Pithanotites Pol

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

1

Ο μ ά δ α Α 1. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={ω1,ω2,ω3}.

Να βρείτε όλα τα ενδεχόμενά του. Ποια από αυτά είναι απλά;

2. Ρίχνουμε πρώτα ένα νόμισμα και ύστερα ένα ζάρι. Να κατασκευάσετε

δενδροδιάγραμμα και να βρείτε το δειγματικό χώρο αυτού του πειράματος τύχης.

3. Στρίβουμε το δείκτη της ρουλέτας του σχήματος. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος

αυτού του πειράματος;

4. Επιλέγομε αυθαίρετα ένα παιδί που φοιτά στη Γ΄ Λυκείου και ελέγχουμε το φύλο

του (αγόρι ή κορίτσι), την κατεύθυνση που ακολουθεί (θετική ή τεχνολογική ή

θεωρητική) και το χρώμα των μαλλιών του (μαύρο ή καστανό ή ξανθό).

Να κατασκευάσετε δενδροδιάγραμμα και να βρείτε το δειγματικό χώρο αυτού του

πειράματος τύχης.

5. Δίνονται τα σύνολο:

S1={!, ?, *, #, ~}

S2={;, ±, !, Ñ}

S3={#, ;, !, ?}

Να βρείτε τα σύνολα:

S1ÈS3, S1ÇS3, S1ÇS2ÇS3

6. Χρησιμοποιώντας την ένωση, την τομή και το συμπλήρωμα να γράψετε τα

σύνολα που παριστάνονται στο παρακάτω διάγραμμα Venn:

α) β)

1

3

4

Ω Α

Β

Ω Α

Β


2

γ) δ)

7. Να γραμμοσκιάσετε σε καθένα από τα διαγράμματα Venn:

τα ενδεχόμενα:

α) (ΑÈΒ)΄ÇΓ, β) (ΑÈΓ)΄ÇΒ

8. Να επαληθεύσετε τις παρακάτω σχέσεις χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα Venn.

α) ΑÈΒ=ΑÈ(Α΄ÇΒ)

β) Α=(ΑÇΒ)È(ΑÇΒ΄)

γ) ΑÈ(ΒÇΓ)=(ΑÈΒ)Ç(ΑÇΓ)

δ) ΑÇ(ΒÈΓ)=(ΑÇΒ)È(ΑÇΓ)

όπου Α, Β, Γ είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.

9. Οι κύριοι Κωστόπουλος, Γιαννόπουλος και Καραμελόπουλος είναι υποψήφιοι για

την προεδρία ενός συλλόγου. Υποψήφιοι για την αντιπροεδρία είναι οι κύριοι

Μανωλόπουλος, Καρεκλόπουλος και Γεωργόπουλος. Αν θεωρήσουμε ως πείραμα

τύχης τις εκλογές και ως αποτέλεσμα του πειράματος τον πρόεδρο και τον

αντιπρόεδρο τότε να βρείτε το δειγματικό χώρο και τα ενδεχόμενα:

Α: «το όνομα του προέδρου και του αντιπροέδρου αρχίζουν από Κ»

Β: «ούτε το όνομα του προέδρου ούτε του αντιπροέδρου αρχίζει από Κ»

Γ. «το όνομα του προέδρου αρχίζει από Κ και το όνομα του αντιπροέδρου αρχίζει

από Γ»

Δ: «το όνομα του προέδρου αρχίζει από Κ ή το όνομα του αντιπροέδρου αρχίζει

από Γ»

Ω Α

Β

Ω Α

Β

Ω Α

Β Γ

Ω Α Β Γ


3

10. Μια λάμπα πυρακτώσεως μπορεί να είναι μπαγιονέτα ή βιδωτή και η ισχύς της

μπορεί να είναι 25W, 40W, 60W, 75W, 100W ή 200W. Επιλέγουμε αυθαίρετα

μια λάμπα.

α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο αυτού του πειράματος τύχης.

β) Να βρείτε το ενδεχόμενο Α: «η λάμπα έχει ισχύ πάνω από 60W»

γ) Να βρείτε το ενδεχόμενο Β: « η λάμπα είναι βιδωτή»

δ) Να προσδιορίσετε τα ενδεχόμενα ΑÈΒ, ΑÇΒ.

11. Έστω Α το ενδεχόμενο ένας υποψήφιος να εκλεγεί βουλευτής και Β το

ενδεχόμενο να τηρήσει αυτά που υποσχέθηκε.

Να γράψετε συμβολικά, χρησιμοποιώντας κατάλληλες πράξεις με ενδεχόμενα, τα

παρακάτω ενδεχόμενα:

α) Ο υποψήφιος δεν εκλέγεται.

β) Ο υποψήφιος εκλέγεται και τηρεί τις υποσχέσεις του.

γ) Ο υποψήφιος εκλέγεται και δεν τηρεί τις υποσχέσεις του.

δ) Ο υποψήφιος εκλέγεται ή δεν τηρεί τις υποσχέσεις του.

ε) Ο υποψήφιος ούτε εκλέγεται ούτε τηρεί τις υποσχέσεις του.

12. Έστω Α το ενδεχόμενο ένας υπάλληλος να είναι ευχαριστημένος από τις

εργασιακές συνθήκες και β το ενδεχόμενο να είναι ευχαριστημένος από το μισθό

του. Να εκφράσετε με λέξεις καθένα από τα παρακάτω ενδεχόμενα:

α) Α΄ β) Β΄ γ) ΑÈΒ

δ) Α΄ÇΒ΄ ε) Α΄ÈΒ΄ στ) ΒÇΑ΄

13. Η παρακάτω πειραματική διάταξη αποσκοπεί στο να «διδάξει» ένα ποντίκι όταν

έχει να επιλέξει μεταξύ του «δεξιά» και του

«αριστερά» να επιλέγει το «δεξιά».

Το ποντίκι προχωράει μόνο προς τα μπρος

και η διαδρομή του σηματοδοτείται από

αντικείμενα που συναντά στην πορεία,

φαγώσιμα (τυρί, φράουλα, μπισκότο, κεράσι)

ή μη φαγώσιμα (βίδα).

α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο αυτού του

πειράματος τύχης.

β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα

Ε1: «το ποντίκι συνάντησε βίδα»


4

Ε2: «το ποντίκι δε συνάντησε φράουλα»

Ε3: «το ποντίκι συνάντησε μόνο ένα φρούτο»

Ε4: «το ποντίκι συνάντησε κεράσι ή μπισκότο»

Ε5: «το ποντίκι συνάντησε δύο φαγώσιμα και δε συνάντησε τυρί»

Ο μ ά δ α Β . 1. Δίνεται το παρακάτω διάγραμμα Venn. Να βρείτε δύο διαφορετικές τριάδες

ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων τέτοιων ώστε η ένωσή τους να ταυτίζεται με το

Ω.

2. Ρίχνουμε ένα κέρμα 4 φορές.

α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης.


Ε1: «το κέρμα έφερε περισσότερες φορές “κορώνα” από όσες έφερε

“γράμματα”»

Ε2: «το κέρμα έφερε τις μισές φορές “γράμματα”»

Ε3: «οι φορές που το κέρμα έφερε “κορώνα” είναι τριπλάσιες από τις φορές

που έφερε “γράμματα”»

γ) Να βρείτε τα ενδεχόμενα:

Ε1ÈΕ3, Ε1ÇΕ3, Ε3ÇΕ2΄

δ) Να βρείτε δύο ενδεχόμενα από τα Ε1, Ε2, Ε3, τέτοια ώστε το ένα να είναι

υποσύνολο του άλλου

3. Στρίβουμε 2 φορές το δείκτη της ρουλέτας του σχήματος.

α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο αυτού του πειράματος τύχης.


Ε1: «το άθροισμα των δύο αποτελεσμάτων είναι μεγαλύτερο του 5»

Ε2: «το γινόμενο των δύο αποτελεσμάτων είναι μικρότερο του 12»

γ) Να βρείτε τα ενδεχόμενα:

Ε1ÈΕ2, Ε1ÇΕ2, Ε1ÇΕ2΄ Ε2-Ε1

Ω

Α Β

1 2 4 3


5

4. Ένας τύπος βαλίτσας πωλείται σε 3 χρώματα (πράσινο, μπλε ή καφέ), σε δύο

μεγέθη (μεγάλο ή μικρό) και με ρόδες ή χωρίς ρόδες. Κάποιος πρόκειται να

επιλέξει μια βαλίτσα αυτού του τύπου.

α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης.

β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα:

Α: «επιλέγεται το μεγάλο μέγεθος»

Β: «επιλέγεται το πράσινο χρώμα»

γ) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α΄, ΑÈΒ, ΑÇΒ, Α-Β

δ) Να βρείτε το ενδεχόμενο

Γ: «επιλέγεται βαλίτσα με ρόδες»

και στη συνέχεια τα (ΑÇΒ)ÈΓ, (ΑÇΒ)ÇΓ.

5. Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Ε1: «τα δύο πρώτα αποτελέσματα είναι “κορώνα”»

Ε2: «τουλάχιστον ένα αποτέλεσμα είναι “γράμματα”»

Ε3: «το αποτέλεσμα είναι ίδιο και στις τρεις ρίψεις»

Ε4: «το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης είναι “κορώνα”»

α) Να προσδιορίσετε τα Ε1, Ε2, Ε3, Ε4

β) Να εκφράσετε με λέξεις τα ενδεχόμενα:

Ε2΄, Ε4΄, Ε3ÈΕ1, Ε2ÇΕ4, Ε1ÇΕ2΄, Ε3΄ÇΕ4΄

6. Σε κάθε αγώνα βόλεϊ νικήτρια ανακηρύσσεται η ομάδα που θα κερδίσει πρώτη 3

σετ. Αν οι δύο ομάδες είναι οι α, β τότε να βρείτε το δειγματικό χώρο αυτού του

πειράματος τύχης αν μας ενδιαφέρει το αποτέλεσμα κάθε σετ.

Στη συνέχεια να βρείτε τα ενδεχόμενα:

Ε1: «η ομάδα α κέρδισε τον αγώνα»

Ε2: «η ομάδα β κέρδισε το πολύ δύο σετ»

Ε3: «η ομάδα α κέρδισε ακριβώς ένα σετ»

Ε4: «η ομάδα β κέρδισε το δεύτερο σετ»

Ε5: «η ομάδα β έχασε τον αγώνα»

καθώς επίσης και τα

Ε2΄, Ε1ÇΕ4, Ε2ÇΕ5, Ε2ÈΕ5, Ε5ÇΕ3, Ε1-Ε4


6

Ερωτήσεις Κατανόησης

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Ρίχνουμε ένα ζάρι και το αποτέλεσμα είναι 4. Ποιο από τα παρακάτω ενδεχόμενα

έχει πραγματοποιηθεί;

Α. {1,2,3} Β: {1,3,5,6} Γ: {1,4,5}

Δ: {2,5,6} Ε. κανένα από τα προηγούμενα

2. Καθένα από τα παρακάτω πειράματα τύχης συνοδεύεται από δύο ενδεχόμενα Μ

και Ν. Σε ποια περίπτωση από τις Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι τα ενδεχόμενα Μ και Ν

συμπληρωματικά;

Α: Επιλέγουμε ένα άτομο

Μ: «το άτομο έχει ξανθά μαλλιά»

Ν: «το άτομο έχει γαλάζια μάτια»

Β: Επιλέγουμε ένα μαθητή

Μ: «ο μαθητής έχει “άριστα” στα Μαθηματικά»

Ν: «ο μαθητής έχει βαθμό κάτω από τη βάση στα Μαθηματικά»

Γ: Επιλέγουμε ένα πέναλτι

Μ: «η μπάλα μπήκε γκολ»

Ν: «η μπάλα χτύπησε στο δοκάρι»

Δ: Επιλέγουμε ένα άτομο που υπηρετεί τη θητεία του

Μ: «το άτομο υπηρετεί στο στρατό ξηράς»

Ν: «το άτομο υπηρετεί στο πολεμικό ναυτικό»

Ε: Επιλέγουμε ένα στίχο του Ομήρου

Μ: «ο στίχος προέρχεται από την Ιλιάδα»

Ν: «ο στίχος προέρχεται από την Οδύσσεια»

3. Θεωρούμε πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω και δύο ενδεχόμενα Α και Β.

Ποιο είναι το σκιασμένο ενδεχόμενο στο παρακάτω διάγραμμα Venn;

Α. Α΄ÈΒ΄ Β: ΑÈΒ΄ Γ: Α΄ÈΒ

Ω Α Β


7

Δ: (ΑÈΒ) Ε. (ΑÇΒ)΄

4. Αν ΜÍΝ τότε ΜÈΝ=

Α. Μ Β: Ν Γ: ΜÇΝ

Δ: Ν-Μ Ε. κανένα από τα προηγούμενα

5. Με βάση το παρακάτω διάγραμμα Venn ποιο είναι το σύνολο (ΜÇΝ΄)È(ΝÇΜ΄)

Α. {2,3,4,5} Β: {1,4,5} Γ: {4,5,6}

Δ: {1,2,3} Ε. {1,2,3,4,5}

6. Θεωρούμε το πείραμα τύχης της ρίψης ενός ζαριού και τα ενδεχόμενα Μ={2,3,6},

Ν={1,2,4}. Αν το αποτέλεσμα της ρίψης είναι 2 τότε ποιο από τα παρακάτω

ενδεχόμενα δεν έχει πραγματοποιηθεί;

Α. ΜÈΝ Β: ΜÇΝ Γ: ΜÈΝ΄

Δ: Μ΄ÈΝ Ε. Μ΄

7. Σε ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα Venn το σκιασμένο ενδεχόμενο είναι Ν-

Μ;

Α: Β:

Γ: Δ:

Ε:

Ω Μ Ν 1 2

3

4 5

6

Ω Μ Ν Ω Μ Ν

Ω Μ Ν Ω Μ Ν

Ω Μ Ν


8

8. Αν το ενδεχόμενο Μ, Ν του δειγματικού χώρου Ω είναι ασυμβίβαστο τότε:

Α. ΜÈΝ=Μ Β: ΜÇΝ=Μ Γ:

ΜÇΝ=Æ

Δ: ΜÈΝ=Æ Ε. Μ-Ν=Æ

9. Αν Μ, Ν είναι δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω τότε Ν-Μ=

Α. Μ΄ÇΝ Β: ΜÇΝ΄ Γ: ΜÈΝ΄

Δ: Μ΄ÈΝ Ε. κανένα από τα προηγούμενα

10. Με βάση το παρακάτω διάγραμμα Venn ποιο είναι το συμπληρωματικό του

ενδεχομένου ΜÇΝ.

Α. {1,2,4,5} Β: {6} Γ: {1,4}

Δ: {2,5} Ε. {1,2,4,5,6}

Ερωτήσεις Αντιστοίχησης

1. Θεωρούμε το πείραμα τύχης της ρίψης ενός ζαριού με δειγματικό χώρο

Ω={1,2,3,4,5,6}. Αντιστοιχίστε σε καθένα από τα γράμματα Α, Β, Γ έναν αριθμό

από το 1 έως το 6 ώστε καθένα από τα παρακάτω ενδεχόμενα να ταιριάξει με την

κατάλληλη φράση.

Α: Βέβαιο ενδεχόμενο

Β: Αδύνατο ενδεχόμενο

Γ: Απλό ενδεχόμενο

1. {2,4,6}

2. {1}

3. {1,2,3,4,6}

4. {1,3,5}

5. {1,2,3,4,5,6}

6. Æ

Α Β Γ

2. Με βάση το παρακάτω διάγραμμα Venn να αντιστοιχίσετε σε καθένα από τα

γράμματα Α, Β, Γ, Δ, Ε έναν αριθμό από το 1 έως το 6 ώστε καθεμία από τις

Ω Μ Ν 2 1

4

3

6

5


9

πράξεις της πρώτης στήλης να ταιριάξει με το κατάλληλο ενδεχόμενο της

δεύτερης στήλης.

Α: Μ΄

Β: ΜÇΝ

Γ: Μ-Ν

Δ: Ν-Μ

1. {1,6}

2. {1,2,3,5,6}

3. {2,3}

4. {2,3,4}

5. {4}

6. {5}

Α Β Γ Δ

3. Αντιστοιχίστε σε καθένα από τα γράμματα Α, Β, Γ έναν αριθμό από το 1 έως το 5

ώστε καθένα από τα σκιασμένα ενδεχόμενα στα διαγράμματα Venn της πρώτης

στήλης να ταιριάξει με το ίσο του στη δεύτερη στήλη.

Α:

Β:

Γ:

1. Μ΄ÈΝ΄

2. (ΜÈΝ΄)È(ΜÇΝ)

3. (Μ-Ν)

4. Μ΄ÇΝ΄

5. (ΜÇΝ΄)È(ΝÇΜ΄)

Α Β Γ

Ω Μ Ν

2

3

2

1 6 5

Ω Μ

Ν

Ω Μ

Ν

Ω Μ

Ν


10

Ερωτήσεις διάταξης

1. Θεωρούμε το πείραμα τύχης της ρίψης ενός νομίσματος και τα ενδεχόμενα

Μ={2,4,5,6}, Ν={1,2,5}.

Να γράψετε σε φθίνουσα σειρά τα παρακάτω ενδεχόμενα ανάλογα με το πλήθος

των στοιχείων τους.

Α. ΜÇΝ Β: Ν΄ Γ: ΜÈΝ

Δ: Ν-Μ Ε. Μ΄ÈΝ΄

Ερωτήσεις συμπλήρωσης κενού

1. Να γραμμοσκιάσετε στο παρακάτω διάγραμμα Venn το ενδεχόμενο ΑÈΒ΄.

2. Αν ΑÍΒ τότε ΑÈΒ= , ΑÇΒ= και Α-Β=

3. Έστω Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Αν ΑÇΒ=Æ τότε τα Α, Β

ονομάζονται .

Σε αυτή την περίπτωση ισχύει: Α-Β= και Β-Α=

4. Αν Ω={1,2,3,4,5,6}, Α={1,3,5}, Β={1,2,4,5} τότε:

Α Β = {1,5}

Α Β = {1,2,3,4,5}

Α΄ Β = {1,2,4,5,6}

Α Β΄ = {3}

Α Β = {3}

5. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τότε:

α) Α Β = ΑÇΒ΄

β) Β-Α = Β Α΄

γ) (Α-Β) (Β-Α) = (ΑÇΒ΄)È(ΒÇΑ΄)

Ω Α Β


11

Ασκήσεις Ανάπτυξης

Ο μ ά δ α Α

1. Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό από το 0 έως το 1000. Να βρείτε την πιθανότητα

ο αριθμός αυτός να είναι το 79.

2. Ένα συρτάρι περιέχει τρία βιβλία Φυσικής και δύο βιβλία Ιστορίας. Παίρνουμε

στην τύχη ένα βιβλίο από το συρτάρι. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι βιβλίο

ιστορίας.

3. Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό από το 1 έως το 20. Να βρείτε την πιθανότητα ο

αριθμός αυτός να διαιρείται με το 3.

4. Ένα ημερολόγιο έχει 365 φύλλα, ένα για κάθε ημέρα του χρόνου. Ανοίγουμε

τυχαία το ημερολόγιο σε ένα οποιοδήποτε φύλλο. Να βρείτε την πιθανότητα το

φύλλο αυτό να αντιστοιχεί σε μέρα του Μαρτίου.

5. Ένα δοχείο περιέχει 15 σφαίρες από τις οποίες οι 11 είναι πράσινες και οι 4

άσπρες και 17 κύβους από τους οποίους οι 13 είναι πράσινοι και οι 4 άσπροι.

Παίρνουμε τυχαία ένα αντικείμενο από το δοχείο. Να βρείτε την πιθανότητα να

είναι πράσινοι.

6. Ένα κουτί περιέχει 10 μαύρα, 8 μπλε, 4 κόκκινα και 5 κίτρινα μολύβια.

Παίρνουμε ένα μολύβι στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι:

α) κίτρινο

β) μαύρο ή κόκκινο

γ) ούτε μαύρο ούτε μπλε

7. Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό από το 1 έως το 200. Να βρείτε την πιθανότητα

να είναι ο αριθμός αυτός τετράγωνο φυσικού αριθμού.

8. Ένα πείραμα τύχης έχει 5 δυνατά αποτελέσματα τα ω1, ω2, ω3, ω4, ω5. Να

ελέγξετε αν καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις βρίσκεται σε συμφωνία με

τον ορισμό της πιθανότητας. Αν όχι τότε να εντοπίσετε τα λάθη.


12

α) 61)ω(P 1 = ,

61)ω(P 2 = ,

61)ω(P 3 = ,

61)ω(P 4 = ,

61)ω(P 5 =

β) 241)ω(P 1 = ,

31)ω(P 2 = ,

41)ω(P 3 = ,

61)ω(P 4 = ,

245)ω(P 5 =

γ) Ρ(ω1)=0,18, Ρ(ω2)=0,16, Ρ(ω3)=0,2, Ρ(ω4)=0,22, Ρ(ω5)=0,24

δ) Ρ(ω1)=0,34, Ρ(ω2)=0,13, Ρ(ω3)=0,25, Ρ(ω4)=-0,02, Ρ(ω5)=0,3

ε) Ρ(ω1)=0,22, Ρ(ω2)=0,26, Ρ(ω3)=0,21, Ρ(ω4)=0,24, Ρ(ω5)=0,18

9. Εκτελούμε πολλές φορές ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω={α1,α2} και

καταγράφουμε τις σχετικές συχνότητες f1, f2 των αποτελεσμάτων α1, α2

αντίστοιχα. Έστω ότι f1=0,35.

α) Να βρείτε την f2.

β) Ποιο αποτέλεσμα εμφανίστηκε πιο συχνά;

γ) Αν το αποτέλεσμα α2 εμφανίστηκε 13975 φορές τότε πόσες φορές εκτελέσαμε

το πείραμα;

10. Εκτελούμε πολλές φορές ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω={α1,α2,α3} και

καταγράφουμε τις σχετικές συχνότητες f1, f2, f3 των αποτελεσμάτων α1, α2, α3

αντίστοιχα. Έστω ότι f3=0,52.

α) Ποιο αποτέλεσμα εμφανίστηκε πιο συχνά;

β) Αν τα αποτελέσματα α1 και α2 εμφανίστηκαν 19704 φορές τότε πόσες φορές

εκτελέσαμε το πείραμα;

11. Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό α από το 1 έως το 1000.

α) Να βρείτε την πιθανότητα ο α να είναι άρτιος.

β) Να βρείτε την πιθανότητα ο α να είναι μεγαλύτερος του 400.

γ) Να βρείτε την πιθανότητα ο α να είναι μικρότερος ή ίσος του 645.

12. Επιλέγουμε τυχαία ένα φύλλο από μια τράπουλα με 52 φύλλα. Να βρείτε την

πιθανότητα το φύλλο αυτό να είναι:

α) άσσος β) σπαθί γ) μαύρο δ) αριθμός

13. Έστω Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω.

Αν Ρ(Α)=0,5, Ρ(Β)=0,6, Ρ(ΑÇΒ)=0,4, τότε να βρείτε την Ρ(ΑÈΒ).



13

Αν 53)A(P = ,

94)B(P = ,

109)BA(P =È τότε να βρείτε την Ρ(ΑÇΒ).


Αν Ρ(Α΄)=0,3, Ρ(Β΄)=0,5, Ρ(ΑÇΒ)=0,2, τότε να βρείτε την Ρ(ΑÈΒ).

16. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε το ίδιο

αποτέλεσμα και στις τρεις ρίψεις;

17. Στρίβουμε το δείκτη της ρουλέτας του σχήματος δύο φορές. Ποια είναι η

πιθανότητα το αποτέλεσμα τη δεύτερη φορά να είναι μεγαλύτερο από το

αποτέλεσμα της πρώτης;

18. Στρίβουμε δύο φορές το δείκτη της διπλανής

ρουλέτας.

α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο.

β) Να βρείτε την πιθανότητα το γινόμενο των

αποτελεσμάτων να είναι μικρότερο του 15.

19. Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές.

α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο.

β) Να βρείτε την πιθανότητα να φέρουμε «διπλές» (δηλαδή και τις δύο φορές το

ζάρι να φέρει το ίδιο αποτέλεσμα)

20. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τους βαθμούς των μαθητών μιας τάξης στα

Μαθηματικά.

Βαθμός 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Πλήθος μαθητών 1 0 3 2 5 8 2 4 1 1 2

Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης. Να βρείτε την πιθανότητα:

α) Να έχει βαθμό μικρότερο του 14.

β) Να έχει βαθμό τουλάχιστον 16.

1 2

3

1 2

3 4

5


14

21. Παίρνουμε στην τύχη ένα φύλλο από μια τράπουλα με 52 φύλλα. Να υπολογίσετε

την πιθανότητα το φύλλο να είναι:

α) κόκκινο, β) φιγούρα

γ) κόκκινη φιγούρα δ) κόκκινο ή φιγούρα

Αν σας ζητούσαν να ποντάρετε σε κάποιο ενδεχόμενο από τα παραπάνω ποια θα

ήταν η πρώτη σας προτίμηση; Ποιο θα ήταν η τελευταία σας προτίμηση;

22. Ένα δοχείο περιέχει 10 σφαίρες από τις οποίες οι 8 είναι πράσινες και οι 2 είναι

κίτρινες και 15 κύβους από τους οποίους οι 11 είναι πράσινοι και οι υπόλοιποι

κίτρινοι.

Παίρνουμε στην τύχη ένα αντικείμενο από το δοχείο. Να υπολογίσετε την

πιθανότητα το αντικείμενο να είναι:

α) πράσινο β) κίτρινο ή σφαίρα

γ) κύβος ή πράσινο δ) ούτε κύβος ούτε κίτρινο

23. Καθένα από τα σημεία στο παρακάτω διάγραμμα Venn παριστάνει ένα

αποτέλεσμα του οποίου η πιθανότητα είναι 251 .

Να βρείτε τις πιθανότητες:

α) Ρ(Α) β) Ρ(Β)

γ) Ρ(ΑÈΒ) δ) Ρ(ΑÇΒ)

ε) Ρ(Α΄) στ) Ρ(ΑÇΒ΄)

η) Ρ(Α΄ÇΒ) θ) Ρ(Α΄ÈΒ΄)

24. Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό από το 1 έως το 100. Να βρείτε την πιθανότητα ο

αριθμός αυτός να είναι:

α) μεγαλύτερος του 20 β) μικρότερος του

70

γ) μεγαλύτερος του 20 και μικρότερος του 70

δ) μεγαλύτερος του 20 ή μικρότερος του 70

25. Μία εταιρία έχει 250 υπαλλήλους από τους οποίους οι 155 πήραν αύξηση, οι 85

πήραν προαγωγή και οι 50 πήραν και αύξηση και προαγωγή. Ένας από τους

υπαλλήλους πρόκειται να επιλεγεί με κλήρωση για να τοποθετηθεί σε κάποια

A Ω

Β


15

επιτροπή. Ποια είναι η πιθανότητα ο υπάλληλος αυτός να μην έχει πάρει ούτε

προαγωγή ούτε αύξηση;

26. Κάποιος πρόκειται να αγοράσει ένα καινούριο αυτοκίνητο και σκέπτεται να

αγοράσει Peugeot ή Fiat ή Toyota ή VW ή Renault ή Seat. Οι αντίστοιχες

πιθανότητες είναι: 0,17, 0,22, 0,08, 0,29, 0,21 και 0,03 αντίστοιχα. Να βρείτε την

πιθανότητα να αγοράσει:

α) Fiat ή Renault β) Peugeot ή Seat ή Fiat

γ) Toyota ή VW δ) Fiat ή Seat ή Renault ή VW

27. Μια καθηγήτρια γνωρίζει από εμπειρία ότι η πιθανότητα να κάνει κάποιος

μαθητής 0, 1, 2, 3, ή πάνω από 3 ορθογραφικά λάθη σε μια έκθεση είναι

αντίστοιχα 0,11, 0,28, 0,25, 0,2, 0,16. Ελέγχουμε την έκθεση ενός μαθητή που

επιλέξαμε στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει κάνει:

α) τουλάχιστον 3 ορθογραφικά λάθη β) το πολύ 1 ορθογραφικό λάθος

γ) από 1 έως 3 ορθογραφικά λάθη δ) λιγότερο από 4 ορθογραφικά

λάθη

28. Σε κάποια πόλη οι πιθανότητες να πάρει ένας οδηγός σε ένα χρόνο 0, 1, 2, 3, 4 ή

πάνω από 4 κλήσεις είναι 0,27, 0,39, 0,23, 0,06, 0,04 και 0,01 αντίστοιχα. Να

βρείτε την πιθανότητα να πάρει ένας οδηγός σε ένα χρόνο:

α) μία ή δύο κλήσεις β) το πολύ μία κλήση

γ) από 2 έως 4 κλήσεις δ) τουλάχιστον 2 κλήσεις

29. Αν ( ) ( )ΒΡΑΡ £ τότε μπορούμε να πούμε ότι ΑÍΒ; Αν όχι τότε δώστε

αντιπαράδειγμα.

30. Ένα ανομοιογενές ζάρι είναι τέτοιο ώστε καθένα αποτέλεσμα από τα 2, 3, 4, 5, 6

να έχει πιθανότητα εμφάνισης τριπλάσια από την πιθανότητα εμφάνισης του

προηγουμένου του (το 2 έχει τριπλάσια πιθανότητα από το 1). Να υπολογίσετε

την πιθανότητα καθενός αποτελέσματος.

31. Εξηγήστε τους λόγους για τους οποίους καθένας από τους παρακάτω ισχυρισμούς

είναι λανθασμένος:

α) Ένας φοιτητής δίνει εξετάσεις στα Μαθηματικά και στην Ψυχολογία

Η πιθανότητα να «περάσει» στα Μαθηματικά είναι 0,38.


16

Η πιθανότητα να «περάσει» και στα δύο μαθήματα είναι 0,23.

Η πιθανότητα να «περάσει» στα Μαθηματικά και να «κοπεί» στην Ψυχολογία

είναι 0,16.

β) Η πιθανότητα να πάρει ο κ. Καραμελόπουλος επιστροφή χρημάτων από την

εφορία είναι 0,17.

Η πιθανότητα να πάρει ή ο κ. Καραμελόπουλος ή ο αδερφός του επιστροφή

χρημάτων από την εφορία είναι 0,14

γ) Η πιθανότητα μια ποδοσφαιρική ομάδα να κερδίσει το πρώτο παιχνίδι του

πρωταθλήματος είναι 0,63, η πιθανότητα να κερδίσει το δεύτερο παιχνίδι είναι

0,84 και η πιθανότητα να κερδίσει και τα δύο παιχνίδια είναι 0,45.

δ) Ο κ. Καραμελόπουλος έχει δύο κόρες. Η πιθανότητα να παντρευτεί η

μεγαλύτερη μέσα σε ένα χρόνο είναι 0,27. Η πιθανότητα να παντρευτούν και

οι δύο κόρες μέσα σε ένα χρόνο είναι 0,32.

ε) Ένας γιατρός κάνει σε όλους τους ασθενείς ή μόνο ένεση ή τους δίνει μόνο

χάπια ή τίποτα από τα δύο. Η πιθανότητα να κάνει σε έναν ασθενή ο γιατρός

ένεση είναι 48%, η πιθανότητα να του δώσει χάπια είναι 36% και η

πιθανότητα να μην του δώσει ούτε χάπια ούτε να του κάνει ένεση είναι 12%.

Ο μ ά δ α Β 1. Μια εταιρία δημοσκοπήσεων ισχυρίζεται ότι σε ένα δείγμα από 400 νοικοκυρές οι

312 διαβάζουν ωροσκόπια, οι 248 παρακολουθούν πρωινές εκπομπές στην

τηλεόραση, οι 173 διαβάζουν ωροσκόπια και παρακολουθούν τις πρωινές

εκπομπές ενώ οι 43 δεν κάνουν τίποτα από τα δύο.

Επιλέγουμε μια νοικοκυρά από τις παραπάνω στην τύχη.

Κατασκευάστε ένα διάγραμμα Venn και τοποθετήστε στο εσωτερικό κάθε

περιοχής του διαγράμματος αυτού την αντίστοιχη πιθανότητα. Ελέγξτε αν

υπάρχουν λόγοι η δημοσκόπηση να αμφισβητηθεί.

2. Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό λ από το –5 έως το 4. Να βρείτε την πιθανότητα

το τριώνυμο x2-6x+λ2 να είναι τέλειο τετράγωνο.


17

3. Μεταξύ 200 μαθητών οι 120 έχουν καλό βαθμό στα Μαθηματικά, οι 160 έχουν

καλό βαθμό στα Ελληνικά και οι 100 έχουν καλό βαθμό και στα Μαθηματικά και

στα Ελληνικά. Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα:

α) Να έχει καλό βαθμό στα Μαθηματικά ή στα Ελληνικά

β) Να μην έχει καλό βαθμό ούτε στα Μαθηματικά ούτε στα Ελληνικά

4. Σε μια πόλη το 40% των κατοίκων διαβάζουν συχνά εφημερίδες, το 30%

διαβάζουν συχνά περιοδικά ενώ το 10% διαβάζουν συχνά και εφημερίδες και

περιοδικά. Επιλέγουμε στην τύχη έναν κάτοικο της πόλης. Να βρείτε την

πιθανότητα:

α) Να διαβάζει συχνά εφημερίδες και όχι περιοδικά.

β) Να διαβάζει συχνά περιοδικά και όχι εφημερίδες.

γ) Να διαβάζει συχνά ή εφημερίδες ή περιοδικά αλλά όχι και τα δύο.

5. Το 17% των μαθητών ενός σχολείου μιλούν καλά Γερμανικά, το 39% μιλούν

καλά Γαλλικά ενώ το 54% δεν μιλούν καλά ούτε Γαλλικά ούτε Γερμανικά.

Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή του σχολείου. Να βρείτε την πιθανότητα να μιλάει

καλά και τις δύο γλώσσες.

6. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={α1,α2}. Έστω Ρ1 και Ρ2 οι πιθανότητες των

αποτελεσμάτων α1, α2 αντίστοιχα με Ρ1>Ρ2. Αν 51ΡΡ 21 =- τότε να

προσδιορίσετε τις πιθανότητες Ρ1, Ρ2.

7. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει:

( )51ΒΑΡ =Ç , ( ) ( )

76ΒΡΑΡ =¢+¢

Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

α) ΑÈΒ β) Α΄ÈΒ΄

8. Αν για το ενδεχόμενο Α του δειγματικού χώρου Ω ισχύει:

[Ρ(Α)]2+[Ρ(Α΄)]2=1

τότε να αποδείξετε ότι το Α είναι βέβαιο ή αδύνατο ενδεχόμενο.


18

9. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={ω1,ω2}. Έστω Ρ1 και Ρ2 οι πιθανότητες των

αποτελεσμάτων ω1, ω2 αντίστοιχα. Αν 161ΡΡ 2

22

1 =× τότε να αποδείξετε ότι τα ω1,

ω2 είναι ισοπίθανα.

10. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, «όχι Β», «Α και Β» είναι 41,

31 και

51

αντίστοιχα. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου «ή μόνο Α ή μόνο Β».

11. Έστω Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Αν ( ) ( )21ΒΡ,

43ΑΡ == τότε να

αποδείξετε ότι:

α) Τα ΑÇΒ δεν είναι το αδύνατο ενδεχόμενο

β) ( )43ΒΑΡ ³È

12. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω= {α1,α2,…αν}. Αν η πιθανότητα κάθε

αποτελέσματος α, είναι 45κΡκ = τότε να βρείτε το πλήθος των απλών

ενδεχομένων του Ω.

13. Ένας σύλλογος συγκεντρώνει χρήματα πουλώντας λαχνούς αριθμημένους από το

1 έως το 200. Ποια είναι η πιθανότητα ο λαχνός που θα κληρωθεί να έχει αριθμό

που διαιρείται με το:

α) 4, β) 5, γ) 20, δ) 5 ή 4

14. Ένας οδηγός σταματά με το αυτοκίνητό του σε ένα βενζινάδικο. Η πιθανότητα να

ζητήσει να του ελέγξουν τα λάστιχα είναι 0,18, να ζητήσει να του ελέγξουν τη

μπαταρία είναι 0,23 και η πιθανότητα να ζητήσει και τα δύο είναι 0,08. Να βρείτε

την πιθανότητα να ζητήσει:

α) να του ελέγξουν τη μπαταρία αλλά όχι τα λάστιχα

β) να μην του ελέγξουν ούτε τη μπαταρία ούτε τα λάστιχα

γ) να του ελέγξουν τα λάστιχα ή τη μπαταρία αλλά να μη ζητήσει και τα δύο.

15. Ένας επιχειρηματίας έχει δύο γραμματείς. Η πιθανότητα μία οποιαδήποτε μέρα να

λείπει η μία από το γραφείο της είναι 0,08 ενώ η πιθανότητα να λείπει η άλλη

είναι 0,07. Η πιθανότητα να λείπουν και οι δύο είναι 0,02.


19

α) Ποια είναι η πιθανότητα να λείπει τουλάχιστον μία γραμματέας κάποια

συγκεκριμένη μέρα;

β) Ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον μία γραμματέας να πάει στη δουλειά της

κάποια συγκεκριμένη μέρα;

γ) Ποια είναι η πιθανότητα ακριβώς μία γραμματέας να πάει στη δουλειά της

κάποια συγκεκριμένη μέρα.

16. Ο υπάλληλος της καντίνας ενός θερινού κινηματογράφου γνωρίζει από πείρα ότι

το 37% των θεατών αγοράζουν ποπ-κορν, το 54% αγοράζουν παγωτό, το 67%

αγοράζουν αναψυκτικό, το 23% αγοράζουν ποπ-κορν και παγωτό, το 34%

αγοράζουν παγωτό και αναψυκτικό, το 28% αγοράζουν ποπ-κορν, παγωτό και

αναψυκτικό. Επιλέγουμε στην τύχη ένα θεατή. Ποια είναι η πιθανότητα να

αγοράσει:

α) ποπ-κορν και αναψυκτικό αλλά όχι παγωτό

β) μόνο παγωτό

γ) παγωτό ή αναψυκτικό

δ) αναψυκτικό αλλά όχι παγωτό

ε) ούτε παγωτό, ούτε αναψυκτικό, ούτε ποπ-κορν

17. Μια φοιτήτρια τρώει μερικές φορές στη λέσχη του Πανεπιστημίου, μερικές φορές

τρώει ένα σάντουιτς από το κυλικείο, μερικές φορές τρώει σε ένα κοντινό

εστιατόριο, μερικές φορές τρώει στο σπίτι και μερικές φορές δεν τρώει καθόλου

προκειμένου να χάσει βάρος.

Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι: 0,23, 0,39, 0,15, 0,16, 0,07

Να βρείτε την πιθανότητα:

α) να φάει στη λέσχη ή στο κοντινό εστιατόριο ή ένα σάντουιτς από το κυλικείο.

β) να φάει σάντουιτς από το κυλικείο ή να φάει στο σπίτι ή να μην φάει καθόλου

για να χάσει βάρος

γ) να μην φάει στη λέσχη ούτε στο εστιατόριο.

18. Α είναι ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της

ποσότητας Ρ(Α)Ρ(Α΄).


20

19. Α, Β είναι ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Χρησιμοποιώντας κανόνες

λογισμού με πιθανότητες να αποδείξετε ότι:

Ρ[(ΑÇΒ΄)È(Α΄ÇΒ)]=Ρ(ΑÈΒ)-Ρ(ΑÇΒ)

20. Έστω ν θετικός ακέραιος και Ω={0,1,…,2ν}. Αν η πιθανότητα κάθε

αποτελέσματος του δειγματικού χώρου Ω είναι

( )κ2

1κΡ = , κ=1,2,…,2ν

τότε να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(0).

21. Να αποδείξετε ότι:

( ) ( ) ( ) ( )ΒΑΡ2ΒΡΑΡΒΑΡ1 Ç³+³Ç+ ,

όπου Α, Β είναι ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Θεωρούμε το δειγματικό χώρο Ω={α1,α2,α3,α4,α5}. Αν οι πιθανότητες των

αποτελεσμάτων α1,α2,α3,α4,α5 είναι 0,22, 0,15, 0,19, 0,21 και 0,23 αντίστοιχα τότε

πιο αποτέλεσμα αναμένουμε να εμφανίζεται πιο συχνά;

Α: Το α1 Β: Το α2 Γ: Το α3

Δ: Το α4 Ε: Το α5

2. Θεωρούμε το δειγματικό χώρο Ω={1,5,10}. Αν τα αποτελέσματα Ω είναι

ισοπίθανα τότε Ρ(5)=

Α: 41 Β:

141 Γ:

51 Δ:

101 Ε:

31


21

3. Τα αποτελέσματα του δειγματικού χώρο Ω={1,2,3,4,5,6} είναι ισοπίθανα. Τότε η

πιθανότητα του ενδεχομένου {1,2,3,6} είναι:

Α: 61 Β:

21 Γ:

31 Δ:

41 Ε:

32

4. Τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα και ( ) ( )51ΒΡ,

31ΑΡ == . Τότε Ρ(ΑÈΒ)=

Α: 151 Β:

81 Γ:

158 Δ:

31 Ε:

51

5. Αν για το ενδεχόμενο Α του δειγματικού χώρου Ω είναι Ρ(Α)=0,3 τότε Ρ(Α΄)=

Α: 0,3 Β: -0,3 Γ: 1,3 Δ: 0,7 Ε:

1

6. Στο παρακάτω διάγραμμα Venn κάθε τελεία παριστάνει ένα αποτέλεσμα του

δειγματικού χώρου Ω, ο οποίος απαρτίζεται από ισοπίθανα αποτελέσματα.

Η Ρ(Α-Β) είναι ίση με:

Α: 101 Β:

104 Γ:

105 Δ:

103 Ε:

102

7. Σε κάθε περιοχή του παρακάτω διαγράμματος Venn έχει σημειωθεί η αντίστοιχη

πιθανότητα.

A Ω

Β

A Ω Β

10% 5% 60%

25%


22

Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β αλλά όχι και τα δύο είναι:

Α: 70% Β: 75% Γ: 30% Δ: 15% Ε:

25%

8. Στρίβουμε το δείκτη της διπλανής ρουλέτας. Ποια είναι η

πιθανότητα το αποτέλεσμα να είναι άρτιος αριθμός;

Α: 21 Β:

41 Γ:

43

Δ: 1 Ε: 0

9. Το ΑÈΒ είναι βέβαιο ενδεχόμενο. Αν Ρ(Α)=0,6, Ρ(Β)=0,7, τότε

Ρ(ΑÇΒ)=

Α: 1,3 Β: 0,6 Γ: 0,1 Δ: 0,7 Ε: 0,3

10. Έστω Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(ΑÈΒ)=0,5. Ποια από τις

παρακάτω δεν είναι δυνατόν να είναι η Ρ(ΑÇΒ);

Α: 0,23 Β: 0,02 Γ: 0 Δ: 0,17 Ε: 0,62

Ερωτήσεις Αντιστοίχισης

1. Στο διπλανό διάγραμμα Venn κάθε

τελεία παριστάνει ένα στοιχείο του

δειγματικού χώρου Ω, ο οποίος

απαρτίζεται από ισοπίθανα

αποτελέσματα. Αντιστοιχίστε σε καθένα

από τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ έναν αριθμό

1 2

3 4

Μ Ω

Ν


23

από το 1 έως το 6 ώστε καθένα από τα ενδεχόμενα της πρώτης στήλης να

ταιριάξει με την πιθανότητά του στη δεύτερη στήλη.

Α: ΜÈΝ

Β: ΜÇΝ

Γ: Μ΄ÇΝ΄

Δ: Μ΄ÈΝ

1: 10%

2: 30%

3: 20%

4: 60%

5: 80%

6: 40%

Α Β Γ Δ

2. Έστω Μ, Ν ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Μ)=0,4, Ρ(Ν)=0,5 και

Ρ(ΜÇΝ)=0,2. Αντιστοιχίστε σε καθένα από τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ έναν αριθμό

από το 1 έως το 6 ώστε καθένα από τα ενδεχόμενα της πρώτης στήλης να

ταιριάξει με την πιθανότητά του στη δεύτερη στήλη.

Α: ΜÈΝ

Β: Μ-Ν

Γ: Ν-Μ

Δ: (Μ΄ÇΝ)È(Ν΄ÇΜ)

1: 0,3

2: 0,1

3: 0,7

4: 0,6

5: 0,2

6: 0,5

Α Β Γ Δ.

3. Έστω Μ, Ν ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Αντιστοιχίστε σε καθένα από

τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ έναν αριθμό από το 1 έως το 6 ώστε καθεμία από τις

πιθανότητες της πρώτης στήλης να ταιριάξει με το ίσο της στη δεύτερη στήλη.

Α: Ρ(ΜÈΝ)

Β: Ρ(Μ΄)

Γ: Ρ(Ν-Μ)

Δ: Ρ(ΜÇΝ΄)

1: Ρ(Μ)-Ρ(ΜÇΝ)

2: Ρ(Μ)+Ρ(Ν)-Ρ(ΜÇΝ)

3: Ρ(Μ)+Ρ(Ν)

4: 1-Ρ(Μ)

5: Ρ(Ν)-Ρ(ΜÇΝ)

6: Ρ(Μ)-Ρ(Ν)

Α Β Γ Δ


24

Ερωτήσεις Διάταξης

1. Έστω Ω={α1,α2,α3,α4,α5} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και

Ρ(α1)=0,17, Ρ(α2)=0,21, Ρ(α3)=0,24, Ρ(α4)=0,16, Ρ(α5)=0,22.

Να γράψετε σε μια σειρά τα αποτελέσματα α1, α2, α3, α4, α5 βάζοντας πρώτο το

πιο πιθανό και συνεχίζοντας έτσι ώστε

κάθε αποτέλεσμα να έχει στ’ αριστερά

του ένα πιθανότερο αποτέλεσμα.

2. Στο διπλανό διάγραμμα Venn οι τελείες

παριστάνουν ισοπίθανα αποτελέσματα

του δειγματικού χώρου Ω.

Να γράψετε σε μια σειρά τα ενδεχόμενα

Α, Β, Α ,́ Β΄, (ΑÇΒ΄)È(Α΄ÇΒ) βάζοντας πρώτο το πιο πιθανό και συνεχίζοντας

έτσι ώστε κάθε ενδεχόμενο να έχει στ’ αριστερά του ένα πιθανότερο ενδεχόμενο.

Ερωτήσεις Συμπλήρωσης κενού

1. Ο απλός προσθετικός νόμος Ρ(ΑÈΒ)= ισχύει αν τα ενδεχόμενα

Α, Β είναι , δηλαδή αν ΑÇΒ=

2. Αν ο δειγματικός χώρος Ω έχει ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και Ν(Ω)=

τότε κάθε ενδεχόμενο Α με Ν(Α)=3 έχει πιθανότητα ( )53ΑΡ = . Η πιθανότητα

κάθε απλού ενδεχομένου του Ω είναι ίση με .

3. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω τότε ισχύουν οι παρακάτω

κανόνες λογισμού:

α) Ρ(ΑÈΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-

β) =1-Ρ(Α)

A Ω

Β


25

γ) Ρ(Α-Β)=

Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

1. Η κλήρωση του ΛΟΤΤΟ είναι αμερόληπτη, δηλαδή κανένας αριθμός από τους 49

που μπαίνουν στην κληρωτίδα δεν ευνοείται σε σχέση με τους άλλους. Σε μια

συγκεκριμένη σειρά πολλών κληρώσεων υπάρχει ένας αριθμός, ο 9, που δεν

εμφανίζεται καθόλου, ενώ ένας άλλος, ο 12, εμφανίζεται συνεχώς.

Οι εφημερίδες παρατηρούν το φαινόμενο και προτείνουν στους παίκτες να

παίξουν τον 9, αφού είναι αδικημένος σε σχέση με τους άλλους και επομένως,

στις προσεχείς κληρώσεις θα εμφανιστεί συχνότερα, ώστε να «προφτάσει» τους

άλλους αριθμούς σε συχνότητα εμφάνισης. Ταυτόχρονα αποτρέπουν τους παίκτες

να παίξουν τον 12, αφού αυτός έχει εμφανιστεί πολλές φορές και, επομένως στις

προσεχείς κληρώσεις θα «καθυστερήσει», ώστε να τον «προφτάσουν» οι

υπόλοιποι.

Να εξηγήσετε γιατί αυτός ο συλλογισμός είναι λάθος.

2. Κάποιος ρίχνει 5 φορές ένα αμερόληπτο ζάρι και παρατηρεί ότι δεν έφερε ούτε

μία φορά 6. Ξέρει ότι η πιθανότητα εμφάνισης του εξαγομένου 6 είναι 61 .

Σκέπτεται, λοιπόν, ότι το 6 εμφανίζεται με συχνότητα «μία στις έξι». Αν,

επομένως, ρίξει και μία έκτη φορά το ζάρι, τότε σίγουρα θα φέρει 6, ώστε η

συχνότητα «μία στις έξι» να επιβεβαιωθεί.

Είναι σωστός ο συλλογισμός αυτός;

3. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο κέρμα 13 φορές και το αποτέλεσμα είναι:

Κ Κ Γ Κ Κ Γ Κ Κ Γ Κ Κ Γ Κ

Προβλέπουμε ότι στην επόμενη ρίψη το αποτέλεσμα θα είναι Κ. Είναι λογική

αυτή η πρόβλεψη; Είναι καλύτερη από την πρόβλεψη ότι στην επόμενη ρίψη το

αποτέλεσμα θα είναι Γ;

4. Ρίχνουμε ένα κέρμα 4 φορές και το αποτέλεσμα είναι:

Γ Γ Γ Κ

Είναι αυτό ένδειξη ότι το κέρμα δεν είναι αμερόληπτο;


26

Pithanotites Pol

Documents

Transcript of Pithanotites Pol