Planification de lignes dembouteillage pour une société de production de shampoings Cédric...
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Planification de lignes d’embouteillage pour une société de production de
shampoings
Cédric MOCQUILLONChristophe LENTEVincent T’KINDT
Laboratoire d’Informatique (EA 2101)Dépt. Informatique - Polytech’Tours
Université François-Rabelais de Tours - France
Planification de lignes d’embouteillagePour une société de production de shampoing
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Plan
• Le problème industriel• Le modèle mathématique• Expérimentations• Piste de réflexion pour une heuristique• Conclusion
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Le problème industriel
Site de production
Filiale 2
Filiale 1 Filiale n
Client 1Client 2
Client 1
Client 2
Client 1
Client 2
Filiale 2
Filiale 1 Filiale n
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Le problème industriel
Site de production
Filiale 2
Filiale 1 Filiale n
Client 1Client 2
Client 1
Client 2
Client 1
Client 2
Filiale 2
Filiale 1 Filiale n
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Le problème industriel
• Organisation suivant un schéma MRPII :– Planification à long terme (18 mois)– Planification à moyen terme (8 semaines)– Planification à court terme (36 heures)
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Le problème industriel
• Vocabulaire :– Code produit fini : (bouteille, capsule, étiquette,
jus, format, {destination possible})– Batch : nombre de bouteilles par format
correspondant à 12 tonnes de jus.– Quantité minimale sur ligne : nombre de bouteilles
dépendant du format, toute production doit être un multiple de cette quantité.
– Nombre de travaux pour un code produit fini : quantité à produire divisée par la quantité minimale sur ligne.
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Le problème industriel
• Planification à moyen terme
200 ml 400 ml
Nombre de bouteilles par batch
20 10
S1 S2
Code1 jus A 200ml
5 40
Code2 jus A 200ml
15
Code3 jus B 400ml
10 20
Code4 jus C 400ml
5
Code5 jus C 400ml
5 30
Nombre de batch
3 = (5+15+40)/20
3
4
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Le problème industriel
• Planification à moyen terme
S1 S2
Code1 jus A 200ml
5 40
Code2 jus A 200ml
15
Code3 jus B 400ml
10 20
Code4 jus C 400ml
5
Code5 jus C 400ml
5 30
Nombre de batch
3
3
4
200 ml 400 ml
Quantité minimale sur
ligne
5 5
Nombre de travaux
9 = (5+40)/5
3
6
1
7
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Le problème industriel
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Le problème industriel
Code1 jus A 200ml
5 4
Code2 jus A 200ml
3
Code3 jus B 400ml
6 2
Nombre de travaux Nombre de travaux/batch
jour 1 jour 2
12
43
5
6
7
8
10
9
11
12
13 14
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Le problème industriel
temps
nombre de bouteilles
maximum d’inventaire
stock de sécurité
niveau réel du stock
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5 1 24367 810 911 1213 14
Le problème industriel
Code1 jus A 200ml
5 4
Code2 jus A 200ml
3
Code3 jus B 400ml
6 2
jour 1 jour 2
j1 j2
Filiale 1, code 1
j1 j2
Filiale 2, code 1
j1 j2
Filiale 5, code 1
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Le problème industriel
• But du site de production:– Satisfaire au mieux la demande– Eviter les ruptures– Minimiser les coûts de production
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Le problème industriel
• Objectif : déterminer un optimum de Pareto• Définition :
– Soit un problème P de minimisation, o1, o2, …, on les fonctions objectif à minimiser et S l’ensemble des solutions de P. sS est un optimum de Pareto pour le problème P si et seulement si :
s’S, o1(s)o1(s’), …, on(s)on(s’)
avec au moins une inégalité stricte.
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Le problème industriel
• Approche –contrainte pour le calcul d’un optima de Pareto :
o2
o1
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Le modèle mathématique
• Données :• n : le nombre de travaux à planifier.• m : le nombre de batch à planifier.• K : le nombre de filiales.• L : le nombre de jours à planifier.• G : le nombre de codes produit fini différents pour la
ligne considérée.• J : le nombre de codes jus différents pour la ligne
considérée.• F : le nombre de formats différents pour la ligne
considérée.
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Le modèle mathématique
• Données : l = 1..L, el : le nombre d'heures travaillées au jour l.
i = 1..n, pi : le temps de production du travail i.
i = 1..n, qi : la quantité de bouteilles du travail i.
i = 1..n k = 1..K, ai,k = 1 si la filiale k a besoin du travail i, 0 sinon.
i = 1..n g = 1..G, bi,g = 1 si g est le code produit fini du travail i, 0 sinon.
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Le modèle mathématique
• Données : i = 1..n, i' = 1..n, costi,i‘ : le coût dû au
changement entre le travail i et le travail i'. i = 1..n, i' = 1..n, timei,i' : le temps d'arrêt de la
ligne entre le travail i et le travail i'. g = 1..G, k = 1..K, og,k : le niveau du stock de
produit fini g à la filiale k le premier jour. g = 1..G, k = 1..K, l = 1..L, ssg,k,l : le niveau du
stock de sécurité de la filiale k pour le produit fini g au jour l.
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Le modèle mathématique
• Données : g = 1..G, k = 1..K, l = 1..L, mig,k,l : le niveau du
maximum d'inventaire de la filiale k pour le produit fini g au jour l.
g = 1..G, k = 1..K, l = 1..L, dg,k,l : la demande de la filiale k pour le produit fini g au jour l (i.e. le nombre de bouteilles devant être vendues).
j = 1..J, i = 1..n, justj,i = 1 si j est le jus du travail i, 0 sinon.
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Le modèle mathématique
• Données : f = 1..F, i = 1..n, ftf,i = 1 si f est le format du
travail i, 0 sinon. j = 1..J, i = 1..m, jusbj,i = 1 si j est le jus du batch
i, 0 sinon. f = 1..F, j = 1..m, fbf,j = 1 si f est le format du
batch j, 0 sinon. f = 1..F, tf : le nombre de travaux par batch du
format f.
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Le modèle mathématique
• Variables : i = 1..n, i' = 1..n, Yi,i' = 1 si le travail i précède
immédiatement le travail i' dans l'ordonnancement, 0 sinon.
i = 1..n, j = 1..m, Pi,j = 1 si le travail i appartient au batch j, 0 sinon.
i = 1..n, l = 1..L, Zi,l = 1 si le travail i est ordonnancé au jour l, 0 sinon.
i = 1..n, Ci : la date de fin du travail i.
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Le modèle mathématique
• Variables : i = 1..n, k = 1..K, Xi,k [0, 1] : le pourcentage du
travail i déployé pour la filiale k. i = 1..n, k = 1..K, l = 1..L, i,k,l : le nombre de
bouteilles du travail i déployées pour la filiale k entre le jour 0 et le jour l.
g = 1..G, k = 1..K, l = 1..L, Sg,k,l : la quantité hors de la fenêtre (ssg,k,l, mig,k,l) de la filiale k pour le code produit fini g au jour l.
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Le modèle mathématique
• Variables : g = 1..G, k = 1..K, l = 1..L, Rg,k,l : le nombre de
bouteilles du produit fini g ne pouvant être vendues (rupture) à la filiale k le jour l.
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Le modèle mathématique
• Contraintes :1. On doit ordonnancer chaque travail une et une
seule fois sur la période:
2. On doit entièrement déployer chaque travail pour les filiales qui en ont besoin:
3. On ne doit pas déployer un travail pour une filiale qui n'en a pas besoin:
L
lliZni
1, 1,..1
K
kkiki Xani
1,, 1,..1
K
kkiki Xani
1,, 0)1(,..1
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Le modèle mathématique
• Contraintes :4. Un travail précède immédiatement au plus un travail:
5. Un travail est précédé immédiatement par au plus un travail:
6. Un travail doit être ordonnancé dans un batch:
7. Un batch possède exactement le nombre de travaux de son format:
n
iiiYni
1'', 1,..1
n
iiiYni
1',' 1,..1
m
jjiPni
1, 1,..1
n
i
F
fjffji fbtPmj
1 1,,,..1
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Le modèle mathématique
• Contraintes :8. Un travail ne peut être ordonnancé que dans un
batch de même jus et de même format: 9. Définition de Ci:
1. 2.3. 4.
m
i
J
j
F
fififijijii ftfbjustjusbPni
1' 1 1,',,',', 1)()(,..1
iiiiiii ptimeCHVYCnini ,'',' )1(,..1',..1
iiiiiii ptimeCHVYCnini ,'',' )1(,..1',..1
in
iiii pHVYCni 1',' )(,..1
ii pCni ,..1
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Le modèle mathématique
• Contraintes :10. Lien entre Zi,l et Ci:
1.
2.
11. Définition de i,k,l:
1.
2.
3.
4.
iL
l
l
llli CeZni
1
1
1'',,..1
L
l
l
lllii eZCni
1 1'',,..1
0,..1,..1,..1 ,, lkiLlKkni
kiil
llilki XqHVZLlKkni ,
1',,, 1,..1,..1,..1
kiil
llilki XqHVZLlKkni ,
1',,, 1,..1,..1,..1
l
lillki ZHVLlKkni
1'',,,..1,..1,..1
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Le modèle mathématique
• Contraintes :12. Définition de Sg,k,l:
1.
2.
3.
4. lkgn
iiglki
l
llkggklkg mibdoSLlKkGg ,,
1,,,
1'',,,, )(,..1,..1,..1
n
iiglki
l
llkggkgkllkg bdossSLlKkGg
1,,,
1'',,,, )(,..1,..1,..1
0,..1,..1,..1 ,, lkgSLlKkGg
11 1 1
,,
G
g
K
k
L
llkgS
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Le modèle mathématique
• Contraintes :13. Définition de Rg,k,l:
1.
2.
3.
• Fonction objectif :– Minimiser le coût :
n
iiglki
l
llkggklkg bdoRLlKkGg
1,,,
1'',,,, )(,..1,..1,..1
0,..1,..1,..1 ,, lkgRLlKkGg
21 1 1
,,
G
g
K
k
L
llkgR
n
i
n
j jiji tY1 1 ,, cosmin
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Le modèle mathématique
• Optimisation du modèle :– Si le coût lié au fait que deux travaux sont de jus
différent est largement plus grand que le coût lié au fait que deux travaux sont de même jus alors on peut ne pas prendre en compte la contrainte de batch.
– Si la solution optimale respecte (par vérification) la contrainte de batch, alors le problème initial admet une solution (celle trouvée).
– Si la solution optimale ne respecte pas la contrainte de batch, alors le problème initial n’admet pas de solution.
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Le modèle mathématique
• Expérimentations :• Matériel:
– Intel Pentium 4: 2.80 GHz– 512 Mo Mémoire vive– Pour toutes les semaines : 20 jus, 254 codes, 22
filiales, 4 formats.– Sur 1 semaine: 100 travaux, 25 batchs– Sur 2 semaines: 266 travaux, 83 batchs– Sur 3 semaines: 472 travaux, 135 batchs– Sur 5 semaines: 854 travaux, 248 batchs
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Le modèle mathématique
• Expérimentations :
Avec batch Sans batch
Relaxation linéaire
Version entière
Relaxation linéaire
Version entière
1 semaine 1 s INF 1 s INF
2 semaines 10 s INF 7.5 s INF
3 semaines 160 s INF 176 s INF
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S
0
00
Heuristique
• Lien avec le PVC :
1
3 2Code1 jus A 200ml
Code2 jus A 200ml
Code3 jus B 400ml
c12
c13 c23
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Heuristique
• Heuristique pour le PVC : problème d’affectation et patching.
1 2 3
1 +
c12 c13
2 c21 +
C23
3 c31 c32 +
1
2 3
ok
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Heuristique
• Heuristique pour le PVC : problème d’affectation et patching.
1 2 3
1 +
c12 c13
2 c21 +
C23
3 c31 c32 +
ok
1
2 3
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Heuristique
• Extension :– Problématique : prendre en compte un niveau de
satisfaction et de rupture lors de la résolution du problème d’affectation et du patching.
– Essayer de minimiser la quantité non respectée vis-à-vis de la satisfaction et de la rupture plutôt que de les voir comme des contraintes.
– Comparer avec la version relaxée du modèle linéaire.