Curso 2004/2005

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS DE BILBAO

INGENIERÍA EN AUTOMATICA Y ELECTRÓNICA INDUSTRIAL

INGENIERÍA DE CONTROL I

PRACTICA 2

ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

Fernando Artaza Fano Nagore Iriondo Urbistazu

Curso 2004/2005

OBJETIVO DE LA PRACTICA

El objetivo de esta práctica es la introducción al análisis de sistemas mediante simulación utilizando modelos en tiempo discreto. Para ello utilizaremos el programa de simulación Matlab-Simulink, que permite realizar simulaciones tanto en tiempo continuo como en discreto.

Supondremos que conocemos el modelo en tiempo continuo del sistema en la forma de

función de transferencia G(s) y que deseamos obtener un modelo equivalente en tiempo discreto, el cuál deberá tener las mismas características en su funcionamiento dinámico que el sistema continuo. Para obtener el modelo discreto, hay que seleccionar primero el método de discretización que se va a utilizar para su obtención. De entre los métodos más conocidos utilizaremos el de la respuesta escalón invariante, que nos garantizará que, en los instantes de muestreo, el valor de la muestra de la respuesta escalón del sistema discreto coincide con el valor de la respuesta escalón del sistema continuo en dicho instante de tiempo. Otro aspecto importante a tener en cuenta es el período de discretización que se utiliza. Un periodo de muestreo grande da una aproximación pobre por lo que habrá que elegir un periodo de discretización lo suficientemente pequeño como para asegurar una buena aproximación entre ambos modelos.

Así, en esta práctica utilizaremos la herramienta de simulación para los siguientes

aspectos:

• obtención de modelos discretos de sistemas continuos tanto de 1º como de 2º orden utilizando el método de respuesta a escalón invariante

• importancia de la selección del periodo de discretización • variación de los polos del sistema en función del periodo de muestreo y de la ganancia • estudio de la estabilidad mediante el lugar de las raíces

1 SISTEMAS DE 1er ORDEN

Suponer la función de transferencia en tiempo continuo G(s) del servomotor en velocidad identificada en la práctica 1, apartado 2º.

Obtener tres modelos en tiempo discreto G1(z), G2(z) y G3(z) correspondientes a los siguientes periodos de discretización: Ts1 = 0.5, Ts2 = 0.1, Ts3 = 0.05.

Funciones Matlab para obtener modelos discretos:

SYS=TF(NUM,DEN) crea una función de transferencia en tiempo continuo

SYS cuyos numerador y denominador son num y den. La salida SYS en un objeto TF.

SYSD = C2D(SYSC,TS,METHOD) convierte un sistema continuo SYSC a discreto SYSD

para un Ts y ‘método’ determinados. (c2d=continue to discrete) SYS = D2D(SYS,TS) Remuestrea el sistema para otro periodo de

discretización.

El procedimiento a seguir es:

• definir los vectores num y den que representan al modelo continuo • crear el objeto H tipo tf , que también representa al modelo continuo

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• crear los objetos (Hd1, Hd2 y Hd3) tipo tf, que representan al modelo discreto para cada uno de los periodos de discretización dados

• simular el comportamiento del sistema continuo y de los discretos para ver si son buenas las aproximaciones obtenidas

2 SISTEMAS DE 2ºORDEN

En la siguiente figura se representa el modelo correspondiente a un sistema de control realimentado de un servomotor de corriente continua, con un controlador proporcional.

Volt.º Volt. Volt. Volt.r.p.meje 1º

r.p.meje 2º

r.p.s º/s

SISTEMA DE CONTROL REALIMENTADO DE LA POSICIÓN DE UN SERVOMOTOR DECORRIENTE CONTINUA, EMPLEANDO UN CONTROLADOR PROPORCIONAL

y

Salida

0.0575

Potenciometrode salida

0.0575

Potenciometrode entrada

s

1

Integrator

1.2

0.5s+1Función de Transferencia

del motor

Entrada escalónde 45º

1/32

Engranaje

K

ControladorProporcional

362.4

Característicatacodinamo

360

Cambio deunidades1

1/60

Cambio deunidades

1ª) Ajustar el valor de la ganancia K del controlador proporcional, para que la salida del sistema presente, ante una entrada escalón de 45º, una respuesta ligeramente oscilante con un sobre pico de un 10%. Mediante simulación hallar la curva de salida. 2º) Colocar sobre la señal de error de actuación un muestreador por impulsos seguido de un retenedor de orden cero. Discretizar la cadena directa para el periodo de muestreo del supervisor, buscando que la forma de la salida del sistema discretizado, ante una entrada escalón de 45º, sea aproximadamente la misma que en el caso anterior. Para ello se deberá ajustar adecuadamente, por método de prueba y ensayo el periodo de muestreo. 3º) Hallar el lugar de las raíces de este sistema, y comprobar si existen valores de la ganancia que inestabilicen el sistema. Calcular dicho valor de K, utilizando el método de Jury, y experimentalmente. 4º) Comprobar experimentalmente si se puede establecer una relación entre el periodo de muestro y el valor de la ganancia 3 REDUCCIÓN DEL ORDEN DE UN SISTEMA

La reducción de orden de un sistema consiste en la obtención de un sistema equivalente de menor orden cuyo comportamiento respecto al original es muy similar.

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Para reducir un sistema se deben aplicar las siguientes consideraciones:

• El sistema equivalente de orden reducido debe mantener la misma ganancia estática que el sistema original.

• La contribución en la respuesta de un polo próximo al origen es despreciable (módulo muy pequeño), y por lo tanto se puede despreciar.

• La contribución en la respuesta de un par polo-cero muy próximos entre sí, es también muy pequeña, por lo tanto se pueden cancelar, siempre que se encuentren dentro del círculo unidad.

• Los polos no dominantes se pueden eliminar. o Se consideran polos dominantes los que caracterizan fuertemente la

respuesta transitoria, polos no dominantes los que tienen poca influencia en la respuesta transitoria.

o Un polo no dominante tiene poca influencia en la respuesta transitoria porque la constante de tiempo que aporta es muy pequeña en comparación con la de los polos dominantes.

o Se suele considerar que un polo es no dominante cuando su constate de tiempo es al menos 7 veces menor que la de los polos dominantes.

• Desde un punto de vista de diseño de controladores, es conveniente reducir cualquier

sistema a un sistema de primer o segundo orden Eliminación de un polo cercano al origen o de un polo no dominante:

Sea el sistema ( )( )( )( )i

KA zG zB z z p

=−

El sistema posee un polo en iz p= , que vamos a considerar que está muy próximo al origen. Se sustituye por un polo situado en el origen y se calcula la ganancia que aporta. Se debe colocar un polo en el origen para no modificar el retardo del sistema

( )1 1

1i iz p z p≈

− −

Por ejemplo:

( )( )( )( 0.1)

KA zG zB z z

=+

tiene un polo en 0.1z = − que se puede eliminar, dejando su ganancia

estática y colocando un polo en 0z = .

( )1 1 0.9090.1 1 0.1z z z

≈ =+ +

El sistema reducido será: 1.11 ( )( )( )R

KA zG zzB z

=

Cancelación del efecto polo-cero: Se eliminan el polo y el cero y se deja la ganancia que aporta el par polo-cero, calculándola de la siguiente forma:

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11

i i

i i

z z zz p p− −

≈− −

Ejemplo de reducción Sea el sistema discreto siguiente, obtenido con un periodo de muestreo de 0.1

2

( 2,8250)( 0.7334)( 0.1956)( )( 0.7408)( 0.3679)( 1.8006 0.8187)

z z zG zz z z z

+ − +=

− − − +

1º) Determinar cuales son los polos dominantes 2º) Obtener un sistema equivalente de 2º orden 3º) Comprobar la validez de la reducción analizando la respuesta de ambos sistemas ante una entrada escalón