POLINOMIAL TAYLOR FMIPA IPB.pdf
-
Upload
sugianto-barus -
Category
Documents
-
view
63 -
download
2
Transcript of POLINOMIAL TAYLOR FMIPA IPB.pdf
1
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
(P3) Hampiran Polinomial
• Pengantar• Hampiran Polinomial
Menggunakan DeretMaclaurin dan DeretTaylor
• Metode evaluasi fungsipolinom
Rujukan:1.Buku 1: appendix2.Buku 2: bab 4
2
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Pengantar• Dalam matematika, banyak fungsi yang tidak
dapat dievaluasi secara eksak, meskipun dalamberbagai bidang aplikasi, biasanya fungsi-fungsi ini diperlakukan seolah-olah sebagaisuatu besaran yang diketahui nilainya.
• Beberapa fungsi tersebut antara lain : √x, ex,log(x), fungsi-fungsi trigonometri, serta fungsi-fungsi yang sering digunakan dalam bidangfisika serta berbagai disiplin ilmu lainnya.
3
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Untuk mengevaluasi fungsi-fungsi seperti itudigunakan metode hampiran (aproksimasi) fungsimenggunakan fungsi polinomial atau fungsirasional.
• Metode hampiran menggunakan fungsi rasionalumumnya memberikan hasil yang lebih efisiendibandingkan dengan hampiran menggunakanfungsi polinomial.
• Namun demikian, dalam beberapa hal hampiranfungsi polinomial lebih disukai karena konsepteorinya lebih mudah untuk dipahami.
4
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Hampiran Polinomial MenggunakanDeret MacLaurin dan Deret Taylor• Secara manual kita dapat melakukan perhitungan
menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Kadang juga melibatkanoperasi pembandingan dua bilangan a dan b.
• Andaikan operasi yang dapat kita lakukanhanyalah penjumlahan, pengurangan danperkalian, maka untuk menghitung suatu fungsif(x) dapat dilakukan menggunakan pendekatanfungsi polinomial derajat n.
5
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Bagaimana hal ini dapat dilakukan untukfungsi-fungsi:
• Andaikan ingin dihitung nilai fungsi f(x) = ex disekitar x = 0, maka akan dicari suatu polinomialp(x) yang nilainya ‘cukup dekat dengan’ ex.
• Dimulai dengan suatu polinomial linear
• Agar keduanya ‘cukup dekat’, maka diambilp(0) = f(0)p’(0) = f’(0)
7
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Berikutnya, digunakan polinomial kuadratik
• agar keduanya ‘cukup dekat’, maka diambil
• yang menghasilkan:
9
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• dst, digunakan polinomial derajat n
• yang mensyaratkan:
• sehingga menghasilkan:
Apa yang terjadi bila diinginkan evaluasifungsi pada titik yang jauh dari x = 0?
10
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Formula Hampiran Taylor• Andaikan f(x) adalah suatu fungsi yang dapat
diturunkan beberapa kali pada x di sekitar a, maka akan dicari suatu polinomial derajat nyang dapat digunakan untuk menghampiri f(x)dengan syarat :
11
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Dari sini diperoleh bentuk umum fungsipolinomial tersebut sebagai berikut :
maka:
untuk x sedemikian dekat ke a.
12
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Tentukan hampiran polinomial Taylor bagi f(x) = sin (x) pada x di sekitar 0.
Contoh :
• Andaikaningindihampiridenganpolinomialderajat 9, maka dapatdilakukansbb:
13
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Gambarnya nampak seperti berikut :
14
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Tentukan hampiran polinomialTaylor bagi f(x) = log (x) pada x disekitar 1.
Contoh :
• Andaikan ingin dihampiri denganpolinomial derajat n, maka diperoleh:
15
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Gambarnya nampak seperti berikut :
16
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Teorema Taylor :• Andaikan f adalah suatu fungsi yang kontinyu pada
[a, b] serta dapat dideferensialkan n+1 kali, makauntuk setiap x dalam (a, b) terdapat c = c(x) yang terletak antara x0 dan x sedemikian sehingga
17
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Kesalahan (Error) pada Hampiran Taylor
• Bila suatu fungsi f(x) dihampiri dengansuatu polinomial derajat n pada x di sekitara, maka terdapat kesalahan sebesar :
Ingat TDK I
18
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Pandang suatu kasus n = 0, maka polinomialTaylor adalah suatu fungsi konstan
• Dalam hal ini, besarnya kesalahan yang terjadiadalah
(ini adalah teorema nilai antara)Untuk cx terletak antara a dan x.
19
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Sebagai contoh, perhatikan hampiranpolinomial fungsi: f(x) = ex di sekitar x = 0,
• Bentuk kesalahannya adalah:
Untuk cx terletak antara 0 dan x.
20
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Untuk maka dan
• yang merupakan suku terakhir darisehingga
21
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Misalnya, ingin dicari pendekatan bagi bilangan e, berarti diambil nilai x = 1. Dari ekspresi sebelumnya, diperoleh :
• Dalam hal ini, terdapat kesalahan sebesar
• Untuk memberi batas kesalahan
22
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Untuk mendapatkan nilai akurasi sampai 10-5, maka n perlu dipilih sedemikian besarsehingga berlaku :
• Dalam hal ini, n ≥ 8. Oleh karena :
23
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Beberapa formula untuk fungsi standar :
untuk cx terletak antara 0 dan x.
24
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Mengevaluasi fungsi polinomial• Andaikan diinginkan untuk mengevaluasi fungsi
polinomial berikut pada beberapa bilangan x :
• Salah satu cara yang dilakukan adalah denganmembuat algoritme sederhana sebagai berikut :
25
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Pertanyaannya : apakah algoritme tsb efisien ? Berapa banyaknya operasi yang dilakukan ? Apakah ada yang lebih baik ?
26
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Algoritme tersebut dapat diperbaiki dengan caramenghitung xj secara rekursif sebagai berikut :
• Dengan demikian, untuk menghitung{x2, x3, … xn} hanya diperlukan n-1 perkalian.
• Dengan cara ini, algoritme di atas menjadi :
27
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Biaya operasi menjadi sebesar :
28
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
• Cara lain :
• Secara umum :
• Yang hanya memerlukan n buah perkalian. • Algoritmenya adalah sebagai berikut :
29
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Teorema Horner :• Andaikan P(x) adalah suatu polinomial derajat n dan
x= c adalah suatu bilangan yang digunakan untukmengevaluasi P(c). Pasang bn = an, serta hitung
utk
• Lebih lanjut, jika :
• maka
30
Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB
Pertemuan 3 : Hampiran polinomial
Algoritmenya: