Pr i-8

§8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами8.1 Постановка задачи

X ,Y — линейные нормированные пространства,fi : X → R, i = 0,1, . . . ,m, F : X → Y .Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:

f0(x)→ min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . ,m, F (x) = 0. (P)

Допустимые точки — точки, удовлетворяющиеограничениям задачи.D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).

Галеев Э.М. МГУЛекции: Методы оптимизации

f0(x)→ min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . ,m, F (x) = 0. (P)

Теорема (принцип Лагранжа)

x ∈ locminP, X ,Y — банаховы, fi ,F ∈ SD(x) (гладкость),ImF ′(x) — замкнутое подпространство в Y (ослабленноеусловие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y ∗, (λ, y∗) 6= 0 :

для функции Лагранжа L (x) =m∑

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

выполняются условия:a) стационарности: L ′(x) = 0(⇔

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

b) дополняющей нежесткости: λi fi(x) = 0, i = 1, . . . ,m;c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0,1, . . . ,m.

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

i=0λi fi(x) + 〈y∗,F (x)〉

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ∀ h ∈ X

⇔m∑

i=0λi f ′i (x) +

(F ′(x)

)∗y∗ = 0);

f0(x)→ min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . ,m, F (x) = 0. (P)

x ∈ locminP, X ,Y — банаховы, fi ,F ∈ SD(x), ImF ′(x) —замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y ∗, (λ, y∗) 6= 0 :

a) стационарности:m∑

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

� НеОО f0(x) = 0, иначе f0(x) = f0(x)− f0(x).Если fi(x) 6= 0 (1 ≤ i ≤ m) ⇒ fi(x) < 0⇒ fi(x) < 0 ∀ x ∈ O(x).Для локального экстремума такие ограничениянесущественны и полагаем λi = 0.Таким образом, считаем, что условия дополняющейнежесткости уже выполнены.

f0(x)→ min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . ,m, F (x) = 0. (P)

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

f0(x)→ min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . ,m, F (x) = 0. (P)

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

f0(x)→ min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . ,m, F (x) = 0. (P)

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

f0(x)→ min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . ,m, F (x) = 0. (P)

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

f0(x)→ min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . ,m, F (x) = 0. (P)

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

f0(x)→ min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . ,m, F (x) = 0. (P)

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

f0(x)→ min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . ,m, F (x) = 0. (P)

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

f0(x)→ min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . ,m, F (x) = 0. (P)

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

A) ImF ′(x) 6= Y ⇒ ImF ′(x) — замкнутое собственноеподпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальностианнулятора ∃ y∗ ∈ (ImF ′(x))⊥ ⊂ Y ∗, y∗ 6= 0. Это означает,

〈y∗, y〉 = 0 ∀ y ∈ ImF ′(x) ⇔ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ⇔

〈(F ′(x)

)∗y∗,h〉 = 0 ∀ h ∈ X ⇔(F ′(x)

)∗y∗ = 0.

Остается положить λi = 0, i = 0,1, . . . ,m.Галеев Э.М. МГУЛекции: Методы оптимизации

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

〈y∗, y〉 = 0 ∀ y ∈ ImF ′(x) ⇔ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ⇔

〈(F ′(x)

)∗y∗,h〉 = 0 ∀ h ∈ X ⇔(F ′(x)

)∗y∗ = 0.

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

〈y∗, y〉 = 0 ∀ y ∈ ImF ′(x) ⇔ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ⇔

〈(F ′(x)

)∗y∗,h〉 = 0 ∀ h ∈ X ⇔(F ′(x)

)∗y∗ = 0.

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

〈y∗, y〉 = 0 ∀ y ∈ ImF ′(x) ⇔ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ⇔

〈(F ′(x)

)∗y∗,h〉 = 0 ∀ h ∈ X ⇔(F ′(x)

)∗y∗ = 0.

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

〈y∗, y〉 = 0 ∀ y ∈ ImF ′(x) ⇔ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ⇔

〈(F ′(x)

)∗y∗,h〉 = 0 ∀ h ∈ X ⇔(F ′(x)

)∗y∗ = 0.

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

〈y∗, y〉 = 0 ∀ y ∈ ImF ′(x) ⇔ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ⇔

〈(F ′(x)

)∗y∗,h〉 = 0 ∀ h ∈ X ⇔(F ′(x)

)∗y∗ = 0.

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

〈y∗, y〉 = 0 ∀ y ∈ ImF ′(x) ⇔ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ⇔

〈(F ′(x)

)∗y∗,h〉 = 0 ∀ h ∈ X ⇔(F ′(x)

)∗y∗ = 0.

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

〈y∗, y〉 = 0 ∀ y ∈ ImF ′(x) ⇔ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ⇔

〈(F ′(x)

)∗y∗,h〉 = 0 ∀ h ∈ X ⇔(F ′(x)

)∗y∗ = 0.

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

〈y∗, y〉 = 0 ∀ y ∈ ImF ′(x) ⇔ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ⇔

〈(F ′(x)

)∗y∗,h〉 = 0 ∀ h ∈ X ⇔(F ′(x)

)∗y∗ = 0.

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

〈y∗, y〉 = 0 ∀ y ∈ ImF ′(x) ⇔ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ⇔

〈(F ′(x)

)∗y∗,h〉 = 0 ∀ h ∈ X ⇔(F ′(x)

)∗y∗ = 0.

i=0λi f ′i (x) + (F ′(x))∗y∗ = 0;

〈y∗, y〉 = 0 ∀ y ∈ ImF ′(x) ⇔ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0 ⇔

〈(F ′(x)

)∗y∗,h〉 = 0 ∀ h ∈ X ⇔(F ′(x)

)∗y∗ = 0.

B) ImF ′(x) = Y . Положим b = (b0, . . . ,bm), B := {(b, y) ∈Rm+1 × Y | ∃ h∈X : 〈f ′i (x),h〉 ≤ bi , i = 0, . . . ,m; y = F ′(x)[h]}.B — непустое выпуклое множество.Непустота: возьмем (b, y), где b ∈ Rm+1

+ , y = 0 ⇒ (b, y) ∈ B(в определении B надо взять h = 0).Выпуклость: (b, y), (b′, y ′) ∈ B def B⇒ ∃ h и соответственно h′.Тогда для вектора (bα, yα) = α(b, y) + (1− α)(b′, y ′),α ∈ [0,1], надо взять вектор hα = αh + (1− α)h′.Значит, (bα,F ′(x)[hα]) ∈ B.

0 6∈ intB. Предположим противное, и придем кпротиворечию с тем что x ∈ locmin. Действительно, если0 ∈ intB ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β,0) ∈ B⇒ ∃ h : F ′(x)[h] = 0, 〈f ′i (x),h〉 ≤ β, i = 0,1, . . . ,m.F ′(x)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространствеKerF ′(x) = TxM, где M := {x ∈ X | F (x) = F (x) = 0}.Значит, ∃ r : [−ε, ε]→ X (ε > 0) : ‖r(t)‖ = o(t),

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

При малых t > 0 для i = 0,1, . . . ,m имеем неравенства

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(1), (1i), i = 1, . . . ,m⇒ x + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом(10)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

)противоречит тому, что

x ∈ locmin. Значит, 0 6∈ intB.

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

x + th + r(t) ∈ M ⇔ F(x + th + r(t)

)= 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)

fi(x + th + r(t)

)= fi(x) + t〈f ′i (x),h〉+ o(t) < 0. (1i)

(f0(x + th + r(t)

)< 0 = f0(x)

По I теореме отделимости в нормированных пространствахмножество B и точку 0 можно отделить⇒ ∃ (λ, y∗) = (λ0, λ1, . . . , λm, y∗) ∈ Rm+1 × Y ∗, (λ, y∗) 6= 0 :

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

Условие неотрицательности: (Rm+1+ ,0) ⊂ B ⇒ (ei ,0) ∈ B,

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

Условие стационарности:

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 ≥ 0. Поскольку в неравенстве

можно взять и h, и −h, то неравенство выполняется в виде

равенства:m∑

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

inf(b,y)∈B

{〈(λ, y∗), (b, y)〉} ≥ 〈(λ, y∗), (0,0)〉

⇐⇒ 〈λ,b〉+ 〈y∗, y〉 ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗)

где ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ B

(∗)⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . ,m.

(〈f ′0(x),h〉, . . . , 〈f ′m(x),h〉,F ′(x)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X(∗)⇒

m∑i=0

i=0λi〈f ′i (x),h〉+ 〈y∗,F ′(x)[h]〉 = 0. �

Pr i-8

Documents

Transcript of Pr i-8