Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Jahrgangsstufe 11 Johannes-Kepler- Gymnasium Plenum.
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Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Jahrgangsstufe 11 Johannes- Kepler- Gymnasium Plenum
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Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
Johannes-Kepler-Gymnasium
Plenum
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
Wir beginnen mit etwas
wirklich Spannendem
Monotonie
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
Was bedeutet noch mal monoton steigend/fallend, was war doch gleich strenge Monotonie ?
streng monoton steigend
monoton steigend
streng monoton fallend
Was bedeutet das für die Ableitung der Funktion?
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
Hoch- und Tiefpunkte
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
x
y'
x
y
Hochpunkte und Tiefpunkte finden
f‘(2)=0
und
f‘(4)=0
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
VZW von – nach +
-1 1 2 3 4 5 6 7-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
x
y'
f´(4)=0
und Vorzeichenwechsel
(VZW ) von f´(x) von -
nach +
Tiefpunkt (TP) bei x=4
-1 1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
x
y
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
VZW von + nach -
f´(2)=0
und Vorzeichenwechsel
(VZW ) von f´(x) von +
nach –
Hochpunkt (HP) bei x=2
-1 1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
x
y
-1 1 2 3 4 5 6 7-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
x
y'
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
VZW von + nach -
-1 1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
x
y
-1 1 2 3 4 5 6 7-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
x
y'
f(x)=x³-9x²+24x
f´(x)=3x²-18x+24
f‘(2)=0
f‘(1)=9
f‘( )=
+
-2,5 -2,25
f´(2)=0
und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach
–
Hochpunkt (HP) bei x=2
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
Beispiel
f(x)=0,05(x4+x3-18x2-16x+32) f‘(x)=0,05(4x3+3x2-36x-16)
f‘(-0,438)=0 f‘(-1)=19/20 f‘(0)=-4/5+ -
VZW von + nach – also hat f‘ an der Stelle x0=-0,438 einen Hochpunkt.
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
-1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
x
y
Liegt in allen Fällen ein Minimum oder Maximum vor, falls f´(x0)=0 ?
Es gilt zwar f´(1)=0 , aber f´(x) hat an der Stelle x0= 1 keinen VZW
An der Stelle x0 liegt ein Sattelpunkt vor!
Nein !
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
So sucht man Extrema:
1. Suche alle Stellen mit f´(x)=0.
2. Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW.
f´(x0)=0 und VZW von f´(x) von + nach -
HP bei x0
f´(x0)=0 und VZW von f´(x) von - nach +
TP bei x0
f´(x0)=0 und kein VZW
SP bei x0
Zusammenfassung
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
1. Suche alle Stellen mit f´(x)=0:
f´(x)= 12x3 - 24x2 + 12x
f´(x)=0
Beispielaufgabe
0= 12x3 - 24x2 + 12x │ :12 0= x3 - 2x2 + x 0= x(x2 -2x + 1) 0=x(x-1)2
Damit ist x=0 eine einfache und x=1 eine doppelte Nullstelle von f´(x).
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3x4 - 8x3 + 6x2, x R
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
2. Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW:
f‘(-1)= - 48
f‘(0,5)= 1,5
f‘(0,5)= 1,5
f‘(2) = 24
+
++
- VZW von – zu +
TP
kein VZW SP
Beispielaufgabe
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
Die drei Fragen:
1. Wie findet man Punkte, die als Hoch- bzw. Tiefpunkte in Frage kommen?
2. Warum ist die Bedingung f `(x) = 0 zwar notwendig, aber nicht aus reichend, um die Frage nach den Extrema zu klären?
3. Was sollte man auch untersuchen, damit man in der Beurteilung der Extrema sicher ist?
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
Hausaufgabe
LS11 Seite 139: A 2 e,f + VZW prüfen Seite 142: A 2 a,b + VZW prüfen
Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11
Stunde 1
BASICs LS11 Seite 142: A2 c-fHausaufgabe zur nächsten Plenumsstunde:LS11 Seite 139: A3 d-f
TOPs LS11 Seite 139: A 4 Seite 139: A 5a
Literatur: LS11 Seite 136-140
