Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.
-
Upload
anneliese-ames -
Category
Documents
-
view
109 -
download
1
Transcript of Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.
![Page 1: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/1.jpg)
Polygone und Polyeder
![Page 2: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/2.jpg)
Reguläre Polygone
Dreieck
Quadrat
Pentagon
Hexagon
Oktagon
![Page 3: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/3.jpg)
120º
30º 30º
30º
![Page 4: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/5.jpg)
108º
54º
72º
54º 54º
![Page 6: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/6.jpg)
108º
36º36º36º
72º72º
36º
![Page 7: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/7.jpg)
108º
36º36º36º
72º 36º
36º36º
1
1
y
x
1
![Page 8: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/8.jpg)
1
1
y
x
1
A
B
C D
E
Dreieck ADF ist ähnlich Dreieck BCF.
F
Also . Aber .1
1
x
y 1y x
![Page 9: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/9.jpg)
1
1
y
x
1
A
B
C D
E
F
21 1 5 und 1 implizieren 1 0, oder
1 2
xy x x x y
y
![Page 10: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/10.jpg)
Der Goldene Schnitt1
x 1-x
1
1
x
x x
2 1 0x x
1,2
1 5
2x
![Page 11: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/11.jpg)
Konstruktion von
1
25
5
1 5
2
1 5
2
![Page 12: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/12.jpg)
Pentagon:
1) Konstruiere das Goldene Dreieck2) Konstruiere das Pentagon
![Page 13: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/15.jpg)
Welcheregulären Polygone können
mit Zirkel und
Lineal konstruiertwerden?
Welcheregulären Polygone können
mit Zirkel und
Lineal konstruiertwerden?
The reguläre Septagon (Heptagon) kann nicht mit Zirkel un Lineal konstruiert werden!
![Page 16: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/16.jpg)
Platonische KörperPlatonische KörperReguläre Polyeder, welche konvex
sind und kongruente reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele
Flächen zusammen.
Reguläre Polyeder, welche konvex sind und kongruente
reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele
Flächen zusammen.
Es gibt genau fünf:Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder,
Ikosaeder und Dodekaeder
Es gibt genau fünf:Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder,
Ikosaeder und Dodekaeder
20 12
![Page 17: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/17.jpg)
BeispielBeispiel
OktaederOktaeder BootBoot
konvexkonvex nicht konvexnicht konvex
![Page 18: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/18.jpg)
Photography by Gayla Chandler
“of a Fractal Nature”
http://www.public.asu.edu/~starlite/
![Page 19: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/24.jpg)
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 1: Peripheriewinkel der SeitenflächenSchritt 1: Peripheriewinkel der Seitenflächen
Jede Seitenfläche ist ein reguläres PolygonJede Seitenfläche ist ein reguläres Polygon
Partition des Polygons in n DreieckePartition des Polygons in n Dreiecke
Summe aller Winkel:
Summe aller Winkel im Zentrum:
Summe der Peripheriewinkel:
Ein Peripheriewinkel:
180n
360
180 360 ( 2) 180n n
( 2) 180n
n
![Page 25: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/25.jpg)
Peripheriewinkel:( 2) 180n
n
Dreieck:
Quadrat:
Pentagon:
Hexagon:
60
90
108
128.57..Septagon:
120
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
![Page 26: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/26.jpg)
Schritt 2:Schritt 2:
An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie-winkel kleiner als sein: An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie-winkel kleiner als sein: 360
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
![Page 27: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/27.jpg)
Schritt 3:Schritt 3:In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.
Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .360 / 3 120
Dreiecke:Dreiecke:
3 60 4 60 5 60
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
![Page 28: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/28.jpg)
Quadrat:Quadrat:
3 90
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 3:Schritt 3:In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.
Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .360 / 3 120
![Page 29: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/29.jpg)
Pentagon:Pentagon:
3 108
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 3:Schritt 3:In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.
Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .360 / 3 120
![Page 30: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/30.jpg)
Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …
Flächen Kanten EckenKanten
pro FlächeFlächen an einer Ecke
4 6 4 3 3
Tetraeder
![Page 31: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/31.jpg)
Flächen Kanten EckenKanten
pro Fläche
Flächen
an einer Ecke
6 12 8 4 3
Hexaeder
Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …
![Page 32: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/32.jpg)
Flächen Kanten EckenKanten
pro FlächeFlächen an einer Ecke
8 12 6 3 4
Oktaeder
Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …
![Page 33: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/33.jpg)
Flächen Kanten EckenKanten
pro FlächeFlächen an einer Ecke
20 30 12 3 5
Ikosaeder
Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …
![Page 34: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/34.jpg)
Flächen Kanten EckenKanten
pro Fläche
Flächen
an einer Ecke
12 30 20 5 3
Dodekaeder
Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …
![Page 35: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/35.jpg)
Flächen Kanten EckenKanten
pro Fläche
Flächen an einer
Ecke
4 6 4 3 3
6 12 8 4 3
8 12 6 3 4
20 30 12 3 5
12 30 20 5 3
![Page 36: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/36.jpg)
Flächen Kanten EckenKanten
pro Fläche
Flächen an einer Kante
4 6 4 3 3
6 12 8 4 3
8 12 6 3 4
20 30 12 3 5
12 30 20 5 3
Euler-ZahlEuler-Zahl
?Flaechen Kanten Ecken
![Page 37: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/37.jpg)
Flächen Kanten EckenKanten
pro Fläche
Flächen
an einer Ecke
4 6 4 3 3
6 12 8 4 3
8 12 6 3 4
20 30 12 3 5
12 30 20 5 3
Duale PolyederDuale Polyeder
![Page 38: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/38.jpg)
Duale PolyederDuale Polyeder
Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:
![Page 39: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/39.jpg)
Duale PolyederDuale Polyeder
Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:
![Page 40: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/40.jpg)
Netze von KörpernNetze von Körpern
![Page 41: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/41.jpg)
Netze von KörpernNetze von Körpern
![Page 42: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/42.jpg)
Netze von KörpernNetze von Körpern
![Page 43: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/43.jpg)
Netze von KörpernNetze von Körpern
![Page 44: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/44.jpg)
Netze von KörpernNetze von Körpern
![Page 45: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/45.jpg)
Netze von KörpernNetze von Körpern
![Page 46: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/46.jpg)
Ein Netz aber verschiedene Körper:Ein Netz aber verschiedene Körper:
![Page 47: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/47.jpg)
Ein Körper aber verschiedene Netze:Ein Körper aber verschiedene Netze:
![Page 48: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/48.jpg)
Platonischer Körper
Zahl der Netze
Cubus 11
Dodekaeder 43380
Ikosaeder 43380
Oktaeder 11
Tetraeder 2
Ein Körper aber verschiedene Netze:Ein Körper aber verschiedene Netze:
![Page 49: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/49.jpg)
Welcher Körper ist das?Welcher Körper ist das?
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/
![Page 50: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/50.jpg)
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/
Welcher Körper ist das?Welcher Körper ist das?
![Page 51: Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062622/55204d6949795902118bf221/html5/thumbnails/51.jpg)
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/
Welcher Körper ist das?Welcher Körper ist das?