−k

■ On multiplie, i.e. on pondère la fon tion x[k] par une fon tion de typeexponentiel

z−kqui pourrait être (

es·h)

−k et l'on somme ("intègre") le produit

x[k] · z−ksur tous les k, ette somme ne onvergeant que pour un ensemble devaleurs de z telles que |z| > r0 :X (z) =

+∞∑

k=0

x [k] · z−k = x [0] + x [1] · z−1 + x [2] · z−2 + x [3] · z−3 + . . .

Exemple : transformée en z de l'impulsion unitédis rète ∆[k]

17 mars 2011 Régulation numérique � 10 / 20∆[k] =

{

1 pour k = 00 pour k 6= 0

X (z) =+∞∑

k=0

x [k] · z−k

= x [0] + x [1] · z−1 + x [2] · z−2 + . . .

= 1 ∀z

Exemple : transformée en z d'un signal exponentiel

17 mars 2011 Régulation numérique � 11 / 20x [k] = ak·h a ∈ C a 6= 0

X (z) =+∞∑

k=0

ak·h · z−k

=+∞∑

k=0

(

ah · z−1)k

=1

1− ah · z−1

=z

z − ah

|z| >∣

∣

∣ah

∣

∣

∣= r0

Exemple : signal de durée �nie


−1 0 1 2 3 4 5

−2

−1

0

1

2

3

Signal discret de durée finie

k

x[k]

f_03_03_3.eps

Z {x[k]} = X(z) =∑+∞

k=0x (k] · z−k = 1 + 3 · z−1 − 2 · z−2


Propriétés de la transformation en z

17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Linéarité :

Z{a · x[k] + b · y[k]}

= a · Z{x[k]}+ b · Z{y[k]}

= a ·X(z) + b · Y (z)


17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Translation avant (signal retardé)

Z{x [k − d]} = z−d · Z{x [k]} = z−d ·X [z]

z - 1u ( k ) y ( k ) = u ( k - 1 )f _ 0 3 _ 0 7 . e p sExemple



17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Translation arrière (signal avan é)

Z{x [k + d]}

= z+d · Z{x [k]} −d−1∑

i=0

x [i] · zd−i

= zd ·X [z]−d−1∑

i=0

x [i] · zd−i


17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Produit de onvolution

Z{g [k] ∗ u [k]}

= Z

{

k∑

l=0

g[l − k] · u[l]

}

= G (z) · U (z)


17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Théorème de la valeur �nale

x∞ = x [∞] = limk→∞

x [k] = limz→1

((z−1) ·X (z))


17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Théorème de la valeur �nale

x∞ = x [∞] = limk→∞

x [k] = limz→1

((z−1) ·X (z))

■ Théorème de la valeur initiale

x [0] = limk→0

x [k] = limz→∞

X (z)

Exemple : estimateur numérique de la dérivée

17 mars 2011 Régulation numérique � 14 / 20u̇ =

du

dt≈

u (k)− u [k − 1]

h= y [k]

z - 1

u ( k ) S 1 / h y ( k )

-f _ 0 3 _ 0 8 . e p s


Méthodes de al ul de la transformée en z

17 mars 2011 Régulation numérique � 15 / 20■ Il est rare qu'il soit né essaire de al uler la transformée en z selon

X (z) =+∞∑

k=0

x [k] · z−k

■ −→ tables

■ Un signal ne �gurant pas dans la table peut souvent s'exprimer par une ombinaison linéaire de signaux élémentaires dont les transformées sont alorsdans la table

■ Ces dernières, ombinées linéairement, permettent, en faisant usage de lapropriété de linéarité, d'obtenir la transformée en z re her hée

Exemple

17 mars 2011 Régulation numérique � 16 / 20■ Transformée en z du signal résultant de l'é hantillonnage de

x (t) = ǫ(t) ·(

1− e−t

T

)

Exemple

17 mars 2011 Régulation numérique � 16 / 20■ Transformée en z du signal résultant de l'é hantillonnage de

x (t) = ǫ(t) ·(

1− e−t

T

)

■ Dis rétisation :

x [k] = ǫ [k] ·(

1− e−h

T·k)

x ( k )

k0

f _ 0 3 _ 0 9 . e p s


Exemple

17 mars 2011 Régulation numérique � 16 / 20■ Par linéarité :

X (z) = Z{x [k]}

= Z{

ǫ [k] ·(

1− e−h

T·k)}

= Z{ǫ [k]} − Z{

ǫ (k) · e−h

T·k}

=z

z − 1−

z

z − e−h

T

=z ·

(

1− e−h

T

)

(z − 1) ·(

z − e−h

T

)

Exemple

17 mars 2011 Régulation numérique � 16 / 20■ Appli ation du théorème de la valeur �nale

x∞ = limk→∞

x [k]

= limz→1

(z − 1) ·X (z)

= limz→1

(z − 1) ·z ·

(

1− e−h

T

)

(z − 1) ·(

z − e−h

T

)

= 1

Exemple

17 mars 2011 Régulation numérique � 16 / 20■ Appli ation du théorème de la valeur initiale

limk→0

x [k] = limz→∞

X (z)

= limz→∞

z ·(

1− e−h

T

)

(z − 1) ·(

z − e−h

T

)

= 0

Inversion de la transformée en z

17 mars 2011 Régulation numérique � 17 / 20■ Dé omposition en éléments simples

■ Inversion par division polyn�miale

Dé omposition en éléments simples : exemple

17 mars 2011 Régulation numérique � 18 / 20■ X (z) = 0.1·z·(z+1)

(z−1)2·(z−0.6)

ave h = 1 [s]


17 mars 2011 Régulation numérique � 18 / 20■ X (z) = 0.1·z·(z+1)

(z−1)2·(z−0.6)

ave h = 1 [s]

■ Dé omposition manuelle en éléments simples (table des transformées)X (z) =

a · z

z − 1+

b · z

(z − 1)2+

c · z

z − 0.6

= . . .

=−z

z − 1+

0.5 · z

(z − 1)2+

z

z − 0.6


17 mars 2011 Régulation numérique � 18 / 20■ Transformées en z inverses des éléments

X (z) =−z

z − 1+

0.5 · z

(z − 1)2+

z

z − 0.6

x [k] = Z−1{X (z)}

=(

−1 + 0.5 · k · h+ 0.6k)

· ǫ[k]


17 mars 2011 Régulation numérique � 18 / 20■ Les premiers é hantillons de x[k] sont :

x [k] = Z−1{X (z)}

=(

−1 + 0.5 · k · h+ 0.6k)

· ǫ[k]

x [0] = −1 + 0 + 1 = 0

x [1] = −1 + 0.5 + 0.6 = 0.1

x [2] = −1 + 0.5 · 2 + 0.62 = 0.36

. . .

Inversion par division polyn�miale

17 mars 2011 Régulation numérique � 19 / 20b0 · z

−d + b1 · z−1−d + ... + bm−1 · z

1−n + bm · z−n 1 + a1 · z

−1 + . . . + an−1

x [0] · z−d + x [1] · z−1−d + . . . + x [n] · z−n−d + x [n +

Inversion par division polyn�miale : exemple

17 mars 2011 Régulation numérique � 20 / 200.1 · z

2 +0.1 · z z3− 2.6 · z

2 + 2.2 · z − 0.6

0.1 · z2

−0.26 · z +0.22 −0.06 · z−1

0.36 · z −0.22 +0.06 · z−1 0.1 · z

−1 + 0.36 · z−2 + 0.716 · z

−3 + . . .

0.36 · z −0.936 +0.792 · z−1

−0.216 · z−2

0.716 + . . .

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