Práctica Tema 3: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones no ...
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Índice Punto fijo Bipartición Regula Falsi Newton Secante Convergencia
Práctica Tema 3: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones nolineales
Rogelio Ortigosa MartínezSilvestre Paredes Hernández
Departamento de Matemática Aplicada y Estadística, UPCT
Cálculo numérico (Práctica Tema 2: Sistemas de ecuaciones lineales)
Índice Punto fijo Bipartición Regula Falsi Newton Secante Convergencia
Índice
1 Método punto fijo
2 Método de Bipartición
3 Regula Falsi
4 Método de Newton
5 Método de la Secante
6 Análisis de resultados-convergencia
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Índice
1 Método punto fijo
2 Método de Bipartición
3 Regula Falsi
4 Método de Newton
5 Método de la Secante
6 Análisis de resultados-convergencia
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Punto fijo
• Resolución de la ecuación escalar f (x) = x2 − e(−x) = 0, convirtiéndola enx = g(x), con g(x) = e(−x/2), a través de método de punto fijo:
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Índice
1 Método punto fijo
2 Método de Bipartición
3 Regula Falsi
4 Método de Newton
5 Método de la Secante
6 Análisis de resultados-convergencia
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Bipartición
• Haciendo uso del teorema de Bolzano, se resuelve la ecuación escalar f (x) = 0.
• Conocer gráficamente la función nos puede dar una idea aproximada de lasolución del problema.ezplot(@(x) x - cos(x), [1,2]);
• Por ejemplo, vamos a dibujar la función f (x) = x − cos(x) en el intervalo [0, 1].
• Usaremos ahora la función biparticion.m para resolver el problemax − cos(x) = 0.biparticion(@(x) x - cos(x), 0, 1, 0.001, 100);
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Índice
1 Método punto fijo
2 Método de Bipartición
3 Regula Falsi
4 Método de Newton
5 Método de la Secante
6 Análisis de resultados-convergencia
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Regula Falsi
• En el método de la Regula Falsi también se hace uso del teorema de Bolzano.
• En cada paso se calcula un nuevo punto dado por la ecuación
c =a · f (b)− b · f (a)
f (b)− f (a)
y se elige el nuevo punto según se produzca el cambio de signo.
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1 Método punto fijo
2 Método de Bipartición
3 Regula Falsi
4 Método de Newton
5 Método de la Secante
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Newton
• Resolución de la ecuación escalar f (x) = x2 − e(−x) = 0 con método de Newton:
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2 Método de Bipartición
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4 Método de Newton
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Secante
• Resolución de la ecuación escalar f (x) = x2 − e(−x) = 0 con método de Secante:Se debe cambiar la derivada de la función en xk por una aproximación a la misma
xn+1 =xn−1f (xn)− xnf (xn−1)
f (xn)− f (xn−1)
Para los puntos iniciales podemos tomar x0 y x0 +∆x0, para que estén próximosentre sí.
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Índice
1 Método punto fijo
2 Método de Bipartición
3 Regula Falsi
4 Método de Newton
5 Método de la Secante
6 Análisis de resultados-convergencia
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Convergencia
• Evolución del residuo:
1 Rn = xn − g(xn) para método de punto fijo
2 Rn = f (xn) para método de Newton
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
iter
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0lo
g1
0(R
es)
Punto Fijo
Newton
• Velocidad de convergencia:
1 Lineal para método de punto fijo
2 Cuadrática para método de Newton
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Convergencia (II)
• Si nos equivocamos calculando la derivada en método de Newton qué sucede?
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
iter
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log
10
(Re
s)
Punto Fijo
Newton
Newton derivada equivocada
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