Pms prezentare

ANALIZA SEMNALELOR

Masteranzi: Andreea Vrincianu

George Tipa

Ionut Năhup

21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)

Analiştii de semnal dispun de un impresionant arsenal de instrumente. Poate cel mai cunoscut dintre ele este analiza Fourier, care descompune semnalul într-o sumă de sinusoide de diferite frecvenţe, amplitudini sau faze.

Analiza Fourier poate fi interpretată ca o tehnică matematică pentru transformarea percepţiei semnalului din domeniul timp (ca funcţie de timp) în domeniul frecvenţă (ca o funcţie de frecvenţă).


1. Ferestre de timp şi de frecvenţă

Analiza Fourier este folositoare deoarece frecvenţele conţinute

de semnal prezintă o mare importanţă, oferind o serie de informaţii despre semnal.

Analiza Fourier are totuşi şi un dezavantaj. Prin transformarea semnalului de timp într-unul de frecvenţă informaţia despre timp este pierdută. De asemenea, dacă se cunoaşte transformata Fourier a semnalului în domeniul timp, este imposibil să spunem când anume a avut loc un eveniment de timp.

Considerăm un semnal oarecare . . Pentru acest semnal definim:

)(tf

inversăFouriertatransformadeFtf

directăFouriertatransformadtetfF

tj

tj

|)(2

1)(

)()(

Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)21-Jan-13


Se observă că dacă dispunem de putem spune orice despre conţinutul de frecvenţă al semnalului dar nu ştim nimic despre . Pentru a avea o informaţie despre la o anumită frecvenţă ω este nevoie să integrăm pe un interval de timp infinit, pierzându-se astfel informaţia temporală punctuală. Dual, transformata Fourier inversă oferă informaţie completă în domeniul timp integrand pe un domeniu infinit în frecvenţă. Se constată că există o dualitate timp/frecvenţă: informaţie completă într-un domeniu (timp sau frecvenţă) conduce la lipsă de informaţie totală în domeniul dual (frecvenţă sau respectiv timp). în practică majoritatea semnalelor conţin numeroase caracteristici nestaţionare sau tranzitorii: schimbări abrupte de nivel, formă, fază sau declanşarea sau terminarea unor evenimente. Cum analiza Fourier nu a fost concepută pentru a detecta sau surprinde aceste caracteristici (care se produc pe intervale scurte sau foarte scurte de timp), a fost nevoie de tehnici noi pentru corectarea deficienţei prezentate anterior. Astfel a apărut:

Analiza Fourier pe timp scurt (Short-Time Fourier Analysis)

)(F)(tf

)(tf f)(tf

)(F


În 1946 Dennis Gabor a adaptat transformarea Fourier pentru a analiza semnalul pe porţiuni mici de timp, tehnică numită ferestruirea (windowing) semnalului. Această adaptare a lui Gabor, numită transformarea Fourier pe timp scurt, Short-Time Fourier Transform (STFT), mapează semnalul de timp într-o funcţie bidimensională, de timp şi de frecvenţă.

Short-Time Fourier Analysis


În practica analizei Fourier, un semnal continuu în timp este ferestruit cu o fereastră de o anumită dimensiune . Spectrul discret de frecvenţe se obţine utilizând un algoritm discret numit - Discret Fourier Transform.

Ferestruirea în timp are, evident, un corespondent în domeniul frecvenţă. Astfel, este binecunoscut faptul că spectrul de frecvenţe al unui semnal eşantionat este unul periodic determinat prin repetarea spectrului semnalului neeşantionat centrat pe multipli ai frecvenţei de eşantionare.

Ferestruirea în timp sau în frecvenţă creează însă nişte efecte secundare, unul dintre acestea şi poate cel mai important fiind fenomenul Gibbs.

T


1.1. Fenomenul Gibbs

Fenomenul Gibbs :•Apare la reconstituirea semnalelor discontinue pe baza spectrului dat de integrala Fourier . •Constă în apariţia unor oscilaţii în jurul unor tranziţii abrupte în frecvenţă (frecvenţă de tăiere).

Atât în proiectarea filtrelor numerice cât şi la estimarea densităţii de putere spectrală, alegerea unei funcţii de ferestruire (ferestre) joacă un rol important în determinarea calităţii rezultatelor obţinute.

Rolul principal al ferestrei constă în diminuarea efectelor fenomenului Gibbs provocat de trunchierea unei serii de timp infinite.


Exemplu:

Pentru a proiecta un filtru - Finite Impulse Response prin ferestruire, se porneşte de la răspunsul său ideal în frecvenţă (caracteristica de frecvenţă dorită) , se calculează răspunsul la impuls (ce reprezintă - Infinite Impulse Response) şi apoi se trunchiază (ferestruieşte) răspunsul la impuls pentru a obţine un număr finit de coeficienţi.

Trunchierea răspunsului ideal la impuls conduce la un efect cunoscut ca fenomenul Gibbs şi constă într-un comportament oscilant în jurul unor tranziţii abrupte în frecvenţă (frecvenţa de tăiere).

Dacă vom calcula răspunsul în frecvenţă al filtrului FIR obţinut vom constata oscilaţii în frecvenţă în jurul frecvenţei de tăiere.

Se observă că:•ferestruirea se face în timp (se trunchiază semnalul în domeniul timp)•fenomenul Gibbs se manifestă în domeniul frecvenţă.

)(H)(th

)(th


•Dacă ferestruirea se face în frecvenţă, atunci fenomenul Gibbs se va observa în domeniul timp. •Ferestruirea în frecvenţă apare inerent la sinteza unui semnal periodic pe baza coeficienţilor Fourier. •Sumarea efectivă nu se poate face practice pentru un număr infinit de frecvenţe. •Semnalul de timp aproximat se va sintetiza prin sumare finită, deci practic spectrul semnalului periodic aproximat se obţine prin ferestruirea în frecvenţă a spectrului semnalului original.

Concluzie:

Fenomenul Gibbs este reprezentat de oscilaţii ale semnalelor sintetizate în jurul punctelor de discontinuitate (în timp sau în frecvenţă), oscilaţii datorate ferestruirii semnalelor în domeniul complementar (în frecvenţă, respectiv timp).


Tipuri de ferestre:

•1. Fereastra dreptunghiulară de frecvenţă

•2. Fereastra triunghiulară de frecvenţă

•3. Fereastra Hamming

•4. Ferestre Cosinus Generalizate

1.2. Ferestre de semnal în domeniul frecvenţă


1. Fereastra dreptunghiulară de frecvenţă

Fie un semnal în domeniul timp şi transformata sa Fourier. Considerăm o trunchiere de bandă finită a acesteia, astfel:

care rescrisă sub forma unde este un impuls dreptunghiular unitar de frecvenţă de lăţime , centrat în

(figura a)

a) Reprezentare intrare-ieşire b) Caracteristica de frecvenţă

)(tu )(

u

B

BuuB

,0

),()(

)()()( BB puu

)(Bp

B20


Semnalul de ieşire din acest sistem va fi o aproximaţie a semnalului iniţial de intrare. Conform relaţiei generale de convoluţie obţinem:

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Funcţia pondere astfel determinată este cunoscută: forma ei exprimă faptul că sistemul astfel definit este necauzal.

dtuwdutwtu DDB )()()()()(

)(sinsin1

2

1

2

1)( Btc

BBt

te

jtdetw B

Btj

B

B

tjD

dtuBcB

dutBcB

tuB )(sin)()(sin)(


Forma sa de undă sugerează ca dacă în (2.3) este un punct de discontinuitate a lui , atunci pe măsură ce “alunecă” spre discontinuitate creşte frecvenţa oscilaţiilor, dar amplitudinea maximă a oscilaţiilor rămâne constantă.

Fie, de exemplu, funcţia treaptă, adică . Deducem:

Considerăm funcţia specială (neexprimabilă prin funcţii elementare) sinus integral:

(2.4)

Deducem că:

t)(tu )(Dw

)()( ttu 1

BtBtt

DB dcddB

dwttu

)(sin

1sin1sin1)()(1)(

dcxSix

0

)(sin)(

)(2

1)(sin

1)(sin

1)(sin

1)(

0

0

BtSidcdcdctuBt Bt

B


Expresia (2.4) este reprezentată în figura de mai jos:

Mărirea lui B (lăţimii ferestrei, a benzii de frecvenţă) conduce la apropierea momentului maximului de t = 0 , dar nu-I afectează amplitudinea de 1.094.

Creşterea lărgimii de bandă a sistemului definit de fereastra dreptunghiulară nu face decât să comprime oscilaţiile către punctul de discontinuitate; în punctul de discontinuitate se va manifesta o eroare sistematică de 9% (fenomenul Gibbs).


2. Fereastra triunghiulară de frecvenţă

(2.5)

Caracteristică de frecvenţă este impulsul triunghiular unitar din figura de mai jos:

b) Caracteristica de frecvenţă

Semnalul de ieşire din acest sistem va fi o aproximaţie a semnalului de intrare iniţial. Conform relaţiei generale de convoluţie obţinem:

(2.6)

B

BBB

,0

,1)(

dutwtu DB )()()(

)(tu


unde este funcţia pondere a ferestrei triunghiulare de frecvenţă. Aceasta se obţine din transformata Fourier inversă a lui :

(2.7)

Fie, funcţia treaptă, . Din relaţia (2.5) deducem:

(2.8)

deB

detw tjB

B

B

B

tjBD

1

2

1)(

2

1)(

)()( ttu 1

tdwdtwtut

DDB ,)()(1)()(0

)(twD )(B


3. Fereastra Hamming

Caracteristica de frecvenţă a acestei ferestre este:

Pe măsură ce lăţimea ferestrei Hamming de frecvenţă creşte (odată cu creşterea lui ), lăţimea lobului central de timp a ferestrei corespondente de timp se îngustează, iar frecvenţa lobilor laterali creşte.

Aproximarea semnalului treaptă unitară este mai bună.

B

BBwHM

,0

,cos46.054.0)(


4. Ferestre Cosinus Generalizate

•ferestrele Blackman, Flat Top, Hamming, Hann şi rectangulare sunt toate cazuri speciale de ferestre cosinus generalizate.•sunt o combinaţie de secvenţe sinusoidale cu frecvenţele 0, şi

2 .

Ferestrele pot fi descrise în general sub forma:

unde A, B şi C sunt constante pe care putem să le definim.

B

B

BC

BBAW

2coscos)(


Conceptul din spatele acestor ferestre este că prin sumarea termenilor individuali din definiţia ferestrelor, vârfurile frecvenţelor joase se combină în frecvenţă de o asemenea manieră încât amplitudinea lobilor laterali să scadă. Efectul secundar este însă creşterea lăţimii lobului principal.•ferestrele Hamming şi Hann sunt ferestre cosinus generalizate cu doi termeni•fereastra Blackman este o fereastră cu trei termeni•Fereastra cu vârf plat (Flat Top window) este o fereastră cu 5 termeni şi este folosită pentru calibrare.

Fereastra Blackman are mai multe variante. Forma originală este:

în care coeficienţii au următoarele valori:

Ba

Ba

BaaW

3cos2coscos)( 3210


Fereastra dreptunghiulară în domeniul timp

(3.1)

Egalitatea:

(3.2)

sugerează faptul că aplicarea ferestrei de timp se traduce într-o convoluţie în domeniul frecvenţă. Relaţia (3.2) înseamnă de fapt trecerea semnalului printr-un sistem a cărui caracteristică de frecvenţă este (vezi figura de mai jos)

a) Reprezentare intrare-ieşire b) Caracteristica de frecvenţă

1.3. Ferestre de semnal în domeniul timp

Bt

BttutuB

,0

),()(

dupdupu BBB )()(2

1)()(

2

1)(

)(u)()( BpjH


Caracteristica de frecvenţă a ferestrei dreptunghiulare din figura b) va fi:

(3.3)

Cu (3.3), relaţia (3.2) se scrie sub forma:

Toate rezultatele care s-au obţinut pentru ferestrele de frecvenţă vor fi valabile şi în domeniul timp.

)(sin2sin21

)(

BcBBej

dtep BB

tjB

B

tjB

duBcB

duBcB

u B )())((sin)()(sin)(

Va multumim pentru atentie !


Pms prezentare

Documents

Transcript of Pms prezentare