PPT Clase 5

Teoría de la utilidad esperada

Esquema de Von Neumann y MorgensternLa relación de preferencia sobre las loterías cumplen con los axiomas de completitud, transitividad e independencia Agregan los siguientes axiomas:Continuidad para pequeños cambios de probabilidades o de los resultados no se producen cambios en el ordenamiento de las loterías.Monoticidad Si α > β, entonces tener el mejor resultado con probabilidad α y el peor con probabilidad (1-α) es preferible al mejor con probabilidad β y el peor con probabilidad (1-β).

Si α > β => αxm + (1-α)xp βxm + (1-β) xp


Agregan:Sustitución Si para cada x, el agente es indiferente entre el valor esperado de una lotería L1 y el valor esperado de una lotería L2, entonces L1 L2

Reducción de loterías compuestas Implica que el agente se interesa solamente en las probabilidades y los resultados – y no en cómo se componen las loterías.


Con estos axiomas VNM definen :Se dice que la función de utilidad U : L X R es una función de utilidad de Von Neumann y Morgenstern (VNM) si existen n números u1, u2, …, un asociados respectivamente a x1, x2,, … , xn tales que para cada lotería L = (p1 , p2, … , pn

; x1, x2,, … , xn) ε L X se verifica que:

U(L) = p1 u1 + p2u2 + … + pnun


Teorema de la utilidad esperada: Si la relación de preferencia sobre L (X) es racional, continua y verifica el axioma de independencia, entonces admite una representación en forma de utilidad esperada de VNMEs decir existen n valores reales de u(x1), u(x2), …, u(xn), tales que L, L’ ε L (X), L = (p1, p2, … , pn

; x1, x2,, … , xn) L´= (p1´, p2’ , … , pn ; x1, x2,, … , xn)´

u(xi) ≥ u(xi)

U(L) ≥ U(L´)


Una persona está evaluando dos alternativas en un puesto de ventas.x1: Ganar $2500 por mes, con una probabilidad de 40%

x2: Ganar $1600 por mes, con una probabilidad de 60%

U(L) = p1u(x1) + p2u(x2)

Suponga que la persona tiene una función de utilidad exponencial -> U(x) = x1/2

Entonces, la UTILIDAD ESPERADA DE LA DECISIÓN es:

U(L) = 0,4 x (2.500)1/2 + 0,6 x (1600)1/2 = 44


Nótese la diferencia entre estos tres conceptos:Valor esperado de la lotería:

E(L) = 0,4 (2500) + 0,6 (1600) = 1960

Utilidad del valor esperado:U(E(L)) = (1960)1/2 = = 44.27

Utilidad esperada de la lotería:U(L) = 0,4 x (2.500)1/2 + 0,6 x (1600)1/2 = 44


La utilidad esperada le permite al decisor comparar LOTERIAS (incorpora el riesgo dentro del proceso decisorio).

Dados un conjunto L X de loterías, asumimos que la gente prefiere la situación que le genera la mejor utilidad esperada el agente es un maximizador de utilidad esperada.No se comparan valores monetarios. Es posible que dos situaciones tengan el mismo valor esperado, pero que las utilidades esperadas sean diferentes.


Ejemplo:

Suponga que una persona con preferencias representadas por la función de utilidad de la riqueza evalúa lo siguiente:

U(L) = ln(L))

L1 = Recibir $50,000 con certeza

L2 = Recibir $10.000 o $90.000 con 50% de probabilidades

Lo valores esperados:E(L1) = 50.000

E(L2) = 1/2 x (10.000) + 1/2 (90.000) = 50.000

Pero, ¿cuál prefiere?


Recuerde: U=ln(y)

U(L1) = ln(50.000) = 10,82

U(L2) = 0,5 ln(10.000) + 0,5ln(90.000) = 10,31

El decisor prefiere la primera opción porque:10,82 > 10,31

U(L1) > U(L2)

L1 L2

(Por las condiciones que impusimos en la relación de preferencias)

U(L) = L1/2 Lotería 1 = Posibilidad de ganar $2500 con 40% o $1600 con 60% Lotería 2 = Posibilidad de ganar $5000 con 25% o $1000 con 75%

L1 L2 E(L1) = (0,4 x 2500)+ (0,6 x 1600) = $1960 E(L2) =(0,25 x 5000) + (0,75 x 1000) = $2000 U(L1) = 0,4 (2500)1/2 + 0,6 (1600)1/2 = 44 U(L2) = 0,25 (5000)1/2 + 0,75 (1000)1/2 = 41,4

Observe que:

VE(L1) VE(L2) EU(L1) > EU(L2)

EU(L1) > EU(L2) L1 L2

La lotería 1 es preferible a la lotería 2 a pesar que el valor esperado de la lotería 2 es mayor al de la lotería 1.

Riesgo

E(W) = (1-P) W + (P)(W-L)E(W) = 0,98(200.000) + 0,02(200.000-75.000) = $198.500 U(W) = (1-P) ln(W) + (P) ln(W-L)U(W) = 0,98 ln(200.000) + 0,02 ln(200.000-75.000) = 12,197

Suponga ahora que puede agregar un sistema de aspersores en la casa. Esto reducirá la probabilidad de daños a $0, pero tiene un costo $C de instalación.¿Cuánto es el máximo que se estaría dispuesto a pagar por el sistema?

Riesgo

UE(W) = 12,197Considerar (W-C) como el nuevo valor de riqueza. Ese valor tiene que ser mayor o igual a mi actual nivel de utilidad.

U(W-C) = 12,197Ln(W-C) = 12,197

Exponenciar con base e (Recordar que eln(x) = x)

= (W-C) = 198.128

W- 198.128 = 200.000 – 198,128 = C = $1872

Riesgo

Riesgo

Definiciones:Dado un agente con función de utilidad del dinero u(x) y dada una lotería L sobre un conjunto de resultados (x1, x2, …, xn) R, con valor esperado xo,

Se llama equivalente de certeza de L a la cantidad de dinero zo, tal que U(zo) = U(L)

Se llama prima de riesgo de L a la cantidad ρ = xo - zo (valor esperado menos el equivalente de certeza).

RiesgoDefiniciones:Sea X = R. Suponemos que la función de utilidad U(x) es estrictamente creciente. (Si U(x) es diferenciable, esto implica que U´(x) > 0 para todo x ε R.)

Un agente es:Averso al riesgo en el intervalo [a,b], si el valor esperado de una lotería es al menos tan preferido como la misma lotería. U(E(L)) ≥ U(L) - (U”(x) ≤0 – la función es cóncava)Neutral al riesgo en el intervalo [a,b], si el valor esperado de una lotería es indiferente a la lotería .U(E(L)) = U(L) – (U”(x) = 0 – la función es lineal)Propenso al riesgo en el intervalo [a,b], si la lotería es al menos tan preferida como su valor esperado.U(E(L)) ≤ U(L) (U”(x) ≥ 0 – la función es convexa)

Riesgo

SegurosSuponga que su ingreso (Y) está dado, pero shocks aleatorios que pueden reducirlo. Por ejemplo, se puede dañar el auto o necesitar hacer arreglos en su casa. Se puede pagar $ para reparar estos daños y regresar al estado normal de las cosas. L es la pérdida de que un evento malo suceda.La probablidad de una pérdida es p1

La utilidad esperada sin seguro es U(Y) = (1-p1) U(Y1) + P1 U(Y1 – L)

Suponga que puede comprar seguro que le cuesta PREM. Este seguro le compensa por la pérdida L. (Pérdida esperada = p1L)

En el buen estado, su ingreso es de Y – PREMEn el mal estado, habiendo pagado PREM, pierde L, pero recibe el PAGO. Por lo que su ingreso es

(Y – PREM – L + PREM) EL INGRESO TIENE CERTEZA AHORA Asuma que PAGO = L y que Y en el mal estado es Y – PREM

Seguros

La gente debería estar dispuesta a pagar una prima que iguale la pérdida esperada.Pero también ahora están dispuestos a pagar una prima para evitar el riesgo (línea cd).La máxima cantidad que están dispuestos a pagar es: p1L + prima de riesgo

OBSERVE LO SIGUIENTE

El seguro ha hecho que el ingreso sea con certeza. Siempre se va a tener Y – PREMLa pérdida esperada es p1L

El ingreso esperado es E(Y)La utilidad esperada es U2

La gente siempre debería estar dispuesta a pagar una prima que iguale la pérdida esperada.Pero también están dispuestos a pagar una prima para evitar el riesgo (línea cd) La máxima cantidad que están dispuestos a pagar es

p1L + prima de riesgo.

Seguros

Suponga que el ingreso es de $50.000 y que hay un 5% de probabilidad de tener un desperfecto mecánico en un vehículo que le generaría una pérdida de $15.000

La pérdida esperada es 0.05 (15.000) = $750

U = ln(y)

La utilidad esperada del ingreso sin la compra del seguro es:U(Y) = p ln(Y-L) + (1-p) ln(Y)

U(Y) = 0,05 ln(35.000) + 0.95 ln(50.000) = 10,80 ¿Cuánto es lo máximo que se pagaría por un seguro?

Seguros

La gente compraría seguro hasta tanto la utilidad con certeza es al menos 10,8 (utilidad esperada sin seguro)

Ua = U(Y – Prem) ≥ 10,8

En este caso:Ln(Y-PREM) ≥10,8

Y-PREM ≥ e(10.8)

PREM ≤Y- e(10.8)

PREM ≤ 50,000 – 49,021 PREM ≤ $979

Recordar que la pérdida esperada era de $750

Entonces, esta persona está dispuesta a pagar más que su pérdida esperada para evitar el riesgo ($979) que equivale a:

Pérdida esperada + prima de riesgo = $979$ 750 + prima de riesgo = $979

Por lo tanto, la prima de riesgo = $229

Medición del riesgoMedidas de Arrow Pratt de aversión al riesgo

Idea intuitiva: La curvatura de la función de utilidad de un agente, medida por su derivada segunda, nos informa de su grado de aversión al riesgo.

Definiciones:

Sea u una función de utilidad del dinero correspondiente a un agente. Se supone que u es dos veces diferenciable en [a,b]

El coeficiente de Arrow Pratt de aversión absoluta al riesgo en x es:

λa(x) =

El coeficiente de Arrow Pratt de aversión relativa al riesgo es:

λr(x) = x

Medición del riesgo

En el primer caso, lo que se mide es la cantidad de dinero que un individuo elegirá para invertir en un activo riesgoso, dado un cierto nivel de riqueza (w).Si se quiere medir el porcentaje de riqueza invertido en activos riesgosos, se multiplica el índice absoluto por la riqueza (w) para obtener una medida de aversión al riesgo relativa.

Medición absolutaTipo de actitud frente al

riesgo Comportamiento Ejemplo de función de utilidad

Aversión al riesgo absoluta creciente(Averso al riesgo)

A medida que aumenta la riqueza, menos dinero se destina a activos riesgosos.

w-cw2

Aversión al riesgo absoluta constante(Neutral al riesgo)

A medida que aumenta la riqueza, la misma cantidad de dinero se destina a activos riesgosos.

-e-cw

Aversión al riesgo absoluta decreciente(Tomador de riesgo)

A medida que aumenta la riqueza, más dinero se destina a activos riesgosos.

ln(w)

Medición relativaTipo de actitud frente al

riesgo Comportamiento Ejemplo de función de utilidad

Aversión al riesgo relativa creciente(Adverso al riesgo)

A medida que aumenta la riqueza, un menor porcentaje dinero se destina a activos riesgosos.

W - cw2

Aversión al riesgo relativa constante(Neutral al riesgo)

A medida que aumenta la riqueza, el mismo porcentaje de dinero se destina a activos riesgosos.

ln(w)

Aversión al riesgo relativa decreciente(Tomador de riesgo)

A medida que aumenta la riqueza, un mayor porcentaje de dinero se destina a activos riesgosos.

-e-2w-1/2

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