Poucak 36[1]

1

PoučakČasopis za metodiku i nastavu matematike

Crtež na naslovnici ovoga broja Poučka prikazuje Gérarda Désarguesa (1593. - 1662.)

2

OsnivačHrvatsko matematičko društvo, Bijenička 30, Zagreb

IzdavačiHrvatsko matematičko društvo, Bijenička 30, Zagreb

Profil International, d.o.o., Kaptol 25, Zagreb

Glavni urednikZvonimir Šikić

Pomoćnik glavnog urednikaZlatko Klanac

UredništvoMorana Antunac-Majcen, Zlatko Klanac, Miljenko Lapaine, Marcel Maretić,

Petar Mladinić, Renata Svedrec, Zvonimir Šikić

Redakcijski kolegijSanja Antoliš, Nevenka Antončić, Morana Antunac-Majcen, Marina Bilić, Branka Copić,Maja Cvitković, Marija Golac, Ivica Gusić, Jelena Gusić, Zlatko Klanac, Jadranka Delač-Klepac, Mirela Kurnik, Zdravko Kurnik, Marcel Maretić, Petar Mladinić, Nikol Radović, Vladimir Stošić, Renata Svedrec, Zvonimir Šikić, Hrvoje Šikić, Eva Špalj, Sanja Varošanec

LekturaHrvoje Horvat

Crteži, slog i prijelomINGU, Zagreb

NaslovnicaŽeljko Glavor i Saša Perić

Crtež na naslovniciNinoslav Kunc

TisakProfil, Zagreb

Adresa uredništvaHrvatsko matematičko društvo (za Poučak), Zagreb, Bijenicka 30, PP 335

ISSN 1332-3008 UDK51

Časopis izlazi četiri puta u godini.

Žiroračun HMD-a (za Poučak): 2360000-1101530802 Devizni račun: Zagrebačka banka d.d. Zagreb, SWIFT ZABA HR 2X, account no. 2500-03688780 (za Poučak)

Cijena pojedinoga primjerka 25 kn, za inozemstvo 6 €.Godišnja pretplata 100 kn, za europske zemlje 24 €, za ostale zemlje 48 $.

Naklada: 1500 primjeraka.

Impresum

PoučakČasopis za metodiku i nastavu matematike

Godina 9., Broj 36., prosinac 2008.

SADRŽAJ

IZ NASTAVNE PRAKSE

Grupa Rubikove kocke .......................................................................................... 4

Modalna logika i Fittingova nomenklatura .................................................... 30

Kako do funkcije ....................................................................................................... 44

Franka MiriaM Brückler

ivan Matić

Sanja antoliš

Cayley-Dicksonova konstrukcija ....................................................................... 16

Dijana ilišević i Marjeta Stoičić

Jednostavno - složeni kamatni račun ............................................................. 54

GorDan noGić

Moguća konstrukcija naizgled nemogućeg tijela ....................................... 62

izet kalaBa

Faktoriziranje polinomijalnih parova ................................................................ 70

Željko zrno

INFORMACIJE I PRIKAZI

Stručno - metodičke večeri .................................................................................. 79

4

poučak 36

Grupa Rubikove kockeFranka Miriam Brückler*

Uvod

Možda će se tko zapitati čemu služi članak o teoriji grupa u časopisu namijenjenom nastavnicima u osnovnim i srednjim školama, uzevši u obzir da je poznato da se teorija grupa ne obrađuje u sklopu nastave matematike. Odgovor na ovo pitanje je jednostavan: što više nastavnici znadu o jednostavnim, primjenjivim i/ili zabavnim stranama kompliciranih matematičkih teorija, vjerojatnije je da će naći zanimljive primjere kojima bi mogli zainteresirati svoje učenike za matematiku.

Jedno od neugodnijih pitanja koje učenik može postaviti svom profesoru matematike je „A što će mi sva ta matematika? Dobro, razumijem da trebam znati aritmetiku radi svakodnevnih računa, no čemu služe elipse, vektori, logaritmi, ...?“. Odgovor na ovo pitanje, nadam se, znadu svi koji čitaju ovaj članak (znate li?), no uobičajeni odgovor vjerojatno neće zadovoljiti učenika jer prebacuje važnost matematike na druge, njemu podjednako nejasne, teme. Stoga je u konkretnoj situaciji zgodno imati na raspolaganju poneki primjer koji je zabavan ili primjenjiv, a iza kojeg stoji „ozbiljna“ matematika. Osobito je zgodno ako se i ta matematika koja je u pozadini primjera može objasniti na nivou osnovne ili srednje škole. Poznati su mnogi takvi primjeri (kriptografija s primjenom na suvremenu zaštitu podataka, kompleksni brojevi s primjenom na modernu fiziku, ...) Jedan takav primjer je i Rubikova kocka i teorija grupa.

Što je Rubikova kocka?

Osobe rođene 1970ih ili ranije zasigurno znaju da je Rubikova kocka jedna od najpopularnijih igračaka iz 1980ih godina, kad je svatko tko se igrao tom kockom znao da ona ima neke veze s matematikom. Čak i danas, u doba računalnih igrica, Rubikovu kocku i njene jeftine kopije, možemo naći u skoro svakom dućanu s igračkama te gotovo da nema osobe koja ne zna kako ona izgleda, iako se među mlađim generacijama sad lakše nalaze osobe koje nikad nisu pokušale „riješiti“ Rubikovu kocku. Smatra se da je Rubikova kocka najprodavanija igračkom na svijetu.

* Franka Miriam Brückler, PMF – Matematički odjel, Zagreb, [email protected]

5

Grupa rubIkove kocke

Rubikova kocka je mehanička igračka oblika kocke koju je izmislio mađarski profesor arhitekture Ernö Rubik 1974. godine, patentirao ju je 1975., a prodao ju je firmi Ideal Toys 1980. godine. Iste godine kocka je osvojila njemačku nagradu „igra godine“ (Spiel des Jahres). Osnovna verzija Rubikove kocke ima svaku stranu podijeljenu na devet sukladnih kvadrata, točnije, kocka djeluje kao da je podijeljena na 27 jednakih i povezanih pod-kockica. Tehnički, srednja kockica je osni križ koji drži Rubikovu kocku na okupu, a vanjske kockice nisu u matematičkom smislu kockice, no ipak ćemo ih tako zvati. Razlikujemo bridne kockice (koje pripadaju dvjema stranama i stoga nose dvije boje) i vršne kockice (koje pripadaju trima stranama i stoga nose tri boje). Na vanjske strane pod-kockica su nalijepljeni kvadrati u po jednoj od šest boja, svaka boja za jednu stranu kocke. Kad je svaka strana kocke jedne boje kažemo da je Rubikova kocka riješena. Standardne boje kod originalne kocke su crvena nasuprot narančaste, žuta nasuprot bijele i plava nasuprot zelene. Osim klasične Rubikove 3×3×3-kocke, danas se u prodaji mogu naći i verzije Rubikove kocke tipa 2×2×2, 4×4×4 i 5×5×5. U ovom članku bavit ćemo se samo 3×3×3-kockom.

Što možemo raditi s Rubikovom kockom? Načelno, samo jedno: zaokrenuti jednu od njenih strana oko osi koja prolazi središtem kocke i središtem strane. Kako ne želimo ostaviti strane nakošenima, dogovorno smatramo da nakon svakog okretanja neke strane ponovno imamo kocku. Osnovni potez na Rubikovoj kocki stoga je rotacija jedne strane za pravi kut (dogovorno: u smjeru kazaljke na satu). Svaki naš slijed okretanja strana kocke, bio on s ciljem da ju „razdrmamo“, „riješimo“ ili „tek tako“ može se zapisati kao konačan niz osnovnih poteza. To možda i jest očito, ali uočavanje očiglednih činjenica ponekad može biti ključno za neku teoriju. Tako je to i s Rubikovom kockom, kao što ćemo vidjeti u nastavku.

Potezi na kocki, cikličke i druge grupe

Rekli smo da je osnovni potez rotacija jedne strane za pravi kut u smjeru kazaljke na satu. Kako imamo šest mogućih strana, treba nam notacija za rotaciju svake od njih. Mogli bismo notaciju vezati za boje, no uobičajenija je Singmasterova notacija. Ona pretpostavlja da smo na početku odabrali koja strana će nam biti naprijed, koja gore, koja desno te da to nećemo mijenjati tokom naše igre s kockom (to postižemo tako da si na početku zapamtimo boju središta prednje, gornje i desne strane, jer središta strana ne mijenjaju svoja mjesta na kocki). Singmaster je uz takav dogovor uveo notaciju za šest osnovnih poteza na kocki: • F (Front): rotacija prednje strane • B (Back): rotacija stražnje strane • U (Up): rotacija gornje strane • D (Down): rotacija donje strane • L (Left): rotacija lijeve strane • R (Right): rotacija desne strane.

6

poučak 36

Slijed od konačno mnogo osnovnih poteza zvat ćemo potezom. Primijetimo da svaki potez na jedinstven način određuje izgled kocke tj. mogli smo umjesto poteza pratiti izglede kocke u pojedinim trenucima. Bilo kako bilo, učinili smo nešto što je tipično za matematiku, ali se rijetko eksplicitno ističe: kompliciranu stvar (opis izgleda kocke u pojedinom trenutku) sveli smo na pregledniju uočavanjem bitnog (svaki potez je slijed osnovnih poteza) i uvođenjem nekog skupa oznaka koje će nam skratiti rečenice u nastavku. Uzastopno izvođenje osnovnih poteza označavat ćemo nadopisivanjem slijeva udesno, primjerice DLLR znači da smo redom okrenuli jednom donju, dvaput zaredom lijevu i na kraju jednom desnu stranu kocke za pravi kut u smjeru kazaljke na satu.

Da bismo mogli grafički ilustrirati ostatak teksta, a s obzirom na crno-bijeli tisak, Rubikovu kocku ćemo prikazivati sljedećom projekcijom:

Slika 1. Projekcija Rubikove kocke

Pritom zamišljamo da kocku gledamo sprijeda tj. u svim prikazima bijelo će biti označena prednja strana, svijetlosivo je gornja, tamnosivo donja, točkasto lijeva, a karirano desna strana. Odgovarajućim „bojama“ biti će prikazivani položaji kockica nakon izvođenja pojedinih poteza (tj. „boje“ nam označavaju ishodišne pozicije). Ukoliko se u nekoj situaciji neka stražnja kockica nađe u vidljivom području, njena boja biti će označena crno.

Neka je X bilo koji od osnovnih poteza. Ukoliko odgovarajuću stranu zaokrenemo za 180° tj. primijenimo ga dvaput mogli bismo takav potez označiti s XX. Ako pak odgovarajuću stranu zaokrenemo za 270° tj. primijenimo ga triput, mogli bismo pisati da smo napravili XXX itd. Skratimo takve zapise:

X2 =XX,X3 = XXX,

...Xn = XXX...X (n puta).

7


Sljedeće što možemo uočiti je da ako osnovni potez X ponovimo četiri puta zaredom (tj. izvedemo X4), efekt je kao da nismo ništa radili. Označit ćemo:

X4 = I.Time ćemo i „ništa ne raditi“ smatrati potezom (jer se može dobiti slijedom

osnovnih poteza) i taj posebni potez označavamo s I. Kako je to isto što i nula puta (nijednom) izveden potez X, pišemo i

X0 = I.Nadalje, izvođenje poteza u suprotnom smjeru možemo označiti negativnim

potencijama: X–1 je okret označene strane za pravi kut u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Provjerimo smislenost takve oznake: formalno gledajući, ponašajući se kao da su potezi brojevi, trebalo bi vrijediti X–1X = X X–1 = I. Kako uzastopno izveden okret jedne strane za pravi kut u jednom smjeru pa zatim u suprotnom ima efekt kao da nismo ništa radili, vidimo da stvarno vrijedi

X–1X = X X–1 = I.Očito je XnI = I Xn = Xn za svaki cijeli broj n. Kako okret za pravi kut u smjeru

suprotnom od kazaljke na satu ima isti efekt na izgled kocke kao i okret za 270° u smjeru kazaljke na satu, vrijedi i sljedeća formula:

X–1 = X3.Što se tiče uzastopnih okreta samo jedne strane, iz prethodnog slijedi da su nam

po efektu različita samo četiri poteza: X0 = I, X, X2, X3 (jer za n = 0, 1, 2, 3 vrijedi Xn+4k = Xn, za svaki cijeli broj k dodatnih osnovnih poteza). Tako je recimo X9 = X1+4+4 = X1 X4 X4 = X I I = X. Grafički ta četiri elementa za slučaj da je X osnovni potez R možemo ilustrirati slikom 2.

Slika 2. Grupa C4 = {I, R, R2,R3}

Zaključimo: dok se držimo okretanja samo jedne strane kocke, za potpun opis svih mogućih situacija dovoljan nam je četveročlani skup C4 = {I, X, X2, X3}, koji ima sljedeća svojstva obzirom na kombiniranje (bolje bi bilo reći: komponiranje) poteza: • zasvakiY C4 vrijedi Y I = I Y = Y; • zasvakiY C4 možemo naći element Y–1 C4 takav da je Y–1Y = Y Y–1 = I

(imamo redom I–1 = I, X–1 = X3, (X2)–1 = X2, (X3)–1 = X); • svielementiY iz C4 su oblika Y = Xn za neki n = 0, 1, 2, 3.

8

poučak 36

Imamo dakle skup (sastoji se od četiri poteza) i definirali smo neku operaciju s njegovim elementima (uzastopno izvođenje označeno nadopisivanjem) tako da primjena te operacije na dva elementa skupa daje element skupa (uzastopno izvođenje poteza tipa Xn je potez istog tipa). Uzevši u obzir i prva dva svojstva navedena gore (postojanje neutralnog elementa tj. poteza koji ništa ne mijenja te postojanje inverza tj. činjenice da nakon svakog poteza nekim potezom iz istog skupa možemo vratiti kocku u početno stanje) kažemo da je C4 grupa1. Posljednje od gore istaknuta tri svojstva kaže da je C4 ciklička grupa: svaki element se može dobiti iz samo jednog uzastopnom primjenom naše operacije. Taj element (u našem slučaju, to je osnovni potez X) zove se generator cikličke grupe. Broj elemenata u grupi (ovdje: 4) zovemo redom grupe. Ako se kao kod osnovnih poteza za neki potez X desi da nakon što ga ponovimo n puta vratimo kocku u početno stanje, onda se (najmanji takav n > 1) zove red poteza (red elementa grupe). Prema gornjem, svaki osnovni potez je reda 4.

Zadatak. Kojeg reda je potez FL?

Zadatak. Uvjerite se odnosno argumentirajte da za svaki (ne samo osnovni) potez X vrijedi formula (X–1)–1 = X.

Dosad opisana matematizacija Rubikove kocke najvjerojatnije nije posebno zanimljiva jer se čini kao da smo beskrajno zakomplicirali jednostavnu činjenicu da okretanjem jedne strane kocke možemo dobiti samo četiri različita izgleda kocke. Nije li ono što nas zanima zapravo kombiniranje poteza izvršenih na različitim stranama kocke? Očito je da rješavanje kocke koja je poremećena okretanjem samo jedne strane spada u nezanimljivo lagane zadatke, a stvar postaje zanimljiva kad nam je kocka jako šarena. Ipak, gornje raspisivanje jednostavne situacije nije beskorisno: upravo zbog preglednosti i malog broja slučajeva koji se mogu desiti, okretanje samo jedne strane je pogodnije za objašnjenje pojma grupe, uvođenje nekih tipičnih načina razmišljanja, a uz to i ilustriranje pojma cikličke grupe.

U slučaju grupe C4 imamo i jedno dodatno svojstvo: nije bitan redoslijed izvođenja poteza (svejedno je okrenemo li jednu stranu prvo za 180° pa onda za 270° ili obrnuto) – uzastopno izvođenje poteza je komutativno dok se radi o potezima sa samo jednom stranom. Ukoliko kombiniramo poteze s različitim stranama kocke, lako vidimo da u većini slučajeva nemamo to lijepo svojstvo: kocka različito izgleda nakon FR, nego nakon RF. Nadalje, ako izvedemo potez XY (recimo FR tj. okrenuli smo prvo prednju, a onda desnu stranu za pravi kut) kocku ćemo u početno stanje vratiti tako ta prvo vratimo desnu stranu (potez R–1) pa zatim prednju (potez F–1).

1 Formalno, u definiciji grupe se zahtijeva i asocijativnost (X Y) Z = X (Y Z), no kako se u našem slučaju radi o ope-raciji koja je kompozicija funkcija, a kompozicija funkcija je uvijek asocijativna, ispustili smo to iz definicije kako bi bila kraća. Napomenimo da se asocijativnost izostavljala u doba kad su se grupe prvi put pojavile u matematici (prva polovina 19. st.: Galois, Cauchy idr.) jer su prve grupe koje su se promatrale sve od reda kao elemente imale funkcije. Tek kasnije je uočeno da se dodavanjem uvjeta asocijativnosti može proširiti upotrebljivost pojma grupe.

9


Stoga vrijedi formula (X Y)–1 = Y–1 X–1.

S druge strane, ako gledamo sve moguće poteze na kocki, lako bismo uočili da i dalje imamo svojstvo da niz poteza čini potez, imamo neutralni element (to je naš znanac I = „ništa ne raditi“) i svaki potez ima inverz (ako nam je potez bio niz osnovnih poteza XY...Z, onda ih samo treba provesti u obrnutom redoslijedu tj. trebamo izvesti potez Z–1...Y–1X–1). Dakle, skup svih mogućih poteza na Rubikovoj kocki čini grupu, samo ona nije komutativna (niti ciklička). Tu grupu ćemo zvati grupa Rubikove kocke i označiti ju s G. Sad je zgodno primijetiti dvije stvari:

• Grupa Rubikove kocke ima onoliko elemenata koliko različitih izgleda kockemožemo dobiti uzastopnim primjenama osnovnih poteza (može se kombinatorno pokazati, vidi npr. [1], da tih poteza odnosno izgleda kocke ima 8! · 37 · 12! · 210 = = 43 252 003 274 489 856 000 » 43 · 1018); kako se radi o jako velikom redu grupe, očito je da nam je šansa da nasumičnim okretanjem strana kocke riješimo kocku minimalna, praktički nepostojeća.

• Nekomutativnost grupeRubikove kocke je uzrok zanimljivosti igre sređivanjakocke. Naime, kad bi svaka dva poteza komutirala tj. kad ne bi bilo bitno kojim redom izvodimo poteze, rješavanje kocke tj. vraćanje u polazno stanje bilo bi trivijalno: samo bismo trebali prebrojati koliko puta smo ukupno izveli poteze na pojedinim stranama i svaku stranu odvrtiti do sljedećeg višekratnika od 4 (primjerice, da je kocka bila ispremiješana s ukupno 3 poteza F, 25 poteza B i 14 poteza R, da je grupa komutativna, kocka bi bila sređena ako izvedemo još 1 put F, 3 put B i 2 put R). Ovaj princip je najlakše ilustrirati na grupi C4. Ukoliko bi tko primijetio da kad je netko ispremiješao kocku obično ne znamo kojim potezima je to učinio pa da komutativnost ne bi ništa pomogla, odogovor je: da je grupa komutativna mogli bismo jednostavno iz položaja kockica (tj. njihovih boja) prebrojati koliko puta je koja strana okrenuta i opet to možemo ilustrirati na jednostavnoj grupi C4.

Podskupovi od G koji su poput C4 i sami grupe zovu se podgrupe. Primjerice, skup svih poteza koji se mogu dobiti izvođenjem zaokreta desne i gornje strane za 180° (tj. kombiniranjem poteza R2 i U2) je također grupa. U njoj se nalazi vrlo koristan potez (R2U2)3 koji zamijeni prednju i stražnju donju te prednju i stražnju desnu bridnu kockicu. Kojeg je reda taj potez?

Zadatak. Ispitajte koje sve izglede kocke možete dobiti kombiniranjem poteza R2L2,F2B2,U2B2. Kojeg reda je podgrupa grupe Rubikove kocke u kojoj su samo kombinacije tih triju poteza?

10

poučak 36

Komutatori i konjugiranje

Ključni pojmovi za rješavanje kocke su pojam komutatora i pojam konjugiranja. U oba slučaja radi se o netrivijalnim pojmovima iz teorije grupa koji se mogu lijepo ilustrirati pomoću Rubikove kocke te bi zasigurno i ponekom studentu matematike Rubikova kocka olakšala razumijevanje tih pojmova. Uz ta dva pojma potrebno je znati samo 10 poteza (uz očigledne) da bi se mogla riješiti svaki od 43 252 003 274 489 856 000 mogućih slučajeva. Dokaz da to funkcionira je naravno izvan razina školske matematike, ali pojmovi komutatora i konjugiranja mogu se na razumljiv način prenijeti svakoj zainteresiranoj osobi.

Komutator je kombinacija dvaju poteza na poseban način: izvede se jedan pa drugi i zatim prvi u obrnutom smjeru i na kraju obrnuti drugi. Recimo, okret pred-nje pa lijeve strane za pravi kut udesno pa zatim prednje pa lijeve strane za pravi kut ulijevo je komutator dva osnovna poteza F i L. On se označava s [F,L] i prema opisa-nom imamo [F,L] = FLF–1L–1. No, komutator se ne definira samo za osnovne poteze. Tako bi recimo komutator poteza X = FL i poteza Y=RL2 bio: izvedemo prvo FL pa RL2, dakle izveli smo XY= FLRL2. Zatim izvedemo obrnuti X tj. X–1 = (FL)–1 = L–1F–1 i na kraju obrnuti Y tj. Y–1 = (RL2)–1 = L2R–1 (koristili smo formulu i činjenicu da je inverz kvadrata osnovnog poteza on sam tj. formulu (X2)–1 = X2). Sve skupa imamo potez FLRL2L–1F–1L2R–1 i on je komutator od X i Y. Opća definicija komutatora je

[X,Y] = X Y X–1Y–1.

Naziv komutator potječe od činjenice da u slučaju da nije bitan redoslijed izvođenja poteza X i Y (primjerice, ako su oba iz C4), njihov komutator je jednak I i obrnuto: ako je komutator jednak I, onda je XY=YX.

U grupi Rubikove kocke dva komutatora su dobili posebna imena. To su Y-komutator i Z-komutator. Y-komutator je [F,R–1]=FR–1F–1R, a Z-komutator je [F,R]=FRF–1R–1. Izvedite ih na sređenoj kocki pa ćete vidjeti otkud im imena!

Koja korist od komutatora za rješavanje kocke? Komutatori se koriste kad s dva poteza XY možemo obaviti pola potrebnog posla, s tim da nam ta dva poteza imaju i neke neželjene nusefekte, pa njihovo vraćanje X–1Y–1 eliminira te nusefekte. Česti efekti koje želimo postići su zamjene dvije kockice (ako su to kockice a i b, njihovu zamjenu bilježimo s (a,b) i zovemo ju transpozicija ili 2-ciklus) ili tri kockice „kružno“ – to su tzv. 3-ciklusi kockica (tri kockice a,b,c želimo prerasporediti tako da a dođe na mjesto b, b ode na mjesto c, a c dođe na mjesto a; takav 3-ciklus označavamo s (a,b,c)). Analogno se definiraju 4-ciklusi.

Zadatak. Argumentirajte da je svaki potez koji rezultira 2-ciklusom reda 2, a svaki koji daje 3-ciklus je reda 3.

11


Preko veze s ciklusima, na Rubikovoj kocki se mogu analizirati i permutacije. Kao što je poznato, svaka permutacija je kompozicija ciklusâ. S druge strane, rezultat svakog poteza je određena permutacija kockica. Posljedica je da se Rubikova kocka može riješiti potezima koji rezultiraju ciklusima kockica. Nadalje, ako znamo da neki potez X napravi jedan 2-ciklus vršnih kockica i jedan 3-ciklus bridnih (i ništa drugo ne mijenja), budući su 2-ciklusi reda 2 i 3-ciklusi reda 3, slijedi da će dvaput zaredom izvedeni X rezultirati samo 3-ciklusom istih bridnih kockica na koje je djelovao sâm X, a triput zaredom izvedeni X kao rezultat će imati samo zamjenu vršnih kockica koje mijenja sâm X, a sve ostale kockice će ostati na mjestu.

Konkretno, komutatori se koriste za zakretanje vrhova kocke (imamo vrh na poziciji na kojoj ga želimo, ali su nam boje krivo raspoređene) i za postizanje 2-ciklusa i 3-ciklusa. Da bismo mogli dati upute za postizanje takvih efekata moramo uvesti dodatnu notaciju za vršne i bridne kockice (koja je također dio Singmasterove notacije). Za oznake kockica koriste se mala slova. Kad želimo označiti da se neki potez odnosi na neku bridnu kockicu, bilježimo njen trenutni položaj slovima koja označavaju strane kocke na kojima jest. Primjerice, bridnu kockicu koja je trenutno gore naprijed na sredini, tj. nalazi se na prednjoj i gornjoj strani naše Rubikove kocke, označavamo s fu. Kad želimo opisati vršnu kockicu, bilježimo sve tri strane koje povezuje, primjerice kockicu koja je naprijed dolje lijevo označavamo s fbl.

Primjer 1. Recimo da želimo napraviti 3-ciklus neka tri vrha koji su na istoj strani kocke. Postavimo kocku tako da su oni na stražnjoj strani i to tako da su dva gore, a treći je dolje desno (to je uvijek moguće, a smanjuje broj formula za rješavanje kocke jer bismo inače imali po jednu formulu za svaki mogući položaj takva tri vrha tj.

trebali bismo 6 ·

34

= 24 formule). Ako smo postavili kocku kako je opisano, želimo izvesti 3-ciklus

(fld, flu, fru)

tj. poslati stražnji desni donji vrh u stražnji desni gornji, stražnji desni gornji u stražnji lijevi gornji, a stražnji lijevi gornji u stražnji desni donji (ukoliko želimo napraviti ciklus u suprotnom smjeru dovoljno je ponoviti isti ovaj još jednom – zgodan zadatak je provjeriti da je 3-ciklus vrhova (a,b,c) isto što i dvaput provedeni 3-ciklus (c,b,a), a triput provedeni isti 3-ciklus vraća sve u polazno stanje). Naš 3-ciklus (fld,flu,fru) dobit ćemo komutatorom

[LDL–1,U] = LDL–1ULD–1L–1U–1.Najbolje je da efekt tog komutatora provjerite njegovom primjenom na sređenoj kocki!

12

poučak 36

Slika 3. Komutator [LDL–1,U].

Zgodno je znati sljedeće činjenice o komutatorima osnovnih poteza koji zahvaćaju susjedne strane (dakle, bilo koja dva osnovna poteza koji nisu na nasuprotnim stranama2): dvaput provedeni komutator takva dva poteza napravi 3-ciklus bridnih kockica i ne miče vrhove, a triput provedeni komutator zamjenjuje točno dva para vrhova i ne miče bridne kockice. U to se najlakše uvjerimo tako da na sređenoj kocki izvedemo prvo jednom, pa drugi put i na kraju treći put neki takav komutator, primjerice Z-komutator. Naravno, pritom trebamo paziti da ne okrenemo kocku.

Pri rješavanju kocke često je potrebno primijeniti serije poteza tipa X–1YX ili XYX–1. Takva serija pojavila se i u prethodnom primjeru (LDL–1). Radi se o potezu koji izvodimo tako da napravimo neki potez, zatim neki drugi i na kraju prvi potez obrnutim redoslijedom. Takvi nizovi poteza zovu se potezi dobiveni konjugiranjem poteza Y potezom X. Preciznije, konjugiranje poteza Y potezom X je potez X–1YX koji se označava s YX:

YX = X–1YX.Tako je recimo RU potez U–1RU (okret gornje strane za pravi kut u smjeru

obrnutom od kazaljke na satu, pa desne i zatim gornje za pravi kut u smjeru kazaljke

na satu). Kako vrijedi (X–1)–1 = X, potez LDL–1 možemo označiti i s 1−LD .

Korist od operacije konjugiranja je sljedeća: recimo da recimo da je Y neki potez koji za efekt ima 3-ciklus vrhova gornjeg sloja. Recimo nadalje da je X potez kojim se postiže da se 3 vrha koje zapravo želimo permutirati 3-ciklusom nađu na gornjem sloju. U tom slučaju će YX biti 3-ciklus željenih vrhova! Razlog je jednostavan: potezom X–1 vrhove na koje želimo utjecati dovodimo na pozicije za koje znamo koji efekt na njih ima potez Y, a nakon izvedenog Y ih X vraća na početne pozicije.

Primjer 2. Potez [R,U]3 zamjenjuje prednju desnu gornju s prednjom desnom donjom vršnom kockicom (2-ciklus (fru, frd)) i istovremeno stražnju gornju lijevu sa stražnjom gornjom desnom (2-ciklus (blu, bur)).

2 Osnovni potezi na nasuprotnim stranama uvijek komutiraju jer ne djeluju ni na koje dvije iste kockice.

13


Slika 4. Potez [R,U]3.

Potez B–1 na stražnju gornju lijevu poziciju dovodi stražnju donju lijevu (bld), a na stražnju gornju desnu dovodi stražnju gornju lijevu vršnu kockicu (blu). Konjugiramo li taj potez primjerice potezom B imat ćemo potez B–1[R,U]3 B, efekt će biti da smo zamijenili bld s blu (umjesto blu s bur) i fru i frd (to je isto kao i bez konjugacije s B jer B ne utječe na kockice s prednje strane).

Rješavanje kocke

Postoje razne strategije za rješavanje kocke, a ovdje ćemo opisati jednu od onih koje su uže vezane za grupu Rubikove kocke (radi se o kombinaciji metoda iz [6] i [7]). U prvom koraku dovedemo sve vršne kockice dovesti na prava mjesta i zatim ih pravilno zaokrenemo, a zatim dovedemo sve bridne na svoja mjesta i na kraju pravilno okrenemo one bridne kockice koje nisu u pravom položaju. Neki od opisanih poteza za dovođenje vršnih kockica na prava mjesta imaju i dodatne efekte, potezi za rotiranje vršnih kockica im više ne kvare pozicije, ali utječu na bridne kockice, potezi za dovođenje bridnih kockica na svoja mjesta ne utječu na vršne kockice i na položaje drugih bridnih, dok potezi za okretanje bridnih kockica nemaju nikakav drugi efekt osim navedenog u tablici. Oznaka + u tablici označava zakret u smjeru kazaljke na satu, a – u suprotnom smjeru.

Slijedi relativno kratak (ne i najkraći) popis poteza dovoljnih za rješavanje kocke (za vježbu, prvo raspišite poteze do kraja i pazite na pravilo za invertiranje poteza koji se sastoje od više osnovnih; također, preporučam da svaki od poteza prvo isprobate na sređenoj kocki kako biste vidjeli njegov efekt):

14

poučak 36

Što želimo? Konkretne pozicije i efekt poteza

Odgovarajući potez

Sređivanje pozicija vršnih kockica3–ciklus vršnih kockica na prednjoj strani

(fld, flu, fru) [LDL–1,U]

Zamjena dvije i dvije vršne kockice

(fru, frd) (bru, blu) [R,U]3

Zamjena pozicija dva susjedna vrha

(frd, fru) LDF(L–1)FD

Zakretanje vrhovaZakretanje dva susjedna vrha u suprotnim smjerovima

fru+ bru – D D UR F ,

Zakretanje četiri vrha jedne strane, po dva susjedna u jednom i drugom smjeru

fru+ bru+frd – brd – R B

D,[ ]( ) −2 1

Zakretanje četiri vrha jedne strane, po dva dijagonalno nasuprotna u jednom i drugom smjeru

fru+ brd+bru – frd – R R B R RB B− − − −( ) [ ] ( )1 1 1 1 2,

Zakretanje tri vrha jedne strane u istom smjeru

bru – frd – brd – R R B RB− − −( ) [ ]1 1 1 2,

Sređivanje pozicija bridnih kockica3–ciklus bridnih kockica jedne strane

(fu, fd, fl)LF L UR BL

2 1 22

( )( )−

Zamjena dvije i dvije nasuprotne bridne kockice na susjednim stranama

(fu, bu) (fr, br)

(R2U2)3

Zamjena dvije i dvije nasuprotne bridne kockice na jednoj strani

(fu, bu)(lu, ru) U U U UL F R− −( )( ) ( )1 2 2 1

Zamjena dvije i dvije susjedne bridne kockice na jednoj strani

(fu, ru)(lu, bu) F R L B

DR L2 2 2 22 2

( )( )Okretanje bridnih kockicaOkretanje dvije nasuprotne bridne kockice jedne strane

fu, buFR F R U RU RU B L

− − − −( ) ( )( )1 1 1 1

15


Nekoliko rečenica za kraj

Usprkos svoje apstraktnosti, teorija grupa primjenjuje se u mnogim znanstvenim disciplinama. Među najpoznatije primjene spada klasifikacija kristala obzirom na simetrije u 230 prostornih odnosno 32 točkine grupe, koja se koristi u kristalografiji i fizici čvrstog stanja, a dvodimenzionalne verzije takvih grupa simetrija pojavljuju se i u umjetnosti (Escher, islamska umjetnost). Bez teorije grupa ne bi funkcionirala ni moderna kvantna teorija, a mnogi matematički rezultati koje koristimo u svakodnevnijim primjenama (primjerice, osnovno računanje s realnim brojevima) temelje se na teoriji grupa. U zabavnoj matematici, osim vezano za Rubikovu kocku, teorija grupa pojavljuje se i uz neke druge manje poznate igre (pyraminx [6], 15-puzzle [5], idr.). Za razinu sveučilišne nastave matematike, Rubikova kocka je idealno pomagalo za bolje razumijevanje teorije grupa – u ovom članku opisane teme samo su „vrh ledenjaka“ (vidi [2], [3], [4], [6], [8]). Jedna zanimljivost koja se može naći u [6] i [8] je sljedeća: najveći red kojeg ima neki element grupe Rubikove kocke je 1260. Element tog reda je potez RU2D–1BD–1. To znači da ako znamo koji smo potez izveli, ukoliko ga stalno ponavljamo, nakon najviše 1260 izvedbi tog poteza kocka će biti u polaznom stanju!

Rubikova kocka i dalje može biti shvaćena samo kao igra, ali čak i oni rješavači te igre koji ne znaju matematičku pozadinu i koriste metode rješavanja drugačije od gore opisane (nisu sve metode rješavanja Rubikove kocke direktno povezane s teorijom grupe Rubikove kocke) razumiju jednu stvar: potrebna je sustavnost u pristupu rješavanju kocke. A nije li sustavnost neke metode zapravo matematika?

Literatura1. Wikipedia: Rubik’s Cube, http://en.wikipedia.org/wiki/Rubik’s_cube2. Daniel Bump: Mathematics of the Rubik’s Cube, http://match.stanford.edu/

bump/rubik.html3. Janet Chen: Group Theory and the Rubik’s Cube, http://www.math.harvard.

edu/~jjchen/docs/Group%20Theory%20and%20the%20Rubik’s%20Cube.pdf

4. Tom Davis: Group Theory via Rubik’s Cube, http://www.geometer.org/rubik/group.pdf

5. Chris Godbout: Group Theory and the 15 Puzzle, http://www.lehigh.edu/~crg6/15puzzle.pdf

6. David Joyner Adventures in Group Theory : Rubik’s Cube, Merlin’s Machine, and Other Mathematical Toys, The Johns Hopkins University Press, 2002.

7. Josef Trajber Der Würfel – Lösungswege, Falken-Verlag, 1981.8. Lecture Notes on the Mathematics of the Rubik’s Cube, http://www.

permutationpuzzles.org/rubik/webnotes/rubik_notes.html

16

poučak 36

Cayley-Dicksonova konstrukcijaDijana Ilišević1 i Marjeta Stoičić2

Što je broj? Odgovor na ovo pitanje najviše ovisi o tome kome je postavljeno. U školi se proučavaju brojevi raznih vrsta: za osnovnoškolca je najveći zamisliv skup brojeva obično skup svih realnih brojeva, a za srednjoškolca obično skup svih kompleksnih brojeva. Kompleksni brojevi su 2-dimenzionalno proširenje realnih brojeva (kompleksni broj z nastupa umjesto uredenog para (x, y) realnih brojeva) i imaju veliku primjenu u fizici. Međutim, pokazalo se da postoje važni fizikalni problemi za čije rješavanje nisu dovoljni niti kompleksni brojevi. Tako su se, na vrlo prirodan način, uveli kvaternioni (4-dimenzionalno proširenje realnih brojeva) i oktonioni (8-dimenzionalno proširenje realnih brojeva). O ovim se brojevima ne uči u školama – o njima se rijetko čuje čak i na fakultetima. Razloge je zanimljivo i duhovito opisao John C. Baez u [1]:

“The real numbers are the dependable breadwinner of the family, the complete ordered field we all rely on. The complex numbers are a slightly flashier but still respectable younger brother: not ordered, but algebraically complete. The quaternions, being noncommutative, are the eccentric cousin who is shunned at important family gatherings. But the octonions are the crazy old uncle nobody lets out of the attic: they are nonassociative.”; u prijevodu: “Realni brojevi su pouzdan hranitelj obitelji, potpuno uređeno polje na koje se svi oslanjamo. Kompleksni brojevi su nešto pomodniji, ali još uvijek poštovani mladi brat: nije ureden, ali je algebarski potpun. Kvaternioni su, obzirom da su nekomutativni, ekscentrični rodak kojeg se izbjegava na važnim obiteljskim okupljanjima. Međutim, oktonioni su luckasti stari ujak kojega nitko ne pušta iz potkrovlja: oni su neasocijativni.”

U ovom članku se opisuje konstrukcija kvaterniona i oktoniona oponašajući postupak konstrukcije kompleksnih brojeva iz realnih. Uz to se izvode i raspravljaju svojstva operacija na ovim strukturama. Namjera nam je razbiti, ili barem ublažiti, otpor prema strukturama koje nisu komutativne i/ili asocijativne i pokazati da su dovoljno i razumljive i zanimljive da bi zaslužile više pozornosti.

1 Dijana Ilišević - docentica na PMF-Matematičkom odjelu u Zagrebu2 Marjeta Stoičić - apsolventica na PMF-Matematičkom odjelu u Zagrebu

17

cayley-DIcksonova konstrukcIja

Realni brojevi

Na skupu R svih realnih brojeva definirane su dvije operacije, zbrajanje (+) i množenje ( · ), tj. za bilo koja dva elementa a, b ∈ R odredeni su a + b ∈ R i a · b ∈ R. Za zbrajanje i množenje vrijede sljedeći aksiomi:

A1. Zbrajanje je asocijativno tj. za sve a, b, c ∈ R vrijedi(a + b) + c = a + (b + c).

A2. Postoji nula tj. (jedinstven) element 0 ∈ R sa svojstvoma + 0 = 0 + a = a

za svaki a ∈ R.

A3. Za svaki a ∈ R postoji (jedinstven) suprotan element −a ∈ R takav da jea + (−a) = (−a) + a = 0.

A4. Zbrajanje je komutativno tj. za sve a, b ∈ R vrijedia + b = b + a.

A5. Množenje je asocijativno tj. za sve a, b, c ∈ R vrijedi(a · b) · c = a · (b · c).

A6. Postoji jedinica tj. (jedinstven) element 1 ∈ R takav da je 1 ≠ 0 i da za svaki a ∈ R vrijedi

a ·1 = 1 · a = a.

A7. Za svaki a ∈ R, a ≠ 0, postoji (jedinstven) recipročan element 1a

∈ R takav da je

a · 1a

= = 1a

· a = 1.

A8. Množenje je komutativno tj. za sve a, b ∈ R vrijedia · b = b · a.

A9. Množenje je distributivno prema zbrajanju:a · (b + c) = a · b + a · c

za sve a, b, c ∈ R.

Skup R je uređen, tj. elementi skupa R mogu se međusobno uspoređivati. Za uređaj (≤) vrijede ovi aksiomi:

A10. Za sve a, b ∈ R je a ≤ b ili b ≤ a.

18

poučak 36

A11. Uređaj je tranzitivan, tj. za sve a, b ∈ R iz a ≤ b i b ≤ a slijedi a = b.

A12. Uređaj je tranzitivan: za sve a, b, c ∈ R, a ≤ b i b ≤ c povlači a ≤ c.

A13. Uređaj je usklađen sa zbrajanjem: za sve a, b ∈ R iz a ≤ b slijedi a + c ≤ b + c za svaki c ∈ R.

A14. Uređaj je usklađen s množenjem: za sve a, b ∈ R iz 0 ≤ a i 0 ≤ b slijedi 0 ≤ a · b.

Iz navedenih aksioma slijede još neka svojstva koja ćemo koristiti. Najprije,aksiomi A8 i A9 povlače da za sve a, b, c ∈ R vrijedi

(a + b) · c = a · c + b · c.

Vrijedi i a · 0 = 0 · a = 0 za svaki a ∈ R. Naime, iz A2, A3, A6, A1 i A9 slijedia · 0 = a · 0 + 0 = a · 0 + (a + (−a)) = a · 0 + (a ·1 + (−a))

= (a · 0 + a · 1) + (−a) = a · (0 + 1) + (−a) = a · 1 + (−a) = a + (−a) = 0.

Nadalje, zbog aksioma A6, A9 i A3, imamoa + (−1) · a = 1· a + (−1) · a = (1 + (−1)) · a = 0 · a = 0

odakle zbog jedinstvenosti suprotnog elementa slijedi −a = (−1) · a za svaki a ∈ R. Također, zbog jedinstvenosti suprotnog elementa,

(− (−a)) + (−a) = (−a) + (− (−a)) = 0povlači −(−a) = a za svaki a ∈ R.

Zatim, prema dokazanom i aksiomima A5 i A8,a · (−b) = a · ((−1) · b) = (a · (−1)) · b

= ((−1) · a) · b = (−1) · (a · b) = −(a · b)za sve a, b ∈ R, pa je

(−a) · (−b) = ((−1) · a) · (−b) = (−1) · (a · (−b)) = (−1) · (− (a · b)) = −(− (a · b)) = a · b

za sve a, b ∈ R.

Uočimo da je −0 = 0 : prema A2, A1 i A3 vrijedia + (−0) = (a + (−0)) + 0 = a + ((−0) + 0) = a + 0 = a

za svaki a ∈ R, pa tvrdnja slijedi iz jedinstvenosti nule.

Ako je a ∈ R takav da je a = −a, tada je a = 0. Naime, zbog A10 je a ≤ 0 ili 0 ≤ a. Ako je a ≤ 0, tada je (zbog A13)

0 = a + (−a) ≤ 0 + (−a) = −a = a,

19

pa A11 povlači a = 0; a ako je 0 ≤ a, tada jea = −a = (−a) + 0 ≤ (−a) + a = 0,

pa ponovno zaključujemo da je a = 0.

Pretpostavimo da su a, b ∈ R takvi da je a · b = 0. Ako je a ≠ 0, tada postoji 1a

, pa zbog A6, A7 i A5 imamo

b = 1 · b = 1 aa

⋅

· b = 1a

· (a · b) = 1a

· 0 = 0.

Dakle, a · b = 0 povlači a = 0 ili b = 0.

Iz A14 slijedi 0 ≤ a2 za svaki a ∈ R. Naime, za svaki a ∈ R je 0 ≤ a ili a ≤ 0. Ako je 0 ≤ a, tada prema A14 vrijedi 0 ≤ a · a = a2. Ako je a ≤ 0, tada je

0 = (−a) + a ≤ (−a) + 0 = −a, pa A14 povlači 0 ≤ (−a) · (−a) = a2.

Ako je a ∈ R takav da je a2 = 0, tada je a = 0: pretpostavimo li da je a ≠ 0, tada

postoji 1a

, pa je

a = 1 · a = 1 aa

⋅

· a = 1a

· a2 = 1a

· 0 = 0,

suprotno pretpostavci. Slijedi tvrdnja.

Ako su a, b ∈ R takvi da je a2 + b2 = 0, tada je a = b = 0 : kako je 0 ≤ b2, to zbog A13 vrijedi a2 ≤ a2 + b2 = 0; no 0 ≤ a2, pa A10 povlači a2 = 0 i konačno je a = 0, a stoga i b = 0. Analogno se može dokazati da iz 2 2 2

1 2 0na a a+ + + = (a1, a2, . . . ,an ∈ R) slijedi a1 = a2 = · · · = an = 0.

Kompleksni brojevi

Kompleksnom broju a + bi možemo pridružiti uređeni par (a, b) realnih brojeva i obratno, uređenom paru (a, b) realnih brojeva možemo pridružiti kompleksni broj a + bi. Dakle, svaki kompleksni broj je potpuno određen s dva realna broja. Stoga skup C svih kompleksnih brojeva identificiramo sa skupom R × R, pa je uobičajeno zbrajanje kompleksnih brojeva dano formulom:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (1)

za sve a, b, c, d ∈ R, uobičajeno množenje sa:

(a, b) · (c, d) = (a · c − d · b, a · d + c · b) (2)

za sve a, b, c, d ∈ R, a konjugiranje sa:


20

poučak 36

( , )a b = (a,−b) (3)za sve a, b ∈ R.

Kako zbog asocijativnosti zbrajanja realnih brojeva za sve a, b, c, d, e, f ∈ R vrijedi

((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = ((a + c) + e, (b + d) + f) = (a + (c + e), b + (d + f))

= (a, b) + (c + e, d + f) = (a, b) + ((c, d) + (e, f)),

to je zbrajanje kompleksnih brojeva asocijativno.

Komutativnost zbrajanja realnih brojeva povlači

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)

za sve a, b, c, d ∈ R, pa je zbrajanje kompleksnih brojeva komutativno.

Iz definicije zbrajanja u C je jasno da je nula u C element (0, 0) te da je element suprotan (a, b) jednak (−a,−b).

Provjerimo asocijativnost množenja. Za sve a, b, c, d, e, f ∈ R, zbog distributivnosti množenja prema zbrajanju, vrijedi

((a, b) · (c, d)) · (e, f) = (a · c − d · b, a · d + c · b) · (e, f)= ((a · c) · e − (d · b) · e − f · (a · d) − f · (c · b), (a · c) · f − (d · b) · f + e · (a · d) + e · (c · b)),

(a, b) · ((c, d) · (e, f)) = (a, b) · (c · e − f · d, c · f + e · d)= (a · (c · e) − a · (f · d) − (c · f) · b − (e · d) · b, a · (c · f) + a · (e · d) + (c · e) · b − (f · d) · b).

Sada iz asocijativnosti i komutativnosti množenja realnih brojeva slijedi asocijativnost množenja kompleksnih brojeva.

Komutativnost množenja kompleksnih brojeva slijedi iz komutativnosti množenja i zbrajanja realnih brojeva:

(a, b) · (c, d) = (a · c − d · b, a · d + c · b) = (c · a − b · d, c · b + d · a) = (c, d) · (a, b).

za sve a, b, c, d ∈ R.

Ako su a, b, c, d ∈ R takvi da je (a, b) · (c, d) = 0, tada je

a · c − d · b = 0 i a · d + c · b = 0. Slijedi

0 = a · 0 = a · (a · d + c · b) = (a · a) · d + (a · c) · b =

= a2 · d + (d · b) · b = a2 · d + b2 · d = (a2 + b2) · d.

21

Ako je d ≠ 0, tada je a2 + b2 = 0, pa je a = b = 0; ako je d = 0 i bar jedan od a i b različit od nule, tada je c = 0. Dakle, ako su x, y ∈ C takvi da je x · y = 0, tada je x = 0 ili y = 0.

Jedinica u C je element (1, 0) jer je, za sve a, b ∈ R,

(a, b) · (1, 0) = (a · 1 − 0 · b, a · 0 + 1 · b) = (a, b),

a za svaki (a, b) ≠ (0, 0) je a2 + b2 ≠ 0 i recipročan element mu je jednak

2 2 2 21 1,a b

a b a b ⋅ − ⋅ + +

:

2 2 2 21 1( , ) ,a b a b

a b a b ⋅ ⋅ − ⋅ = + +

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1,a a b b a b a b

a b a b a b a b ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + + + +

= (1, 0).

Pretpostavimo da za neki x ∈ C, x ≠ 0, postoje međusobno različiti y, z ∈ C sa svojstvom x · y = y · x = 1 i x · z = z · x = 1. Tada asocijativnost povlači

y = y ·1 = y · (x · z) = (y · x) · z = 1· z = z;

što je kontradikcija. Slijedi jedinstvenost recipročnog elementa.

Nadalje, množenje kompleksnih brojeva je distributivno prema zbrajanju jer za sve a, b, c, d, e, f ∈ R imamo

(a, b) · ((c, d) + (e, f)) = (a, b) · (c + e, d + f)= (a · c + a · e − d · b − f · b, a · d + a · f + c · b + e · b)= (a · c − d · b, a · d + c · b) + (a · e − f · b, a · f + e · b)

= (a, b) · (c, d) + (a, b) · (e, f).

Zbog komutativnosti množenja kompleksnih brojeva za sve a, b, c, d, e, f ∈R vrijedi i

((a, b) + (c, d)) · (e, f) = (a, b) · (e, f) + (c, d) · (e, f).Imamo:

(a, b) · (0,0) = (a · 0 − 0 · b, a · 0 + 0 · b) = (0, 0)

za sve a, b ∈ R, odnosno x · 0 = 0 · x = 0 za svaki x ∈ C.

Za sve a, b, c, d ∈ R je

( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d+ = + + = (a + c,−b − d) =

= (a,−b) + (c,−d) = ( , ) ( , )a b c d+ ,

pa je x + y = x + y za sve x, y ∈ C.


22

poučak 36

Za sve x, y ∈ C vrijedi i x y x y⋅ = ⋅ . Naime, za sve a, b, c, d ∈ R imamo

( , ) ( , )a b c d⋅ = (a · c − d · b,−a · d − c · b) =

= (a,−b) · (c,−d) = ( , ) ( , )a b c d⋅ .

Posebno, ako je x ≠ 0 i ako stavimo da je y recipročan broju x, zaključujemo da je broj y recipročan broju x .

Kako za sve realne brojeve a i b vrijedi

(a, b) · ( , )a b = (a, b) · (a,−b) = (a2 + b2, 0) ∈ R,

to je x · x = x · x ∈ R za svaki x ∈ C.

Nadalje, za sve kompleksne brojeve x1 = (a1, b1), x2 = (a2, b2), . . ., xn = (an, bn) vrijedi

1 1 2 2 n nx x x x x x⋅ + ⋅ + + ⋅ = (a12 + b1

2 + a22 + b2

2 + · · · + an2 + bn

2, 0),

pa je 1 1 2 2 n nx x x x x x⋅ + ⋅ + + ⋅ = 0 ako i samo ako je x1 = x2 = · · · = xn = 0.

Uočimo da je ( , )a b = (a, b) ako i samo ako je b = −b, a to je ako i samo ako je b = 0, tj. kompleksni broj je konjugiran sam sebi ako i samo ako je realan (skup R identificiramo sa R × {0}). Također,

( , ) ( , )a b a b= − = (a, b)

za sve a, b ∈ R, tj. x = x za svaki x ∈ C. Nadalje, za svaki x ∈C je x + x ∈R jer je

(a, b) + ( , )a b = (a, b) + (a,−b) = (2a, 0)za sve a, b ∈ R.

Označimo li i = (0, 1), tada je i2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0), a također i i = (0,−1) = −(0, 1) = −i.

Hamilton3 je prvi uočio kako se s kompleksnim brojevima može postupati kao s uređenim parovima realnih brojeva. Veza između kompleksnih brojeva i ravninske geometrije potakla ga je na istraživanja koja su dovela do otkrića kvaterniona 1843. godine.

Kompleksni brojevi veliku primjenu nalaze u fizici i inženjerstvu.

3 Sir William Rowan Hamilton (1805.-1865.), irski matematičar i fizičar

23

Kvaternioni

Sada umjesto skupa R × R promotrimo skup C × C svih uređenih parova kompleksnih brojeva. Na C × C definirajmo zbrajanje sa (1), a množenje sa:

(a, b) · (c, d) = (a · c − d · b , a · d + c · b) (4)

za sve a, b, c, d ∈ C. Formula (4) je analogna formuli (2), ali s nekoliko ubačenih konjugacija. Ako su a, b ∈ R, formula (4) postaje (2). Na C × C definirajmo i konjugiranje sa:

( ),a b = ( a ,−b) (5)

za sve a, b ∈ C.

Također, ako su a, b ∈ R, formula (5) postaje (3).

Opisanim postupkom konstruirali smo kvaternione. Ime su dobili po tome što je svaki kvaternion odreden s četiri realna broja (naime, svaki kvaternion je određen s dva kompleksna broja, a svaki kompleksni broj s dva realna). Skup svih kvaterniona se označava sa H (po Hamiltonu). Identificiramo li C sa C × {0}, tada je C ⊂ H.

Kao i za kompleksne brojeve, nije teško provjeriti da je zbrajanje kvaterniona asocijativno i komutativno. Nula u H je element (0, 0), gdje je 0 nula u C, a element suprotan (a, b) je jednak (−a,−b). Vrijedi:

(a, b) · (0, 0) = (a · 0 − 0 · b , a · 0 + 0 · b) = (0, 0)

za sve a, b ∈ C, odnosno x · 0 = 0 · x = 0 za svaki x ∈ H.

Uočimo da množenje kvaterniona nije komutativno jer je (0, i) · (i, 0) = (0,−1), ali (i, 0) · (0, i) = (0, 1). Primijetimo da je, za sve a ∈ R i sve b, c ∈ C,

(a, 0) · (b, c) = (a · b, a · c) = (b · a, a · c) = (b, c) · (a, 0),

pa je x · y = y · x za svaki x ∈ R i svaki y ∈ H (dakle, realni brojevi komutiraju s kvaternionima). Nadalje, za sve a, b ∈ C je

(a, b) · ( ),a b = (a, b) · ( a ,−b) =

= (a · a + b · b ,− a · b + a · b) = (a · a + b · b , 0), ( ),a b · (a, b) == ( a ,−b) · (a, b) = ( a · a + b · b , a · b + a · (−b)) = (a · a + b · b , 0).


24

poučak 36

Kako je a · a ∈ R i b · b ∈ R, to je (a, b) · ( ),a b = ( ),a b · (a, b) ∈ R tj. x · x = x · x ∈ R za svaki x ∈ H. Za sve kvaternione x = (a, b) i y = (c, d)

vrijedi x · x + y · y = (a · a + b · b + c · c + d · d , 0),

pa je x · x + y · y = 0 ako i samo ako je x = y = 0.

Vrijedi( , ) ( , )a b a b= − = (a, b)

za sve a, b ∈ C, odnosno x = x za svaki x ∈ H. Također, za sve a, b ∈ C je

(a, b) + ( ),a b = (a, b) + ( a ,−b) = (a + a , 0) ∈ R

jer je a + a ∈ R, pa je x + x ∈ R za svaki x ∈ H.

Ako su a, b, c, d ∈ C takvi da je (a, b) · (c, d) = 0, tada je a · c − d · b = 0 ia · d + c · b = 0, pa imamo

0 = a · 0 = a · ( a · d + c · b) = (a · a ) · d + (a · c) · b= (a · a ) · d + (d · b ) · b = (a · a ) · d + (b · b ) · d = (a · a + b · b ) · d.

Ako je d ≠ 0, tada je a · a + b · b = 0 i stoga a = b = 0; ako je d = 0 i bar jedan od a i b različit od nule, tada je c = 0. Prema tome, ako su x, y ∈ H takvi da je x · y = 0, tada je x = 0 ili y = 0.

Provjerimo asocijativnost množenja. Za sve a, b, c, d, e, f ∈ C,((a, b) · (c, d)) · (e, f) = (a · c − d · b , a · d + c · b) · (e, f) =

= ((a · c) · e − (d · b) · e − f · (a · d) − f · (c · b), (a · c) · f − (d · b) · f + e · (a · d) + e · (c · b)),

(a, b) · ((c, d) · (e, f)) = (a, b) · (c · e − f · d , c · f + e · d) = = (a · (c · e) − a · (f · d) − (c · f) · b − (e · d) · b, a · (c · f) + a · (e · d) + (c · e) · b − (f · d) · b),

pri čemu smo koristili da je x y⋅ = x · y za sve x, y ∈ C, x = x za svaki x ∈ C, kao i distributivnost množenja prema zbrajanju u C. Asocijativnost množenja u H sada slijedi iz asocijativnosti i komutativnosti množenja u C.

Jedinica u H je element (1, 0), gdje je 1 jedinica u C, a 0 nula u C. Za svaki kvaternion (a, b) ≠ (0, 0) je a · a + b · b ≠ 0 i recipročan mu je element

jednak 1 1,a ba a b b a a b b

⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ :

25

(a, b) · 1 1,a ba a b b a a b b

⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =

= 1 1 1 1,a a b b a b a ba a b b a a b b a a b b a a b b

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = (1, 0),

1 1,a ba a b b a a b b

⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ · (a, b) =

= 1 1 1 1,a a b b a b a ba a b b a a b b a a b b a a b b

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = (1, 0).


Kao i kod kompleksnih brojeva, jedinstvenost recipročnog elementa slijedi iz asocijativnosti množenja kvaterniona.

Množenje u H je distributivno prema zbrajanju u H jer za sve kompleksne brojeve a, b, c, d, e, f vrijedi:

(a, b) · ((c, d) + (e, f)) = (a, b) · (c + e, d + f) = = (a · (c + e) − (d + f) · b, a · (d + f) + (c + e) · b) =

= (a · c + a · e − d · b − f · b, a · d + a · f + c · b + e · b) == (a · c − d · b, a · d + c · b) + (a · e − f · b, a · f + e · b)

= (a, b) · (c, d) + (a, b) · (e, f).

Obzirom da množenje u H nije komutativno, odatle izravno ne slijedi da za sve kompleksne brojeve a, b, c, d, e, f vrijedi i

((a, b) + (c, d)) · (e, f) = (a, b) · (e, f) + (c, d) · (e, f),

već se u to treba uvjeriti analognim računom.

Ako su a, b, c, d ∈C, tada je

( , ) ( , )a b c d+ = ( , )a c b d+ + = ( a + c ,−b − d) =

= ( a ,−b) + ( c ,−d) = ( , ) ( , )a b c d+

odakle slijedi x y x y+ = + za sve x, y ∈ H; također je

( , ) ( , )a b c d⋅ = ( a · c − d · b,− a · d − c · b) = = ( c · a − b · d ,−c · b − a · d) =

= ( c ,−d) · ( a ,−b) = ( , ) ( , )a b c d⋅ ,

pa je x y x y⋅ = ⋅ za sve x, y ∈ H (množenje kvaterniona nije komutativno!).

26

poučak 36

Hamilton je kvaternione proučavao do kraja života, a nakon njegove smrti su istraživanja, s naglaskom na primjenu kvaterniona u fizici, nastavili drugi matematičari. Međutim, razvojem vektora kvaternioni gube svoj značaj i više ga nikada u potpunosti ne uspijevaju vratiti.

Kvaternioni se danas primjenjuju u računalnoj grafici, obradi signala, teoriji kodiranja, navigacijskim sustavima, . . .

Oktonioni

U sljedećem koraku promatramo skup H × H kojeg opskrbimo zbrajanjem, množenjem i konjugiranjem također pomoću formula (1), (4) i (5), s tim što ulogu kompleksnih brojeva sada preuzimaju kvaternioni. Tako dolazimo do oktoniona. Svaki oktonion je određen s osam realnih brojeva obzirom da je određen s dva kvaterniona, a svaki kvaternion s četiri realna broja. Skup svih oktoniona se označava s O. Obzirom da množenje kvaterniona nije komutativno, redoslijed faktora u formuli (4) postaje bitan. Uz identifikaciju H sa H × {0}, vrijedi H ⊂ O.

Kao i ranije, nije teško provjeriti da je zbrajanje oktoniona asocijativno i komutativno, da je nula u O element (0, 0), gdje je 0 nula u H, te da je suprotan element elementa (a, b), gdje su a, b ∈ H, jednak (−a,−b).

Ako su a, b, c, d ∈ H takvi da je (a, b) · (c, d) = 0, tada je a · c − d · b = 0 ia · d + c · b = 0. Slijedi

0 = a · 0 = a · ( a · d + c · b) = (a · a ) · d + (a · c) · b= (a · a ) · d + (d · b ) · b = (a · a ) · d + d · ( b · b)

= (a · a ) · d + (b · b ) · d = (a · a + b · b ) · d,

pri čemu smo koristili da je b · b = b · b ∈ R i da realni brojevi komutiraju s kvaternionima. Ako je d ≠ 0, tada je a · a + b · b = 0, pa je a = b = 0; ako je d = 0 i bar jedan od a i b različit od nule, tada je c = 0. Dakle, ako su x, y ∈ O takvi da je x · y = 0, tada je x = 0 ili y = 0.

Uočimo da množenje oktoniona nije asocijativno. Naime, ako su a, c, e jednaki nuli u H, a b jedinici u H, tada je za sve d, f ∈ H :

((a, b) · (c, d)) · (e, f) = (−d, 0) · (0, f) = (0, − d · f),(a, b) · ((c, d) · (e, f)) = (0, 1) · (−f · d , 0) = (0, −f · d ).

Kada bi množenje oktoniona bilo asocijativno, vrijedilo bi d · f = f · d za sve f, d ∈ H, odnosno x · y = y · x za sve x, y ∈ H. Dakle, množenje kvaterniona bi bilo komutativno; kontradikcija. Međutim, za sve x, y ∈ O vrijedi

(x · x) · y = x · (x · y) i y · (x · x) = (y · x) · x.

27

Ovo se svojstvo množenja naziva alternativnost. Slabije je od asocijativnosti, ali mu je za neke račune ipak dovoljno blisko da ga može uspješno zamijeniti. Dokažimo to svojstvo. Za sve a, b, c, d, e, f ∈ H imamo:

((a, b) · (a, b)) · (c, d) = (a · a − b · b , a · b + a · b) · (c, d) == ((a · a) · c − (b · b ) · c − d · ( b · a) − d · ( b · a ), ( a · a ) · d − (b · b ) · d + c · ( a · b) + c · (a · b)),

(a, b) · ((a, b) · (c, d)) = (a, b) · (a · c − d · b , a · d + c · b) == (a · (a · c) − a · (d · b ) − ( a · d) · b − (c · b) · b , a · ( a · d) + a · (c · b) + (a · c) · b − (d · b ) · b).

Jednakost sada slijedi iz asocijativnosti množenja kvaterniona, distributivnosti množenja prema zbrajanju, kao i iz činjenice da je x + x ∈ R i x · x = x · x ∈ R za svaki x ∈ H te da realni brojevi komutiraju s kvaternionima; naime,

(b · b ) · c = c · (b · b ) = (c · b) · b ,

d · ( b · a) + d · ( b · a ) = (d · b ) · a + (d · b ) · a == (d · b ) · (a + a ) = (a + a ) · (d · b ) = a · (d · b ) + ( a · d) · b ,

(b · b ) · d = d · (b · b ) = d · ( b · b) = (d · b ) · b,

c · ( a · b) + c · (a · b) = (c · a ) · b + (c · a) · b = = (c · a + c · a) · b = (c · ( a + a)) · b =

= (( a + a) · c) · b = ( a + a) · (c · b) = a · (c · b) + (a · c) · b.

Analogno bi se dokazalo i da je

(c, d) · ((a, b) · (a, b)) = ((c, d) · (a, b)) · (a, b)

za sve a, b, c, d ∈ H.

Jedinica za množenje u O je (1, 0), gdje je 1 jedinica u H, a 0 nula u H. Za svaki oktonion (a, b) ≠ (0, 0) vrijedi a · a + b · b ≠ 0 i njegov recipročan element je jednak

1 1,a ba a b b a a b b

⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ , što se provjeri kao i kod kvaterniona, uzimajući

u obzir da je x · x = x · x ∈ R za svaki x ∈ H te da realni brojevi komutiraju s kvaternionima. Obzirom da množenje oktoniona nije asocijativno, u dokazu jedinstvenosti recipročnog elementa nije moguće primijeniti istu tehniku kao kod


28

poučak 36

kompleksnih brojeva i kvaterniona. Stoga ćemo koristiti činjenicu da iz x · y = 0, gdje su x, y ∈ O, slijedi x = 0 ili y = 0: ako je x ∈ O, x ≠ 0, takav da postoje međusobno različiti u, v ∈ O sa svojstvom x · u = u · x = 1 i x · v = v · x = 1, tada za y = u − v ∈ O vrijedi x · y = y · x = 0, pa je y = 0 i konačno u = v, suprotno pretpostavci.

Kao i za kvaternione, tako i za oktonione nije teško provjeriti distributivnost množenja prema zbrajanju. Oktonione je otkrio Hamiltonov prijatelj Graves4 1843., iste godine kada je Hamilton otkrio kvaternione, motiviran upravo njegovom idejom. Hamilton je Gravesu ponudio objavljivanje njegovih otkrića, ali je to odgadao zaokupljen radom na kvaternionima. Međutim, u međuvremenu je, 1845. godine, Cayley5 objavio jedan rad u kojem je ukratko opisao i oktonione. Iako se Hamilton zalagao da se otkriće oktoniona zasluženo pripiše Gravesu, već je bilo kasno: oktonioni su postali poznati kao Cayleyjevi brojevi. Prvi pokušaji primjene oktoniona u fizici imali su vrlo malo uspjeha, ali do danas se došlo do nekih obećavajućih rezultata. Oktonioni su važni i za povezivanje nekih algebarskih struktura (posebno u kontekstu Liejevih i Jordanovih algebri), a povezani su i s geometrijom, kao i s topologijom.

I tako dalje

Opisani postupak naziva se Cayley-Dicksonova6 konstrukcija. Na neki način se radi o postupku udvostručenja obzirom da, počevši od R, u svakom koraku sa A prelazimo na A × A te definiramo zbrajanje, množenje i konjugiranje formulama (1), (4) i (5) preko odgovarajućih operacija na A.

Tako dolazimo do niza R ⊂ C ⊂ H ⊂ O ⊂ . . .

Postupak možemo nastaviti u beskonačnost, ali dobivamo sve siromašnije strukture. Najprije se gubi činjenica da je svaki element konjugiran sam sebi (prelazak sa R na C), zatim komutativnost množenja (prelazak sa C na H) i asocijativnost množenja (prelazak sa H na O). Strukture dobivene u sljedećim koracima zbog nedostatka dovoljno lijepih svojstava imaju vrlo ograničenu primjenu.

Kvaternioni i oktonioni su odigrali važnu ulogu u radanju nekomutativne odnosno neasocijativne algebre.

4 John Thomas Graves (1806.-1870.), irski matematičar i pravnik5Arthur Cayley (1821.-1895.), engleski matematičar6 Leonard Eugene Dickson (1874.-1954.), američki matematičar

29

Literatura

1. J. C. Baez, The octonions, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39 (2002), 145–205.

2. J. H. Conway and D. A. Smith, On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, AK Peters, Ltd., Natick, 2003.

3. W. R. Hamilton, On quaternions, Proceedings of the Royal Irish Academy 3 (1847), pp. 1–16.

4. S. Kurepa, Matematička analiza, Prvi dio - diferenciranje i integriranje, Tehnička knjiga, Zagreb, 1984.

5. D. W. Lewis, Quaternion algebras and the algebraic legacy of Hamilton’s quaternions, Irish Math. Soc. Bull. 57 (2006), 41–64.

6. R. D. Schafer, An Introduction to Nonassociative Algebras, Academic Press, New York–London, 1966.

7. B. Zalar, Strukturna algebra za podiplomce in nespecialiste, DMFA– Založništvo, Ljubljana, 2002.

8. B. Zalar, O oktonionih, Obzornik Mat. Fiz. 39 (1992), 43–48.


30

poučak 36

Modalna logika i Fittingova nomenklatura

Ivan Matić*

Tijekom dvadesetog stoljeća dolazi do velike revolucije u logici. Primjenom različitih matematičkih tehnika, nove teorije su razvijene od strane Fregea, Russella i drugih. Njihove teorije se danas obično nazivaju klasičnom logikom, onom koja se obrađuje u prvim, standardnim kursevima matematičke logike. Naravno, ne u onom obliku koji su dali Frege i Russel, već u obliku koji je u međuvremenu isprofiliralo nekoliko generacija matematičara. No, u poslijednjih četrdesetak godina logika počinje sezati u različita interesantna područja: intuicionizam, kondicionalnu logiku, kvantnu logiku, “fuzzy” logiku, modalnu logiku itd. Sve te logike su ili dodaci klasičnoj logici, ili ju zamjenjuju kada je to potrebno, a nazivaju se neklasičnim logikama.

Osnovna ideja je prilagoditi metode razvijene u klasičnoj logici kako bi bile pogodne za korištenje i u neklasičnim logikama. U čitavom nizu različitih metoda korištenih u klasičnoj logici, posebno su zanimljivi načini ispitivanja valjanosti formula. Jedna od najstandardnijih je metoda semantičkih stabala. Cilj nam je opisati njezino korištenje u modalnoj logici.

Nakon uvoda u modalnu logiku i opisa prilagođene metode, popraćenog brojnim primjerima, detaljno dokazujemo njene osnovne (i važne) značajke - korektnost i potpunost. Korektnost metode znači da je rečenica koju metoda okarakterizira istinitom zaista istinita. Potpunost govori obratno: ako je rečenica istinita, metoda će ju takvom i okarakterizirati. Naravno, kada za metodu semantičkih stabala ne bi vrijedila korektnost ili potpunost, metodu ne bismo mogli smatrati zadovoljavajućom.

Modalna logika

Tvrdnju “Djed Mraz postoji.” možemo izraziti u klasičnoj logici i vjerujem kako će se svi čitatelji složiti da ćemo ovu tvrdnju smatrati lažnom. Prednost ove tvrdnje je u tome što nemamo nikakih nesigurnosti oko postojanja Djeda Mraza pa je ona posve pogodna i za klasičnu logiku. No, odmaknemo li se malo dalje od simpatičnog djedice koji djeci raznosi poklone, mogu se iznenada pojaviti i neki problemi.

* Ivan Matić – Odjel za matematiku Sveučilišta J. J. Strossmayera, Osijek

31

moDalna loGIka I FIttInGova nomenklatura

Naime, za tvrdnje o određenim mističnim stvorenjima iz novijeg doba nismo u mogućnosti tvrditi da su odgovarajuće. Prije nekoliko dana na zadnjoj sam stranici jednih dnevnih novina naišao na članak u kojem se detaljno opisuje kako su stanovnici određenog dijela škotske potreseni što se Nessi, legendarno čudovište iz jezera Loch Ness, već dulje vrijeme ne pojavljuje u javnosti. No, kako napomenuto jezero nije pod stalnim nadzorom, moguće je da se Nessi pojavljuje po noći, po magli ili po lošem vremenu, ne bi li izbjegla poglede znatiželjnika. A da bi njeno pojavljivanje uopće bilo moguće, Nessi nužno mora postojati.

Naravno, možemo se odmaknuti i dalje od granica Škotske, mistična bića privlače turiste i okupljaju klubove svojih obožavatelja diljem svijeta. Tu se ističu Jeti (himalajska verzija strašnog snježnog čovjeka) im njegova američka verzija Bigfoot ili Sasquatch, šumsko stvorenje golemih udova obraslo dugom dlakom. Netko bi mogao dati jednu od sljedećih razumnih tvrdnji: “Nije moguće da Jeti postoji, u to sam prilično siguran.”, “Moguće je da Jeti postoji.” ili “Moguće je da Jeti postoji, no nije nužno.”

Tvrdnje prethodih oblika, koje uz klasičnu tvrdnju vežu i različite kombinacije mogućnosti i nužnosti, nisu izrazive u klasičnoj logici, ali u modalnoj logici jesu. Osim istinosnih veznika, u modalnoj logici postoje i modalni operatori i à , koje definiramo na sljedeći način:

àA znači A je mogućeA znači A je nužno

Ako je A formula, tada su i àA i A formule.

Na primjer, označimo “Jeti postoji.” s A, odnosno “Jeti ne postoji.” s B. Tada vrijede sljedeće interpretacije:

àA znači “Moguće je da Jeti postoji.”A znači “Jeti nužno postoji.”àB znači “Moguće je da Jeti ne postoji.”B znači “Jeti nužno ne postoji.”

Svoj stav o tome postoji li Jeti ili ne, netko neopredijeljen bi vjerojatno izrazio kao àA Ù àB, tj. “Moguće je da Jeti postoji i moguće je da Jeti ne postoji”; ili možda kao A Ú B, tj. “Jeti nužno postoji ili Jeti nužno ne postoji”. Kao što možemo primijetiti, iako ne bi rekao ništa određeno, bio bi potpuno u pravu.

Slično, tvrdnja “Ako Jeti postoji tada nije moguće da Jeti ne postoji.” je oblika A ®Ø àB, dok je tvrdnja “Jeti postoji ako i samo ako Jeti nužno postoji.” oblika A « A.

32

poučak 36

Modalni operatori su povezani sljedećim ekvivalencijama koje ćemo često koristiti :

àA je ekvivalentno s ØØ A, ili kraće àA ºØØ A i A je ekvivalentno s Ø à Ø A, tj. A ºØ à Ø A

Za ranije definirani A navedene ekvivalencije su:

“Moguće je da Jeti postoji ako i samo ako nije nužno da Jeti ne postoji.” i “Jeti nužno postoji ako i samo ako nije moguće da Jeti ne postoji.”

Među semantičkim tehnikama neklasičnih logika posebno se ističe semantika mogućih svjetova. Ista semantika prisutna je i u modalnoj logici. Pojasnimo malo taj pojam.

Svi mi, naravno, živimo, radimo i krećemo se u stvarnom svijetu, svijetu koji je aktualan. No, uvijek možete zamišljati da su neke stvari drugačije, npr. Možete zamišljati da je sve potpuno isto, osim što ste 10 cm viši. Time ste zamislili drugačiju situaciju ili jedan mogući svijet. U mogućem svijetu možete imati i neku drugu boju kose, možete živjeti u drugoj državi, imati manji ili veći broj godina, što god vam drago... A možda se u mogućem svijetu ne mora promijeniti baš ništa, tj. i aktualni svijet je jedan mogući svijet.

Drugi pojam koji je potrebno usvojiti, barem na intuitivnom nivou, je pojam relativne mogućnosti. Na primjer, dok ovo pišem, nalazim se u Crikvenici. Za 7 dana bih se mogao nalaziti u Zagrebu, Osijeku, Moskvi ili Buenos Airesu, predstojećih 168 sati mi daje sasvim dovoljno vremena za doputovati na bilo koju od tih destinacija. No, budem li čekao da prođe 6 dana i 23 sata, ništa od toga više neće biti moguće. U nama trenutno aktualnom svijetu unutar preostalih sat vremena nisam u mogućnosti stići niti do jednog od navedenih mjesta. No, pojavi li se unutar sljedećih 7 dana neki novi, nama iznenađujuće brz način putovanja, neke od navedenih destinacija postaju dostupne, ali ne i dođe li do takve revolucije u transportu putnika kroz 170 ili više sati. Dakle, određena stanja su relativno moguća u odnosu na neke situacije (neke moguće svjetove), ali ne i u odnosu na neke druge.

Kako bismo ispitivali istinitost, trebamo pojam interpretacije za modalne forme. Slijediti ćemo pristup Saula Kripkea iz pedesetih godina prošlog stoljeća.

Interpretacija modalnih formi je skup “mogućih svjetova” W, s jednim istaknutim

svijetom w W*Î (nazivamo ga “aktualnim svijetom”), koji svaku atomarnu formulu interpretiraju (tj. vrednuju) kao istinitu ili lažnu. Standardne oznake za ova vrednovanja su w(A) = , ako je formula A vrednovana kao istinita u svijetu w WÎ i w(A) = ^ , ukoliko je formula A vrednovana kao lažna u tom svijetu.

33


Vrednovanje se standardno proširuje na sve formule izgrađene pomoću istinosnih veznika, primjerice w(Ø A) = ako i samo ako w(A) = ^ .

U slučaju modalnih operatora i à vrijede sljedeća pravila:

W(A) = ako i samo ako ( ) ( )w W w A" Î =

W(àA) = ako i samo ako ( ) ( )w W w A$ Î =

Formula A je istinita u interpretaciji W, tj. W(A) = , ako i samo ako vrijedi w*(A) = .

Također, za skup formula Γ definiramo Γ A ako je formula A istinita u svakoj interpretaciji u kojoj su sve formule iz Γ istinite.

Potrebni su nam još i Kripkeovi modeli:

Neka je W neprazan skup, koji smatramo skupom mogućih svjetova te neka je R binarna relacija na W (tehnički gledano, R Í W × W). Za w1 i w2 Î W, w1Rw2 znači da je svijet w2 dostupan iz svijeta w1 ili da je svijet w2 moguć obzirom na svijet w1. Intuitivno, w1Rw2 govori kako su situacije u svijetu w2 relativno moguće u odnosu na svijet w1. Uređen par (W, R) nazivamo okvir. Za sada, dok ne uvedemo posebna svojstva relacije R, možemo smatrati kako su svi svjetovi međusobno dostupni. Takva situacija je najjednostavnija za promatranje jer ne daje nikakvih ograničenja. Na primjer, stavimo W = {w1, w2, w3} i neka su svi svjetovi međusobno dostupni, dakle vrijedi wiRwj, ,i j" Î {1, 2, 3}. Dalje, u svijetu w1 neka postoji Nessi, u svijetu w2 neka postoje Bigfoot i Jeti, a u svijetu w3 neka postoji Djed Mraz koji osim toga može i putovati iznenađujućom brzinom, upravo dovoljnom za raznošenje hrpe darova tijekom samo jedne noći. Iako svaki od ova tri svijeta nudi samo po jednu interesantnu situaciju, zbog međusobne dostupnosti svih svjetova, svaki od njih ima relativnu mogućnost svake od navedenih situacija.

Neka je (W, R) okvir. Interpretacijom na okviru nazivamo valuaciju (vrednovanje) atoma na tome okviru, koje se standardno označava s . Dalje se vrednovanje proširuje induktivno, npr. w A Ù B ako i samo ako w A Ù w B ili w A Ú B ako i samo ako w A Ú w B te slično i za druge propozicionalne veznike. Označimo li s w proizvoljan svijet dostupan iz svijeta w, u slučaju modalnih operatora vrijedi sljedeće

proširenje: w A ako i samo ako ( )w w" A.

Ako je interpretacija na okviru, uređenu trojku (W, R, ) nazivamo Kripkeov model. Klasu Kripkeovih modela označavamo s K.

34

poučak 36

Kažemo da je formula A valjana u modelu (W, R, ), u oznaci W A, ako vrijedi

( )w W w" Î A.Slično, kažemo da je A valjana u klasi modela , tj. A, ako vrijedi

( )W W" Î A. Najznačajnije klase modela su klase okvira određene nekim svojstvima relacije Ú , kao što su npr. simetričnost ili tranzitivnost.

Izgradnja semantičkih stabala (pravila glavnog testa)

Neka je (W, R, ) Kripkeov model, gdje je interpretacija na okviru. Ovisno o sustavu, relacija R može zadovoljavati neke od uvjeta refleksivnosti, simetričnosti, tranzitivnosti, ekstenzionalnosti, itd. (oznake sustava u kojima relacija R zadovoljava te uvjete su redom T, B, 4, D; dok neki autori koriste oznake ρ, σ, τ, η. Podsjetimo, relacija R na skupu W je ekstenzionalna ako za svaki w1 Î W postoji neki w2 Î W koji je s njim u relaciji, tj. vrijedi w1Rw2. Ponekad se modalna logika s dodatkom nekih od ovih uvjeta naziva normalna modalna logika.

Navedimo sada osnovna pravila izgradnje semantičkih stabala.

Istinosno funkcionalna (IF) pravila:

Modalna pravila:

Pri tomu je:

(1) σ’ je dostupan iz σ

(2) u slučajevima K, KB, K4 je σ’ (nužno) prethodno upotrijebljen, a u ostalim slučajevima (KT, KD) σ’ je ili prethodno upotrijebljen ili je “sljedeći novi”. Primijetimo kako je u slučaju KT svaki indeks dostupan iz samoga sebe pa možemo uzeti i σ’= σ.

35


Obzirom na uvođenje indekasa postoji više nomenklatura (označavanja). Obraditi ćemo dvije od njih, jednu korištenu u knjizi [1] G. Priesta te drugu iz članka [2] M. Fittinga. U prvoj se kao indeksi koriste nenegativni cijeli brojevi (0 za inicijalni indeks / svijet), a “sljedeći novi” σ’ je najmanji dotad neupotrijebljeni prirodan broj, koji je veći od σ, uz dodatno isticanje dostupnosti σrσ’.

U drugoj, Fittingovoj nomenklaturi, “sljedeći novi” indeks je σ’ = σn, gdje je n neki prirodan broj, takav da σ’ nije početni dio niti jednog prethodnika (tj. ne pojavljuje se kao početni dio nekog već upotrijebljenog).

Ovdje je σ’ “sljedeći novi”.

Pravila iz K proširujemo za rad na drugim normalnim sustavima, tj. na granama semantičkog stabla dodajemo pravila koja uvode daljnje informacije o relaciji R.

Osim dosad navedenih svojstava relacije R u Kripkeovim modelima, često se koristi i svojstvo utemeljenosti, a pripadni sustavima se dodaje oznaka L. Utemeljenost relacije znači da ne postoje beskonačni nizovi elemenata koji su u relaciji, tj. niz

oblika 1 2 3

...i i iw Rw Rw , gdje su 1 2 3, , ...i i iw w w međusobno različiti svjetovi, na nekom

se mjestu mora stabilizirati (na nekom mjestu mora stati). U sustavu G = K4L prethodna pravila za modalne operatore ne vrijede (zbog utemeljenosti) te se moraju dodatno proširiti, na sljedeći način:

Primjeri: Primjeri numerirani s 1) - 4) nazivaju se karakterističnim principima logika KT, KB, K4 i KD (dodaju li se nekom sustavu aksioma za K, daju kompletnu aksiomatizaciju navedenih logika).

36

poučak 36

1) KT A ® A

2) KB A ® àA

Naziv “B” dolazi od “Brouwer”, prema osnivaču intuicionizma, zbog povezanosti između ovog karakterističnog principa i intuicionističke logike.

3) K4 A ® A

A 2 ×

Za kombinirane sustave se primijenjuju samo relevantna pravila.

37


Red primjene: Prvo se primjenjuju standardna, stara istinosno - funkcionalna (IF) pravila. Nakon toga se uvode novi svjetovi korištenjem à -pravila (tj. mogućnosti) ili, što je ekvivalentno, kombinacijom negacije i nužnosti -pravila). Naravno, novi svijet se može uvesti i ako smo u D sustavu, bez obzira na modalne operatore (više o tome nešto poslije). Zatim se odrede i dodaju sve (relevantne) nove činjenice o relaciji r, tj. odrede sve dostupnosti indekasa. Napokon, vraćamo se unatrag koristeći -pravilo, kada god činjenice od r to zahtijevaju.

Upravo u određivanju i dodavanju činjenica o dostupnosti (relaciji r) se razlikuju prikazane nomenklature. U prvoj, koja za indekse redom koristi nenegativne cijele brojeve, s nulom kao inicijalnim indeksom, eksplicitno se navodi svaka dostupnost.

Pravila dostupnosti po sustavima su sljedeća:

T B 4

· irj irj

iri jri jrk

irk

Za T: ako je i bilo koji cijeli broj koji se pojavljuje (tj. bilo koji indeks koji se pojavljuje), uvodimo iri. Možemo ga primijeniti na početni (inicijalni) svijet 0, a zatim nakon uvođenja bilo kojeg novog indeksa.

U Fittingovoj nomenklaturi, dostupnost se nikada ne navodi eksplicitno, već je sadržana u oznakama indeksa i promatranom sustavu. Uvodimo li svijet dostupan iz nekog već uvedenog svijeta σ, označiti ćemo ga sa σn, tako da se ne pojavljuje kao početni dio nekog već upotrijebljenog. Npr. 12, 11, 13 su dostupni iz 1; 121, 122 su dostupni iz 12; 12 nije nužno dostupan iz 13 itd. U ovoj nomenklaturi se ne navode sve moguće dostupnosti, one ovise o tipu sustava, a dobivaju se direktno.

Dostupnost indeksa (svjetova):

S5 = KT4B opća (univerzalna) dostupnost, primijetimo kako su u ovom slučaju, u kojem je R relacija ekvivalencije, svi svjetovi međusobno dostupni, što je situacija koju smo promatrali neposredno nakon uvođenja dostupnosti

38

poučak 36

Primjeri:

Za prijelaz u drugu notaciju: 1 « 0, 11 « 1, 12 « 2, 0r0, 0r1, 1r0, 0r2, 2r0.

S5 àA ® àA

39


Svi su indeksi (svjetovi) međusobno dostupni. Za prijelaz u drugu notaciju: 1 « 0, 11 « 1, 12 « 2 i svi irj, 0 ≤ i, j ≤ 2.

Ukoliko postoji neka otvorena grana semantičkog stabla, kontramodel očitamo

s nje, koristeći informacije o r. Svakom 0i ³Î koji se pojavljuje na promatranoj otvorenoj grani odgovara svijet wi (tj. W = {wi; i na b}); wiRwj odgovara relaciji irj; svakom p i odgovara W p i svakom p ^ i odgovara W p (p je atomarna formula, model se standardno proširuje na druge formule). á*ñ

Primjer:KTB A ® A

Traženi kontramodel je (W, R, ), gdje je W = {w0, w1, w2}, R takva da je w0Rw0, w0Rw1, w1Rw1, w1Rw0, w1Rw2, w2Rw1, w2Rw2 te w0 A, w1 A i w2 A.

Iz prethodnih primjera je jasno kako je Fittingova nomenklatura pogodnija za korištenje onima s više iskustva, jer se dostupnosti čitaju direktno iz tipa sustava. Osim toga, izbjegavanje navođenja dostpunosti daje i pregledniji zapis. Druga nomenklatura je pogodnija početnicima i korisnicima s nešto manje iskustva, sve moguće dostupnosti među indeksima su eksplicitno zapisane i omogućuju direktno kombiniranje.

40

poučak 36

Beskonačna semantička stabla

Počinjemo s pravilom za D (proširivost, ekstenzionalnost):

D… iirj

Primijenjuje se na bilo koji 0i ³Î , koji je već na grani (tj. stari), ako već ne postoji nešto oblika irj, a j mora biti novi (sljedeći novi).

No, prilikom primjene ovog pravila treba biti oprezan - uzastopnom primjenom dobivamo beskonačan postupak te time sprečavamo primjenu drugih pravila.

irj, jrk, krl, …Sljedeći primjer ilustrira pravi način primjene:

4) KD A ® àA

čak i ovako provedenim postupkom, ako se stablo ne zatvara - beskonačno je.

KD A

To ne znači da ne postoje konačni kontramodeli za A u sustavu KD, a mogu se dobiti metodom pokušaja i pogrešaka. Beskonačni kontramodeli nisu karakteristični samo za KD, mogu se pojaviti već i u K4, kao što pokazuje sljedeći primjer:

41


K4 Ø (àA Ù àA)

Svaki put kada otvorimo novi svijet (pomoću àA i), tranzitivnost implicira 0ri. Kako je àA 0, vrijedi i àA i, što zahtijeva otvaranje novog svijeta...

Napokon i teoremi

Dokazat ćemo da su svi promatrani sustavi korektni i potpuni (obzirom na odgovarajuću semantiku).

Definicija: Ako je Γ proizvoljan skup formula (skup premisa), tada za formulu A (konkluziju) kažemo da je semantička posljedica od Γ (logički slijedi iz Γ) ako je A istinita u svakoj interpretaciji u kojoj su sve formule iz Γ istinite (pišemo Γ A).

Ako postoji zatvoreno stablo s premisama Γ i konkluzijom A, pišemo Γ A, što znači da je A dokaziva (izvediva) iz skupa formula Γ.

Neka je I = (W, R, ) neki Kripkeov model (modalna interpretacija) te b neka grana semantičkog stabla. Reći ćemo da je I vjeran (za, u odnosu na, obzirom na) b

ako postoji preslikavanje 0:f W³ ® takvo da vrijedi:

(1) za sve A i na b, u I vrijedi A f(i)

42

poučak 36

(2) ako je irj na b, tada je f(i)Rf(j) na I

Lema: Neka su b i I = (W, R, ) proizvoljna grana i Kripkeov model. Ako je I vjeran b, nakon primjene proizvoljnog pravila (metode semantičkih stabala) postoji barem jedno proširenje b’ od b takvo da je I vjeran b’.

Dokaz: Neka je f odgovarajuće preslikavanje. Dokazujemo razmatranjem pravila, slučaj po slučaj. Neka je npr. A Ù B i na b. Nakon primjene pravila za konjunkciju dobivamo (proširenu) granu b’ koja sadrži A i i B i. Kako je I vjeran b, A Ù B je istinit u f(i) pa su i A i B istiniti u f(i), tj. I je vjeran b’. Slično i za ostale istinosne veznike, krenimo sad na modalne operatore. Za njihove negacije (ØA i i Ø àA i) je očito. Pretpostavimo da je A i na b. Tada je A na f(i) te, ako je irj na b, vrijedi f(i)Rf(j) pa je A f(j).

Konačno, neka je àA i na b. Primjenom pravila za à dobivamo irj i A j na b’. Kako je I vjeran b, vrijedi àA f(i) Þ f(i)Rw, A w, za neki .w WÎ Sada f proširimo da preslikavanja f ’, dodajući samo f ’(j) = w. Po definiciji, f ’(i)Rf ’(j) i A f ’(j) pa je I vjeran b’.

Još treba provjeriti pravila za B, T, 4 i D. Za T: imamo iri na b pa i f(i)Rf(i), zbog refleksivnosti od R. Za B: imamo irj na b, f(i)Rf(j) pa zbog simetričnosti od R i f(j)Rf(i). Za 4: irj i jrk na b; f(i)Rf(j), f(j)Rf(k) i f(i)Rf(k). Za D: primjenom na i dobivamo irj, gdje je j (sljedeći) novi. Znamo da je f(i)Rw, za neki w WÎ pa definiramo f ’ dodajući na f još f ’(j) = w (j se ne pojavljuje na b, tek na proširenoj grani b’). Iz konstrukcije je jasno f ’(i)Rf ’(j) te je I vjeran b’.

Napomena: analogan rezultat vrijedi i za svaku kombinaciju od D, T, B i 4 (kombiniranjem individualnih argumenata).

Teorem (korektnost) Za konačan skup formula Γ, ako Γ A tada Γ A.

Dokaz: Pretpostavimo Γ A. Tada postoji Kripkeov model I = (W, R, ) u kojem su sve premise (formule iz Γ) istinite i A lažna, u nekom svijetu w. Neka je f preslikavanje dano s f(0) = w. Time Kripkeov model I postaje vjeran početnoj listi (početnom stanju). Nakon primjene bilo kojeg pravila, možemo (prema prethodnoj lemi) naći barem jedno proširenje kojem je I vjeran. Uzastopnom primjenom prethodne leme možemo pronaći čitavu granu b takvu da je I vjeran svakom njenom početnom komadu. Kada bi grana b bila zatvorena, sadržavala bi formule oblika B i Ø B, koje se nalaze u istom početnom komadu, no tada bi u modelu I vrijedilo B i B. To je kontradikcija, pa je b otvorena, tj. Γ A.

Ovaj dokaz, koji koristi prethodnu lemu, odabran je zbog svoje općenitosti. Naime, dokaz leme se može jasno podijeliti u tri dijela: prvi dio se odnosi na propozicionalnu, drugi na modalnu, a treći na normalnu modalnu logiku. U kombinaciji s prethodnim

43


Lema: Neka je b proizvoljna potpuna otvorena grana semantičkog stabla. Ako s I = (W, R, ) označimo Kripkeov model induciran s b, kao u á*ñ, vrijedi sljedeće: A i na b implicira da je A istinita u svijetu wi; dok A ^ i na b implicira da je A lažna u svijetu wi.

Dokaz: Induktivno po složenosti od A. Ako je A atomarna, tvrdnja slijedi direktno iz definicije. Ako je A npr. oblika B Ú C, tada je ili B i ili C i na b pa je (po pretpostavci indukcije) ili B ili C istinito u wi te je i B Ú C istinito u wi. Slično i za ostale istinosne veznike. Ako je A oblika B, tada je B i na b i, za sve j takve da je irj na b, B j je na b. Po konstrukciji i pretpostavci indukcije, za sve wj takve da je wiRwj, B je istinito u wj pa je B istinito u wi. Slično i za ostale modalne operatore. Za T: za svaki iw WÎ , iri je na b, a po definiciji od R je i wiRwi. Za B: neka za

,i jw w WÎ vrijedi wiRwj. Po definiciji, irj je na b pa je i jri na b Þ wjRwi. Za 4: neka

za , ,i j kw w w WÎ vrijedi wiRwj, wjRwk. Po definiciji irj, jrk su na b, a to znači da je i irk na b pa je wiRwk. Za D: ako je iw WÎ tada je za neki j irj na b, pa slijedi wiRwj.

Napomena: analogan rezultat vrijedi i za svaku kombinaciju D, T, B i 4.

Teorem (potpunost) Za konačan skup formula Γ ako Γ A tada Γ A.

Dokaz: Pretpostavimo Γ A. Proizvoljna otvorena grana semantičkog stabla inducira Kripkeov model, u kojem su sve premise (formule iz Γ) istinite i A lažna u svijetu w0 (prema prethodnoj lemi). Dakle,

Γ A.

Bibliografija:

1. G. Priest: An Introduction to Non – Classical Logic; Cambridge University Press, 2001.

2. M. Fitting: Tableau methods of proof for modal logics; Notre Dame Journal of Formal Logic 13, 1972., 237 - 247

3. Zvonimir Šikić: Primijenjena logika; predavanja

teoremom, lema daje dokaz korektnosti metode semantičkih stabala u svakoj od navedenih logika, tj. prolazi i u klasičnoj logici. Isto je i sa sljedećim dokazom.

44

poučak 36

Kako do funkcijeSanja Antoliš*

Uvod

Funkcija je jedan od temeljnih pojmova koje obrađujemo u srednjoj školi. No, u tijeku izvođenja nastave matematike možemo uočiti kako učenici imaju poteškoća s razumijevanjem pojma funkcijske ovisnosti i određivanja funkcije koja je zadana opisno. Kako bismo razriješili uočenu poteškoću bilo bi poželjno osmisliti primjere pomoću kojih učenici mogu uz vlastito istraživanje upoznati neke načine određivanja funkcije. Osim toga i pojmovi vezani uz pojam funkcije kao što su domena, kodomena, slika, graf, često nisu učenicima dovoljno jasni pa nerijetko dolazi do pogrešnog poistovjećivanja pojmova slika – graf, graf – jednadžba, funkcija – formula i slično. Dodatnu poteškoću može predstavljati brzi prijelaz s pojma funkcije na linearnu funkciju pa se pojam grafa poistovjećuje s pojmom pravca i slično. Osim toga često se uz obradu linearne funkcije veže i obrada dijela analitike pravca (eksplicitni, implicitni, segmentni oblik jednadžbe pravca, jednadžba pravca kroz dvije točke i slično). Smatram kako je ovo nepotrebno i može dodatno dovesti do nerazumijevanja pojmova. Zbog toga bi se na pojmu funkcije trebali zadržati nekoliko sati i uvesti ga postupno na nizu primjera. Korisno je obraditi primjere kod kojih domena i kodomena nisu nužno obje skupovi brojeva, a samo zadavanje funkcije je opisno. Pri obradi linearne funkcije treba posvetiti pozornost prepoznavanju i korištenju pojmova domena, kodomena, argument, vrijednost funkcije, graf. Kroz zadatke treba dobro uvježbati crtanje i čitanje grafova, a izbjegavati analitiku pravca.

Konačna ili prebrojiva domena

Funkcije čija je domena konačan skup jednostavne su za prikazivanje jer elemente domene možemo popisati i strelicama definirati pridruživanje. Zato je dobro započeti s primjerima u kojima je domena konačan skup. Takvih je primjera je mnogo: učenici u razredu i ocjene iz testa iz matematike (slika 1.), vodostaj rijeke Save kod Siska u proteklih mjesec dana i slično. Mogu se navesti i primjeri kod kojih postoji ovisnost dviju veličina, ali ona nije funkcijska, na primjer nastavni predmeti u 1. razredu srednje škole i dani u tjednu u kojem neki razred sluša određeni predmet. Slika 1.

IZ NASTAVNE PRAKSE

* Sanja Antoliš – XV. gimnazija, Zagreb

45

kako Do FunkcIje

Vježbu možemo provesti kroz sljedeći primjer.

Primjer 1.

Učenike podijelimo u grupe tako da u svakoj grupi bude 4 – 6 učenika. Zajednički rješavaju zadatak:a) Popunite podatke u tablici za sve učenike u grupi:

prezime broj članova obitelji

b) Prikažite dijagramima veze učenik – broj članova obitelji; broj članova obitelji – učenik; broj članova obitelji – broj učenika s tim brojem članova obitelji.c) Koje su od veza iz b) zadatka funkcijske?

Slijedi primjer u kojem je domena prebrojiv skup.

Primjer 2.

Cijena jedne razglednice je 2 kn. Opišite kako ukupna cijena ovisi o broju kupljenih razglednica.

Slika 2.

Pri rješavanju ovih primjera naglasak treba staviti na domenu, kodomenu i pravilo pridruživanja. Kako je domena prebrojiv skup i u ovom se primjeru ovisnost može prikazati crtanjem strelica (slika 2.). Manje je važno odrediti analitičku formulu koja opisuje ovisnost cijene o broju kupljenih razglednica, iako do te formule naravno nije teško doći i može se na kraju zapisati.

Neprebrojiva domena

U sljedećim primjerima domena je interval. Kod takvih je primjera uobičajena praksa zapis funkcijske ovisnosti analitičkom formulom i zatim prikaz pomoću

46

poučak 36

grafa. Na taj se način ne prati analogija s konačnim domenama, a učenici često imaju poteškoća sa shvaćanjem grafa kao prikaza funkcijske ovisnosti. Ova se poteškoća može izbjeći zadržimo li još neko vrijeme prikaz funkcijske ovisnosti pomoću strelica pri čemu primjena tehnologije može uveliko pomoći. Primjer 3.

Nika ima zemljište u obliku pravokutnika sa stranicama duljine 600 m i 500 m. Zbog izgradnje nasipa morat će ustupiti dio zemljišta. Radnici su joj rekli da će ući u zemljište sa sjeverozapadne strane po međi duljine 500 m i zatim dijagonalno presjeći u smjeru krajnje sjeveroistočne točke (slika 3.). Kako površina preostalog zemljišta ovisi o dubini ulaska u zemljište?

Koristeći neki od programa dinamične geometrije, kao što je na primjer Sketchpad, moguće je vizualizirati funkcijsku ovisnost. Na slici ćemo mjeriti veličinu k koja predstavlja dubinu ulaska u zemljište i površinu preostalog zemljišta P. Promjenom veličine k, mijenjat će se iznos površine P (slika 4.). I u ovom zadatku treba najprije odrediti domenu i kodomenu, a zatim pratiti kako promjena jedne veličine utječe na promjenu druge. Sve parove pridruženih vrijednosti naravno sada više ne možemo ispisati, ali nekoliko parova možemo prikazati u tablici. Kao i u prethodnim primjerima pridruživanje možemo definirati pomoću strelica pri čemu veličina k sada poprima sve vrijednosti iz intervala [0,5]. Vrijednost varijable k može se zadati i pomoću računala očitati pripadnu površinu P.

Slika 3. Slika 4.

Iz položaja u kojem su domena i kodomena prikazani na paralelnim pravcima prelazi se u uobičajeni položaj u kojem se domena prikazuje na horizontalnom pravcu, a kodomena na vertikalnom, te se prirodno uvodi pojam grafa funkcije (slike 5. i 6.). Graf funkcije možemo koristiti za očitavanje vrijednosti površine za zadani k. Tako će učenici na primjeru moći uočiti da funkcija može biti zadana i grafom.

47

kako Do FunkcIje

Slika 5. Slika 6.

Tek na kraju možemo izvesti i analitičku formulu za površinu, koju je također moguće primjenom programa učiniti dinamičnom tako da učenici osjete kako se za različite k dobivaju različite vrijednosti funkcije (slika 7.).

Slika 7.

Primjer 4.

Duljine stranica pravokutnika ABCD su 10 cm i 4 cm. Na dijagonali AC odabrana je

točka Q. Točka R na stranici BC odabrana je tako da je dužina QR paralelna sa AB .

Opišite kako površina trokuta QRB ovisi o duljini dužine QR .

Kao i u prethodnom primjeru na slici mjerimo duljinu dužine QR i površinu tro-kuta QRB (slika 8.). Oblik grafa upućuje na kvadratnu funkciju što se kao zaključak ne očekuje od učenika prvih razreda. Za njih će biti dovoljno da promatraju domenu, kodomenu i pravilo pridruživanja te graf (slika 9.). No upravo je za učenike prvog razreda korisno napraviti i ovakav primjer kako graf ne bi poistovjetili s pravcem.

48

poučak 36

Slika 8. Slika 9.

Ako primjer obrađujemo u drugom razredu možemo tražiti od učenika da odrede o kojoj se kvadratnoj funkciji radi. Pri tome se mogu poslužiti određenim brojem izmjerenih parova pridruženih vrijednosti (c, P) koje kao točke mogu prikazati u koordinatnom sustavu i mijenjajući parametre a, b, c kvadratne funkcije f(x) = ax2 + bx + c odrediti one vrijednosti parametara za koje kvadratna funkcija dobro aproksimira nacrtane točke (slika 10.).

Parametre možemo odrediti i algebarski tako da odaberemo tri para pridruženih vrijednosti i riješimo sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice. Konačno do analitičke formule možemo doći i geometrijski koristeći sličnost trokuta (slika 11.).

Slika 10. Slika 11.

Učenici će rješavajući ove primjere naučiti da funkcijsku ovisnost možemo zadavati i opisivati na različite načine te da je analitička formula samo jedan od načina. Nadalje i samu formulu moguće je odrediti na različite načine, od modeliranja do izvoda u kojem se koriste određena svojstva.

49

kako Do FunkcIje

Korisno je napraviti i nekoliko primjera u kojima su domena i kodomena skupovi točaka u ravnini. Osim preslikavanja koja su već poznata jer se obrađuju u osnovnoj školi, kao što su osna simetrija, translacija i rotacija može se navesti još neki primjer.

Primjer 5.

Zadana je kružnica k, promjer PQ i tangenta na kružnicu u točki Q. Točka A je proizvoljna točka na kružnici, pravac PA siječe tangentu u točki S. Točka B leži na polupravcu PA i vrijedi PB AS= . Promatramo funkciju koja točki A pridružuje točku B.

Primjenom programa dinamične geometrije možemo pratiti parove pridruženih točaka, domenu i kodomenu, kao i sliku ove funkcije (slike 12. i 13.). Slika 12. Slika 13.

Također se može primijetiti kako u ovom slučaju ne promatramo graf funkcije. Linearna funkcija

Nakon ovih primjera funkcija uvodimo linearnu funkciju. Uvodni motivacijski primjer može biti ovaj:

Primjer 6.

Duljina vožnje (km)

Cijena (kn)

12,5 104,010,0 89,07,2 72,23,0 47,05,0 59,0

Taxi prijevoznik je dispečeru podnio izvješće o jutarnjim vožnjama. Promotrite podatke. Je li cijena proporcionalna duljini vožnje? Opišite kako cijena ovisi o duljini vožnje. Koliko bi platio putnik koji se vozi 6.5 km? Koliko se može voziti putnik koji ima 150 kn?

Pitanje o proporcionalnosti važno je postaviti jer učenici shvaćaju da će dulja vožnja značiti veću cijenu i budući da nemaju drugog modela rastuće funkcije skloni su pretpostaviti da je riječ o proporcionalnosti. No promatrajući podatke u tablici lako će ustanoviti da cijena nije proporcionalna duljini vožnje jer vožnju od 10 km ne plaćamo dvostruko u odnosu na cijenu vožnje od 5 km. Iz podataka o cijeni vožnje za

50

poučak 36

3 i 5 km možemo zaključiti da razliku od 2 km u duljini vožnje plaćamo 59 – 47 = 12, pa možemo pokušati zadatak riješiti uz pretpostavku da je za 1 km cijena 6 kn.Ova pretpostavka se može provjeriti na ostalim podacima, na primjer za 3 km i 10 km je razlika u cijeni zaista 7 . 6 = 42 kn. Ostaje nejasno zašto vožnju od 3 km ne plaćamo 3 . 6 = 18 kn i tu se očekuje da učenici zaključe kako je razlika od 29 kn startna cijena. Tako dolazimo do formule za cijenu u ovisnosti o duljini vožnje: c(d) = 6d + 29. Lako se provjerava da se i ostali podaci u tablici mogu dobiti po ovoj formuli, a zatim odgovoriti i na preostala pitanja iz primjera.

Primjer se može iskoristiti za uvođenje koeficijenta smjera. Kako smo cijenu po kilometru odrediti iz dva para podataka, hoćemo li do iste cijene po kilometru doći koristeći neke druge parove podataka iz tablice, odnosno kolika je vrijednost

količnika 2 1

2 1

c cd d

−−

za različite vrijednosti c1, c2, d1, d2 iz tablice? Provjeru možemo

provesti računski ili grafički uz pomoć programa. Promjenom položaja točke B uvjerit ćemo se da je vrijednost količnika konstantna (slike 14. i 15.).

Slika 14. Slika 15.

Nakon toga može se prijeći na definiciju linearne funkcije f : R → R, f(x) = ax + b. Zatim je potrebno izraditi niz zadataka u kojima je zadana linearna funkcija, a traži se vrijednost funkcije za zadani argument i obratno, vrijednosti argumenta za koje je vrijednost funkcije veća ili manja od zadanog broja, pripadaju li neke točke grafu funkcije i slično. Slijede zadatci u kojima treba odrediti linearnu funkciju ako su zadane dvije točke koje pripadaju grafu, a nakon toga i općeniti izvod. Pri tome

je važno dobiti formulu za koeficijent 2 1

2 1

y y yax x x− ∆

= =− ∆

te ju povezati s riješenim

motivacijskim primjerom 6. Također treba dobro uvježbati crtanje grafa linearne funkcije i to primjenom različitih metoda: pomoću dvije proizvoljne točke koje pripadaju grafu, pomoću odsječaka na koordinatnim osima (što ne znači da je

51

kako Do FunkcIje

potrebno uvoditi segmentni oblik), te konačno pomoću neke točke grafa i koeficijenta smjera a odnosno pomaka po x i y osi. Važno je uvježbati i obrnuti postupak, odnosno očitavanje formule iz nacrtanog grafa. Osim neizostavnog rada na klasični način crtanjem na ploči i u bilježnicama, primjenom tehnologije možemo uvesti i nove načine uvježbavanja. Tako na primjer možemo koristiti grafičke kalkulatore (Texas Instruments TI-83 Plus) koji imaju aplikaciju pomoću koje se vježba određivanje koeficijenata linearne ili kvadratne funkcije te apsolutne vrijednosti. Kako je aplikacija pripremljena u obliku igre učenici je rado prihvaćaju i pomoću nje uče (slike 16., 17. i 18.).

Slika 16. Slika 17. Slika 18.

Derivacija kao funkcija

Derivacija funkcije u točki obično se uvodi uz motivacijski primjer tangente na graf funkcije u nekoj točki na grafu. Zatim se prelazi na derivaciju kao funkciju i izvode formule za derivaciju elementarnih funkcija kao i teoremi o derivaciji zbroja, umnoška i količnika. Pri tome se često izgubi veza s tangentom na graf funkcije. Ovo se može izbjeći ako postepeno određujemo funkciju kao derivaciju i koristimo grafove funkcija. U ovome nam ponovo mogu pomoći programi za crtanje grafova kao što je na primjer Sketchpad.

Primjer 7.

Započinjemo s funkcijom f(x) = x2 i crtamo tangentu na graf u proizvoljnoj točki x te mjerimo koeficijent smjera tangente, odnosno derivaciju funkcije u točki x. Mijenjamo li položaj točke x mijenja se položaj tangente pa zaključujemo da koeficijent smjera tangente ovisi o točki x (slika 19.). Različite vrijednosti varijable x i pripadne derivacije možemo zapisati u tablici (slika 20.).

52

poučak 36

Slika 19. Slika 20.

Uređene parove (x, f ’(x)) možemo nacrtati u koordinatnom sustavu i pretpostaviti o kojoj se funkciji radi. Ako točka s koordinatama (x, f ’(x)) ostavlja trag ocrtavat će graf derivacije. Na taj se način vizualno mogu dobiti derivacije kvadratne funkcije, kubne, eksponencijalne, trigonometrijskih funkcija (slike 21., 22. i 23.)

Slika 21. Slika 22.

Slika 23.

53

kako Do FunkcIje

Zaključak

Postepeni prijelaz od funkcije zadane na konačnom skupu do funkcije zadane na skupu realnih brojeva te koncentracija na domeni, kodomeni i pravilu pridruživanja važni su koraci pri uvođenju pojma funkcije. Niz primjera u kojima je funkcija zadana opisno približit će učenicima različite načine i metode određivanje funkcije. Pri tome primjenom tehnologije na primjeren način i na za to metodički opravdanim mjestima učenicima možemo olakšati usvajanje te postići bolje razumijevanje pojma funkcije kao i pojmova vezanih uz funkciju. Na primjeru linearne funkcije učenici će u zadatcima primjenjivati pojmove argument i vrijednost funkcije, a osobito će uvježbati crtanje i čitanje grafa funkcije. Ukoliko se ovo postigne pri prvom susretu učenika s pojmom funkcije, to će uvelike olakšati kasniju obradu ostalih elementarnih funkcija.

Sanja Antoliš i Petar Mladinić, PREZENTACIJSKI RADOVI SA SEMINARA U OPATIJI, U ovoj datoteci nalaze se prezentacijski radovi sa seminara u Opatiji održanog od 8. - 12. siječnja 2007. godine.

http://www.proven.hr/http://www.proven.hr/cphp?vrsta=S

54

poučak 36

Jednostavno - složeni kamatni računGordan Nogić*

Kada se govori o razlici između jednostavnog i složenog kamatnog računa obično se tvrdi da se obračun kamata kod jednostavnog kamatnog računa za svako razdoblje vrši uvijek na istu glavnicu, a kod složenog kamatnog računa na promjenljivu glavnicu za svako razdoblje obračuna kamata. Ta promjenljiva glavnica kod složenog kamatnog računa nastaje kada se na prethodnu glavnicu dodaju obračunate kamate.

Daljnjim razmatranjem (vidi [1]) može se doći do zaključka da je razlika između ta dva obračuna kamata zapravo u tome, što glavnica kod jednostavnog kamatnog računa (koja također može biti promjenljiva) ne uključuje kamate, a glavnica kod složenog kamatnog računa uključuje kamate (uključivanje kamata može biti ostvareno na različite načine, u [1] se koristi formulacija „glavnica se mijenja zbog kamata“).

Zanimljivo je da postoje modeli obračuna kamata koji se u praksi učestalo koriste, a po svojim se svojstvima, ne mogu svrstati isključivo niti u jednostavni, niti u složeni kamatni račun, ili bolje rečeno mogu se svrstati i u jednostavni i u složeni kamatni račun. Jedan od takvih primjera je sljedeći.

Primjer ANetko uloži iznos od 1 000 kn na štednju uz godišnju kamatnu stopu 25%. Na

kraju svake od iduće 3 godine podigne dobivene kamate za tekuću godinu. Koliko iznosi glavnica za svako razdoblje i s kojim će se ukupnim iznosom raspolagati, ako je obračun kamata

a) jednostavan,b) složen?

Rješenje:a) Ukoliko se u glavnicu ne uključuju kamate, glavnica će (budući da je u pitanju

jednokratni ulog) biti uvijek ista, dakle 1 000 kn za svako razdoblje. Kamate će iznositi 250 kn po godini, ukupne kamate će iznositi 750 kn, a ukupni iznos s kojim ulagatelj raspolaže na kraju treće godine 1 750 kn.

2501 =k 2502 =k 2503 =k

* Gordan Nogić – III. ekonomska škola, Zagreb

55

jeDnostavno - složenI kamatnI račun

Uloženi iznos: 1 000Ušteđeni iznos: 1 000 1 000 1 000 1 000

Glavnica: 1 000 1 000 1 000Podignuti iznos: 250 250 250

Ukoliko se u glavnicu uključuju kamate, glavnica će najprije iznositi 1 000 kn, a) zatim će se na kraju prve godine ušteđeni iznos narasti na 1 250 kn, a zbog podizanja ušteđenih kamata ponovno vratiti na 1 000 kn, i tako sve do kraja 3. godine, stoga će glavnica i u ovom slučaju biti 1 000 kn, dakle ista za svako razdoblje. Ukupni iznos s kojim će ulagatelj raspolagati biti će 1 750 kn (750 kn podignutih kamata i 1 000 kn na računu).

2501 =k 2502 =k 2503 =k

Uloženi iznos: 1 000Ušteđeni iznos: 1 000 1 000 1 000 1 000 Glavnica: 1 000 1 000 1 000Podignuti iznos: 250 250 250

Ništa neće biti drukčije primjeni li se u prethodnom primjeru jednostavan ili složen kamatni račun. To se dogodilo zbog toga što se, slikovito rečeno, kamatama nije niti pružila prilika da se uključe u glavnicu, jer su svake godine isplaćivane sa računa. Jeli se u prethodnom primjeru podrazumijevao jednostavan ili složen kamatni račun, moglo se provjeriti jedino da se nije podigao (puni) iznos obračunatih kamata. Tada bi se vidjelo ostaje li glavnica uvijek na istoj vrijednosti ili se zbog zadržavanja kamata na štednji glavnici pribrajaju kamate.

Na neki način, podizanje upravo obračunatih kamata sa računa moglo bi se shvatiti kao intervencija za svođenje složenog na jednostavni kamatni račun, čime se razlika između ta dva obračuna kamata gubi.

Za neograničen broj razdoblja primjene, ovakav se slučaj u literaturi obično naziva vječna renta (vidi [2])

Postoji još jednostavniji model, može se reći najjednostavniji model obračuna kamata, na kojem se ne može ustanoviti spomenuta razlika.

Primjer BNetko uloži 1 000 kn na štednju uz godišnju kamatnu stopu 25%. S kolikim će

iznosom ulagatelj raspolagati na kraju prve godine.

56

poučak 36

Rješenje:Kamate se obračunavaju jednom i to na uloženi iznos i iznositi će 250 kn.

Uloženi iznos: 1 000 Ušteđeni iznos: 1 000 1 250Glavnica: 1 000

Može li se govoriti o promjeni glavnice ukoliko je samo jedno razdoblje u pitanju, i može li se govoriti o pribrajanju kamata glavnici ukoliko se kamate još nisu obračunale, tj. može li se u prethodnom slučaju govoriti o složenom kamatnom računu? To su pitanja koja se nameću kada se radi samo o jednom razdoblju obračuna kamata. Ukoliko se ne može govoriti o složenom kamatnom računu, onda se ne treba niti pitati o razlici između jednostavnog i složenog kamatnog računa, a ako nema složenog, čemu jednostavni kamatni račun.

Gledajući na način da se glavnici pribrajaju kamate prethodni kamatni račun se može shvatiti kao jednostavan jer je glavnica bio iznos uloga u koji nisu uključene kamate. S druge strane glavnica je bio i iznos u koji se uključuju kamate, ali zbog do tada neizvršenog obračuna kamata u glavnicu je uključen iznos od 0 kn kamata, pa se tako gledajući prethodni račun može shvatiti kao složeni kamatni račun.

Ukratko, kada je jedno razdoblje obračuna kamata u pitanju, nema razlike između jednostavnog i složenog kamatnog računa.

Može se primijetiti da se u primjeru A zapravo tijekom tri godine uzastopno primjenjuje model iz prethodnog primjera, jer se zbog povlačenja kamata s računa na kraju svake godine cijela stvar vraća na početak prvog razdoblja gdje navedena razlika ne dolazi do izražaja.

Promatranjem prethodnih dvaju primjera uočeno je postojanje jednostavno – složenog kamatnog računa.

Treba napomenuti da se spomenutim razmatranjima ne pokušava previše ulaziti u raspravu jesu li pojedini modeli (izrazito) povoljni ili nepovoljni za bilo koju od strana, korisnika ili ustupatelja novčanih sredstava uz naknadu kroz kamate, ovdje se više raspravlja o svojstvima kamatnih računa i posljedicama pojedinih shvaćanja na moguće modele obračuna kamata, posebno onih koji se pojavljuju ili su se pojavljivali u praksi.

2501 =k

57


Iz prethodnih primjera moglo se uočiti da bi jednostavno – složeni kamatni račun bio onaj koji u svakom trenutku obračunavanja kamata poništava utjecaj kamata na glavnicu, što onda dovodi do poništavanja razlike između jednostavnog i složenog kamatnog računa, jer se upravo po kriteriju utjecaja kamata na glavnicu ta dva kamatna računa razlikuju.

Jesu li prethodni primjeri jedini kod kojih se primjećuje takva pojava? Naprotiv, ovdje će se nastojati pokazati da se mnogi modeli obračuna kamata iz svakodnevnog bankovnog poslovanja temelje upravo na jednostavno – složenom kamatnom računu. Kod nekih od tih modela može se činiti da je u pitanju jednostavni kamatni račun, kod nekih da je nesumnjivo složeni kamatni račun. Neki od njih mogu imati svojstva uobičajenija za jednostavni, a neki imati gotovo sva svojstva složenog kamatnog računa, a da se ipak u suštini ( prema polaznim shvaćanjima ) svrstavaju u, kako je to ovdje nazvano, jednostavno – složeni kamatni račun.

Primjer CTijekom tri godine netko ulaže po 1 000 kn početkom svake godine, a na kraju

podigne kamate koje je te godine donijela štednja. Godišnja kamatna stopa iznosi 25%. Na koje su se glavnice obračunavale kamate, i kojim iznosom se raspolagalo na kraju treće godine?

Rješenje:Budući da se u trenutku ostvarivanja kamata, kamate i podižu sa računa, za

glavnicu će se uzimati onaj iznos koji je do tada uložen na račun.

Uloženi iznos: 1 000 1 000 1 000Ušteđeni iznos: 1 000 2 000 3 000 3 000

Glavnica: 1 000 1 000 1 000Podignuti iznos: 250 500 750

Glavnice za obračun kamata tijekom tri godine ulaganja su redom: 1 000 kn, 2 000 kn i 3 000 kn.

Ti iznosi su zapravo trenutna vrijednost uloženih iznosa na koji kamate nisu imale utjecaj, pa se ovaj kamatni račun može smatrati jednostavnim.

Međutim, kako su kamate u svakom trenutku nastajanja odmah svedene na 0 kn, može se smatrati da su se glavnici cijelo vrijeme pribrajale kamate u vrijednosti od 0 kn, stoga se taj kamatni račun može smatrati i složenim.

2501 =k 5002 =k 7503 =k

58

poučak 36

Ovako ili onako ukupne kamate su 1 500 kn, a uloženi iznos 6 000 kn, što znači da na kraju treće godine ulaganja ulagatelj raspolaže ukupno sa 7 500 kn.

Sve je jasnije da kada god se, unutar nekog modela, situacija s kamatama čim one nastanu odmah i svodi na nulu, u pitanju je slučaj koji je na granici jednostavnog i složenog kamatnog računa.

Idući primjer u literaturi se obično naziva zajam sa jednakim otplatnim kvotama. To je model za kojeg se u [1] tvrdilo da je u pitanju jednostavan obračun kamata, nasuprot tvrdnjama iz važeće literature da je riječ o složenom kamatnom računu. Uspostavlja se da su i jedni i drugi imali razloga donositi svatko svoje zaključke jer je zapravo riječ o jednostavno – složenom kamatnom računu.

Primjer DPodignut je zajam od 90 000 kn sa jednakim otplatnim kvotama, uz godišnju

kamatnu stopu 25% na 3 godine. Kako će izgledati otplata tog zajma, na koje se glavnice vrši obračun i jeli riječ o jednostavnom ili složenom obračunu kamata?

Posuđeni iznos: 90 000 (60 000) (30 000) (0)Preostali dug: 90 000 60 000 30 000 0

Glavnica: 90 000 60 000 30 000Vraćeni iznos: 52 500 45 000 37 500

God. Anuitet Kamate Otplatna kvota Ostatak duga0 90 0001 52 500 22 500 30 000 60 0002 45 000 15 000 30 000 30 0003 37 500 7 500 30 000 0∑ 135 000 45 000 90 000

Iz otplatne tablice jasno se vidi da dužnik svake godine odmah plati kamate za tekuću godinu i još trećinu osnovnog duga. Treba primijetiti da se kamate ovdje svake godine svode na nulu. To se dogodi i za drugu i za treću godinu, što znači da su kamate „i uključene i nisu uključene u glavnicu“. Uključene su jer se oduzelo upravo onoliko kamata koliko se i obračunalo, a nisu uključene jer bi glavnica ionako bila

225001 =k 150002 =k 75003 =k

59


uvijek za trećinu ukupnog duga manja. Razlika bi se mogla vidjeti jedino onda kada se ne bi odmah vraćale sve obračunate kamate. Ovaj kamatni račun tako ima svojstva i jednostavnog i složenog kamatnog računa, a po shvaćanjima koja se ovdje predlažu radi se o jednostavno – složenom kamatnom računu.

Ipak, govoreći o nekakvom općem dojmu, za ovaj se račun može reći da je više jednostavan nego složen.

Ukoliko prethodna spoznaja i nije iznenađenje, svakako je, barem iz ovog kuta gledanja, iznenađenje da je model koji se u literaturi obično naziva zajam s jednakim anuitetima, još jedan primjer jednostavno – složenog kamatnog računa. Jednako kao i u važećoj literaturi i u [1], taj model se posebno navodio kao pravi primjer složenog kamatnog računa, ali zbog izostanka detaljnije analize, niti tamo nije uočeno da je taj model, iako obiluje svojstvima složenog kamatnog računa, primjer jednostavno – složenog kamatnog računa.

Primjer EPodignut je zajam od 97 600 kn s jednakim anuitetima, uz godišnju kamatnu

stopu 25% na 3 godine. Kako će izgledati otplata tog zajma, na koje se glavnice vrši obračun i je li riječ o jednostavnom ili o složenom obračunu kamata?

k1 = 22500 k2 = 15000 k3 = 7500

a C r rr

a an

n= ⋅ −( )

−⇒ = ⋅ ⋅

−⇒ =1

197 600 1 25 0 25

1 25 150 000 00

3

3

, ,,

,

Posuđeni iznos: 97 600 (72 000) (40 000) (0)Preostali dug: 97 600 72 000 40 000 0Glavnica: 97 600 72 000 40 000Vraćeni iznos: 50 000 50 000 50 000


Kamate se ovdje plaćaju odmah, a ostatak iznosa se oduzima od osnovnog duga, dakle kamate se svake godine poništavaju. Kamate tako ne mogu odigrati ulogu

kn

60

poučak 36

razlikovanja iznosa koji se određuju za glavnicu i presudnih za određivanje o kojem se kamatnom računu radi – jednostavnom ili složenom. Naravno da se ovdje mogu postaviti brojna pitanja u prilog tvrdnji da se radi o isključivo složenom kamatnom računu, ali ukoliko se oslanja na polazna shvaćanja dolazi se do zaključka da se ipak radi o jednostavno – složenom kamatnom računu, što je svojevrsno iznenađenje.

Ukoliko bi se oslanjalo na opći dojam, naravno da bi se za ovakav kamatni račun moglo reći da je više složen nego jednostavan.

Na ovakve se zaključke nadovezuje i zaključak da se svi zajmovi koji se obrađuju u literaturi koriste jednostavno – složenim kamatnim računom.

Tako je, na primjer, zajam sa unaprijed dogovorenim anuitetima također takav model.

Primjer FOdobren je zajam na 3 godine uz godišnju kamatnu stopu 25% s unaprijed

dogovorenim anuitetima čiji su iznosi redom 20 000 kn, 25 000 kn i 30 000 kn. Kako izgleda otplatna tablicu i koji se kamatni račun koristi pri obračunu kamata?

Rješenje:

k1 = 11 840 k2 = 9 800 k3 = 7 500



Kao i u prethodna dva modela kamate se plaćaju odmah čim su obračunate. Na taj se način gubi razlika između iznosa koji bi prevagnuli u odluci o kojem se kamatnom računu radi.

C ar

ar

ar

C C= + + ⇒ = + + ⇒ =1 22

33 2 3

200001 25

250001 25

30001 25

47360 0, , ,

, 00 kn

61


Za kraj bi bilo zanimljivo navesti primjer potrošačkog kredita, modela kod kojeg se ne koristi obračun kamata jednostavno – složenim kamatnim računom.

Primjer GOdobren je potrošački kredit na 3 mjeseca uz godišnju kamatnu stopu 25% u iznosu od

36 000,00 kn. Koji se kamatni račun koristi pri obračunu kamata i kako izgleda otplata tog kredita?

Rješenje:

k1 = 9000 k2 = 6000 k3 = 3000


Treba primijetiti da se u ovom slučaju ne plaćaju odmah sve kamate koje su obračunate. Za prvo razdoblje plaća se 12 000 kn osnovnog duga i 6 000 kn kamata, iako su obračunate kamate za prvi mjesec 9 000 kn, dakle 3 000 kn kamata je korisnik kredita ostao dužan, a te se kamate ne ubrajaju u sljedeću glavnicu. Glavnica je za drugo razdoblje 24 000 kn, a ostatak duga je 27 000 kn. Tu se vidi da je riječ o isključivo jednostavnom obračunu kamata, jer postoji razlika između iznosa u koji su uključene kamate i iznosa u koji nisu uključene kamate. To se dogodilo zato što se kamate nisu u svakom razdoblju poništavale, nego su se sve do zadnjeg mjeseca zadržavale kao dio duga na kojeg se nisu obračunavale nove kamate.

Literatura

1. Gordan Nogić, O jednostavnom, složenom, dekurzivnom i anticipativnom obračunu kamata, Poučak 30, 2007.,63-79.

2. Boško Šego, Financijska matematika, 2008.

62

poučak 36

Moguća konstrukcija naizgled nemogućeg tijela

Izet Kalaba*

Postoji li tijelo (u prostoru) kojemu projekcija na neku ravninu izgleda kao na slici 1? Pokazat ćemo da takvo tijelo zaista postoji. To tijelo nije nemoguće, ono je kompaktno, ima svoj volumen kao što ga imaju torus ili prizma. Kako jedna projekcija ne određuje tijelo jednoznačno, to će se pokazati da ovaj zadatak određivanja tijela ima beskonačno mnogo rješenja. Dakle, beskonačno mnogo različitih tijela imaju projekciju kao na slici 1. U početku razmatramo moguća rješenja kod kojih su bridovi dužine (nisu zakrivljeni).

Slika 1.

Pretpostavimo da su strane tijela dijelovi ravnina. Onda prednja strana, jedna od šest strana od kojih se tri vide na slici, obojena najsvjetlije i stražnja strana koja se ne vidi imaju zajednički brid na pravcu k (sl.2.).

Slika 2.

* Izet Kalaba – SŠ fra A. Kačića Miošića, Ploče

63

moGuća konstrukcIja naIzGleD nemoGućeG tIjela

Osim toga brida navedene strane imaju još jedan brid zajednički u donjem unutarnjem kutu tijela. Kako se dvije ravnine najviše mogu sjeći po jednom pravcu znači da navedene strane nisu dijelovi dviju ravnina. Dakle, strane nisu ravne kao kod kvadra, već zakrivljene kao na slici 5. lijevo, gore, (s mrežom mimosmjernih dužina).

Slika 3.

Konstrukcija tijela ne može se provesti ako su pravci a, b na sl. 3. paralelni. Kako njihove projekcije a1, b1 na ravninu trebaju biti paralelne, zaključujemo da oni moraju biti mimosmjerni. To razrađujemo u nastavku izlaganja.

Slika 4.

64

poučak 36

Na slici lijevo pravci a, b i c međusobno su mimosmjerni, dok su njihove projekcije a1, b1 i c1 paralelne. Također, na slici desno pravci a, b i c na tijelu su mimosmjerni, a ne usporedni, te nacrtano tijelo može postojati u 3D, a ne kako neki misle da ne može.

Rezimirajmo, strane tijela nisu dijelovi ravnina, tijelo nije poliedar, strane su nerazvojne plohe (u razvojne plohe ubrajamo cilindričnu, konusnu i plohu nastalu od tangenti na krivulju u prostoru). Na kraju rada predočit ćemo jedno rješenje čije su strane razvojne, ali ćemo zato izgubiti to da su svi bridovi tijela dužine, naime neki bridovi će prijeći u lukove.

Tijelo sa slike 1. sastoji se iz tri sukladna dijela, a jedan dio je približno prikazan na slici 5., a kako je dio konstruiran vidi se na slici 4. lijevo (za jasniji uvid treba pročitati napomenu između sl. 7 i sl. 8 te razmotriti sliku 12.).

Slika 5.

Na slici 5 strelicom je označena strana tijela izme-đu mimosmjernih pravaca b i c s prethodne slike (mimo-smjerni pravci ne određuju jednoznačno plohu, tako da ima više rješenja).

Slika 6.

65


Pogled na tijelo, vidi se kosi brid kojeg nosi pravac a (na modelu od krede). Možda će netko primijetiti da je ovdje previše slika, par puta sam pokušao tijelo

smjestiti u koordinatni sustav (analitika je moćno oruđe), ali bih se tada zaplitao u beskrajnim računanjima i na kraju se vraćao sintetičkoj metodi, s obnovljenim oduševljenjem.

Slika 7. Drugi pogled na tijelo

Kako bi se spomenuta sukladna tri dijela skladno sastavila treba izvršiti sitne korekcije na njihovim bridovima a, b, c i b1 (sl.12) ili što je lakše, napraviti pravilnu trostranu prizmu iz koje je izbijena manja pravilna trostrana prizma (najbolje od školske krede) i brusni papir u ruke imajući u vidu sl. 4 lijevo. Brusnim papirom skinut ćemo one dijelove preostale prizme koji na slici 12. nisu obojeni.

Slika 8. Pogled iznutra u kut tijela

Što reći na koncu nego da istraživanja u geometriji nisu tako spektakularna kao u drugim znanostima, to je unutarnji proces pojedinca, daleko od javnosti. Ponekad u tom istraživanju dođete do obala koje su bogate svilom, a ponekad do strmih litica uz koje ne možete pristati. Ipak, želim Ti sreću mladi geometričaru.

66

poučak 36

Efektivna konstrukcija tijela

Cilj prethodnog razmatranja je bio da čitatelj posumnja u tvrdnju kako je tijelo, čija je projekcija na slici 1., nemoguće. Slijedi otkrivanje tijela, njegova konstrukcija. Nadam se da će tijelo zablistati u svoj njegovoj punoći.

Slika 9. Pravilna uspravna trostrana prizma

Slika 10. Prethodna prizma iz koje je izbijena manja pravilna uspravna trostrana prizma (ovaj model najbolje napraviti od školske krede)

Slika 11. Točke su vrhovi tijela što je tema ovoga rada.

67


Slika 11.1 Iz svakog vrha izlaze po 3 brida, primjer vrhovi I, F, C i L. Ostali bridovi iz ostalih vrhova nisu nacrtani, da ne opterete sliku.

Slika 11. 2 Nacrtani su svi bridovi

Slika 12. Konačni izgled tijela, sastoji se od 6 strana, zakrivljenih, nerazvojnih (ne 12 strana), 12 vrhova i 18 bridova

Slika 13. Pogled odozgo na tijelo lijevo, daje desni prika

68

poučak 36

Samo za ljubitelje analitike i računalne grafike:

Slika 14. Analitički prikaz tijela u prostoru (bridovi AB , BC , CD , DE , EF , FG , GH , HI , IJ , JK , KL , LA , AJ , DG , EB , HK , IF i LC ). Vrhovi i bridovi su potpuno određeni, dok jednadžbe strana nisu jer zadatak ima beskonačno mnogo rješenja (treba imati u vidu da okolina točke strane tijela može biti vrlo složena, tako postoje ravninske, kružne, eliptičke, hiperboličke, paraboličke točke plohe).

Slika 15. Projekcija tijela na ravninu xOy

Jedno od rješenja kojemu su i strane određene prikazano je na sl. 16., to je tijelo drukčije od onoga na sl.14. Strane tijela su ALKHIJ, EDCLAB, IHGDEF, IJKHGF, ABCLKJ i EFGDCB.

69


Ne samo da je projekcija dužine na ravninu opet dužina, već je i projekcija luka na ravninu dužina, ako je luk u ravnini koja je okomita na ravninu na koju se projicira, što je slučaj kod tog rješenja.

Slika 16.

Je li ovo drugo rješenje bolje, neka prosudi čitatelj. Strana ALKHIJ je (kao i ostale sukladne strane) razvojna, sastoji se iz dijela dviju konusnih ploha AIJ i HLK i dijela tangencijalne ravnine na njih HIAL. Za razliku od prethodnog tijela kojemu su svi bridovi dužine, ovdje su bridovi IJ, AB, EF, CD, GH i KL zamijenjeni dijelovima glatkih krivulja (npr. IJ se sastoji iz dva kružna luka centralno simetrična u odnosu na točku infleksije tj. prevojnu točku te krivulje, zamislimo je na polovici između I i J). Bitno je da ravnina HIAL dira stožastu plohu AIJ po izvodnici AI (tangencijalna ravnina) kako se ne bi pojavio novi brid AI tijela. Slična je analiza i za ostalih pet promijenjenih bridova.

Na sl. 17. je zakrivljeni brid IJ. Njegova projekcija

je dužina QJ . Luk IJ se sastoji iz dva kružna luka IT i TJ. Središte luka IT je u X, a središte luka TJ je u Y.

Točka T je polovište dužine IJ . Pravac m je simetrala

dužine IT , a pravac n je simetrala dužine TJ .Tako je luk IJ dio glatke krivulje tj. ima točku infleksije u T. Polumjer IX je okomit na gornji osnovni brid

prizme, a polumjer YJ je okomit na donji osnovni brid prizme.Točke X i Y su središta kružnica čiji su lukovi IT i TJ. Sve spomenute projekcije odnose se na ravninu u kojoj leži donja baza prizme, koja se spominje u konstrukciji. Slika 17.

70

poučak 36

Faktoriziranje polinomijalnih parovaŽeljko Zrno*

1. Osnovni problem

Pogledajmo sljedeće parove polinoma: (i) x2 + 8x +12, x2 + 8x +15 (ii) 2x2 + 3x – 2, 2x2 + 3x +1 (iii) 5x2 + 22x + 21, 5x2 + 22x + 24.

Sve njih je moguće faktorizirati preko cijelih brojeva. Ono što je posebno u vezi s tim polinomima je to da se u svakom paru polinomi razlikuju za istu konstantu, u ovom slučaju 3. Prirodno pitanje koje se postavlja je: postoji li beskonačno mnogo takvih parova? Odgovor je pozitivan i to ćemo pokazati. Zbog toga ćemo sada dati formulaciju problema.

Odrediti skup cijelih brojeva a, b, c, d tako da se oba polinoma ax2 + bx + c, ax2 + bx + c + d faktoriziraju preko cijelih brojeva.

Faktorizacija polinoma kao što je 5x2 + 22x + 21 u (x + 3)(5x + 7) je ekvivalentna posjedovanju racionalnih nultočaka odgovarajuće jednadžbe

5x2 + 22x + 21 = 0.Tome ekvivalentno je to da pripadna diskriminanta bude potpuni kvadrat.

Podsjetimo, prirodu rješenja kvadratne jednadžbe ax2 + bx + c = 0 određujemo pomoću diskriminante b2 – 4ac, a rastav na linearne faktore formulom ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), gdje su x1, x2 odgovarajuće nultočke.

Zbog toga se polinomijalne parove iz postavljenog problema može faktorizirati preko cijelih brojeva ako i samo ako postoje cijeli brojevi m, n tako da vrijedi

b2 – 4ac = m2, b2 – 4a(c + d) = n2.

Naš trenutni cilj je odrediti koeficijente a, b, c, d pomoću parametara m i n.Iz činjenice da je

m2 – n2 = 4adparan cijeli broj, povlači da su m i n oba neparni ili oba parni.

* Željko Zrno – Veleučilište Marka Marulića, Knin

71

FaktorIzIranje polInomIjalnIh parova

Dakle jedina mogućnost je da stavimo1 ( )2

a m n= + i 1 ( )2

d m n= − .

Ako stavimo 1 ( )2

a m n= + u b2 – 4ac = m2 , tada dobivamo 2 2

2( )b mc

m n−

=+

.

Sigurni smo da je m + n ≠ 0, jer kad bi bilo m + n = 0 to bi povlačilo a = 0, a to nije istina jer mi radimo s kvadratnim polinomom P(x) = ax2 + bx + c, gdje je po definiciji a ≠ 0.

Ako izaberemo b = m + λ(m + n) za bilo koji λ ∈ Z, tada imamo jednakosti:

1 ( )2

a m n= + , b = m + λ(m + n), 21 ( )2

c m n mλ λ= + + , 1 ( )2

d m n= − . (1)

Evo nekoliko primjera uz oznakeP(x) = ax2 + bx + c, Q(x) = P(x) + d = ax2 + bx + c + d.

m n λ P(x) Q(x)

1 3 3 2x2 +13x + 21 = (x + 3)(2x + 7) 2x2 +13x + 20 = (x + 4)(2x + 5)

5 7 6 6x2 + 77x + 246 = (x + 6)(6x + 41) 6x2 + 77x + 245 = (x + 7)(6x + 35)

-3 9 1 3x2 + 3x = 3x(x +1) 3x2 + 3x - 6 = 3(x -1)(x + 2)

Izraženi su dakle a, b, c, d u (1) pomoću m, n, λ. Izrazimo b, c pomoću a, d, λ. Naime, u prethodnim formulama i tablici d varira uz formule

b = b(a, d, λ), c = c(a, d, λ) .

Ne moramo paziti da m i n budu iste parnosti i da m – n bude fiksan. Iz (1) gledamo jednakosti za a i d , gdje iz tog sustava jednadžbi dobivamo

m = a + d, n = a – d,

pa se to uvrsti u formule b = b(m, n, λ), c = c(m, n, λ):b = a + d + 2λa

c = a λ2+ λ(a + d) (2)

Primje. Za a = 3, d = 7, λ = 6 slijedi da je b = 46 i c = 168, pa imamo iz (2)

P(x) = 3x2 + 46x + 168 = (x + 6)(3x + 28)

Q(x) = 3x2 + 46x + 175 = (x + 7)(3x + 25)

te vidimo da vrijedi Q(x) – P(x) = 7 .

72

poučak 36

Konačno, koristeći (2), imamo opći zapis polinoma P(x) i Q(x) :

P(x) = ax2 + (a + d + 2λa)x + a λ2+ λ(a + d)

Q(x) = ax2 + (a + d + 2λa)x + (λ + 1)(λa + d). (3)

Faktorizacije ovih polinoma su :

P(x) = (x + λ)(ax + aλ + a + d)

Q(x) = (x + λ + 1)(ax + aλ + d) (4)

Dakle zaključujemo da ovakvih polinomijalnih parova polinoma, koje možemo faktorizirati, ima beskonačno, jer su a i λ cijeli brojevi.

2. Ograničenje faktorizacijskog lanca

Postavlja se pitanje: koliko stepenica se možemo penjati po ovoj faktorizacijskoj ljestvici? Odgovor glasi: ne mnogo. Da bismo to vidjeli, promatrajmo lanac polinoma

P(x) = ax2 + bx + c, Q(x) = ax2 + bx + c + d , R(x) = ax2 + bx + c + 2d, …

pri čemu se svaki od tih polinoma faktorizira preko cijelih brojeva. To je moguće ako i samo ako imamo cijele bojeve m1, m2, m3, … sa svojstvom

b2 – 4ac = m12, b2 – 4a(c + d) = m2

2, b2 – 4a(c + 2d) = m32, ….

Članovi na lijevoj strani formiraju aritmetički niz sa zajedničkom diferencijom –4ad, pa to vrijedi i za odgovarajuće kvadrate brojeva m1, m2, m3, … koji se nalaze na desnoj strani. Međutim, poznato je da više od tri kvadrata ne mogu formirati aritmetički niz. Zbog toga nam preostaje da razmotrimo samo tri jednadžbe

b2 – 4ac = m12, b2 – 4a(c + d) = m2

2, b2 – 4a(c + 2d) = m32.

Jedan skup rješenja je

m1 = p2+ 2 pq – q2, m2 = p2 + q2, m3= p2 – 2 pq – q2 (5)

i on osigurava da je m12, m2

2, m32 aritmetički niz s diferencijom 4 pq(q2 – p2).

Na osnovu prethodnog poglavlja i formula (5) imamo:

a = 12

·( m1 + m2) = p2 + pq

d = 12

·( m1 – m2) = p2 – pq (6)

b = a + d + 2λa, c = a λ2+ λ(a + d), λ ∈ Z

73

Primjer. Za p = 3, q = 7, λ = 4 formule (6) daju a = 30, b = 242, c = 488, d = –28,te dobivamo sljedeći lanac faktoriziranih polinoma

30x2 + 242x + 488 = 2(x + 4)(15x + 61)

30x2 + 242x + 460 = 2(x + 5)(15x + 46)

30x2 + 242x + 432 = 2(3x + 8)(5x + 27).

Sljedeći u nizu bi bio 30x2 + 242x + 404 i on je četvrti, pa se ne može faktorizirati nad Z odnosno Q. Nultočke od 30x2 + 242x + 404 su

1,2121 2521

30x − ±

= .

Sada konačno možemo zapisati polinome P(x),Q(x), R(x) pomoću cijelih brojeva p, q i λ i njihove odgovarajuće faktorizacije:

P(x) = (p2 + pq)x2 + [(2λ + 1)p2 + 2(λ + 1)pq – q2]x + (λ2 + λ)p2 + (λ2 + 2λ)pq – λq2

P(x) = (x + λ) · [(p2 + pq)x + (λ + 1)p2 + (λ + 2)pq – q2]

Q(x) = (p2 + pq)x2 + [(2λ + 1)p2 + 2(λ + 1)pq – q2]x + (λ2 + λ)p2 + (λ + 1)2pq – (λ + 1)q2

Q(x) = (x + λ + 1) · [(p2 + pq)x + λp2 + (λ + 1)pq – q2]

R(x) = (p2 + pq)x2 + [(2λ + 1)p2 + 2(λ + 1)pq – q2]x + (λ2 + λ)p2 + (λ2 +2 λ + 2)2pq – (λ + 2)q2

R(x) = [px + (λ + 1)p – q] · [(p+ q)x + λp + (λ + 2)q]

Gornje ispise polinoma P(x), Q(x), R(x) i njihove faktorizacije označimo sa: (7), (8), (9).

3. Srodni problemi

Ovdje ćemo razmotriti problem cjelobrojne faktorizacije parova polinoma

ax2 + bx + c (a + d)x2 + bx + c. (*)

Taj je problem ekvivalentan problemu faktorizacije parova polinoma

cx2 + bx + a cx2 + bx + a + d, (**)

jer iz (*) slijede uvjeti

b2 – 4ac = m2 b2 – 4c(a + d) = n2,

dok iz (**) slijede uvjeti

b2 – 4ac = m2 b2 – 4c(a + d) = n2.


74

poučak 36

Pozovemo li se na neke primjere, stvar postaje jasnija. Iz faktorizacija

6x2 – 19x + 14 = (x – 2)(6x – 7)

6x2 – 19x +15 = (3x – 5)(2x – 3) slijede faktorizacije

14x2 – 19x + 6 = (7x – 6)(2x – 1)

15x2 – 19x + 6 = (3x – 2)(5x – 3)

Također iz faktorizacija

x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)

x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)

slijede faktorizacije

12x2 + 8x + 1 = (2x + 1)(6x + 1)

15x2 + 8x + 1 = (3x + 1)(5x + 1)

Preostaje još treći slučaj faktoriziranja polinomijalnih parova

ax2 + bx + c ax2 (b + d)x + c. (***)

U tom slučaju se traže cijeli brojevi m i n sa svojstvom

b2 – 4ac = m2 (b + d)2 – 4ac = n2. (10)

Eliminacijom člana 4ac iz ovog sustava nastaje

(b + d)2 + m2 = b2 + n2. (11)

Da bi se dobilo rješenje koje zadoviljava uvjet d ≠ 0 (jer je to potrebno da bi se polinomi (***) razlikovali), birajmo

b + d = –b n = ±m .

Dakle je d = –2b.Treba uzeti b ≠ 0 da bi bilo d ≠ 0 . Odabravši b, m iz 4ac = b2 – m2 možemo dobiti a, c . Pri tome b, m trebaju biti iste parnosti obzirom da b2 – m2 mora biti djeljiv brojem 4.

Uz b = 3, d = –6, m = 5 slijedi ac = –4, pa su mogući ovi slučajevi:

75

a c ax2 + bx + c ax2 + (b + d)x + c

–4 1 –4x2 + 3x +1 –4x2 – 3x +1

–2 2 –2x2 + 3x + 2 –2x2 – 3x + 2

–1 4 –x2 + 3x + 4 –x2 – 3x + 4

1 –4 –4x2 + 3x – 4 x2 – 3x – 4

2 –2 2x2 + 3x – 2 2x2 – 3x – 2

4 –1 4x2 + 3x –1 4x2 – 3x –1

Općenitije rješenje dobivamo na temelju jednakosti sa proizvoljnim cijelimbrojevima p, q, r, s :

( pq + rs)2 + ( ps – qr)2 = ( pq – rs)2 + ( ps + qr)2

i stavljamo, koristeći (11)

b + d = pq + rs m = ps – qr

b = pq – rs n = ps + qr . (12)

Slijedi iz prethodnog i (10)

d = 2rs 4ac = ( p2 – r2)(q2 – s2 ) , (13)

gdje p i r ili q i s moraju biti iste parnosti.

4. Jednakost tzv. multistupnjeva

U ovom poglavlju upoznat ćemo se kratko s jednom posebnom jednakosti s kojom se namjeravamo služiti u sljedećem poglavlju.

Naime, određeni skupovi brojeva imaju zanimljiva svojstva. Na primjer skupovi {2, 5, 14} i {9, 12} imaju isti zbroj kao i isti zbroj kvadrata:

2n + 5n +14n = 9n +12n , n = 1,2.

To je zato jer vrijedi

2 + 5 +14 = 9 +12 , 4 + 25 +196 = 81+144.

Ovakav se odnos bilježi na ovaj način

2, 5, 14 9, 12.


76

poučak 36

Analogno imamo

1, 4, 5, 5, 6, 9 2, 3, 3, 7, 7, 8

zato što je

1n + 4n + 5n + 5n + 6n + 9n = 2n + 3n + 3n + 7n + 7n + 8n , 1 ≤ n ≤ 3.

Naime vrijedi1 + 4 + 5 + 5 + 6 + 9 = 2 + 3 + 3 + 7 + 7 + 8,

1 + 16 + 25 + 25 + 36 + 81 = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 64,1 + 64 + 125 + 125 + 216 + 729 = 8 + 27 + 27 + 343 + 343 + 512.

Multistupanj bi dakle bila jednakost tipa

x1, x2, ..., xm y1, y2,..., yn

u kojem imamo sa svake strane jednakosti neke brojeve i zbroj njihovih k – tih potencija se treba podudarati ako se k mijenja od 1 do broja r, tj.

1 1

m n

i ji j

x y= =

=∑ ∑

2 2

1 1

m n

i ji j

x y= =

=∑ ∑ (14)

…

1 1

m nr ri j

i j

x y= =

=∑ ∑

5. Faktoriziranje kubnih polinoma

Problem određivanja parova polinoma

P(x) = 0

nk

kk

a x=∑ i P(x) + d, (n ≥ 3)

tako da se svaki od njih može faktorizirati u n linearnih faktora nad cijelim brojevima je vezan uz problem određivanja multistupnjeva tipa

1 2 1 2i i i i i i

n nα α α β β β+ + + = + + + , 1 ≤ i ≤ n – 1,

dakle takvih da iznad znaka jednakosti piše broj koji je za jedan manji od broja elemenata sa svake strane jednakosti. Dakle ako je sa svake strane po pet elemenata, onda se za njih moraju podudarati njihov zbroj, zbroj njihovih kvadrata, zbroj njihovih kubova i zbroj njihovih bikvadrata.

77

Pokazat ćemo ovu međuzavisnost u slučaju para kubnih polinoma. Na sličan način se provodi metoda u općem slučaju. Pretpostavimo da je vodeći koeficijent a3 jednak 1 i da imamo polinome

P(x) = x3 + a2x2 + a1x + a0 = (x – α1)(x – α2)(x – α3)

P(x) + d = x3 + a2x2 + a1x + a0 + d = (x – β1)(x – β2)(x – β3).

Izjednačivši koeficijente uz iste potencije dobivamo

α1 + α2 + α3 = –a2 = β1 + β2 + β3

α1α2 + α2α3 + α1α3 = a1 = β1β2 + β2β3 + β1β3

α1α2α3 – β1β2β3 = d.

Odavde slijediα1

2 + α22 + α3

2 = (α1 + α2 + α3)2 – 2(α1α2 + α2α3 + α1α3) =

=(β1 + β2 + β3)2 – 2(β1β2 + β2β3 + β1β3) = β1

2 + β22 + β3

2

pa zbog

α1 + α2 + α3 = β1 + β2 + β3, α12 + α2

2 + α32 = β1

2 + β22 + β3

2

vrijediα1, α2, α3 β1, β2, β3 (****)

I obrnuto, krenuvši odavde možemo formirati gornji par kubnih polinoma.

Primjer 1. Odredimo par polinoma trećeg stupnja P(x) i Q(x) = P(x) + d, koji su normirani i za čiji rastav na faktore vrijedi multistupanj jednakost 3, 8, 10 4, 6, 11.

Rješenje: d = 3 · 8 · 10 – 4 · 6 · 11 = –24 . Dakle vrijedi

(x – 3)(x – 8)(x –10) – 24 = (x – 4)(x – 6)(x –11) .

Traženi polinomi su P(x) = (x – 3)(x – 8)(x –10) i Q(x) = (x – 4)(x – 6)(x –11).

Sada je moguće prijeći na slučaj kad vodeći koeficijent polinoma nije 1 tj. kad polinom nije normiran. Na temelju prethodnih formula kako dobiti multistupnjeve pomoću parametara p, q, r, s možemo birajući za p, q, r i s racionalne brojeve dobiti racionalne multistupnjve.


78

poučak 36

Primjer 2.

5 7 13 5 11 2 41, , , , , ,6 3 6 2 6 3 3

=

d = 5 11 2 4 5 7 13 52 6 3 3 6 3 6 36⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −

i tako se dobivaju polinomi

5 7 13( ) ( 1)6 3 6

P x x x x x = − − − −

i

5 5 11 2 4( )36 2 6 3 3

P x x x x x − = − − − −

te je dobiven polinomijalni par nad racionalnim brojevima. Množenjem obaju polinoma brojem 108 dobivamo

S(x) = (x – 1)(6x – 5)(3x – 7)(6x – 13) = 108x4 – 684x3 + 1527x2 – 1406x + 455

S(x) – 15 = (2x – 5)(6x – 11)(3x – 2)(3x – 4) = 108x4 – 684x3 + 1527x2 – 1406x + 440

i tako je dobiven kvartični par koji je faktoriziran preko cijelih brojeva.

Literatura1. Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers (Dover, New York, 1966).

2. L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume II (Chelsea, New York, 1971).

3. K. R. S. Sastry, Self-median Triangles, Mathematical Spectrum 22 (1989/90), 58-60.

79

InFormacIje I prIkazI

Hrvatsko matematičko društvo tel: 46 05 708Nastavna sekcija fax: 46 80 335Zagreb, Bijenička c. 30 http://www.math.hr/hmd e-mail: [email protected]

Hrvatsko Matematičko društvo u suradnji s Ministarstvom znanosti, obrazova-nja i športa Republike Hrvatske organizira stručno usavršavanje nastavnika mate-matike Grada Zagreba i Županije zagrebačke. Sudinici dobivaju potvrde o stručnom usavršavanju.

Predavanja se održavaju u zgradi Matematičkog odjela Prirodoslovno-matema-tičkog fakulteta na Bijeničkoj cesti 30 u predavaonici 003 (velika predavaonica).

Tijekom jeseni 2008. godine održana su sljedeća predavanja:

1. listopada 2008. dr. sc. Josip Tambača, Primjeri primjene matematike

5. studenoga 2008. dr. sc. Zvonimir Šikić, Poopćena računanja

3. prosinca 2008. dr. sc. Aleksandra Čižmešija, Matematika u nacionalnom kuriku-lumu - europska iskustva i trendovi, smjernice za hrvatsku kurikulumsku reformu

Raspored za veljaču, ožujak, travanj i svibanj 2009. godine:

Srijeda, 4. veljače 2009. u 18 sati i 30 minutadr. sc. Mladen Vuković: U potrazi za skupovima

Srijeda, 4. ožujka 2009. u 18 sati i 30 minutadr. sc. Franka Miriam Brückler: Matematika Blackjacka iliti kockarska matematika

Srijeda, 8. travnja 2009. u 18 sati i 30 minuta***Goran Sirovatka, dipl. ing.: Vanjsko vrednovanje u hrvatskom školstvu - četiri godine iskustva i kako dalje

Srijeda, 6. svibnja 2009. u 18 sati i 30 minutadr. sc. Hrvoje Kraljević i dr. sc. Aleksandra Čižmešija: Hrvatski matematički kurikulum – ishodi i sadržaji

*** Zbog Državnog natjecanja iz matematike predavanje u travnju neće se održati 1. travnja nego 8. travnja.

80

poučak 36

Rukopise članaka za Poučak primamo jedino u elektroničkom obliku. Preciznije, to mora biti:– format kompatibilan OpenOfficeu (što uključuje gotovo sve verzije Microsofta Worda)Molimo da uz elektroničku verziju rukopisa pošaljete i PDF verziju dokumenta. PDF verziju vašeg rukopisa trebamo za recenziranje i kasnije za kontrolu prilikom unošenja članka u konačnu verziju časopisa. Nije dovoljno poslati samo PDF verziju dokumenta (jer to nije elektronički rukopis).

Upute za autore

Ako rukopis sadrži slike molimo vas da obratitepozornost na sljedeće preporuke:a) kad je moguće

upotrijebite slike u vektorskom formatu - za tiskani časopis bolje su od rasterskih;

b) slike u rasterskom formatu moraju biti u visokoj rezoluciji;

c) nemojte crtati slike/grafove u boji - vodite računa o tomu da se prilikom nužnog prebacivanja u monokromatsku skalu boje gube; (npr. nije jasno koji je zeleni, a koji crveni graf);

d) pošaljite nam i originalne datoteke slika (bez obzira na to što su npr. te slike već ubačene u Word dokument);

e) uobičajeni su (provjereni i prihvatljivi) formati datoteka slika EPS, JPG, PNG, GIF, BMP, TIFF.

Rukopis šaljite e-mailom na adresu [email protected].

Napišite nam svoj broj telefona.

Ako imate bilo kakvih pitanja, slobodno nam se obratite na [email protected].

Uredništvo

Poucak 36[1]

Documents

Transcript of Poucak 36[1]