POLINÔMIOS

Soma de monômios

Polinômios

Não são polinômios:

Expressões com expoente fracionário e expoente negativo.

Polinômio identicamente nulo:

Se todos os coeficientes forem iguais a zero

Grau de um polinômio:

O grau de um polinômio não nulo é o maior expoente da variável dentre os termos de coeficientes não-nulos.

Polinômios

Valor numérico

Sejam um polinômio p(x) e um número complexo α. Substituindo x pelo número α, teremos o valor numérico do polinômio para x = α.

Raiz de um polinômio

Se, ao substituirmos x por α, o valor numérico de um polinômio for p(α) = 0, dizemos que α é a raiz do polinômio p(x)

Igualdade de polinômios

Dados os polinômios p(x) e q(x) na variável dizemos que eles são indenticos se, e somente se, todos os coeficientes de p(x) são, segundo suas potências, ordenadamente iguais aos de q(x).

Operações com polinômios

Adição e Subtração

Eliminar os parênteses;

Reduzir os termos semelhantes ;

Ordenar de acordo com a potência ;

Multiplicação

Aplicar a propriedade distributiva;

Reduzir os termos semelhantes.

Adição (–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) =–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 =–2x² + 7x – 3x³ – 3 =

–3x³ – 2x² + 7x – 3

Subtração (–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) =–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 =–2x² + 3x – 1 + 3x³ =

3x³ – 2x² + 3x – 1

Multiplicação (x – 1) * (x2 + 2x - 6) x2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1) =(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6) =x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 =

x³ + x² – 8x + 6

Divisão – Método da chave

Sendo: Verificar se A(x) e B(x) estão escritos segundo as

potências decrescentes de x e se o A(x) possui termos com coeficientes iguais a 0.

Dividir o 1º termo de A(x) pelo 1º termo de B(x), obtendo o 1º termo de Q(x).

Multiplicar o quociente obtido por todos os termo de B(x) e colocar os resultados encontrados, com o sinal trocado, abaixo dos termos semelhantes de A(x) e efetuar a adição.

Repetir o passo anterior até que o grau de R(x) seja menor que o grau de B(x).

(Ou Teorema do resto): O resto da divisão de um polinômio por um binômio, é igual ao valor numérico da raiz do binômio no polinômio.

r(x) = p(a)

Resto

Divisão por polinômios do tipo x - a

⇒ x – b = 0 ⇒ x = b

Logo, b é a raiz do binômio (divisor). Pelo teorema fundamental da divisão, temos:

P(x) = (x – b). Q(x) + R(x)

Substituindo b (raiz do binômio)em P(x), temos:P(b) = (b – b). Q(b) + R

P(b) = (x – b). Q(b) + R

P(b) = R ⇒ R= P(b)

Assim:

Um polinômio p(x) é divisível por x – a se, e somente se, a é raiz de p(x), isto é, p(a)= 0.

Trabalha somente com os coeficientes de um polinômio p(x) e as raízes do divisor, um binômio do tipo x-a.

Dispositivo de Briot-Ruffini

Para lembrar: O dispositivo de Briot-Ruffini nos ajuda a achar os coeficientes do quociente e do resto quando fazemos a divisão de um polinômio por x – a.

Os binômios são do seguinte tipo, por exemplo:

x – 2 onde a = 2

x + 3 = x – (– 3)onde a = – 3

x – 1/3onde a = 1/3

Na primeira linha colocam-se os coeficientes dos termos do polinômio p(x), na ordem decrescente de seus expoentes. Se faltar algum termo, coloca-se um zero no lugar.

Na terceira linha, após o traço, aparecem os coeficientes de q(x).

O último número da terceira linha, situado dentro do retângulo, é o resto da divisão (R).

Propriedades do dispositivo

O primeiro coeficiente do quociente é igual ao primeiro do dividendo.

O segundo coeficiente do quociente é igual ao primeiro do quociente multiplicado por mais o segundo do dividendo.

O resto é igual ao último coeficiente do quociente multiplicado por , mais o último do dividendo.

O grau do quociente é sempre uma unidade inferior ao grau do dividendo.

Dispositivo de Briot-Ruffini

Uma vez calculados os coeficientes do quociente, podemos escrevê-los diretamente (o grau do quociente é uma unidade inferior ao do dividendo): 6x2 + 7x – 3

O resto é o último número obtido: – 7

Na divisão, quando multiplicamos um termo do quociente pelo divisor, o multiplicamos por x e por– a, mas depois mudamos seu sinal para subtraí-lo do dividendo. Por este motivo, dizemos que se multiplica por a, no Dispositivo de Briot-Ruffini.

Resultado: Para lembrar: