Poço potencial
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Aplicacoes da equacao de Schrodingerindependente do tempo
Poco potencial finito e infinito
Robenil dos Santos Almeida
Universidade Federal do Reconcavo da BahiaCentro de Formacao de Professores
Curso de Licenciatura em Fsica
-
Sumario
Equacao de Schrodinger unidimensional
Interpretacao probabilstica da funcao de onda
Normalizacao
Equacao de Schrodinger unidimensional independente do tempo
Poco potencial quadrado infinito
Poco potencial quadrado finitoCaso E > V0
-
Equacao de Schrodinger unidimensional
i~(x , t)
t= ~
2
2m
2(x , t)
x2+ V (x , t)(x , t) (1)
Operadores diferenciais
p 7 ~ x
(Operador momento)
E 7 i~2 t
(Operador energia)
-
Interpretacao probabilstica da funcao de onda
O modulo do quadrado da funcao de onda (x , t) e uma quantidadereal, que representa a localizacao aleatoria da partcula microscopica,que chamamos de densidade de probabilidade:
|(x , t)|2 = (x , t)(x , t)
-
Normalizacao
+|(x , t)|2dx = 1
I Se satisfazer a condicao de normalizacao, 0 quando|x | .
I Esta condicao impoe restricoes a`s possveis solucoes de quenao tendem a zero quando |x | . Neste caso, estas solucoesnao sao aceitaveis como funcao de onda.
-
Equacao de Schrodinger unidimensional independentedo tempo
Quando V depende somente de x , ou seja, V = V (x), podemosseparar a dependencia em x da dependencia em t de (x , t), assu-mindo que a solucao da eq.(1) seja (x , t) = (x)(t), de modoque obtemos
(t) = e iEt/~
~2
2m
d2
dx2(x) + V (x)(x) = E(x) (2)
Voltar
-
Poco potencial quadrado infinito
-
V (x) =
[, se x 0 e x L0, se 0 < x < L
I As solucoes do poco infinito sao confinadas no interior do mesmo,ja que seria necessario uma energia infinita para encontrar apartcula fora do poco.
I Portanto, precisamos considerar apenas a equacao de Schrodin-ger na regiao 0 < x < L, que para uma partcula de massa mtem a forma:
~2
2m
d2(x)
dx2= E(x) (3)
Ver eq.(2)
-
V (x) =
[, se x 0 e x L0, se 0 < x < L
I As solucoes do poco infinito sao confinadas no interior do mesmo,ja que seria necessario uma energia infinita para encontrar apartcula fora do poco.
I Portanto, precisamos considerar apenas a equacao de Schrodin-ger na regiao 0 < x < L, que para uma partcula de massa mtem a forma:
~2
2m
d2(x)
dx2= E(x) (3)
Ver eq.(2)
-
V (x) =
[, se x 0 e x L0, se 0 < x < L
I As solucoes do poco infinito sao confinadas no interior do mesmo,ja que seria necessario uma energia infinita para encontrar apartcula fora do poco.
I Portanto, precisamos considerar apenas a equacao de Schrodin-ger na regiao 0 < x < L, que para uma partcula de massa mtem a forma:
~2
2m
d2(x)
dx2= E(x) (3)
Ver eq.(2)
-
Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica
(x) = Ae ikx + B eikx
onde k =
2mE/~. Assumindo A = B , temos
(x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)
Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)
Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao
-
Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica
(x) = Ae ikx + B eikx
onde k =
2mE/~.
Assumindo A = B , temos
(x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)
Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)
Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao
-
Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica
(x) = Ae ikx + B eikx
onde k =
2mE/~. Assumindo A = B , temos
(x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)
Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)
Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao
-
Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica
(x) = Ae ikx + B eikx
onde k =
2mE/~. Assumindo A = B , temos
(x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)
Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)
Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao
-
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6)
com k =
2mE/~.
I No caso das regioes externas, o potencial e infinito e, portanto,a probabilidade de encontrarmos a partcula fora do poco enecessariamente nula.
I A funcao de onda tera de ser nula entao na regiao externa
(x) = 0, em x 0 e x L
-
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6)
com k =
2mE/~.I No caso das regioes externas, o potencial e infinito e, portanto,
a probabilidade de encontrarmos a partcula fora do poco enecessariamente nula.
I A funcao de onda tera de ser nula entao na regiao externa
(x) = 0, em x 0 e x L
-
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6)
com k =
2mE/~.I No caso das regioes externas, o potencial e infinito e, portanto,
a probabilidade de encontrarmos a partcula fora do poco enecessariamente nula.
I A funcao de onda tera de ser nula entao na regiao externa
(x) = 0, em x 0 e x L
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I A continuidade da funcao de onda impoe que
(0) = (L) = 0
I A derivada da funcao de onda, d(x)/dx , nao pode ser nulanestes pontos extremos, ja que, se fosse o caso, entao (x) = 0para todo valor de x .
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I A continuidade da funcao de onda impoe que
(0) = (L) = 0
I A derivada da funcao de onda, d(x)/dx , nao pode ser nulanestes pontos extremos, ja que, se fosse o caso, entao (x) = 0para todo valor de x .
-
Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condicoesde contorno.Em x = 0, temos
(0) = A sin(0) + B cos(0) B = 0Entao, a eq.(6) fica
(x) = A sin(kx) (7)
-
Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condicoesde contorno.Em x = 0, temos
(0) = A sin(0) + B cos(0) B = 0
Entao, a eq.(6) fica
(x) = A sin(kx) (7)
-
Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condicoesde contorno.Em x = 0, temos
(0) = A sin(0) + B cos(0) B = 0Entao, a eq.(6) fica
(x) = A sin(kx) (7)
-
A condicao de contorno (x) = 0 quando x = L, restringe ospossveis valores de k e, portanto, os valores da energia E . Apli-cando esta condicao de contorno, temos
(L) = A sin(kL) = 0
Esta condicao e satisfeita quando
k kn = npiL, n = 1, 2, 3, ... (8)
-
A condicao de contorno (x) = 0 quando x = L, restringe ospossveis valores de k e, portanto, os valores da energia E . Apli-cando esta condicao de contorno, temos
(L) = A sin(kL) = 0
Esta condicao e satisfeita quando
k kn = npiL, n = 1, 2, 3, ... (8)
-
O valor de k havia sido determinado anteriormente como
k kn =
2mE
~2= k2n =
2mE
~2(9)
Elevando a eq.(8) e igualando-a com a eq.(9), obtemos
n2pi2
L2=
2mE
~2
E En = n2~2pi2
2mL2(10)
-
O valor de k havia sido determinado anteriormente como
k kn =
2mE
~2= k2n =
2mE
~2(9)
Elevando a eq.(8) e igualando-a com a eq.(9), obtemos
n2pi2
L2=
2mE
~2
E En = n2~2pi2
2mL2(10)
-
O valor de k havia sido determinado anteriormente como
k kn =
2mE
~2= k2n =
2mE
~2(9)
Elevando a eq.(8) e igualando-a com a eq.(9), obtemos
n2pi2
L2=
2mE
~2
E En = n2~2pi2
2mL2(10)
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Para cada valor de n, existe uma dada funcao de onda (x) n(x)dada por
n(x) =
{0, para x < 0 e x > L
An sin(npix/L
), para 0 < x < L
Normalizando, podemos determinar a constante An:
L0
|(x)|2dx = L0
A2n sin2(npix/L
)dx = 1
-
Para cada valor de n, existe uma dada funcao de onda (x) n(x)dada por
n(x) =
{0, para x < 0 e x > L
An sin(npix/L
), para 0 < x < L
Normalizando, podemos determinar a constante An:
L0
|(x)|2dx = L0
A2n sin2(npix/L
)dx = 1
-
An =
2
L
Entao, obtemos, para a regiao 0 < x < L, a seguinte funcao de onda
n(x) =
2
Lsin(npix/L
)(11)
-
Poco potencial quadrado finito
-
Nesta situacao, o potencial e
V (x) =
{0 para a
-
Nesta situacao, o potencial e
V (x) =
{0 para a
-
Nesta situacao, o potencial e
V (x) =
{0 para a
-
Entao,
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para a < x < a (13)
Na regiao x a e x a, a equacao de Schrodinger diz que
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x)
Cuja solucao para x a, e(x) = Ce lx + Delx (14)
onde l =
2m(V0 E )/~.
-
Entao,
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para a < x < a (13)Na regiao x a e x a, a equacao de Schrodinger diz que
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x)
Cuja solucao para x a, e(x) = Ce lx + Delx (14)
onde l =
2m(V0 E )/~.
-
Entao,
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para a < x < a (13)Na regiao x a e x a, a equacao de Schrodinger diz que
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x)
Cuja solucao para x a, e(x) = Ce lx + Delx (14)
onde l =
2m(V0 E )/~.
-
A eq.(14) diverge quando x , assim, a solucao fisicamenteadmissvel e
(x) = Ce lx , para x a (15)
Para x a, a solucao e(x) = Fe lx + Gelx (16)
onde l =
2m(V0 E )/~. A eq.(16) diverge quando x +,assim, a solucao fisicamente admissvel e
-
A eq.(14) diverge quando x , assim, a solucao fisicamenteadmissvel e
(x) = Ce lx , para x a (15)Para x a, a solucao e
(x) = Fe lx + Gelx (16)
onde l =
2m(V0 E )/~. A eq.(16) diverge quando x +,assim, a solucao fisicamente admissvel e
-
(x) = Gelx , para x a (17)
O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares. A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)
-
(x) = Gelx , para x a (17)O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a.
No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares. A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)
-
(x) = Gelx , para x a (17)O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares.
A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)
-
(x) = Gelx , para x a (17)O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares. A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)
-
Trabalhando com as solucoes pares, temos:
(x) = Gelx , para x a (18)
(x) = B cos(kx) , para a < x < a (19)(x) = (x) , para x < 0 (20)
A continuidade de (x), em x = a, diz que
Gela = B cos(ka) (21)
-
Trabalhando com as solucoes pares, temos:
(x) = Gelx , para x a (18)
(x) = B cos(kx) , para a < x < a (19)(x) = (x) , para x < 0 (20)
A continuidade de (x), em x = a, diz que
Gela = B cos(ka) (21)
-
E a continuidade de (d(x)/dx) diz que
lGla = Bk sin(ka) (22)
Dividindo a eq.(22) pela eq.(21), descobrimos que
l = k tan(ka) (23)
Essa e uma formula para as energias permitidas, pois k e l sao funcoesde E . Como, l =
2m(V0 E )/~ e k =
2mE/~, temos que
-
E a continuidade de (d(x)/dx) diz que
lGla = Bk sin(ka) (22)
Dividindo a eq.(22) pela eq.(21), descobrimos que
l = k tan(ka) (23)
Essa e uma formula para as energias permitidas, pois k e l sao funcoesde E . Como, l =
2m(V0 E )/~ e k =
2mE/~, temos que
-
tan
(2ma2E
~2
)=
V0 E
E(24)
Esta e uma equacao transcendental para E . Pode ser resolvidagraficamente, organizando tan(
(2ma2E )/~2) e
(V0 E )/E na
mesma grade e buscando pontos de intersecao.
-
tan
(2ma2E
~2
)=
V0 E
E(24)
Esta e uma equacao transcendental para E . Pode ser resolvidagraficamente, organizando tan(
(2ma2E )/~2) e
(V0 E )/E na
mesma grade e buscando pontos de intersecao.
-
I Caso E > V0
Esse caso, e bem parecido com o problema da barreira de potencialem que a energia e maior que a altura da barreira.
(x) = Fe ikx + Geikx , a < x < a (25)
com k =
2mE/~. No caso das regioes externas, a equacao deSchrodinger tem a forma
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x) (26)
-
I Caso E > V0
Esse caso, e bem parecido com o problema da barreira de potencialem que a energia e maior que a altura da barreira.
(x) = Fe ikx + Geikx , a < x < a (25)
com k =
2mE/~.
No caso das regioes externas, a equacao deSchrodinger tem a forma
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x) (26)
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I Caso E > V0
Esse caso, e bem parecido com o problema da barreira de potencialem que a energia e maior que a altura da barreira.
(x) = Fe ikx + Geikx , a < x < a (25)
com k =
2mE/~. No caso das regioes externas, a equacao deSchrodinger tem a forma
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x) (26)
-
Cuja solucao e a equacao de onda correspondente a` de uma partculalivre com energia total (E V0):
(x) = Ae ikx + Beik
x , x < a(x) = Ce ik x + Deik x , x > a
(27)
com k =
2m(E V0)/~.
Assumimos D = 0, que corresponde a uma onda incidente pela es-querda sobre o poco de potencial.Para determinar as constantes A,B ,C ,F , e G , igualamos os valoresda funcao de onda e da sua derivada em x = a:
-
Cuja solucao e a equacao de onda correspondente a` de uma partculalivre com energia total (E V0):
(x) = Ae ikx + Beik
x , x < a(x) = Ce ik x + Deik x , x > a
(27)
com k =
2m(E V0)/~.Assumimos D = 0, que corresponde a uma onda incidente pela es-querda sobre o poco de potencial.
Para determinar as constantes A,B ,C ,F , e G , igualamos os valoresda funcao de onda e da sua derivada em x = a:
-
Cuja solucao e a equacao de onda correspondente a` de uma partculalivre com energia total (E V0):
(x) = Ae ikx + Beik
x , x < a(x) = Ce ik x + Deik x , x > a
(27)
com k =
2m(E V0)/~.Assumimos D = 0, que corresponde a uma onda incidente pela es-querda sobre o poco de potencial.Para determinar as constantes A,B ,C ,F , e G , igualamos os valoresda funcao de onda e da sua derivada em x = a:
-
Fe ika + Geika = Ce ika
ik(Fe ika Gika) = ik Ce ik a (28)
F
G=
(k + k
k k )eika (29)
Da mesma forma, em x = a, temosFeika + Ge ika = Aeik
a + Be ika
ik(Feika Ge ika) = ik (Aeik a Be ik a) (30)
-
Fe ika + Geika = Ce ika
ik(Fe ika Gika) = ik Ce ik a (28)
F
G=
(k + k
k k )eika (29)
Da mesma forma, em x = a, temosFeika + Ge ika = Aeik
a + Be ika
ik(Feika Ge ika) = ik (Aeik a Be ik a) (30)
-
Fe ika + Geika = Ce ika
ik(Fe ika Gika) = ik Ce ik a (28)
F
G=
(k + k
k k )eika (29)
Da mesma forma, em x = a, temosFeika + Ge ika = Aeik
a + Be ika
ik(Feika Ge ika) = ik (Aeik a Be ik a) (30)
-
F/G + e ika
F/G e ika =k
k A/B + e ik
a
A/B e ik a (31)
As eqs.(29) e (31) permitem calcular o quociente B/A e obter ocoeficiente de reflexao R . De forma analoga, podemos calcular C/Ae obter o coeficiente de transmissao T .
R =|B |2|A|2 =
[1 +
4k2k 2
(k2 k 2)2 sin2(ka)
]1(32)
T =|C |2|A|2 =
[1 +
(k2 k 2)2 sin2(ka)4k2k 2
]1(33)
-
F/G + e ika
F/G e ika =k
k A/B + e ik
a
A/B e ik a (31)
As eqs.(29) e (31) permitem calcular o quociente B/A e obter ocoeficiente de reflexao R . De forma analoga, podemos calcular C/Ae obter o coeficiente de transmissao T .
R =|B |2|A|2 =
[1 +
4k2k 2
(k2 k 2)2 sin2(ka)
]1(32)
T =|C |2|A|2 =
[1 +
(k2 k 2)2 sin2(ka)4k2k 2
]1(33)
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Referencias
GRIFFITHS, D. J. Introduction to quantum mechanics. 1a. ed.Upper Saddle River: Prentice Hall, 1994.
LIMA, C. R. A. Notas de Aula: Fsica Moderna. Disponvel em:http://www.fisica.ufjf.br/cralima/index arquivos/Page491.htm. Acesso em: 03 de maio de 2015.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Fsica para cientistas e engenheiros.5a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Equao de Schrdinger unidimensionalInterpretao probabilstica da funo de ondaNormalizaoEquao de Schrdinger unidimensional independente do tempoPoo potencial quadrado infinitoPoo potencial quadrado finitoCaso E>V0