POLITECNICO DI MILANO

Scuola di Ingegneria Industriale e dell’InformazioneCorso di Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica

Sistema interferometrico per la misura della velocità e del verso di spostamento di un bersaglio

Relatore: prof. Michele Norgia

Tesi di laurea di:Marco Bongini, matricola 804417

Anno accademico 2014-2015

Indice

Introduzione 1

1 Interferometria 3

1.1 Principi di interferometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Prestazioni limite dell'interferometria . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Speckle pattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Richiami dei principi dei laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Emissione stimolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Cavità ottica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 Laser a semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Interferometria a retroiniezione 24

2.1 Teoria del selfmixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Applicazioni dell'interferometria a selfmixing . . . . . . . . 34

2.2 Classi di sicurezza dei laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Struttura hardware del sistema 37

3.1 Componenti principali della scheda analogica . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.1 Alimentatore laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.2 Ramo di lettura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.3 Stadio di preamplificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.4 Stadio fully-differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Sezione digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Modulo ottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Analisi del segnale e algoritmi di misura 52

4.1 Elaborazione del segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Fast Fourier Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.2 Algoritmi della velocità e del verso di spostamento . . . . . 61

4.2 Prove sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 Limiti di velocità e banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Conclusione 72

Appendice 74

Bibliografia 79

Elenco delle figure

1.1 Schema base dell'interferometro di Michelson . . . 4

1.2 Andamento del segnale fotogenerato in funzione di V . . . 6

1.3 Configurazione di Twymann-Green . . . 7

1.4 Ambiguità del verso di spostamento . . . 7

1.5 Diagramma di Wegel . . . 8

1.6 Struttura granulare . . . 11

1.7 Schema semplificato dello spckle-pattern . . . 12

1.8 Dimensione degli speckle . . . 13

1.9 Sistema a due livelli energetici colpito da un fotone . . . 14

1.10 Possibili interazioni tra livelli energetici e luce . . . 15

1.11 Sistema a 3 livelli energetici . . . 16

1.12 Sistema a 4 livelli energetici . . . 17

1.13 Cavità di Fabry-Perot . . . 18

1.14 Round-trip ottico all'interno della cavità di Fabry-Perot . . . 19

1.15 Schema illustrativo di un laser Fabry-Perot . . . 20

1.16 In a) sono mostrati i possibili modi oscillanti in una cavità e in b) lo spettro

della luce con effetto filtrante da parte del materiale attivo . . . 21

1.17 Schema illustrativo di un laser DFB . . . 22

1.18 Schema di un laser VCSEL . . . 23

2.1 Configurazione a self-mixing . . . 25

2.2 Modulazione AM e FM del campo elettrico sorgente . . . 26

2.3 Round-trip ottico del fascio luminoso . . . 27

2.4 Perturbazione della frequenza reale rispetto a quella ideale . . . 29

2.5 F(Φ) per diversi valori di C . . . 32

2.6 Segnale a frange per differenti valori di C . . . 33

2.7 Classi di sicurezza dei laser . . . 35

3.1 Circuito analogico completo . . . 39

3.2 Schema dell'alimentatore laser . . . 40

3.3 Schema del ramo di lettura . . . 41

3.4 Modello del fotodiodo di monitor . . . 42

3.5 Schema della transimpedenza . . . 43

3.6 Modello della transimpedenza . . . 44

3.7 Diagramma di Bode del modulo di A(s) e β(s) . . . 45

3.8 Schema dello stadio fully-differential . . . 46

3.9 Scheda analogica . . . 47

3.10 Microcontrollore e parte analogica di controllo . . . 48

3.11 Schematico del microcontrollore . . . 49

3.12 Dispositivo FTDI . . . 49

3.13 Struttura del modulo laser/fotodiodo WLSD-1550-020m-1-PD . . . 50

3.14 Sistema ottico senza il supporto . . . 50

3.15 Lente C230TMD-C della Thorlabs . . . 51

4.1 Segnale a frange generato da uno spostamento sinusoidale del bersaglio . . . 53

4.2 Sinusoide campionata e troncata in modo da contenere un numero intero di

periodi . . . 57

4.3 Spettro del segnale in figura 4.2 . . . 58

4.4 Sinusoide campionata e troncata in modo da contenere un numero non intero di

periodi . . . 58

4.5 Spettro del segnale in figura 4.4 . . . 59

4.6 Funzione peso della finestra di Hanning . . . 60

4.7 Coefficienti Am per le finestre RVCI . . . 60

4.8 Segnale a dente di sega nei due versi di distorsione . . . 62

4.9 Parte di codice che calcola il verso di spostamento . . . 64

4.10 Schede elettroniche e lente posizionate per le misure . . . 65

4.11 Chopper controller adoperato . . . 65

4.12 Grafico di Labview della velocità relativo al chopper . . . 65

4.13 Grafico di Labview del verso relativo al chopper . . . 66

4.14 Grafico di Labview della velocità relativo al bersaglio oscillante . . . 66

4.15 Grafico di Labview del verso relativo al bersaglio oscillante . . . 67

4.16 Segnale a dente di sega tipico all'uscita dello stadio fully-differential . . . 67

4.17 Frangia ingrandita . . . 69

4.18 Grafico di Labview della velocità relativo al chopper oltre 1 m/s . . . 69

4.19 Grafico di Labview del verso relativo al chopper oltre 1 m/s . . . 70

Introduzione

Questo elaborato è il frutto di un lavoro di circa sei mesi svolto presso il

“Laboratorio di misure ottiche ed elettroniche – MOLES” del dipartimento di

elettronica, informazione e bioingegneria del Politecnico di Milano.

A partire da ricerche e tesi precedenti, ho sviluppato uno strumento in grado di

misurare la velocità e la direzione di spostamento di un bersaglio mobile. La fisica su

cui si basa lo strumento è l'interferometria con tecnica a retroiniezione o self-mixing;

questa tecnica prevede un laser puntato sul bersaglio d'interesse, il quale riflette il fascio

luminoso. Quest'ultimo, tornando verso la sorgente, crea un'interferenza ottica con sé

stesso. Il segnale luminoso viene allora tradotto in corrente da un fotodiodo e quindi

amplificato da una transimpedenza progettata e costruita nell'ambito di questo progetto.

In seguito il segnale viene elaborato digitalmente da un microcontrollore, programmato

in modo opportuno, e trasmesso infine a PC per una visualizzazione grafica.

Esistono già sul mercato strumenti in grado di misurare la distanza assoluta e la

velocità di un bersaglio mobile senza perturbazioni, ma la tecnica a retroiniezione

presenta prestazioni differenti. E' una tecnica recente e consente di effettuare una misura

di velocità assoluta utilizzando solamente un laser, un fotodiodo (solitamente integrati

nello stesso modulo) e una lente, la dinamica di misura è 50 mm-3000 mm con

risoluzioni dell'ordine della decina di µm. Un adeguato apparato digitale completa il

progetto e, dato il costo esiguo dei componenti analogici e digitali moderni, risulta

economico oltreché preciso e robusto. Il progetto finale apporta miglioramenti hardware

e software ai lavori predenti del MOLES.

Il Capitolo 1 è dedicato alle basi dell'interferometria e della fisica su cui si fonda.

Vengono inoltre esposti i sistemi classici di interferometria ottica, evidenziati pregi e

limiti e, infine, sono richiamati i principi fisici dei laser.

Nel Capitolo 2 è esposta matematicamente la tecnica utilizzata in questo elaborato, la

retroiniezione. Alla fine del capitolo sarà chiaro come il fascio luminoso viene modulato

1

in potenza e quali sono le migliori condizioni di funzionamento.

Il Capitolo 3 spiega minuziosamente il procedimento tecnico adottato per la

costruzione della scheda analogica e, quindi, della transimpedenza. Viene poi analizzata

la scelta del microcontrollore e dell'ottica.

Il Capitolo 4 tratta degli algoritmi utilizzati per l'ottenimento della velocità e del

verso di spostamento del bersaglio. Infine sono fornite delle prove sperimentali di

misura.

Milano, Aprile 2016

Marco Bongini

2

Capitolo 1

Interferometria

Questo capitolo iniziale è dedicato alle basi delle tecniche interferometriche e dei laser.

Nella prima parte sarà esposta una panoramica generale di configurazioni ottiche note

evidenziandone i principali aspetti e criticità. Saranno quindi analizzati i fattori che

determinano la degradazione delle qualità interferometriche della luce (con particolare

attenzione al fenomeno degli speckle) e dei limiti intrinseci di misura. Infine,

nell’ultima parte, saranno discusse varie sorgenti di luce coerente a

semiconduttore quali i laser DFB, VCSEL e a Fabry-Perot.

3

1.1 Principi di interferometria

L'interferometria è una parte dell’ottica fisica che si occupa dello studio dei fenomeni

interferenziali della luce e delle loro applicazioni a scopo sia scientifico sia tecnico-

industriale. In particolare l'interferometro ottico, oggetto di questo elaborato, è un

dispositivo atto a dar luogo a un sistema osservabile di frange per interferenza di onde

luminose provenienti da una medesima sorgente di luce e percorrenti cammini ottici

diversi, in accordo con la teoria ondulatoria della luce. La tecnica sfrutta la coerenza

della luce sorgente al fine di creare un battimento ottico su di un dispositivo

fotosensibile e ottenere dunque informazioni sul bersaglio in esame, quali distanza,

velocità, vibrazioni e direzione di moto. Oggi l’interferometria rappresenta uno dei più

importanti metodi per effettuare misure di precisione in molti ambiti industriali e di

ricerca. Le sue caratteristiche di non invasività e di contenuta divergenza del fascio

permettono di realizzare accurati strumenti di misura laddove vi sono ambienti critici

di lavoro e irraggiungibilità del bersaglio.

Figura 1.1: schema base dell'interferometro di Michelson

4

Nel 1887 i fisici statunitensi Albert Abraham Michelson e Edward Morley idearono

una dei primi sistemi interferometrici, l'interferometro di Michelson. In Figura 1.1 è

riportato il funzionamento dello strumento; la sorgente (tipicamente laser) emette un

fascio luminoso che viene opportunamente duplicato da uno specchio semiriflettente, o

beam splitter, in due diversi cammini ottici, quello di riferimento e quello di misura.

Entrambi i fasci luminosi in tal modo generati vengono riflessi da due specchi posti

all'estremità di ciascun cammino, congiungendosi successivamente attraverso il beam

splitter nello stesso punto. Lo specchio posto nel braccio di misura è mobile mentre lo

specchio posto nel ramo di riferimento è fisso. In ultimo i due fasci vengono deviati dal

punto di congiunzione verso un fotorivelatore. L'onda generata è il risultato della

sovrapposizione di due onde isofrequenziali, provenienti dalla medesima onda

inizialmente duplicata, ma con una variazione di fase, dettata dalla differenza di

cammino ottico percorso. Il fotorivelatore genera una corrente proporzionale

all'intensità del fascio luminoso rispettando la seguente relazione:

(1.1)

dove Em

e Er indicano rispettivamente il campo elettrico relativo al cammino ottico di

misura e il campo elettrico relativo al cammino ottico di riferimento. Essi sono stati

rappresentati come vettori rotanti di ampiezza |Em,r

| e fase φm,r

. Dall'espressione 1.1

deriva una corrente fotogenerata pari a :

(1.2)

(1.3)

dove V è la visibilità delle frange, mentre Pmax

e Pmin

sono rispettivamente la massima

intensità ottica e minima intensità ottica che giungono al fotorivelatore. Come si può

notare, la fotocorrente dipende dalla differenza di fase delle due onde riflesse dagli

5

I ph=I m+ I r+2 ⋅√ I m⋅I r cos(ϕm−ϕr )

=( I m+I r )⋅[1+V ⋅cos (ϕm−ϕr )]

I ph=σ ∣Em+Er∣2=σ ∣E m e

iϕm+Er ei ϕr∣

2

V=Pmax−Pmin

Pmax+Pmin

Figura 1.2: Andamento del segnale fotogenerato in funzione di V

specchi. Ovviamente la fase φm corrispondente al ramo di misura è fissa, mentre φ

r

risulta variabile.

E' possibile ricavare l'informazione dello spostamento del bersaglio in base

all'andamento del segnale di battimento normalizzato mostrato in Figura 1.2, al variare

di V.

Esplicitando ora l'espressione della differenza di fase evidenziata nella relazione 1.2,

si ottiene:

(1.4)

dove sm

e sr sono rispettivamente la lunghezza dei cammini ottici di misura e di

riferimento, mentre λ è la lunghezza d'onda del fascio ottico. La fase φ risulta quindi

periodica, con periodo 2π, per spostamenti sm pari a λ/2, per ciascuno dei quali

corrisponde una frangia interferometrica. Siccome la misura è data dal semplice

conteggio delle frange, la risoluzione dello strumento risulta essere proprio λ/2.

Tuttavia l'utilizzo di tale tecnica presenta notevoli svantaggi; innanzitutto la retro

6

ϕ=ϕm−ϕr=2πλ

⋅(sm−sr)

iniezione della luce nella cavità ottica del laser e quindi la modulazione della potenza

ottica trasmessa (problema peraltro eliminabile mediante l’uso di corner cube e cube

beam splitter al posto degli specchi, prendendo il nome di configurazione di Twyman-

Green mostrata in Figura 1.3). Inoltre, a causa della forte sensibilità al disallineamento

angolare, è molto complesso il posizionamento del beam splitter e l'allineamento dei

due specchi per far incidere nello stesso punto i due fasci; anche tale problema è tuttavia

eliminabile con l'uso della configurazione Twyman-Green. Un'ulteriore criticità riguarda

l’ambiguità del verso di spostamento in corrispondenza del massimo o minimo del

segnale cosinusoidale generato (Figura 1.4); il problema è risolvibile mediante l'utilizzo

di un laser a doppio fascio. Infine il dispositivo presenta un costo elevato, in quanto la

sorgente non è costituita laser a semiconduttore ma da un laser HeNe.

Figura 1.3: Configurazione di Twymann Green

Figura 1.4: ambiguità del verso di spostamento

7

1.2 Prestazioni limite dell'interferometria

Indipendentemente dal tipo di configurazione ottica impiegata, ogni interferometro

usato come vibrometro ha dai limiti intrinseci di spostamento misurabile del bersaglio e

della frequenza di oscillazione. I limiti suddetti sono ben rappresentati dal diagramma di

Wegel in Figura 1.5 : il segmento inferiore definisce la sensibilità dello strumento sul

minimo spostamento misurabile a causa del rumore elettronico e della quantizzazione, il

segmento superiore evidenzia invece il massimo spostamento misurabile per cui il

bersaglio lavora correttamente. I segmenti verticali definiscono la banda di frequenze di

oscillazione ammissibili in accordo con la banda di frequenze dell'elettronica di

elaborazione e, infine, la linea obliqua rappresenta la velocità massima rilevabile,

poiché in tale segmento il prodotto fra la frequenza di oscillazione fosc

e lo spostamento s

rimane costante. Il limite di spostamento minimo, ipotizzando trascurabile il contributo

dovuto alla limitata risoluzione, è dominato principalmente dal rumore quantico che si

sovrappone alla corrente foto generata.

Figura 1.5: diagramma di Wegel

8

E' interessante ora trovare il minimo sfasamento rilevabile, affinché la corrente e il

rumore shot a essa associato forniscano un rapporto unitario. Assumo di lavorare a metà

frangia, ove la sensibilità risulta massima, e suppongo di sottoporre il bersaglio a un

piccolo spostamento minore di λ/2. La corrispettiva variazione di fotocorrente è

approssimativamente:

(1.5)

Il rumore shot legato a questa corrente è invece:

(1.6)

e ponendo uguali le equazioni 1.5 e 1.6, trovo quindi che

(1.7)

dove φmin

è la fase equivalente minima di sfasamento per generare un segnale in corrente

pari a in.

Definendo il Noise Equivalent Displacement (NED) come lo spostamento

equivalente minimo per avere rapporto segnale rumore unitario a valle del fotodiodo e

k=2πλ

, ne deriva che:

(1.8)

Con una banda B pari a 1Hz e un laser di tipo HeNe da 1 mW, si ottiene un minimo

spostamento rilevabile pari a 1 fm! Dunque si può ritenere che il rumore quantico sia

trascurabile.

Il limite di massimo spostamento rilevabile è dettato dalla lunghezza media di

coerenza del fascio laser. Un laser presenta sempre un intervallo spaziale di coerenza

9

ϕmin=i n

VI 0

=1V √2

qBI 0

Δ I ph= I 0 V ϕ

in=√2qI0 B

NED shot=ϕmin

k= λ

2πV √2qBI 0

limitata, dopodiché potrebbe incorrere un salto di fase per cui la fase successiva è

casuale ed indipendente da quella precedente.

Si definisce tempo di coerenza τc

il valore medio dell'intervallo temporale tra due

salti consecutivi e quindi la lunghezza di coerenza Lc= c τ

c, dove c è la velocità della

luce. E' utile confrontare Lc con la differenza tra i cammini ottici di riferimento e di

misura dell'interferometro, Δs=|sr-s

m|; se Δs>>L

c non si ha segnale interferometrico, ma

solo rumore. Non è dunque possibile effettuare misure valide, non potendo contare

correttamente le frange. Per questo motivo deve essere verificato che Lc< Δs. I salti di

fase causano inoltre l'allargamento dello spettro ottico di una quantità Δν=1/τc,

provocando un peggioramento del segnale utile rilevato. Allo stesso modo in cui si è

calcolato il parametro NEDshot

, anche il rumore di fase Δν contribuisce alla limitazione

della sensibilità dello strumento.

Considerando che la frequenza del laser varia nel tempo, si può attribuire una

variazione di fase equivalente:

(1.9)

Il rumore di fase ed il corrispettivo errore di spostamento equivalente risultano essere

pari a:

(1.10)

(1.11)

Tipicamente il contributo del rumore di fase della sorgente è dominante rispetto a quello

del rumore quantico. Con riferimento all’esempio precedente, assumendo Δs = 10 cm,

lo spostamento equivalente minimo dovuto a tale contributo risulta essere infatti pari a

10

ϕ=2πλ

(sm−sr)=2πc

(sm−sr)(ν0+Δν)

Δ ϕ=2π(sm−sr)Δ ν

c

NEDΔν=Δϕ

k= Δν

ν0(sr−sm)=

λ0

Lc

(sr−sm)

66 pm.

1.2.1 Speckle Pattern

Infine viene presentato un fenomeno dovuto alla luce diffusa che degrada le

prestazioni dell'interferometro, esso prende il nome di speckle-pattern. Poiché la

maggior parte delle superfici dei bersagli di carattere industriale sono di natura

diffusiva, occorre verificare che l’interferometro funzioni correttamente; tuttavia ogni

qualvolta che un fascio di luce coerente incide su di una superficie diffusiva, la luce

retro-diffusa non avrà una distribuzione spaziale di potenza omogenea ma sarà costituito

da una serie di “granuli” ottici, come mostrato in Figura 1.6.

Figura 1.6: struttura granulare

Da un’analisi di coerenza ottica inoltre risulta che non vi è correlazione tra le fasi

dei granuli. Il fenomeno di base dello speckle-pattern è rappresentato in Figura 1.7,

dove è mostrata che una superficie diffondente presenta variazioni di quota casuali di

ampiezza Δz>>λ.

Quando la superficie viene illuminata con una luce ad alta coerenza, ogni settore di

area circa pari a quella di un avvallamento si comporta da sorgente di luce debolmente

correlata ad un'area adiacente. Il campo risultante in un punto vicino alla superficie è

11

costituito dalla sovrapposizione delle singole onde emesse da ciascuna sorgente.

Essendo la relazione di fase delle onde caotica, le onde si sommano con interferenze

costruttive e distruttive. Il singolo granulo ottico è detto speckle e il loro insieme forma

il tipico aspetto in Figura 1.8. Si definisce un singolo speckle l'ellissoide avente

variazioni di fase contenute nel 50% e con assi di dimensioni:

(1.12)

(1.13)

dove z è la distanza dal punto di osservazione e il bersaglio e D è la dimensione di

macchia su di esso. A causa dello speckle pattern si può soffrire di fading del segnale

interferometrico, ovvero una diminuzione dell'intensità del segnale di misura, che

potrebbe corrispondere ad uno speckle poco intenso. Per risentirne meno si deve

migliorare la focalizzazione del bersaglio, in modo da aumentare la dimensione dello

speckle.

Figura 1.7: schema semplificato dello speckle-pattern

12

sl=λ(2zD

)2

st=λ(zD)

2

Figura 1.8: dimensione degli speckle

1.3 Richiami dei principi dei laser

LASER, sigla di light amplifiction by stimulated emission of radiation, indica un

dispositivo per ottenere fasci intensi ed estremamente concentrati di radiazioni

elettromagnetiche coerenti nei campi infrarosso, visibile ed ultravioletto. Il processo

usuale di emissione delle radiazioni luminose (il cosiddetto irraggiamento per

eccitazione o per luminescenza) consiste nello spontaneo ritorno di un elettrone legato

di un atomo al suo livello energetico stazionario da un livello più alto in cui esso sia

venuto a trovarsi; in tale transizione viene emesso un fotone la cui energia è pari alla

differenza ΔE tra i livelli in questione e la cui frequenza ν è pari ΔE/h, essendo h la

costante di Planck. I fotoni emessi in questi atti spontanei d'irraggiamento non sono

correlati fra loro: la radiazione così emessa è intrinsecamente coerente. Per quanto

riguarda la coerenza, ci si riferisce a due particolari aspetti: la coerenza spaziale e la

coerenza temporale. Entrambi esprimono una misura riferita al campo elettromagnetico;

la prima riguarda la correlazione tra i valori che esso assume in punti diversi nello

spazio, mentre la seconda è relativa alla correlazione tra i valori assunti in istanti

temporali diversi. Nell'emissione stimolata, a differenza dell'emissione spontanea, la

13

fase del fotone che induce l'emissione viene mantenuta uguale nel fotone emesso,

garantendo dunque coerenza sia spaziale che temporale al fascio di luce. In questo caso

difatti l'elettrone, in conseguenza dell'interazione, si diseccita ed emette un fotone

coerente con quello che ha stimolato l'emissione.

Altre due proprietà che un laser possiede sono la monocromaticità e la direzionalità.

La prima si riferisce al fatto che i fotoni emessi sono isofrequenziali, mentre per

direzionalità si intende che l'angolo solido sotteso dal fascio laser è piccolo.

1.3.1 Emissione stimolata

Il fenomeno che permette il corretto funzionamento dei laser è proprio l'emissione

stimolata. Conviene richiamare alcuni concetti riguardo ad essa per semplicità di

trattazione. La radiazione elettromagnetica è costituita da fotoni, ciascuno con energia

pari a E=hν dove ν è la frequenza della radiazione ed è inversamente proporzionale alla

lunghezza d'onda:

(1.14)

Figura 1.9: sistema a due livelli energetici colpito da un fotone

Quando la luce colpisce un materiale, parte della sua energia viene ceduta.

Supponiamo, per semplicità di trattazione, che il materiale in questione investito dalla

radiazione abbia due soli livelli energetici, come in Figura 1.9. Definendo lo stato ad

14

ν=cλ

energia inferiore E1 come stato fondamentale e lo stato ad energia superiore E2 come

stato eccitato, possiamo ricavare il rapporto tra il numero di atomi nello stato

fondamentale e quello nello stato eccitato, all'equilibrio termodinamico alla temperatura

T, tramite la seguente equazione:

(1.15)

dove k è la costante di Boltzmann.

Figura 1.10: possibili interazioni tra livelli energetici e luce

La luce e il sistema atomico possono interagire in tre possibili maniere, mostrate in

Figura 1.10:

• Assorbimento: l'energia ceduta dal fotone ad un atomo che si trova nello stato

E1 può causare la transizione allo stato E

2 con probabilità P

12.

• Emissione spontanea: un atomo dallo stato eccitato può decadere

spontaneamente nello stato fondamentale rilasciando energia sotto forma di

quanto con probabilità P21

.

• Emissione stimolata: un fotone alla frequenza ν21

corrispondente al gap

energetico colpisce il sistema atomico facendo collassare un atomo dallo stato

eccitato allo stato fondamentale, causando la generazione di un fotone alla

medesima frequenza del fotone incidente, il quale non viene assorbito. Si

15

N 2

N 1

=e−E 2−E1

kT

ottengono cosi due fotoni isofrequenziali.

Figura 1.11: sistema a tre livelli energetici

Si nota allora, come nel caso di emissione stimolata, si ottiene una moltiplicazione di

fotoni emessi a seguito dell'interazione iniziale. Nel caso in cui la popolazione al livello

energetico più basso è abbondante, vi sarà un assorbimento; al contrario, se la

popolazione al livello energetico superiore è dominante, vi sarà un'emissione spontanea.

All'equilibrio termodinamico vi sarà verosimilmente una maggioranza di popolazione al

livello E1, in accordo con l'equazione 1.15. Per sfruttare il fenomeno dell'emissione

stimolata si ha dunque bisogno di un inversione di popolazione, impossibile per un

sistema atomico a due livelli. Si può dunque ottenere l'inversione di popolazione

utilizzando un sistema atomico con almeno tre livelli energetici come quello in Figura

1.11.

Per fare in modo che il livello energetico E2 sia maggiormente popolato rispetto al

livello E1, si sfrutta la diversità dei tempi di vita medi dei vari livelli d'energia.

Sottoponendo il sistema atomico ad una radiazione luminosa di frequenza ν31, gli atomi

dello stato E1 si eccitano raggiungendo lo stato instabile E3. Questa prima parte del

processo è chiamata pompaggio.

Dopodiché l'atomo eccitato decadrà nello stato energetico inferiore E2 con una

costante di tempo molto rapida. Solitamente l'energia rilasciata viene trasferita sotto

16

forma di moto vibrazionale al materiale circostante e non come fotone emesso. Facendo

in modo che τ32<<τ21 , si riesce ad ottenere un'inversione di popolazione, cioè N2 > N1,

così da poter innescare l'amplificazione ottica e, quindi, l'effetto laser alla frequenza ν21.

Questo metodo richiede un pompaggio molto elevato, risultando quindi inefficiente. Un

sistema migliore prevede quattro livelli energetici, con funzionamento simile al

precedente. In questo caso avviene un pompaggio di elettroni dal primo al quarto livello

energetico, a cui segue una transizione molto rapida al terzo livello permettendo così di

innalzarne il tasso di popolazione (N3 > N2). Se il decadimento energetico fosse lento a

partire da E3 e veloce a partire da E2, si otterrebbe un buon livello di inversione di

popolazione.

Figura 1.12: sistema a quattro livelli energetici

17

Figura 1.13: cavità di Fabry-Perot

1.3.2 Cavità ottica

Avendo visto come realizzare un materiale amplificatore, che sfrutta l'inversione di

popolazione nei livelli energetici, si può generare il fascio laser inserendo il materiale

all'interno di una cavità ottica, causando una reazione positiva e, quindi, un'oscillazione.

Una semplice cavità ottica è rappresentata dalla cavità a specchi piani e paralleli, o

altrimenti conosciuta come cavità di Fabry-Perot, mostrata in Figura 1.13. Il fascio

viaggia avanti e indietro riflettendosi negli specchi e amplificandosi nel passaggio

all'interno del materiale attivo. Indicando con I l'intensità luminosa, l'amplificazione per

unità di lunghezza nel materiale attivo è definita come:

(1.16)

dove σ è la cross section di emissione. Per un materiale di lunghezza l si ottiene un

guadagno ottico pari a:

(1.17)

Il fascio laser in uscita si ottiene rendendo uno dei due specchi parzialmente

trasparente, in modo che parte della radiazione esca dalla cavità. L'oscillazione si

18

dIdz

=σ(N 2−N 1) I

G=I (l )I (0)

=eσ(N 2−N 1)l

innesca quando il guadagno del materiale attivo supera le perdite della cavità in un giro

completo, o round trip :

(1.18)

valida considerando come uniche perdite la riflettività parziale degli specchi R1 e R2.

Figura 1.14: round trip ottico all'interno della cavità di Fabry-Perot

1.3.3 Laser a semiconduttore

In commercio esistono diversi tipologie di laser a semiconduttore; da un punto di

vista fisico, queste differiscono sia dal processo di realizzazione sia dalla struttura finale

del dispositivo stesso. I parametri su cui si può agire per modificare le caratteristiche di

un diodo laser sono il tipo di cavità ottica impiegata e la forma degli specchi

semiriflettenti necessari a realizzare la retroazione ottica. In base a queste due

caratteristiche peculiari, la maggior parte dei laser a semiconduttore in commercio

rientrano in tre categorie principali:

1) laser Fabry-Perot

2) laser DFB

3) laser VCSEL

La prima categoria di laser, quella a Fabry-Perot, è costituita dalla classica

configurazione con cavità orizzontale con specchi piani, come mostrato in figura 1.15:

19

G2=

1R1 R2

Figura 1.15: schema illustrativo di un laser Fabry-Perot

Il principio di funzionamento è analogo a quello di un oscillatore elettronico. La luce

presente in cavità stimola alcuni atomi, preventivamente eccitati dalla corrente di

pompa, ad emettere un fotone con la stessa fase e frequenza de quello incidente; si crea

così un fenomeno simile ad una valanga ottica caratterizzato da un certo guadagno per

unità di lunghezza e solo le perdite nel materiale e quelle utili (luce uscente) limitano la

potenza emessa. I due specchi ai lati estremi della cavità permettono l’instaurarsi di uno

o più modi di oscillazione stabili (onde stazionarie) realizzando una sorta di retroazione

positiva.

Il guadagno d’anello del laser, che in condizioni stazionarie è unitario, è espresso

nella relazione 1-19 dove R1 e R2 sono le riflettività degli specchi, g è il guadagno per

unità di lunghezza, αi sono le perdite per unità di lunghezza, n è l'indice di rifrazione del

mezzo e L è la lunghezza della cavità.

(1.19)

In condizioni ideali, ovvero con guadagno g costante in frequenza, s’instaurerebbero

20

Gloop=egL eα i L √R1 R2 e− j4π nL

λ

infiniti modi longitudinali spaziati in frequenza della quantità ΔνFSR

, pari a:

(1.20)

Figura 1.16: in a) sono mostrati i possibili modi oscillanti in una cavità ideale e in b) lo spettro

della luce con effetto filtrante da parte del materiale attivo

Tuttavia, a causa della ristretta banda di g, solo alcuni modi “vedono” un guadagno

d'anello maggiore di uno mentre tutti gli altri sono filtrati; il risultato è che il fascio di

luce in uscita presenta solo alcuni modi, o addirittura uno solo (Figura 1.16b). La

condizione di monomodalità è scritta nella relazione 1-20:

(1.21)

La seconda categoria di laser è chiamata DFB (Distribuited Feeb-Back). Il principio

di funzionamento è simile a quello del Fabry-Perot ma con la differenza che non sono

presenti due specchi separati e definiti bensì è inserito uno strato corrugato adiacente

allo strato attivo che crea una perturbazione periodica dell’indice di rifrazione, come

illustrato nello schema in Figura 1.17. Questo meccanismo, detto riflessione di Bragg,

dà origine ad una retroazione distribuita lungo la cavità stessa. La realizzazione di questi

dispositivi è molto raffinata e questo incide sul costo finale.

21

ΔνFSR=c

2nL

BW g⩽c

2L

1.17: schema illustrativo di un laser DFB

L'ultima categoria principale di laser prende il nome di VCSEL (Vertical Cavity

Surface Emitting Laser). Questi dispositivi, a differenza dei precedenti, hanno l'asse

ottico posto lungo la stessa direzione di propagazione di corrente e in Figura 1.18 ne è

schematizzata la struttura.

Le dimensioni della cavità dei laser VCSEL sono molto inferiori alle dimensioni

laterali del dispositivo e la luce è emessa dalla superficie anziché dai bordi laterali. Data

la ridotta cavità, a pari guadagno g occorre aumentare la riflettività degli specchi al fine

di poter avere un guadagno d’anello maggiore di uno; per questo motivo sono realizzati

specchi composti da parecchi strati dielettrici (circa una trentina) con indice di

rifrazione alternato di spessore pari a λ/4. Sostanzialmente sono due riflettori di Bragg,

posti però verticalmente.

La principale limitazione di questo dispositivo è la bassa potenza di emissione per

via degli specchi fortemente riflettenti ma date le sue ridotte dimensioni è possibile

affiancare più diodi laser per aumentare la potenza totale del fascio ottico creando un

sistema di elementi attivi. La caratteristica che premia i VCSEL è la ristretta larghezza

di riga dell’unico modo oscillante; proprio grazie alle sue ridotte dimensioni di cavità, la

distanza spettrale tra i modi ΔνFSR

risulta essere tipicamente maggiore della banda del

22

guadagno BWg. Questi dispositivi sono tuttora in fase di grande sviluppo e possono

certamente trovare impiego in possibili sviluppi futuri per i vibrometri laser.

Figura 1.18: schema di un laser VCSEL

23

Capitolo 2

Interferometria a retroiniezione

In questo capitolo viene trattata la tecnica interferometrica a self-mixing o

retroiniezione, oggetto di questa tesi. Si parte dai fondamenti fisici per arrivare a

comprendere con che tipo di segnale ottico si interfaccia il fotodiodo posto a valle. Sarà

quindi chiaro quali sono le zone ottimali di funzionamento per questo tipo di

applicazione. Infine, visto il largo uso di dispositivi laser nel presente elaborato, sono

presentante le classi di sicurezza che li contraddistinguono.

24

2.1 Teoria del self-mixing

Nel Capitolo 1 sono stati evidenziati gli svantaggi presentati da una configurazione

interferometrica classica. La complessità delle ottiche impiegate con il conseguente

aumento di prezzo e ingombro, sono fattori che ne limitano gli impieghi a

strumentazioni di nicchia. Si pensi ad esempio ai rilevatori di onde gravitazionali,

terrestri e non, che seppur basandosi sulla classica configurazione di Michelson, hanno

raggiunto complessità impensabili da implementare in un dispositivo commerciale. Nel

1978 è stata presentata per la prima volta una nuova tecnica interferometrica chiamata a

retroiniezione o self-mixing, la quale si presta bene alla realizzazione di un sistema

pratico ed economico. Infatti è costituito da un diodo laser, un'ottica di collimazione e

un fotodiodo che spesso è quello di monitor, già presente nello stesso chip del laser

(vedi figura 2.1). A differenza di ciò che accade in un interferometro convenzionale,

l'interferenza avviene all'interno della cavità laser tra il campo ottico interno e il fascio

ottico retroiniettato dal bersaglio esterno. Infatti il fascio laser viene focalizzato o

collimato dalla lente sul bersaglio, una parte della luce riflessa rientra nella cavità del

laser percorrendo lo stesso cammino ottico, dando origine a un battimento con l'onda

già presente.

Figura 2.1: configurazione a self-mixing

Il campo elettrico Er dovuto alla luce retroiniettata si combina con il campo elettrico

25

E0

presente a causa della radiazione emessa. Il campo Er risulta avere uno sfasamento

pari a:

(2.1)

Come si vede in Figura 2.2, è possibile identificare il campo elettrico E0 oscillante nella

cavità come un vettore rotante nel piano delle fasi e scomporre Er nelle sue componenti

in fase e quadratura, le quali causano la modulazione sia in frequenza (FM) che in

ampiezza (AM) del campo elettrico emesso dalla sorgente E0. L'attenuazione dovuta al

cammino ottico è identificata da α.

Una descrizione accurata del sistema ottico richiederebbe di risolvere le tre

equazioni differenziali sviluppate da Lang e Kobayashi nel 1980. Queste equazioni

valutano le variazioni temporali del campo elettrico, del numero di atomi eccitati e della

fase dell’onda in funzione dei parametri fisici del diodo come il tempo di decadimento,

il tempo di round trip esterno, ecc. Questo però è molto complesso e, per semplicità

di trattazione, mi limiterò ad un'analisi quantitativa del primo ordine del sistema che,

comunque, restituisce un'idea chiara del funzionamento della tecnica a self-mixing.

Figura 2.2: modulazione AM e FM del campo elettrico sorgente

26

ϕ=2ks

Figura 2.3: round trip ottico del fascio luminoso

Si faccia riferimento al round trip ottico schematizzato in Figura 2.3. Il campo

elettrico di ritorno che si somma a quello iniziale è dato dalla somma di due contributi:

quello classico dato dalla riflessione dello specchio al lato opposto della cavità e quello

dato dalla riflessione (o diffusione) dovuta al target, mostrato dall’equazione:

(2.2)

dove s’indica con r1 la riflettività dello specchio di uscita, con γ il guadagno netto per

unità di lunghezza (già privato dalle perdite), con L la lunghezza della cavità e con a il

fattore di riflessione (o diffusione) della superficie del target. Di conseguenza il

guadagno d’anello risulta essere:

(2.3)

Come ogni oscillatore, per far si che si instauri un’oscillazione permanente nel tempo

è necessario che sia rispettato il criterio di Barkhausen. Dunque è necessario imporre

delle condizioni sul modulo e sulla fase che assume il guadagno d'anello:

27

E '=Er1 r2 e2γ L e j2kL+α e j2ks

Gloop=r1 r 2 e2 γL e j2kL+αe j2ks

(2.4)

In assenza di retro iniezione, ovvero con coefficiente α nullo, si ritrovano le stesse

equazioni di un normale laser in cui il guadagno uguaglia le perdite:

(2.5)

k=2πnl

ν0

cè il numero d'onda e ν0=N

c2n l

L sono i modi di risonanza.

Se invece la frequenza reale devia da quella di risonanza propria, la frazione di 2kL

in eccesso rispetto ad un multiplo di 2π può essere espressa come:

(2.6)

e in un interferometro di Fabry-Perot all’aumentare della lunghezza di cavità L, la

frequenza di risonanza diminuisce. Pertanto, attorno ad un punto di lavoro vale la

relazione differenziale:

(2.7)

In presenza di retro iniezione invece (quindi con coefficiente α non nullo), l’espressione

2.3 diventa:

(2.8)

Ipotizzando che il termine di deviazione di frequenza (ν-ν0) sia abbastanza piccolo da

28

{∣G loop∣=1ϕloop=0

{∣G loop∣=r1 r 2 e2γ L=1

ϕloop=2kL=N2π

2kL=4π nl Lν−ν0

c

Δ LL

=Δλλ

=−Δνν

r1 r 2 e2 γL sin (4π nl Lν−ν0

c)+α sin (2ks)

considerare sin(x) ≈ x e mettendo l'equazione 2.8 a sistema con le equazioni presenti in

2.5, si riscrive la condizione di risonanza sostituendo i parametri:

(2.9)

(2.10)

Indicando con ν' = ν – ν0 la perturbazione della frequenza reale rispetto a quella

ideale, la modulazione della frequenza vale:

(2.11)

Figura 2.4: perturbazione della frequenza reale rispetto a quella ideale

29

(ν−ν0)+[c

4πn l Lα sin(

4π s ν0

c)]=0

ν '=c

4π nl Lα sin(

4π s ν0

c)

2ks=4π s νc≈4π s

ν0

c

Rappresentando su un grafico Figura 2.4 la frequenza reale υ0 rispetto a quella

imperturbata e allo spostamento s del target, si ottiene una sinusoide sovrapposta alla

bisettrice del primo quadrante; si noti come la funzione sia periodica di 2π, equivalenti a

spostamenti s pari a λ\2.

In base alle equazioni di Barkhausen (2-5) si può esprimere la distanza del target

come un multiplo intero di λ\2 sommato allo scarto Δs:

(2.12)

Dal grafico in Figura 2.4 si vede che spostando il target della quantità Δs la

frequenza reale varia ed assume il valore dato dall'intersezione tra il segmento

tratteggiato e la curva. Nel caso in cui l'ampiezza della sinusoide sovrapposta sia

sufficientemente piccola, il punto di intersezione sarà univoco e si dice essere in regime

di bassa iniezione; nel caso invece di ampiezze maggiori di una certa soglia vi possono

essere tre o più punti di intersezione rappresentanti la frequenza reale ν ed è possibile

determinare quello effettivo soltanto mediante la conoscenza delle condizioni del laser

precedenti allo spostamento Δs. In questo caso si dice essere in regime di alta iniezione

e applicando al bersaglio uno spostamento crescente, si noteranno dei bruschi salti di

frequenza in concomitanza dei punti di intersezione multipli. Se, invece, la pendenza

relativa al punto centrale di intersezione del grafico fosse nulla, avrei un caso

intermedio che demarca gli altri due casi; matematicamente bisogna imporre:

(2.13)

da cui risulta AB = 1. Sostituendo i parametri fisici nell’equazione precedente, risulta:

(2.14)

30

{d ( y= x+A sin(Bx ))

dx=0

Bx=π

s=N λ2+Δ s

c4πn l L

α4π s

c=

α snl L

=1

A questo punto si definisce il fattore C (2.15) come indice della retro iniezione del

sistema interferometrico a self-mixing, pari a:

(2.15)

Nel caso particolare di utilizzo di sorgenti a semiconduttore l’espressione diventa:

(2.16)

dove il termine aggiuntivo αen rappresenta il fattore di allargamento di riga che

tipicamente assume un valore variabile tra 2 e 6.

A seguito di uno spostamento del bersaglio, oltre ad una modulazione della frequenza

di oscillazione, si ottiene anche una modulazione della potenza ottica emessa; più

precisamente, apportando al bersaglio uno spostamento a velocità costante nel tempo, si

nota che l'intensità del fascio assume un andamento periodico a “frange” descritto

dall'espressione 2.17

(2.17)

dove P0 è la potenza del laser senza retro iniezione, m viene detto indice di modulazione

e rappresenta l'ampiezza del segnale a frange sovrapposto al termine costante, φ=2ks è

lo sfasamento tra l'onda emessa e quella retro-iniettata ed infine F( φ) è una funzione

periodica con periodo 2π e ampiezza normalizzata fra -1 e 1.

La forma d'onda della funzione F(φ) e il valore di m dipendono fortemente dal fattore

C, quindi dalle caratteristiche fisiche del sistema ottico. Verranno esposti quattro casi

principali:

• C>>1

Questa condizione di funzionamento presenta una retro-iniezione ottica molto

debole, proprio perché la quantità di potenza ottica rientrante in cavità è molto

31

C=α sn l L

P (ϕ)=P0[1+mF (ϕ)]

C=α s√1+αen

2

n l L

Figura 2.5: F(Φ) per diversi valori di C

ridotta a causa, ad esempio, di un'alta riflettività degli specchi in cavità o di bassi

coefficienti di riflessione/diffusione della superficie del bersaglio. La forma

d'onda F(φ) sarà una sinusoide con ampiezza ridotta.

• 0.1<C<1

Si dice che il laser opera in regime di debole retro iniezione. La forma d'onda

F(φ) inizia a distorcersi come mostrato in Figura 2.5 in alto a destra. La maggior

parte dei casi pratici di funzionamento si trova in questa condizione.

• 1<C<4.6

Il laser funziona con una moderata retro-iniezione. Per questi valori di C vi sono

3 punti d'intersezione nel grafico 2.4 e quindi sono presenti bruschi salti di

potenza ottica. Come si nota dalla Figura 2.5 in basso a destra, il sistema è di

natura bistabile con due stati stabili ed uno instabile (che non si raggiunge se

non nell’istante iniziale). Sperimentalmente si nota che anche questa zona di

funzionamento è frequente.

• C>4.6

Infine, se la luce retro-iniettata è al limite pari a quella incidente, lavorando a

grandi distanze e in un punto in cui lo speckle ha potenza massima, si dice essere

32

in zona di forte retro iniezione e vi sono cinque o più punti di equilibrio.

Tuttavia non tutte le sorgenti a diodo laser riescono a lavorare in questa zona

poiché si manifestano forti non linearità; ad esempio l’onda emessa dal laser

subisce salti casuali di fase rendendo di fatto quasi impossibile effettuare misure

interferometriche.

Figura 2.6: segnale a frange per differenti valori di C

Nella figura 2.6 è mostrato il segnale di comando del bersaglio e i rispettivi segnali

interferometrici a frange al variare del parametro di regime di retroiniezione C .

Ciascuna frangia corrisponde ad uno spostamento del bersaglio Δs=λ/2. La distorsione

della funzione F(Φ) consente di risolvere il problema dell’ambiguità del verso di

spostamento del bersaglio, grazie alla forma a dente di sega del segnale che ne include

l’informazione, non rendendo così necessario l’utilizzo di un secondo canale di misura

interferometrico.

Altri vantaggi del self-mixing oltre quello appena visto, sono la semplicità strutturale

in quanto non necessita di un canale ottico di riferimento, ma l’informazione dello

33

spostamento è contenuta nella potenza ottica emessa dalla sorgente. Per effettuarne la

lettura , si può quindi utilizzare un fotodiodo di monitor spesso già presente nel package

del laser. In alternativa è possibile leggere il segnale in qualunque parte del fascio,

anche dalla parte del bersaglio. Infine, la superficie del bersaglio e l’allineamento ottico

non sono particolarmente critici al fine di ottenere una misura valida e la banda di

misura risulta essere di qualche MHz.

2.1.1 Applicazioni dell'interferometria a retroiniezione

Utilizzando l'interferometria a retroiniezione è possibile effettuare misure per diverse

applicazioni:

▪ Misure di distanza assoluta e spostamenti: è un argomento trattato

nelle tesi precedenti a questa, vedere la bibliografia per riferimenti.

▪ Vibrometria: Si basa sul principio di aggancio a metà frangia

interferometrica tramite un apposito circuito elettronico retroazionato che

agisce sulla lunghezza d’onda del laser, consentendo di misurare

vibrazioni con risoluzioni minori di λ/2.

▪ Velocimetria: se il bersaglio si muove ad una velocità costante v con un

angolo θ rispetto al fascio laser, il segnale di modulazione diventa:

(2.18)

dove 2πωD è la frequenza Doppler. La velocità del bersaglio si può

ricavare dallo spettro in frequenza della fotocorrente sul fotodiodo Iph=σP

2.2 Classi di sicurezza dei laser

Avendo a che fare con sorgenti laser, è importante conoscere i danni che le sorgenti

laser possono provocare, in particolar modo quelli che coinvolgono gli occhi, per

34

P=P0 cos[ω f

c2v t cos(θ)]=P0 cos(ωD t)

garantire lo svolgimento del lavoro in sicurezza. Per questo motivo esiste una normativa

che classifica la pericolosità di una sorgente laser, dividendole tra sette classi.

Figura 2.7: Classi di sicurezza dei laser

• Classe 1: il laser è sicuro nelle condizioni di funzionamento previste, incluso

l’utilizzo di strumenti ottici per la visione del fascio.

• Classe 1M: il laser che emette nell’intervallo di lunghezza d’onda tra 5nm e

4000nm sono sicuri nelle condizioni di funzionamento previste, ma possono

rivelarsi pericolosi se si utilizzano ottiche di osservazione all’interno del fascio.

• Classe 2: comprende i laser che emettono nell’intervallo di lunghezza d’onda

compreso tra 400nm e 700nm. Le reazioni di difesa naturali, come il riflesso

palpebrale, sono sufficienti, incluso l’utilizzo di strumenti ottici per la visione

del fascio, ma l’osservazione prolungata è da evitare.

• Classe 2M: comprende la stessa tipologia di laser della classe 2, con la

differenza che è potenzialmente pericoloso quando si utilizzano ottiche di

osservazione all’interno del fascio.

• Classe 3R: ne fanno parte i laser che emettono nell’intervallo di lunghezza

d’onda compreso tra 302.5nm e 106 nm. La visione diretta del fascio è

35

pericolosa. Da questa classe in poi deve essere affissa una targhetta in prossimità

di ogni apertura attraverso la quale viene emessa una radiazione laser, inoltre il

personale addetto deve essere formato in modo specifico.

• Classe 3B: simile alla classe 3R. Si sconsiglia l’esposizione al fascio, inoltre

bisogna adottare i necessari provvedimenti per l’accesso alla zona laser.

• Classe 4: ne fanno parte i laser pericolosi in caso di visione diretta e che sono in

grado di produrre riflessioni diffuse pericolose. Possono causare lesioni alla

pelle e costituiscono pericolo d’incendio. Sono da utilizzare in zone confinate.

36

Capitolo 3

Struttura hardware del sistema

In questo capitolo sono analizzate le componenti fisiche del sistema. Dapprima è presa

in considerazione la scheda analogica, viene spiegata la scelta dei componenti dello

stadio di polarizzazione e della transimpedenza. E' affrontato poi uno studio di stabilità

in frequenza della scheda, che viene così caratterizzata in banda. Dopo l'analisi del

circuito analogico, si considera la parte digitale del sistema e, infine, è trattato il

modulo ottico utilizzato.

37

3.1 Componenti principali della scheda analogica

La struttura fisica del sistema è divisa in tre parti principali: la scheda analogica, il

microcontrollore e il modulo ottico. La prima ha il compito di polarizzare il laser in una

zona corretta di funzionamento e di amplificare il segnale interferometrico in corrente

emesso dal fotodiodo; il microcontrollore elabora il segnale digitalmente, secondo

alcuni algoritmi implementati, per poi passare ad una successiva elaborazione e

visualizzazione grafica del risultato su personal computer. In questa sezione sarà

analizzata la scheda analogica che, per semplicità di trattazione, è stata divisa in più

parti. La sua versione completa è visibile in figura 3.1. Essa è stata sviluppata tenendo

in considerazione le specifiche che accomunano le sorgenti DFB, ovvero sostenute

correnti di pompaggio.

• Alimentatore laser:

lo stadio che polarizza il laser fornendogli la corrente di pompaggio. Non

avendo una sorgente fissata, è importante che si possa cambiare tale corrente

facilmente in un range che varia da 30 mA a 100 mA.

• Ramo di lettura:

serve a polarizzare correttamente il fotodiodo.

• Stadio di preamplificazione:

esegue un’amplificazione del segnale a frange.

• Stadio fully differential:

esegue un'ulteriore amplificazione del segnale e presenta un'uscita differenziale.

38

Figura 3.1: circuito analogico completo

39

3.1.1 Alimentatore laser

Figura 3.2: schema dell'alimentatore laser

Si è scelto di alimentare il circuito con una tensione Vdd= 5V per avere sufficiente

dinamica, considerato che la maggior parte dei laser presenta una caduta di tensione

diretta intorno ai 2V . Il regolatore di tensione scelto è il LM 7805C, alimentato a 8V ,

che garantisce fino a 1A di corrente in uscita. I condensatori di livellamento, elettrolitici

e ceramici, servono a garantire una tensione di alimentazione più stabile, riducendo i

fenomeni di ripple, in particolare C53 è richiesta se il regolatore si trova ad una distanza

notevole dal filtro d’alimentazione.

È stato utilizzato l’amplificatore operazionale MCP6021 realizzato dalla Microchip,

che garantisce una banda pari a 10MHz. Si sono seguiti i valori consigliati dal datasheet

per quanto riguarda le capacità di alimentazione C8 e C9. Il morsetto positivo

dell’amplificatore operazionale è polarizzato ad una tensione data dalla partizione

resistiva:

(3.1)

40

V plus=R9+R10

R8+R9+R10

V dd

Essendo l’operazionale retroazionato negativamente, la tensione si riporta con lo

stesso valore su Vminus

e quindi ai capi di R12. In questo modo si fissa la corrente di

polarizzazione pari a:

(3.2)

La corrente che scorre su R11

è la stessa che scorre sul laser polarizzandolo. Si utilizza

il BJT npn BC850, per fornire la corrente necessaria per la polarizzazione, che potrebbe

altrimenti essere limitata dalla massima corrente erogabile dall’amplificatore. La

resistenza R12

ha funzione di protezione del laser.

Il ruolo del trimmer in questa applicazione risulta essere di fondamentale importanza

non solo per quanto appena visto in polarizzazione, ma anche perché consente la scelta

del punto di lavoro ottimo del laser.

3.1.2 Ramo di lettura

Figura 3.3: schema del ramo di lettura

41

I pol=V minus

R11

Questa sezione del circuito è utilizzata per effettuare la lettura della corrente sul

fotodiodo. In Figura 3.4 è mostrato il modello equivalente del fotodiodo di monitor,

costituito da un diodo, da una capacità Cd che rappresenta la capacità parassita della

zona di svuotamento, da Rs che rappresenta la resistenza del materiale semiconduttore e

dei contatti e da Rd rappresentante la resistenza di buio del fotodiodo. Nel caso di

tensione inversa applicata ai capi della giunzione il valore assunto dalla capacità

parassita Cd dipende da essa come:

(3.3)

dove Vr è la tensione inversa applicata alla giunzione, mentre φb è la tensione di built

in. Dai valori dichiarati sui datasheet, la capacità parassita risulta essere dell’ordine

delle decine di pF , per cui è preferibile disaccoppiarla dallo stadio a transimpedenza

successivo, in quanto ne avrebbe limitato le prestazioni in banda. Per questo motivo è

stato inserito un BJT npn BC850 che presenta una capacità collettore base Ccb

< 1pF. La

base del transistor è alimentata a metà dinamica, attraverso un partitore resistivo

costituito da R22

e R23

. Le resistenze R20 e R21 polarizzano il BJT, facendogli portare IBJT

= 0.85 mA, fissando:

(3.4)

in modo che il segnale proveniente dal fotodiodo entri tutto nel transistor.

Figura 3.4: Modello del fotodiodo di monitor

42

Cd=C d0

√1+V r

ϕb

1gm

=V th

I BJT

≈30Ω≪R20

3.1.3 Stadio di preamplificazione

Figura 3.5: schema della transimpedenza

Questa parte ha il compito di preamplificare il segnale a frange proveniente dal

fotodiodo, stando attenti ad avere una banda sufficiente affinché il segnale non venga

deteriorato. E' stato scelto l’OPA356 della Texas Instruments, che garantisce una banda

sufficiente per l’applicazione. Esso è polarizzato circa a metà dinamica in modo da

consentire la massima escursione del segnale. z

E' necessario studiare il comportamento in frequenza dello stadio poiché, in presenza

di un guadagno sostenuto, la banda passante potrebbe soffrirne, tenuto conto del trade-

off banda/guadagno di un circuito amplificante come questo. Si procede dunque con il

suo studio accurato, al fine di ottenere le prestazioni desiderate.

Un modello dello stadio utilizzato è mostrato in Figura 3.6. La capacità Cs è la

somma della capacità del fotodiodo ( Cd ), la capacità dell'amplificatore ( C

cm ) e la

43

Figura 3.6: modello della transimpedenza

capacità ( Cdiff

). Si procede quindi con il calcolo del guadagno d'anello (Gloop) del

circuito:

(3.5)

dove

(3.6)

è il guadagno ad anello aperto dell'amplificatore operazionale, mentre β(s) è il guadagno

del ramo di retroazione. Per il calcolo di quest'ultimo basta tagliare l'anello, porre un

generatore di tensione di test e trovare che tensione si sviluppa nel nodo di terra virtuale.

Troviamo:

(3.7)

44

GLOOP (s)=−A(s)β(s)

A(s)=A0

1+s τ0

β−1(s )=(1+R f

Rd

)(1+s τz1

1+s τ p1

)

(3.8)

Con Cs (somma delle capacità parassite) circa pari a 3 pF, RF = 20 kΩ, RD = 1kΩ, CF

= 2,7 pF ottengo il polo della funzione β(s) a circa 3 MHz e il suo zero ad una

frequenza fZ = 28 MHz. Nel diagramma di Bode, visibile in figura 3.7, sono

rappresentate le funzioni β(s) e A(s) (vedi equazione 3.6). La distanza tra le due

rappresenta il guadagno d'anello del sistema GLOOP(s) e il polo fP = 3 MHz di β(s) è

anche quello del guadagno reale. L'angolo di incontro tra β(s) e A(s) è -20 dB/dec sia a

sinistra che a destra, si può dire allora che il sistema è stabile. Il valore di guadagno

della transimpedenza che si ottiene è pari a RF = 20 kΩ.

A0≈100

A(s)

80

60

40 β(s) 1+RF/Rs =21 20 fP≈3 Mhz ≈2.8 0 fZ≈28 MHz

-20 1 kHz 10 kHz 100kHz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz

Figura 3.7: diagramma di Bode del modulo di A(s) e β(s)

45

τ z1=R f Rd (C s+C f )

R f+Rd

τ p1=R f C f

3.1.4 Stadio fully-differential

Figura 3.8: schema dello stadio fully-differential

Lo stadio successivo consiste in un amplificatore fully differential, che ha due

principali funzioni: amplificare leggermente il segnale interferometrico e trasformare il

segnale single ended in differenziale. È stato scelto un OPA2356 della Texas

Instruments perchè è caratterizzato da GBWP sufficiente, nonché da un’alta linearità e

reiezione dei disturbi alle frequenze di interesse. La topologia differenziale è utile in

quanto consente di risentire meno dei fenomeni di ground bounce e dei disturbi

sull’alimentazione. Avendo cammini differenziali vicini e simmetrici, gli accoppiamenti

induttivo-capacitivi sono di modo comune e non vengono trasmessi verso lo stadio

successivo. Inoltre, seguendo il datasheet, sono state inserite delle capacità di

decoupling in modo da assicurare che la tensione Vo,cm risultasse stabile e senza

rumore.

I valori delle resistenze e delle capacità sui due rami sono stati scelti simmetrici,

ottenendo così un guadagno pari a:

46

(3.9)

In particolare le resistenze sono state dimensionate in modo da ottenere un guadagno

Gfully = 20.

In figura 3.9 è visibile la scheda analogica finale implementata in laboratorio.

Figura 3.9: scheda analogica

3.2 Sezione digitale

Per l’acquisizione e l’analisi del segnale interferometrico si è utilizzato il

microcontrollore STM32F405RG prodotto da STMicroelectronics, in quanto ritenuto il

più adatto per l’elaborazione mixed signal. Esso è basato su un microprocessore ARM

Cortex-M4 a 32 bit con frequenza di clock che raggiunge i 168MHz e set di istruzioni

DSP. È stato preferito l’utilizzo di un microcontrollore piuttosto che una FPGA in

quanto è stato ritenuto vantaggioso a livello di costo, ingombro e per la sua integrabilità

direttamente nella PCB.

47

G fully=R27

R26

=R29

R28

La sezione digitale occupa una scheda separata rispetto alle sezioni viste finora, con

lo scopo di tenere separata l’area digitale dall’area analogica più critica. In figura 3.10 è

visibile la scheda realizzata. Sono presenti due regolatori di tensione TPS73233DBVT

che stabilizzano la tensione di alimentazione a Vdd = 3.3V , uno per l’area analogica,

l’altro per la digitale. Nell’area analogica si trova l’amplificatore alle differenze

OPA365 che completa l’amplificazione e il filtraggio del segnale, riportandolo single

ended in ingresso all’ADC. Il guadagno dell’amplificatore alle differenze è stato deciso

dopo uno studio sulle ampiezze delle frange, in maniera tale che all’ingresso dell’ADC

il segnale fosse massima dinamica disponibile. L’acquisizione del segnale

interferometrico avviene facendo campionare a 8 bit in parallelo i tre ADC presenti nel

microcontrollore, sfruttando la massima frequenza di campionamento disponibile fc =

8.4 Msps.

Il segnale così campionato ed elaborato viene trasmesso dal dispositivo FTDI

FT232R (figura 3.12) al PC tramite interfaccia USB, dove poi verrà processato con il

software LabView. In figura 3.11 è visibile lo schematico completo dei pin del

microcontrollore.

Figura 3.10: microcontrollore e parte analogica di controllo

48

Figura 3.11: schematico del microcontrollore

Figura 3.12: dispositivo FTDI

49

3.3 Modulo ottico

In lavori precedenti sono state provate diverse sorgenti. Tra queste è stato scelto il

modulo laser WLSD-1550-020m-1-PD per il suo buon rapporto segnale rumore e per la

facilità di modularne la lunghezza d'onda. Si tratta di un laser DFB con fotodiodo di

monitor integrato, prodotto dalla Wavespectrum, la cui struttura è visibile in Figura

3.13.

Figura 3.13: struttura del modulo laser/fotodiodo WLSD-1550-020m-1-PD

La sorgente è allineata alla lente per la collimazione, questi due componenti

alloggiano in un supporto di alluminio precostituito, i conduttori del modulo laser

rimangono facilmente accessibili dall'esterno per il collegamento con il sistema

elettronico, Figura 3.14.

Figura 3.14: sistema ottico senza il supporto

50

Il bersaglio è schematizzato con un pallino nero e d è la distanza misurata. Il fascio

ottico è riflesso dal bersaglio e ciò comporta l'effetto di retroiniezione. La lente

utilizzata è prodotta da Thorlabs, il codice del prodotto è C230TMD-C, Figura 2.4.

Figura 3.15: lente C230TMD-C della Thorlabs

Essa ha la funzione di raccogliere tutto il fascio laser della sorgente focalizzandolo a

piacere. E' possibile infatti regolare la posizione del fuoco avvitando o svitando la lente.

51

Capitolo 4

Analisi di segnale e algoritmi di misura

Quest'ultimo capitolo presenta gli algoritmi utilizzati per l'elaborazione del segnale. Si

farà vasto uso della Trasformata Discreta di Fourier e, dunque, ne viene fatto un

richiamo teorico. Dopodiché sarà chiaro il modo in cui sono ottenute le informazioni di

velocità e direzione di spostamento del bersaglio. Infine sono mostrate delle prove

sperimentali di misura eseguite in laboratorio.

52

4.1 Elaborazione del segnale

Alla fine del secondo capitolo si è giunti alla conclusione che l'interferometria a self-

mixing presenta notevoli vantaggi rispetto a varie configurazioni classiche. Dalla teoria

che sta alla base di questa recente tecnologia, risulta che gli spostamenti effettuati da un

bersaglio in movimento vengano mappati in un segnale a frange asimmetriche generato

dal fotodiodo di monitor integrato nel package. Infatti si è visto che viene modulata la

potenza ottica in ingresso al fotodiodo (vedi equazione 2.17). Quest'ultimo genera una

fotocorrente direttamente proporzionale alla potenza ottica:

(4.1)

dove R è detta responsività del fotodiodo ed è un parametro tipico del componente. La

corrente oltrepassa quindi lo stadio di transimpedenza cosicché si ottenga un segnale in

tensione modulato a frange.

Nel capitolo 2 si è evidenziato come ogni frangia rappresenti uno spostamento pari a

λ/2 del bersaglio e all'inversione del verso di spostamento se ne inverte anche

l'orientamento. Con un fattore di retroiniezione C buono per l'applicazione (si considera

ottimale avere C ≈ 1) si riesce facilmente a calcolare la velocità del bersaglio, uno dei

fini di questo elaborato, ed anche il verso di spostamento. In figura 4.1 è rappresentato

un segnale in tensione a frange tipico.

Vediamo ora come esso viene elaborato dal microcontrollore per l'estrazione delle

informazioni che interessano.

Figura 4.1: segnale a frange generato da uno spostamento sinusoidale del bersaglio

53

I ph=RP 0

4.1.1 Fast Fourier Transform (FFT)

Si è visto nel capitolo precedente che il segnale viene campionato dall'ADC in

ingresso ad una frequenza fc= 8.4 Msps, dopodiché avviene l'elaborazione vera e

propria. Sia per il calcolo della velocità che per il calcolo del verso di spostamento del

bersaglio, si è interessati all'estrazione delle armoniche del segnale. Risultando allora

comodo lavorare nel dominio delle frequenze, si procede con il computo della FFT dei

dati in ingresso.

La Fast Fourier Transform rappresenta un algoritmo velocizzato di calcolo della

trasformata discreta di Fourier (DFT). In generale, dato un segnale infinito campionato

nel tempo,

(4.2)

la sua trasformata di Fourier è definita come:

(4.3)

dove ω è la pulsazione continua, misurata in radianti. Lo spettro continuo X (e jω) è

periodico di periodo 2π. Per segnali discreti nel tempo di lunghezza finita, la DFT è

definita come:

(4.4)

dove N è il numero dei campioni. Si può vedere che lo spettro è calcolato unicamente

per le frequenze

54

V k=∑n=0

N−1

v ne− j 2π

Nk n

xn(t )=∑n=−∞

+∞

x (n τ)δ(t−τ)

X (e jω)= ∑

n=−∞

+∞

x (n)e− jωn

(4.5)

L'esistenza di algoritmi veloci per il calcolo della DFT, come detto prima, riduce

notevolmente il numero di calcoli necessari al suo computo. Tra i più famosi si

ricordano gli algoritmi di Runge e Konig e quello di Cooley e Tukey. Questi algoritmi

richiedono O (N log N) operazioni anziché O (N2). Vediamo il funzionamento della FFT

quando il numero di campioni N della DFT è una potenza di due; la DFT richiede di

moltiplicare un vettore a N componenti per la matrice N × N la cui componente alla riga

n e colonna k è:

(4.6)

Secondo la notazione introdotta precedentemente si può dunque scrivere:

(4.7)

Separando la sommatoria in due con i termini di indice pari e quelli di indice

dispari si ottiene:

(4.8)

Poiché vale W N2=W N

2

, si ottiene:

(4.9)

55

X (k )=∑n pari

x (n)W Nkn+ ∑

ndispari

x (n)W Nkn=∑

n=0

N2−1

x (2n)W Nk2n+∑

n=0

N2−1

x (2n+1)W Nk(2n+1)

X (k )=∑n=0

N2−1

x (2n )W N2

kn+W N

k ∑n=0

N2−1

x(2n+1)W N2

kn=X 1(k )+W N

k X 2(k )

ωk=2πN

k

W Nkn=e

− j 2πN

k n

X (k )=∑n=0

N−1

x (n)W Nkn

Dato che X1(k) e X2(k) sono periodiche di periodo N/2 e siccome vale che

W N

k+ N2 =−W N

k , possiamo riscrivere:

(4.10)

Si può osservare che il calcolo di X1(k) e X2(k) richiede (N/2)2 moltiplicazioni di due

numeri complessi, mentre W Nk X 2(k ) richiede N/2 moltiplicazioni. In totale, per il

calcolo di X(k) servono 2(N/2)2 + N/2 moltiplicazioni, ovvero una riduzione di circa un

fattore due, rispetto alle N2 moltiplicazioni richieste dalla DFT. Si può procedere

ricorsivamente applicando la stessa strategia, dimezzando la complessità ad ogni

iterazione. In tale maniera se N = 2p, applicando questo algoritmo, una volta ridotta la

sequenza di ingresso ad un solo campione, la procedura è stata invocata p = log2 N

volte. Il calcolo della trasformata di un vettore con N componenti richiama in maniera

ricorsiva il calcolo della trasformata a due vettori con N/2 componenti con O(N)

operazioni di prodotto e somma aggiuntive. Definendo T(N) come il numero totale delle

operazioni necessarie per il calcolo della trasformata di un vettore con N componenti,

vale che:

(4.11)

la cui soluzione è T (N ) = O(N log N ). È chiaro che con l’algoritmo FFT si è ridotta

notevolmente la complessità, in termini di tempo di calcolo, della trasformata. In

particolare, l’analisi appena esposta, mostra che il calcolo della FFT richiede (N/2)log2N

moltiplicazioni di numeri complessi.

Non è possibile ovviamente prendere un numero infinito di campioni di un segnale

56

X (k )=X 1(k )+W Nk X 2(k )

X (k+N2)=X 1(k )−W N

k X 2(k )

T (N )={0 per N=1

2T(N2) per N>1

nel tempo, perché la DFT richiederebbe un numero infinito di calcoli per la sua

implementazione. È necessario quindi troncare il segnale e prendere un numero finito di

campioni. Supponendo che il segnale sia troncato tramite una finestra temporale

rettangolare, ovvero con ogni campione pesato allo stesso modo, è possibile definire la

durata di tale finestra:

(4.12)

A causa del troncamento del segnale nel tempo e a causa delle repliche dello spettro

ripetute ogni kfs dovute al campionamento del segnale, oltre a dover rispettare il teorema

del campionamento di Nyquist, bisogna far attenzione ad una distorsione in banda base

dovuta a leakage, che causa aliasing. La sequenza finita di N campioni si può

considerare appartenente ad una successione di sequenze di periodo Tw = NTs che si

ripetono indefinitamente dando luogo ad un segnale periodico di frequenza:

(4.13)

Lo spettro della sequenza di campioni risulta costituito da delta spaziate di fw, il cui

valore costituisce quindi la risoluzione in frequenza della DFT.

Figura 4.2: sinusoide campionata e troncata in modo da contenere un numero intero di periodi (in

questo caso 6)

57

T w=NT S

f w=1

T w

Figura 4.3: spettro del segnale in figura 4.2

In caso di segnali periodici la scelta della finestra di troncamento e quella della

frequenza di campionamento sono di particolare importanza. Si consideri una sinusoide

di frequenza f0, campionata ad una frequenza fs che rispetta il teorema del

campionamento. In figura 4.2 è mostrata una finestra temporale Tw , contenente un

numero di periodi T0 del segnale. Quindi, ripetere indefinitamente nel tempo la finestra

di osservazione equivale a riprodurre la forma esatta del segnale originario. In questo

esempio il calcolo della DFT fornisce una rappresentazione corretta dello spettro, con

tutte le componenti nulle, ad esclusione di quella ad f0.

Figura 4.4: sinusoide campionata in modo da contenere un numero non intero di periodi (in

questo caso 6,5)

58

Figura 4.5: spettro del segnale in figura 4.4

Nella figura 4.4 è invece mostrata una sinusoide campionata e troncata in maniera

tale che il numero di periodi del segnale contenuti all’interno della finestra non

corrisponda ad un numero intero. In questo caso la replica del segnale non corrisponde

al segnale originario e, per questo motivo, la DFT presenterà componenti armoniche

non nulle a frequenze diverse da f0. Per limitare questo fenomeno, chiamato spectral

leakage, ci sono diverse possibilità, tra cui quella appena vista di effettuare un

campionamento coerente.

Non essendo però sempre possibile scegliere una finestra di troncamento contenente

un numero intero di periodi, si utilizza un’altra soluzione che consiste nel sostituire la

finestra rettangolare con finestre che presentano una transizione graduale alle estremità,

dette smoothing windows. Le proprietà di una finestra sono determinate dal suo spettro e

derivano dalle caratteristiche del lobo principale, che è il punto più alto nello spettro, e

dalle caratteristiche dei lobi laterali. Un lobo principale stretto aumenta la risoluzione

della frequenza in un’analisi DFT, mentre bassi lobi laterali, garantiscono una riduzione

dello spectral leakage. La finestra con il lobo principale più stretto è quella rettangolare,

che però di contro presenta i lobi laterali più alti. Le altre finestre hanno lobi laterali

inferiori a discapito dell’allargamento del lobo principale. È risaputo che la finestra

rettangolare presenta la miglior immunità al rumore anche se il contributo causato dallo

spectral leakage può talvolta risultare dominante. Le finestre sono divise tra

cosinusoidali e non cosinusoidali. Una delle finestre più semplici ed utilizzate tra le

59

Figura 4.6: Funzione peso della finestra di Hanning

cosinusoidali è quella di Hanning che presenta una funzione peso wn(t) massima al

centro e nulla alle estremità, come si può vedere dalla figura 4.6. Questa peculiarità

consente di eliminare la discontinuità del segnale in caso di campionamento non

coerente. Le finestre cosinusoidali possono essere scritte nella forma:

(4.14)

Figura 4.7: Coefficienti Am per le finestre RVCI

Nella Figura 4.7 sono mostrati i coefficienti delle finestre appartenenti alla

RifeVincent Class-I, di cui fanno parte la finestra rettangolare, per M = 0, e la finestra di

Hanning, per M = 1. Le finestre cosinusoidali sono composte dalla somma di finestre

60

wn={∑m=0

M

(−1)m Am cos(2πN

mn) per 0≤ n≤ N

0 per 0>n ≥ N

rettangolari modulate in frequenza, perciò il loro spettro può essere descritto come:

(4.15)

dove ωn = (2π/N) e WR è lo spettro della finestra rettangolare:

(4.16)

Come mostrato nell’equazione 4.13, lo spettro del segnale campionato e troncato è

costituito da un pettine di toni spaziati in frequenza di fw, definendo la risoluzione del

sistema.

4.1.2 Algoritmo della velocità e del verso di spostamento

Si è deciso di impostare N=256. Il microcontrollore calcola la FFT di questi N

campioni, che vengono mappati in un vettore di 128 elementi, cioè esattamente la metà.

Questo avviene sfruttando un'importante proprietà della DFT al fine di risparmiare

memoria. Dato un segnale reale, gli elementi che compongono la sua DFT soddisfano la

simmetria:

(4.17)

quindi vengono eliminate le parti di calcolo ridondanti. A questo punto viene estratta la

prima armonica del segnale a partire dalla DFT: il bin contenente la massima ampiezza

corrisponde alla frequenza di Doppler shift. L'equazione 4.18 esprime il rapporto fra il

numero di bin e la prima armonica:

61

W M (e jω)=∑m=0

M

[(−1)m Am

2W R e j(ω−ωm)+(−1)m Am

2W R e j (ω+ωm)]

W R(e jω)=∑n=0

N−1

e− j ωn=e− jω N−1

2

sin (ω N

2)

sin ( ω2)

f − j= f j∗

(4.18)

dove fc è la frequenza di campionamento dell'ADC.

Come già accennato, ogni frangia del segnale corrisponde uno spostamento pari a λ/2

del bersaglio, con λ uguale alla lunghezza d'onda del laser. Quindi si può calcolare la

velocità del bersaglio con la semplice relazione:

(4.19)

dove f1 è la frequenza di prima armonica menzionata precedentemente.

Figura 4.8: Segnale a dente di sega nei due versi di distorsione

Vediamo ora come ottenere anche l'informazione del verso di spostamento del

bersaglio a partire dalla DFT. Nelle condizioni di moderata retro iniezione (C≈1),

ottenute tipicamente quando il fascio laser è focalizzato sul bersaglio, la forma d'onda

del segnale interferometrico assomiglia a un dente di sega. In prima approssimazione si

può dire che quando il bersaglio si avvicina al laser, il segnale a frange è distorto in un

62

f 1=binmax∗f c

256

v= f 1∗λ2

determinato verso, mentre quando il bersaglio si allontana, la distorsione avviene nel

senso opposto. A titolo di esempio si guardi la figura 4.8. Lo spettro di un segnale a

dente di sega periodico di frequenza f ha oltre l'armonica fondamentale, anche tutte le

multiple pari e dispari. Il segnale di figura 4.8 è dispari, e la sua trasformata di Fourier

corrisponde ad una funzione puramente immaginaria. Dato che la parte reale è nulla, lo

sfasamento di tutte le armoniche sarà di +π/2 o – π/2. Sempre in riferimento alla figura

4.8, la differenza tra la direzione del movimento, e quindi della distorsione delle frange,

è data solo dal segno, infatti il segnale in basso è uguale al segnale superiore

moltiplicato per -1. Per poter discriminare la direzione del bersaglio basterebbe valutare

la fase della prima armonica, che compie uno sfasamento di π all'inversione della

distorsione. Nel caso reale non è possibile misurare la fase assoluta della componente

fondamentale, siccome viene acquisita in un momento qualsiasi. Quello che si effettua,

è una misura differenziale degli sfasamenti. Si consideri un tempo di ritardo ΔT, il quale

cambia la fase delle armoniche di una quantità che è proporzionale alla loro frequenza f.

Per spiegare meglio si prendano ad esempio le prime due armoniche del segnale, che

avranno una differenza di fase pari a:

(4.20)

(4.21)

dove Δφ1 è la differenza di fase tra due misure della prima armonica e, analogamente,

Δφ2 è la differenza di fase tra due misure della seconda armonica. Di conseguenza è

possibile ricavare il ritardo di tempo ΔT:

(4.22)

dove Δφ21 è la differenza tra la fase delle prima armonica e la fase della seconda.

Ora si vuole stimare la direzione del movimento del bersaglio valutando la fase della

prima armonica Δφ10, dopo il ritardo di tempo ΔT:

63

Δϕ1=−2π f ΔT

Δϕ2=−2π2 f ΔT

ΔT =−(ϕ1−ϕ2)

2π f=−

Δϕ21

2π f

(4.23)

dove φ1 e φ2 possono essere misurate in ogni istante di tempo. Dunque la fase della

prima armonica φ10 assumerà valori pari a +π/2 nel caso il bersaglio si allontani dalla

sorgente laser, o -π/2 nel caso di allontanamento del bersaglio. Questa teoria può essere

applicata a segnali triangolari con differenti duty-cicle, e a segnali sinusoidali distorti. In

figura 4.9 si può vedere il segmento di codice che implementa il calcolo di φ10 e del

conseguente verso di spostamento. I dati così ottenuti dal microcontrollore sono

trasmessi dal dispositivo FTDI FT232R al PC tramite interfaccia USB, dove poi verrà

processato dal software LabView per la visualizzazione grafica.

Figura 4.9: parte di codice che calcola il verso di spostamento

4.2 Prove sperimentali

In questo paragrafo sono presentati alcuni risultati ottenuti. Dopo aver montato la

scheda analogica e digitale una sopra l'altra, la lente viene posta accanto al laser (vedi

figura 4.10). Per delle semplici prove sperimentali ho utilizzato un chopper controller

(figura 4.11) con apparato rotante e, alternativamente, della carta riflettente in

movimento oscillante. Come primo esperimento, punto il laser sulla ruota del chopper

che costituisce un movimento a velocità costante, regolabile con una manopola, sempre

64

ϕ10=ϕ1−Δϕ1=ϕ1+2π f ΔT=ϕ1−(ϕ2−ϕ1)=2ϕ1−ϕ2

Figura 4.10: schede elettroniche e lente posizionate per le misure

Figura 4.11: chopper controller adoperato

nella stessa direzione. Il risultato grafico ottenuto in LabView conferma la pratica (vedi

figura 4.12).

Figura 4.12: grafico di LabView della velocità relativo al chopper

65

Anche la direzione fissata (in questo caso il bersaglio si sta avvicinando) è confermata

dal software in figura 4.13.

Figura 4.13: grafico di LabView del verso relativo al chopper

Il movimento all'incirca sinusoidale, con ampiezza casuale, di un bersaglio

nell'intorno del fuoco del laser è anch'esso ben visibile nel grafico generato da LabView

(figura 4.14 e 4.15).

Figura 4.14: grafico di LabView della velocità relativo al bersaglio oscillante

66

Figura 4.15: grafico di LabView del verso relativo al bersaglio oscillante

4.2.1 Limiti di velocità e banda

In quest'ultimo paragrafo vengono evidenziati i limti intrinseci di misura del sistema.

Nel Capitolo 3 si è calcolato che lo stadio analogico ha una banda di 3 MHz, quindi si

suppone di avere segnali a frange che rientrino in questo intervallo di frequenze. Per

averne una conferma sperimentale si può effettuare una misura con un oscilloscopio

all'uscita dello stadio fully-differential.

Figura 4.16: segnale a dente di sega tipico all'uscita dello stadio fully-differential

67

In figura 4.16 è ben visibile il segnale a frange che approssima un tipico dente di sega,

misurato con un oscilloscopio, all'uscita dello stadio analogico.

Per calcolare la banda del segnale è sufficiente sapere quale sia il tempo di salita (o

rise-time) della singola frangia sul fronte ripido. Ovviamente il discorso è valido anche

se il segnale fosse distorto in senso opposto (figura 4.8) ma si dovrebbe calcolare il

tempo di discesa. Assumo che il fronte sia riconducibile ad una risposta al gradino di un

circuito RC del primo ordine; per convenzione si definisce il rise time come il tempo

necessario al sistema per variare dal 10% al 90% del valore di regime dello stesso . La

risposta al gradino di tale sistema è:

(4.24)

ed esplicitando il tempo si trova

(4.25)

Ponendo ora V(t1)/V0 = 0.1 e V(t2)/V0 = 0.9 si trova facilmente che il tempo di salita è:

(4.26)

Sapendo che τ è la costante di tempo del sistema e τ = 1/2πfH, trovo che:

(4.27)

Ovviamente il discorso sarebbe valido anche se il segnale fosse distorto in senso

opposto (figura 4.8), ma si dovrebbe calcolare il tempo di discesa.

Ora ricavo il rise time del segnale dall'oscilloscopio stesso. In figura 4.17 è visibile la

singola frangia ingrandita: per ogni velocità del bersaglio, ottengo tr ≈ 130 ns.

Dall'equazione 4.27 segue che BW ≈ 2.7 Mhz, ciò conferma le ipotesi di partenza.

68

V (t )=V 0(1−e−tτ )

t=−τ ln (1−V (t)V 0

)

t r=τ ln9≈2.197 τ

t r≈2.1972π f H

≈0.35BW

Figura 4.17: frangia ingrandita

Sperimentalmente si possono trovare i limiti fisici del sistema per cui lavora

correttamente. Utilizzando ancora un chopper controller, si nota che il rilevamento del

verso inizia ad oscillare per velocità tangenziali del bersaglio rotante oltre 1 m/s. In

figura 4.18 e 4.19 è chiaramente visibile questo fenomeno. Si può ipotizzare infatti che

la seconda armonica, utilizzata per il calcolo del verso, sia “immersa” nel rumore oltre

una certa velocità e quindi il sistema ne risente.

Figura 4.18: grafico della velocità relativo al chopper oltre 1 m/s

69

Figura 4.19: grafico del verso relativo al chopper con velocità oltre 1 m/s

Ancora in questo esempio, per velocità tangenziali superiori a circa 1.5 m/s il sistema

non è più in grado di rilevare alcunché poiché il periodo delle frange è troppo ridotto

(paragonabile al tempo di salita). In questo caso limite diventano quindi paragonabili

anche la banda BW dell'equazione 4.27 e la frequenza di prima armonica fD della

relazione 4.18.

70

71

Conclusione

Il lavoro di questo elaborato ha compreso la progettazione e l'ottimizzazione di un

misuratore di velocità e verso di spostamento di un bersaglio con tecnica

interferometrica a retroiniezione. Il laser impiegato è un DFB con una lunghezza d'onda

di 1500 nm e il fuoco del fascio è regolabile svitando e avvitando una lente posizionata

accanto alla sorgente. Il package del laser contiene anche un fotodiodo sensibile alla

luce retroieniettata, ciò è fondamentale per un maggior risparmio di spazio. I

componenti della scheda analogica, che funge da transimpedenza, sono stati saldati uno

per uno su un layout prestampato, le cui uscite comunicano con la scheda contenente il

microcontrollore STM32F405RG di STMicroelectronics. La frequenza di

campionamento è pari a fc = 8.4 Mhz. Il microcontrollore è stato programmato ad hoc

perchè si ottengano le informazioni necessarie del segnale per il calcolo del verso di

spostamento del bersaglio e della velocità. Queste informazioni sono passate dal

dispositivo FTDI FT232R al PC tramite interfaccia USB. Su PC avviene un'ultima

elaborazione affinché vi sia una visualizzazione grafica dei dati cercati. La banda

calcolata della transimpedenza è pari 3 MHz e il segnale a frange in uscita arriva fino ad

una frequenza misurata pari a 2.7 MHz.

A partire da lavori passati su questo argomento, si è progettato e migliorato il sistema

a livello hardware e software. L'utilizzo di un microcontrollore, al posto di un

dispositivo FPGA, è traducibile in maggiore integrabilità e minor costo finale. Gli

algoritmi di calcolo del microcontrollore sono relativamente semplici ma molto

funzionali per l'applicazione considerata. Spesso, le misure dinamiche spaziali devono

essere effettuate senza perturbare l'oggetto bersaglio. La caratteristica di questo progetto

è di proporre misure contact-less e ciò rappresenta un vantaggio. Il costo relativamente

basso del dispositivo, unito alla praticità tipica della tecnica di self-mixing, fanno sì

che lo strumento studiato possa, una volta ottimizzato ed ingegnerizzato, essere

competitivo rispetto ai vibrometri attualmente presenti sul mercato.

72

Lavori e studi futuri su questo progetto potranno concentrarsi su miglioramenti

dell'apparato ottico che, nell'ambito di questa tesi, raggiunge distanze fino a 3 m. Inoltre

il sistema potrà essere migliorato nella banda passante, in modo tale da ottenere misure

di velocità sempre maggiori, studiando e progettando un'elettronica sempre più accurata

e dedicata. Con questi accorgimenti, lo strumento potrebbe risultare utile in svariati

ambiti industriali.

73

Appendice

74

75

76

77

78

Bibliografia

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injection laser properties. Quantum Electronics, IEEE Journal of, 16(3):347–355,

Mar 1980.

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