Presentación ejemplo edo homogénea
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ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
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ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Ejercicio resuelto
𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝑥2 + 3𝑥𝑦
𝑦− 𝑥𝑒𝑥/𝑦 = 0
Resolver la EDO
Desarrollo
Primero verifiquemos si se trata de una EDO homogénea
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝑥2 + 3𝑥𝑦
𝑦2+𝑥𝑒𝑥/𝑦
𝑦
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ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Para esto se debe verificar que la función −𝒙𝟐+𝟑𝒙𝒚
𝒚𝟐+𝒙𝒆𝒙/𝒚
𝒚es una función homogénea de orden cero
Por demostrar que:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦
Sea:
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = −𝜆𝑥 2 + 3 𝜆𝑥 𝜆𝑦
𝜆𝑦 2 +𝜆𝑥 𝑒 𝜆𝑥 / 𝜆𝑦
𝜆𝑦
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ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
𝑓(𝑥, 𝑦) es una función homogénea de orden cero
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = −𝜆2𝑥2 + 3𝜆2𝑥𝑦
𝜆2𝑦2+𝜆𝑥𝑒𝑥/𝑦
𝜆𝑦
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = −𝑥2 + 3𝑥𝑦
𝑦2+𝑥𝑒𝑥/𝑦
𝑦
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = −𝜆2 𝑥2 + 3𝑥𝑦
𝜆2𝑦2+𝑥𝑒𝑥/𝑦
𝑦
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ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Por lo tanto la EDO
𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝑥2 + 3𝑥𝑦
𝑦− 𝑥𝑒𝑥/𝑦 = 0
Es una EDO de primer orden homogénea
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝐹
𝑦
𝑥, 1
Reescribimos la EDO como:
De la siguiente manera
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ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝑥
𝑦
2
+ 3𝑥
𝑦−𝑥
𝑦𝑒𝑥/𝑦 = 0
Si 𝒖 =𝒙
𝒚tenemos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=1
𝑢−𝑥
𝑢2𝑑𝑢
𝑑𝑥
1
𝑢−𝑥
𝑢2𝑑𝑢
𝑑𝑥+ 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒𝑢 = 0
La EDO se expresa como una EDO en variables separables:
𝑥
𝑢2𝑑𝑢
𝑑𝑥= 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒𝑢 +
1
𝑢
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ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
𝑑𝑢
𝑢2= 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒𝑢 +
1
𝑢
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑢2 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒𝑢 +1𝑢
= 𝑑𝑥
𝑥
𝑙𝑛 𝑥 = 𝑑𝑢
𝑢2 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒𝑢 +1𝑢
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Corina Villarroel RobalinoDOCENTE