Planejamento e Otimização de...
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Planejamento e Otimização de Experimentos Planejamentos Fatoriais 2
Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira
anselmo.quimica.ufg.br
• É empregado quando existem muitas variáveis no sistema, ou
o processo tende a ser conduzido por alguns dos efeitos
principais e de interação
• Pode ser projetado em planejamentos maiores no
subconjunto dos fatores significativos
• É possível combinar os experimentos de dois, ou mais,
planejamentos fracionários para montar, sequencialmente,
um planejamento maior para estimar os efeitos dos fatores e
das combinações de interesse.
Redundância em um Planejamento
k = 7 27 = 128 experimentos
Quantos efeitos resultam?
combinações simples de n elementos tomados
k a k, sem repetição (elementos distintos)
média = 1
efeitos principais (n = 7, k = 1)
efeitos secundários (n = 7, k = 2)
efeitos terciários (n = 7, k = 3)
n = 7, k = 4
n = 7, k = 5
n = 7, k = 6
n = 7, k = 7
128 efeitos
𝑐7,1 = 7
𝑐7,2 = 21 𝑐7,3 = 35
𝑐7,4 = 35 ...
𝑐7,7 = 1
se k não é pequeno (< 3) há uma tendência à
redundância em um fatorial 2k
Redundância e o Número de Efeitos
Fatorial 23-1
23 = 8 experimentos
• três fatores; dois níveis
• possível: 4 experimentos
23-1 = 4 experimentos
experimento
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-
+
-
+
-
+
-
+
B
-
-
+
+
-
-
+
+
C
-
-
-
-
+
+
+
+
ABC
-
+
+
-
+
-
-
+
I
+
+
+
+
+
+
+
+
experimento ABC
1 -
4 -
6 -
7 -
experimento ABC
2 +
3 +
5 +
8 +
Efeitos p/ gerador I = ABC
efeitos principais
experimento
2 a
3 b
5 c
8 abc
I
+
+
+
+
A
+
-
-
+
B
-
+
-
+
C
-
-
+
+
AB
-
-
+
+
AC
-
+
-
+
BC
+
-
-
+
ABC
+
+
+
+
efeitos de interação
não se pode diferenciar entre
– A e BC
– B e AC
– C e AB
• estimativas
o A = 𝓁A + 𝓁BC
o B = 𝓁B + 𝓁AC
o C = 𝓁C + 𝓁AB
• ou
o 𝓁A A + BC
o 𝓁B B + AC
o 𝓁C C + AB
alias
Meia Fração
relação de definição I = ABC
multiplicando por A pela esquerda
A.I = A.ABC
A = A2BC A2 = I
A = BC
a meia fração I = +ABC é a fração principal
Efeitos p/ gerador I = -ABC
calcule os efeitos principais e os de interação
experimento
1 (1)
4 ab
6 ac
7 bc
I
+
+
+
+
A
+
+
-
-
B
+
-
+
-
C
-
+
+
-
AB
+
-
-
+
AC
-
+
-
+
BC
-
-
+
+
ABC
-
-
-
-
Construção das meias frações: 23-1
1. Montar o planejamento completo 2k-1
fatorial 22
experimento A B
1 - -
2 + -
3 - +
4 + +
fatorial 23-1 ; I = ABC
A B C = AB
- - +
+ - -
- + -
+ + +
fatorial 23-1 ; I = -ABC
A B C = -AB
- - -
+ - +
- + +
+ + -
2. Adicionar o k-ésimo fator de
acordo com o gerador
Resolução
I = ABC planejamento de resolução III, 2𝐼𝐼𝐼3−1
I = ABCD planejamento de resolução IV, 2𝐼𝑉4−1
I = ABCDE planejamento de resolução V, 2𝑉5−1
...
Em geral, é o tamanho da menor palavra na
relação de definição
Projeção de frações em fatoriais
Qualquer planejamento fatorial fracionário de resolução
R, contém planejamentos fatoriais completos em
qualquer subconjunto R-1 de fatores
existem vários fatores de interesse
potencial, mas acredita-se que apenas
R-1 desses fatores têm efeitos
importantes
fatorial fracionário de resolução R
Exemplo: velocidade de filtração
A = temperatura
B = pressão
C = concentração de formaldeído
D = taxa de agitação
resposta: velocidade de filtração (gal/h)
fatorial completo 24 = 16 experimentos
experimento 𝒚
(1) 45
a 71
b 48
ab 65
c 68
ac 60
bc 80
abc 65
d 43
ad 100
bd 45
abd 104
cd 75
acd 86
bcd 70
abcd 96
A = 21,625
C = 9,875
D = 14,625
AC = -18,125
AD = 16,625
Planejamento Fatorial Completo 24
experimento A B C
1 - - -
2 + - -
3 - + -
4 + + -
5 - - +
6 + - +
7 - + +
8 + + +
D = ABC y
- 45 (1)
+ 100 ad
+ 45 bd
- 65 ab
+ 75 cd
- 60 ac
- 80 bc
+ 96 abcd
• efeitos principais
A.I = A.ABCD
A = A2BCD
A = BCD
B.I = B.ABCD
B = AB2CD
B = ACD
C.I = C.ABCD
C = ABC2D
C = ABD
D.I = D.ABCD
D = ABCD2
D = ABC
24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
interações de dois fatores
AB.I = AB.ABCD
AB = A2B2CD
AB = CD
AC.I = AC.ABCD
AC = A2BC2D
AC = BD
AD.I = AD.ABCD
AD = A2BCD2
AD = BC
fatorial 23 = 7 efeitos
o 3 principais
o 3 de 2ª ordem
o 1 de 3ª ordem
fatorial 24-1 = 7 efeitos
o 4 principais
o 3 de 2ª ordem
24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
estimativa do efeito principal A
estimativa do efeito de interação AB
𝑦
45 (1)
100 ad
45 bd
65 ab
75 cd
60 ac
80 bc
96 abcd
𝓁A = 19
𝓁B = 1,5
𝓁C = 14
𝓁D = 16,5
𝓁AB = -1
𝓁AC = -18,5
𝓁AD = 19
como o efeito de B é pequeno (𝓁B), espera-se pouca
interação entre B e A, C e D. Logo 𝓁AC AC e 𝓁AD AD
Fatorial 24
• A = 21,625
• C = 9,875
• D = 14,625
• AC = -18,125
• AD = 16,625
24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
desse modo, tem-se um fatorial 24-1 projetado em
um fatorial 23, com os fatores A, C e D
(-) (+)
A
(+)
(-)
D (-)
(+)
C
45
80
75 96
60
100
65
45
AC: A(-) A(+)
• C(-) 45 65
• C(+) 80 60
AD: A(-) A(+)
• D(-) 45 65
• D(+) 45 100
com base na tabela do
planejamento, como fica
o cubo de respostas?
𝑦
45 (1)
100 ad
45 bd
65 ab
75 cd
60 ac
80 bc
96 abcd
Fatorial Fracionário 2k-p
2k-p experimentos = 1
2𝑝 fração do planejamento 2k
2k-2 experimentos = 1
22=
1
4 fração de 2k
• p geradores independentes
• a relação de definição completa consiste de todas as
colunas que são iguais à coluna identidade, I
ex: k = 6, p = 2 26-2
geradores: I = ABCE (E = ABC)
I = BCDF (F = BCD)
I = ADEF
𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐
geradores: I = ABCE (E = ABC)
I = BCDF (F = BCD)
I = ADEF • para A
A.I = A.ABCE = A.BCDF = A.ADEF
A = A2BCE = ABCDF = A2DEF
A = BCE = ABCDF = DEF
• para AB
AB.I = AB.ABCE = AB.BCDF = AB.ADEF
AB = A2B2CE = AB2CDF = A2BDEF
AB = CE = ACDF = BDEF
Fatorial Fracionário 𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐
experimento A B C D
1 - - - -
2 + - - -
3 - + - -
4 + + - -
E = ABC F = BCD
- -
+ -
+ +
- +
Fatorial Fracionário 𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐
Summary tables of useful fractional factorial designs
Geradores