Practica de Ecuaciones Diferenciales y Demostraciones por Jairon Francisco

INSTITUTO TECNOLOGICO DE SANTO DOMINGO

INTEC Área de Ciencias Básicas y Ambientales

Ecuaciones Diferenciales

Gráfica de trayectoria, comportamiento, y soluciones en el plano y el espacio con problemas de valores iniciales.

Asignatura: Ecuaciones Diferenciales

Profesor: José Rafael González

Realizado por: Jairon Alberto Francisco

Matrícula: 07-0034 Ingeniería Mecánica

Profesor: José Rafael González Argumentado por: Jairon Francisco

2 Ecuaciones diferenciales / gráfica de soluciones en el plano y el espacio

Ecuación diferencial separable, comportamiento y solución graficada

Tenemos la ecuación:

12( 2)

dyx

dx

con la condición inicial (2) 0y

El comportamiento de la Ecuación Diferencial y la trayectoria gráfica es:

En la siguiente tabla están los valores para de las posiciones en el intervalo:

x y

-1.4366 3.66814 -1.3366 3.80137 -1.2366 3.92414 -1.1366 4.03859 -1.0366 4.14621 -0.9366 4.2481 -0.8366 4.34507

Solución: 12

12

( 2)

( 2)

dy x dx

dy x dx

Hacemos una sustitución simple para la integral:

2u x

du dx

Tenemos entonces nuestra solución. Ahora con la condición inicial encontraremos el valor de nuestra constante C.

Para y(2)=0 entonces;

0 2 2 2

0 2 4

0 4

4

C

C

C

C

La solución con las condiciones dadas de nuestra ecuación diferencial es: 2 2 4y x

12

12

12

12

2

2 2

y u dx

uy C

y u C

y x C



Graficando la solución particular de la ecuación diferencial, observaremos:

Y su gráfica en el espacio tridimensional es:

La siguiente ecuación fue separada para resolverse, con tal de mostrar la gráfica de su función implícita:

2

2

3 2

(3 1) (8 5)

(3 1) (8 5)

4 5

y dy x dx

y dy x dx

y y x x C

Podríamos expresar la solución también como:

3 2( , ) 4 5f x y y y x x Para mostrar la gráfica en 5,5 5,5 para los valores de

C correspondientes a : 0, 1, 5, 20, 40, 80, 125 y obtendríamos:



Otra ecuación que nos presenta una interesante gráfica es: 2 2

2 2

2 3 2 3

3 2 3 2

( 2 ) ( )

( 2 ) ( )

1 1 1

3 2 3

( , ) 2 6 2 3

y y dy x x dx

y y dy x x dx

y y x x C

f x y y y x x

Con las ecuaciones que incluyen funciones trigonométricas, el comportamiento de las graficas, dependiendo de la función posee un conjunto de características, que la distinguen de las lineales, empezando porque las curvas de solución son extendidas y regresivas. Veamos:

2

2

2

1

1

1 1

csc sec

s cos

1s cos (1 cos 2 )

2

1 1cos s 2

2 4

4cos 2 s 2

dy dxy x

enydy xdx

enydy xdx x dx

y x en x C

y x en x C



Resolviendo y graficando una ecuación diferencial lineal Tenemos la ecuación

34dy

x y x xdx

El primer paso para resolverla es reconocer que la misma no está en la forma estándar:

( ) ( )dy

P x y Q xdx

,

Pero podemos llevarla dividendo por el coeficiente 1( )xa haciendo que:

0( )

1( )

( )x

x

aP x

a y que

( )

1( )

( )x

x

bQ x

a

Aplicando lo señalado tendríamos que: 3

3

2

4

4

41

x dy x xy

x dx x x

dy x xy

dx x x x

dyy x

dx x

Teniendo entonces nuestra ecuación en la forma canónica, debemos identificar el factor

integrante que esta dado de la forma, sabiendo quien es P(x).

( )

4 14

4ln 4

4( )

P x dx

dx dxxx x

e

P xx

e e e x

El factor integrante ahora debe ser multiplicado por toda

nuestra ecuación.

El lado izquierdo de la ecuación se define por una

diferencial de nuestro factor integrante por y.

Se integra en ambos lados. Recordando que se le suma

una constante a la diferencial de lado derecho.

Y expresamos nuestra solución en Y de la forma más

explícita posible.

Ahora veremos la grafica de la función en el plano, y su

comportamiento para diferentes valores de la constante.

4 4 4 2

4 4 6 4

4 6 4

4 6 4

4

3

7 5

7 5

4

4

41

4

( )

1 1

7

1 1

7 5

5

1 1

7 5

dyx x y x x

dx x

dyx x y x x

dx x

dx y x x

dx

dx y x x dx

dx

x y x x C

y x

x x C

yx

x Cx



Para C=1

Para C= Diferentes valores desde -4 hasta 4. Incluyendo C=0, que es la curva en el medio

de la grafica.

Ahora veremos como es la grafica de esta función solución en el espacio:

Para C=1



Para diferentes valores de C, desde -2 a 2

Demostración de la Ecuación diferencial de la gravedad

Las ecuaciones diferenciales aportan modelos matemáticos a las ciencias aplicadas, y a la

propia ingeniería. Muy a menudo se les ve resolviendo situaciones, que si no hubiese

existido el cálculo de ecuaciones diferenciales, entonces quedarían sin base fundamental,

y con ello sin comprobación, las soluciones que les dan las ecuaciones a la mecánica, a la

aviación, a la náutica, a estudio del conocimiento humano, y el desarrollo económico de

cualquier nación. En ese marco de posibilidades, vamos a conocer una ecuación

diferencial fundamental para quienes estudian las matemáticas, y las aplican en la física.

La Ecuación Diferencial de la Gravedad, basada en los principios del Sir Isaac Newton.

Partimos de la segunda Ley de Newton, que dice que:

F ma

La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Y la velocidad es la

derivada de la posición con respecto al tiempo, entonces podríamos sustituir fielmente

estos términos en nuestra ecuación. Y tendríamos que:

dva

dt

dvF m

dt

Como la velocidad es la primera derivada de la posición h, con respecto al tiempo t,

entonces la aceleración sería la segunda derivada de la posición con respecto del tiempo.

2

2

2

2

d ha

dt

d hF m

dt

Aceleración obtenida por el objeto

en la aplicación de la fuerza

Masa del objeto Fuerza sobre el objeto

tiempo Fuerza sobre el objeto

velocidad

posición

-mg



Si sabemos que la fuerza F, es también –mg (suponiendo que la fuerza actúa sobre el

cuerpo es solo la de la gravedad, por lo tanto de atracción), podemos sustituirla en

nuestra ecuación de la siguiente forma: 2

2

d hm mg

dt

Como m es igual en ambos lados de la ecuación podemos suprimirla, sabiendo que ya no

cumple ninguna función. Incluso podríamos pasarla al lado derecho de la ecuación, y

también se eliminaría, quedándonos:

2

2

d hg

dt ECUACION DIFERENCIAL DE LA GRAVEDAD

En algún momento alguien pensaría en resolver esta ecuación diferencial, y efectivamente

podríamos hacerlo integrando para eliminar, por el teorema fundamental del cálculo, las

derivadas de la posición con el diferencial de tiempo.

Así encontramos la posición de cualquier objeto en un tiempo

dado, en el espacio, donde solo actúa la fuerza de la gravedad.

Para la condición inicial h (0) =0, vamos a encontrar una solución particular de la

ecuación diferencial que nos permita encontrar el valor incognito de la constante.

2

1 2

2

10 (0) (0)

2

0

g C C

C

Sustituyendo este valor nos quedaría:

Con el segundo valor inicial h(0)=1, podemos encontrar la solución

particular, en la sustitución de la constante.

2

2

1

1

2

1 2

1

2

d hgdt

dt

dhgt C

dt

dhgt C

dt

h gt C t C

2

1

1

2h gt C t

2

1

1

11 (0) (0)

2

0

g C

C

21

2h gt



Ecuaciones diferenciales exactas

Al probar la exactitud de una ecuación, debemos asegurarnos de que presente la forma

precisa de ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy .

Vamos a resolver la ecuación 2 2( cos ) (2 cos 2 ) 0y ye y xy dx xe x xy y dy

Aseguramos que es exacta cuando se cumple que dM dN

dy dx

22 cosydMe xysenxy xy

dy que es evidentemente igual a la parcial de N con respecto

de x. Teniendo que: 22 cosydM

e xysenxy xydy

. Por consiguiente existe una función

f(x,y) para la cual se cumple al siguiente condición:

2

2

2 2

2

2

2

2

( , )

( , )

:

( , ) 2 cos 2

( , ) 2 cos

( , ) ( )

cos,

(1 )

(0) 2

'( ) 0

( )

0

y

y

y

y

dfM x y

dx

dfN x y

dy

Así

dfN x y xe x xy y

dy

f x y x e dy x xydy ydy

f x y xe senxy y h x

d

xe senxy y

y xy xsenx

dx y x

y

h x

h

C

x C

Comportamiento de la ecuación

diferencial y trayectoria para

coordenadas escogidas al azar



Algunas ecuaciones exactas y sus

soluciones graficadas:

1)

2 2

(2 1) (3 7) 0

:

37

2

x dx y dy

Solución

x x y y C

2)

2

3

2 6

:

2 2 2

x

x x

dyx xe y x

dx

Solución

xy x xe e C

3)

1 ln (1 ln )

:

ln ln

yx dx x dy

x

Solución

y y x x x C

4) 2 2

(4 2 5) (6 4 1) 0

:

4 5 3

y t dt y t dy

Solución

ty t t y y C

Practica de Ecuaciones Diferenciales y Demostraciones por Jairon Francisco

Documents

Transcript of Practica de Ecuaciones Diferenciales y Demostraciones por Jairon Francisco