Planarisierung basierend auf: Crossings and Planarization (Mutzel, Jünger, Gutwenger, Buchheim,...
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Planarisierung
basierend auf:
• Crossings and Planarization
(Mutzel, Jünger, Gutwenger, Buchheim, Ebner `04)
• An experimental Study of Crossing Minimization Heuristics(Gutwenger, Mutzel `03)
PG – 478: Open Graph Drawing Framework
PG - Vortrag
Referent: Sebastian Sondern
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
2
Inhalt
• Einführung
• Planarisierungmethode
• Experimentelle Ergebnisse
• Schlussfolgerung
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
3
Einführung
• kombinatorische Einbettung
Knoten 1 : < 2 , 5 , 4 >
...
Knoten 5 : < 1 , 2 , 3 , 4 >
Fläche A : < f , e , d , c , g >
...
Fläche D : < b , g , c >
• planarer Graph
• Flächen / faces
1
5
4 3
2
a b
cd
f
e g
A
B
C
D
cd
f
e g4
5
1 2
3
C
DBA
a b
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Einführung
Warum Planarität ?
Lesbarkeit steigt mit weniger Kreuzungen
VLSI - Design
Motivation: zeichne gegebenen Graphen
in der Ebene und minimiere die Anzahl von Kantenkreuzungen
NP-hard
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Planarisierungsmethode
Aufteilung in einzelne Optimierungsprobleme
1. Maximum Planar Subgraph Problem (MPSP)
2. Edge Insertion Problem (EIP)
( Batini, Talamo, Tamassia `84)
6
5
7
4
3
2
1
8
1
2
3 4
6
8
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Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Planarisierungsmethode
Aufteilung in einzelne Optimierungsprobleme
1. Maximum Planar Subgraph Problem (MPSP)
2. Edge Insertion Problem (EIP)
( Batini, Talamo, Tamassia `84)
1
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2
3 4
6
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5
7
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Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Planarisierungsmethode
Ergebnis:
Graph mit max. |Vd| - vielen Überkreuzungen
in jeder planaren Zeichnung
2 Möglichkeiten für jeden Dummy d :
dd
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PG 478 : OGDF Planarisierung
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Planarisierungsmethode
- MPSP und EIP auch einzeln NP-hard
heuristische Lösung
- optimale Lösungen für die jeweiligen Teilprobleme
ergeben zusammen nicht unbedingt die
optimale Lösung für den Graphen
- Aber: in der Praxis gute Ergebnisse
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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PlanarisierungsmethodeBeispiel :
u1
v2
v1
u2
u2
v1
v2
u1
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Maximum Planar Subgraph Problem
Branch & Cut - Algorithmus (Jünger & Mutzel `96)- # zu entfernende Kanten < 10 :
• optimale Lösung möglich• schnell zu berechnen
- sonst:zu langsam für praktischen Einsatz
• beginne mit Graphen ohne Kanten• füge Kanten nacheinander hinzu, wenn möglich
(Planaritätstest)
Alternative: berechne maximal planar subgraph
Referent: Sebastian Sondern
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Maximal Planar Subgraph Problem
besser: PQ-Baum basierter Algo (Jayakumar et al. `89)
• worst-case Laufzeit quadratisch• garantiert keinen maximal planaren Teilgraphen• in der Praxis weit besser• randomisiert und wiederholt (wg.: Wahl der 1. Kante)
- hier: PQ1, PQ10, PQ50, PQ100
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Edge Re-Insertion Problem
1. Einzelne Kanten nacheinander einfügen
a. fixe Einbettung
b. variable Einbettung
2. Nachbearbeitung
3. Permutation
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Edge Re-Insertion Problem
1. Einzelne Kanten nacheinander einfügena. fixe Einbettung gegeben: FIX
Kante e kreuzt andere Kante
e benutzt Kante im geometrischen dualen Graphen
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Edge Re-Insertion Problem
extended dual graph:
w v
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Edge Re-Insertion Problem
1. Einzelne Kanten nacheinander einfügena. fixe Einbettung gegeben: FIX
Kante e kreuzt andere Kante
e benutzt Kante im geometrischen dualen Graphenalso:
kürzesten Weg berechnen
aber:
die Anzahl der Kantenüberkreuzungen
hängt stark von der fixen Einbettung ab
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Edge Re-Insertion Problem
Beispiel:
8
9
6
7
5
31
2
4
8
9
6
7
5
31
2
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Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Edge Re-Insertion Problem
2
1
3
9
47
8
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2-fach Zusammenhangskomponenten(Blöcke)
Cut vertex
3-fach Zusammenhangs-
komponenten
z.B.:
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SPQR-Bäume
serielle Anordnung
S
Parallele Anordnung
P
3-fach Zshgk (rigid)
R
Kante im Graphen
Q
Skelette:
1
2
34
5a h
b
c
g
fd
e
Qa Qh Qc Qg
R
Qb
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Qf
SPQR-Bäume
serielle Anordnung
S
Parallele Anordnung
P
3-fach Zshgk (rigid)
R
Kante im Graphen
Q
Skelette:
1
2
34
5a h
b
c
g
fd
e
Qa Qh Qc QgP
R
Qb
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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SPQR-Bäume
serielle Anordnung
S
Parallele Anordnung
P
3-fach Zshgk (rigid)
R
Kante im Graphen
Q
Skelette:
1
2
34
5a h
b
c
g
fd
e
QdQe
Qf S
Qa Qh Qc QgP
R
Qb
P
S
R
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Edge Re-Insertion Problem
Einfügen einer Kante in eine variable Einbettung VAR
(Gutwenger, Mutzel, Weiskircher `01)
min. Anzahl an Überkreuzungen über alle
möglichen planaren Einbettungen
• Kernstück des Verfahrens:Berechnung eines optimalen Pfades zweier
nicht-adjazenter Knoten in 2-fach Zshgk.
• Anzahl der verschiedenen Einbettungen exponentiell• Einfügen der Kante mit Hilfe des SPQR-Baumes
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Berechnung eines optimalen Pfades
R3
R4
R1 P R2
R5
SPQR-Baum
R1 R2
1
2
10 8 6
3
12 4
5
79
2
4
7
11
21
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Berechnung eines optimalen Pfades
R3
R4
R1 P R2
R5
SPQR-Baum
R1 R2
1
8 6
3
12 4
5
79
2
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2
10
13
12
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Berechnung eines optimalen Pfades
R3
R4
R1 P R2
R5
SPQR-Baum
R1 R2
1
8 6
3
15
79
2
4
7
11
21
14
10
13
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4
5
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17
v
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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11
21
1918
20
2
Berechnung eines optimalen Pfades
R3
R4
R1 P R2
R5
SPQR-Baum
R1 R2
1
8 6
3
15
79
14
10
13
12
4
5
16
17
11
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19 18
20
21
8 6
3
15
79
14
10
13
12
4
5
16
17
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Edge Re-Insertion Problem
2. Nachbearbeitung
Idee:Kann eine Kante später evtl.“besser“ eingefügt werden ?
MOST x% : nach jeder Iteration werden die Kanten ausgewählt,
die an den meisten Überkreuzungen beteiligt sind
Strategien, welche Kanten erneut eingefügt werden:
NONE: keine Nachbearbeitung
INS: die Kanten aus der MPSP-Optimierung
ALL: alle Kanten
MOST x%: x% aller Kanten
Referent: Sebastian Sondern
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Edge Re-Insertion Problem
3. Permutation
- erneutes Einfügen der aller gelöschten Kanten aus MPSP
- Kantenreihenfolge permutieren
- bestes Ergebnis behalten- hier: PERM1, Anzahl der Wiederholungen
PERM2, PERM10, PERM20
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Experimentelle Ergebnisse
Vorraussetzungen:
- Benchmark: Rome library
11.528 Graphen, 10 bis 100 Knoten
Gelöschte Kanten Laufzeit / sec
PQ1 19 0.002
PQ10 16
PQ50 15
PQ100 15 0.34
Anzahl der gelöschten Kanten bei Graphen mit jeweils
derselben Anzahl von Knoten
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Experimentelle ErgebnisseFIX
vs.
VAR
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Experimentelle ErgebnisseNach-
bearbeitung
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Experimentelle Ergebnisse
Permutation
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Experimentelle ErgebnissePQ1
vs.
PQ100
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Experimentelle ErgebnisseVergleich:
FIX / VAR
und
NONE / ALL
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Experimentelle Ergebnisse
Laufzeit
Referent: Sebastian Sondern
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Platz Kreuzungen Laufzeit /sec MPSP Einbettung Nachbe. Perm
1 28,56 8,778 PQ100 VAR ALL PERM20
2 28,61 8,563 PQ100 VAR MOST100 PERM20
3 28,66 5,902 PQ100 VAR MOST25 PERM20
4 29,09 4,359 PQ100 VAR MOST100 PERM10
5 29,35 3,060 PQ100 VAR MOST25 PERM10
6 30,01 0,259 PQ100 FIX MOST100 PERM20
7 30,43 0,258 PQ100 FIX ALL PERM20
8 30,62 0,130 PQ100 FIX MOST100 PERM10
9 31,11 0,128 PQ100 FIX ALL PERM10
10 31,64 0,112 PQ100 FIX MOST25 PERM10
11 33,16 0,054 PQ100 FIX MOST100 PERM2
... ... ... ... ... ... ...
18 46,98 0,036 PQ100 FIX NONE PERM1
19 60,32 0,002 PQ1 FIX NONE PERM1
Referent: Sebastian Sondern
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Experimentelle ErgebnisseVergleich:
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Schlussfolgerung
1. Bei der Nachbearbeitung sollten alle Kanten mit einbezogen werden. Selbst 25% davon verbessern schon das Ergebnis.
2. Randomisierung und Permutation helfen auch, aber nicht so stark wie die Nachbearbeitung.
3. Ein guter planarer Teilgraph verkleinert nicht nur die Anzahl der Kreuzungen, sondern verbessert auch die Laufzeit.
4. Selbst mit Nachbearbeitung bringt eine variable Einbettung noch Verbesserungen.
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Ende
Referent: Sebastian Sondern
PG 478 : OGDF Planarisierung
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Experimentelle Ergebnisse