Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | infx∈K〈y , x〉 ≥ 0}

6. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 + K2)∗ = K ∗1 ∩ K ∗2 .

� Возьмем x1 ∈ K1, x2 ∈ K2. Поскольку〈y , x1 + x2〉 = 〈y , x1〉+ 〈y , x2〉, то inf

x1∈K1,x2∈K2〈y , x1 + x2〉 =

infx1∈K1,x2∈K2

(〈y , x1〉+ 〈y , x2〉) = infx1∈K1

〈y , x1〉+ infx2∈K2

〈y , x2〉 ⇒

infx1∈K1, x2∈K2

〈y , x1 + x2〉 ≥ 0⇔

infx1∈K1

〈y , x1〉 ≥ 0,

infx2∈K2

〈y , x2〉 ≥ 0.�

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}7. K1,K2 — произвольные конусы ⇒ (K1 ∩ K2)

∗ ⊃ K ∗1 + K ∗2 .� Пусть y ∈ K ∗1 + K ∗2 ⇒ y = y1 + y2, где y1∈K ∗1 , y2∈K ∗2 ⇒y1 ∈ K ∗1 ⇒ 〈y1, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K1 (в том числе и для x ∈K1 ∩ K2);y2 ∈ K ∗2 ⇒ 〈y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈K2 (в том числе и для x ∈K1 ∩K2).Значит, 〈y1 + y2, x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K1 ∩ K2 ⇔ y ∈ (K1 ∩ K2)

∗. �8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .� По т. о втором сопряженном конусе K1 = K ∗∗1 , K2 = K ∗∗2

⇒ (K1 ∩ K2)∗ = (K ∗∗1 ∩ K ∗∗2 )∗ =

((K ∗1 )

∗ ∩ (K ∗2 )∗)∗ 6

=((K ∗1 + K ∗2 )

∗)∗ = (K ∗1 + K ∗2)∗∗

= K ∗1 + K ∗2(по следствию 2 из т. о втором сопряженном конусе). �

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ

Свойства сопряженного конуса

K ∗ := {y ∈ Rn | 〈y , x〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K}8. K1,K2 — выпуклые замкнутые конусы⇒ (K1 ∩ K2)

∗ = K ∗1 + K ∗2 .Отметим, что убрать замыкание в последней формуленельзя. Действительно, существует пример, двух выпуклыхзамкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус:Пусть K1 — конус в R3, образованный кругомx2

1 + (x3 − 1)2 ≤ 1, x2 = 1, и точкой 0; K2 — ось x2.Тогда K1 + K2 = {x ∈ R3 | x3 > 0} объединение с осью x2.

Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ