PresentacionSeries de Fourier
-
Upload
alfredo-villanueva -
Category
Documents
-
view
32 -
download
0
description
Transcript of PresentacionSeries de Fourier
![Page 1: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Series de Fourier
"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Genaro González
![Page 2: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/2.jpg)
2
...3
)3(
2
)2()(
)(
2)(
1
+++
==−= ∑∞
=
tsentsentsen
n
ntsenttf
n
π
La primera serie de Fourier de la historia
Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:
¿Es cierto?
Observemos que en t = 0 hay problemas → π/2 = 0 ¡¡
La clave está en el concepto de función periódica.
![Page 3: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Funciones Periódicas
Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t:
f(t) = f(t + T).
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función.
Observa que:
f(t) = f(t + nT), donde n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,...
Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?
![Page 4: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función
Si f(t) es periódica se debe cumplir:
Como cos(t + 2kπ ) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:
T/3 = 2k1π y T/4 = 2k2π .Es decir:
T = 6k1π = 8k2πcon k1 y k2 enteros.
El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24π .
?coscos 43 )()(f(t) tt +=
)()(T)f(t TtTt43 coscos ++ +=+ )()(f(t) tt
43 coscos +==
![Page 5: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Gráfica de la función
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24π
T
)()(f(t) tt43 coscos +=
![Page 6: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/6.jpg)
6
¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica?Depende. Consideremos la función:
f(t) = cos(ω 1t) + cos(ω 2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que:
ω 1T = 2π m y ω 2T = 2π n.Es decir, que cumplan:
T = m/ (2π ω 1) = n/ (2π ω 2)n
m=2
1
ωω
![Page 7: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((π +3)t) tenemos que
¿Es periódica?π+
=ωω
3
3
2
1
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2
f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)
t
f(t)
![Page 8: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Para que exista periodicidad ω 1/ ω 2 debe ser
un número racional (n/m).
Ejercicios: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son periódicas:
1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
2) f(t) = sen2(2π t)
3) f(t) = sen(t) + sen(t + π /2)
4) f(t) = sen(ω 1t) + cos(ω 2t)
5) f(t) = sen(√2 t)
![Page 9: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,
¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo
T < min(T1,T2)?
T1 = 5
T2 = 5
T = 2,5
![Page 10: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:
<<
≤≤=
11
,0
10),2(
)(1
tN
NttNsen
tfπ
<<
≤≤=
11
),2(
10,0
)(2
tN
tNsen
Nt
tfπ
extendida periódicamente con T = 1:
+∞<<∞−+= ttftf ),1()( 11
extendida periódicamente con T = 1:
+∞<<∞−+= ttftf ),1()( 22
+∞<<∞−+++<≤
=+ttftf
ttNsentftf
),1()1(
10,)2()()(
2121
π
NNT
1
2
22 ===π
πωπ
![Page 11: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/11.jpg)
11
¿Puede una función f(t) cumplir la condición f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?
=enterounes nosi0
enterounessi1)(1 t
ttf
1
enterossonnoysi0
enterossonysi1)()( 11
=⇒
++
=+=
T
Ttt
TttTtftf
![Page 12: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/12.jpg)
12
=enterounesoirracionalessi0
enterounnoperoracionalessi1)(2 t
ttf
1
enterosoesirracionalsonysi0
enteros noperoracionalessonysi1)()( 22
=⇒
++
=+=
T
Ttt
TttTtftf
=+irracionales si0
racionalessi1)()( 21 t
ttftf
T = ?
![Page 13: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/13.jpg)
13
...3
)3(
2
)2(
2+++=− tsentsen
tsentπ
¿Cómo lo alcanzó?
Volvamos al resultado de Euler:
++=+++=
...)(
...)(32
32
titiit
titiit
eetSe
eeetS
t
tseni
e
etS
it
it
cos12
1
2
1
1)(
−+−=
−=
{ }...)3()2(...)3cos()2cos(cos
...)(
2
1
32
+++++++=+++=
−
tsentsentsenittt
eeetS titiit
2;
4...
7
1
5
1
3
11
2
2
1...
3
)3(
2
)2(
4
πππ
π
=+−=+−+−→=
+−=+++
CCt
Cttsentsen
tsen
Integrando término a término:
Utilizando la fórmula de Euler para cada término:
Particularizamos t para encontrar C:
![Page 14: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
...3
)3(
2
)2(
2+++=− tsentsen
tsentπ
...3
)3(
2
)2()(
22
...3
)3(
2
)2()(
2
−−−−=+
+−+−+−=+
tsentsentsen
t
tsentsentsen
t
π
π
![Page 15: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/15.jpg)
15
(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.
(2) La serie es una función impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.
(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.Pero no fuera del intervalo...
(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.
(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...
![Page 16: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Jeand'Alembert1717-1783
Leonhard Euler1707-1783
DanielBernouilli1700-1782
Lagrange
![Page 17: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1.Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de unafunción. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una función.Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.
![Page 18: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/18.jpg)
18
![Page 19: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/19.jpg)
19
En realidad la forma de solucionar el problema por parte de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta. Se basó en la superposición de ondas y tomó como solución:
un(x,t) = sin(nx) cos(nt)
donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos o nodos.
∑∞
=
=1n
n )ntcos()nx(sena)t,x(u
Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...
![Page 20: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t)
.t,)t(T)t(''T
)(X)(X),,(x,)x(X)x(''X
.c.cy.i.c;x
)t,x(u
t
)t,x(u
00
010100
2
2
2
2
>=λ+==∈=λ+
∂∂=
∂∂
Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como:
∑∞
=
==1
0n
n )nx(sena),x(u)x(f
con una adecuada elección de los coeficientes an...
![Page 21: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Joseph Fourier
En diciembre de 1807 Joseph
Fourier presentó un sorprendente
artículo a la Academia de Ciencias
en París. En él afirmaba que
cualquier función puede escribirse
en forma de serie trigonométrica
semejante al ejemplo de Euler.
Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830
![Page 22: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio.Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).
![Page 23: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión:
Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.
Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...
t
u
kx
u
∂∂=
∂∂ 1
2
2
![Page 24: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/24.jpg)
24
π≤≤=≤=π=
∂∂=
∂∂
x);x(f),x(u
t;)t,(u)t,(ut
)t,x(u
kx
)t,x(u
00
000
12
2
00 =π==
=
)(X)(Xcon
)t(T)x(''X)t('T)x(X
)t(T)x(X)t,x(u
Dividiendo entre X(x)T(t):
)xA(senC)xAcos(C)x(X);x(AX)x(''X
eC)t(T);t(AT)t('T
.cteA,A)x(X
)x(''X
)t(T
)t('T
At
−+−==
==
===
21
0
C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...
)nx(sene)t,x(u tnn
2−=
![Page 25: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/25.jpg)
25
)nx(sene)t,x(u tnn
2−=La combinación lineal de soluciones
será también solución:
∑∞
=
=1n
nn )t,x(ua)t,x(u
Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los coeficientes an.
![Page 26: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Serie trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier
Donde ω 0 = 2π /T se denomina frecuencia fundamental.
])()cos([)(1
00021 ∑
∞
=
++=n
nn tnsenbtnaatf ωω
...)3()2()(...
...)3cos()2cos()cos()(
030201
030201021
++++++++=
tsenbtsenbtsenb
tatataatf
ωωωωωω
![Page 27: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/27.jpg)
27
...3
)3(
2
)2(
2+++=− tsentsen
tsentπ
])()cos([)(1
00021 ∑
∞
=
++=n
nn tnsenbtnaatf ωω
a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ...
b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...
![Page 28: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/28.jpg)
28
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Dada una función periódica f(t), ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.
]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n
nn∑∞
=
++=1
00021 cos
![Page 29: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Ortogonalidad
Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:
=≠
=∫ nmparar
nmparadt(t)(t)ff
n
b
a
nm
0
![Page 30: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que:
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –π < t <π , ya que
04 1
141
1
31
1
2 ===−−−
∫∫t
dttdttt
02
cos2
==−−
∫π
ππ
π
tsentdtsent
¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad?
![Page 31: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Ortogonalidad de senos y cosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2< t < T/2:
{1, cos(ω 0t), cos(2ω 0t), cos(3ω 0t),...,
sen(ω 0t), sen2ω 0t, sen3ω 0t,...}
con ω 0= 2π /Τ .
![Page 32: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Vamos a verificarlo probándolo a pares:
1.- f(t) = 1 vs. cos(mω 0t):
Ya que m es un entero.
0)222
cos1
00
0
2
2
0
02
2
0
===
==−−
∫
mω
sen(mπ
mω
)T/sen(mω
mω
t)sen(mωt)dt(mω
T/
T/T/
T/
ω 0= 2π /Τ
![Page 33: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/33.jpg)
33
2.- f(t) = 1 vs. sen(mω 0t):
3.- cos(mω 0t) vs. cos(nω 0t):
02cos2cos1
cos1
000
2
2
0
02
2
0
=−=
=−=−−
∫
)]T/(mω)-T/(mω[mω
mω
t)(mωt)dtsen(mω
T/
T/T/
T/
≠=≠
=∫− 02/
0t)dtt)cos(ncos(m
2/
2/
00 nmparaT
nmparaT
T
ωω
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]cos2θ = ½ (1+cos2θ )
ω 0= 2π /Τ
![Page 34: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/34.jpg)
34
4.- sen(mω 0t) vs. sen(nω 0t):
5.- sen(mω 0t) vs. cos(nω 0t):
m,ncualquierparat)dt(nωt)sen(mωT/
T/
0cos2
2
00 =∫−
≠=≠
=∫− 02
02
2
00 nmparaT/
nmparat)dtt)sen(nωsen(mω
T/
T/
sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A =½ (1-cos2θ )
sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]
![Page 35: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/35.jpg)
35
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(ω 0t), cos(2ω 0t), cos(3ω 0t),...,
sen(ω 0t), sen2ω 0t, sen3ω 0t,...}
con ω 0= 2π /Τ , en el intervalo -T/2< t < T/2 , para calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de Fourier:
]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n
nn∑∞
=
++=1
00021 cos
![Page 36: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(mω 0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1)cos()(2/
2/
02 == ∫
−
mdttmtfaT
TTm ω
∑ ∫
∑ ∫
∫∫
∞
= −
∞
= −
−−
+
+=
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
cos
coscos
cos)cos()(
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
t)dt(mωt)sen(nωb
t)dt(mωt)(nωa
t)dt(mωadttmtf ω
0
0, si m ≠ 0
0, si m ≠ 0T/2, si m = n
![Page 37: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0
que debemos tratar a parte:
∫−
=2/
2/
0 )(2 T
T
dttfT
aTa
t)dt(mωt)sen(nωb
t)dt(mωt)(nωa
t)dt(mωadttmtf
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
0
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
2
1
cos
coscos
cos)cos()(
=
+
+=
∑ ∫
∑ ∫
∫∫
∞
= −
∞
= −
−−
ω
0
T, si m = 0
0, si m ≠ 0T/2, si m = n
![Page 38: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Similarmente, multiplicando por sen(mω 0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1)()(2/
2/
02 == ∫
−
mdttmsentfbT
TTm ω
∑ ∫
∑ ∫
∫∫
∞
= −
∞
= −
−−
+
+=
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
cos
)(
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
t)dtt)sen(mωsen(nωb
t)dtt)sen(mω(nωa
t)dtsen(mωadtt)sen(mωtf0
0
0, si m ≠ 0T/2, si m = n
![Page 39: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T:
La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:
1f(t)
t. . . -T /2
0
T/2 T . . .
-1
<<<<−−
=2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf ω 0= 2π /Τ
![Page 40: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Coeficiente a0:
∫−
=2/
2/
10 )(
T
TT dttfa
+−= ∫∫
−
2/
0
0
2/
20
T
TT dtdta
+−=
− 0
2/
2/
02
T
TT tt 0=
<<<<−−
=2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
![Page 41: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Coeficientes an:
∫−
=2/
2/
02 )cos()(
T
TTn dttntfa ω
⋅+⋅−= ∫∫
−
2/
0
0
0
2/
02 )cos(1)cos(1
T
TTn dttndttna ωω
0)(1
)(1
0
2/
002/
0
00
2 =
+−=
−
T
TT tnsen
ntnsen
nω
ωω
ω
0para ≠n
<<<<−−
=2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
![Page 42: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Coeficientes bn:
∫−
=2/
2/
02 )()(
T
TTn dttnsentfb ω
=
+−= ∫∫
−
2/
0
0
0
2/
02 )()(
T
TTn dttnsendttnsenb ωω
−=
− 0
2/
002/
0
00
2 )cos(1
)cos(1 T
TT tn
ntn
nω
ωω
ω
[ ])1)(cos())cos(1(1 −−−= πππ
nnn
[ ] 0para))1(12 ≠−−= n
nn
π
<<<<−−
=2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
![Page 43: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Finalmente, la serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para
ω 0 = π (ω 0= 2π /Τ ), es decir, T = 2:
[ ]
( )∑∞
=
−−
=
+++=
10
051
031
0
))12(12
14)(
...)5()3()(4
)(
n
tnsenn
tf
tsentsentsentf
ωπ
ωωωπ
![Page 44: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/44.jpg)
44
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
Co
mp
on
ente
s
Sumafundamentaltercer armónicoquinto armónicoséptimo armónico
[ ]...)5()3()(4
)( 051
031
0 +++= tsentsentsentf ωωωπ
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
![Page 45: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t),
no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:
de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario,
con el mismo resultado.
![Page 46: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Habíamos calculado los coeficientes para:
<≤−<≤
=TtTpara
Ttparatf
2/1
2/01)(
<<<<−−
=2/01
02/1)(
Ttpara
tTparatf
Si los calculamos para la misma función desplazada
tienen que ser los mismos:
1f(t)
t. . . -T /2
0
T/2 T . . .
-1
1f(t)
t. . . -T /2
0
T/2 T . . .
-1
Repite los cálculos y compruébalo.
![Page 47: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/47.jpg)
47
De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo:
1f(t)
t
. . . t0 t0 +T . . .-1
∫∫∫∫ ====+
− TT
Tt
tT
T
T
T
TT dttfdttfdttfdttfa )()()()( 22
0
22/
2/
10
0
0
∫∫ ===− T
T
T
TTn dttntfdttntfa )cos()(...)cos()( 0
22/
2/
02 ωω
∫∫ ===− T
T
T
TTn dttnsentfdttnsentfb )()(...)()( 0
22/
2/
02 ωω
![Page 48: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para
2)(
ttf
−= π
la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tenía razón.
![Page 49: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/49.jpg)
49
)3cos(1)()cos(1)(
definitivaen
todopara 0)())3cos(1(3
)()(2
1 si ,0
1 si ,1)cos())3cos(1(
3)cos()(
2
2))3cos(1(3
)(2
01
01
3
2
0
00
3
2
0
00
3
2
0
0
ttnsenbtnatf
ndttnsentdttnsentfT
b
n
ndttntdttntf
Ta
dttdttfT
a
nn
nn
Tn
Tn
T
+=++=
=+==
≠=
=+==
=+==
∑∑
∫∫
∫∫
∫∫
∞
=
∞
=
ωω
ωπ
ω
ωπ
ω
π
π
π
π
3
2 periodo de )3cos(1)(
π=+= Tttf
Calcula la serie de Fourier de la función periódica:
La serie es la propia función...
![Page 50: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición. En muchos libros se habla de extender de forma par o impar una función. La serie de Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes:
t
t
Extensión par
Extensión impar
![Page 51: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si
f(t) = f(-t)
π 2 π
f(t)
t − π − 2 π
![Page 52: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/52.jpg)
52
En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
π 2 π
f(t)
t − π − 2 π
![Page 53: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t ,g(t) = 1/(t2+1).
Solución:Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es función impar.Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por lo tanto g(t) es función par.
![Page 54: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o impar? (f es una función arbitraria).
Solución:Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)).Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t),finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es función par, sin importar como sea f(t).
![Page 55: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares:
h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2) + 1h(t) = (10+t2) - (1+t2)1/2
etc...Ya que todas tienen la forma f(1+t2).
![Page 56: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/56.jpg)
56
• Si f (x) es par:
∫=a
dxxf0
)(2∫−
a
a
dxxf )(
∫a
dxxf0
)(
a-a
∫−
a
a
dxxf )(
![Page 57: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/57.jpg)
57
• Si f (x) es impar:
0=∫−
a
a
dxxf )(
a-a
∫−
a
a
dxxf )(
![Page 58: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Como la función sen(nω 0t) es una función impar para todo n y la función cos(nω 0t) es una función par para todo n, es de esperar que:
• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n.
• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.
![Page 59: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/59.jpg)
59
Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:
1f(t)
t. . . -T /2
0
T/2 T . . .
-1
[ ]...)5()3()(4
)( 051
031
0 +++= tsentsentsentf ωωωπ
![Page 60: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/60.jpg)
60
P2. Septiembre 2005
a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones
ππ ≤≤−== xxxgxxf en cos)(y sin)(
Respuesta.
[ ]∑∞
=
++=1
0 )sin()cos(2
)(n
nn nxbnxaa
xf
f(x) = |sen(x)|, x є [-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0
![Page 61: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/61.jpg)
61
[ ]
[ ]1)1cos(1
21
)1sin()1sin(1
)cos(sin2
)cos()(1
2
0
0
−−−
=
=−++=
===
∫
∫∫−
ππ
π
πππ
ππ
π
nn
dxxnxn
dxnxxdxnxxfan
imparn ,0 par;n ,)1(
4 ;
420 =
−−== nn an
aaππ
![Page 62: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/62.jpg)
62
14
)2cos(42sin
21 −
−= ∑∞
= n
nxx
n ππ
f(x) = |cos(x)|, x є [-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0
[ ]∫
∫∫−++=
===−
2/
0
2/
0
)1cos()1cos(2
)cos(cos4
)cos()(1
π
ππ
π
π
ππ
dxxnxn
dxnxxdxnxxgan
![Page 63: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/63.jpg)
63
imparn ,0 par;n ,)1(
4 ;
420 =
−±== nn an
aaππ
14
)2cos()1(42cos
21 −
−−= ∑∞
= n
nxx
n
n ππ
![Page 64: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/64.jpg)
64
Onda triangular (Triangle Wave)
+++−
222 5
5cos
3
3cos
1
cos4
2
xxx
ππ
![Page 65: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/65.jpg)
65
Right Triangular Wave
−+−
3
3sin
2
2sin
1
sin2
xxx
![Page 66: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Saw Tooth Wave
+++−
3
3sin
2
2sin
1
sin2
xxxπ
![Page 67: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/67.jpg)
67
Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para
ππα <<−= tttf ),cos()(
con periodo T = 2π (frecuencia fundamental ω 0 = 1) y α un número real no entero, es:
−
−+= ∑∞
=
)cos()1(
21)(
)cos(1
22tn
n
sent
n
n
αα
αππαα
![Page 68: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/68.jpg)
68
Observa que si tomamos t = 0 entonces:
−
−+= ∑∞
=
)cos()1(
21)(
)cos(1
22tn
n
sent
n
n
αα
αππαα
y con α = 1/2.
∑∞
= −−+=
122
)1(2
1
)( n
n
nsen αα
απαπ
∑∑∞
=
∞
= −−+=
−−+=
12
122 41
)1(42
)2/1(
)1(2
n
n
n
n
nnπ
ππ <<− t
![Page 69: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/69.jpg)
69
O que si tomamos t = π entonces:
−
−+= ∑∞
=
)cos()1(
21)(
)cos(1
22tn
n
sent
n
n
αα
αππαα
ππ <<− t
−
+= ∑∞
=122
12
1)()cos(
n n
sen
αα
αππαπα
nt )1()cos( −=π
∑∞
= −+=
122
12
1
)tan( n nαα
απαπ
¿Es correcto el resultado?
![Page 70: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Que la integral traspase los sumatorios en la deducción de las fórmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos qué es convergencia uniforme.
Sea la serie infinita:
y definamos sus sumas parciales como:
Convergencia uniforme
∑∞
=
=1
)()(n
n xuxS
∑=
=k
nnk xuxS
1
)()(
![Page 71: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/71.jpg)
71
Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si ∀ε > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:
NkxfxSk ><− quesiempre)()( ε
Observemos que en general N dependerá de ε y del punto x (convergencia puntual).Si N solo depende de ε , pero no de x, decimos quela convergencia es uniforme.
Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque:
![Page 72: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/72.jpg)
72
(1) Si cada término un(x) de una serie es continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces:
(a) f(x) es también continua en (a, b).
(b) ∑∫∫ ∑∞
=
∞
=
=11
)()(n
b
a n
b
an
n dxxudxxu
(2) Si cada término un(x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es uniformemente convergente, entonces:
∑∑∞
=
∞
=
=11
)()(n
nn
n xudx
dxu
dx
d
![Page 73: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/73.jpg)
73
¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie?
(1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk(x) y aplicar la definición o
(2) utilizar la prueba M de Weierstrass:
Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)| ≤ Mn y además
∑∑∞
=
∞
=
⇒11
nteuniformemeconverge)(convergen
nn
n xuM
![Page 74: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/74.jpg)
74
nteuniformemeconverge6
1
1)(1
),(en)(
)(
2
12
222
12
Sn
nn
nxsen
nM
n
nxsenxS
n
n
n
⇒=
≤⇒=
−=
∑
∑
∞
=
∞
=
π
ππ
Ejemplo:
![Page 75: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/75.jpg)
75
Condiciones de Dirichlet
Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias.
(1) f(x) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo.
(2) f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo.
(3) ∞<∫T
dxxf )(
![Page 76: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/76.jpg)
76
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a:
si x es un punto de discontinuidad.
( ))()(2
1 −+ + xfxf
![Page 77: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/77.jpg)
77
<≤−<<−
=ππ
πxx
xxf
0,
0,0)(
22
1
)(01
)(2
2
2
0
2
0
0
0
πππ
ππ
π
π
π
π
π
π
π
=
−=
−+=
=
=
∫∫
∫
−
−
xx
dxxdx
dxxfa
T
Desarrollaen serie de Fourier:
![Page 78: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/78.jpg)
78
πππ
ππ
π
πππ
ππ
π
π
π
π
π
22
00
0
0
0
)1(11cos
cos1sin
1sin)(
1
cos)(01
cos)(1
nn
n
n
nx
ndxnx
nn
nxx
dxnxxdxdxnxxfa
n
n
−−=+−=
−=
+−=
−+==
∫
∫∫∫ −−
nnxdxxbn
1sin)(
10
=−= ∫π
ππ
∑∞
=
+−−+=1
2 sin1
cos)1(1
4)(
n
n
nxn
nxn
xfπ
π
![Page 79: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/79.jpg)
79
La función f es continua en (−π , π ) excepto en x = 0. Así su
serie de Fourier converge en x = 0 a:
La serie es una extensión periódica de la
función f. Las discontinuidades en x = 0,
± 2π , ± 4π , … convergen a:22
)0()0( π=−++ ff
220
2)0()0( ππ =+=−++ ff
![Page 80: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/80.jpg)
80
xxxSxxSS 2sin2
1sincos
2
4,sincos
2
4 ,
4 321 +++=++==π
ππ
ππ
Secuencia de sumas parciales y su representación gráfica
![Page 81: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/81.jpg)
81
![Page 82: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/82.jpg)
82
![Page 83: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/83.jpg)
83
![Page 84: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/84.jpg)
84
![Page 85: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/85.jpg)
85
![Page 86: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/86.jpg)
86
![Page 87: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/87.jpg)
87
![Page 88: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/88.jpg)
88
![Page 89: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/89.jpg)
89
![Page 90: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/90.jpg)
90
![Page 91: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/91.jpg)
91
![Page 92: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/92.jpg)
92
![Page 93: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/93.jpg)
93
![Page 94: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/94.jpg)
94
![Page 95: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/95.jpg)
95
![Page 96: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/96.jpg)
96
![Page 97: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/97.jpg)
97
![Page 98: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/98.jpg)
98
![Page 99: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/99.jpg)
99
![Page 100: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/100.jpg)
100
![Page 101: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/101.jpg)
101
Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la
función
[ ]1,0 ,1)( 2 ∈−= tttf
de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1].
Respuesta.
Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2L-
periódica.
Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a de
modo que: 1. sea continua en [-L,L].
2. sea continua a trozos en [-L,L].
)(~
tf)(
~tf
)(~
tf ′
![Page 102: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/102.jpg)
102
La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´ = -2t es
continua en [-L,L] ) con L = 1.
Re (z)
Im (z)
parfunción ser por 0
sincos2
)(~
1
0
=
+
+= ∑
∞
=
n
nnn
b
tL
nbt
L
na
atf
ππ
1-1
![Page 103: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/103.jpg)
103
3
4
3
22)1(2)1(
)(
)1(4
)cos()1(2)cos()1(
1
0
21
1
20
2
1
0
21
1par
~
2
==−=−=
−−=
=−=−=
∫∫
∫∫
−
−
dttdtta
n
dttntdttnta
n
f
n
π
ππ
( )tnn
tfn
n
ππ
cos)1(4
3
2)(
~
122 ∑
∞
=
−−=
[ ]==
∈ 1,0)(
~)(
ttftf
![Page 104: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/104.jpg)
104
P2. Septiembre 2006
a) (4 puntos)
1. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función
f(x) = x2 -π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π)
1. Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a
f(x) en [-π,π]
2. Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la
serie numérica
3. A partir del desarrollo de Fourier de la función f(x), obtener el
desarrollo en serie de Fourier de la función
g(x) = x(x2 – π2) -π ≤ x ≤ π, con g(x) = g(x + 2π)
∑∞
=14
1
k k
![Page 105: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/105.jpg)
105
Respuesta.
1. f(x) = x2, x є [-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0:
===
==
+=
∫∫
∫
∑
−
∞
=
ππ
π
π
ππ
ππ
0
22
2
0
20
1
0
)cos(2
)cos(1
3
22
)cos(2
)(
dxnxxdxnxxa
dxxa
nxaa
xf
n
nn
![Page 106: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/106.jpg)
106
n
n
nxn
nxxn
nxxn
)1(22
)sin(2
)cos(2
)sin(12
2
03
02
0
2
−=
=
−+=
ππ
π
πππ
)cos()1(
43
)(1
2
2
nxn
xfn
n
∑∞
=
−+= π
nn n
a )1(4
2−=
![Page 107: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/107.jpg)
107
[ ]( ) uniforme iaconvergenchay
,-en continua
,-en continua
′ ππππ
f
f
[ ] ( )
5522
1
22202
5
2
5
1)(
2)(
1
π
ππ
π
π
π
π
π
==
++=
−−
∞
=−
∫
∑∫
xdxx
baa
dxxfn
nn
2.
3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:
![Page 108: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/108.jpg)
108
∑∞
=
+
=
14
224 1
162
1
3
2
5
2
n nππ
90
1 2
14
π=∑∞
=n n
4. ( ) [ ]
)cos()1(
12)(33)(
periódica 2 ,, ,)(
12
22
22
nxn
xfxxg
xxxxg
n
n
∑∞
=
−=−=−=′
−∈−=
ππ
ππππ
)sin()1(
12)( :uniforme iaconvergencPor 1
3nx
nxg
n
n
∑∞
=
−=
![Page 109: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/109.jpg)
109
Fenómeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, el sumatorio se aproximará más a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos.
Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:
[ ]...)5()3()(4
)( 051
031
0 +++= tsentsentsentf ωωωπ
![Page 110: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/110.jpg)
110
-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5S er ie c on 1 a rm ón ic o
[ ])(4
)( 0tsentf ωπ
=
![Page 111: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/111.jpg)
111
-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5S erie c on 3 a rm ón icos
[ ])5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf ωωωπ
++=
![Page 112: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/112.jpg)
112
-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5S erie c on 5 a rm ón icos
![Page 113: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/113.jpg)
113
-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5S erie c on 7 a rm ón icos
![Page 114: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/114.jpg)
114
-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5S er ie c on 1 3 a rm ón ic os
![Page 115: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/115.jpg)
115
Fenómeno de GibbsFenómeno de Gibbs
-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5S er ie c on 5 0 a rm ón ic os
![Page 116: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/116.jpg)
116
Fenómeno de GibbsFenómeno de Gibbs
-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5S er ie con 1 0 0 arm ón ic os
![Page 117: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/117.jpg)
117
![Page 118: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/118.jpg)
118
Forma compleja de la serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2π /ω 0.
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
])()cos([)(1
00021 ∑
∞
=
++=n
nn tnsenbtnaatf ωω
)()(
)()cos(00
00
21
0
21
0
tintini
tintin
eetnsen
eetnωω
ωω
ω
ω−
−
−=
+=
![Page 119: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/119.jpg)
119
Sustituyendo:
Y usando el hecho de que 1/i = -i:
Y definiendo:
])()([)(1
21
21
021 0000∑
∞
=
−− −+++=n
tintinin
tintinn eebeeaatf ωωωω
])()([)(1
21
21
021 00∑
∞
=
−++−+=n
tinnn
tinnn eibaeibaatf ωω
)() ,(, 21
21
021
0 nnnnnn ibacibacac +≡−≡≡ −
∑∞
−∞=
=n
tinnectf 0)( ω
T
2 0
πω =
![Page 120: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/120.jpg)
120
A la expresión obtenida
se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:
Para n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ...Demostrarlo.
∫ −=T
tinTn dtetfc
0
1 0)( ω
∑∞
−∞=
=n
tinnectf 0)( ω
¿Forma { }∞−∞=n
tine 0ω
un conjunto ortogonal?
![Page 121: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/121.jpg)
121
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:
Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y
1f(t)
t. . . -T /2
0
T/2 T . . .
-1
ntodoparan
b nn ])1(1[
2 −−=π
![Page 122: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/122.jpg)
122
Podemos calcular los coeficientes cn:
Entonces la serie compleja de Fourier queda:
])1(1[][ 221
21 n
nnnn iibac −−−=−= π
])1(1[1 nnn ic −−−= π
...)
(...)(
000
000
5513
31
3315
512
−−−−
+++= −−−
tititi
tititi
eee
eeeitfωωω
ωωωπ
![Page 123: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/123.jpg)
123
Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:
∫ −=T
tinTn dtetfc
0
1 0)( ω
−+= ∫∫ −−
T
T
tinT
tin dtedteT 2/
2/
0
001 ωω
−= −
−−
−2/
1
0
2/1 00
1
T
Ttin
in
Ttin
in eeT oo
ωω
ωω
[ ])()1(1 2/2/ 000 TinTinTin
o
eeeTin
ωωω
ω−−− −−−
−=
![Page 124: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/124.jpg)
124
Como ω 0T = 2π y además:
que coincide con el resultado ya obtenido.
θθθ isene i ±=± cos
)])1(1()1)1[(1 nnTinn o
c −−−−−= − ω
])1(1[2 nTn o
i −−−= ω
])1(1[1 nni −−−= π
![Page 125: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/125.jpg)
125
<≤<≤−
=10 , 1
01 , 0)(
x
xxH
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:
( ) ∑∞
−∞=
=n
xinn ecxH π
1
0
1
0
1
1
1
2
1
2
1)(
2
1
−
=== −−
−
− ∫∫ ein
dxedxxHec xinxinxinn
πππ
π
[ ] [ ]
[ ]
−=−
=−−=−= −
imparesnsin
iparesnsi
nn
i
nisennn
ie
n
ic in
n
;
; 01)cos(
2
1)()cos(2
12
1
ππ
π
ππππ
π
n 0≠
![Page 126: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/126.jpg)
126
al =1
2− iπlxe H(x)dx
−1
1
∫0-iπ 0x
=1
2dx
0
1
∫ =1
2
−=imparesnsi
n
iparesnsi
cn ;
; 0
π;
2
10 =c
n impar
( ) ∑∑∞
−∞=≠
∞
−∞=
−+==n
xin
n
xinn e
n
iecxH
0
2
1 ππ
π
( )∑>
+−+=
0
)()cos(Re
2
2
1)(
n n
xnisenxnixH
πππ
n impar
∑>
−+=
0
Re2 2
1
n
xinen
i π
πn impar
( ) ∑>
+=0
)(2
2
1
n n
xnsenxH
ππ
n impar
![Page 127: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/127.jpg)
127
![Page 128: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/128.jpg)
128
![Page 129: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/129.jpg)
129
![Page 130: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/130.jpg)
130
La función impulso o delta de Dirac
Se trata de una "función generalizada". Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:
if 0( )
0 if 0
tt
tδ
∞ =≡ ≠
t
f1(t)
f2(t)
f3(t)
δ (t)
t
δ (t)
2)(mtm e
m (t) f −=
π
![Page 131: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/131.jpg)
131
Propiedades de la función δ
( ) 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
exp( ) 2 (
exp[ ( ') ] 2 ( '
t dt
t a f t dt t a f a dt f a
i t dt
i t dt
δ
δ δ
ω π δ ω
ω ω π δ ω ω
∞
−∞∞ ∞
−∞ −∞∞
−∞∞
−∞
=
− = − =
± = )
± − = − )
∫
∫ ∫
∫
∫
t
δ (t)
![Page 132: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/132.jpg)
132
Calcular la serie de Fourier de δ (x):
( ) ∑∞
−∞=
=n
nxin ecx πδ
2
1)(
2
1 1
1
==→ ∫−
− dxxec xinn δπ
( )
∑
∑∑
>
>
−∞
−∞=
+=
++==
0
0
)cos( 2
1
)( 2
1
2
1
2
1
n
n
xinxin
n
xin
xn
eeex
π
δ πππ
δ x( ) ∑>
+=0
)cos( 2
1
n
xnπ
![Page 133: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/133.jpg)
133
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 134: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/134.jpg)
134
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 135: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/135.jpg)
135
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 136: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/136.jpg)
136
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 137: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/137.jpg)
137
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 138: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/138.jpg)
138
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 139: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/139.jpg)
139
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 140: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/140.jpg)
140
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 141: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/141.jpg)
141
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 142: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/142.jpg)
142
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 143: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/143.jpg)
143
Los coeficientes cn son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar:
Observemos que,
Donde ,
para todo n ≠ 0.
Y para n = 0, c0 es un número real:
ninn ecc φ=
ninnn eccc φ−
− == *
2221
nnn bac +=
−=
n
nn a
barctanφ
021
0 ac =
![Page 144: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/144.jpg)
144
Espectros de frecuencia discreta
Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.
![Page 145: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/145.jpg)
145
Espectros de frecuencia discreta
Ejemplo. Para la función ya analizada:
Encontramos que:
Por lo tanto:
1f(t)
t. . . -T /2
0
T/2 T . . .
-1
])1(1[1 nnn ic −−−= π
])1(1[1 n
n nc −−=
π
![Page 146: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/146.jpg)
146
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular ω de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t).
A la gráfica del ángulo de fase φ n de los coeficientes cn contra ω , se le llama el espectro de fase de f(t).
Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular ω = nω 0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.
![Page 147: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/147.jpg)
147
El espectro de amplitud se muestra a continuación
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = número de armónico = múltiplo de ω 0).
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 Espectro de Amplitud de f(t)
n
Cn
Frecuencia negativa (?)
Frecuencia
![Page 148: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/148.jpg)
148
El espectro de magnitud de una f(t) real, es una
función PAR por lo que la gráfica para n ≥ 0
contiene toda la información acerca de f(t) y se le
conoce como espectro unilateral de magnitud.
El espectro de fase de una f(t) real, es una
función IMPAR por lo que la gráfica para n ≥ 0
contiene toda la información acerca de f(t) y se le
conoce como espectro unilateral de fase.
![Page 149: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/149.jpg)
149
Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de términos:
ancos(nω 0t) + bnsen(nω 0t)
se pueden expresar como:
Donde lo único que hemos hecho es multiplicar y dividir por:
++
++ )()cos( 022022
22 tnsenba
btn
ba
aba
nn
n
nn
nnn ωω
22nn ba +
![Page 150: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/150.jpg)
150
Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en función del coseno:
=+
=+
n
nn
n
n
nn
n
senba
b
ba
a
θ
θ
22
22cos
an
bn
22nnn baC +=
θn
[ ])()cos(cos 00 tnsensentnC nnn ωθωθ +
)cos( 0 nn tnC θω −=
++
++ )()cos( 022022
22 tnsenba
btn
ba
aba
nn
n
nn
nnn ωω
=
n
nn a
barctanθ
![Page 151: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/151.jpg)
151
Si además definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como:
Con:
∑∞
=
−+=1
00 )cos()(n
nn tnCCtf θω
22nnn baC +=
=
n
nn a
barctanθ
Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y θ n, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como:
∑∞
=
++=1
00 )()(n
nn tnsenCCtf θω
![Page 152: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/152.jpg)
152
Componentes y armónicosHemos visto que, bajo ciertas condiciones, una función f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: ω n = nω 0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nω 0:
cn cos(nω 0t + θ n) se le llama el enésimo armónico de f(t).
Al primer armónico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t).
A la frecuencia ω 0= 2π f0 = 2π / T se le llama frecuencia angular fundamental.
![Page 153: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/153.jpg)
153
Ejemplo: La función
Como vimos, tiene un periodo T = 24π , por lo tanto su frecuencia fundamental es ω 0 = 2π /Τ = 1/12 rad/s.
O como ω 0= 2π f0, f0 = 1/Τ = 1/ 24π Hz. Su componente fundamental (n = 1) será:
c0 cos(ω 0t + θ 0) = 0 cos(t/12).
Tercer armónico:
cos(3t/12) = cos(t/4)
Cuarto armónico:
cos(4t/12) = cos(t/3)
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24π
)()(f(t) tt43 coscos +=
![Page 154: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/154.jpg)
154).( de serieen desarrollo delfunción es queFourier de serie unapor
darepresenta estáy periódica es también )(' ia,consecuencen
por dados vienen escoeficient los donde
)('
)()('
: a respecto )( Derivando
)(
:siguienteFourier de compleja serie la de
sen término expresada T periodocon periódica señal una )( Sea
0
0
0
0
0
tf
tf
cind
d
edtf
ecintfdt
dtf
ttf
ectf
tf
nn
n
n
tinn
n
tinn
n
tinn
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
==
=
∑
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
![Page 155: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/155.jpg)
155
5 10-5-10
20T0 = 10
f(t)
t
f(t) =
4t - 20
5 10-5-10
4
T0 = 10 f '(t)
t-4
5
10
-5
-10
8
T0 = 10f ''(t)
t-8
Ejercicio:
![Page 156: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/156.jpg)
156
Potencia y Teorema de Parseval
El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado T se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t)
1f(t)
t
h = Alturapromedio
∫=T
0
dt)t(fArea
T
Area = T h
![Page 157: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/157.jpg)
157
De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por:
Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo.
∫−
2/
2/
21 )]([T
TT dttf
![Page 158: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/158.jpg)
158
El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes complejos cn de Fourier de la función periódica f(t):
O bien, en términos de los coeficientes an, bn:
∑∫∞
−∞=−
=n
n
T
TT cdttf
22/
2/
21 )]([
∑∫∞
=−
++=1
22212
041
2/
2/
21 )()]([n
nn
T
TT baadttf
![Page 159: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/159.jpg)
159
Teorema o identidad de Parseval
∑∫∞
=−
++=1
2220
2/
2/
2 )(2
1
4
1)]([
1
nnn
T
T
baadttfT
( )∑
∫ ∫∑∫∑
∫ ∑∫
∞
=
− −
∞
=−
∞
=
−
∞
=−
++
=++
=
++=
1
2220
2/
2/
0
2/
2/10
2/
2/1
0
2/
2/ 10002
112/
2/
1
2
1
4
)()()cos()()(
])()cos([)()()(
nnn
T
T
T
Tn
nT
Tn
n
T
T nnnT
T
TT
baa
dttnsentfT
bdttntf
T
adttf
T
a
dttnsenbtnaatfdttftf
ωω
ωω
])()cos([)(1
00021 ∑
∞
=
++=n
nn tnsenbtnaatf ωω
![Page 160: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/160.jpg)
160
Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t):
Solución. Del teorema de Parseval
y del ejemplo anterior
sustituyendo
1f(t)
t. . . -T /2
0
T/2 T . . .
-1
∑∫∞
−∞=−
=n
n
T
TT Cdttf
22/
2/
21 )]([
])1(1[1 nnnc −−= π
++++=∑
∞
−∞=
...49
1
25
1
9
11
82
2
πnnc
![Page 161: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/161.jpg)
161
La serie numérica obtenida converge a
Por lo tanto,
Como era de esperar.
2337.1...49
1
25
1
9
11 =++++
1)2337.1(8
)]([2
22/
2/
21 === ∑∫∞
−∞=− πnn
T
TT cdttf
![Page 162: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/162.jpg)
162
a) Sean , con y la función:
1. Calcúlese la serie de Fourier de f.2. Obténgase la identidad de Parseval en este caso y a partir de
ella calcule el valor de la serie:
3. ¿Converge la serie de Fourier de f puntualmente a f(0) en x=0?
ℜ∈21, cc 21 cc ≠ [ )[ ]
∈−∈
=ππ,0,
0,,)(
2
1
xc
xcxf
( )∑∞
= −1212
1
n n
π-π
c1
c2
![Page 163: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/163.jpg)
163
( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )∑
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
∞
=
−
−
−
−
−−−++=
−−=→−=
=→=⇒
⇒−−−=−−=
=−−=
+
=
=−+=
=+=
+
=
+=+=
+=
1
1221
1212
2
2121
0
21
0
20
1
21
0
21
0
20
1
2121
0 2
0
10
1212
2
2)(
12
212
02
110coscos
)()()(
00
coscoscos
1
k
k
k
n
n
n
xksenk
ccccxf
k
ccbkn
bknn
ccn
n
cc
dxnxsencc
dxnxsenc
dxnxsenc
b
sennsenn
cc
nxdxcc
nxdxc
nxdxc
a
cccc
dxcdxca
ππ
π
ππ
π
πππ
ππ
πππ
ππ
π
ππ
π
ππ
π
π
π
1.
![Page 164: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/164.jpg)
164
2. ( )( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) 812
1
12
14
2
12
142
2
,en ortonormal es )(
,cos
,2
1 Como
12
12
12
2
12
2)(
2
12
12
2212
221
12
221
2
12221
22
1
1221
ππ
πππ
πππππ
πππππ
π
π
=−
⇒−
−=−⇒
⇒−
−+
+==+⇒
⇒−
−−
−+
+=
∑∑
∑∫
∑
∞
=
∞
=
∞
=−
∞
=
kk
k
k
kkcc
cc
k
ccccdxxfcc
nxsennx
xksen
k
ccccxf
3. ( )( ) ( )
2 generalen y
2012
12
2
2y )0( que Puesto No.
212
21
1
12212
ccc
ccksen
k
cccccf
k
+≠
+=−−−++= ∑
∞
= ππ
f es continua a trozosy tiene derivadas laterales
![Page 165: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/165.jpg)
165
a) A partir de la serie de Fourier de la función definida en el intervalo : determinar los valores de las series:
1. 2.
xxf =)(
( ) ( )( )∑∞
=
−−
−+=1
2 12cos12
4
2)(
n
xnn
xfπ
π[ ]ππ ,−
( ) ( )∑∑∞
=
∞
= −− 14
12 12
1
12
1
nn nn
1.
( ) ( )( )
( )
( ) 842
12
1
12
14
20
012cos12
4
20
:0f(0) 0, xpara izandoParticular
2
12
12
12
π
π
ππ
ππ
π
=−
−=
−⇒
⇒−
−=⇒
⇒−−
−+=
==
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
n
n
n
n
n
nn
![Page 166: PresentacionSeries de Fourier](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051215/55cf8cf85503462b1390dba8/html5/thumbnails/166.jpg)
166
2.
( )
( )
( )
( )
( ) 9612
1
12
116
23
21
12
16
2
1
:0,12
4,,)( doSustituyen
2)(
1
:Parseval de identidad la Aplicando
4
14
142
23
142
22
20
1
222
02
ππ
πππ
ππ
π
ππ
π
π
π
π
π
=−
⇒
⇒−
+=⇒
⇒−
+=
=−
−===
++=
∑
∑
∑∫
∑∫
∞
=
∞
=
∞
=−
∞
=−
n
n
n
nn
nnn
n
n
ndxx
bn
aaxxf
baa
dxxf