Pre-algebra

Antonín Jančařík

Łukasiewiczkého logika

Formální jazyk PL1Abeceda

• Logické symboly – individuové proměnné: x, y, z, ...– Symboly pro spojky: , , , →,↔ – Symboly pro kvantifikátory: ,

• Speciální symboly– Predikátové: Pn, Qn, ... n – arita = počet

argumentů– Funkční: fn, gn, hn, ... -- „ --

• Pomocné symboly: závorky (, ), ...

Formální jazyk PL1Gramatika

• termy:i. každý symbol proměnné x, y, ... je term

ii. jsou-li t1,…,tn (n 0) termy a je-li f n-ární funkční symbol, pak výraz f(t1,…,tn) je term; pro n = 0 se jedná o individuovou konstantu (značíme a, b, c, …)

iii. jen výrazy dle i. a ii. jsou termy

5

Formální jazyk PL1Gramatika

• atomické formule:– je-li P n-ární predikátový symbol a jsou-li t1,…,tn termy,

pak výraz P(t1,…,tn) je atomická formule

• formule:– každá atomická formule je formule– je-li výraz A formule, pak A je formule– jsou-li výrazy A a B formule, pak výrazy

(A B), (A B), (A →B), (A ↔ B) jsou formule– je-li x proměnná a A formule, pak výrazy

x A a x A jsou formule

Kvantifikátory

• Při formulování výroků v běžné řeči velice často používáme kvantifikátory a to jak přímo, tak i nepřímo.

• Je rozdíl mezi výroky:– Každý pes má čtyři nohy.– Skoro každý pes má čtyři nohy.– Existuje pes, který má čtyři nohy.– Právě jeden pes má čtyři nohy.

Kvantifikátory

• Ve výrokové logice používáme dva kvantifikátory – existenční (malý) kvantifikátor (∃) a Univerzální kvantifikátor (∀) (také obecný či velký kvantifikátor).

Existenční (malý) kvantifikátor (∃)

• Pomocí malého existenčního kvantifikátoru vyjadřujeme skutečnost, že existuje (alespoň) jeden objekt, splňující podmínky následující za kvantifikátorem. Pokud takový prvek existuje, je výrok pravdivý. Pokud takový prvek neexistuje, je výrok nepravdivý.

Univerzální kvantifikátor (∀)

• Pomocí malého univerálního kvantifikátoru vyjadřujeme skutečnost, že všechny objekty splňující podmínky následující za kvantifikátorem. Pokud neexistuje prvek, nesplňující podmínku, je výrok pravdivý. Pokud takový prvek existuje, je výrok nepravdivý.

• Podmínky uvedené univerzálním kvantifikátorem jsou triviálně splněny na prázdné množině.

Převod z přirozeného jazyka

• „všichni“, „žádný“, „nikdo“, ... • „někdo“, „něco“, „někteří“, „existuje“, ... • Větu musíme často ekvivalentně přeformulovat• Pozor: v češtině dvojí zápor !• Žádný student není důchodce: x [S(x) → D(x)]• Ale, „všichni studenti nejsou důchodci“ čteme jako „ne

všichni studenti jsou důchodci“:

x [S(x) → D(x)]

x [S(x) D(x)]

Příklad: jazyk aritmetiky

– Má tyto (speciální) funkční symboly:

• nulární symbol: 0 (konstanta nula) – – konstanta je nulární funkční symbol

• unární symbol: s (funkce následník)• binární symboly: + a (funkce sčítání a násobení)

– Příkladem termů jsou (používáme infixní notaci pro + a ):

• 0, s(x), s(s(x)), (x + y) s(s(0)), atd.– Formulemi jsou např. výrazy

(= je zde speciální predikátový symbol):

• s(0) = (0 x) + s(0)

Leopold Kronecker (1823-1891)

• Německý matematik židovského původu.

• Kronecker publikoval množství prací na nejrůznější témata jako teorie čísel, eliptické funkce apod.

• Byl přesvědčen o tom, že základem matematiky jsou přirozená čísla a že všeho lze dosáhnout konečným počtem operací.

Bůh vytvořil přirozená čísla, vše ostatní už je výtvorem

člověka.

(1906-1978)

• Jeden z nejvýznamnějších logiků všech dob.

• Způsobil třetí krizi v matematice.

• Objevil a formuloval dva teorémy o neúplnosti: z prvního plyne, že žádný formální systém nemůže být zároveň úplný a bezesporný a z druhého, že bezespornost formálního systému nelze uvnitř tohoto systému dokázat.

Množiny

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)

• Významný německý matematik a logik.

• Kromě matematiky se, především v pozdějším věku, velmi věnoval teologii, zejména ve vztahu k vlastní práci týkající se nekonečna.

• Rozšířil teorii množin o nekonečná čísla, označovaná jako ordinální a kardinální čísla.

Množiny

• Slova G. Cantora:– Množina je souhrn objektů, které jsou přesně určené a

rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny.

• Množina je soubor objektů, chápaný jako celek. Objekty množiny se nazývají prvky množiny. Charakterizující vlastnost množiny je, že je jednoznačně určena svými prvky (ale nevšímá si jejich pořadí ani žádné další struktury). Množina, neobsahující žádné prvky se nazývá prázdná množina. V matematice existuje abstraktní teorie množin, zkoumající množiny z formálního hlediska.

Paradoxy

• V malém městě je jediný holič, který holí právě ty muže ve městě, kteří se neholí sami.

• Kdo holí holiče?

• Množina všech množin, které neobsahují sama sebe.

• Z definice se má sama obsahovat právě když se sama neobsahuje.

Bertrand Arthur Wiliam Russell (1872-1970)

• Pocházel z aristokratického prostředí s významnými politickými vazbami.

• Britský matematik, filosof, logik a spisovatel.

• Nositel Nobelovy ceny za literaturu za rok 1950.

• V matematice je znám svým paradoxem v naivní teorii množin.

• Svobodomyslný pedagog, v letech 1927-1932 vedl experimentální školu v Sussexu.

Závěr

• Při definování množiny pomocí charakteristické vlastnosti určíme vlastnost, která je charakteristická pro prvky, které patří do dané množiny.

• U takové definice množiny (charakteristickou vlastností) musíme však být opatrní, protože můžeme snadno dostat paradox.

Axiomatická teorie množin

• Naivní teorie množin

• Zermelo-Fraenkelova teorie množin

• Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin

Zermelo-Fraenkelova teorie množin

• Axiom extenzionality• Schéma axiomů nahrazení• Schéma axiomů vydělení• Axiom dvojice• Axiom sumy• Axiom potenční množiny• Axiom nekonečna• Axiom fundovanosti

Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin

• Na rozdíl od ZFC, jejímž objektem jsou pouze množiny, zatímco třídy tvoří pomocný konstrukt na úrovni metajazyka, v NBG jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin — na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení — jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu.

Množinové operace

• Sjednocení

• Průnik

• Rozdíl

• Doplněk

Sjednocení množin

Průnik množin

Rozdíl množin

Doplněk množiny

A

Vztahy mezi množinovými operacemi

Vyjádření rozdílu pomocí doplňku:

De Morganovy zákony:

Booleova algebraBooleova algebra je definována jako distributivní komplementární svaz.

Booleova algebra

• Pro Booleovu algebru A a každé x, y, z ∈ A platí:• asociativita: (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z), (x ∧ y)

∧ z = x ∧ (y ∧ z)• absorpce: x ∨ (x ∧ y) = x, x ∧ (x ∨ y) = x• agresivita nuly: x ∧ 0 = 0• agresivita jedničky: x ∨ 1 = 1• idempotence: x ∨ x = x, x ∧ x = x• absorpce negace: x ∨ (−x ∧ y) = x ∨ y, x ∧ (−x ∨ y)

= x ∧ y• dvojitá negace: −(−x) = x• De Morganovy zákony: −x ∧ −y = −(x ∨ y), −x ∨

−y = −(x ∧ y)• 0 a 1 jsou vzájemně komplementární: −0 = 1, −1 =

0

Booleova algebra

Pokrytí množiny

• Pokrytím množiny A rozumíme takový soubor jejích podmožin, že jejich sjednocení je rovno celé množině A.

A

A1

A2

A3

A4

Disjunktní pokrytí množiny

• Podmnožiny tvořící pokrytí množiny A se mohou navzájem překrývat.

• Pokud k žádnému překryvu nedochází, tzn. průnik každých dvou podmnožin je prázdný, nazýváme takové pokrytí disjunktní.

• Někdy také hovoříme o rozkladu množina A (na třídy).