Predavanja E120 - Drugi Kolokvij (1)
-
Upload
damir-semanovic -
Category
Documents
-
view
60 -
download
11
description
Transcript of Predavanja E120 - Drugi Kolokvij (1)
1
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3. Magnetizam3.1. Osnovne veličine magnetskog polja (1)
Osnovne veličine magnetskog polja su:
• Jakost magnetskog polja:
• Magnetska indukcija (gustoća magnetskog toka):
Vrijedi jednadžba konstitucije:
Ako je sredstvo izotropno, jednadžba konstitucije glasi:
Značajka sredstva µ zove se:magnetska permeabilnost.
[ ]m/AHr
[ ]TBr
HBrr
⋅µ=
HB ⋅µ=
2
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.1. Osnovne veličine magnetskog polja (2)Magnetska permeabilnost se može izraziti pomoću produkta:
gdje je:
S obzirom na magnetska svojstva razlikujemo 3 osnovne vrste materijala:
• Feromagnetici (µr >> 1) – od kemijskih elemenata: Fe, Ni, Co.
- permeabilnost vakuuma (zraka)
- relativna magnetska permeabilnost.
• Paramegnetici (µr > 1, µr ≈ 1 ) – npr. Al, Pb.
• Dijamagnetici (µr < 1, µr ≈ 1 ) – npr. C, Cu, Ag, Zn, voda.
r0 µ⋅µ=µ
⋅⋅π⋅=µ −
A
mT 104 7
0
rµ
3
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.1. Osnovne veličine magnetskog polja (3)
Animacija: Utvrđivanje da li je materijal
dijamagnetik ili paramagnetik
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/paramagnetism/index.html
4
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (1)Prirodni magnet je davno otkriven. Utvrđeno je da magnet ima dva pola:
• Sjeverni pol (N –North),
• Južni pol (S –South).
Gilbert 1600. godine je utvrdio da se istoimeni polovi magneta odbijaju, a
raznoimeni polovi privlače.
Magnetsko polje se zorno
prikazuje pomoću silnica.
Analogno električnom
polju, jakost magnetskog
polja je tangencijalna u
odnosu na silnicu.
Hr
5
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (2)Zemlja je veliki prirodni magnet.
Sjeverni geografski pol
Južni geografski pol
Sjeverni magnetski pol se nalaziu blizini južnog geografskog pola.
Danas mnogi znanstvenici tvrde damagnetski polovi zamjenjuju mjesta.Zadnja takva zamjena je bila prije780 tisuća godina.
Mnoge stijene u kori sadrže podatke o jačini i smjeru magnetskog polja u vrijeme njihovog formiranja.
Zemljino magnetsko polje smanjuje štetan utjecaj kosmičkog zračenja i solarnog vjetra. Stoga za vrijeme svake promjene polova nestaju neke vrste i nastaju nove uslijed mutacije.
N
S
6
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (3)Prema jednoj od teorija, Zemljino magnetsko polje stvaraju električne struje u rastopljenoj željeznoj Zemljinoj jezgri koja ne rotira sasvim pravilno (postojeturbulencije u njenom toku) pa je stoga i rezultirajuće magnetsko poljenepravilno i nije usmjereno duž osi rotacije Zemlje.
Konkretno, u posljednje vrijeme sjeverni magnetski pol je udaljen nekih 1000 kilometara od geografskog pola i giba se brzinom od 24 kilometra godišnje. Zbog toga je za precizno korištenje kompasa potrebno za svako mjestopoznavati tzv. magnetsku deklinaciju, tj. razliku između smjera u kojempokazuje kompas i smjera geografskog sjevernog pola.
Činjenica je da zemljino magnetsko polje opada brže no i jedan drugigeofizički fenomen. Ovo kontinuirano gubljenje magnetskog polja Zemlje, i vezano za njega povećanje štetnog zračenja, su van ljudske kontrole.
Magnetska indukcija Zemljinog magnetskog polja u Zagrebu iznosi oko 47 µT i usmjereno je pod kutem od 70 stupnjeva s obzirom na horizontalu.
7
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (4)Elektromagnet nastaje ako oko željezne jezgre namotamo zavojnicu i kroz nju pustimo istosmjernu struju. Smjer magnetskog polja, odnosno položaj sjevernog i južnog pola magneta određuje se po pravilu desne ruke.
Ispruženi palac pokazujesmjer magnetskog poljakroz tijelo magneta.
Savijeni prsti pokazujusmjer električne struje.
8
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (5)
http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/magneticlines/index.html
Animacija: Silnice magneta
9
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.2. Prirodni magnet i elektromagnet (6)
http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/compass/index.html
Animacija: Magnetsko polje i orijentacija kompasa
10
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.3. Magnetski tok (1)
Magnetska indukcija se još zove i gustoća magnetskog toka. Dakle, magnetski
tok je tok koji stvara vektor magnetske indukcije:
U specijalnom slučaju kad jevektor magnetske indukcije okomit na plohu S vrijedi da je:
Ako je, uz dosad uvedeni uvjet, B = konst na S, onda je
magnetski tok kroz plohu S:
∫∫ ⋅=ΦS
SdBrr
∫∫ ⋅=ΦS
dSB
SB ⋅=Φ
S
Br
Sdr
11
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.3. Magnetski tok (2)Ako magnetski tok prolazi kroz zavojnicu, onda je taj magnetski tok Φobuhvaćen (ulančen) s N zavoja. Takav obuhvaćeni magnetski tok označavamo sΨ i zovemo ga ulančeni magnetski tok.
Dakle, uz određenu aproksimaciju, za zavojnicu koja ima N zavoja te kroz koju prolazi magnetski tok Φ vrijedi da je ulančeni magnetski tok:
U specijalnom slučaju kad imamo samo jedan zavoj (N = 1), ulančeni magnetski tok jednak je “običnom”magnetskom toku:
Φ⋅=Ψ N
Φ=Ψ
12
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.4. Zakon elektromagnetske indukcije (1)Neka kroz zavojnicu koja ima N zavoja teče vremenski promjenjiva struja jakosti i. Tastruja stvara magnetsko polje, a zavojnica ulančuje magnetski tok:
Prema zakonu elektromagnetske indukcije u zavojnici se inducira EMS naznačenog smjera, koja je opisana izrazom:
Primijetimo da su inducirana EMS e ijakost struje i istog smjera te da imje smjer usklađen sa smjerom ulančenogmagnetskog toka po pravilu desne ruke.
Φ⋅=Ψ N
dt
dN
dt
d e
Φ⋅−=Ψ−=
13
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.4. Zakon elektromagnetske indukcije (2)
Inducirana EMS je posljedica težnje da ulančeni magnetski tok ostane konstantan:
a) jakost struje i raste ⇒ Ψ raste
Dakle, inducirana EMS želi potjerati struju u suprotnom smjeru, tj. poništiti porast struje.
b) jakost struje i pada ⇒ Ψ pada
Dakle, inducirana EMS želi potjerati struju u istom smjeru, tj. nastoji nadoknaditi pad jakosti struje.
.konst=Ψ
0dt
d >Ψ⇒ 0e <⇒
0dt
d <Ψ⇒ 0e >⇒
14
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.4. Zakon elektromagnetske indukcije (3)
http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/faraday/index.html
Animacija: Faradayev eksperiment – EM indukcija
http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/faraday2/index.html
Animacija: Zakon elektromagnetske indukcije 1
15
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.4. Zakon elektromagnetske indukcije (4)http://www.launc.tased.edu.au/online/sciences/physics/Lenz's.html
http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/lenzlaw/
Animacija: Zakon elektromagnetske indukcije 2
Animacija: Zakon elektromagnetske indukcije 3
16
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.4. Zakon elektromagnetske indukcije (5)
Ako odabrani smjer induciraneEMS e i odabrani smjerulančenog magnetskog toka ψnisu usklađeni po pravilu desne ruke, onda izraz za induciranu EMS glasi:
Zakon elektromagnetske indukcijese još zove Faradayev zakonelektromagnetske indukcije ili pakLenzovo pravilo.
dt
dN
dt
d e
Φ⋅+=Ψ+=
17
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.5. Djelovanje magnetskog polja na naboj u gibanju (1)
Neka se pozitivni točkasti naboj iznosa q giba u magnetskom polju s poznatom prostornom raspodjelom magnetske indukcije.
Na naboj u gibanju djeluje sila znosa:
Odgovor: Jakosti električnog polja.
( )BvqFr
r
r
×⋅=
Pitanje: Kojoj veličini odgovara
vektor ?Bvr
r×
U specijalnom slučaju kada je Bvr
r ⊥ BvqF ⋅⋅=⇒
Br
q+
Br
vr
Fr
18
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.5. Djelovanje magnetskog polja na naboj u gibanju (2)
Primjer: Neka pozitivni točkasti naboj iznosa q i mase m brzinom v ulijećeokomito u homogeno magnetsko polje.
Pod djelovanjem magnetske (centripetalne) sile vodič se u homogenommagnetskom polju giba po kružnici polumjera R.
19
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.5. Djelovanje magnetskog polja na naboj u gibanju (3)
Polumjer R slijedi iz jednakosti magnetske i centrifugalne sile.
Ovaj primjer je osnova za određivanje ukupnog broja izotopa nekog
kemijskog elementa te postotnog udjela pojedinog izotopa.
Atomi kemijskog elementa se naelektriziraju i puste da okomito ulijeću u
homogeno magnetsko polje.
Kako su izotopi različitih masa, to će im i polumjeri kružnica po kojima se
gibaju biti različiti. Na kraju treba detektirati koliko je atoma udarilou pojedino mjesto.
⇒= FF cfmR
vmBvq
2
⋅=⋅⋅Bq
vmR
⋅⋅=⇒
20
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.6. Djelovanje magnetskog polja na vodič u gibanju (1)
Neka se vodič giba u magnetskom polju s poznatom prostornom raspodjelom magnetske indukcije.
U diferencijalu (luka) vodiča inducira se diferencijalna EMS:
U čitavom vodiču se inducira EMSiznosa:
( )Bvdderr
lr
×⋅=
( ) lrrr
dBveK
⋅×= ∫
Br
K
lr
d
Br
vr
21
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.6. Djelovanje magnetskog polja na vodič u gibanju (2)
Specijalan slučaj: magnetsko polje homogeno, vodič pravocrtan i konačneduljine.
U vodiču se inducira EMS iznosa:
U specijalnom slučaju kad je
( )Bverr
lr
×⋅=
⇒⊥⊥ Bvrr
lr
vBe ⋅⋅= l
22
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.6. Djelovanje magnetskog polja na vodič u gibanju (3)
Inducirana EMS u vodiču koji se giba u magnetskom polju je posljedica
djelovanja magnetske sile na naboj u gibanju (naboj u vodiču koji se giba).
Pod djelovanjem sile, slobodnielektroni se skupljaju na jednoj strani vodiča, a na drugoj straniimamo višak pozitivnog naboja.
Ako je vodič pravocrtan i poljehomogeno, nakon integracije povodiču slijedi da je:
( )Bverr
lr
×⋅=
( ) lrrr
lrr
dBvdEeKK
⋅×=⋅= ∫∫
23
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.6. Djelovanje magnetskog polja na vodič u gibanju (4)
Na konkretnom primjeru pokazat ćemo da se izraz za EMS induciranuu vodiču koji se giba u magnetskom polju može dobiti i iz zakona elektromagnetske indukcije.
S obzirom na odabrani smjer inducirane EMS i smjer magnetske indukcije,odnosno ulančenog magnetskog toka, vrijedi da je:
Po okviru od bakrene žice giba se bakreni vodič.Cijeli sustav vodiča nalazi se u homogenom magnetskom polju.
( )vB
dt
daB
dt
aBd
dt
d
dt
de ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=Φ+=Ψ+= ll
l
24
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.7. Djelovanje magnetskog polja na vodič protjecanstrujom (1)
Neka se vodič protjecan istosmjernom strujom jakosti I nalazi u magnetskom polju s poznatom prostornom raspodjelom magnetske indukcije.
Na diferencijal vodiča djeluje diferencijalna sila:
Na čitav vodič djeluje sila:
( )BdIFdr
lrr
×⋅=
( )∫ ×⋅=K
BdIFr
lrr
Fdr
Br
K
lr
d
Br
I
25
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.7. Djelovanje magnetskog polja na vodič protjecanstrujom (2)
Specijalan slučaj: magnetsko polje homogeno, vodič pravocrtan i konačneduljine.
Na vodič djeluje sila:
U specijalnom slučaju kad je
( )BIFr
lrr
×⋅=
⇒⊥ Br
lr
l⋅⋅= IBF
26
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.8. Biot-Savartov zakon (1)Biot-Savartov zakon daje izraz za računanje jakosti magnetskog polja uzrokovanog strujom koja teče kroz linijski vodič. Polje se računa u proizvoljnoj točki T. Neka kroz vodič teče istosmjerna struja jakosti I.
Diferencijalni oblik Biot-Savartovog zakona glasi:
Integralni oblik zakona glasi:
3r
rd
4
I Hd
rlr
r ×⋅π⋅
=
∫×⋅
π⋅=
K3r
rd
4
I H
rlr
r
27
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.8. Biot-Savartov zakon (2)Primjer 1: Pomoću Biot-Savartovog zakona treba odrediti izraz za izračun jakosti magnetskog polja u centru kružne petlje polumjera a kroz koju teče istosmjerna struja jakosti I.
Vrijedi da je: a r , rd =⊥r
lr
223 a
d
r
d
r
rd
llr
lr
==×
⇒
∫⋅⋅π⋅
=⇒
K2
da4
I H l
a2
I a2
a4
I H
2 ⋅=⋅π⋅⋅
⋅π⋅=⇒
28
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.8. Biot-Savartov zakon (3)Primjer 2: Izraz za izračun jakosti magnetskog polja pravocrtnog vodičakonačne duljine kroz kojeg teče istosmjerna struja jakosti I.
α⋅⋅π⋅
= sina4
IH
( )21 sinsina4
IH α−α⋅
⋅π⋅=
0 , 21 >αα
29
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.8. Biot-Savartov zakon (4)
0 , 21 >αα
( )21 sinsina4
IH α+α⋅
⋅π⋅=
30
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.8. Biot-Savartov zakon (5)Primjer 3 : Beskonačni dugi pravocrtni vodič.
Ovo je granični slučaj vodičakonačne duljine.
2 , 21
π→αα
a2
IH
⋅π⋅=⇒
31
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.8. Biot-Savartov zakon (6)
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/magwire/index.html
Animacija: Magnetsko polje pravocrtnog vodiča 1
32
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.8. Biot-Savartov zakon (7)
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/fieldlines/index.html
Animacija: Magnetsko polje pravocrtnog vodiča 2
33
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.8. Biot-Savartov zakon (8)
Ispitni primjeri : Jakost magnetskog polja u centru kvadratne petlje te u centru pravokutne petlje protjecane strujom.
a
I22 45sin
2a
4
I8 H o
⋅π⋅⋅=⋅
⋅π⋅⋅=
β⋅⋅π⋅
⋅+α⋅⋅π⋅
⋅= sin
2b
4
I4 sin
2a
4
I4 H
α−=β=α o90 ; a
b tg arc
34
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.9. Sila između dva vodiča (1)Treba odrediti izraz za silu po jedinici duljine između dva beskonačno duga
međusobno paralelna pravocrtna vodiča. Vodiči se nalaze u zraku.
Pravocrtni vodič ne djeluje sam nasebe.
Po zakonu akcije i reakcije vrijedi da je:
sila na vodič 2 uslijed struje kroz vodič 1.
−21Fr
magnetska indukcija na mjestu vodiča 2 uslijed struje kroz vodič 1.
−21Br
2112 FFrr
−=
35
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.9. Sila između dva vodiča (2)
U ovom slučaju vrijedi da je:
Međusobna sila po jedinici duljine vodiča iznosi:
Vrijedi da je: ( )212221 BI Fr
lrr
×⋅=
[ ]N IB F 222121 l⋅⋅=
[ ]N/m IB F 221duljine jedinici po ⋅=
⇒
⋅π⋅⋅µ=
d2
IB 1
o21 [ ]N/m d2
II F 21
oduljine jedinici po ⋅π⋅⋅⋅µ=
36
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.9. Sila između dva vodiča (3)Elektromagnetski paradoks:
• Istoimeni se naboji odbijaju.
• Struja je usmjereno gibanje naboja.
• Ako struje kroz paralelne vodiče teku u istom smjeru, vodiči se privlače.
Fizikalno objašnjenje:
• Težnja je da se magnetsko polje jednoliko rasporediti po prostoru
(minimum energije).
• Kad struje teku u istom smjeru, polja između vodiča se poništavaju
pa se stoga vodiči privlače.
• Kad struje teku u suprotnom smjeru, polja između vodiča se zbrajaju
pa se stoga vodiči odbijaju.
37
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.9. Sila između dva vodiča (4)
38
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3.9. Sila između dva vodiča (5)http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/parallelwires/index.html
Animacija: Sila između paralelnih vodiča
39
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
1. Zaokružite točan odgovor.
Ogledna ispitna pitanja (1)
dt
d e )a
Ψ+=
dt
d e )b
Ψ−=
2. Zaokružite točan odgovor.
dt
d e )a
Ψ+=
dt
d e )b
Ψ−=
40
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
3. Pravocrtni vodič konačne duljine giba se brzinomv u homogenommagnetskom polju. Kako glasi izraz za EMS induciranu u vodiču?
Rješenje:
( )e v B= ⋅ ×r urrl
Ogledna ispitna pitanja (2)
41
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
Ogledna ispitna pitanja (3)
4. Pravocrtnim vodičem konačne duljine teče istosmjerna struja jakosti I.Vodič se nalazi u homogenom magnetskom polju. Napišite izraz za silu koja djeluje na vodič.
5. Iskažite Biot-Savartov zakon u diferencijalnom obliku i nacrtajte pripadnu sliku.
6. Iskažite Biot-Savartov zakon u integralnom obliku i nacrtajte pripadnu sliku.
42
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
Ogledna ispitna pitanja (4)
7. Kroz trokutastu petlju stranice duljinea teče istosmjerna struja jakosti I.
Napišite izraz za jakost magnetskog polja H u centru petlje i naznačite smjermagnetskog polja.
Rješenje:
Smjer: .
a2
I9 60sin
3v
4
I6 H o
⋅π⋅⋅=⋅
⋅π⋅⋅=
2
3a v
⋅=
43
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
Ogledna ispitna pitanja (5)
8. Kroz petlju u obliku pravilnog šesterokuta stranice duljine a tečeistosmjerna struja jakosti I. Napišite izraz za jakost magnetskog polja H ucentru petlje i naznačite smjer magnetskog polja.
Rješenje:
Smjer: .2
3a v
⋅=
a
I3 30sin
v4
I12 H o
⋅π⋅=⋅
⋅π⋅⋅=
44
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
Ogledna ispitna pitanja (6)9. Kroz kvadratnu petlju stranice duljinea teče istosmjerna struja jakosti I.
Napišite izraz za jakost magnetskog polja H u centru petlje i naznačite smjermagnetskog polja.
10. Kroz pravokutnu petlju kojoj su duljine stranica a i 2⋅⋅⋅⋅a teče istosmjernastruja jakosti I. Napišite izraz za jakost magnetskog polja H u centru petlje inaznačite smjer magnetskog polja.
a
a IT
2⋅a
a IT
45
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
Ogledna ispitna pitanja (7)11. Kroz petlju prema slici teče istosmjerna struja jakosti I. Napišite izraz za
jakost magnetskog polja H u točki T i naznačite smjer magnetskog polja.
a
a
a
2⋅a
2⋅a
I
T
Rješenje:
Smjer:
a2
I
4
145sin
a4
I6H o
⋅⋅+⋅
⋅π⋅⋅=
46
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
Ogledna ispitna pitanja (8)
12. Izračunajte silu po jedinici duljine između dva beskonačno duga pravocrtna
vodiča. Zadano je: I1 = I2 = 100 A; d=0,2 m; µr = 1. Vlada li među vodičima
privlačna ili odbojna sila?
d
I1 I2
Rješenje:
Sila je odbojna
m/N......d2
IIF 21
0 =⋅π⋅
⋅µ= ⋅
47
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
Ogledna ispitna pitanja (9)
13. Krozčetiri beskonačno duga međusobno paralelna tanka vodiča teku struje
istog iznosa I i naznačenog smjera. Napišite izraz za silu po jedinici duljine
koja djeluje na vodič 1 i naznačite njen smjer.
Rješenje:432 FFFF
rrrr
++=
a2
II F 21
o2 ⋅π⋅⋅⋅µ=
a22
II F 31
o3 ⋅⋅π⋅⋅⋅µ=
a32
II F 41
o4 ⋅⋅π⋅⋅⋅µ=
432 FFFF −+=Fr
smjer sile
48
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
Ogledna ispitna pitanja (10)
14. Krozčetiri beskonačno duga međusobno paralelna tanka vodiča teku struje
istog iznosa I i naznačenog smjera. Napišite izraz za silu po jedinici duljine
koja djeluje na vodič 2 i naznačite njen smjer.
Rješenje:
Domaći rad
49
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
Ogledna ispitna pitanja (11)
15. Krozčetiri beskonačno duga međusobno paralelna tanka vodiča teku struje
istog iznosa I i naznačenog smjera. Napišite izraz za silu po jedinici duljine
koja djeluje na vodič 3 i naznačite njen smjer.
Rješenje:
Domaći rad
50
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 7
Ogledna ispitna pitanja (12)
16. Krozčetiri beskonačno duga međusobno paralelna tanka vodiča teku struje
istog iznosa I i naznačenog smjera. Napišite izraz za silu po jedinici duljine
koja djeluje na vodič 4 i naznačite njen smjer.
Rješenje:
Domaći rad
1
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.10. Ampereov zakon (1)Ampereov zakon kaže da je cirkulacija vektora jakosti magnetskog polja jednaka struji obuhvaćenoj konturom duž koje vršimo integraciju. Pri tome su smjer obilaska konture i smjer struje usklađeni po pravilu desne ruke.U dijelu literature Ampereov zakon se zove i zakon protjecanja.
Ampereov zakon glasi:
Za primjer dan slikom vrijedi:
gdje je Θ oznaka za magnetomotornu silu (MMS).
Θ==⋅∫ obK
IdH lrr
321K
IIIdH −+=⋅∫ lrr
2
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.10. Ampereov zakon (2)Primjer 1 : Pomoću Ampereovog zakona treba dobiti izraz za jakost magnetskog polja oko beskonačno dugog pravocrtnog vodiča protjecanog istosmjernom strujom jakosti I.
Lako je uočiti da postoji osna simetrija.Stoga se za krivulju integracije bira koncentrična kružnica.
K duž konst. H ; d H =⇒ lrr
IIHdHdH obKK
==⋅=⋅=⋅ ∫∫ lllrr
Ia2H =⋅π⋅⋅⇒I
H2 a
⇒ =⋅ π ⋅
3
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.10. Ampereov zakon (3)Primjer 2 : Pomoću Ampereovog zakona treba dobiti izraz za jakost magnetskog polja unutar beskonačno dugog pravocrtnog vodiča protjecanog istosmjernom strujom jakosti I.
Lako je uočiti da opet postoji osna simetrija.
Gustoća struje:
Za r < ro vrijedi:
konst. r
I
S
I J
2o
=π⋅
==
π⋅π⋅⋅=⋅=⋅π⋅⋅=⋅∫ 2
2ob
K 0r
rI
S
SIr2HdH l
rr
2or2
rI H
⋅π⋅⋅=⇒
4
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.10. Ampereov zakon (4)
Dakle, jakost magnetskog polja unutar i izvan beskonačno dugog pravocrtnog vodiča protjecanog istosmjernom strujom jakosti I opisana je izrazom:
0rrzar2
rI H
2o
<⋅π⋅
⋅=⇒
or r za r2
I H ≥
⋅π⋅=
5
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.10. Ampereov zakon (5)Za beskonačno dugi pravocrtni koaksijalni kabel prikazan na slici, pomoću Ampereovog zakona, odredite izraz za jakost magnetskog polja u ovisnosti o r ako je:
a) r < r1 ; H1 = ?
b) r1 < r < r2 ; H2 = ?
c) r2 < r < r3 ; H3 = ?
d) r > r3 ; H4 = ?
6
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.10. Ampereov zakon (6)
a) r < r1
2ob
11r2
rI
r2
I H
⋅π⋅⋅=
⋅π⋅=
b) r1 < r < r2
r2
I
r2
I H ob
2 ⋅π⋅=
⋅π⋅=
c) r2 < r < r3
22
22
22
22ob
323
3
23
2
rr
rr
r2
I
rr
rr 1
r2
I
r2
I H
−−⋅
⋅π⋅=
−−−⋅
⋅π⋅=
⋅π⋅=
d) r > r3 0 r2
I H ob
4 =⋅π⋅
=
7
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.11. Torusna zavojnica (1)Pomoću Ampereovog zakona treba dobiti izraz za jakost magnetskog polja torusne zavojnice. Na torusnu jezgru je namotano N zavoja torusne zavojnice. Neka kroz zavojnicu teče istosmjerna struja jakosti I.
Poprečni presjek torusne jezgre
8
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.11. Torusna zavojnica (2)
Lako je uočiti da postoji osna simetrija. Stoga se za krivulju integracije bira koncentrična kružnica.
Izvan zavojnice vrijedi da je:
K duž konst. H ; d H =⇒ lrr
21 rrr Za ≤≤⇒ (unutar zavojnice)
IN H dHK
⋅=Θ=⋅=⋅∫ llrr
r2
ININH
⋅π⋅⋅=⋅=⇒
l
0H 0IH ob =⇒==⋅ l
9
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.11. Torusna zavojnica (3)
U jezgri jakost magnetskog polja opada s polumjerom r.Dakle, magnetsko polje nije homogeno na poprečnom presjeku torusne jezgre.
Često se pretpostavlja da je magnetsko polje homogeno na poprečnom presjeku jezgre, tj. uzima se da je:
gdje je:
srsr r2
ININH
⋅π⋅⋅=⋅=
l
2
rrr 21sr
+=
10
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.11. Torusna zavojnica (4)
Aproksimacija (približna vrijednost) magnetskog toka torusne jezgre opisana je izrazom:
ili kraće pisano:
Magnetomotorna sila torusne zavojnice:
Približna vrijednost magnetskog otpora jezge:
SIN
SH SB sr
⋅⋅⋅µ=⋅⋅µ=⋅=Φl
otpor Magnetski
MMS
R
m=Θ=Φ
IN ⋅=Θ
SR sr
m ⋅µ= l
11
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.12. Ravna zavojnica (1)
Vrlo je komplicirano izračunatitočnu raspodjelu jakosti magnetskog polja ravne zavojnice.
Koristi se približna formula zasnovana na zanemarenju magnetskog otpora okolnog sredstva.Ako uzmemo da okolno sredstvo nema magnetskog otpora, to je istokao da smo uzeli da je izvan jezgre zavojnice H = 0.
12
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.12. Ravna zavojnica (2)
Uz zanemarenje magnetskog otpora okolnog sredstva, magnetsko polje unutar zavojnice je homogeno te je opisano izrazom:
dok je magnetski otpor jezgre:
Neka je S površina poprečnog presjeka jezgre.
SRm ⋅µ
= l
konst.IN
H =⋅≈⇒
l
0H =
0H =
0H =0H = Hr
l
13
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.13. Samoinduktivitet (1)Neka se na feromagnetskoj jezgri (µ >> µ0) nalazi svitak koji ima N zavoja. Neka kroz svitak teče vremenski promjenjiva struja. Pretpostavljamo da se sav magnetski tok Φ zatvara kroz feromagnetsku jezgru.
Po zakonu elektromagnetske indukcije, u svitku se inducira EMS. S obzirom na odabrane smjerove, vrijedi da je:
dt
d e
Ψ−=
14
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.13. Samoinduktivitet (2)
gdje je: ψ -
L -
i -
ulančeni magnetski tok [Vs],
induktivitet (samoinduktivitet, vlastiti induktivitet) [H],
jakost struje [A].
Ujedno vrijedi da je:
Općenito vrijedi da je: iL ⋅=Ψ
Za zavojnicu (svitak) vrijedi da je: Φ⋅=Ψ N
dt
diL
dt
d e ⋅−=Ψ−=⇒
mm R
diN d
R
iN
⋅=Φ⇒⋅=Φ
15
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.13. Samoinduktivitet (3)
Iz prethodno navedenih izraza slijedi da je:
Iz ovog izraza lako se dobije da je induktivitet svitka:
U ovom slučaju magnetski otpor je:
dt
di
R
N
dt
dN
dt
diL
dt
d e
m
2
⋅−=Φ⋅−=⋅−=Ψ−=
R
N L
m
2
=
S
R srm ⋅µ
≈ l
16
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.14. Međuinduktivitet dvaju svitaka (1)Neka se na feromagnetskoj jezgri (µ >> µo) nalaze dva svitak koji imaju N1 i N2 zavoja. Neka kroz prvi svitak teče vremenski promjenjiva struja i1, dok je drugi svitak u praznom hodu. Pretpostavimo da se sav magnetski tok Φ1 zatvara kroz feromagnetsku jezgru.
Po zakonu elektromagnetske indukcije, promjenjiva struja u svitku 1 stvara promjenjivi magnetski tok koji u oba svitka inducira EMS.
17
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.14. Međuinduktivitet dvaju svitaka (2)
U svitku 2 se inducira EMS:
Vrijedi da je:
Ujedno vrijedi da je:
gdje je: ψ21 -
M = M21 = M12 -
i1 -
ulančeni magnetski tok koji stvrara struja svitka 1, a ulančuje ga svitak 2.
međuinduktivitet svitaka,
jakost struje u prvom svitku.
dt
dN
dt
d e 1
221
2Φ⋅−=Ψ−=
m
111
m
111 R
diN d
R
iN
⋅=Φ⇒⋅=Φ
121 iM ⋅=Ψ
18
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.14. Međuinduktivitet dvaju svitaka (3)
Iz prethodno navedenih izraza slijedi da je:
Slijedi da je međuinduktivitet svitaka:
dt
di
R
NN
dt
dN
dt
diM
dt
d e 1
m
2112
1212 ⋅⋅−=Φ⋅−=⋅−=Ψ−=
R
NN M
m
21 ⋅=
19
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.14. Međuinduktivitet dvaju svitaka (4)
Dakle, vrijedi da je:
m
21
m
22
2m
21
1
R
NN M
R
N L ;
R
N L
⋅=
==
21 LLM ⋅=⇒
Izraz vrijedi uz pretpostavku da sav magnetski tok što ga
stvara jedna zavojnica ulančuje druga. Tada kažemo da zanemarujemo
rasipni magnetski tok.
21 LLM ⋅=
20
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.15. Rasipni magnetski tok (1)
Struja koja teče kroz svitak 1 stvara magnetski tok.
Onaj dio toka kojeg stvara struja svitka 1, a ne ulančuje ga svitak 2 nazivamo rasipnim magnetskim tokom (tok Φ1σ).
Budući da je jezgra feromagnetska, glavnina toka se zatvara kroz jezgru, odnosno ulančuje ga svitak 2. Taj tok (Φ1m¸) nazivamo glavnim magnetskim tokom.
gl1m1 Φ=Φ
21
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.15. Rasipni magnetski tok (2)
Dakle, ukupni se tok kojeg stvara struja i1 može izraziti pomoću sume:
Sada relaciju koja povezuje vlastite induktivitete i međuinduktivitet pišemo u obliku:
gdje je k tzv. faktor ulančenja.
Ako nema rasipnog toka, onda je k = 1.
σΦ+Φ=Φ 1m11
1k 0 ; LLkM 21 ≤≤⋅⋅=
22
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.16. Vektor magnetizacije
Za magnetsko polje u vakuumu vrijedi da je:
dok je u drugom sredstvu:
Lako se vidi da se vektor magnetizacije može opisati pomoću izraza:
Magnetizacija je posljedica događanja u materijalu.
gdje je χm= µr –1 magnetska susceptibilnost.
Kod dijamagnetika i paramagnetika µr = konst. ≈ 1 pa je pogodnije dati
podatke za χm.
HB o
rr
⋅µ=
( ) MH H B oro
rrrr
+⋅µ=⋅µ⋅µ=
gdje se veličina naziva vektorom magnetizacije. Mr
( ) H H1 M mr
rrr
⋅χ=⋅−µ=
23
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.17. Feromagnetizam (1)
U feromagneticima postoje mikroskopska područja spontane magnetizacije koja se nazivaju magnetske domene. U svakoj domeni svi atomi imaju paralelne magnetske dipolne momente pa se domena ponaša kao permanentni magnet.
U nemagnetiziranom materijalu magnetske domene su orijentirane kaotično.
24
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.17. Feromagnetizam (2)
Pod djelovanjem vanjskog
polja, magnetske se domene
orijentiraju u smjeru djelovanja
polja.
25
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.17. Feromagnetizam (3)
Pod djelovanjem jakog vanjskog
polja, sve se magnetske domene
orijentiraju u smjeru djelovanja
polja. Tada govorimo o
zasićenju.
Daljnjim povećanjem pobude,
odnosno H vanjskog polja,
B u feromagnetiku ne raste.
26
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.17. Feromagnetizam (4)
Orijentacija magnetskih domena
u feromagnetiku posljedica je
toga što se istoimeni magnetski
polovi odbijaju, dok se
raznoimeni magnetski polovi
privlače.
27
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.17. Feromagnetizam (5)
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/domains/index.html
Animacija: Magnetske domene
28
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.18. Histereza (1)
Kada se feromagnetski materijal pod utjecajem vanjske pobude magnetizira
u jednom smjeru te se potom ta pobuda makne, feromagnetik se neće u
potpunosto demagnetizirati.
Najlakše je zamisliti da je vanjska pobuda nastala uslijed prolaska struje
kroz zavojnicu feromagneta. Dakle, iako je struja jednaka nuli pa time i
jakost magnetskog polja uslijed struje jednaka nuli, u feromagnetu postoji
neki iznos magnetske indukcije, koji se naziva remanentni magnetizam.
Histereza je pojava koja uzrokuje da B zaostaje za H tako da krivulja magnetiziranja za rastuća i padajuća polja nije ista. Petlja koja predstavlja krivulju magnetiziranja naziva se petlja histereze(histerezna petlja).
29
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.18. Histereza (2)Na primjeru torusne zavojnice može se vidjeti da je jakost magnetskog polja u izravnoj vezi s jakošću struje.
Jakost magnetskog polja torusne zavojnice ne ovisi o vrsti materijala od kojeg je načinjena torusna jezgra. Jakost magnetskog polja ostaje ista i kad je zavojnica namotana na cijev savinutu u obliku prstena i ispunjenu zrakom.
B = µ⋅H ⇒ B ovisi o vrsti materijala.
r2
iNiNH
⋅π⋅⋅=⋅=
l
30
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.18. Histereza (3)
Ako je feromagnetik magnetiziran, tj. ako su mu magnetske domene
dominantno orijentirane u jednom smjeru, onda je potrebna neka energija
za njegovu demagnetizaciju. To svojstvo feromagnetika je osnova za tvorbu
magnetske “memorije”.
Magnetski materijali koji imaju relativno veliki remanentni magnetizam
i relativno veliku koercitivnost zovu se tvrdim magnetskim materijalima,
dok se oni drugi nazivaju mekim magnetski materijalima.
Jezgre transformatora i jezgre zavojnica koje se rabe u elektronici
načinjene su od magnetski mekog materijala.
Feromagnetik se može demagnetizirati ako se struja kroz zavojnicu pusti u
suprotnom smjeru. Jakost magnetskog polja, uslijed struje kroz zavojnicu,
potrebna za demagnetizaciju feromagnetika naziva se koercitivnost, koercitivno polje ili pak koercitivna “sila”.
31
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.18. Histereza (4)Na slici je prikazana petlja magnetske histereze.
a) Krivulja prvog magnetiziranja
b) i c) Petlja magnetske histereze pri kružnom procesu
H – jakost magnetskog polja(uslijed vanjskog izvora)
HC – koercitivnost (koercitivno polje)
BR – remanentni magnetizam
32
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.18. Histereza (5)
Snaga (toplinskih) gubitaka u željezu (feromagnetiku) uslijed petlje histereze proporcionalna je površini petlje histereze.Energija se troši na orijentiranje magnetskih domena.
Dakle, u feromagnetiku je ovisnost B o H nelinearna. Ako petlju histereze zamijenimo pravcem (lineariziramo), onda je µ = konst.
33
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.18. Histereza (6)U knjigama iz fizike, obično se krivulja histereze prikazuje kao ovisnost magnetizacije M o jakosti vanjskog magnetskog polja H, što je fizikalno ispravno pa je time i jasnije, ali se gotovo ne koristi u elektrotehničkoj praksi. Magnetizacija M govori o orijentiranosti magnetskih domena.
R
MR - remanentna magnetizacija
MS – magnetizacija zasićenja
34
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
3.18. Histereza (7)
ili kraće pisano:
Vrijedi da je:
Petlja histereze M = M (H) ekvivalentna je petlji histereze Bm = Bm(H).
Dakle, vrijedi da je:
M H B oo
rrr
⋅µ+⋅µ=
B +B B mo
rrr
=
gdje je magnetska indukcija uslijed magnetizacije. M B om
rr
⋅µ=
B(H) )H(B )H(M m ≈∼
35
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
Animacije (1)
Histereza
http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/ferromagnetic/hysteresis.php
36
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
Animacije (2)
Elektromagnetska indukcija 1
http://www.lon-capa.org/~mmp/applist/induct/faraday.htm
http://www.wainet.ne.jp/~yuasa/flash/EngLenz_law.swf
Elektromagnetska indukcija 2
37
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
Animacije (3)
Gibanje nabojau magnetskom polju
http://www.phys.hawaii.edu/~teb/optics/java/partmagn/index.html
38
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
Ogledna ispitna pitanja (1)
1. Kako glasi Ampereov zakon za konturu na slici?
Rješenje:
413K
IIIdH −−=⋅∫ lrr
1I
2I
3I 4I
5I
39
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
Ogledna ispitna pitanja (2)2. Kako glasi Ampereov zakon za konturu na slici?
Rješenje:
1I
2I
3I 4I
5I
341K
IIIdH −+=⋅∫ lrr
40
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
Ogledna ispitna pitanja (3)
3. Za beskonačno dugi pravocrtni koaksijalni kabel prikazan na slici,
pomoću Ampereovog zakona, napišite izraz za jakost magnetskog polja
u ovisnosti o r ako je:
a) r < r1 ; H1 = ?
b) r1 < r < r2 ; H2 = ?
c) r2 < r < r3 ; H3 = ?
d) r > r3 ; H4 = ?
41
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
Ogledna ispitna pitanja (4)
4. Za beskonačno dugi pravocrtni koaksijalni kabel prikazan na slici,
pomoću Ampereovog zakona, napišite izraz za jakost magnetskog polja
u točkama A, B C i D (rA=0, rB=r1, rC=r2, rD=r3).
42
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
Ogledna ispitna pitanja (5)
6. Nacrtajte petlju magnetske histereze. Na slici naznačite koercitivnost i
remanentni magnetizam. Čemu je proporcionalna površina histereze?
7. Čemu je proporcionalna površina histereze? Izrazite vektor magnetizacije
preko vektora jakosti magnetskog polja?
5. Kako glasi izraz za jakost magnetskog polja unutar i izvan beskonačno
dugog pravocrtnog vodiča protjecanog istosmjernom strujom jakosti I.
Neka je polumjer vodiča ro.
43
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 8
Ogledna ispitna pitanja (6)
8. Uz zanemarenje rasipanja magnetskog toka, izračunajte vlastite
induktivitete i međuinduktivitet svitaka. Neka je: N1 = 1000 zavoja,
N2 = 800 zavoja, magnetski otpor jezgre Rm = 5⋅108 A / Vs.
1N 2N
H...R
NN M
H ... R
N L
H....R
N L
m
21
m
22
2
m
21
1
=⋅
=
==
==
Rješenje:
1
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.19. Magnetski krug (1)
Postoji analogija između magnetskog i električnog kruga istosmjerne struje.
Magnetski krug Električni krug
(EMS) E (MMS) ⇔Θ
I ⇔Φ
S
R S
Rm ⋅κ=⇔
⋅µ= ll
κ⇔µ
2
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.19. Magnetski krug (2)
Zakoni za magnetski krug analogni Kirchhoffovim zakonima glase:
Drugi zakon se može napisati i u češće korištenom obliku:
(Lako se vidi da je ovo Ampereov zakon)
0 n
1=ii =Φ∑
R m
1=jmjj
n
1=ii ∑∑ ⋅Φ=Θ
H m
1=jjj
n
1=ii ∑∑ ⋅=Θ l
3
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.19. Magnetski krug (3)
Prema Ampereovom zakonu vrijedi da je:
-Fel srednja duljina silnica u željezu
-δ širina zračnograspora
δ⋅⋅=⋅=Θ oFeFe H + H IN l
I
δ
Fel
4
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.19. Magnetski krug (4)
U zračnom rasporu dolazi do širenja silnica.
Kako to uzeti u obzir?
Koristi se aproksimacija:
gdje je x postotno povećanje površine S0 kroz
koju prolazi tok u zračnom rasporu u odnosu na površinu poprečnog presjeka željezne jezgre SFe.
Vrijedi tzv. jednadžba kontinuiteta:
ogdje je B magnetska indukcija u zračnom rasporu.
FeS100
x1S0 ⋅
+=
ooFeFe SBSB ⋅=⋅=Φ
5
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.20. Energija magnetskog polja (1)
Magnetska energija je akumulirana u prostoru u kojem se nalazi magnetsko
polje.
Ako je ispunjen dodatni uvjet da je sredstvo i linearno i homogeno (µ = konst.), onda je:
Ako je sredstvo izotropno onda vrijedi da je: ∫ ⋅⋅⋅= V
m dVHB2
1W
∫ ⋅⋅µ⋅= V
2m dVH
2
1W
6
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.20. Energija magnetskog polja (2)
Ako je sredstvo izotropno, linearno i homogeno te ako je H = konst., onda je:
Ako kroz zavojnicu induktiviteta L teče vremenski promjenjiva struja
jakosti i, onda je akumulirana magnetska energija opisana izrazom:
Dakle, energija akumulirana u magnetskom polju zavojnice proporcionalna
je trenutnoj vrijednosti struje koja teče kroz zavojnicu.
V2
BVH
2
1VHB
2
1W
22
m ⋅µ⋅
=⋅⋅µ⋅=⋅⋅⋅=
2m iL
2
1W ⋅⋅=
7
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.21. Sila u zračnom rasporu (1)Za elektromagnet treba naći izraz za silu u zračnom rasporu uz pretpostavke:
0H )a FeFe =⇒∞→µ
SSS % 0 = x )b Feo ==⇒
FeBBB 0 ==
δ⋅⋅µ= IN
B 00
δ⋅= IN
Ho
Fr
I
δ⋅δ er
8
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.21. Sila u zračnom rasporu (2)U ovom slučaju, sva magnetska energija elektromagneta je akumulirana u zračnom rasporu.
Budući da je riječ o neizoliranom sustavu, izraz za silu u zračnom rasporu(sila na gornji dio jezgre) slijedi iz:
Sila u zračnom rasporu djeluje tako da želi smanjiti zračni raspor. Iznos sile je:
o
22
ooooooomom SIN
2
1SHB
2
1VHB
2
1WW ⋅
δ⋅⋅µ⋅=δ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==
( )δδδ −⋅⋅⋅µ⋅=⋅⋅δ
⋅⋅µ⋅−=⋅δ
+= e SH2
1 eS
IN
2
1 e
d
dWF o
2ooo2
22
om rrr
r
S2
B S
2
B SHB
2
1 F
o
2
oo
2o
ooo ⋅µ⋅
=⋅µ⋅
=⋅⋅⋅=
9
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.21. Sila u zračnom rasporu (3)
Sila u zračnom rasporu djeluje tako da se krajevi feromagnetske jezgre
privlače. Ustvari, privlače se raznoimeni polovi elektromagneta.
Fr
IN
S
10
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.22. Vrtložne struje (1)Kada kroz zavojnicu teče vremenski promjenjiva struja, ona stvara vremenski promjenjivi magnetski tok koji teče kroz feromagnetsku jezgru oko koje je zavojnica omotana. Budući da je željezo električni vodič, u njemu se inducirajuEMS, a posljedica su struje koje teku u jezgri. Te struje se zovu vrtložne struje.
Pitanje: Da li naznačeni smjer vrtložnihstruja odgovara trenutku kada jakost struje kroz zavojnicu raste?
Odgovor: Da
11
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.22. Vrtložne struje (2)Vrtložne struje mogu naći svoju primjenu, tj. biti korisne. Međutim, u jezgrielektromagneta kao i u jezgri transformatora one stvaraju toplinske gubitke i stoga su, u tim slučajevima, vrlo štetne.
Toplinski gubici u feromagnetaskojjezri se mogu bitno umanjiti takošto se jezra lamelira. Drukčije rečeno,jezgra je načinjena od tzv. dinamolimova koji su međusobno električno izolirani.U praksi debljina limova variraizmeđu 0,36 mm i 0,7 mm.
Sada se vrložne struje mogu zatvoriti samo unutar pojedinog lima.
12
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.22. Vrtložne struje (3)Na slici je prikazana jezgra jednofaznog transformatora.
Brujanje koje se čuje iz trafostanice je uzrokovano vibracijom limova
od kojih je načinjena jezgra. Vibraciju limova izazivaju magnetske sile.
PRIMAR SEKUNDAR
13
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.22. Vrtložne struje (4)
14
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.22. Vrtložne struje (5)
15
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.22. Vrtložne struje (6)
16
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Animacije i filmovi
http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/detector/index.html
Animacija: Detektor metala
Animacija: Detektor metala
17
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/recycling-metals/eddy_current.php
Animacija: Separator materijala
Animacije i filmovi
18
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Animacija: Elektromagnetska kočnica
Animacije i filmovi
19
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
http://aluminium.matter.org.uk/content/html/eng/default.asp?catid=172&pageid=2144416566
Animacija: Separator materijala utemeljen na vrtložnim strujama
Animacije i filmovi
20
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/speaker/index.html
Animacija: Princip rada zvučnika
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/slideshows/shrinkingquarter/index.html
Animacije i filmovi
21
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/slideshows/teslacoil/index.html
Film: Teslin transformator (zavojnica)
http://www.youtube.com/watch?v=Bo9xY4e9T58
Film: Vrtložne struje u aluminiju – pad magneta
Animacije i filmovi
22
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
http://www.youtube.com/watch?v=c3asSdngzLs
Film: Lebdenje iznad supravodiča - Meissnerov efekt
Animacije i filmovi
23
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Animacije i filmovi
http://science.howstuffworks.com/maglev-train.htm
Film: Superbrzi vlakovi
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/slideshows/maglev/index.html
Film: Superbrzi vlakovi – princip magnetske levitacije (lebdenja)
24
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Animacije i filmovi
Animacija: Električno zvono
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/EM/Buzzer/Buzzer.html
25
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.23. Uspostavljanje struje u krugu s induktivitetom (1)
Sklopka S se zatvara u trenutku t = 0 s.
U početnom trenutku struja ne teče krozstrujni krug.
Struja kroz induktivitet je definirana diferencijalnom
jednadžbom i početnim uvjetom:
0ii o0 t===
26
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.23. Uspostavljanje struje u krugu s induktivitetom (2)
Nakon zatvaranja sklopke u induktivitetu (idealnoj zavojnici) se inducira
EMS po zakonu elektromagnetske indukcije. To znači da pri formiranju
diferencijalne jednadže induktivitet možemo nadomjestiti s induciranom
EMS.
27
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.23. Uspostavljanje struje u krugu s induktivitetom (3)
0ii o0 t===
dt
diL e ⋅−=
iReE ⋅=+ iR dt
diL E ⋅=⋅−⇒
L
E i
L
R
dt
di =⋅+⇒
28
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.23. Uspostavljanje struje u krugu s induktivitetom (4)
Rješenje diferencijalne jednadžbe glasi:
o
t
o ie1iR
Ei +
−⋅
−= τ−
R
L=τ
vremenska konstanta.
gdje je:
29
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.23. Uspostavljanje struje u krugu s induktivitetom (5)
Budući da je i0 = 0, onda je:
−⋅= τ
− t
e1R
Ei
30
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.23. Uspostavljanje struje u krugu s induktivitetom (6)
U specijalnom slučaju kada je R = 0,
diferencijalna jednadžba glasi:
Nakon završetka prijelazne pojave kroz strujni krug teče istosmjerna struja
pa se induktivitet tada ne suprotstavlja prolasku struje:R
Ei
t=∞→
dtL
E di
L
E
dt
di ⋅=⇒=
tL
E dt
L
E i
t
0
⋅=⋅=⇒ ∫
31
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.23. Uspostavljanje struje u krugu s induktivitetom (7)
Animacija: Uklapanje i isklapanje zavojnice
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/backemf/index.html
32
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.24. Otvaranje sklopke u strujnom krugu s induktivitetom (1)
Sklopka S se otvara u trenutku t = 0 s.
Prije otvaranje sklopke u mreži teku istosmjerne struje:
22
11 R
E I ;
R
E I ==
33
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.24. Otvaranje sklopke u strujnom krugu s induktivitetom (2)
Nakon otvaranja sklopke struja kroz induktivitet zadržava svoju vrijednost,
dok struja kroz otpor može trenutno promijeniti svoj iznos.
Pitanje: Zašto struja
kroz induktivitet ne
može promijeniti
iznos bez protoka
vremena?
Odgovor: Zbog energije akumulirane u magnetskom polju
zavojnice .iL2
1W 2
m ⋅⋅=
34
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.24. Otvaranje sklopke u strujnom krugu s induktivitetom (3)
R
E I i i
11o0=t ===
Početni uvjet je:
Vrijedi da je:
( ) iRR e 21 ⋅+=
( ) iRR dt
diL 21 ⋅+=⋅−⇒
35
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.24. Otvaranje sklopke u strujnom krugu s induktivitetom (4)
Rješenje diferencijalne jednadžbe je:
τ−
⋅=t
o ei i
vremenska konstanta.
gdje je:
21 RR
L
+=τ
36
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.24. Otvaranje sklopke u strujnom krugu s induktivitetom (5)
τ−
τ−
⋅=⋅=t
1
t
1 eR
E eI i
37
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.24. Otvaranje sklopke u strujnom krugu s induktivitetom (6)
Primjer:
U trenutku t = 0 otvara
se sklopka S.
Prije toga razmatrana je
mreža bila u stacionarnom
stanju.
Pomoću veličina E, R, L
izrazite veličine:
a) RX ; b) i0 ; c) τ
Nakon otvaranja sklopke,
struja kroz induktivitet opisana je izrazom: o
t
ox
ie1iR
Ei +
−⋅
−= τ
−
38
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
3.24. Otvaranje sklopke u strujnom krugu s induktivitetom (6)
Rješenje:
a) RX = 3⋅R
o
t
ox
ie1iR
Ei +
−⋅
−= τ
−
R2
E i )b o ⋅
=
R3
L )c
⋅=τ
39
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Ogledna ispitna pitanja (1)
1. Na feromagnetsku jezgru magnetskog otpora Rm namotane su tri zavojnice
kojima teče istosmjerna struja. Napišite izraz za magnetski tok i naznačite
smjer magnetskog toka. Rasipanje magnetskog toka se zanemaruje.
Rješenje:
.IIII,NNNN 321321 ======
m
332211
R
INININ ⋅−⋅+⋅=Φ
mR
IN
⋅=Φ
40
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Ogledna ispitna pitanja (2)
2. Na feromagnetsku jezgru magnetskog otpora Rm namotane sučetiri
zavojnice kojima teče istosmjerna struja jakosti I. Napišite izraz za
magnetski tok i naznačite smjer magnetskog toka. Rasipanje magnetskog
toka se zanemaruje.
Rješenje:
1N
2N
3N
4N
I
I
Φ
.NNNNN 4321 ====
mR
IN2
⋅⋅=Φ
41
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Ogledna ispitna pitanja (3)
3. Na feromagnetsku jezgru magnetskog otpora Rm namotane sučetiri
zavojnice kojima teče istosmjerna struja jakosti I. Napišite izraz za
magnetski tok i naznačite smjer magnetskog toka. Rasipanje magnetskog
toka se zanemaruje.
1N
2N
3N
4N
I
I Rješenje:
.NNN5,0NN5,0 4321 ==⋅==⋅
m
4321
R
ININININ ⋅−⋅+⋅−⋅=Φ
mR
IN2
⋅⋅=Φsmjer
42
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Ogledna ispitna pitanja (4)
4. Kroz zavojnicu induktiviteta L = 1 µH teče istosmjerna struja jakosti
I = 2 A. Izračunajte energiju akumuliranu u magnetskom polju zavojnice.
Rješenje:
5. U trenutku t=0, otvara se sklopka S. Napišite izraz za struju koja teče kroz
zavojnicu. Čemu je jednaka vremenska konstanta.
Rješenje:
J 102 IL2
1W 62
m−⋅=⋅⋅=
τ−
⋅=t
2e
R
E i
1R
L=τ
43
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Ogledna ispitna pitanja (5)
6. U trenutku t=0, otvara se sklopka S. Napišite izraz za struju koja teče kroz
zavojnicu. Čemu je jednaka vremenska konstanta.
Rješenje:
τ−
⋅+
=t
31e
RR
E i
2R
L=τ
44
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Ogledna ispitna pitanja (6)
7. U trenutku t=0, otvara se sklopka S. Napišite izraz za struju koja teče kroz
zavojnicu. Čemu je jednaka vremenska konstanta.
8. U trenutku t=0, otvara se sklopka S. Napišite izraz za struju koja teče kroz
zavojnicu. Čemu je jednaka vremenska konstanta.
45
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Ogledna ispitna pitanja (7)
10. U trenutku t=0, zatvara se sklopka S. Napišite izraz za struju koja teče
kroz zavojnicu. Čemu je jednaka vremenska konstanta.
9. U trenutku t=0, otvara se sklopka S. Napišite izraz za struju koja teče kroz
zavojnicu. Čemu je jednaka vremenska konstanta.
R
R
R
R
46
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Ogledna ispitna pitanja (8)
11. U trenutku t = 0 otvara se sklopka S. Prije toga razmatrana je mreža bila u stacionarnom stanju. Pomoću veličina E, R, L, napišite izraz za struju kroz induktivitet u ovisnosti o vremenu.
47
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 9
Ogledna ispitna pitanja (9)
12. U trenutku t=0, zatvara se sklopka S. Napišite izraz za struju koja teče
kroz zavojnicu i nacrtajte pripadni dijagram i = i (t).
1
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4. Izmjenične električne struje4.1. Uvod (1)
U elektrotehnici se najčešće koriste periodički promjenjive struje.
Tada se može pisati:
gdje je: n –
T –
prirodni broj,
trajanje jednog perioda (kraće: period).
e(t) e ; u(t) u ; )t(i i ===
)Tnt(F e ; )Tnt(F u ; )Tnt(F i 321 ⋅+=⋅+=⋅+=
Izmjenična električna struja – struja koja tijekom vremena mijenja smjer.
Osnovne su veličine funkcije vremena:
2
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.1. Uvod (2)
Veza između perioda i frekvencije je:
Frekvencija nam kaže koliko perioda ima u jednoj sekundi.
Oblik izmjenične struje načelno može biti proizvoljan.
Osobito nas zanima sinusni oblik struje i napona.
Obično se pod pojmom izmjenične struje podrazumijeva sinusna
izmjenična struja.
[ ] [ ] Hz T
1 f ; s
f
1 T ==
3
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.2. Sinusni oblik struje i napona (1)
Osnovni izraz za struju sinusnog oblika glasi:
gdje je: - kružna frekvencija,
mI − maksimalna vrijednost struje.
( ) [ ]A tsinI i m ⋅ω⋅=
[ ]s / rad f2 = T
2 ⋅π⋅π⋅=ω
( )tsinI i m ⋅ω⋅=
4
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.2. Sinusni oblik struje i napona (2)
U općem slučaju, sinusna struja može biti fazno pomaknuta. Tada izraz
za struju glasi:
gdje je: - fazni kut (fazni pomak) struje.
Analogno, izraz za sinusni napon glasi:
( ) ( ) tsinI tsinI i imm ϕ+⋅ω⋅=ϕ+⋅ω⋅=
iϕ=ϕ
0 >ϕ
( ) . tsinU u um ϕ+⋅ω⋅=
5
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.2. Sinusni oblik struje i napona (3)
Primjeri:
( ) 45 tsinI 4
tsinI i )a omm +⋅ω⋅=
π+⋅ω⋅=
( ) 45 tsinI 4
tsinI i )b omm −⋅ω⋅=
π−⋅ω⋅=
6
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.3. Karakteristične vrijednosti izmjenične struje i napona
4.3.1. Srednja vrijednost izmjenične struje i napona (1)
Pod srednjom vrijednošću periodične struje proizvoljnog oblika
podrazumijeva se srednja elektrolitička vrijednost struje, koja je
opisana izrazom:
Prema ovom izrazu, radi se o srednjoj vrijednosti tzv. (punovalno)
ispravljene struje ako je struja izmjenična.
∫ ⋅⋅=T
0sr dt)t(i
T
1 I
7
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.3.1. Srednja vrijednost izmjenične struje i napona (2)
Izraz za izračunavanje srednje vrijednosti sinusne struje zasniva se na jednakosti
površina ispod krivulje srednje vrijednosti i ispod krivulje struje za jedan period
ili pak za samo jednu polovinu perioda.
∫ ⋅=⋅2/T
0sr dt)t(i
2
TI
⇓
∫ ⋅⋅=2/T
0sr dt)t(i
T
2 I
8
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.3.1. Srednja vrijednost izmjenične struje i napona (3)
( )tsinI i m ⋅ω⋅=
∫∫∫ ⋅ω⋅⋅=⋅ω⋅⋅=⋅⋅=2/T
0
m2/T
0m
2/T
0sr dttsin
T
I2dttsinI
T
2dt)t(i
T
2 I
( )2/T
0
m2/T0
msr t
T
2cos
2
T
T
I2 tcos
1
T
I2 I
⋅π⋅⋅π⋅
⋅⋅−=ω⋅ω
⋅⋅−=
( ) mm
sr I2
0coscosI
I ⋅π
=−π⋅π
−=
9
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.3.1. Srednja vrijednost izmjenične struje i napona (4)
Dakle, srednja vrijednost sinusne struje, napona i EMS su:
( ) tsinI i im ϕ+⋅ω⋅= msr I2
I ⋅π
=⇒
( ) tsinU u um ϕ+⋅ω⋅= msr U2
U ⋅π
=⇒
( ) tsinE e em ϕ+⋅ω⋅= msr E2
E ⋅π
=⇒
6366,02 ≈π
10
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.3.2. Efektivna vrijednost izmjenične struje i napona (1)
Efektivna vrijednost periodične struje proizvoljnog oblika jednaka
je po iznosu onoj vrijednosti istosmjerne struje konstantnog iznosa kojom bi
se na trošilu otpora R ostvario isti toplinski učinak, za isto vrijeme.
Oznaka za efektivnu struju je Ief ili pak samo I. Iz oznake I za efektivnu
struju, vidljivo je od kojeg je ona velikog značaja.
i R
efII = R
11
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.3.2. Efektivna vrijednost izmjenične struje i napona (2)
Dakle, efektivna vrijednost periodične struje proizvoljnog oblika slijedi
iz izraza:
odakle slijedi da je:
∫ ⋅⋅=⋅⋅T
0
22 dtR)t(i TRI
∫ ⋅⋅=T
0
2 dt)t(iT
1 I
12
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
Nakon integracije, dobije se da su efektivna vrijednost sinusne struje,
napona i EMS:
4.3.2. Efektivna vrijednost izmjenične struje i napona (3)
( ) tsinI i im ϕ+⋅ω⋅=
( ) tsinU u um ϕ+⋅ω⋅=
( ) tsinE e em ϕ+⋅ω⋅=
2
III mef ==⇒
2
UU U m
ef ==⇒
2
EEE m
ef ==⇒
7071,02
1 ≈
13
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
Općenito, za periodičnu struju proizvoljnog oblika vrijede sljedeće definicije:
4.3.3. Međusobni odnosi srednje, efektivne i maksimalne vrijednosti periodične struje (1)
a) Faktor oblika:
b) Tjemeni faktor:
c) Faktor srednje vrijednosti:
srsr
efo I
I
I
I f ==
I
I
I
I f m
ef
mt ==
m
srsr I
I f =
14
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.3.3. Međusobni odnosi srednje, efektivne i maksimalne vrijednosti periodične struje (2)
Za sinusnu struju vrijedi da je:
11,1 22
I
I f a)
sro ≈
⋅π==
41,1 2 I
I f b) m
t ≈==
6366,0 2
I
I f c)
m
srsr ≈
π==
15
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (1)
Neka se svitak, koji ima N zavoja, nalazi u homogenom magnetskom polju.Svitak oko svoje osi rotira kutnom brzinom ω = konst.
16
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (2)
Maksimalni magnetski tok kroz svitak:
Neka je u trenutku t = 0, magnetski tok kroz svitak:
Slijedi da je magnetski tok kroz svitak:
SB m ⋅=Φ
m Φ=Φ
( ) tcosm ω⋅Φ=Φ
17
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (3)Po zakonu elektromagnetske indukcije, vrijedi da je:
Dakle, u svitku se inducira sinusna EMS:
Magnetski tok prethodi u odnosu na induciranu EMS e za kut π/2.
( ) ( ) tsinNdt
tcosdN
dt
dN e mm ⋅ω⋅Φ⋅ω⋅=⋅ω⋅Φ⋅−=Φ⋅−=
( ) mmm NE ; tsinEe Φ⋅ω⋅=⋅ω⋅=
18
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (4)
Efektivna vrijednost inducirane EMS je:
mmmm Nf
224Nf
2
2N
2
1
2
EE Φ⋅⋅⋅
⋅π⋅=Φ⋅⋅⋅π⋅=Φ⋅ω⋅⋅==
Nf44,4 Nff4 E mmo Φ⋅⋅⋅≈Φ⋅⋅⋅⋅=⇒
11,122
fo ≈⋅π=
19
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (5)
Animacija: onduciranje EMS
http://www.micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/generator/ac.html
20
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (6)Na slici je shematski prikazan poprečni presjek trofaznog sinhronog
generatora s istaknutom polovima.
U pojedinom vodiču na statoru inducira se EMS:
gdje je: R – polumjer provrta statora,
n – brzina vrtnje (okretaja / min)
R30
nB
RB vB e meh
⋅⋅π⋅⋅=
⋅ω⋅⋅=⋅⋅=
l
ll
−ωmeh kutna brzina vrtnje
21
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (7)
Magnetska indukcija u zračnom rasporu, gledano duž razvijenog oboda
statora, je sinusna:
gdje je: x – položaj točke na razvijenom obodu statora [m],
τp – duljina polnog koraka; duljina oboda statora ispod jednog pola.
Željeni oblik magnetske indukcije u zračnom rasporu dobije se oblikovanjem
tzv. polnih papuča.
Vrtnja rotora magnetiziranog istosmjernom strujom stvara okretno polje.
Uz konstantnu brzinu vrtnje, sinusni prostorni oblik magnetske indukcije
uzrokuje sinusni vremenski oblik inducirane EMS u pojedinoj fazi.
τ⋅π⋅=p
mx
sinBB
22
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (8)
Uslijed vrtnje rotora, u odnosu na promatrani vodič na statoru imamo
vremensku promjenu magnetske indukcije:
Efektivna EMS faze:
gdje je: N – ukupan broj zavoja;
2⋅N – ukupan broj vodiča pojedine faze,
fn – faktor namota;
p – ukupan broj pari polova.
( ) mehelvodicaelm pf2 ; tsinB)t(BB ω⋅=⋅π⋅=ωϕ+⋅ω⋅==
nm fR
30
n
2
BN2E ⋅⋅⋅π⋅⋅⋅⋅= l
23
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.4. Nastajanje (induciranje) sinusne EMS (9)
Animacija: princip rada sinkroonog generatora
http://www.edumedia-sciences.com/en/a112-electric-generator
24
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.5. Eulerov zapis kompleksnog broja (1)
U elektrotehnici postoji potreba za računom zasnovanim na kompleksnim brojevima. Iz praktičnih razloga koriste se drukčije oznake za kompleksni broj od onih koje se koriste u matematici. Najčešće oznake za kompleksni broj z su:
Tri osnovna zapisa kompleksnog broja su:
U elektrotehnici imaginarna jedinica je:
a) Algebarski zapis,
b) Trigonometrijski zapis,
c) Eulerov ili eksponencijalni zapis.
U okviru ovog kolegija koristi se oznaka za kompleksni broj: z
1j −=
z,z,z &
25
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.5. Eulerov zapis kompleksnog broja (2)Algebarski zapis kompleksnog broja glasi:
Trigonometrijski zapis kompleksnog broja glasi:
yjxz ⋅+=
)zRe(x =
)z(Imagy = Re
Imag
x
y
Re
Imag
x
y
ϕr
( )ϕ⋅+ϕ⋅= sinjcosrz
ϕ⋅== cosr)zRe(x
ϕ⋅== sinr)z(Imagy
22 yxzr +==
26
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.5. Eulerov zapis kompleksnog broja (3)Euler je razvojem u red dokazao da vrijedi:
Iz prethodnog slijedi Eulerov zapis kompleksnog broja:
Eulerov zapis je zgodan za množenje, dijeljenje, korjenovanje i potenciranjekompleksnih brojeva.
Kompleksne broje u Eulerovom zapisu nije moguće izravno zbrajati i oduzimati. U tom slučaju Eulerov zapis treba prevesti u algebarski zapiskompleksnog broja.
Re
Imag
x
y
ϕr
esinjcose )k2(jj π⋅⋅+ϕ⋅ϕ⋅ =ϕ⋅+ϕ=
esinjcose )k2(jj π⋅⋅+ϕ−⋅ϕ⋅− =ϕ⋅−ϕ=
( )ϕ⋅+ϕ⋅= sinjcosrz ϕ∠=⋅=⇒ϕ⋅ rerz j
27
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.5. Eulerov zapis kompleksnog broja (4)Kompleksni brojevi se iz Eulerovog zapisa u algebarski zapis prevode
pomoću džepnog računala. Najčešće oznake tih operacija su:
Ovdje se govori i o prevođenju iz pravokutnih (rectangular) koordinata u
polarne (polar), i obrnuto.
Primjeri za vježbu:
( ) ( ) y x, ) (r, , ) (r, y x, ; R P,P R →ϕϕ→→→
o13,53je54j3z)a ⋅⋅=⋅+=
o13,53je54j3z)b ⋅−⋅=⋅−=
oo 87,126j13,233j e5e54j3z)c ⋅−⋅ ⋅=⋅=⋅−−=
o90j2j0j eej ; e1 ⋅
π⋅⋅ ===
23
j2
jj eej ; e1π⋅⋅π⋅−π⋅ ==−=−
28
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.5. Eulerov zapis kompleksnog broja (5)Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva nije od praktične važnostiza ovaj kolegij.
U Eulerovom zapisu je jednostavno množiti i dijeliti kompleksne brojeve.
Dva kompleksna broja u Eulerovom zapisu:
se množe prema formuli:
te se dijele prema formuli:
21 j22
j11 erz;erz ϕ⋅ϕ⋅ ⋅=⋅=
( )21j2121 errzz ϕ+ϕ⋅⋅⋅=⋅
( ) er
r
z
z21j
2
1
2
1 ϕ−ϕ⋅⋅=
29
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (1)
Sinusne veličine se prikazuju pomoću fazora. Fazor je kompleksni broj,
a svakom kompleksnom broju pridijeljen je odgovarajući radijus-vektor.
Prema definiciji, koja se koristi u okviru ovog kolegija, modul fazora je
efektivna vrijednost sinusne veličine, a kut fazora je fazni kut sinusne
veličine. Dakle, moguća je i drukčija definicija fazora.
Opći izraz za sinusnu struju glasi:
Ujedno vrijedi da je:
Fazor u elektrotehnici mnogi zovu vektorom.
( ) ( ) tsinI2 tsinI i m ϕ+⋅ω⋅⋅=ϕ+⋅ω⋅=
( ) ( ) ( ) tsinj tcose tj ϕ+⋅ω⋅+ϕ+⋅ω=ϕ+⋅ω⋅
30
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (2)Dakle, vrijedi da je:
pa je trenutna vrijednost struje:
Nadalje je:
( ) ( )( )ϕ+⋅ω⋅=ϕ+⋅ω tje Imag tsin
( ) ( )( ) eI2 Imag tsinI2 i tj ϕ+⋅ω⋅⋅⋅=ϕ+⋅ω⋅⋅=
( )( ) ( )( ) eI2 Imag eeI2 Imag i tjtjj ⋅ω⋅⋅ω⋅ϕ⋅ ⋅⋅=⋅⋅⋅=
struje.fazor eI I je gdje j ϕ⋅⋅=
31
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (3)
Prikaz fazora struje u kompleksnoj ravnini i njegova veza s trenutnom
vrijednošću struje.
eI I j ϕ⋅⋅=
Re
Imag
ϕ
I
ϕ+
Dakle, izabrano je da je modul fazora efektivna vrijednost pripadne fizikalne veličine. Moguć jei drukčiji izbor modula fazora.
32
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (4)
Re
Imag
ϕ
I
t⋅ω
( ) eI2 tj ⋅ω⋅⋅⋅
i
( ) eI2 tj ⋅ω⋅⋅⋅- rotirajući kompleksni broj(rotirajući vektor)
Pitanje: Koja je veza između rotirajućeg kompleksnog broja i fazora?
Odgovor: Fazor je kompleksni broj definiran rotirajućim kompleksnim
brojem u trenutku t = 0. Modul fazora je efektivna vrijednost,
a modul rotirajućeg kompleksnog broja je maksimalna
vrijednost pripadne veličine.
33
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (5)Animacija: rotirajući kompleksni broj (rotirajući vektor)
34
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (6)U fazorskoj analizi, umjesto trenutnih vrijednosti napona, struje i EMS
računa se s kompleksnim brojevima, odnosno s fazorima sinusnih
veličina. Same trenutne vrijednosti veličina nas rijetko zanimaju.
Odgovor: Upotrebom fazorskog prikaza sinusnih veličina, svodimo linearne
integralno-diferencijalne jednadžbe na linearne algebarske jednadžbe.
Pitanje: Koja je svrha fazorskog prikaza sinusnih veličina.
Vrijedi da je:
(do na konstantu)
( )( ) ( )tjtj
ej dt
ed ⋅ω⋅⋅ω⋅
⋅ω⋅=
( ) ( )
j
e dte
tjtj
ω⋅=⋅
⋅ω⋅⋅ω⋅
∫
35
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (7)
Na osnovi prethodnog i veze trenutne vrijednosti i fazora lako se može
dokazati da vrijedi:
Naravno, anlogni izrazi u fazorskom zapisu vrijede i za napon i EMS.
I i →
Ij dt
di ⋅ω⋅→⇒
ω⋅−=
ω⋅→⋅∫
Ij
j
I dti
36
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (8)
Re
Imag
I UijeI I ϕ⋅⋅=
ujeU U ϕ⋅⋅=
Fazori različitih veličina mogu se prikazati na istom fazorskom dijagramu
iϕ
uϕ
37
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (9)
Pitanje:
Odgovor:
( ) A 135 t100sin10 4
3 t100sin10 i )a o+⋅π⋅⋅=
π⋅+⋅π⋅⋅=
? f ; ? ; ? I ==ω=
A e2
10 I
o135j⋅⋅=
rad/s 100 π⋅=ω
Hz 50f =
38
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
4.6. Fazorski prikaz sinusnih veličina (10)
Pitanje:
Odgovor:
( ) V 240 t120sin20 3
4 t120sin20 u )b o−⋅π⋅⋅=
π⋅−⋅π⋅⋅=
? f ; ? ; ? U ==ω=
A e2
20 U
o240j⋅−⋅=
rad/s 120 π⋅=ω
Hz 60f =
39
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
Ogledna ispitna pitanja (1)
1. Napišite izraze za izračunavanje srednje(elektrolitičke) i efektivnevrijednosti periodične struje i(t) proizvoljnog oblika, perioda T.
Rješenje:
∫ ⋅⋅=T
0sr dt)t(i
T
1 I
∫ ⋅⋅=T
0
2 dt)t(iT
1 I
40
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
Ogledna ispitna pitanja (2)
2. Za izmjeničnu struju i(t) sinusnog oblika napišite izraze i brojčane vrijednosti faktora oblika, tjemenog faktora i faktora srednje vrijednosti. Navedite značenje svih korištenih veličina.
Rješenje:
a) Faktor oblika:
b) Tjemeni faktor:
c) Faktor srednje vrijednosti:
11,1 22
I
I f
sro ≈
⋅π==
41,1 2 I
I f m
t ≈==
6366,0 2
I
I f
m
srsr ≈
π==
41
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 10
Ogledna ispitna pitanja (3)
3. Napišite pripadne fazore za zadanu struju i napon:
Rješenje: a)
b)
( ) A 45 tsin10 4
tsin10 i )a o+⋅ω⋅=
π+⋅ω⋅=
( ) V 45 tsin20 4
tsin20 u )b o−⋅ω⋅=
π−⋅ω⋅=
A e2
10 e
2
10 I
o45j4/j ⋅π⋅ ⋅=⋅=
V e2
20 e
2
20 U
o45j4/j ⋅−π⋅− ⋅=⋅=
1
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.7. Ohmov zakon u kompleksnom obliku (1)
U fazorskom računu (tzv. simboličkoj metodi)Ohmov zakon glasi:
gdje je:
Kompleksni oblik impedancije
Z
U I =
I −
U −
Z −
fazor struje [A],
fazor napona [V],
impedancija [Ω].
+
_
U
I
Z
u
i
RLC
+
2
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.7. Ohmov zakon u kompleksnom obliku (2)
Impedancija je ukupni otpor koji se suprotstavlja prolasku izmjenične
sinusne struje.
gdje je:
Lako je dokazati da ujedno vrijedi da je:
Z
U I =
I −
U −
Z −
efektivna vrijednost struje [A],
efektivna vrijednost napona [V],
modul (apsolutni iznos) impedancije [Ω].
3
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.7. Ohmov zakon u kompleksnom obliku (3)
Iz Ohmovog zakona slijedi da je impedancija:
Dakle, impedancija je kompleksni broj kojemu je kut jednak kutu ϕ zakoji napon prethodi struji.
( )iu
j j ; eZ eI
U
I
U Z iu ϕ−ϕ=ϕ⋅=⋅== ϕ⋅ϕ−ϕ⋅
U Iϕ
0>ϕ
UI ϕ
0<ϕ
4
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.8. Radni otpor u krugu izmjenične struje (1)
Budući da kod radnog otpora nema akumulirane
elektromagnetske energije, vrijedi da je:
Neka je napon na radnom otporu R:
Slijedi da je:
u
i
R
+
_R
u = i
( )um tsinU u ϕ+⋅ω⋅=
( ) ( ) tsinI tsinR
U
R
u i imu
m ϕ+⋅ω⋅=ϕ+⋅ω⋅==
iu ϕ=ϕ⇒
55
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.8. Radni otpor u krugu izmjenične struje (2)
Dakle, napon na radnom otporu R i struja kroz taj otpor su istofazni.
6
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.8. Radni otpor u krugu izmjenične struje (3)
Fazorski prikaz napona i struje.
Pojednostavljeni fazorski prikaz napona i struje.
Re
Imag
I U
I
U
7
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.8. Radni otpor u krugu izmjenične struje (4)
Iz Ohmovog zakona i
prethodnog razmatranja
slijedi da je:
+
_
U
I
RZ =
R
U
Z
U I ==
⇒ R Z =R
8
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.8. Radni otpor u krugu izmjenične struje (5)Kod izmjenične struje radni otpor istog vodiča je veći no kod istosmjerne
struje zbog tzv. skin efekta. To znači da se struja potiskuje prema rubu
vodiča. Što je veća frekvencija struje, to je potiskivanje veće.
Koristi se pojam dubine prodiranja struje (elektromagnetskog polja) u
vodič:
Na dubini prodiranja d gustoća struje padne na 1/e ≈ 0,368 svoje vrijednosti
na rubu vodiča.
ω - kružna frekvencija struje
µ, κ - značajke materijala vodičaκ⋅µ⋅ω= 2 d
Jr
- vektor plošne gustoćestruje
9
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.8. Radni otpor u krugu izmjenične struje (6)
Ustvari, zbog vremeski promjenjivog magnetskog toka, u vodiču se
stvaraju vrtložne struje.
Fizikalno objašnjenje skin efekta.
Kroz zamišljenu strujnicu prolazi vremenski promjenjivi magnetski tok.Inducirana vrtložna struja želi poništiti promjenu ulančenog magnetskog toka, po zakonu elektromagnetske indukcije.
0 dt
di Za >
10
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.9. Induktivitet u krugu izmjenične struje (1)
Po zakonu elektromagnetske
indukcije, djelovanje induktiviteta se može prikazati pomoću inducirane EMS:
+
_
u
i
L
Ovakav izraz vrijedi kada
inducirana EMS e ima isti smjer
kao i jakost struje i.
dt
diL e ⋅−=
11
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.9. Induktivitet u krugu izmjenične struje (2)
Vrijedi da je:
odakle slijedi da je napon na
induktivitetu uslijed prolaska
struje kroz induktivitet:
+
_
u
i
e dt
diL u e ⋅−=−=
dt
diL u ⋅=
Ovaj izraz vrijedi za bilo koji oblik struje pa i za sinusni oblik struje.
12
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.9. Induktivitet u krugu izmjenične struje (3)
Za sinusnu struju, iz Ohmovog zakona i prethodnog razmatranja slijedi da je:
⇒
LXjZ ⋅=
+
_
U
Idt
diL u ⋅=
IZ = ILj U ⋅⋅⋅ω⋅=⇒
Lj Z ⋅ω⋅=⇒
L
Xj = Lj Z L⋅⋅ω⋅=
−⋅ω= L X L induktivni otpor (induktivna reaktancija).
13
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.9. Induktivitet u krugu izmjenične struje (4)
Lako se vidi da napon na induktivitetu
prethodi za 90o (π/2) u odnosu na
struju kroz induktivitet.
Množenje s j = e j⋅π/2 znači zakret
za π/2.
u
i
I
U
2
π=ϕ
14
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.10. Kapacitet u krugu izmjenične struje (1)
Vrijede izrazi:
Ovaj izraz vrijedi za bilo koji oblik struje pa i za sinusni oblik struje.
u
i
C
+
_
; dt
dq i = u C q ⋅=
dt
duC i ⋅=⇒
15
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.10. Kapacitet u krugu izmjenične struje (2)
Za sinusnu struju, iz Ohmovog zakona i prethodnog razmatranja slijedi da je:
⇒
CXjZ ⋅−=
dt
duC i ⋅=
Z
U = UCj I ⋅⋅ω⋅=⇒
C
1j
Cj
1 Z
⋅ω⋅−=
⋅ω⋅=⇒
C
Xj C
1j Z C⋅−=
⋅ω⋅−=
−⋅ω
=C
1 X C kapacitivni otpor (kapacitivna reaktancija).
U
I+
_
16
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.10. Kapacitet u krugu izmjenične struje (3)
Lako se vidi da napon na kapacitetu
kasni za 90o (π/2) u odnosu na
struju kroz induktivitet.
Množenje s - j = e - j⋅π/2 znači zakret
za -π/2.
u
i
U
I
2
π−=ϕ
17
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.11. Serijski spoj impedancija (1)
Neka je zadan serijski spoj triju impedancija. Treba dobiti izraz za ukupnu
(ekvivalentnu) impedanciju.
1Z 2Z 3Z
U
I
Z
U
I
; UUUU 321 ++=
ZIU ; ZIU ; ZIU ; ZIU 332211 ⋅=⋅=⋅=⋅=
18
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.11. Serijski spoj impedancija (2)
Na osnovi prethodnih izraza dobije se:
ZIZIZIZI 321 ⋅+⋅+⋅=⋅
ZZZZ 321 ++=⇒
U općem slučaju, za n impedancija, vrijedi: ∑=
=n
1iiZZ
U specijalnom slučaju, za n = 2, vrijedi: 21 ZZZ +=
19
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.11. Serijski spoj impedancija (3)
Primjer: R L C
A B ?ZAB =
R Z =R
L
Xj = Lj Z L⋅⋅ω⋅=
C
Xj C
1j Z C⋅−=
⋅ω⋅−=
20
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.11. Serijski spoj impedancija (4)
( )CLCLAB XXjRXjXjRZ −⋅+=⋅−⋅+=
( ) XXRZ 2CL
2AB −+=
ϕ⋅⋅= jABAB eZZ
R
XX tg arc CL −=ϕ
21
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.11. Serijski spoj impedancija (5)
Kompleksni dijagram impedancije:
R Re
LXj ⋅CXj ⋅−
ABZ
ϕ R
LXj ⋅CXj ⋅−
ABZ
ϕ
0 ; XX CL >ϕ> 0 ; XX CL <ϕ<
22
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.12. Paralelni spoj impedancija (1)
Neka je zadan paralelni spoj triju impedancija. Treba dobiti izraz za
ukupnu (ekvivalentnu) impedanciju.
1Z 2Z 3ZU
I
ZU
I
321 IIII ++=
Z
UI ;
Z
UI ;
Z
UI ;
Z
UI
33
22
11 ====
23
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.12. Paralelni spoj impedancija (2)
Na osnovi prethodnih izraza dobije se:
Z
U
Z
U
Z
U
Z
U
321++=
Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
321++=⇒
Z
1 Y :aAdmitancij = Y Y Y Y 321 ++=⇒
U općem slučaju, za n impedancija, vrijedi: ∑=
=n
1i iZ
1
Z
1
U specijalnom slučaju, za n = 2, vrijedi:21
21
ZZ
ZZZ
+⋅=
24
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.12. Paralelni spoj impedancija (3)Primjer:
R L C
A
B
?ZAB =
−⋅+=
⋅−
⋅+==
LCCLABAB X
1
X
1j
R
1
Xj
1
Xj
1
R
1
Z
1 Y
yjABAB eY Y
ϕ⋅⋅=⇒yj
ABAB e
Y
1 Z
ϕ⋅−⋅=⇒
Ω⋅=⇒⋅= ⋅−⋅ e2
1 Z S e2 Y
oo 30jAB
30jABje neka .Npr
25
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13. Snaga i energija izmjenične struje (1)
Neka je za RLC kombinaciju poznat
sinusni napon i sunusna struja:
Trenutna vrijednost snage RLC kombinacije je:
u
i
RLC
+
( ) tsinU u um ϕ+⋅ω⋅=
( ) tsinI i im ϕ+⋅ω⋅=
( ) ( ) tsin tsinIU iup iumm ϕ+⋅ω⋅ϕ+⋅ω⋅⋅=⋅=
( ) ( ) t2coscos2
IU p iuiu
mm
ϕ+ϕ+⋅ω⋅−ϕ−ϕ⋅⋅=⇒
ϕ43421
26
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13. Snaga i energija izmjenične struje (2)Zamijenimo li maksimalne vrijednosti napona i struje s efektivnima, onda je:
( )[ ] t2coscosIU p iu ϕ+ϕ+⋅ω⋅−ϕ⋅⋅=
27
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13. Snaga i energija izmjenične struje (3)
Srednja vrijednost snage Psr = P je:
Srednja snaga P je ona snaga čija se energija može pretvoriti u korisni rad. Stoga se ona naziva: radna snaga, aktivna snaga ili pak djelatna snaga.Razlikujemo još:
Prividnu snagu:
Jalovu (reaktivnu) snagu:
Pozitivna jalova snaga (Q > 0) je, naime, induktivna snaga.
Ako je jalova snaga negativna (Q < 0), to znači da je Q kapacitivna snaga.
[ ] W cosIUP ϕ⋅⋅=
snagefaktor zove se cos ϕ
[ ] VA IUS ⋅=
[ ] varVAr sinIUQ ≡ϕ⋅⋅=
28
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13. Snaga i energija izmjenične struje (4)
Za ϕ > 0 (Q > 0) tzv.
trokut snaga ima izgled:
Za ϕ < 0 (Q < 0)
trokut snaga ima izgled:
P
QS
ϕ
P
QS
ϕ
29
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13. Snaga i energija izmjenične struje (5)
Dakle, vrijedi da je:
(prividna snaga)
(radna snaga)
(jalova snaga)
[ ]VA IUS ⋅=
[ ]W cosS cosIUP ϕ⋅=ϕ⋅⋅=
[ ] VAr sinS sinIUQ ϕ⋅=ϕ⋅⋅=
30
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13. Snaga i energija izmjenične struje (6)
Jalova energija se ne može pretvoriti u koristan rad. Ona se tijekom vremena razmjenjuje između izvora, induktiviteta i kapaciteta.
Ovako definirana električna energija je ustvari radna električna energija. Ona se može pretvoriti u koristan rad.
Električna energija sinusne (harmonijske) struje je:
Kućanstva HEP-u plaćaju samo potrošenu radnu električnu energiju, dok industrijska poduzeća plaćaju i jalovu energiju pa i maksimalnu angažiranu snagu (maksimalnu potrošnju el. energije tijekom 15 minuta, u obračunskom razdoblju). U industriji se provodi kompenzacija jalove snage, tj. teži se da faktor snage bude što bliže jedinici.
[ ]J tcosIUtP = tP =dt p =W t
0sr ⋅ϕ⋅⋅=⋅⋅⋅∫
31
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13.1. Snaga radnog otpora R (1)
Neka je ϕu = ϕi = 0.
u
i
R
+
_
0 iu =ϕ−ϕ=ϕ
Za radni otpor je:
0. Q ; IU S P =⋅==⇒
( )[ ] t2cos1IU p ⋅ω⋅−⋅⋅=⇒
32
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13.1. Snaga radnog otpora R (2)
( )[ ] t2cos1IU p ⋅ω⋅−⋅⋅=
33
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13.2. Snaga idealnog svitka induktiviteta L (1)
Neka je ϕi = 0 ⇒ ϕu = π/2
2
iuπ=ϕ−ϕ=ϕ
Za idealni svitak je:
0. P ; IU S Q =⋅==⇒
+
_
u
i
L
( ) ( ) t2sinIU 2/t2cosIU p ⋅ω⋅⋅⋅=π+⋅ω⋅⋅⋅−=⇒
34
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13.2. Snaga idealnog svitka induktiviteta L (2)
( ) ( ) t2sinIU 2/t2cosIU p ⋅ω⋅⋅⋅=π+⋅ω⋅⋅⋅−=
35
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13.3. Snaga idealnog kondenzatora kapaciteta C (1)
Neka je ϕi = 0 ⇒ ϕu = − π/2
2
iuπ−=ϕ−ϕ=ϕ
Za idealni kondenzator je:
0. P ; IU S Q =⋅−=−=⇒
( ) ( ) t2sinIU 2/t2cosIU p ⋅ω⋅⋅⋅−=π−⋅ω⋅⋅⋅−=⇒
u
i
C
+
_
36
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
4.13.3. Snaga idealnog kondenzatora kapaciteta C (2)
( ) ( ) t2sinIU 2/t2cosIU p ⋅ω⋅⋅⋅−=π−⋅ω⋅⋅⋅−=
37
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
Ogledna ispitna pitanja (1)1. Za radni otpor R, zavojnicu induktiviteta L i kondenzator kapaciteta C
napišite izraze koji povezuju napon u = u(t) i struju i = i(t) proizvoljnog
oblika.
a) b) c)
Rješenje:
a) b) c)
u
i
R
+
_
+
_
u
i
L u
i
C
+
_
R
u = i dt
diL u ⋅= dt
duC i ⋅=
38
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
Ogledna ispitna pitanja (2)2. Za radni otpor R, zavojnicu induktiviteta L i kondenzator kapaciteta C
napišite izraze koji povezuju fazor struje i fazor napona ako je kružna
frekvencija sinusnih veličina ω.
a) b) c)
Rješenje:
a) b) c)
u
i
R
+
_
+
_
u
i
L u
i
C
+
_
R
U I = ILj U ⋅⋅ω⋅= UCj I ⋅⋅ω⋅=
39
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
Ogledna ispitna pitanja (3)
3. Izračunajte fazor napona trošila na slici.
+
_
U
I
ZΩ⋅−=
⋅= ⋅
4j3Z
A e10Io30j
Rješenje:
Ω⋅=⋅−= ⋅− e5 4j3 Zo53,13j
V e50 ZI Uo23,13j⋅−⋅=⋅=
40
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
Ogledna ispitna pitanja (4)
Rješenje:
4. Za trošilo na slici odredite kompleksni izraz za impedanciju.
+
_
U
I
Z
V e220U
A e10I
o
o
30j
75j
⋅
⋅
⋅=
⋅=
Ω⋅== ⋅− e22 I
U Z
o45j
41
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
Ogledna ispitna pitanja (5)
5. Izračunajte fazor struje trošila na slici.
Rješenje:
+
_
U
I
Z
V e20Uo30j⋅⋅=
Ω⋅= ⋅− e10Zo45j
A e2 Z
U I
o75j⋅⋅==
42
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
Ogledna ispitna pitanja (6)
6. Izračunajte ekvivalentnu impedanciju ako je
Rješenje:
ABZ . e15Zo45j Ω⋅= ⋅
( ) Ω⋅=⋅=⋅+⋅=
⋅+⋅⋅= ⋅ o45j
AB e10Z3
2Z
21
21
Z2Z
Z2ZZ
A
B
Z
Z Z
43
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
Ogledna ispitna pitanja (7)
7. Izračunajte ekvivalentnu impedanciju ako je ABZ . e15Zo45j Ω⋅= ⋅
A
B
Z
Z
Z
Z
Z
44
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
Ogledna ispitna pitanja (8)
Rješenje:
8. Izračunajte ekvivalentnu impedanciju ako je ABZ . e15Zo45j Ω⋅= ⋅
Z Z2⋅
Z2⋅ Z4⋅
ZA B
Ω⋅=⋅= ⋅ e30Z2Zo45j
AB
45
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 11
Ogledna ispitna pitanja (9)
Rješenje:
9. Za trošilo na slici izračunajte prividnu, radnu i jalovu snagu.
+
_
U
I
ZΩ⋅−=
⋅= ⋅
4j3Z
A e10Io30j
W 300 RI P 2 =⋅=
ArV 400 XI Q 2 −=⋅=
AV 500 QP S 22 =+=
1
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.13.4. Kompleksni izraz za prividnu snagu (1)
Kompleksni izraz za prividnu snagu glasi:
gdje * označava konjugiranje kompleksnog broja (fazora struje).
[ ] VA IUS ∗⋅=
( )4342143421
48476
QP
j sinIUj cosIUeIUIUS iu ϕ⋅⋅⋅+ϕ⋅⋅=⋅⋅=⋅=
ϕ
ϕ−ϕ⋅∗
[ ]VAQjP IUS ⋅+=⋅= ∗
2
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.13.4. Kompleksni izraz za prividnu snagu (2)
Kompleksni dijagram snage za
ϕ > 0 (Q > 0)
P
Qj ⋅S
ϕ
P
Qj ⋅S
ϕ
ϕ < 0 (Q < 0)
Kompleksni dijagram snage za
3
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.13.4. Kompleksni izraz za prividnu snagu (3)
Neka je impedancija izražena na
način prikazan na slici. Treba
izraziti prividnu radnu i jalovu
snagu preko I, R, X i Z.
Ujedno vrijede izrazi:
+
_
U
I
XjRZ ⋅+=
QjP)XjR(IZIZIIIUS 22
I
**
2
⋅+=⋅+⋅=⋅=⋅⋅=⋅=
ZI S 2 ⋅=⇒ RI P ; 2 ⋅= XI Q ; 2 ⋅=
2222 XR Z; QPS +=+=
4
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.13.5. Mjerenje radne snage
Radna se snaga mjeri pomoću vatmetra.
A W
V
A
B
+
I
E Z
[ ] ( )I,U ; cosIUIUReP ABAB*
AB ∠=ϕϕ⋅⋅=⋅=
5
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.14. Maksimalna radna snaga na impedanciji
Pitanje: Kod koje se impedancije trošila na trošilu razvija maksimalna
radna snaga?
Neka je na neku linearnu
harmonijsku mrežu spojena impedancija.
Odgovor: Kod impedancije ZZ *T=
− ZTgdje je Theveninova impedancija.
Z Mreža
A
B
6
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15. Rezonancija (1)
Rezonancija se javlja u raznim granama tehnike.
Film: pucanje čaše uslijed rezonancije
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E&NR=1
7
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15. Rezonancija (2)
Primjer rezonancije
8
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15. Rezonancija (3)
Rušenje mosta zbog jakog vjetra
http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw
9
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.1. Serijska ili naponska rezonancija (1)
Neka je zadan serijski spoj R, L i C, koji su spojeni na sinusni (harmonijski) izvor.
Kažemo da serijska ili naponska rezonancija nastupa kod frekvencije
EMS izvora kod koje je impedancija kruga minimalna, odnosno kod koje
je jakost struje maksimalna.
RL
CE
+I
10
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.1. Serijska ili naponska rezonancija (2)
Dakle, rezonantna frekvencija:
Rezonancija ⇒
( )CLCLAB XXjRXjXjRZ −⋅+=⋅−⋅+=
( ) CL XX ; RZ 0Z Imag ==⇒=
[ ]Hz CL
1
2
1f R ⋅
⋅π⋅
=
C
1L XX
RRCL ⋅ω
=⋅ω⇒=
CL
1 R ⋅
=ωRezonantna kružna frekvencija: (Thomsonova formula)
11
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.1. Serijska ili naponska rezonancija (3)
Fazorski dijagram za rezonantnostanje.
Kod rezonancije ukupna jalova snaga je jednaka nuli. To znači da sejalova energija razmjenjuje između idealne zavojnice i idealnog kondenzatora bez sudjelovanja izvora.
Ova rezonancija se zove naponska jer se poništavaju napon na induktivitetui napon na kapacitetu.
Faktor snage jednak je jedinici.
I
LU
CU
EUR =
12
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.2. Paralelna ili strujna rezonancija (1)
Neka je zadan paralelni spoj R, L i C, koji su spojeni na sinusni
(harmonijski) izvor.
Kaže se da paralelna ili strujna rezonancija nastupa kod frekvencije
EMS izvora kod koje je impedancija RLC kombinacije maksimalna,
odnosno kod koje je jakost struje minimalna.
R L C+
E
RI LI CI
I
13
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.2. Paralelna ili strujna rezonancija (2)
Rezonancija ⇒
−⋅+=
⋅−
⋅+==
LCCL X
1
X
1j
R
1
Xj
1
Xj
1
R
1
Z
1 Y
( ) CL XX ; RZ 0Y Imag ==⇒=
Dakle, rezonantna frekvencija: [ ]Hz CL
1
2
1f R ⋅
⋅π⋅
=
C
1L XX
RRCL ⋅ω
=⋅ω⇒=
CL
1 R ⋅
=ωRezonantna kružna frekvencija:
14
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.2. Paralelna ili strujna rezonancija (3)
Fazorski dijagram za rezonantnostanje.
Kod rezonancije ukupna jalova snaga je jednaka nuli. To znači da se
jalova energija razmjenjuje između idealne zavojnice i idealnog
kondenzatora bez sudjelovanja izvora.
Ova rezonancija se zove strujna jer se poništava struja kroz induktivitet
i struja kroz kapacitet.
Faktor snage jednak je jedinici.
E
LICI
IIR =
15
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.3. Rezonancija za složenu RLC kombinaciju (1)
Kod složene kombinacije možemo postići ili naponsku rezonanciju ili strujnurezonanciju, a u nekim slučajevima moguće je čak postići i obje rezonancije.
Razlikujemo dva osnovna slučaja:
a) Dominantna serija ⇒ računa se ukupna impedancija Z
( ) 0Z Imag = ⇒ naponska rezonancija
∞→≠ Z ; 0 C L, R, ⇒ strujna rezonancija
b) Dominantna paralela ⇒ računa se ukupna admitancija Y
( ) 0Y Imag = ⇒ strujna rezonancija
∞→≠ Y ; 0 C L, R, ⇒ naponska rezonancija
16
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.3. Rezonancija za složenu RLC kombinaciju (2)
Primjer: Dominantna serija(naponska rezonancija)
( )( )
( )2C
2CC
LC
CL
XR
XjRXRj Xj
XjR
XjR Xj Z
+⋅+⋅⋅⋅−⋅=
⋅−+⋅−⋅+⋅=
+⋅−⋅+
+⋅=
2C
2C
2
L2C
2
2C
XR
XR Xj
XR
XR Z
( ) 0Z Imag = R2C
2C
2
LXR
XR X ω⇒
+⋅=⇒
R
LC
17
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.3. Rezonancija za složenu RLC kombinaciju (3)
Primjer: Dominantna paralela(strujna rezonancija)
R L
C
2L
2L
CLC XR
XjR
X
1j
XjR
1
Xj
1 Y
+⋅−+⋅=
⋅++
⋅−=
+−⋅+
+=
2L
2L
C2L
2 XR
X
X
1j
XR
R Y
( ) 0Y Imag = RL
2L
2
C X
XRX ω⇒+=⇒
18
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.3. Rezonancija za složenu RLC kombinaciju (4)
Primjer: Dominantna paralela(obje rezonancije) L
2C
1C
( )
−−⋅=
⋅−+
−⋅=
1CL2C2C1CL XX
1
X
1j
Xj
1
XXj
1 Y
( )1CL2C
2C1CL
XXX
XXXj Y
−⋅−−⋅=
19
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.3. Rezonancija za složenu RLC kombinaciju (5)
( ) 0Y Imag = RsC21CL XXX ω⇒+=⇒
( )1CL2C
2C1CL
XXX
XXXj Y
−⋅−−⋅=
Strujna rezonancija:
∞→Y
Naponska rezonancija:
Rn1CL XX ω⇒=⇒
20
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.3. Rezonancija za složenu RLC kombinaciju (6)
Primjer: Dominantna serija(obje rezonancije)
( )( ) C2L
C2L1L
C2L
C2L1L XX
XXj Xj
XXj
XjXj Xj Z
−⋅⋅−⋅=
−⋅⋅−⋅⋅+⋅=
2L
1LC
−⋅−⋅=
C2L
C2L1L XX
XX Xj Z
21
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
4.15.3. Rezonancija za složenu RLC kombinaciju (7)
( ) 0Z Imag =
−⋅−⋅=
C2L
C2L1L XX
XX Xj Z
Naponska rezonancija:
RnC2L
C2L1L XX
XX X ω⇒
−⋅=⇒
Strujna rezonancija:
∞→Z RsC2L XX ω⇒=⇒
22
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (1)
Rješenje:
1. Za trošilo na slici izračunajte prividnu,
radnu i jalovu snagu.+
_
U
I
Z
V e220U
A e10I
o
o
30j
75j
⋅
⋅
⋅=
⋅=
VAe2200 e10e220 IUSooo 45j 75j 30j* ⋅−⋅−⋅ ⋅=⋅⋅⋅=⋅=
VA21100j 21100S ⋅⋅−⋅=
VA 2200 S ;Ar V 1555,63 Q ; W 1555,63 P =−==
23
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (2)
Rješenje:
2. Za trošilo na slici izračunajte prividnu,
radnu i jalovu snagu.+
_
U
I
ZA e20I
o30j⋅⋅=
Ω⋅⋅= ⋅ e210Zo45j
VAe24000 e21020 ZI S oo 45j45j22 ⋅⋅ ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=
VA4000j 4000S ⋅+=
VA 5656,85 S ;VAr 4000 Q ; W 4000 P ===
24
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (3)3. Za trošilo na slici izračunajte prividnu, radnu i jalovu snagu.
+
_
U
I
ZV e230U
o30j⋅⋅=
Ω⋅⋅= ⋅− e210Zo45j
Rješenje:
VAe20295 e21023 ZI S oo 45j45j22 ⋅−⋅− ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=
VA 7481,19 S ;VAr 5290 Q ; W 5290 P =−==
25
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (4)4. Ako voltmetar pokazuje 230 V, ampermetar 2 A, vatmetar 250 W, a faktor
snage je induktivan,izračunajte prividnu radnu i jalovu snagu trošila.
Rješenje:
A W
V+
E Z
W 250 P =
VA 460 = IU S ⋅=
VAr 386,13 PS Q 22 =−=
26
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (5)5. Ako voltmetar pokazuje 230 V, ampermetar 2 A, vatmetar 250 W, a faktor
snage je induktivan,izračunajte impedanciju trošila u kompleksnom obliku(modul i kut impedancije).
Rješenje:
A W
V+
E Z
ind. 0,54348 460
250
IU
P
S
P cos ==
⋅==ϕ o57,08 =ϕ⇒
Ω== 115 I
U Z Ω⋅=⇒
⋅ e115 Z o08,57j
27
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (6)6. Ako voltmetar pokazuje 230 V, ampermetar 2 A, vatmetar 250 W, a faktor
snage je kapacitivan,izračunajte prividnu radnu i jalovu snagu trošila.
Rješenje:
A W
V+
E Z
W 250 P =
VA 460 = IU S ⋅=
VAr 386,13 PS Q 22 −=−−=
28
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (7)7. Ako voltmetar pokazuje 230 V, ampermetar 2 A, vatmetar 250 W, a faktor
snage je kapacitivan,izračunajte impedanciju trošila u kompleksnom obliku(modul i kut impedancije).
Rješenje:
A W
V+
E Z
kap. 0,54348 460
250
IU
P
S
P cos ==
⋅==ϕ o57,08 −=ϕ⇒
Ω== 115 I
U Z Ω⋅=⇒
⋅− e115 Z o08,57j
29
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (8)8. Nadopunite shemu ampermetrom, voltmetrom i vatmetrom. Koju snagu
mjeri vatmetar?
Rješenje:
Vatmetar mjeri
radnu snagu.
A W
V+
E Z
+E Z
30
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (9)
Rješenje:
Z2
5ZT ⋅=
Ω⋅=⋅== ⋅− o45j**T1 e25Z
2
5ZZ
9. Izračunajte kompleksnu vrijednost impedancije kod koje se na toj
impedanciji razvija maksimalna radna snaga. Neka je .e10Zo45j Ω⋅= ⋅
1Z
++
+Z Z
1ZZ Z
1E
2E3E
sIZ
31
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (10)
10. Izračunajte kompleksnu vrijednost impedancije kod koje se na toj
impedanciji razvija maksimalna radna snaga. Neka je .e10Zo45j Ω⋅= ⋅
1Z
++
+1Z Z
ZZ Z
1E
2E3E
sIZ
32
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (11)
11. Izračunajte kompleksnu vrijednost impedancije kod koje se na toj
impedanciji razvija maksimalna radna snaga. Neka je .e10Zo45j Ω⋅= ⋅
1Z
++
+1ZZ
ZZZ
1E
2E3E
sIZ
33
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (12)
12. Odredite izraz koji povezuje R, XL i XC u slučaju rezonancije. Da li je
rezonancija strujna ili naponska?
13. Odredite izraz koji povezuje R, XL i XC u slučaju rezonancije. Da li je
rezonancija strujna ili naponska?
R
LC
R L
C
34
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (13)
14. Odredite izraz koji povezuje XL, XC1 i XC2 u slučaju rezonancije. Da li je
rezonancija strujna ili naponska?
15. Odredite izraz koji povezuje XL1 , XL2 i XC u slučaju rezonancije. Da li
je rezonancija strujna ili naponska?
L
2C
1C
2L
1LC
35
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (14)
16. Odredite izraz koji povezuje R, XL i XC u slučaju rezonancije. Da li je
rezonancija strujna ili naponska?
17. Odredite izraz koji povezuje R, XL i XC u slučaju rezonancije. Da li je
rezonancija strujna ili naponska?
R
L
C
R
L
C
36
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 12
Ogledna ispitna pitanja (15)
18. Odredite izraz koji povezuje XC, XL1 i XL2 u slučaju rezonancije. Da li je
rezonancija strujna ili naponska?
19. Odredite izraz koji povezuje XC1 , XC2 i XL u slučaju rezonancije. Da li
je rezonancija strujna ili naponska?
1LC
2L
L
1C
2C
1
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16. Trofazni sustav4.16.1. Trofazni simetrični sustav napona (1)
Trofazni simetrični sustav napona čine tri sinusna napona međusobno fazno
pomaknuta za 120o (2⋅π/3 u radijanima), dok su im maksimalne vrijednosti
jednake.
( ) tsinU u um1 ϕ+⋅ω⋅=
3
2 tsinU u um2
π⋅−ϕ+⋅ω⋅=
3
4 tsinU
3
2 tsinU u umum3
π⋅−ϕ+⋅ω⋅=
π⋅+ϕ+⋅ω⋅=
2
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.1. Trofazni simetrični sustav napona (2)
U specijalnom slučaju za ϕu = 0, sustav napona je opisan izrazima:
Za trofazni simetrični sustav napona, vrijedi da je:
t ; 0 u u u 321 ∀=++
( ) tsinU u m1 ⋅ω⋅=
( ) 201 tsinU 3
2 tsinU u o
mm2 −⋅ω⋅=
π⋅−⋅ω⋅=
( )omm3 201 tsinU
3
2 tsinU u +⋅ω⋅=
π⋅+⋅ω⋅=
3
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.1. Trofazni simetrični sustav napona (3)
Slijedi grafički prikaz trofaznog simetričnog sustava napona i to za ϕu = 0.
1u 2u 3u
t⋅ω
2
π π2
3 π⋅π⋅23
2 π⋅3
4 π⋅
4
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.1. Trofazni simetrični sustav napona (4)
Slijedi fazorski prikaz trofaznog simetričnog sustava napona za ϕu = 0.
Re
1U
2U3U
5
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.2. Trofazni simetrični sustav EMS (1)
Neka je trofazni simetrični sustav EMS spojen u zvijezdu.
L1, L2, L3 – fazni vodiči ; N – neutralni vodič
+
+
+
1L
2L
3L
N
1E
2E
3E
V
V
ll EU =
ff EU =
6
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.2. Trofazni simetrični sustav EMS (2)
Fazorski prikaz EMS
za trofazni simetrični
sustav EMS spojen
u zvijezdu.
−lU linijski napon (napon između dvije faze (linije), međufazni napon
−fU fazni napon (napon između faze i neutralnog vodiča)
1E
3E
2E
2112 EEE −=
7
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.2. Trofazni simetrični sustav EMS (3)
Za spoj EMS u zvijezdu vrijedi:
fE lE EMS fazna E
EMS linijska E
f −
−l
E3 = E f⋅l
8
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.2. Trofazni simetrični sustav EMS (4)
Trofazni simetrični sustav EMS može biti spojen i u trokut.Tada nema neutralnog vodiča.
+
+
+
1L
2L
3L
2E
1E3EV
llEU =
9
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.2. Trofazni simetrični sustav EMS (5)
Fazorski prikaz EMS za trofazni simetrični sustav EMS spojen u trokut.
1E
2E
3E
10
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.3. Trofazno simetrično trošilo spojeno u zvijezdu (1)
Neka je trofazno simetrično trošilo spojeno u zvijezdu priključeno na trofaznu simetričnu krutu mrežu. Kruta mreža – mreža koja ima konstantan napon i frekvenciju, neovisno o trošilima.
Z Z Z
1Il
1fI lUV
V fU
L1 L2 L3
11
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.3. Trofazno simetrično trošilo spojeno u zvijezdu (2)Slijedi fazorski prikaz napona na trošilu.
Na dijagramu je prikazanfazor jednog od ukupno tri linijska napona na trošilu:
Za spoj trošila u zvijezdu vrijedi:
Linijska struje – struje u dovodima trošila.
1U
3U
2U
2112 UUU −=
− U ,U ,U 321 fazori faznih napona
2112 U U U −=
U3 U f⋅=l I I f=l
12
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.3. Trofazno simetrično trošilo spojeno u zvijezdu (3)Trošila mogu biti trofazna i jednofazna. Jednofazna trošila se mogu spajati
ako postoji neutralni vodič.
1L
2L
3L
N
M3
13
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.3. Trofazno simetrično trošilo spojeno u zvijezdu (4)
Animacija: Princip rada trofaznog sustava
http://en.wikipedia.org/wiki/File:3-phase_flow.gif
14
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.4. Trofazno simetrično trošilo spojeno u trokut (1)
Neka je trofazno simetrično trošilo spojeno u trokut priključeno na trofaznu simetričnu krutu mrežu.
1Il
Z Z
Z
fUU =l
V
3fI
1fI 2fI
L1 L2 L3
15
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.4. Trofazno simetrično trošilo spojeno u trokut (2)Kod spoja trošila u trokut, svaka od faza trošila je spojena na linijski napon mreže.
Pitanje: Je li trošilo na slici spojeno u trokut?
Odgovor: Da.
L1 L2 L3
16
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.4. Trofazno simetrično trošilo spojeno u trokut (3)Slijedi fazorski prikaz napona i struja trofaznog trošila.
Za spoj trošila u trokut vrijedi:
1U
2U
3U
1fI
2fI3fI
3f1f1 III −=l
U U f=l I3 I f⋅=l
17
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.5. Primjena Millmanove metode (1) Prvi primjer primjene: Treba izračunati struje u granama (fazne struje).
ABU AB
+
+
+
1E
2E
3E
1I
2I
3I
1Z
2Z
3Z
18
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.5. Primjena Millmanove metode (2)
Vrijedi da je:
Nadalje je:
Z1
+ Z1
+ Z1
ZE
+ ZE
+ ZE
U
321
3
3
2
2
1
1
AB =
1111AB I E ZI U ⇒+⋅−=
2222AB I E ZI U ⇒+⋅−=
3333AB I E ZI U ⇒+⋅−=
19
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.5. Primjena Millmanove metode (3) Drugi primjer primjene: Treba izračunati fazne struje i struju neutralnog vodiča.
ABUB A
+
+
+
1E
2E
3E
1I
2I
3I
1Z
2Z
3Z
0I0Z
20
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.5. Primjena Millmanove metode (4)
Vrijedi da je:
Nadalje je:
Z1
+Z1
+ Z1
+ Z1
ZE
+ ZE
+ ZE
U
0321
3
3
2
2
1
1
AB =
1111AB I E ZI U ⇒+⋅−=
2222AB I E ZI U ⇒+⋅−=
3333AB I E ZI U ⇒+⋅−=
000 I ZI U AB ⇒⋅=
21
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.5. Primjena Millmanove metode (5)
Treći primjer primjene: Treba izračunati fazne struje i struju neutralnog vodiča.
+
+
+
1E
2E
3E
1I
2I
3I
1Z
2Z
3Z
0I
22
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.5. Primjena Millmanove metode (6)
Sve tri faze su u kartkom spoju. Vrijedi da je:
1
11 Z
E I =
I I I I 3210 ++=
3
33 Z
E I =
2
22 Z
E I =
23
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.5. Primjena Millmanove metode (7) Četvrti primjer primjene: Trofazno simetrično trošilo priključeno na trofazni
simetrični sustav EMS. ZZZZ 321 ===
+
+
+
S
1E
2E
3E
1Z
2Z
3Z
1I
2I
3I
0I
24
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.5. Primjena Millmanove metode (8)
Bez obzira je li sklopka S otvorena ili zatvorena, vrijedi da je:
Z
E
Z
E I 1
1
11 ==
Z
E
Z
E I 3
3
33 ==
Z
E
Z
E I 2
2
22 ==
0 U AB =
0 I 0 =
25
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.6. Snaga trofaznog sustava (1) U općem slučaju vrijedi da je:
Za trofazni simetrični sustav vrijedi da je:
Qj P IU IU IU S S S S *3f3f
*2f2f
*1f1f3f2f1f ⋅+=⋅+⋅+⋅=++=
Qj P IU3 S3 S *1f1f1f ⋅+=⋅⋅=⋅=
f f S 3 U I= ⋅ ⋅
ϕ⋅⋅⋅=ϕ⋅= cosIU3 cosS P ff
ϕ⋅⋅⋅=ϕ⋅= sinIU3 sinS Q ff
1fU
1fIϕ
26
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.6. Snaga trofaznog sustava (2)
Dakle, za trofazno simetrični trošilo spojeno u zvijezdu i spojeno
u trokut vrijedi isti izraz za prividnu snagu:
Izraz ima isti oblik i u slučaju linijskih vrijednosti napona i struje:
Za spoj trošila u zvijezdu vrijedi:
Za spoj trošila u trokut vrijedi:
IU3 S ff ⋅⋅=
IU3IU3 S ⋅⋅≡⋅⋅= ll
U3 U f⋅=l I I f=l
U U f=l I3 I f⋅=l
27
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.6. Snaga trofaznog sustava (3)
Tri jednake impedancije jednom su spojene u zvijezdu, a drugi put u trokut
te su priključene na trofaznu simetričnu krutu mrežu.
Z Z ZZ Z Z
1L2L3L
28
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.6. Snaga trofaznog sustava (4)
Pitanje: Koji je omjer prividnih snaga trošila u spoju u zvijezda
i u spoju u trokut? Napomena: Linijski napon definira mreža.
Spoj u zvijezdu:
Spoj u trokut:
ff IU3 S ⋅⋅=Z
U I ; f
f =Z
U3 S
2f⋅=⇒
3
U Uf
l=Z
U S
2
zvijezdal=⇒
lU Uf =Z
U3 S
2
trokutl⋅=⇒
3 S
S
zvijezda
trokut =⇒
29
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
4.16.6. Snaga trofaznog sustava (5)
Dakle, isto trofazno trošilo u spoju trokut uzima iz iste simetrične krute mreže
tri puta veću snagu no u spoju zvijezda.
Fizikalno obješnjenje: U spoju u trokut faza trošila je spojena na linijski
napon mreže, a u spoju zvijezda na fazni napon mreže. To znači da je
u spoju u trokut napon na trošilu puta veći no u spoju u zvijezdu, a snaga
koja se razvija na impedanciji proporcionalna je s kvadratom napona.
3
Do istog rješenja se dolazi ako se razmotri transfiguracija zvijezde
impedancija u trokut impedancija.
Primjena: Pokretanja trofaznog asinhronog motora pomoću preklopke
zvijezda-trokut.
30
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
Ogledna ispitna pitanja (1)
Rješenje:
1. Izračunajte struje Neka je:
V, e230E V, e230E V, e230E 150j3
90j2
30j1
ooo ⋅⋅−⋅ ⋅=⋅=⋅=
. e50Z , e20Z , e10Z 40j3
50j2
30j1 Ω⋅=Ω⋅=Ω⋅= ⋅⋅⋅ ooo
.IiI,I 321
A 23 Z
E I
1
11 ==
A e1,51 Z
E I
o140j
2
22
⋅−⋅==
A e4,6 Z
E I
o110j
3
33
⋅⋅==
+
+
+
1E
2E
3E
1I
2I
3I
1Z
2Z
3Z
31
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
Ogledna ispitna pitanja (2)
Rješenje: Simetrični sustav
2. Izračunajte struje Neka je: .IiI,I,I 0321
V, e230E V, e230E V, e230E 150j3
90j2
30j1
ooo ⋅⋅−⋅ ⋅=⋅=⋅=
. e1,0Z , e10ZZZZ 10j60j321 0 Ω⋅=Ω⋅==== ⋅⋅ oo
A e23 Z
E I
o30j11
⋅−⋅==
A e23 Z
E I
o051j22
⋅−⋅==
A e23 Z
E I
o09j33
⋅⋅==
A 0 I 0 =
+
+
+
1E
2E
3E
1I
2I
3I
1Z
2Z
3Z
0I0Z
32
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
Ogledna ispitna pitanja (3)3. Napišite izraze za prividnu snagu trofaznog simetričnog trošila spojenog
na trofaznu simetričnu mrežu u slučaju:
a) Poznate fazne vrijednosti napona i struje, spoj zvijezda: S =
b) Poznate fazne vrijednosti napona i struje, spoj trokut: S =
c) Poznate linijske vrijednosti napona i struje, spoj zvijezda: S =
d) Poznate linijske vrijednosti napona i struje, spoj trokut: S =
Rješenje: a), b)
c), d)
ff IU3 S ⋅⋅=
IU3 S ⋅⋅=
33
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
Ogledna ispitna pitanja (4)
Rješenje:
2Z 2Z 2Z1Z 1Z 1Z
1L2L3L
4. Tri međusobno jednake impedancije spojene su u zvijezdu, a tri druge međusobno jednake impedancije u trokut te su priključene na trofaznu simetričnu krutu mrežu. Koji je omjer prividnih snaga trošila u spoju trokut i u spoju zvijezda? Neka je .Z3Z,Z2Z 21 ⋅=⋅=
? S
S
zvijezda
trokut =
; Z
U S
1
2
zvijezdal= ;
Z
U3 S
2
2
trokutl⋅= 2
Z
Z3
S
S
2
1
zvijezda
trokut =⋅=
34
Predavanja iz Elektrotehnike (120) - Predavanje 13
Ogledna ispitna pitanja (5)
1Z 1Z 1Z2Z 2Z 2Z
1L2L3L
? S
S
zvijezda
trokut =
5. Tri međusobno jednake impedancije spojene su u zvijezdu, a tri druge međusobno jednake impedancije u trokut te su priključene na trofaznu simetričnu krutu mrežu. Koji je omjer prividnih snaga trošila u spoju trokut i u spoju zvijezda? Neka je .e5Z,e20Z
oo 60j2
30j1 Ω⋅=Ω⋅= ⋅⋅
Rješenje:
75,0 Z
Z3
S
S
1
2
zvijezda
trokut =⋅=