Plosni Integral (Print)

b

b

b

1 / 40

Plošni integral - vježbe

Mate Kosor

7.1.2010.

b

b

Uvodne napomene

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Ploha

Plošni integral prve vrste -na skalarnom polju

Plošni integral druge vrste- na vektorskom polju

Važni teoremi

2 / 40

Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ovaprezentacija biti će dostupna na webu.Plan:

� krivuljni i plošni integral. . .

� plošni integral - vježbe 07. i 14.1.

� domaća zadaća s rokom 21.1.

� primjerak kolokvija dostupan na webu

� kolokvij #3. . . 21.1.

� rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi laplaceovom transformacijom

� samo na predavanjima!

� domaća zadaća s rokom 28.1.

� primjerak kolokvija s rješenjima dostupan na webu

� kolokvij #4. . . 28.1.

b


3 / 40

� knjiga prof. Uglešića: str. 323–338

� možete pogledati web sadržaje na http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node19.html

Sadržaj:Ploha

Plošni integral prve vrste - na skalarnom polju

Plošni integral druge vrste - na vektorskom polju

Važni teoremi

Ploha

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe

Ploha - druga definicija

Ploha - treća definicija

Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi

Primjer računanjanormale

Ploština (površina)

Primjer računanjapovršine

Primjer računanjapovršine (2)

Usmjerenje plohe

Usmjerenje - primjeri

Sukladno usmjerenjeplohe i ruba

Po djelovima glatkaploha



Važni teoremi

4 / 40

b

b

b

Definicija plohe

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

5 / 40

Ploha je skup S u prostoru R3 (S ⊆ R

3) koji se matematički možekarakterizirati:

1. u okolini svake točke T ∈ S postoji

(a) okolina VT ⊆ R3

(b) pravokutni koordinatni sustav(

OT ,−→iT ,

−→jT ,

−→kT

)

(c) otvoreni skup UT ⊆ R2

(d) preslikavanje g : U → R

takvi da je r = x−→iT + y

−→jT + g(x, y)

−→kT parametrizacija skupa S u VT

okolini točke T .

Ploha S je glatka ako je funkcija g neprekidno derivabilna, tj. ako jeparametrizacija neprekidno diferencijabilna.Ako formula z = g(x, y) vrijedi za cijelu plohu S naziva se eksplicitna

jednadžba plohe S.

b

bb


Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

6 / 40

2.Neka je H : V → R skalarno polje. Neka je H derivabilna sa svojstvomgradH 6= 0. Tada je skup

S = {(x, y, z) ∈ V : H(x, y, z) = 0}

glatka ploha.Nultočke polja H(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4 definiraju kuglu radijusa 2.

b

b

b


Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

7 / 40

3. Ploha je skup S u prostoru R3 (S ⊆ R

3) takav da postoji otvoreni skupU ⊆ R

2 i r : U → R3 parametrizacija skupa S koja je

r(u, v) =

φ(u, v)ψ(u, v)χ(u, v)

druge=

oznake

x(u, v)y(u, v)z(u, v)

, (u, v) ∈ U

� r neprekidno derivabilna

� r injekcija (osim možda na rubu)

� nijedna parcijalna derivacija od r nije nulvektor

Rub plohe S označava se sa ∂S.

Jednostavan primjer

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

8 / 40

Parametrizacija r = ui+ vj+ sin(uv)k, u ∈ [0, π2], v ∈ [0, 2]. Eksplicitna

jednadžba z = sin(x y)

b

bb

”Pramac broda”

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

9 / 40

x = sinu cos v, y = sin v

(cos3 u

2− cosu

3+ 2

)

, z = cosu,

u ∈ [−2, 2], v ∈ [0, 2]

Normalni vektori

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

10 / 40

Glatka ploha S u svakoj točki T dopušta okomicu (normalu). Ta okomica jepravac koji u odabranoj točki T siječe plohu S okomito na tangencijalnuravninu. Možemo reći da S dijeli svaku svoju okomicu na dva dijela: dijeloviodgovaraju dvama stranama plohe, sa svake strane po jedan. Time suodređena i dva jedinična normalna vektora: −→n0 i −−→n0.Za plohu definiranu parametrizacijom r : D → R

3 jedinični normalni vektor usvakoj točki računa se formulom

−→n0 =

∂r

∂u× ∂r

∂v∥∥∥∥

∂r

∂u× ∂r

∂v

∥∥∥∥

.

U slučaju eksplicitne jednažbe plohe z = g(x, y) formula za jediničninormalni vektor ”pojednostavljuje” se kao

−→n0 =− ∂g

∂xi− ∂g

∂yj+ k

√

1 +

(∂g

∂x

)2

+

(∂g

∂y

)2.

bb

b

Smjerovni kosinusi

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

11 / 40

Ponekada se jedinični normalni vektor izražava u terminima smjerovnihkosinusa:

−→n0 = cosαi+ cosβj+ cos γk

= (cosα, cosβ, cos γ)

Ovo je samo oznaka: nemojte da vas zbuni. Ako se traže smjerovni kosinusito su koordinate jediničnog normalnog vektora, jednostavno izračunajte −→n0 izranije danih formula.

Primjer računanja normale

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

12 / 40

Parametrizacija r = ui+ vj+ sin(uv)k, u ∈ [0, π2], v ∈ [0, 2]. Eksplicitna

jednadžba z = sin(x y).

∂r

∂u= i+ v cos(uv)k,

∂r

∂v= j+ u cos(uv)k

−→n =

10

v cos(uv)

×

01

u cos(uv)

=

−v cos(uv)−u cos(uv)

1

∥∥−→n∥∥ =

√

1 + v2 cos2(uv) + u2 cos2(uv) =√

1 + (u2 + v2) cos2(uv)

−→n0 =−v cos(uv)i− u cos(uv)j+ k√

1 + (u2 + v2) cos2(uv)

b

b


Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

13 / 40

Za plohu S definiranu parametrizacijom r(u, v), r : D → R3 ploština

(površina) se definira integralom

P (S) =

¨

D

∥∥∥∥

∂r

∂u× ∂r

∂v

∥∥∥∥dudv .

U slučaju eksplicitne jednažbe plohe z = g(x, y) za (x, y) ∈ D formula zaploštinu ”pojednostavljuje” se kao

P (S) =

¨

D

√

1 +

(∂g(x, y)

∂x

)2

+

(∂g(x, y)

∂y

)2

dxdy .

b

bPrimjer računanja površine

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

14 / 40

Postaviti formulu za ploštinu dijela eliptičnog paraboloida z = x2

3+ y2

2što

leži iznad područja D . . . x2

3+ y2

2≤ 1.g(x, y) = x2

3+ y2

2

P (S) =

¨

D

√

1 +4x2

9+ y2dxdy

=

√3ˆ

−√3

√

2− 2x2

3ˆ

−√

2− 2x2

3

√

1 +4x2

9+ y2dydx

{

x = r√3 cosϕ, y = r

√2 sinϕ

}

=

2πˆ

0

1ˆ

0

√

1 + r2(4 cos2 ϕ

3+ 2 sin2 ϕ

)

rdr

=

2πˆ

0

(7

3+ 2

3sin2 ϕ

) 3

2 − 1(4

3+ 2

3sin2 ϕ

) dϕ = . . . relativno komplicirani integral

bb

bPrimjer računanja površine (2)

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

15 / 40

Postaviti formulu za ploštinu dijela stošca z =√

x2

3+ y2

3što leži iznad

područja D . . . x2

3+ y2

3≤ 1.g(x, y) = x2

3+ y2

3

P (S) =

¨

D

√

1 +4x2

9+

4y2

9dxdy =

√3ˆ

−√3

√3−x2ˆ

−√3−x2

√

1 +4

9(x2 + y2)dydx = {x = r cosϕ, y = r sinϕ}

=

2πˆ

0

dϕ

1ˆ

0

√

1 +4

9r2rdr = 2π

1ˆ

0

d(

3

4

(1 + 4

9r2) 3

2

)

drdr

= 2π

[

3

4

(

1 +4

9r2) 3

2

]r=1

r=0

=3π

2

((13

9

) 3

2

− 1

)

b

Usmjerenje plohe

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

16 / 40

Ranije smo spomenuli dva odabira usmjerenja normalnog vektora.Odabiromjedne od tih strana, tj. svih −→n0 ili svih −−→n0 odabrano je određeno usmjerenjeglatke plohe. Kažemo da je glatka ploha S usmjerena ili orjentirana ako jeneprekidno odabrano jedno usmjerenje vektora normale, odnosno ako je naplohi konzistentno odabrana jedna njena strana.Oznaka za usmjerenje:

�

y

S za plohu usmjerenu vektorima −→n0

�

x

S za plohu usmjerenu vektorima −−→n0

Posebno, ako je S jednostavno zatvorena ploha (tj. omeđuje dio prostora)tada označavamo:

�

y

S za plohu usmjerenu unutarnjim normalnim vektorima

�

x

S za plohu usmjerenu vanjskim normalnim vektorima

b

b


Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

17 / 40

Primjer. Plašt svakog geometrijskog tijela, npr. kugle, kocke, itd. ima dvije

strane: unutarnjux

S i vanjskuy

S .Primjer. Postoje plohe koje ne dopuštaju usmjerenje, npr. Mobiusova traka(vidi sliku).

Sukladno usmjerenje plohe i ruba

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

18 / 40

Neka jey

S krivulja usmjerena normalom koja je definirana formulama odranije:

� n =∂r

∂u× ∂r

∂vuz parametrizaciju r : D → R

3

� ili n = − ∂g∂x

i− ∂g∂y

j+ k uz eksplicitnu jednadžbu z = g(x, y),g : D → R

Primijeti da je D područje u ravnini s rubom ∂D. Tada sax

∂D označavamousmjerenje krivulje u smjeru suprotno kazaljci na satu.

Sax

∂S označavamo sukladno usmjerenje plohey

S i njenog ruba koje proizlazi

iz usmjerenja ravninske krivuljex

∂D:

�

x

∂S proizlazi iz slike parametrizacijom r(x

∂D)

� ilix

∂S proizlazi iz eksplicitne jednadžbe z = g(x

∂D)

Po djelovima glatka ploha

Uvodne napomene


Ploha

Definicija plohe



Jednostavan primjer

”Pramac broda”

Normalni vektori

Smjerovni kosinusi





Usmjerenje plohe






Važni teoremi

19 / 40

Dosad smo razmatrali samo glatke plohe, međutim u praksi nailazimo naplohe koje imaju određene ”lomove”. Na sreću, sve dosad rečeno lako seproširuje na tzv. po djelovima glatke plohe. To su plohe u cjelini s”lomovima”, ali sastavljene od konačno dijelova koji su glatki.Primjer. Površina plašta kocke koji zadovoljava jednadžbu:

max {|x| , |y| , |z|} = 1 .

sastoji se od dijelova:

r1 = xi+ yj+ k, x, y ∈ [−1, 1], r4 = xi+ yj− k, x, y ∈ [−1, 1],

r2 = xi+ j+ zk, x, z ∈ [−1, 1], r5 = xi− j+ zk, x, z ∈ [−1, 1],

r3 = i+ yj+ zk, y, z ∈ [−1, 1], r6 = −i+ yj+ zk, y, z ∈ [−1, 1].

Površina plašta kocke je suma površina svih 6 nabrojanih dijelova.

b

b

b

Plošni integral prve vrste - na

skalarnom polju

Uvodne napomene


Ploha


Definicija

Primjer

Neke napomene


Važni teoremi

20 / 40

b

b

b

Definicija

Uvodne napomene


Ploha


Definicija

Primjer

Neke napomene


Važni teoremi

21 / 40

Neka je f skalarno polje, a S glatka ploha

r(u, v) = φ(u, v)i+ ψ(u, v)j+ χ(u, v)k, (u, v) ∈ D .

Tada je dobro definirana kompozicija

f ◦ r(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v))

i duljina vektora normale

‖n(u, v)‖ =

∥∥∥∥

∂r

∂u× ∂r

∂v

∥∥∥∥.

Ako je funkcija t 7→ ((f ◦ r) · ‖n‖) (t) integrabilna na dijelu ravnine D tadataj integral označavamo

ˆ

S

fdS =

¨

D

((f ◦ r) · ‖n‖) (u, v)dudv

Primijeti, kada je f = 1 imamo istu formulu za površinu (usporedi ranije).

bPrimjer

Uvodne napomene


Ploha


Definicija

Primjer

Neke napomene


Važni teoremi

22 / 40

Izračunati˜

S(x+ y)dS ako je S kružni stožac zadan jednadžbom

z =√

x2 + y2 i 0 ≤ z ≤ 4. . . Područje D je krug radijusa 4.Formula jeeksplicitna za varijablu z, parametrizacijar(x, y) = xi+ yj+

√

x2 + y2k. . . f ◦ r(x, y) = x+ y. . .

‖n‖ =

√√√√1 +

(

2x√

x2 + y2

)2

+

(

2y√

x2 + y2

)2

=√1 + 4 =

√5

ˆ

S

fdS =

¨

D

((f ◦ r) · ‖n‖) (x, y)dxdy

=√5

¨

D

(x+ y)dxdy = 0

Neke napomene

Uvodne napomene


Ploha


Definicija

Primjer

Neke napomene


Važni teoremi

23 / 40

Neka je f skalarno polje, a S = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sn po dijelovima glatka ploha(Si su glatke plohe). Tada plošni integral prve vrste možemo računati kaosumu

ˆ

S

fdS =

ˆ

S1

fdS +

ˆ

S2

fdS + · · ·+ˆ

Sn

fdS .

Ako za funkciju f uzmemo težinu po jedinici površine tada integral´

SfdS

daje masu plohe.

b

Plošni integral druge vrste - na

vektorskom polju

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1

Zadatak 1 (nastavak)

Važni teoremi

24 / 40

bb

bDefinicija

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

25 / 40

Neka je w : X ⊆ R3 → R

3 vektorsko polje iy

S usmjerena glatka krivulja susmjerenjem koje proizlazi iz parametrizacije r : D → R

3. Sada je dobrodefinirana kompozicija w ◦ r

(u, v) 7→ r(u, v) 7→ w (r(u, v)) ∈ R3, (u, v) ∈ D

i skalarni umnožak

(u, v) 7→(w (r(u, v)) |−→n (u, v)

)∈ R, (u, v) ∈ D.

Integral vektorskog polja w po usmjerenoj plohiy

S dan je formulom

¨

y

S

(w|dS) =¨

y

S

(w|−→n0

)dS =

¨

D

(w (r(u, v)) |−→n (u, v)

)dudv .

Zapis sa smjerovnim kosinusima istog integrala:

¨

y

S

(wx cosα+ wy cosβ + wz cos γ) dS =

¨

y

S

wxdydz+wydxdz+wzdxdy.

Primjer

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

26 / 40

Izračunati´

y

S(w|dS) ako je w(x, y, z) = (yz, zx, xy) i

y

S vanjska strana

dijela tetraedrova ruba zadanog ravninama x = 0, y = 0, z = 0 ix+ y + z = 1. . .

� krivuljni integral druge vrste,´

y

S(w|dS) =

´

y

S1

(w|dS) +´

y

S2

(w|dS) +´

y

S3

(w|dS) +´

y

S4

(w|dS)

� računamo integral po dijelovima - stranice tetraedra: S1 . . . x = 0,S2 . . . y = 0, S3 . . . z = 0 i S4 . . . x+ y + z = 1

� jedinične normale n1 = −i,n2 = −j, n3 = −k,n4 =√3

3i+

√3

3j+

√3

3k

� ako se slabije snalazite napišite eksplicitne jednadžbe ploha:S1 . . . x = 0, (y, z) ∈ D1 = {0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1− y}, . . . ,S4 . . . z = 1− x− y, (x, y) ∈ D4 = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1− x}

b

b

Primjer - slika

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

27 / 40

b

b

Primjer (nastavak)

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

28 / 40

w(x, y, z) = (yz, zx, xy)

S1. . . eksplicitna jednadžba x = g1(y, z) = 0 na trokutuD1 = {0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1− y}, dakle w ◦ r1 = (yz, 0, 0), jediničnanormala −→n1 = −i =⇒

(w|−→n1

)= yz.dS možemo računati po formuli

za eksplicitnu jednadžbu dS =

√

1 +

(∂g1

∂y

)2

+

(∂g1

∂z

)2

= 1

ˆ

y

S1

(w|dS) =¨

y

S1

(w|−→n1

)dS = −

¨

D1

yzdydz = −1ˆ

0

1−yˆ

0

yzdzdy =5

24

Slično,

S2 . . . y = 0,

¨

y

S2

(w|−→n2

)dS = −

¨

D2

xzdxdz =5

24

S3 . . . z = 0,

¨

y

S3

(w|−→n3

)dS = −

¨

D3

xydxdy =5

24

b

Primjer (nastavak)

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

29 / 40

S4. . . eksplicitna jednadžba z = g4(x, y) = 1− x− y na trokutu D4,

w(x, y, z) = (yz, xz, xy), n4 =√3

3i+

√3

3j+

√3

3k, dakle

w ◦ r4 =

y(1− x− y)x(1− x− y)

xy

(w|−→n4

)=

√3

3

(y − yx− y2 + x− x2 − xy + xy

)

dS =

√

1 +

(∂g4

∂x

)2

+

(∂g4

∂y

)2

=√3

¨

y

S4

(w|−→n4

)dS =

ˆ 1

0

ˆ 1−y

0

(y − yx− y2 + x− x2

)dxdy

=

ˆ 1

0

(1

6+y

2− 2y2 +

y3

3

)

dy = −1

6¨

y

S

(w|dS) =

4∑

m=1

¨

y

Sm

(w|−→nm

)dS = 3 · 5

24− 1

6=

11

24

Zadatak 1

Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

30 / 40

Izračunati˜

x

Szdxdy ako je S elipsoidova polovica

z ≡ g(x, y) =√

1− x2

2− y2

3. . . ”Dešifrirajmo” w = zk. ”Dešifrirajmo”

D ={

x2

2+ y2

3≤ 1}

(elipsa). ”Dešifrirajmo”x

S : vanjska ploha elipsoida

(normala prema van). Odredimo normalu:

dg

dx=

−x2√

1− x2

2− y2

3

,dg

dy=

− 2

3y

2√

1− x2

2− y2

3

,

−→n = −∂g∂x

i− ∂g

∂yj+ k =

xi+ 2

3yj

2√

1− x2

2− y2

3

+ k

Normala −→n gleda prema van, to je u skladu s traženom orjentacijomx

S .

b

b

b


Uvodne napomene


Ploha



Definicija

Primjer

Primjer - slika

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

Zadatak 1


Važni teoremi

31 / 40

(w ◦ r|−→n

)=

0

0√

1− x2

2− y2

3

·

x

2

√

1− x2

2− y2

3

y

3

√

1− x2

2− y2

3√

1− x2

2− y2

3

= 1− x2

2− y2

3

Uvrstimo u formulu za integral druge vrste:

¨

x

S

zdxdy =

¨

D

(w ◦ r|−→n

)=

¨

x2

2+

y2

3≤1

(

1− x2

2− y2

3

)

dxdy

elipticnekoordinate

. . . x =√2r cosϕ, y =

√3r sinϕ detDψ =

√6r

¨

x

S

zdxdy =√6

2πˆ

0

1ˆ

0

(1− r2

)r drdϕ =

√6π

2

b

b

Važni teoremi

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi

Teoremo divergenciji(Ostrogradski-Gauss)

Primjer

Zadatak

Nastavak (sfernekoordinate)

Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

32 / 40

Teoremo divergenciji (Ostrogradski-Gauss)

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

33 / 40

Teorem (knjiga 6.4.3) w : X → R3 vektorsko polje (neprekidno

diferencijabilno),x

S vanjska strana po djelovima glatke jednostavno zatvoreneplohe koja omeđuje zatvoreno područje V ⊂ X. Tada vrijedi:

˚

V

divw =

¨

x

S

(w|dS)

Plošni integral druge vrste na po djelovima glatkoj jednostavno zatvorenojplohi naziva se cirkulacija i može se označavati oznakom

‹

(w|dS)

b

bb

Primjer

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

34 / 40

Izračunati˜

x

S(w|dS) ako je w(x, y, z) = (x2, y2, z2) i S = ∂V ,

V ={(x, y, z) ∈ R

3 | 0 ≤ x, y, z ≤ 2}

. . .Primijetimo da je V kocka s bridovima duljine 2, ima stranice S1, . . . , S6 seksplicitnim jednadžbama: g1 . . . x = 0, g2 . . . x = 2, g3 . . . y = 0,g4 . . . y = 2, g5 . . . z = 0, g6 . . . z = 2 i možemo traženi integral

˜

x

S(w|dS)

računati po dijelovima:Vanjske normale su n1 = −i− ∂g1

∂yj− ∂g1

∂zk = −i, n2 = −n1 = i, n3 =. . .

Međutim, sve to nije potrebno provoditi ako primjetimo da S = ∂V omeđujekocku i stoga je po djelovima glatka jednostavno zatvorena ploha — vrijediteorem od divergenciji

¨

x

S

(w|dS) =

˚

V

divw

divw = 2(x+ y + z)

¨

x

S

(w|dS) = 2

2ˆ

0

2ˆ

0

2ˆ

0

(x+ y + z)dxdydz = 12

b

b

b

Zadatak

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

35 / 40

Izračunati˜

x

S

−x cosα−y cos β−z cos γx2+y2+z2 dS ako je S središnja sfera polumjera

r = 5, a cosα, cosβ, cos γ su smjerovni kosinusi unutrašnjih normalnihvektora. . .S . . . x2 + y2 + z2 = 25 i neka je n0 = − cosαi− cosβj− cos γk jediničnavanjska normala. Traži se

˜

x

S(w|dS) za w = xi+yj+zk

x2+y2+z2 .Primijenimo teorem

o divergenciji

¨

x

S

(w|dS) =

˚

V

divw

∂wx

∂x=

x2 + y2 + z2 − 2x2

(x2 + y2 + z2)2,∂wy

∂y= . . . ,

∂wz

∂z= . . .

divw =1

x2 + y2 + z2˚

V

divw =

˚

{x2+y2+z2=25}

dxdydz

x2 + y2 + z2

b b

b

Nastavak (sferne koordinate)

36 / 40

Napraviti ćemo prijelaz u sferne koordinate

Ψ : {r ∈ [0, 5], ϕ ∈ [0, π], ξ ∈ [0, 2π]} →{(x, y, z) ∈ R

3 |x2 + y2 + z2 ≤ 25}

Ψ :

x = r sinϕ cos ξy = r sinϕ sin ξz = r cosϕ

DΨ =

sinϕ cos ξ r cosϕ cos ξ −r sinϕ sin ξsinϕ sin ξ r cosϕ sin ξ r sinϕ cos ξcosϕ −r sinϕ 0

det (DΨ) = r2 sinϕ

˚

{x2+y2+z2=25}

dxdydz

x2 + y2 + z2=

5ˆ

0

π

0

2πˆ

0

r2 sinϕ

r2dξdϕdr = 5 · 2 · 2π = 20π

bb

bStokesova formula

37 / 40

Teorem (knjiga 6.4.4) w : X → R3 vektorsko polje (neprekidno diferencijabilno),

y

S ⊆ X

po djelovima glatka ploha,x

∂S (rub od S) sukladno usmjerena po djelovima glatka jednostavnozatvorena krivulja. Tada vrijedi

¨

y

S

(rotw|dS) =˛

x

∂S

(w|dr)

Drugi zapis gornje formule:

˛

x

∂S

Pdx+Qdy + Rdz =

=

¨

y

S

((∂R

∂y− ∂Q

∂z

)

cosα+

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)

cosβ +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

cos γ

)

dS

gdje je jedinična normala zapisana smjerovnim kosinusima −→n0 = (cosα, cosβ, cos γ)

b

Primjer

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

38 / 40

Izračunati¸

x

∂S(w|dr) ako je w(x, y, z) = (x− z, z − x, x− y) i

S ={(x, y, z) ∈ R

3 |x2 + y2 ≤ 1, x+ z = 1}

. . .

Primjer (nastavak)

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

39 / 40

˛

x

∂S

(w|dr) =¨

y

S

(rotw|dS) =¨

y

S

(rotw ◦ r | −→n

)

w(x, y, z) =

x− z

z − x

x− y

=⇒ rotw =

−1− 1−1− 1

0

=⇒ rotw ◦ r = −2i− 2j

S . . . jednadzba z = g(x, y) = 1− x =⇒ −→n = i+ k

¨

y

S

(rotw ◦ r | −→n

)=

¨

{x2+y2≤1}

−2 dxdy = −2

2πˆ

0

1ˆ

0

r drdϕ = −2π

bb

Zadatak

Uvodne napomene


Ploha



Važni teoremi


Primjer

Zadatak


Stokesova formula

Primjer

Primjer (nastavak)

Zadatak

40 / 40

Primjenom Stokesove formule izračunati¸

x

∂Sx dx+ (x+ y) dy + (x+ y + z) dz ako je

S ={(x, y, z) ∈ R

3 |x2 + y2 ≤ 3, z = x+ y}

. . .S zadan eksplicitno jednadžbom z = x+ y na domeni D koji je kružnicaradijusa

√3 oko nule. . .−→n = −i− j+ k Primijenimo Stokesovu formulu

˛

x

∂S

x dx+ (x+ y) dy + (x+ y + z) dz =

=

¨

y

S

(1− 0) cosα︸︷︷︸

=−1

+(0− 1) cosβ︸︷︷︸

=−1

+(1− 0) cos γ︸︷︷︸

=1

dS =

=

¨

{x2+y2≤3}

dx dy =

2πˆ

0

√3ˆ

0

r drdϕ = 3π

Plosni Integral (Print)

Documents

Transcript of Plosni Integral (Print)