POTENCIAS Y RAÍCES.

POTENCIAS.

Veamos algunos ejemplos de propiedades de operaciones:

Repasa los conceptos básicos de POTENCIAS (1º ESO), haz

CLIC, con el ratón en el icono:

Ejemplos:

4 4 43 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 4 4 4 4 3 4 81 256 20736

3 3 3 273: 4 3: 4 3: 4 3: 4 3 3 3 : 4 4 4 3 : 4

64

3 2 3 2 53 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 243 3

3 2 3 22

3 3 3 33 : 3 3 3

3 3 3

33 93 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 19683

POTENCIAS CON EXPONENTE NEGATIVO O NULO.

0:n n n na a a a

Teniendo en cuenta las propiedades de potencias de la misma base.

Ejemplos:3

3

17

7

1n

n

a

a

0 1a

1.- Si a es distinto de cero:

: n mm n m na a a a

1m

n n m

a

a a

1n m

n ma

a

2.- Si a es distinto de cero, y m < n (“ m - n < 0 ó n – m > 0”) :

1 15

5

RAÍZ CUADRADA.

IMPORTANTE:.- Teniendo en cuenta que el producto de un número

negativo, por sí mismo es siempre positivo. SE DEDUCE , que no existen

RAÍCES CUADRADAS de números negativos.

Repasa del tema de RAÍCES CUADRADAS (1º ESO), el

concepto de Raíz cuadrada, Raíz exacta, y cálculo de raíces,

por tanteo y manualmente, haciendo CLIC en el icono.

49 NO EXISTEEjemplo:

OPERACIONES CON RAÍCES CUADRADAS.

a b

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces.

Raíz de un producto: a b

Ejemplo:2 6 2 12

6 4 23 3 3

Raíz de un cociente:a

b

a

b

Ejemplo:81 81 9

16 416

La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces.

EXTRACCIÓN DE FACTORES Y SUMA DE RAÍCES.

2a a

Se puede extraer un factor fuera de la raíz para raíces de la forma:

Teniendo en cuenta las propiedades de la raíz de un producto y de un

cociente, y que para cada número a, se cumple

2 2a b a b a b

Ejemplos:

45 9 5 9 5 3 5

La extracción de factores en las raíces cuadradas, en ocasiones la

podemos utilizar para sumar o restar raíces:

Ejemplos: 48 75 16 3 25 3 4 3 5 3 9 3

2 2

b b b

a aa

3 3 3

4 24

45 5 9 5 5 3 5 5 3 5 1 5 2 5 5

16 16 4 4 4 4 216 16

RAÍZ CÚBICA DE UN NÚMERO a

Radicando

Raíz cúbica

3 a 3 si b b a Ejemplos:

3 27 3 pues 3 3 3 27

Si es un número entero, decimos que es una RAÍZ EXACTA

Como:

3 64 4 pues -4 -4 -4 -64 3 a b

8, 27, 75, 343,

Si 3 a b no es RAÍZ EXACTA, decimos que es RAÍZ INEXACTA.

Observa, que al contrario que sucede con las raíces cuadradas, las raíces

cúbicas si tienen raíces de números negativos.

OPERACIONES CON RAÍCES CÚBICAS.

3 a b

La raíz cúbica de un producto es igual al producto de las raíces cúbicas.

Raíz cúbica de un producto: 3 3a b

Ejemplo: 3 3 3216 8 27 2 3 6

Raíz cúbica de un cociente: 3a

b

3

3

a

b

Ejemplo:3

33

27 27 3

64 464

La raíz cúbica de un cociente es igual al cociente de las raíces cúbicas.

EXTRACCIÓN DE FACTORES Y SUMA DE RAÍCES CÚBICAS.

3 3a a

Se puede extraer un factor fuera de la raíz cúbica para raíces de la forma:

Teniendo en cuenta las propiedades de la raíz cúbica de un producto y de un

cociente, y que para cada número a, se cumple

3 33 3 3 3a b a b a b

Ejemplos:

3 33 3 354 27 2 27 2 3 2

La extracción de factores en las raíces cúbicas, en ocasiones la podemos

utilizar para sumar o restar raíces:

Ejemplo: 3 3 33 3 3 354 150 27 2 75 2 3 2 5 2 8 2

3 3

33 3 3

b b b

a aa

3 3

33

2 2 2

27 327