Pirmas namų darbas. Vieno varianto sprendimo pavyzdys.

Sąlygos

Duomenų masyvas: 27; 36; 4; 7; 26; 25; 38; 12; 15; 34

1 užduotis: iš pateikto duomenų masyvo sudarykite visiškai subalansuotą medį;

2 užduotis: iš pateikto duomenų masyvo sudarykite paieškos medį;

3 užduotis: iš pateikto duomenų masyvo sudarykite antros eilės B medį;

4 užduotis: iš pateikto duomenų masyvo sudarykite piramidę;

5 užduotis: iš pateikto duomenų masyvo sudarykite AVL medį. Pašalinkite elementus, įdėtus antru trečiu

ir septintu numeriais;

Infix aritmetinė išraiška 5 · (185 + 19815) - 92840 - 46377 : (14171 - 14162)

6 užduotis: užrašykite aritmetinę išraišką postfix pavidalu

7 užduotis: apskaičiuokite 6 užduotyje gautą išraišką naudojant dėklą

Sprendimai

1 užduotis. Dvejetainis medis, kurio kiekvieno elemento kairiojo ir dešiniojo pomedžių elementų

skaičiai skiriasi ne daugiau kaip vienu, vadinamas visiškai subalansuotu medžiu. Pirmą duomenų

masyvo 27; 36; 4; 7; 26; 25; 38; 12; 15; 34 elementą (t. y. 27) talpinsime į šaknį, likusius skirstome į

dvi dalis: elementai 36; 4; 7; 26 ir 25 bus talpinami į kairįjį pomedį, o 38; 12; 15 ir 34 – į dešinįjį

Su kairiuoju ir dešiniuoju pomedžiais kartojame tuos pačius veiksmus ir gauname:

27

38, 12, 15, 34 36, 4, 7, 26, 25

36

26, 25 4, 7

38

34 12, 15

Padarome tuos pačius veiksmus su trimis duomenų rinkiniais, turinčiais po du elementus. Tuomet

pirmasis elementas taps pomedžio šaknimi, o antrasis bus talpinamas į kairįjį pomedį. Sujungiame

brėžinius į vieną ir gauname:

2 užduotis. Dvejetainis paieškos medis, kurio kiekvienoje viršūnėje esantis elementas yra didesnis už

kairiojo pomedžio elementus ir nedidesnis už dešiniojo pomedžio elementus, vadinamas paieškos

medžiu. Pirmą duomenų masyvo 27; 36; 4; 7; 26; 25; 38; 12; 15; 34 elementą (t. y. 27) talpinsime į

šaknį, o likusius įterpsime po vieną taip, kad medis išliktų paieškos medžiu. Kiekvieno elemento

įterpimas vaizduojamas atskirame brėžinyje. Pastebėkime, kad balansavimo daryti nereikia.

Įterpiame elementą 27 į šaknį

Talpiname elementą 36. Kadangi 36 > 27, tai 36 talpinsime į dešinįjį pomedį

Talpiname 4. Kadangi 4 < 27, tai 4 talpinsime į kairįjį pomedį

27

36 38

4

7

26

25

12

15

34

27

27

36

Tęsiame: įterpiame elementus 7; 26; 25; 38.

27

36 4

27

36 4

7

27

36 4

7

26 27

36 4

7

26

25

27

36 4

7

26

25

38

Įterpiame likusius tris elementus 12; 15 ir 34

3 užduotis. Sudarysime antros eilės B medį naudojant duomenų masyvo 27; 36; 4; 7; 26; 25; 38; 12;

15; 34 elementus.

. B medis

Visos B medžio viršūnės yra dalijamos į dalinius medžius, vadinamus puslapiais:

Kiekvienas puslapis, išskyrus šakninį, turi nuo n iki 2n viršūnių, o skaičius n yra vadinamas medžio

eile. Medžio šaknyje gali būti ir mažiau nei n elementų.

Puslapis yra arba lapas, arba turi (m + 1) vaiką, čia m puslapio elementų skaičius. Visu lapu lygiai yra

vienodi.

27

36 4

7

26

25

38

12

15

34

Kiekviename puslapyje elementai išdėstomi didėjimo tvarka.

Naujo elemento įterpimas

Jeigu puslapio P elementų skaičius m yra mažesnis už 2n, tai x įterpiame tarp P elementų. Kitų B

medžio puslapių modifikuoti nereikia, o medžio aukštis taip pat nepasikeičia.

Jeigu puslapis P jau pilnas, reikia pertvarkyti B medį naudojant vieną iš žemiau pateiktų algoritmų:

1 algoritmas: puslapį P skaidome i du puslapius Q ir R. Visus (2n + 1) elementus dalijame i dvi dalis po n

elementų, o vidurinį elementą perkeliame vienu lygiu aukščiau.

2 algoritmas: stengiamės užpildyti visus jau egzistuojančius lapus ir tik tada kurti naujus. Jeigu, įterpus

naują elementą, lapas yra perpildytas, o greta iš kairės yra ne iki galo užpildytas lapas, tai kritinio lapo

elementus pastumiame į kairę. Pirmiausia į gretimą kairėje lapą nuleidžiame atitinkamą elementą (raktą) iš

aukštesnio lygio ir į atlaisvintą vietą aukštyn perkeliame mažiausią perpildyto lapo elementą, paskui lapo

viduje pastumiame visus elementus.

Analogiškai galima perstumti elementus i dešinę pusę, jei gretimas iš dešinės lapas yra ne iki galo

užpildytas.

Šiuo atveju medis yra antros eilės, taigi n lygus dviem ir puslapyje bus nuo 2 iki 4 viršūnių.

Talpiname elementą 27 į šakninį puslapį, o kitus įterpiame į kairįjį arba dešinįjį puslapius tol, kol vienas

jų neužsipildys. Puslapių elementus rūšiuojame didėjimo tvarka. Įterpiame elementus 36 ir 4:

Įterpiame elementus 7; 26; 25 ir 38

27 27

36

27

36 4

Matome, kad kairysis puslapis jau užsipildė. Sekantis elementas yra 12, ir jį reikėtų talpinti į kairįjį

puslapį (12 < 27), taigi galime taikyti antrą algoritmą. Šakninį elementą 27 talpiname į dešinįjį puslapį, o

nauju šakniniu elementu taps 26.

Tokiu pat būdu talpiname elementą 15

27

36, 38 4, 7, 25, 26

27

36, 38 4, 7, 12, 25, 26

26

27, 36, 38 4, 7, 12, 25

26

27, 36, 38 4, 7, 12, 15, 25

Įterpiame paskutinį elementą, t. y. 34

Dešinysis puslapis tapo perpildytas, antro algoritmo taikyti negalime, nes kairiajame puslapyje irgi nėra

vietos, taigi taikysime pirmą algoritmą. Vidurinį puslapio elementą, t. y. 34, kelsime lygiu aukščiau.

Likusius elementus dalinsime į du puslapius: visi elementai į kairę nuo 34 bus perkelti į naują vidurinį

puslapį, o : visi elementai į dešinę nuo 34 bus perkelti į dešinįjį puslapį.

4 užduotis. Sudarysime piramidę naudojant duomenų masyvo 27; 36; 4; 7; 26; 25; 38; 12; 15; 34

elementus. Piramidė yra pilnas, subalansuotas medis: pirmiausiai užpildoma medžio šaknis, paskui

pirmojo lygmens viršūnės, paskui antrojo lygmens ir t.t. Be to, medis yra sutvarkytas taip, kad

kiekvienos viršūnės vaikai yra nedidesni už pačią viršūnę.

Pritaikome piramidės formavimo algoritmą (jis pateiktas žemiau): pradžioje perkelsime duomenis į

masyvą, po to sutvarkysime elementus. Piramidę bus vaizduojama dviem būdais: medžio ir masyvo

pavidalu.

25

26, 27, 36, 38 4, 7, 12, 15

25

26, 27, 34, 36, 38 4, 7, 12, 15

25, 34

26, 27 4, 7, 12, 15 36, 38

Piramides formavimo algoritmas

MakeHeap ()

begin

(1) for ( i=1; i ≤ N; i++ ) do

(2) ai = ei ;

end do

(3) j = N/2;

(4) for ( i=j; i > 0; i – = 1 ) do

(5) HeapDownOrder ( i, N );

end do

end MakeHeap

Piramides elementu sutvarkymo algoritmas

HeapDownOrder ( p, N )

begin

(1) i=p; j = i+i;

(2) while ( j ≤ N ) do

(3) k = j;

(4) if ( (j+1) ≤ N ) then

(5) if ( aj+1 > aj ) k = j+1;

end if

(6) if ( ai < ak ) then

(7) swap (ai , ak );

(8) i = k; j= i+i;

(9) else

(10) j = N+1;

end if

end do

end HeapDownOrder

Viso turime N=10 elementų: 27; 36; 4; 7; 26; 25; 38; 12; 15; 34. Įkeliame juos į piramidę

27 36 4 7 26 25 38 12 15 34

Dabar j =N/2 =5 ir su i=5, 4, 3, 2 ir 1 vykdysime HeapDownOrder ( i, N ).

1) i=5.

HeapDownOrder ( p, N )

begin

(1) i=p; j = i+i;

(2) while ( j ≤ N ) do

i=5; j=10;

while ( 10 ≤ 10 ) do t.y. vieną kartą

10 9 8

7 6 5

4

3 2

1

27

36 4

7

12

26

15

25

34

38

(3) k = j;

(4) if ( (j+1) ≤ N ) then

(5) if ( aj+1 > aj ) k = j+1;

end if

(6) if ( ai < ak ) then

(7) swap (ai , ak );

(8) i = k; j= i+i;

(9) else

(10) j = N+1;

end if

end do

end HeapDownOrder

k=10;

if ( (11) ≤ 10 ) then netenkinama sąlyga

nevykdome

if ( a5 < a10 ) then šiuo atveju 26 < 34

keičiame 26 ir 34 vietomis

i=10; j=20

Po šio žingsnio turime:

27 36 4 7 34 25 38 12 15 26

2) i=4.

HeapDownOrder ( p, N )

begin

(1) i=p; j = i+i;

(2) while ( j ≤ N ) do

(3) k = j;

(4) if ( (j+1) ≤ N ) then

(5) if ( aj+1 > aj ) k = j+1;

end if

(6) if ( ai < ak ) then

(7) swap (ai , ak );

(8) i = k; j= i+i;

(9) else

i=4; j=8;

while ( j ≤ 10 ) do dabar j=8, t. y vykdome

k=8;

if ( (9 ≤ 10 ) then tenkinama sąlyga

if ( a9 > a8 ) šiuo atveju 15 > 12 =true, k=9

end if

if ( a4 < a9 ) then šiuo atveju 7 < 15

keičiame 7 ir 15 vietomis

i=8; j=16 ir einame į (2)

while ( j ≤ 10 ) do dabar j=16, t. y nevykdome

10 9 8

7 6 5 4

3 2

1

27

36 4

7

12

34

15

25

26

38

(10) j = N+1;

end if

end do

end HeapDownOrder

Po šio žingsnio turime:

27 36 4 15 34 25 38 12 7 26

3) i=3. Einame į viršūnę numeriu 3, ir sukeičiame vietomis su jos didžiausiu vaiku. Šiuo atveju

keisime vietomis elementus 4 ir 38

Po šio žingsnio turime:

10 9 8

7 6 5 4

3 2

1

27

36 4

15

12

34

7

25

26

38

10 9 8

7 6 5

4

3 2

1

27

36 38

15

12

34

7

25

26

4

27 36 38 15 34 25 4 12 7 26

4) i=2. Einame į viršūnę numeriu 2, šios viršūnės (reikšmė 36) vaikai yra nedidesni (12 ir 34), taigi

nieko nekeičiame.

5) i=1. Einame į viršūnę numeriu 1, šios viršūnės (reikšmė 27) abu vaikai yra didesni (36 ir 38),

taiga sukeičiame pirmą viršūnę .su jos didesniu vaiku, t.y. 38.

Po šio žingsnio turime:

38 36 27 15 34 25 4 12 7 26

5 užduotis. Iš dalies subalansuotas paieškos medis, kurio bet kurios viršūnės kairiojo ir dešiniojo

pomedžių aukščiai skiriasi nedaugiau nei vienetu, vadinamas AVL medžiu. Pirmą duomenų masyvo 27;

36; 4; 7; 26; 25; 38; 12; 15; 34 elementus įkelsime į AVL medį, atliksime (jei reikės) balansavimą, o

paskui pašalinsime elementus, įdėtus antru trečiu ir septintu numeriais, t. y. 36, 27 ir 4.

Įterpiame pirmas keturias viršūnes (27, 36, 4, 7) taip pat, kaip į paieškos medį. Medis lieka iš dalies

subalansuotas

10 9 8

7 6 5

4

3 2

1

38

7

36 27

15

12

34

7

25

26

4

27

36 4

27

36 4

7

27

27

36

Įterpiame viršūnę 26. Dabar viršūnės 27 kairiojo pomedžio aukštis yra dviem didesnis, negu

dešiniojo. Atliksime viengubą pasukimą į kairę (jo schema pateikta puslapio apačioje). Šiuo atveju A

yra elementas 4, B yra elementas 7, pomedžiai L, P ir R tušti, o N yra elementas 26

Viengubo pasukimo į kairę schema. Toks pasukimas atliekamas, kai įterpiame viršūnę į kraštinį

pomedį.

Medis tapo iš dalies subalansuotu, taigi įterpiame viršūnę 25. Po šio žingsnio vėl reikės balansuoti

medį (tam naudosime dvigubo pasukimo schemą, pateiktą žemiau)

Pirmu žingsniu pasuksime į kairę (šiuo atveju C yra viršūnė 7), o tada į dešinę (B yra viršūnė 26)

27

36 4

7

26

27

36 7

26 4

Dvigubo pasukimo schema. Toks pasukimas atliekamas, kai įterpiame viršūnę į vidinį pomedį.

27

36 7

26 4

25

27

36 26

25

7

4

27

36

26

25

7

4

Įterpiame viršūnę 38. Po šio žingsnio vėl reikia atlikti balansavimą (viengubas posūkis į kairę)

Įterpiame viršūnes 12 (po šio žingsnio balansavimo atlikti nereikia) ir 15 (dvigubas pasukimas):

27

36

26

25

7

4

38

36

38

26

25

7

4 27

36

38

26

25

7

4 27

12

15

36

38

26

15

7

4 27

12 25

Paskutinė viršūnė 34. Po šio žingsnio balansavimo atlikti nereikia.

Pašalinkime kelias viršūnes: pirmą šalinsime viršūnę 36. Ji turi abu vaikus, taigi ją keisime kairiojo

pomedžio labiausiai į dešinę pusę nutolusia viršūne (34, šiuo atveju nereikės balansavimo) arba dešiniojo

pomedžio labiausiai į kairę pusę nutolusia viršūne (38, šiuo atveju reikėtų balansuoti -patikrinkite).

Viršūnė 27 yra lapas, ją tiesiog pašaliname ir įsitikiname, kad balansavimo atlikti nereikia

36

38

26

15

7

4 27

12 25

34

34

38

26

15

7

4 27

12 25

34

38

26

15

7

4

12 25

Šaliname viršūnę 4. Ji irgi yra lapas; pastebėkime, kad šiuo atveju reikia atlikti balansavimą (naudojamas

viengubas pasukimas)

6 užduotis: užrašykite aritmetinę išraišką 5 · (185 + 19815) - 92840 - 46377 : (14171 - 14162) postfix

pavidalu. Pritaikome žemiau pateiktą Infix2Postfix algoritmą

Infix išraiškos užrašymas postfix forma.

/* S - deklas */

Infix2Postfix()

begin

(1) Infix išraiška papildome pradžios ” [ ” ir pabaigos ”

] ” simboliais.

(2) while (FileNonEmpty) do

(3) `s = readDataFile();

(4) select case (s):

(5) case ( "[", "(" )

(6) S.Push(s);

(7) case ( s yra operandas )

(8) print(s);

(9) case ( ^, *, /, +, − )

(10) h = S.ReadTop();

(11) select case (h):

(12) case ( "[", "(", h < s )

(13) S.Push(s);

(14) case ( s <= h )

(15) h = S.Pop();

(16) print(h);

(17) goto 10;

end select case

(18) case ( ")" )

(19) h = S.Pop();

(20) while ( h != "(" ) do

(21) print(h);

(22) h = S.Pop();

end do

(23) case ( "]" )

(24) h = S.Pop();

(25) while ( h != "[" ) do

(26) print(h);

(27) h = S.Pop();

end do

end select case

end do

end Infix2Postfix

Visus atliekamus veiksmus patogu rašyti į lentelę.

34

38

26

15

7

12 25

34

38

26

25

15

7

12

5 * (185 + 19815) - 92840 - 46377 : (14171 - 14162)

Papildome skliaustais: [ 5 * (185 + 19815) - 92840 - 46377 : (14171 - 14162) ]

Įėjimas Dėklas Postfix

[ [

5 [ 5

* [ *

( [ * (

185 [ * ( 185

+ [ * ( +

19815 [ * ( + 19815

) [ * +

- [ - *

92840 [ - 92840

- [ - -

46377 [ - 46377

: [ - :

( [ - : (

14171 [ - : ( 14171

- [ - : ( -

14162 [ - : ( - 14162

) [ - : -

] [ - :

[ -

Gavome: 5 185 19815 + * 92840 - 46377 14171 14162 - : -

7 užduotis: apskaičiuosime gautą išraišką 5 185 19815 + * 92840 - 46377 14171 14162 - : -

Postfix išraiškos reikšmės skaičiavimas. PostfixValue (S) /* S – dėklas */ begin (1) while (FileNonEmpty) do (2) s = readDataFile(); (3) if (s yra skaičius) then (4) S.Push(s);

else (5) b = S.Pop(); (6) a = S.Pop(); (7) c = a op(s) b; (8) S.Push(c);

end if end do end PostfixValue

Įėjimas Dėklas Reikšmė

5 5

185 5 185

19815 5 185 19815

+ 5 20000 185+19815=20000

* 100000 5*20000 = 100000

92840 100000 92840

- 7160 100000-92840=7160

46377 7160 46377

14171 7160 46377 14171

14162 7160 46377 14171 14162

- 7160 46377 9 14171-14162=9

: 7160 5153 46377:9=5153

- 2007 7160-5153=2007