7/17/2019 predavanja9-2014

http://slidepdf.com/reader/full/predavanja9-2014 1/8

Pripreme za predavanja iz Fizike 1 – doc. dr. sc. Sanda Pleslić 

1

Neinercijski sustavi

Ubrzani sustavi. Inercijske sile i translacijsko gibanje

U ubrzanim sustavima ne vrijede Newtonovi zakoni.Primjeri:

•  kad automobil ubrzava, osjećamo silu prema natrag

•  pri kočenju djeluje sila prema naprijed

Javljaju se sile, ne zbog djelovanja drugih tijela, već zbog neinercijalnosti sustava.

Zovemo ih inercijskim silama, a nekad i fiktivnim, odn. pseudo silama da bi se istakla

razlika prema silama nastalima međudjelovanjem s drugim tijelima.

Neka se neinercijski sustav S' giba translatorno prema inercijskom sustavu S

konstantnom akceleracijom oar

 u smjeru + x-osi.

SLIKA: Jednoliko ubrzani sustav – Kulišić slika 7.2. str. 110

Položaj materijalne točke u sustavu S određen je koordinatama  x,  y,  z, a u sustavu S'

kordinatama  x',  y',  z'. Brzina i akceleracija u sustavu S su vr

  i ar

, a u S' 'vr

  i 'ar

. Veza

između veličine u sustavima S i S' je za ovaj posebni slučaj:

200

2'   t at v x x   −−=  

t t 

 z z

 y y

=

=

=

'

'

'

 

 z z

 y y

 x x

vv

vv

t avvv

=

=

−−=

'

'

' 00

 

7/17/2019 predavanja9-2014

http://slidepdf.com/reader/full/predavanja9-2014 2/8

Pripreme za predavanja iz Fizike 1 – doc. dr. sc. Sanda Pleslić 

2

 z z

 y y

 x x

aa

aa

aaa

=

=

−=

'

'

' 0

 

Općenito: 0'   aaa  rrr

−=  

Ako je rezultanta vanjskih sila koje djeluju na tijelo jednaka F r

, tada 2. Newtonov zakon

u sustavu S glasi amF   r

r

= .

U ubrzanom sustavu S’ taj zakon prelazi u: 000 )('   amF amamaamam  r

r

rrrrr

−=−=−=  

Čak i kad je rezultanta vanjskih sila 0=F r

  tijelo će se s obzirom na sustav S' gibati

ubrzano kao da na njega djeluje sila )(0am

r

− . Tu silu zovemo inercijskom silom  i

posljedica je ubrzanja referentnog sustava: 0amF ir

r

−= .

2. Newtonov zakon imat će formalno isti oblik i u ubrzanom sustavu samo ako silama

koje nastaju zbog djelovanja drugih tijela dodamo i inercijsku silu koja nastaje zbog

neinercijalnosti sustava.

Za sustav S' 2. Newtonov zakon je: iF F amrr

+='

Primjer:

•  ubrzani sustav vezan za dizalo (na auditornim vježbama)

• 

ubrzani sustav vezan za kolica koja se gibaju niz kosinu

7/17/2019 predavanja9-2014

http://slidepdf.com/reader/full/predavanja9-2014 3/8

Pripreme za predavanja iz Fizike 1 – doc. dr. sc. Sanda Pleslić 

3

Inercijske sile i rotacijsko gibanje. Coriolisova sila

Razmatramo sustav S' koji rotira konstantnom kutnom brzinom ω 

r

 (ω r

 = konst) s obziromna neki inercijski sustav S. Oba sustava imaju isto ishodište. Sustav je vezan za ploču,

odn. disk koji rotira oko osi  z' okomite na ploču kroz njeno središte. Predmet mase m 

pričvršćen je za središte ploče pomoću opruge.

SLIKA: Rotirajući sustav – Kulišić slika 7.5. str. 114

Dok ploča rotira kutnom brzinom ω, opruga je nategnuta silom r mF cpr

r

2ω −= .

Promatrač iz inercijskog sustava (laboratorija) vidi da se predmet giba po kružnici jer musila opruge za to osigurava potrebnu centripetalnu silu:

r mF F  opcp

r

rr

2ω −==  

Položaj tijela određen je u inercijskom sustavu S vektorom položaja r r

, a u rotirajućem

sustavu S' vektorom položaja 'r r

 i ta su dva vektora identična: 'r r   rr

= .

Promatrač  u ubrzanom sustavu vezanom za ploču (tj. onaj koji bi rotirao zajedno spločom) opaža da predmet miruje u tom sustavu iako opruga na njega djeluje određenom

silom opF r

.

Stoga se uvodi inercijska sila F cf  koja na tijelo djeluje od središta ploče prema van tako

da rezultanta tih dviju sila bude 0: 0=+ cf op   F F rr

.

Slijedi: '2r mF F  opcf 

r

rr

ω =− .

Inercijska sila koja djeluje na tijelo u rotirajućem sustavu zove se centrifugalna sila. Poiznosu je jednaka centripetalnoj sili, ali je suprotnog smjera, tj. usmjerena je od osi

rotacije prema obodu. Međutim, postoji bitna razlika izmedu centrifugalne i centripetalne

sile. Centripetalna sila je naziv za silu koja uzrokuje kružno gibanje i nije neka posebna

vrsta sile. Centrifugalna sila je sila koja se javlja u rotirajućem sustavu kao inercijska sila

7/17/2019 predavanja9-2014

http://slidepdf.com/reader/full/predavanja9-2014 4/8

Pripreme za predavanja iz Fizike 1 – doc. dr. sc. Sanda Pleslić 

4

 

CORIOLISOVA SILA

Kad se tijelo giba s obzirom na rotirajući sustav nekom brzinom 'vr

, tada na njega uz

centrifugalnu silu '2r mF cf r

r

ω =  djeluje i tzv. Coriolisova sila dana izrazom: ω rr

r

×= '2   vmF c  

m - masa tijela

'vr

- brzina tijela s obzirom na rotirajući sustav

ω r

 - kutna brzina rotacije sustava

Coriolisova sila je uvijek okomita na smjer brzine tijela i smjer kutne brzine, a smjer joj

se može odrediti pomoću pravila za smjer vektorskog produkta. Iznos Coriolisove sile je

sin'2mvF c  = (kuta )','(  rr

v ). Ona isčezava ako tijelo s obzirom na sustav miruje, odn. ako

 je brzina 'vr

 paralelna s kutnom brzinomr

.

Ukupna inercijska sila koja djeluje na tijelo u rotirajućem sustavu je zbroj centrifugalne i

Coriolisove sile: ω ω rrr

r

×+= '2'2vmr mF i   (*)

SLIKA: Uz izvod Coriolisove sile – Kulišić slika 7.6. str. 115 

Ovaj izraz (*) za inercijsku silu ćemo izvesti kad se materijalna točka giba u sustavu S'

 jednoliko u radijalnom smjeru brzinomdt 

dr 

dt 

dr v   ==

'' .

S obzirom na inercijski sustav S točka ima 2 komponente brzine:

- radijalnu

dt 

dr v

''=  

- tangencijalnu (obodnu) r v   ω =  

U sustavu S' točka se giba jednoliko, ali je s obzirom na sustav S gibanje ubrzano pa

postoje radijalna i tangencijalna komponenta akceleracije.

Radijalna akceleracija materijalne točke u sustavu S nastaje zbog radijalne komponente

promjene brzine:

r r dt 

d r 

t 

r a

t r 

2

0lim   ω ω ω 

ϕ ω 

ϕ ω    ===

∆

∆=

→∆

 

7/17/2019 predavanja9-2014

http://slidepdf.com/reader/full/predavanja9-2014 5/8

Pripreme za predavanja iz Fizike 1 – doc. dr. sc. Sanda Pleslić 

5

 

Vektorski pisano: r ar 

rr 2ω −=  

Tangencijalna akceleracija nastaje i zbog promjene radijalne brzine tijela po smjeru izbog promjene tangencijalne komponente brzine po iznosu:

'2''''   vvvdt 

dr 

dt 

d v

dt 

dv

dt 

d vat    ω ω ω ω 

ϕ ϕ =+=+=+=  

dt 

d v  ϕ 

' - promjena radijalne brzine po smjeru

dt 

dv  - promjena tangencijalne brzine po iznosu

Vektorski pisano: ω rrr

×−= '2vat  

Ukupna akceleracija materijalne točke s obzirom na inercijski sustav S je:

ω ω    ×−−=+= '22vr aaa t r 

rrrrr

 

2. Newtonov zakon za sustav S je:

ω ω rrrr

r

×−−== '22vmr mamF   

F r

 je stvarna vanjska sila koja djeluje na materijalnu točku.

U rotirajućem sustavu S'gibanje je jednoliko pa je 'ar

= 0.

Da bi Newtonovi zakoni imali isti oblik i u tom sustavu, vanjskoj sili F r

  dodajemo

inercijsku silu iF r

:

ω ω rrr

rrr

r

rrr

×−−=−=⇒==+= '2,0'' 2 vmr mF F F amF F F  ii 

Uz ω ω rrr

r

×−−= '22vmr mF   slijedi: ω ω 

rrr

r

×+=−= '22vmr mF F i  

r m  r2

ω    - centrifugalna sila

ω rr

×'2   vm   - Coriolisova sila

ω ω rrr

r

×+= '22 vmr mF i  smo izveli za posebni slučaj kad se materijalna točka u sustavu S'

giba jednoliko u radijalnom smjeru, ali to vrijedi i općenito za bilo kakvo gibanje česticeu rotirajućem sustavu.

7/17/2019 predavanja9-2014

http://slidepdf.com/reader/full/predavanja9-2014 6/8

Pripreme za predavanja iz Fizike 1 – doc. dr. sc. Sanda Pleslić 

6

Slobodni pad i Coriolisova sila

Kad je tijelo ispušteno na nekoj visini iznad Zemlje, ono slobodno padajući, izvodigibanje u rotirajućem sustavu što vodi na pojavu Coriolisove sile.Na tijelo u njegovom sustavu, a to je neinercijski sustav Zemlje, djeluju 3 sile:

•  težina tijela Gr

(za male visine ne uzimamo Newtonow opći zakon gravitacije za

opis težine tijela)

•  centrifugalna silacf F 

r

 

•  Coriolisova sila cF r

 

Pri razmatranju utjecaja centrifugalne sile na slobodni pad moramo uzeti u obzir

zemljopisnu širinu (   ϕ ω  cos2

 zcf    Ra   = , ϕ    je zemljopisna širina), no taj utjecaj je mali pa

ćemo razmatrati samo Coriolisovu silu.

Ako je brzina tijela ispuštenog s visine h  jednaka gt t v   =′ )( , onda iz jednadžbe gibanja

)),(sin(22

2

vkutavmdt 

 xd m   ′′=

  rr

ω ω    dobijemo pomak u smjeru sile, tj. horizontalni pomak

ϕ ω 

cos3

)(3gt 

t  x   =  

Ovo je zapravo  x′  komponenta gibanja u neinercijskom sustavu S ′ .

Jednadžba gibanja pisana vektorski zapravo je:dt 

r d mgm

dt 

r d m

'2

'2

2   r

rr

r

×−=   ω   

No cijela stvar se svede na horizontalni pomak pa ostale komponente ne razmatramo.

7/17/2019 predavanja9-2014

http://slidepdf.com/reader/full/predavanja9-2014 7/8

Pripreme za predavanja iz Fizike 1 – doc. dr. sc. Sanda Pleslić 

7

Foucaultovo njihalo 

Gibanje tijela u sustavu vezanom za Zemlju uzrokuju pojavu inercijske sile - Coriolisovesile čiji efekti se održavaju kroz globalne (zemljopisne, meterološke) pojave. To jepotaklo Foucaulta da 1851. god. pokaže pomoću velikog matematičkog njihala da se

Zemlja doista vrti oko svoje osi.

SLIKA: Proizvoljno gibanje matematičkog njihala u neinercijskom sustavu S'

Napetost niti i težina tijela djeluju u inercijskom sustavu i opisuju njihanje. U

neinercijskom sustavu djeluju i 2 neinercijske sile:

-  centrifugalna sila cf F r

i

-  Coriolisova sila cF r

 koja nastaje zbog gibanja tijela.

Jednadžba gibanja je: ccf    F F T gmdt 

r d m

rrr

r

r

+++=2

2

 

ili zanemarivanje centrifugalne sile: cF T gmdt 

r d m

rr

r

r

++=2

2

 

To nećemo rješavati, ali rezultat će biti skretanje pravca gibanja tijela na desno ako se

gleda u smjeru gibanja i to za Sjevernu polutku. Za Južnu polutku imamo skretanje u

lijevo.

Zamislimo pokus s matematičkim njihalom (točkasta masa m  obješena na nerastezljivu

nit zanemarive mase) na Sjevernom polu. Ravnina u kojoj se njiše njihalo ostaje cijelo

vrijeme mirno u odnosu na neki inercijski sustav. To znači da će ravnina rotirati u odnosu

na promatrača, koji sjedi na Sjevernom polu, u smjeru suprotnom od rotacije Zemlje, a

brzina rotacije je jednaka 15o na sat, odn. 360

o na dan. Objašnjenje te rotacije u sustavu

promatrača je u uvođenju Coriolisove sile koja je na polu maksimalna jer je tamo brzina

gibanja tijela okomita na kutnu brzinu Zemlje ω .

Sila uvijek djeluje „na desno“ u odnosu na smjer gibanja i leži u horizontalnoj ravnini.

7/17/2019 predavanja9-2014

http://slidepdf.com/reader/full/predavanja9-2014 8/8

Pripreme za predavanja iz Fizike 1 – doc. dr. sc. Sanda Pleslić 

8

 

SLIKA: Skretanje ravnine njihanja Foucaultovog njihala kako ga vide promatrači

u neinercijskom sustavu (npr. mi)

Coriolisova sila djeluje na njihalo slijeva nadesno kad se tijelo udaljava od promatrača i u

suprotnom smjeru kad se približava promatraču. Ako je njihalo na zemljopisnoj širini ϕ  ,

onda se efekt Coriolisove sile reducira za faktor ϕ sin  jer ako se napiše kutna brzina pokomponentama, onda je njena radijalna komponenta jednaka ϕ ω sin , a tangencijalna

ϕ ω cos  (paralelna s površinom).

Tangencijalna komponenta doprinosi vertikalnoj Coriolisovoj sili koja neznatno mijenja

napetost niti dok radijalna komponenta izaziva „precesiju“ njihala (prema slici).

Zadatak s predavanja:

Na vodoravnoj podlozi giba se tijelo mase  M 0 = 200 kg. Na tom tijelu nalaze se dvoja

kolica mase m1 = 25 kg i m2 = 40 kg, koja su međusobno vezana tankom niti prebačenom

preko koloture učvrš

ćene na tijelu 0.Izračunajte:

a) ubrzanje tijela 1 i 2 ako tijelo 0 miruje

b) ubrzanje tog sustava ako se zahtijeva da tijela 1 i 2 miruju u odnosu prema tijelu 0c) silu potrebnu za ubrzanje sustava u b) zadatku

d) napetost niti u zadacima a) i b)

Trenje i momenti tromosti kotača se zanemaruju.