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LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
Baustatik II (SS 2011)
8.3 Platten
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.1 Schnittgrößen in Platten
Voraussetzungen:# Dicke viel kleiner als die Seitenlängen.# Lasten wirken quer zur Plattenebene.
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8.3.1 Schnittgrößen in Platten
xy
xyyx
x
y
zh
yz xz
Spannungen
Plattenmittelebene
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8.3.1 Schnittgrößen in Platten
Schnittgrößen
Plattenmittelebene
x
y
zh
xymyxm
xqyqxm
ym
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8.3.1 Schnittgrößen in Platten
Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungen:
h
2hz
2hz
z
2
2
wobei: h
hx x x xxm z dz m m
2
2
wobei: h
hy y y yym z dz m m
• Biegemomente:
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8.3.1 Schnittgrößen in Platten
• Drillmoment2
2
h
hxy xym z dz
xy yxm m
• Querkräfte
2
2
h
hx xzq dz
(qx = resultierende Kraft von xz )
2
2
h
hy yzq dz
(qy = resultierende Kraft von yz)
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8.3.1 Schnittgrößen in Platten
Hauptmomente:
1 2, , , Hauptmomentex y xym m m m m
22
1,2 2 2x y x y
xy
m m m mm m
2
tan 2 xy
x y
mm m
2m
1m
yxm
ym
xym
xm
x
y
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Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast
1xm m
2ym m
2m1m
2
27,2pl2
21,6xyplm 2m
1 2 xym m m
x
y
auf der -Achsexm xmax. xm
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Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast
1infolge bzw. xym m
Bemerkungen:• mx und my in der Plattenmitte am größten, |mxy| in den Ecken am größten.• Rissbilder auf der Plattenunterseite
Rissbilder auf der Plattenoberseite2infolge bzw. - xym m
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8.3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie
Die Durchbiegung w der Platte (Verschiebung in z-Richtung) ist unabhängig von z: w = w(x,y), d.h.: alle Punkte P auf der Normalen besitzen die gleiche Durchbiegung w(x,y).
Es gilt die Normalenhypothese:Die Normalen bleiben nach der Deformation weiterhin senkrecht (orthogonal) zur Plattenmittelebene!
Normale
zw
P
P
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8.3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie
,, 0Z
w x yw w x y
z
0 Schubverzerrungxz yz
Daher werden die Kirchhoffschen Platten auch als „schubstarre“ Platten bezeichnet.
Die Normalspannung senkrecht zur Plattenmittelebene ist vernachlässigbar, d.h.
0z (Ebener Spannungszustand)
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8.3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
2 22
2 22 ,
xy yx m mm p x yx x y y
,yx qq p x yx y
yxxx
mm qx y
y xyy
m mq
y x
1.) Gleichgewichtsgleichungen
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8.3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
2.) Kinematik
wx
z
P
P
( , )w x yz
x
wu zx
wu zx
wv zy
2
2xu w zx x
2
2yv w zy y
2
2 xy
u v w zy x x y
• Verschiebungen:
• Verzerrungen:
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8.3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
3.) Spannungs-Verschiebungsbeziehungen (Hooke)
2 2
2 2 2 21 1x x yE E z w w
x y
2 2
2 2 2 21 1y y xE E z w w
y x
2
2xy xywG G z
x y
Elastizitätsmodul Querkontraktionszahl/Querdehnzahl
Schubmodul : 2(1 )
E
EG G
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8.3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
4.) Momenten-Verschiebungsbeziehungen
2 2
2 2xw wm K
x y
2 2
2 2yw wm K
y x
2
1xywm K
x y
3
2Plattensteifigkeit:
12 1E hK
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8.3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
5.) Querkraft-Verschiebungsbeziehungen
3 3
3 2 xw wq K
x x y
3 3
3 2yw wq K
y x y
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8.3.4 Kirchhoffsche Plattengleichung
Einsetzten von mx, my und mxy in die Gleichgewichtsgleichung für die Momente
liefert die Kirchhoffsche Plattengleichung:
4 4 4
4 2 2 4
,2
p x yw w w
Kx x y y
oder
pwK
Partielle DGL 4. Ordnung,Inhomogene Bipotentialgleichung
Bemerkung:Die Kirchhoffsche Plattengleichung kann als eine Verallgemeinerung derEuler-Bernoullischen Balkengleichung EIwIV = p betrachtet werden!
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8.3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
Für Kreisplatten, Kreisringplatten, Kreissektorplatten oder Platten mit einem
Kreisloch ist es sinnvoll, Polarkoordinatensystem zu verwenden.
z
dr
rh
r
z
r
rz
r
d
zm
rm q
dr
r
d
rmrm
rq
hSpannungen
Schnittgrößen
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8.3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
( , )( , ) p rw rK
Rotationssymmetrische Probleme:
2 2
2 2 2
4 3 2 4 3 2 4
4 3 2 2 3 2 2 2 3 2 4 2 4 4
1 1
,2 1 1 2 2 4 1
wr rr r
p rw w w w w w w wwr r Kr r r r r r r r r r r
4 3 2
4 3 2 2 3
( ), ( ), 0
2 1 1
w w r p p r
p rd w d w d w dwr dr Kdr dr r dr r
Inhomogene EulerscheDGL 4. Ordnung!
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8.3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
Momenten-Verschiebungsbeziehungen:2 2
2 2 2
1 1r
w w wm Kr rr r
2 2
2 2 2
1 1w w wm Kr rr r
11r rwm m K
r r
rq K wr
1q K wr
Querkraft-Verschiebungsbeziehungen:
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8.3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
Rotationssymmetrische Probleme:2
2
1r
d w wm Kr rdr
2
2
1d w dwm Kr drdr
0r rm m
2
2
1r
d d w dwq Kdr r drdr
0q
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8.3.6 Ersatzquerkräfte und Eckenkraft
An jedem Rand der Platten treten 3 Schnittgrößen auf: Biegemoment, Drillmoment und Querkraft. Im Rahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie können aber nur 2 Randkräfte vorgeschrieben werden. Um diese Schwierigkeit zu beseitigen, werden an jedem Rand die Querkräfte und die Drillmomente zu den so genannten Kirchhoffschen Ersatzquerkräften zusammengefasst:
3 3
3 2, 2
xyx xy x x
m w wq m q q Ky x x y
3 3
3 2, 2yxy yx y y
m w wq m q q Kx y x y
Dabei wird das Drillmoment myx=mxy durch äquivalente Kräftepaare ersetzt. Für ein infinitesimales Randelement dx verbleibt dann nur ein Zuwachs als effektive Kraft in z-Richtung.
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8.3.6 Ersatzquerkräfte und Eckenkraft
xym dx
xyxy
mm dx dx
x
/xyxy
mm dx dx dx
x
/xym dx dx
dx dx
x
y
//xyxyxy
xy
mm dx dx dx
x
m
m dx dx
dxx
Resultierende
dx/xy xym m
dx dxx x
verteil t aufxymdx dx
x
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8.3.6 Ersatzquerkräfte und Eckenkraft
xymx
yq
yq
An Plattenecken verbleibt an beiden Rändern in der Ecke eine resultierende Einzelkraft, die sich nicht abhebt. Diese Kraft wird als Eckenkraft bezeichnet.
2
2 2 (1 )xy yx xywF m m m K
x y
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8.3.6 Ersatzquerkräfte und Eckenkraft
xym dyyxm dx
/yx yxm dx dx m
dydx
x
y /xy xym dy dy m
xy yxmF m Resultierende Eckkraft
Fx
y
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8.3.6 Ersatzquerkräfte und Eckenkraft
Diese Eckenkraft ist abhebend!
Maßnahmen gegen Abheben:1.) durch Auflast in der Ecke;2.) durch Verankerung;3.) durch biegesteife Verbindung der Ecke mit der Unterstützung oder benachbarter Platte.
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8.3.7 Randbedingungen
1.) Gelenkig gelagerter Rand 0
0x
wm
xx
y(0, ) 0
(0, ) 0
w y
w y
2
2
2 2 2
2 2 2
(0, ) 0 0
(0, ) 0 0 0x
w ww yy y
w w wm yx y x
Naviersche RB
0 2 ,xy xy xxm F m q q Beachte:
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8.3.7 Randbedingungen
2.) Eingespannter Rand
2
2
2
(0, ) 0 0
(0, ) 0 0 (0, ) 0xy
w ww yy y
w wy m yx x y
(kein Drillmoment)
2 0 , (0, ) (0, )xy xxF m q y q y Beachte:
00xy
wm
x
x
y
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8.3.7 Randbedingungen
3.) Freier Rand
2 2
2 2
3 3
3 2
(0, ) 0 (0, ) (0, ) 0
(0, ) 0 (0, ) 2 (0, ) 0
x
x
w wm y y yx y
w wq y y yx x y
0
0x
x
m
q
xx
y
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8.3.7 Randbedingungen
4.) Eingespannte Ecke
x
y2
0 0 2 0xy xyw m F m
x y
Abhebende Eckenkraft!
5.) Gelenkig gelagerte Ecke
x
y
0,0 0
0,0 0
0,0 0
0,0 0
2 0
x
y
xy
xy
w
m
m
m
F m
Keine abhebende Eckenkraft!
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8.3.7 Randbedingungen
6.) Freie Ecke
Keine abhebende Eckenkraft!
Bemerkung:
Mehr zu Randbedingungen siehe Arbeitsblätter „Platten (Randbedingungen)“!
x
y
2
0,0 0 0 0xywm F
x y
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8.3.8 Lösungen der Plattengleichung
pwK
Die Plattengleichung ist eine inhomogene Bipotentialgleichung:
Gesamtlösung:
Dabei:
wh: homogene Lösung der Plattengleichung
wp: Partikularlösung der Plattengleichung
h pw w w
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8.3.8 Lösungen der Plattengleichung
0hw Die homogene Lösung wh erfüllt die homogene Bipotentialgleichung:
Daher kann man den Lösungskatalog für die Airysche Spannungsfunktion Fverwenden. Dabei wird F einfach durch wh ersetzt (vgl. Arbeitsblatt „Scheiben (Lösungen))!
Die Partikularlösung wp erfüllt die inhomogene Bipotentialgleichung:
ppwK
wp kann z.B. mittels „Ansatz vom Type der rechten Seite“ gewonnen werden!
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8.3.9 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen bei Platten
In der praktischen Anwendung erfolgt die Bestimmung der Schnittgrößen bei Platten mit Hilfe von Tabellenwerken oder in komplizierten Fällen mit einem EDV-Programm (z.B. FEM).
8.3.9.1 EinfeldplattenÜberblick:1.) Drillfreie bzw. drillweiche Platten
Lastaufteilungsverfahren von Marcus („Streifenkreuz-Verfahren“, „Streifenmethode“). Dabei wird das Drillmoment vernachlässigt.
2.) Drillsteife PlattenCzerny-Tafel; Hahn; Brückner; Stiglat und Wippel; Pucher; Bittner,
usw. (siehe Arbeitblatt „Platten (Literatur))!
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8.3.9 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen bei Platten
8.3.9.2 Durchlaufende PlattenÜberblick:1.) Belastungsumordnungsverfahren (BU-Verfahren)
Dieses Verfahren wird auch als „Schachbrettverfahren“ bezeichnet.Voraussetzung: min.l/max.l ≥0,75!
2.) Verfahren nach Pieper/Martens (siehe Bautabelle Schneider)Voraussetzungen: q ≤ 2g; q ≤ (2/3)p!
* Verfahren beruht auf BU-Verfahren;* Verfahren liefert i. A. größere Feldmomente als BU-Verfahren
(auf der sicheren Seite);* Rechenaufwand wesentlich geringer als BU-Verfahren.