Polynomy Rac Lom Fce

10. Polynomy a racionální lomenné funkce Studijní text

10. Polynomy a racionálně lomenné funkce

A. Polynomy

Definice 10.1. Reálný polynom stupně n (neboli mnohočlen) je funkce tvaru

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a0, kde a1, . . . , an ∈ R, an 6= 0,

která každému komplexnímu číslu x přiřazuje komplexní číslo p(x).a0, . . . , an se nazývají koeficienty.a0 je absolutní člen.x je proměnná.n je stupeň polynomu.

Polynom, který má za koeficienty a0, . . . , an komplexní čísla, se nazývá komplexní polynom.Připouštíme-li hodnoty za proměnnou x z reálného oboru (tj. x ∈ R), mluvíme o reálném (případně

komplexním) polynomu v reálném oboru.Připouštíme-li hodnoty za proměnnou x z komplexního oboru (tj. x ∈ C), mluvíme o reálném (případně

komplexním) polynomu v komplexním oboru.

Definice 10.2. Každé číslo α (reálné i komplexní, podle oboru v jakém pracujeme) takové, že splňujep(α) = 0 se nazývá kořen polynomu p(x).

Poznámka 10.3. Každý kořen je tedy řešením rovnice

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a0 = 0 ,

které říkáme algebraická rovnice n-tého stupně.

Příklad 10.4. Výraz p(x) = x2 +3x−5 je reálný polynom 2. stupně. Rovnice x2 +3x−5 = 0 je algebraickárovnice 2. stupně (kvadratická rovnice).

Poznámka 10.5. Je tedy jasné, že graf funkce p(x) protíná osu x v bodech, které jsou reálnými kořenypolynomu p(x). Toho se dá s výhodou využít například při řešení kvadratických nerovnic grafickou cestou.

Příklad 10.6. Určete kořeny polynomu p(x) v komplexním oboru:a) p(x) = x2 + x− 2;b) p(x) = x4 − 1;c) p(x) = x3 + 1.

Řešení.a) Polynom si zapíšeme ve tvaru algebraické rovnice, tj. x2 + x − 2 = 0, což je „obyčejnáÿ kvadratická

rovnice, kterou vyřešíme. Nalezneme dva reálné (což znamená, že jsou zároveň i komplexní) kořeny α1 = 1a α2 = −2.

b) Řešíme algebraickou rovnici x4 − 1 = 0. Tu upravíme na tvar (x2 + 1)(x2 − 1) = 0. Odtud již snadnozískáme kořeny α1 = 1, α2 = −1, α3 = ı, α4 = −ı.

c) p(x) = x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1) = (x+ 1)(x− 1

2 − ı√

32

) (x− 1

2 + ı√

32

).

ÚM FSI VUT v Brně 43


Otázkou tedy je, zda existuje nějaký univerzální algoritmus na hledání kořenů polynomu? Již v 16. stoletíbyly známy vzorce pro polynom stupně 1, 2, 3 a 4. Dlouhou dobu se potom matematikové snažili naléztpodobné vzorce pro kořeny polynomů stupně 5. Teprve v polovině 19. století bylo dokázáno, že takové vzorcepro polynomy většího nebo rovného pěti neexistují.

Při odhadování racionálních a celočíselných kořenů u polynomů s celočíselnými koeficienty a nenulovýmabsolutním členem nám výrazně pomůže následující věta. Upozorněme však na podstatný detail. Tvrzenívěty nám dává pouze nutnou, nikoli však postačující podmínku pro to, aby číslo r

s bylo kořenem polynomu.

Věta 10.7. Nechť číslo rs , kde r ∈ Z a s ∈ N je kořenem polynomu f(x) = anx

n + · · · + a1x + a0, kdea0, . . . , an ∈ Z a a0 6= 0. Pak platí

r|a0 ∧ s|an.

Poznámka 10.8. Pro ověřování, zda je číslo kořenem polynomu se s výhodou používá Hornerovoschema. Pomocí něj se také snadno zjišťuje násobnost kořene.

Příklad 10.9. Nalezněte všechny racionální a celočíslené kořeny polynomu g(x) = 4x3 − 8x2 − 11x− 3.

Řešení. Podle Věty 10.7 si vytipujeme čísla r a s takto:

r| − 3 =⇒ r = 1, −1, 3, −3;

s |4 =⇒ s = 1, 2, 4.

Dále si vypíšeme všechny možné hodnoty rs .

r

s: 1, −1,

12, −1

2,

14, −1

4, 3, −3,

32, −3

2,

34, −3

4.

Ověření, zda se jedná o kořeny polynomu g(x) provedeme Hornerovým schematem, podle něhož zjistíme, že− 1

2 je dvojnásobným kořenem a 3 je kořenem jednoduchým.

Věta 10.10. Nechť rs , kde r ∈ Z a s ∈ N je kořenem polynomu f(x) = anx

n + · · · + a1x + a0, kdea0, . . . , an ∈ Z a a0 6= 0. Potom pro libovolné celé číslo m platí:

(r −ms)|f(m).

Speciálně tedy: (r − s)|f(1), resp. (r + s)|f(−1).

Příklad 10.11. Rozhodněte, které vytipované kořeny polynomu g(x) = 4x3− 8x2− 11x− 3 z předchozíhopříkladu nemá smysl vyšetřovat Hornerovým schématem.

Řešení. Určíme funkční hodotu g(1) = 4− 8− 11− 3 = −18 a g(−1) = −4− 8 + 11− 3 = −4. Podíváme sena vytipované hodnoty r

s :rs : 1

1 ,−11 ,

12 , −1

2 , 14 , −1

4 , 31 , −3

1 , 32 , −3

2 , 34 , −3

4r + s : 2 0 3 1 5 3 4 -2 5 -1 7 1 g(−1) = −4r − s 0 -2 -1 -3 -3 -5 2 -4 1 -5 -1 -7 g(1) = −18

Z této tabulky je zřejmé, že Hornerovým schématem není nutno vyšetřovat tyto hodnotyrs : −1

1 , 12 , 1

4 , −14 , 3

2 , 34 , 1

1 ,−31 ,−3

2 ,−34 .

Je tedy vidět, že počet potenciálních kořenů se nám výrazně zredukoval a k ověření Hornerovým schéma-tem zůstavají pouze tito adepti: −1

2 , 31 .

Věta 10.12. (Bézoutova věta) Nechť p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a0 je libovolný polynom stupněn ≥ 1. Potom číslo α je kořenem p(x) ⇐⇒ p(x) = (x− α)q(x), kde q(x) je polynom stupně n− 1.



Následující věta měla pro celou algebru opravdu základní význam v dobách, kdy se algebra zabývalastudiem číselných struktur. Platnost této věty tušili již italští matematikové v 16. století, ale první jejísprávný a úplný důkaz nalezl teprve K. F. Gauss v roce 1799.

Věta 10.13. (Základní věta algebry) Každý nekonstantní komplexní polynom má v komplexním oborualespoň jeden kořen.

Věta 10.14. (D’Alembertova věta o rozkladu na kořenové činitele v oboru komplexních čísel)Pro každý polynom p(x) = anx

n + an−1xn−1 + · · · + a0 stupně n ≥ 1 existuje právě n komplexních čísel

α1, α2, . . . , αn (která od sebe nemusejí být různá) takových, že

p(x) = an(x− α1)(x− α2) · · · (x− αn). (10.1)

Uvědomme si jen, že všechna čísla α1, . . . , αn jsou kořeny polynomu p(x).

Poznámka 10.15. Pokud v rozkladu (10.1) vystupuje stejný činitel (x−αi) právě k-krát, řekneme, že αi

je k-násobným kořenem polynomu p(x).

Příklad 10.16. Určete kořeny (i jejich násobnost) polynomů v komplexním oboru:a) p(x) = x2 − 2x+ 1;b) p(x) = x4 + x3;c) p(x) = x2 + 1.

Řešení.a) p(x) = x2 − 2x+ 1 = (x− 1)2, tedy 1 je dvojnásobným kořenem.b) p(x) = x4 + x3 = x3(x− 1), tedy 0 je trojnásobným kořenem a 1 jednoduchým kořenem.c) p(x) = x2 + 1 = (x+ ı)(x− ı), tedy jednoduchými kořeny jsou čísla −ı a ı.

Věta 10.17. Má-li reálný polynom p(x) komplexní kořen α = a+ bı, pak má i komplexně sdružený kořenα = a− bı. Násobnosti obou kořenů jsou stejné.

Příklad 10.18. Určete rozklad reálného polynomu p(x) = x2 + x+ 1 v komplexním oboru.

Řešení. Přepíšeme polynom p(x) = x2 + x+ 1 jako algebraickou rovnici x2 + x+ 1 = 0. Ta má diskriminant

D = −3, a proto jsou jejím řešením dva kořeny x1 = −1+ı√

32 a x2 = −1−ı

√3

2 . Rozklad polynomu vypadá

následovně: p(x) = x2 + x+ 1 =(x− −1+ı

√3

2

) (x− −1−ı

√3

2

).

Příklad 10.19. Určete polynom nejnižšího stupně tak, aby α1 = 0 byl jednoduchý kořen, α2 = −1 byldvojnásobný kořen, α3 = ı a α4 = −ı.

Řešení. p(x) =(x− 0

)(x− (−1)

)2(x− ı

)(x− (−ı)

)= x(x+ 1)2(x− ı)(x+ ı) = x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + x.

Poznámka 10.20. Pokud máme určit rozklad reálného polynomu pouze reálném oboru, tak kvadratickétrojčleny x2 + px+ q se záporným diskriminantem nerozkládáme.



Věta 10.21. (O rozkladu reálného polynomu v reálném oboru) Nechť p(x) = anxn + an−1x

n−1 ++ · · · + a0 je reálný polynom stupně n ≥ 1. Nechť α1, . . . , αr jsou všechny jeho reálné kořeny, každýs násobností ki, i = 1, . . . , r. Pak rozkladem reálného polynomu v reálném oboru rozumíme vztah

p(x) = an(x− α1)k1 · · · (x− αr)kr (x2 + p1x+ q1)l1 · · · (x2 + psx+ qs)ls , (10.2)

kde x2 + pjx+ qj , j = 1, . . . , s jsou nerozložitelné kvadratické trojčleny se záporným diskriminantem, kteréodpovídají komplexním kořenům.

Platí k1 + · · ·+ kr + 2l1 + · · ·+ 2ls = n.

Příklad 10.22. Rozložte polynomy v reálném oboru:a) a(x) = x4 − 1;b) b(x) = 16x4 − 9;c) c(x) = x2 + 2x+ 5;d) d(x) = x3 + 1;e) e(x) = x4 + 1;f) f(x) = x5 + x4 + x3 − x2 − x− 1.

Řešení.a) a(x) = x4 − 1 = (x2 + 1)(x2 − 1) = (x2 + 1)(x+ 1)(x− 1).

b) b(x) = 16x4 − 9 = 16(x4 − 9

16

)= 16

(x2 + 3

4

) (x2 − 3

4

)= 16

(x2 + 3

4

) (x+

√3

2

) (x−

√3

2

).

c) c(x) = x2 + 2x+ 5 nelze v reálném oboru rozložit, protože příslušná kvadratická rovnice má D < 0.d) d(x) = x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1).e) e(x) = x4 + 1 = x4 + 1 + 2x2 − 2x2 = (x2 + 1)2 − 2x2 = (x2 + 1− x

√2)(x2 + 1 + x

√2).

f) f(x) = x5 + x4 + x3 − x2 − x− 1 = x2(x3 − 1) + x(x3 − 1) + x3 − 1 = (x3 − 1)(x2 + x+ 1) == (x− 1)(x2 + x+ 1)(x2 + x+ 1) = (x− 1)(x2 + x+ 1)2.

B. Funkce reálná racionální lomená

Definice 10.23. Nechť p(x) je reálný polynom stupně m a q(x) nenulový reálný polynom stupně n. Pakfunkce

r(x) =p(x)q(x)

se nazývá reálná racionální lomená funkce.

Je-li m < n, pak mluvíme o ryze racionální lomené funkci.Je-li m ≥ n, pak mluvíme o neryze racionální lomenéfunkci.

Příklad 10.24. a) x2+1x3−2x−1 je ryze racionální lomená funkce (krátce: ryze lomená).

b) x4+x−2x2−x−1 je neryze racionální lomená funkce (krátce: neryze lomená).

Poznámka 10.25. Každá neryze racionální lomená funkce se dá zapsat jako součet polynomu a ryzeracionální lomené funkce ve tvaru

r(x) =p(x)q(x)

= h(x) +s(x)t(x)

.

Příklad 10.26. Vyjádřete racionální funkce jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce:a) r(x) = −4x2+10x−1

x2−3x+6 ;

b) r(x) = 2x5−x4+3x2−x+1x2−2x+4 .



Řešení. Polynomy vydělíme tak, jak jsme zvyklí ze střední školy a výsledek dělení zapíšeme ve tvaru:a) r(x) = −4 + 23−2x

x2−3x+6 ;b) r(x) = 2x3 + 3x2 − 2x− 13 + −19x+53

x2−2x+4 .

Definice 10.27. Zlomky tvaru

A

(x− α)ka

Mx+N

(x2 + px+ q)l, kde p2 − 4q < 0

nazýváme parciální zlomky.

Věta 10.28. (Rozklad ryze racionální lomené funkce na parciální zlomky)Každou ryze racionální lomenou funkci r(x) = p(x)

q(x) lze rozložit na součet parciálních zlomků.1. Jmenovatel q(x) rozložíme v reálném oboru:q(x) = an(x− α1)k1 · · · (x− αr)kr (x2 + p1x+ q1)l1 · · · (x2 + psx+ qs)ls .2. Pak každému faktoru (x− αi)ki , i = 1, . . . , r odpovídá skupina ki zlomků ve tvaru

A1

(x− αi)+

A2

(x− αi)2+ · · ·+ Aki

(x− αi)ki

a faktoru (x2 + pjx+ qj)lj , j = 1, . . . , s odpovídá skupina zlomků ve tvaru

M1x+N1

x2 + pjx+ qj+

M2x+N2

(x2 + pjx+ qj)2+ · · ·+

Mljx+Nlj

(x2 + pjx+ qj)lj.

3. Funkci r(x) zapíšeme pomocí součtu odpovídajících skupin zlomků, kterému se říká rozklad naparciální zlomky.

Na příkladu si ukážeme, jakým způsobem vypočítáme příslušné konstanty Ak,Ml a Nl.

Příklad 10.29. Rozložte na parciální zlomky funkci r(x) = x2−2x4−2x3+2x2 .

Řešení. Funkce r(x) je ryze lomená racionální funkce.1. Rozložíme jmenovatel v reálném oboru, tj. q(x) = x4 − 2x3 + 2x2 = x2(x2 − 2x+ 2), kde kvadratický

výraz x2 − 2x+ 2 má záporný diskriminant.2. Rozklad na parciální zlomky má tedy tvar:

x2 − 2x4 − 2x3 + 2x2

=A1

x+A2

x2+

M1x+N1

x2 − 2x+ 2. (10.3)

3. Určíme konstanty A1, A2,M1, N1. Vynásobíme rovnici (10.3) společným jmenovatelem x2(x2− 2x+ 2).Dostaneme

x2 − 2 = A1x(x2 − 2x+ 2) +A2(x2 − 2x+ 2) + (M1x+N1)x2. (10.4)

Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin proměnné x na levé a pravé straně rovnice (10.4) dostávámetuto soustavu rovnic:

A1 +M1 = 0−2A1 +A2 +N1 = 1

2A1 − 2A2 = 02A2 = −2,

ze které je přímo vidět, že A1 = −1, A2 = −1,M1 = 1, N1 = 0. Tedy rozklad na parciální zlomky má tvar

x2 − 2x4 − 2x3 + 2x2

=−1x

+−1x2

+x

x2 − 2x+ 2.

Příklad 10.30. Rozložte na parciální zlomky funkci r(x) = x3−4x2+x−2x4−2x3+2x2−2x+1 .



Řešení. r(x) = xx2+1 −

2(x−1)2 .

Příklad 10.31. Rozložte na parciální zlomky funkci r(x) = x4−x3+3x2−x+1x5+2x3+x .

Řešení. r(x) = x(x2+1)2 −

1x2+1 + 1

x .


Polynomy Rac Lom Fce

Documents

Transcript of Polynomy Rac Lom Fce