Podobnost trojúhelníků

Věty o podobnosti trojúhelníků

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Věty o podobnosti trojúhelníků

Označují se podobně jako věty o shodnosti trojúhelníků.

sss, sus, uu

Označení věty zkratkou vyjadřuje, kterými údaji trojúhelníky porovnáváme.

Věta sss

Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic

odpovídajících si stran, jsou podobné.

a´ : a = b´ : b = c´ : c = k

A

B B´

C´

C

A´

ca

b

b´

a´

c´

Věta sus

Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících si

stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou podobné.

a´ : a = b´ : b = k

´ A

B

Cc

a

b

A´

B´

C´

c´a´

b´

´

Věta uu

Každé dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech, jsou podobné.

´ ´

A´

B´

C´

c´

a´

b´ A

BC

c

a

b

´

´

Podobnost trojúhelníků

Příklady

A

T1

T4

T3

T2

C

B

M

LK

F

E

G

Q

P

O

2,5

3

2

5

4

6

6

7,5

9

Příklad 1Najdi dvojice podobných trojúhelníků, zapiš podobnost

a zkratku uvedené věty.

Příklad 1 - řešení

ABC ~ MKL (uu) OPQ ~ GEF (sss; k = 2/3) EFG ~ MKL (sss; k = 1/2)

ABC ~ PQO ~ MKL ~ EFG

Příklad 2

Dokažte, že jsou podobné

• každé dva rovnostranné trojúhelníky

• každé dva rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky.

Řešení:

• každé dva rovnostranné trojúhelníky

věta sss o podobnosti • každé dva rovnoramenné pravoúhlé

trojúhelníky

věta sus o podobnosti

Příklad 3

Trojúhelníky ABC a TUV mají strany délky a = 8,8 cm, b = 5,6 cm, c = 4,2 cm, t = 84 mm, u = 132 mm, v = 63 mm.

Zjistěte, zda jsou podobné. Jestliže ano, určete poměr podobnosti a zapište tuto podobnost.

Pozor na odpovídající si strany!!!

Příklad 3 - řešení

u : a = 132 : 88 = 1,5

t : b = 84 : 56 = 1,5

v : c = 63 : 42 = 1,5

k = 1,5 ABC ~ UTV

Příklad 4

Sestrojte trojúhelník ABC se stranami o délkách a = 8 cm, b = 6 cm, c = 7 cm; úhly tohoto trojúhelníku označte , , . Potom sestrojte trojúhelník A´B´C´ tak, aby platilo: ´´a´= ¾ a.

Jsou tyto trojúhelníky podobné?