1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

1.4 Примеры

Пример 1. f (x) = f (x1, x2) = x21 − x1x2 + x2

2 − 2x1 + x2 → extr.Необходимое условие экстремума I порядка:

f ′(x) = 0⇔

{2x1 − x2 − 2 = 0,−x1 + 2x2 + 1 = 0,

⇔ x̂ = (x̂1, x̂2) = (1,0).

Проверка условий экстремума II порядка:

A =

(∂2f (x̂)∂xi∂xj

)2

i,j=1=

(2 −1−1 2

), A1 = 2 > 0, A12 = 3 > 0.

По критерию Сильвестра A > 0 ⇒ x̂ ∈ absmin (посколькуфункционал линейно-квадратичный), Sabsmin = f (1,0) = −1.

Ответ. (1,0) ∈ absmin, Sabsmin = −1; Sabsmax = +∞.Галеев Э.М. МГУЛекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление