Maksimalno zrno ≤ ¼ mind 1,25e min e =2,0cm

Maksimalno zrno ≤ ¼ mind 0,80e min e =2,0cm

Konstrukcija Doziranje cementa (kg/m3) - nearmirani beton - beton za masivne zidane stubove - armirani beton kod masivnih građevina u vodi ili na

dubini - armirani beton općenito - armirani i prednapregnuti beton - dodatni beton - trajni, zaštićen od korozije armirani i prednapregnuti

beton - beton za fine podvodne radova - beton za gotove elemente - špric beton

100 = 150

200

220 240 270

300 320

= 450 = 500

Čvrstoća na pritisak u zavisnosti od oblika probnog uzorka

Različit unos sile

Klase čvrstoće C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck,kocka 15 20 25 30 37 45 50 55 60 fck,cilindar 12 16 20 25 30 35 40 45 50

σc=[1-(εc/εc2) ]·f ck

0,0020

10,0

0,4fc

20,0

artan Ecm

0,001

fck= 30,0

40,0fc

σc (<0)

fcd=α·f ck/γc

0,0035

εcl

0,003

εclu

fck=30N/mm2

εc (<0)

fcm=fck + 8 N/mm2

n

Eksploataciona kriva

Proračunski dijagramσc=[1-(εc/εc2) ]·f cd

n

Radni i računski dijagram betona C30/37 izloženog jednoaksijalnom pritisku prema DIN 1045-1 i EC 2

30 cm60 cm

Fu15/15 9/15

Fu

h

dFu

Fu

a

Fu a

Fu

ad2

(=d)

d d d

Valjak preko kojegse nanosi opterećenjeF / 2 F / 2

Valjkasti oslonac

l=3dh=l,d

Mjerna površina

d1(=d)

Određivanje aksijalne čvrstoće na zatezanjeOdređivanje čvrstoće na zatezanje cijepanjem

Određivanje čvrstoće na zatezanje savijanjem

Tabela 2.2 – Tabela čvrstoća na zatezanje betona u zavisnosti od klase betona (N/mm2)

5,34,94,64,23,83,32,92,52,0fctk o,95

2,92,72,52,22,01,81,51,31,1fctk o,o5

4,13,83,53,22,92,62,21,91,6fctm

C50/60C45/55C40/50C35/45C30/37C25/30C20/25C16/20C12/15Klasečvrstoće

Mehanizam loma na smicanje

Stvaranje prslina prilikom loma usljed smicanja

Dinamička čvrstoća na lom nakon nakon 2 x 10E6 ciklusa opterećenja

Slika 3.14 pokazuje gornje naprezanje σo ali isto tako i njemu pripadajuće donje naprezanje σu tj. amplitudu naprezanja ∆σ. Najmanja dinamička čvrstoća je pri σu = 0 i iznosi 60% statičke čvrstoće. Ukoliko je broj ciklusa manji od n0 = 2 x 106, može se čvrstoća na osiliranje preračunati prema slici 3.15.

σc

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

εc

TREN

UTN

O E

c

t=20 min

t=100 min

t=7 dana

t=

8

GRANICA SLOMA

SVRŠETAK PLASTIČNIH DEFORMACIJA

fck

Dijagram odnosa σc/fck i deformacija u zavisnosti od trajanja eksploatacionog opterećenja

Kratkotrajne deformacije Naponski zavisne Naponski nezavisne (opterećenje) (promjena temperature) reverzibilne ireverzibilne reverzibilne (elastične) (plastične)

Dugotrajne deformacije Naponski zavisne Naponski nezavisne (puzanje) (skupljanje) reverzibilne ireverzibilne djelimično (zakašnjele (tečenje) reverzibilne elastične)

Šema komponenti kratkotrajnih i dugotrajnih deformacija

εce εcp εcu

σcu

f c

εc

σc

atan Eco0,4f c

atan Ece

60

0 10

30

10

20

40

50

32 ο/ΟΟ−εc

−σc (Mpa)

4 5 6 7 8

fck=60,0

45,0

30,022,5

Dijagram ponašanja uzorka betonske prizme Dijagrami ponašanja betona u zavisnosti od klase čvrstoće

σ

εεc1= -0,0020 εc= -0,0035

f cd

σc = εc(2-εc)Kvadratna parabola

σc = 1Pravac

Idealizirani dijagram ponašanja betona

Tabela 2.3 – Vrijednost sekantnih modula elastičnosti (kN/mm2) Klase čvrstoće C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

Ecm 26 27,5 29 30,5 32 33,5 35 36 37

εc

to

εc

εcs

εcv

εc,el

εcf

εcst

εc,el

εcf

εcv

t1t

Razvoj deformacije betona kroz eksploataciju

σc(t)

σc2

σc1

t t t

∆σc

∆σc Naprezanja promjenljiva u vremenu

Približna vrijednost konačnog koeficijenta puzanja prema EC2

Veličina 2Ac/u (mm) 50 150 600 50 150 600 Starost pri

opterećenju t0 (dani) Suha sredina (unutra)

(RH = 50%) Vlažna sredina (vani)

(RH = 80%) 1 7

28 90 365

5,4 3,9 3,2 2,6 2,0

4,4 3,2 2,5 2,1 1,6

3,2 2,5 2,0 1,6 1,2

3,5 2,5 1,9 1,6 1,2

3,0 2,1 1,7 1,4 1,0

2,6 1,9 1,5 1,2 1,0

εcs

t

εcs,n

Vremenski razvoj deformacije skupljanja

Konačna mjera skupljanja prema EC2 Lokacija elementa Relativna

vlažnost (%) 2Ac / u (mm) ≤150 600

Unutra Vani

50 80

-0,60 -0,50 -0,33 -0,28

Oblici armature

Dijagram σ - ε za prirodni čelik

Dijagram σ - ε za prirodni hladno obrađeni čelik

Dijagram σ - ε za visokovrijedni prirodno tvrdi čelik

Tabela 2.11 Svojstva armaturnog čelika prema JUS propisima Karakteristike pojedinih vrsta čelika

Savijanje Promjer šipke Ø fyk ftk δ Trn Kut

Din. Čvrst. Es Red

Broj Oznaka

armature Vrsta

armature mm N/

mm2N/

mm2 % D α N/ mm2

N/ mm2

1. GA 240/360

Glatka armatura 5÷36 240 360 20 18 2 Ø 180° -

2. RA 400/500-1

Rebrasta armatura 6÷14 -

3. RA 400/500-2

Rebrasta armatura 6÷40

400 500 10 5 Ø 90°

200

4.

MAG 500/560 MAR

500/560

Zavarene mreže od

hladno vu- čene glatke i rebraste

žice

4÷12 500 560 6 4 Ø 180° 120

5. BiA 680/800

Armatura specijalnog

oblika 3.1÷11.3 680 800 5 6 Ø 180° 170

1

.9*1

05

÷

2.0

*105

÷

2

.0*1

05

2.1

*105

6. GA 220/340

Glatka armatura 5÷12 220 340 18 2 Ø 180° - Kao

1.

a) B500A (3 reda poprecnih rebara)

b) B500B (2 reda poprecnih rebara)

c) B450C (2 reda poprecnih rebara) d) kut nagiba kosine rebra a i visine rebra h (presjeci A-B prema slikama a) do c))

ίc

A B

cί

A B

h

b A - B

a

c

A B

b1b2

Izgled površine šipki prema EN10080

εyk,0,95

f ym

fyk,0,95

f yk,0,05

f tm

f tk,0,05

f tk,0,95

f yd

εykεyd

εs

f yk

σsσs

εs

Proračunski dijagram σ - ε betonskog čelika

Prionljivost kod BI čelika

Parametarska definicija površine rebara

Nosivost kroz prionljivost betona i armature

Smanjena prionljivost u području PBII

Područja prionljivosti

Pomjerljivo prianjanje

Relativno pomjeranje između betona i čelika

Zakon prionljivosti

a) Određivanje zakona prionljivosti; b)Određivanje srednje čvrstoće prionljivosti

Struktura koncepta dokaza Granično stanje Nosivost Upotrebljivost

Zahtjevi Sigurnost osoblja Sigurnost konstrukcije

Ugodnost osoblja Funkcija konstrukcije Izgled konstrukcije

Kriteriji dokaza

Gubitak sigurnosti položaja Otkaz čvrstoće Otkaz stabilnosti Zamor materijala

Ograničenje naprezanja Izgradnja prslina Deformacije Vibracije

Situacije za dimenzioniranje

Stalno i promjenljivo Izvanredno Zemljotres

Rijetka odnosno karakteristična Česta Kvazi – česta

Akcija na nosivu konstrukciju

Računska vrijednost naprezanja (destabilizirajući uticaji, poprečne sile)

Računska vrijednost djelovanja (naprezanja, širine prslina, deformacije)

Reakcija nosive konstrukcije

Računska vrijednost otpornosti (stabilizirajući uticaji, čvrstoća materijala, otpornost presjeka)

Kriteriji upotrebljivosti (dopušteno naprezanje, dekompresija, širina prslina, deformacije)

Prikaz reprezentativnih vrijednosti promjenljivog opterećenja

Odnosi između pojedinih parcijalnih faktora sigurnosti

Tabela 5.2. Nezavisni uticaji za objekte visokogradnje Stalni uticaji Promjenljivi uticaji Vlastita težina Prednaprezanje Pritisak zemlje Stalni pritisak tekućine

Gk Pk

Gk,E Gk,H

Korisno opterećenje, Prometno opterećenje Snijeg i led Vjetar Temperaturni uticaji Promjenljivi pritisak tekućine Slijeganje temeljnog tla

Qk,N Qk,S Qk,W Qk,T Qk,H Qk,∆

Posebni uticaji Ad Uticaji od zemljotresa AEd

Tabela 5.3 Faktori kombinacije ψ Uticaji ψ0 ψ1 ψ2

Korisno opterećenje Kategorija A: Stambeni i izložbeni prostori Kategorija B: Poslovne prostorije Kategorija C: Sajamske prostorije Kategorija D: Prodajni prostori Kategorija E: Skladišta

0,7 0,7 0,7 0,7 1,0

0,5 0,5 0,7 0,7 0,9

0,3 0,3 0,6 0,6 0,8

Pokretno opterećenje Kategorija F: Vozila ≤ 30kN Kategorija G: 30kN < Vozilo ≤ 160kN Kategorija H: Krovovi

0,7 0,7 0,0

0,7 0,5 0,0

0,6 0,3 0,0

Snijeg i led Mjesta do nadmorske visine +1000m Mjesta preko nadmorske visine +1000m

0,5 0,7

0,2 0,5

0,0 0,2

Vjetar 0,6 0,5 0,0 Uticaji temperature 0,6 0,5 0,0 Slijeganje tla 1,0 1,0 1,0 Posebni promjenljivi uticaji1) 0,8 0,7 0,5 1) Uticaji u visokogradnji koji nisu eksplicitno navedeni

Situacije Kriterij dokaza Uticaji Simbol P/T A

Stalno opterećenje: vlastita težina konstrukcije, stalni uticaji, uticaji tla, podzemna voda i slobodno stojeća voda

nepovoljnopovoljno

γG,sup γG,inf

1,100,90

1,000,95

Kod malih oscilacija stalnih uticaja, kao što je dokaz sigurnosti upotrebe

nepovoljnopovoljno

γG,sup

γG,inf

1,050,95

1,000,95

Nepovoljni promjenljivi uticaj γQ 1,50 1,00

Gubitak stabilnosti konstrukcije vidi izraz (1-17)

Posebni uticaji γA - 1,00Neovisni stalni uticaji (vidi gore)

nepovoljnopovoljno

γG,sup γG,inf

1,351,00

1,001,00

Neovisni promjenljivi uticaji nepovoljno

γQ

1,50

1,00

Otkaz konstrukcije njenog dijela ili temelja, kroz lom ili pretjerane deformacije vidi (1-18)

Posebni uticaji γA - 1,00

Neovisni stalni uticaji (vidi gore) γG

1,00 1,00

Neovisni promjenljivi uticaji nepovoljno

γQ

1,30

1,00

Otkaz temeljnog tla kroz lom u tlu

Posebni uticaji γA - 1,00P – Stalna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 1) T – Prolazna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 2) A – Posebna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 3)

Tabela 5.5 Linearno-elastični proračun Nelinearni

proračun Otpornost prema Beton Armatura,

Prednapeta

Stalna i prolazna situacija za dimenzioniranje γc 1,50 γs 1,15 γR 1,30

Posebna situacija za dimenzioniranje γcA 1,30 γsA 1,00 γRA 1,10

Dokaz na zamor γc,fat 1,50 γs,fat 1,15 γR,fat 1,30

Pregled metoda za analizu pouzdanosti

Tabela 5.6: Zavisnost između β i Pf prema jednačini (5-32)

Pf 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 β 1,28 2,32 3,09 3,72 4,27 4,75 5,20

Tabela 5.7: Vrijednost indeksa pouzdanosti β za građevinske elemente

Vrijednost indeksa pouzdanosti Granično stanje 1 godina 50 godina Nosivost 4,7 3,8 Zamor 1,5 do 3,81)

Upotrebljivost 3,0 1,5 1) Zavisno od mogućnosti provjere, sanacije i tolerancije oštećenja

Jednačina graničnog stanja u x-prostoru

Jednačina graničnog stanja u standardiziranom prostoru

Standardna raspodjela granice sigurnosti Z = R – E

Primjer

Armiranobetonska prosta greda dužine 5m opterećena je koncentričnim teretom Q, čija je srednjavrijednost µQ = 150 kN i standardna devijacija σQ

2 = 5 kN2. Utvrđena nosivost na savijanje gredeima srednju vrijednost µR = 250 kNm i standardnu devijaciju σQ

2 = 10 kNm2. Potrebno je odrediti vjerovatnoću otkaza.

Dokaz se radi uz pretpostavku da je vlastita težina grede i dužina nepromjenljiva.

E = QL/4 = 100.5/4 = 500/4 kNm

Srednja vrijednost i standardna devijacija uticaja je,

kNm50,18715045

45

QE =⋅=µ=µ

22Q

22E )kNm(81,75

1625)

45( =⋅=σ⋅=σ

5,625,187250ERz =−=µ−µ=µ 155102

E2R

2Z =+=σ+σ=σ

Indeks pouzdanosti β = 62,5/15 = 4,17.

Vjerovatnoća otkaza grede je : 5f 107,1)17,4()(P −⋅=−Φ=β−Φ=

Naponska stanja

Tabela 6.1: Klase čvrstoće betona, karakteristična čvrstoća pri pritisku fck (cilindar 150/300mm), karakteristična čvrstoća pri pritisku fck,cube (kocka150/150mm), karakteristična čvrstoća betona pri zatezanju fctk, srednja čvrstoća betona pri zatezanju fctm (N/mm2)

Klase čvrstoće betona

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

fck,cube 16 20 25 30 37 45 50 55 60

fctm 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1

fctk0,05 1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9

fctk0,95 2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3

Dijagram naprezanje-deformacija za određivanje deformacija i presječnih sila

Dijagram naprezanje-deformacija za dokaz nosivosti i dimenzioniranje

Dijagram naprezanje-deformacija za armaturni čelik

Bi-linearni dijagram sa idealnim plastičnim područjem

Granična deformaciona stanja

Definicija εyk,0.95

Greda napregnuta na savijanje

Čisto savijanje, linearna raspodjela naprezanja afina deformacionoj ravnini

Armiranobetonska greda napregnuta na savijanje

Dijagram naprezanja mjerodavan za dimenzioniranje

Pravougaona raspodjela naprezanja u pritisnutoj zoni

Pojednostavljeni model mehanizma nosivosti unutar grede

Bi-linearan dijagram ponašanja armaturnog čelika

Dijagram deformacije armiranobetonskog poprečnog presjeka

Primjer 1 Zadano je :

Pravougaoni poprečni presjek : b = 0,25m; h = 0,85m

Čvrstoća materijala : fcd = -20 MN/m2; fsd = 478 MN/m2

Moment savijanja : Msd = 800 kNm Odrediti : Potrebnu površinu armature As (cm2)

Preddimenzioniranje: Pretpostavlja se odstojanje težišta zategnute armature od zategnutog ruba presjeka :

ds1=0,05m

m80,005,085,0dhd 1s =−=−= m72,08,09,0d9,0z =⋅=≈

kN111172,0

800z

MT sd ===

243

4

sds cm2,2310

10478111110

fTpotA =⋅

⋅=⋅=

Usvojeno : 4Φ24 (As = 18,10cm2)

2Φ20 (As = 6,28cm2) usv.As = 24,38cm2

Raspodjela armature

Položaj težišta za prikazani raspored armature je: a = 12mm. Prema tome odstojanje težišta armature od ruba poprečnog presjeka je ds1 = 52+12=64mm ≈ 0,07m. Statička visina presjeka je: d = h-ds1 = 0,85-0,07 = 0,78m.

Slika 6.17: Ulazni parametri za dimenzioniranje

Konačno dimenzioniranje:

263,078,025,01020

800dbf

M232

cd

Sd =⋅⋅⋅

=⋅⋅

=µ

3115,0)263,02(11211c =⋅−−=µ−−=δ

m243,078,03115,0dd cc =⋅=⋅δ=

389,03115,025,125,1 c =⋅=δ⋅=ξ

m304,078,0389,0dx =⋅=⋅ξ=

- kontrola dilatacije armature:

0055,0)0035,0(389,0

1389,01cs =−⋅

−=ε⋅

ξ−ξ

=ε (εe < εs < εsu)

8443,03115,0263,0

c

==δµ

=ς

m659,078,08443,0dz =⋅=⋅ς=

kN1215659,0

800z

MT ===

23

424

sds cm4,25

10478101215cm10

fTpotA =

⋅⋅

=⋅=

pot.As > usv.As, prema tome potrebna je dopuna armature : 6Φ24 (As = 27,14cm2)

Slika 6.18: Nova raspodjela armature

Statička visina ostaje nepromijenjena: d = h-ds1 = 0,85-0,07 = 0,78m.

Rubno naprezanje betona εc =εcp=-2%o

Rubno naprezanje betona εc =εcu=-3.5%o

Otvaranje plastičnog zgloba

Pritisnuta armatura

Sudjelujuća širina ploče beff

Raspodjela naprezanja napritisak σx i tok neutralne osikod T grede

«sudjelujuća širina» beff

Grede sa širokim pojasima

T presjek, koji statički radi kao pravougaoni presjek

Greda T presjeka: oznake za dimenzioniranje