PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS...
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Cálculo 3Práctica N∘ 3
Semestre Académico 2014-1—
ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.
1. a. Parametrizar la curva Γ :x − 12 + y2 = z2
y = x; z ≥ 0. 2 pts
b. Dadas las curvas:
C1 : Ft = e t−2, 11 + t
, lnt + 1 , t ∈ 0,+∞ y
C2 : Gr = r − 2, r9
, ln r , r ∈ 0,+∞.
Hallar la ecuación de la recta tangente a las curva C1 en el punto de intersección de C1
y C2. 2 pts
2. Sea C la curva descrita por la parametrización
Ft = t, 43
t32 , t
2, t ∈ 0,2.
a. Analizar si la parametrización de C es regular. 2 pts
b. Calcular la longitud de la curva C. 2 pts
3. Dada la curva Γ :x2 + 7y2 − z2 = 4
x2 + y2 + z2 = 4; z ≥ 0.
a. Parametrizar la curva Γ. 2 pts
b. Analizar si las rectas tangentes correspondientes a los puntos P1 = 0,1, 3 yP2 = 0,−1, 3 de la curva Γ son paralelas. 2 pts
4. Sean a una constante real positiva y Γ la curva definida por la parametrización
F : 2π, 3π R3
t Ft = at − sen t, a1 − cos t, 2
Encontrar un punto P1 de la curva, de modo que la longitud de arco comprendido entre lospuntos P0 = F 7π
3 y P1 sea 2 3 − 1 a unidades. 4 pts
5. La curva Γ : P = Ft = e t cos t, e t sen t, ut, t ∈ R está contenida en el cono
x2 + y2 − z2 = 0, z ≥ 0.
a. Demostrar que el vector unitario tangente Tt en el punto Ft forma un ángulo
constante con el vector de posición OP. 2 pts
b. Hallar el vector Bt en el punto 1,0,1. 2 pts
Elaborado por los profesores del cursoCoordinador : N. Chau San Miguel, 31 de mayo del 2014
Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Cálculo 3Práctica N∘ 3
Ciclo de Verano 2014—
ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.
1. Dada la curva C :x2 + y2 + z2 = 8
z = x.
a. Hallar una parametrización para C en términos de senos y cosenos. 1 pto
b. Analizar si la parametrización hallada en (a) es regular en su dominio.Justificar surespuesta. 1 pto
c. Hallar la función longitud de arco de C. 1 pto
d. Calcular la longitud de la curva C. 1 pto
2. Sea la curva
Γ : Ft= 491 + t
32 , 4
91 − t
32 , t
3, t ∈ −1,1
Calcular los vectores unitarios T, N y B en el punto Q = 49, 49, 0 de la curva Γ. 3pts
3. Dada la curva
Γ : Ft = e t,e−t, 2 t , t ≥ 0
Calcular la curvatura kt y torsión τt de Γ en el punto Q = 1,1,0 de la curva Γ.3pts
4. Dada la función f x,y = lnx2 + y2.a. Hallar y esbozar las curvas de nivel
Sk = x,y ∈ R2 : f x,y = k para k = lne, ln4.
1 pto
b. Hallar las trazas a los planos coordenados YZ y XZ. 1 pto
c. Esbozar la gráfica de f, usando las trazas y las curvas de nivel. 1 pto
5.a. Probar que no existen los siguientes límites:
i. limx,y→0,0
xy2 + x2y
x2 + y42 pts
ii. limx,y→0,0
2xx2 + y2 + y
2 pts
b. Usando el teorema del Sandwich, demostrar que:
limx,y→0,0
x3y
x4 + y2= 0
3 ptsNorberto Chau
San Miguel, 13 de febrero del 2014
Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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Cálculo 3Práctica N∘ 3
Semestre Académico 2013-2—
ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.
1. Dada la curva Γ descrita por la parametrización Ft = t3, t2,−t3, t > 0.a. Hallar la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva en el punto M donde es
paralela al plano x − 3y = 0. 2 pts
b. Las rectas tangentes a Γ intersecan al plano π : x + y + z = 1 en el punto Q.Parametrizar la curva descrita por el punto Q. 3 pts
2.
a. Sea la curva
Γ : Gt = 4 cos t + cos4t, 4 sen t + sen4t, t ∈ 0, 2π
Analizar si la parametrización de Γ es regular. En caso no lo sea, hallar los valores de t
para los cuales no se cumplen todas las condiciones de regularidad. 2 pts
b. Sea C la curva descrita por la parametrización
Ft = e t cos t, e t sen t, e t, t ∈ 0, 2π.
Calcular la longitud de la curva C. 3pts
3. Sea la curva
Γ : Ft= t, 131 + t
32 , 1
31 − t
32 , t ∈ −1, 1
Hallar el vector binormal Bt, la curvatura κt y la ecuación del plano osculador a la curvaΓ en cualquier punto de ella. 5 pts
4.
a. Demostrar que la curva C : βt = a cos t, a sen t, bt, a > 0, b > 0 tiene torsiónconstante. 3 pts
b. Sea Γ una curva regular parametrizada por α : I → R3 tal que todas sus rectas
tangentes pasan por el origen de coordenadas. Calcular la curvatura de dicha curva.2 pts
Elaborado por los profesores del cursoCoordinador : Prof. Norberto Chau San Miguel, 02 de noviembre del 2013
Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporadodurante la realización de las evaluaciones.
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Cálculo 3Práctica N∘ 3
Semestre Académico 2013-1—
ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.
1. Sea Γ :z = y − x2
x + y = 6
a. Hallar una parametrización de Γ y analizar si dicha curva Γ es regular ó no. 3 pts
b. Por cada punto de P de Γ se traza una recta tangente la cual interseca al plano y = x enun punto Q. Demostrar que el lugar geométrico descrito por estos puntos Q estácontenida en una recta paralela al eje Z. 2 pts
2. Dada la parametrización de la curva Γ :
Ft = t − sen t, 1 − cos t, t3
3− πt2, t ∈ t ∈ 0,2π,
a. Analizar si es regular en su dominio.Justificar su respuesta. 2 pts
b. Hallar la ecuación cartesiana del plano osculador en el punto π, 2,− 2π3
3. 3 pts
3. Sean Γ ⊂ R3 curva contenida en el plano z = 5 y F : 0,3 R una parametrización de
Γ.Si la proyección ortogonal de Γ sobre el plano XY es 3t − t3, 3t2, 0.a. Hallar el punto P0 = Ft0 ∈ Γ tal que el vector tangente a la curva Γ es ortogonal al
vector 0,1,0. 2 pts
b. Calcular el valor de t del punto P = Ft ∈ Γ tal que la longitud de arco de la curva Γcomprendida entre el punto P0 y P sea igual a 14. 3 pts
4. Dada la curva Γ, parametrizada por
αt= cos t, sen t, f t con t ∈ R,
donde f : R R tiene derivadas hasta de tercer orden.a. Demostrar que la curvatura κt es no nula. 2 pts
b. Hallar la torsión τt en cualquier punto de Γ. 2 pts
c. Encontrar una función f t no constante tales que la curva Γ sea plana. 1 pto
Elaborado por los profesores del cursoCoordinador : Prof. Norberto Chau
San Miguel, 1 de junio del 2013
Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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Cálculo 3Práctica N∘ 3
Ciclo de Verano 2013—
ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.1. Expresar la longitud de la curva
Γ : Ft : = at2, bt, c ln t ;1 ≤ t ≤ T
como una integral definida. Evaluar la integral si b2 = 4ac. (3 pts)2. Sea la curva
Γ : Ft : = arctan t,22
lnt2 + 1, t − arctan t ; t ∈ 0,π
Hallar los vectores unitarios Tt, Bt y Nt en el punto Q = π4, 2
2ln2,1 − π
4.
(3 pts)3. Dada la curva Γ : Gt : =6t, , 3t2, t3; t ∈ R, hallar la curvatura κt , la torsión τt de la
curva Γ y el plano osculador en el punto A = 6,3,1. 3 pts
4. Dada la función
z = f x,y = x2 + y.
a. Hallar y esbozar las curvas de nivel Γk de la gráfica de f correspondientes a k = −1,k = 0 y k = 2. 2 pts
b. Hallar las trazas de la gráfica de f con los planos coordenados. 1 pto
c. Esbozar la gráfica de f. 1 pto
5. Analizar si existen los siguientes límites:
a. limx,y→0,0
xy3 + y2 + x2y6
x2 + y62 pts
b. limx,y→0,0
3x2 + 2xy2
x2 + 4y42 pts
6. Sea f x,y =
x2y3
x2 + y432
, si x,y ≠ 0,0
0 , si x,y = 0,0
Analizar la continuidad de f en R2. 3 pts
Elaborado por los profesores del cursoCoordinador : Prof. Norberto Chau
San Miguel, 14 de febrero del 2013
Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Cálculo 3Práctica N∘ 3
Semestre Académico 2012-2—
ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.
1. Sea la función F definida por
F t =
sen t tan tt2
, 4t1 − e4t
,ln 1 + t2
t, t ≠ 0
1,−1,0 , t = 0
Analizar si F es continua en t = 0. 4 pts
2. Dada la curva C :z = x2
y2 = 8x.
a. Usando como parámetro y = t, parametrizar C. 1 pto
b. Por cada punto de la curva C, se traza una recta perpendicular al plano XY, la cualinterseca al paraboloide hiperbólico S : z = 4x2 − y2 en el punto Q. Hallar la ecuaciónvectorial para la curva D descrita por Q. 2 pts
3. Dada la curva Γ:x2 + y = z
y = x2
a. Hallar una parametrización Ft de la curva Γ. 2 pts
b. Analizar la existencia de F ′t) en el dominio de F. 2 pts
4. Sea E :x2
4+y2
9= 1
y + z = 2
a. Parametrizar E usando senos y cosenos. 2 pts
b. Hallar la ecuación vectorial de la recta tangente a E, en cada punto donde E intersecaal plano P : x + y + z = 2. 2 pts
c. ¿Existe algún punto de la curva E, donde la recta tangente es paralela al eje Z?.Justificar su respuesta. 1 pto
5. Sea la curva Γ :x2 + 4y2 − 4y + z2 = 17
z = 2y + 1
a. Hallar una parametrización para Γ en términos de senos y cosenos. 2 pts
b. Analizar si la parametrización hallada en la parte a , es regular. 2 pts
Elaborado por los profesores del cursoCoordinador de Práctica: Prof. Norberto Chau
San Miguel, 3 de noviembre del 2012
Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
TERCERA PRÁCTICA DE CÁLCULO 3
Semestre académico 2012-1
Advertencia: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctores líquidos. 1.
a. Sea
))(,)1(
1()( 22
22attLn
at
attF
Hallar todos los valores reales de para los cuales existe. (2 pts.) a )(tFLimat
b. Analizar si la función definida por
0 , ,)1(
,
0 , 0 ,1,
)(
21
ttt
tLnet
tetsen
tF
t
t
Es continua en . (2 pts.) 0t
2. La Hipérbola: 0 ; 0 ; 14
22 yz
xy , es la proyección ortogonal de una curva
que se encuentra en la superficie del cono . 0 ,222 zyzx
a. Hallar una parametrización de la curva .y su dominio. (3 pts.)
b. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva , en el punto )4
3,
4
5,1(Q
(2 pts.) 3. a. Sea . Hallar el dominio de ))tan( ),1( ,3()( 223 tArcttLnttt y el
valor de t para lo cual α′(t) sea cero. (2 pts.)
b. Sean I un intervalo abierto y una función tal que es paralelo a . Se define la función
3: RIF tFtF
)('' tF)(tF IttG todopara )(
t ,
)(')(
I c
. Demostrar que la
función derivada siendo una constante. ctG )('
(2 pts.) 4. Analizar si es una parametrización regular en
el conjunto R. ))1tan(2 ),( ,()( tArctttsentetF t
(3 pts.) 1 de 2
Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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5. Sea la curva definida por la intersección de las superficies:
9
48)6()3(222
222
zyx
zyx
Parametrizar la curva usando senos, cosenos y especificar su dominio
(4 pts.)
San Miguel, 26 de mayo 2012
Preparado por los profesores del curso Coordinadora: Prof. Olga Chamorro
2 de 2
Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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Cálculo 3Práctica N∘ 3
Ciclo de Verano 2012—
ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.
1. Sea la esfera E : x2 + y2 + z2 + 2x + 2y = 0 y el plano P : λx + y + z + λ = 0.a. Hallar todos los valores de λ para los cuales C = E ∩ P es una circunferencia. 2 pts
b. Hallar el centro y el radio de C. 2 pts
2. La recta L : P = 1,2,0 + t−1,2,1, t ∈ R interseca a la esfera E : x2 + y2 + z2 = 17en los puntos Q y M. Hallar las ecuaciones cartesianas de los planos tangente a E en Q y M
respectivamente. 4 pts
3. Sea
Γ :x2 +
y2
4+ z2 = 1
y = z
a. Hallar una parametrización Ft de la curva Γ, en términos de senos y cosenos. 2 pts
b. Hacer un esbozo de la curva Γ. 1 pto
c. Encontrar todos los valores de t para que ‖F ′t‖ ≠ 0. 1 pto
4. Sea la función f definida por
F t =sen 2t
t2 ,ln1 + t2
t, 6t
1 − e3t, t ≠ 0
1,0,−2 , t = 0
Analizar si F es continua en t = 0. 2 pts
5. Dada la curva
C:x − 12 + y2 = 4
x + y + z = 3
a. Parametrizar C, indicando el dominio de la parametrización. 2 pts
b. Hallar la recta tangente a la curva C en cualquier punto Ft de la curva C. 2 pts
c. La recta tangente a C en el punto 1,2,0 corta al plano YZ en el punto Q . Hallar lascoordenadas de Q. 2 pts
Elaborado por los profesores del cursoSan Miguel, 9 de febrero del 2012
Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
TERCERA PRÁCTICA DE CÁLCULO 3
Semestre académico 2011-2
Advertencia: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctores líquidos.
1. a . Sea , una parametrización regular de una curva C . RttsentttF , ) ,,cos2()( 3
Calcular los vectores unitarios: tangente, binormal y normal a la curva C en el punto . )0,0,2(
(2 puntos)
b. Sea la función
1 , 2,1,1
1 , 0 t, 1
ln2,
1
1,
)(
11
t
tt
t
t
ee
tF
tt
Analizar si es continua en 1. (2 puntos) F
2. La curva Γ es parametrizada por la función
]3
,6
[ , ))ln(cos2 ,2cos1 ,2()(
ttttsentF
Hallar la longitud del arco de la curva Γ comprendido entre el punto ))2
3ln(2,
2
1,
2
3( y el punto
))2
2ln(2,1,1( .
Recordar: ctttdt )tanln(secsec
(3 puntos)
3.-Sea la curva que resulta de la intersección de las superficies
1: 21 yxS , 13:2 yzS .
a. Hallar las rectas tangentes correspondientes a los puntos )3,0,1(1 P .y )3,2,3(2 P de
la curva. (3 puntos) b. Hallar la intersección del plano 1y con todas las rectas tangentes a la curva .
(2 puntos)
CONTINÚA…
1 de 2
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4.- Sea la curva obtenida por una parametrización regular C
]3,1[ , 11
,4
,2)(2
4
t
t
tttF .
a) Hallar la longitud de la curva C . (2 puntos) b) Demostrar que la curvatura está dada por
2
33 2
6)(
ttt
tk (2 puntos)
5.- a. Hallar tal que )(tx 2 , ))2ln( , ),(()( ttttxtF , es una parametrización regular de la curva que pasa por el punto )0,1,2( sabiendo que para todo punto de su vector tangente es ortogonal al vector .
(3 puntos) )1,1,1(
b. Hallar la ecuación cartesiana del plano osculador de en el punto . )0,1,2(
(1 puntos)
San Miguel, 29 de octubre 2011 Preparado por los profesores del curso Coordinadora: Prof. Olga Chamorro
2 de 2