PIPP2-05
Transcript of PIPP2-05
MATEMATICĂ
CURS
PEDAGOGIA ÎNVĂŢĂMÂNTULUI PRIMAR ŞI
PREŞCOLAR
CUPRINS
1. ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ 1.1. Propoziţii logice ……………………………………………….………………... 5
1.2. Operatori logici ……………………………………………….………………… 5
1.3. Predicate logice ……………………………………………….….……………... 9
1.4. Teoreme în matematică …………………………………………………..……. 11
1.5. Probleme propuse ………………………………………………...………….… 12
1.6. Fişa de autoevaluare ………………………………………………………….... 13
1.7. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ……………………………………………... 14
1.8. Bibliografie capitolul 1 …………………………………….………………...… 14
2. MULŢIMI ŞI FUNCŢII 2.1. Mulţimi. Operaţii cu mulţimi ………………………………………………..… 15
2.2. Relaţii binare ………………………………………………………………..…. 18
2.3. Funcţii ………………………………………………………………....……..… 20
2.4. Probleme propuse ………………………………….………………………...… 23
2.5. Fişa de autoevaluare ………………………………………………………….... 25
2.6. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ……………………………..………………. 26
2.7. Bibliografie capitolul 2 …………………………………………………..…….. 26
3. NUMERE NATURALE 3.1. Mulţimea numerelor naturale ………………………………………………..… 27
3.2. Operaţii în mulţimea numerelor naturale ………………………………....…… 28
3.3. Axiomele lui Peano …………………………………………………………..... 29
3.4. Sisteme de numeraţie ……………………………………………………….…. 30
3.5. Probleme propuse …………………………………………………….……...… 35
3.6. Fişa de autoevaluare ……………………………………...………………….… 36
3.7. Răspunsuri – fişa de autoevaluare …………………………………………...… 37
3.8. Bibliografie capitolul 3 ………………………………………………………… 37
4. NUMERE ÎNTREGI 4.1. Numerele întregi şi reprezentanţii lor ………………………………………..… 38
4.2. Operaţii în mulţimea numerelor întregi ……………………………………...… 39
4.3. Relaţia de ordine în mulţimea numerelor întregi …………………………….… 41
4.4. Fişa de autoevaluare ……………………………………………………..…..… 42
4.5. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ………………………………………..….… 43
4.6. Bibliografie capitolul 4 ……………………………………….…………..….… 43
5. NUMERE RAŢIONALE 5.1. Mulţimea numerelor raţionale ………………………………………….....…… 44
5.2. Operaţii cu numere raţionale ………………………………………………...… 44
5.3. Relaţia de ordine în mulţimea numerelor raţionale ………………………….… 47
5.4. Reprezentarea numerelor raţionale prin fracţii zecimale ………...………….… 48
5.5. Fişa de autoevaluare ………………………………………………………….... 50
5.6. Răspunsuri – fişa de autoevaluare …………………………………………...… 51
2
5.7. Bibliografie capitolul 5 ………………………………………………………… 51
6. DIVIZIBILITATE 6.1. Noţiuni introductive. Definiţii ……………………………………………….… 52
6.2. Teoreme de divizibilitate …………………………………………………….… 54
6.3. Cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun ………..……..… 55
6.4. Criterii de divizibilitate …………………………………………...………...…. 57
6.5. Divizibilitatea în mulţimea numerelor întregi ……………………………….… 59
6.6. Ecuaţii diofantice ……………………………………………………………..... 60
6.7. Probleme propuse …………………………………………………………....… 63
6.8. Fişa de autoevaluare ………………………………………………………....… 64
6.9. Răspunsuri – fişa de autoevaluare …………………………………………...… 65
6.10. Bibliografie capitolul 6 …………………………………………………..…… 65
7. GRUPURI 7.1. Legi de compoziţie................................................................................................66
7.2. Noţiunea de grup. Exemple ..................................................................................68
7.3. Morfisme de grupuri. Izomorfisme ......................................................................71
7.4. Subgrupuri ............................................................................................................74
7.5. Probleme ..............................................................................................................77
7.6. Fişa de autoevaluare .............................................................................................79
7.7. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ........................................................................80
7.8. Bibliografie capitolul 7 .........................................................................................81
8. INELE 8.1. Noţiunea de inel. Exemple ...................................................................................82
8.2. Subinel ..................................................................................................................86
8.3. Morfisme de inele .................................................................................................86
8.4. Probleme ...............................................................................................................88
8.5. Fişa de autoevaluare .............................................................................................89
8.6. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ........................................................................90
8.7. Bibliografie capitolul 8 .........................................................................................90
9. CORPURI 9.1. Noţiunea de corp. Exemple ..................................................................................91
9.2. Subcorp .................................................................................................................92
9.3. Morfisme de corpuri .............................................................................................93
9.4. Probleme ...............................................................................................................94
9.5. Fişa de autoevaluare .............................................................................................95
9.6. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ........................................................................96
9.7. Bibliografie capitolul 9 .........................................................................................96
10. STATISTICĂ MATEMATICĂ ŞI TEORIA PROBABILITĂŢILOR 10.1. Elemente de statistică matematică ......................................................................97
10.2. Elemente de probabilităţi ..................................................................................102
10.3. Fişa de autoevaluare .........................................................................................104
10.4. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ....................................................................105
10.5. Bibliografie capitolul 10 ..................................................................................105
3
11. ELEMENTE DE GEOMETRIE 11.1. Sistemul axiomatic al lui Birkhoff....................................................................106
11.2. Segmente şi unghiuri. Simetria ....................................................................... 111
11.3. Triunghiul ........................................................................................................ 113
11.4. Patrulatere ....................................................................................................... 118
11.5. Cercul .............................................................................................................. 122
11.6. Corpuri geometrice .......................................................................................... 123
11.7. Probleme ......................................................................................................... 128
11.8. Fişa de autoevaluare ........................................................................................ 129
11.9. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ................................................................... 130
11.10. Bibliografie capitolul 11 ............................................................................... 131
12. MĂRIMI; MĂSURARE; UNITĂŢI DE MĂSURĂ 12.1. Mărimi fundamentale şi mărimi derivate ........................................................ 132
12.2. Lungimea. Unităţi de măsură pentru lungime ................................................. 133
12.3. Masa. Unităţi de măsură pentru masă ............................................................. 134
12.4. Timpul. Unităţi de măsură pentru timp ........................................................... 135
12.5. Aria. Unităţi de măsură pentru arie ................................................................. 136
12.6. Volumul. Unităţi de măsură pentru volum ..................................................... 137
12.7. Viteza. Unităţi de măsură pentru viteză .......................................................... 137
12.8. Probleme .......................................................................................................... 138
12.9. Fişa de autoevaluare ....................................................................................... 139
12.10. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ................................................................. 139
12.11. Bibliografie capitolul 12 ................................................................................ 139
4
1. ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ
1.1. PROPOZIŢII LOGICE
În logica matematică, prin propoziţie logică se înţelege un enunţ despre care se poate afirma cu certitudine dacă exprimă un adevăr sau un fals.
Propoziţiile logice se notează cu litere mici ale alfabetului latin.
Exemple: p: q:
r:
“Pământul este o planetă.” - propoziţie adevărată; “3+4=7” – propoziţie adevărată;
“Sibiu este capitala României.” – propoziţie falsă.
Notăm mulţimea propoziţiilor cu P şi definim funcţia v definită pe P cu valori în mulţimea {0, 1}, prin care unei propoziţii adevărate i se atribuie valoarea de adevăr
1, iar unei propoziţii false i se atribuie valoarea de adevăr 0. Astfel: v( p ) = 1; v( q ) =
1; v( r ) = 0.
1.2. OPERATORI LOGICI
1.2.1. Negaţia logică
Negaţia logică este un operator logic care acţionează asupra unei propoziţii logice. Prin negaţie se obţine o altă propoziţie care este falsă dacă propoziţia iniţială a
fost adevărată şi este adevărată dacă propoziţia asupra căreia s-a aplicat este falsă.
Se notează p şi se citeşte “non p”.
Exemple: p: “Pământul este o planetă” ; v(p) = 1
“Pământul nu este o planetă” ; v( p) = 0
“3+4=7”; v(q) = 1
“3+4 7”; v( q) = 0
“Sibiu este capitala României” ; v( r ) = 0
“Sibiu nu este capitala României” ; v( r) = 1
p :
q:
q:
r:
r:
s: “7 – 3
“7 – 3
5” ; v(s) = 0
5” ; v( s) = 1. s:
Negaţia logică se poate defini prin următorul tabel:
O proprietate importantă a acestui operator este faptul că negarea negaţiei (sau dubla negaţie) a propoziţiei p are aceeaşi valoare de adevăr ca şi propoziţia p. Adică,
oricare ar fi propoziţia p:
v( ( p) ) = v ( p ).
5
v( p) v( p)
1 0
0 1
1.2.2. Disjuncţia logică
Disjuncţia logică este un operator logic care compune două propoziţii, obţinându-se o altă propoziţie care este falsă numai în cazul în care ambele propoziţii
sunt false. În toate celelalte cazuri se obţine o propoziţie adevărată.
Se notează: p q şi se citeşte “p sau q”.
Exemple: p: “Culoarea albastru este o culoare rece” ; v(p) = 1 q: “5 este un număr par” ; v(q) = 0
p q: “Culoarea albastru este o culoare rece sau 5 este un număr par” ; v(p q) = 1.
Disjuncţia logică se poate defini prin următorul tabel de adevăr:
Proprietăţi ale disjuncţiei logice:
1. Comutativitatea: Oricare ar fi propoziţiile logice p şi q:
v(p q) = v(q p)
2. Asociativitatea:
Oricare ar fi propoziţiile logice p, q şi r:
v((p q) r) = v(p (q r))
3. Dacă notăm cu 1 o propoziţie adevărată, atunci, oricare ar fi propoziţia p:
v(p 1) = v(1 p) = 1
Proprietăţile se pot demonstra cu ajutorul tabelelor de adevăr, luând în
considerare toate cazurile posibile pentru propoziţiile care intervin în relaţie. Pentru
exemplificare se demonstrează proprietatea de asociativitate:
Se observă că în coloanele marcate s-au obţinut aceleaşi valori, ceea ce
demonstrează proprietatea.
1.2.3. Conjuncţia logică
6
v(p) v(q) v( r) v(p q) v((p q) r) v(q r) v(p (q r))
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0
v(p) v(q) v(p q)
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Conjuncţia logică este un operator logic care leagă două propoziţii logice,
rezultând o altă propoziţie care este adevărată numai în cazul în care propoziţii care au intervenit sunt adevărate.
Se notează: p q şi se citeşte “p şi q”.
ambele
Exemple: p: “Iepurii au aripi”; v(p) = 0 q: “Oricare număr natural are un succesor” ; v(q) = 1
p q: “Iepurii au aripi şi Oricare număr natural are un succesor”; v(p q) = 0.
r: “România este în Europa” ; v(r) = 1
s: “3 este divizor al lui 12” ; v(s) = 1
r s: “România este în Europa şi 3 este divizor al lui 12” ; v(r s) = 1.
Conjuncţia logică se poate defini prin următorul tabel de adevăr:
Proprietăţi ale conjuncţiei logice:
1. Comutativitatea: Oricare ar fi propoziţiile logice p şi q:
v(p q) = v(q p)
2. Asociativitatea:
Oricare ar fi propoziţiile logice p, q şi r:
v((p q) r) = v(p (q r))
3. Dacă notăm cu 0 o propoziţie falsă, atunci, oricare ar fi propoziţia p:
v(p 0) = v(0 p) = 0.
Proprietăţi care leagă conjuncţia, disjuncţia şi negaţia:
1. Distributivitatea conjuncţiei faţă de disjuncţie: Oricare ar fi propoziţiile logice p, q şi r:
v(p (q r)) = v((p q) (p r))
2. Distributivitatea disjuncţiei faţă de conjuncţie:
Oricare ar fi propoziţiile logice p, q şi r:
v(p (q r)) = v((p q) (p r))
3. Legile lui De Morgan: Oricare ar fi propoziţiile logice p şi q:
v( (p q)) = v( p q)
v( (p q)) = v( p q)
Se va demonstra cu ajutorul tabelului de adevăr ultima proprietate.
7
v(p) v(q) v(p q) v( (p q)) v( p) v( q) v( p q)
1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1
v(p) v(q) v(p q)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Comparând coloanele marcate, se observă că s-au obţinut aceleaşi valori.
1.2.4. Implicaţia logică
Implicaţia logică a propoziţiilor p şi q ( în această ordine ) este propoziţia
p q. Această propoziţie este falsă numai în cazul în care p este adevărată şi q este
falsă ( adevărul implică numai adevăr, iar falsul implică orice ).
Se notează: p q şi se citeşte “ p implică q”.
Exemple: p: “2+3 = 7” ; v(p) = 0 q: “42 este multiplu al lui 7” ; v(q) = 1
r: “Triunghiul are 4 laturi” ; v(r) = 0
p
q
r
q: “2+3=7 42 este multiplu al lui 7” ; v(p q) = 1
r: “42 este multiplu al lui 7 Triunghiul are 4 laturi” ; v(q r) = 0
p: “Triunghiul are 4 laturi 2+3=7” ; v(r p) = 1.
Implicaţia logică se poate defini prin următorul tabel de adevăr:
O proprietate importantă a implicaţiei este:
v(p q) = v( q p )
Pe această proprietate se bazează metoda reducerii la absurd folosită în
demonstraţii.
1.2.5. Echivalenţa logică
Echivalenţa logică este operatorul logic prin care se compun două propoziţii, obţinându-se o propoziţie care este adevărată atunci când ambele propoziţii sunt
adevărate, iar în celelalte cazuri este falsă.
Se notează: p q şi se citeşte “p echivalent cu q” sau “p dacă şi numai dacă
q”. Valoarea logică a propoziţiei p q este egală cu a propoziţiei ( p q ) ( q p ).
Exemple: p: “Laleaua este o floare”; v(p) = 1 q: “Numerele se scriu cu ajutorul cifrelor” ; v(q) = 1
r: “Ziua are 25 de ore” ; v( r ) = 0
p
q
q: “Laleaua este o floare Numerele se scriu cu ajutorul cifrelor” ; v(p q) = 1
r: “Numerele se scriu cu ajutorul cifrelor Ziua are 25 de ore”; v(q r) = 0.
Echivalenţa logică se poate defini prin următorul tabel de adevăr:
8
v(p) v(q) v(p q)
1 1 1
1 0 0
v(p) v(q) v(p q)
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
0 0 0 1 1 1 1
Se observă că prin folosirea operatorilor logici, propoziţiile pot fi legate între ele, obţinându-se expresii numite formule de calcul propoziţional. Dacă indiferent de
valoarea de adevăr a propoziţiilor componente, valoarea de adevăr a propoziţiei
obţinute este 1, atunci formula se numeşte tautologie.
Toate proprietăţile operatorilor logici le putem transcrie exemplu,
v(p (q r)) = v((p q) (p r))
se poate transcrie:
ca tautologii. De
(p (q r)) ((p q) (p r)),
ceea ce reprezintă o tautologie, conform următorului tabel:
Expresia din coloana marcată are totdeauna valoarea
tautologie.
1, deci reprezintă o
1.3. PREDICATE LOGICE
1.3.1. Definiţie şi exemple
Se numeşte predicat logic o propoziţie care depinde de variabile şi care devine
adevărată sau falsă în funcţie de valorile date variabilelor.
Exemple:
p( x): “3x + 2 = 14”, x N; pentru x = 4 propoziţia este adevărată, iar pentru x = 2,
propoziţia este falsă. Acest predicat care depinde de o singură variabilă se numeşte
predicat unar.
p(x,y): “x divide pe y”, x şi y N. Propoziţiile p(2,6), p(5,15), p(14,56) sunt
adevărate, dar p(3,7), p(6,8), p(5,12) sunt false, căci 2 divide 6, 5 divide 15, 14 divide 56, dar 3 nu-l divide pe 7 etc. Predicatul care depinde de două variabile se numeşte
binar.
Predicatele logice pot să depindă de mai multe variabile.
Predicatul: p(x,y,z,t): x + y + 2 = z + t depinde de patru variabile. p(2,4,5,3) are
valoarea de adevăr 1, pentru că 2 + 4 + 2 = 5 + 3, iar (p(2,5,4,4))=0 pentru că 2 + 5 +
2 4 + 4.
9
v(p)
v(q)
v(r)
v(q r)
v(p (q r))
v(p q)
v(p r)
v((p q) (p r))
v((p (q r)) ((p q) (p
r)))
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0
0 0 1
1.3.2. Cuantificatori
Fie E o mulţime şi p(x) un predicat. Enunţul: “oricare ar fi x din mulţimea E
are proprietatea p”, care se scrie ( x) p(x) este o propoziţie care este adevărată dacă
pentru toate elementele x din E, p(x) este adevărată. Acest simbol ( ) se numeşte
cuantificatorul universal.
Exemple:
Fie mulţimea numerelor naturale şi predicatul p(x): “x + 5 2”. Atunci
propoziţia: ( x) p(x) este o propoziţie adevărată pentru că orice număr natural adunat cu 5 dă un rezultat mai mare sau egal decât 2.
Tot pe mulţimea numerelor naturale definim predicatul: p(x): “x este divizibil
cu 4”. Aplicând cuantificatorul universal se obţine: ( x) p(x), care nu este o
propoziţie adevărată, căci nu orice număr natural este divizibil cu 4, de exemplu 15.
Fie E o mulţime şi p(x) un predicat. Enunţul: “există x din mulţimea E care
are proprietatea p”, care se scrie ( x) p(x) este o propoziţie care este adevărată dacă
pentru cel puţin un element x din E, p(x) este adevărată. Acest simbol ( ) se numeşte
cuantificatorul existenţial.
Exemple: Fie mulţimea numerelor naturale şi predicatul p(x): “x + 7 < 12”. Atunci
propoziţia: ( x) p(x) este o propoziţie adevărată pentru există numere naturale, de
exemplu 3, care adunate cu 7 dau un rezultat mai mic decât 12.
Tot pe mulţimea numerelor naturale definim predicatul: p(x): “x2 < 0”.
Aplicând cuantificatorul existenţial se obţine: ( x) p(x), care nu este o propoziţie
adevărată, căci nu există numere naturale care să aibă pătratul negativ.
1.3.3. Reguli de negaţie
În cazul în care se neagă o propoziţie logică formulată cu ajutorul cuantificatorilor, cuatificatorul universal se transformă în cuantificator existenţial şi
invers.
Exemple: Considerăm mulţimea N a numerelor naturale şi predicatul: p(x): “x + 7 < 20”. Fie
propoziţiile:
q: ( x) p(x) , care se citeşte: oricare ar fi un număr natural x, x + 7 < 20, ceea ce este
fals. De exemplu 15 + 7 nu este mai mic decât 20.
(q) = 0.
r: ( x) p(x), care se citeşte: există numere naturale x pentru care x + 7 < 20, ceea ce
este adevărat, de exemplu pentru x = 2, 2 + 7 < 20.
(r) = 1.
s: ( ( x) p(x) ) ( x) p(x), care se citeşte: există numere naturale x astfel încât
x + 7 20 ( care este negaţia lui p(x) ). Aceasta este o propoziţie adevărată pentru că
există astfel de numere, de exemplu pentru x = 15, 15 + 7 20.
( s ) = 1, ceea ce era de aşteptat, având în vedere că s = q.
t: ( ( x) p(x) ) ( x) p(x), care se citeşte: oricare ar fi numărul natural x,
10
x + 7 20. Aceasta este o propoziţie falsă, căci condiţia nu este îndeplinită pentru
orice număr natural, de exemplu pentru x = 2, 2 + 7 nu este mai mare sau egal cu 20.
(t) = 0, pentru că t = r.
Considerăm mulţimea Z a numerelor întregi şi predicatul p(x,y): 2x + y = 15. Cu ajutorul cuantificatorilor se pot forma următoarele propoziţii:
q: ( x) ( y) p(x,y), adică pentru orice numere întregi x şi y, 2x + y = 15, ceea ce nu
este adevărat, de exemplu pentru x = 2 şi y = - 6, 2x + y = - 2. Aşadar, (q) = 0.
r: ( x) ( y) p(x,y) , ceea ce înseamnă: oricare ar fi x, există y astfel încât 2x + y = 15.
Propoziţia este adevărată, căci pentru orice x număr întreg există y = 15 - 2x, tot
număr întreg, pentru care 2x + y = 15. Deci, (r) = 1.
s: ( x) ( y) p(x,y), care se citeşte: există x număr întreg, astfel încât oricare ar fi y
număr întreg, 2x + y = 15. Aceasta este o propoziţie falsă, căci nu există un număr
întreg x astfel încât dublul său (2x) adunat cu orice număr întreg să dea rezultatul 15.
(s) = 0.
t: ( x) ( y) p(x,y), ceea ce înseamnă: există x şi există y astfel încât 2x + y = 15.
Aceasta este o propoziţie adevărată. De exemplu există x = 6 şi y = 3 astfel încât
2x + y = 15. (t) = 1.
Aplicând regulile de negaţie, se vor nega propoziţiile de mai sus. În cazul în
care propoziţia a fost adevărată prin negare se obţine o propoziţie falsă şi invers.
q: (( x) ( y) p(x,y)) ( x) ( y) p(x,y), adică există x şi există y astfel încât
2x + y 15. Aceasta este o propoziţie adevărată, căci există x = 2 şi y = 7, pentru
care 2x + y = 11 15. Deci ( q) = 1.
r: (( x) ( y) p(x,y)) ( x) ( y) p(x,y), ceea ce înseamnă: există x astfel încât
oricare ar fi y, 2x + y 15. Această propoziţie este falsă, căci pentru orice x număr
întreg se poate găsi y tot număr întreg de forma 15 - 2x pentru care 2x +y = 15. În
concluzie, ( r)=0.
s: (( x) ( y) p(x,y)) ( x) ( y) p(x,y), ceea ce se citeşte: oricare ar fi x
număr întreg, există y număr întreg, astfel încât 2x + y
( s) = 1.
15, ceea ce este adevărat.
t: (( x) ( y) p(x,y)) ( x) ( y) p(x,y), ceea ce se citeşte: oricare ar fi x şi
oricare ar fi y numere întregi, 2x + y 15, ceea ce este fals. De exemplu, pentru x = 4
şi y = 7, 2x + y = 15. Deci,
1.
( t) = 0, cum era de aşteptat, având în vedere că (t) =
1.4. TEOREME ÎN MATEMATICĂ
Teoremele în matematică sunt afirmaţii de forma: "dacă p, atunci q", ceea ce înseamnă că dacă propoziţia p este adevărată, atunci aceasta implică faptul că
propoziţia q este şi ea adevărată. Teoremele stabilesc anumite proprietăţi ale unor
concepte matematice. Ele trebuie demonstrate printr-un şir de raţionamente logice
(silogisme) pe baza axiomelor sau a altor teoreme deja demonstrate. Axiomele sunt
propoziţii care nu se demonstrează. Orice teorie matematică are la bază un sistem de
noţiuni primare (care nu se definesc şi pe baza cărora se definesc celelalte noţiuni) şi
un sistem de axiome, pe baza cărora se demonstrează teoremele.
Exemplu: Suma a două numere naturale de aceeaşi paritate este un număr par.
Ipoteza p: a şi b sunt numere naturale de aceeaşi paritate;
11
Concluzia q: a + b este număr par. Demonstraţia teoremei înseamnă că pornind de la faptul că p este adevărată,
adică a şi b sunt numere naturale de aceeaşi paritate trebuie să arătăm că a+b este
număr par. Se disting două cazuri:
1. a şi b numere pare, adică a=2k şi b=2p. Atunci a+b=2k+2p=2(k+p), număr par;
2. a şi b numere impare, adică a=2k+1 şi b=2p+1. Atunci a+b=2k+1+2p+1=2k+2p+2=
=2(k+p+1), număr par.
Reciproca unei teoreme este teorema care se obţine punând ca ipoteză
concluzia teoremei , iar ca şi concluzie ipoteza ei, adică q p.
Reciproca teoremei din exemplul precedent este: Dacă suma a două numere naturale este un număr par, atunci numerele sunt de aceeaşi paritate. În acest caz
reciproca este adevărată. Nu toate teoremele admit reciproce adevărate. Propoziţia
care se obţine din p q se numeşte contrara teoremei, iar
reciprocei.
q p este contrara
Teoremele se pot demonstra prin metoda directă sau prin metoda
contrapoziţiei. Metoda directă cere ca în ipoteza că p este adevărată să se demonstreze
că q este adevărată, iar metoda contrapoziţiei constă în a demonstra că q p, ceea
ce se bazează pe echivalenţa logică: ( q p) (p q).
1.5. PROBLEME PROPUSE
1. Să se determine valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii: p: "Pământul este o planetă"
q: "125 este un cub perfect"
r: "48 + 2 50".
2. Folosind tabele de adevăr, să se verifice:
a) proprietăţi care nu au fost demonstrate în text;
b) ((p q) q) (p q);
c) ( p q) p q;
d) ((p q) (q r)) (p r) dacă este tautologie ( propoziţie totdeauna adevărată,
indiferent de valorile de adevăr ale propoziţiilor care o compun ).
3. Fie predicatul unar p(x) : "x2 + 1 > 0", unde x este număr real.
a) Să se determine valoarea de adevăr a propoziţiilor: p(15); p(-3); p(3,5); p( ).
b) Să se determine valoarea de adevăr a propoziţiilor:
q: ( x) p(x) şi r: ( x) p(x).
c) Să se nege propoziţiile de la punctul b), respectând legile de negaţie şi să se
determine valoarea de adevăr pentru fiecare propoziţie obţinută.
4. Fie predicatul p(x,y) : "x este divizibil cu y", unde x şi y sunt numere naturale. a) Să se determine valorile de adevăr pentru propoziţiile: p(35,7); p(26,13); p(8,3);
p(23,1); p(23,0); p(0,87).
b) Să se determine valorile de adevăr ale propoziţiilor:
q: (
r: (
s: (
t: (
x) (
x) (
x) (
x) (
y) p(x,y)
y) p(x,z)
y) p(x,y)
y) p(x,y)
12
c) Să se nege propoziţiile de la punctul b), respectând legile de negaţie şi să se
determine valoarea de adevăr pentru fiecare propoziţie obţinută.
1.6. FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. Care dintre următoarele afirmaţii sunt propoziţii logice: a) 7 + 2 = 9; b) x este număr par; c) Dreptunghiul are 5 laturi; d) produsul a doi
multipli ai unui număr natural este un multiplu al acelui număr natural; e) Mâine va
ploua.
Răspuns: .................................................
2. Care dintre propoziţiile logice următoare sunt adevărate:
a) Un număr prim are doi divizori; b) Diagonalele paralelogramului sunt congruente;
c) Există un cel mai mic număr natural; d) 3 + 7 unghiuri congruente.
Răspuns: ......................................
2; e) Un triunghi isoscel are două
3. Să se nege propoziţiile de la exerciţiul 2 şi să se determine valoarea de adevăr a
negaţiilor.
Răspuns: a) .............................................................................
b) .............................................................................
c) .............................................................................
d) .............................................................................
e) .............................................................................
Valoare adevăr ........................
........................
........................
........................
........................
4. Completaţi tabelul de valori:
5. Care dintre operatorii logici următori au proprietatea de comutativitate: a) negaţia logică; b) conjuncţia logică; c) disjuncţia logică; d) implicaţia logică; e)
echivalenţa logică?
Răspuns: ..............................................
6. Este valabilă distributivitatea în cazul: a) conjuncţiei faţă de disjuncţie; b) negaţiei faţă de conjuncţie; c) implicaţiei faţă de
conjuncţie; d) disjuncţiei faţă de conjuncţie; e) echivalenţei faţă de negaţie?
Răspuns: ..............................................
7. Completaţi tabelul de valori pentru următoarele propoziţii şi deduceţi că
(p q) p q:
13
v(p) v(q) v(p q) v(p q) v( p) v(p q) v( p q)
1 1
1 0
0 1
0 0
8. Se consideră predicatul p(x): "x+2=5", unde x este număr natural. Să se afle
valoarea de adevăr pentru:
a) p(3); b) p(0); c) ( x) p(x); d) ( x) p(x); e)
Răspuns: .......................................
(( x) p(x)).
9. Se consideră predicatul p(x,y): x - y = 4, x şi y sunt numere întregi. Să se afle
valoarea de adevăr a propoziţiilor:
a) ( x) ( y) p(x,y); b) ( x) ( y) p(x,y); c) ( x) ( y) p(x,y); d) (( x) ( y) p(x,y));
e) (( x) ( y) p(x,y)).
Răspuns: ..............................................
1.7. RĂSPUNSURI - fişa de autoevaluare: 1. a), c), d).
2. a), c), d), e).
3. a) Un număr prim nu are doi divizori
b) Diagonalele paralelogramului nu sunt congruente
c) Nu există un cel mai mic număr natural
d) 3 + 7 < 2
e) Un triunghi isoscel nu are două unghiuri congruente
4.
fals adevărat
fals
fals
fals.
5. b), c), e). 6. a),d).
7.
8.a), d), e).
9. b), c).
1.8. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 1:
1. Cîrjan, Florin , Matematică pentru examenele de definitivat şi gradul II, învăţători,
institutori, Ed. Paralela 45, 1998, Cap. I, pag. 9 - 23;
14
v(p) v(q) v(p q) v( (p q)) v( p) v( q) v( p q)
1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1
v(p) v(q) v(p q) v(p q) v( p) v(p q) v( p q)
1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1
v(p) v(q) v(p q) v( (p q)) v( p) v( q) v( p q)
1 1
1 0
0 1
0 0
2. Năstăsescu, C., Brandiburu M., Niţă C., Joiţa D., Exerciţii şi probleme de algebră, E.D.P. Bucureşti, 1981, Cap.I, pag. 3-5;
3. Ion, D. I. ş.a., Manual pentru clasa a IX-a, Ed. Teora, 1999, Cap. III, pag. 87 - 118
2. MULŢIMI ŞI FUNCŢII
2.1. MULŢIMI. OPERAŢII CU MULŢIMI
2.1.1. Mulţimi şi elemente
Noţiunea de mulţime este o noţiune primară în matematică, adică nu are o definiţie riguroasă, bazată pe alte noţiuni. Prin mulţime se înţelege o colecţie de
obiecte considerate împreună după anumite criterii. Mulţimile se notează cu litere
mari ale alfabetului: A, B, C,... .
Obiectele ( concrete sau abstracte ) din care este alcătuită mulţimea se numesc
elemente.
Între mulţimi şi elemente se stabileşte relaţia de apartenenţă. Se spune că
elementul a aparţine mulţimii A şi se scrie a A dacă el este un obiect al acestei
mulţimi. Dacă elementul b nu face parte dintre obiectele mulţimii A, se spune că
elementul b nu aparţine mulţimii A şi se notează b A.
Mulţimea care nu conţine nici un element se numeşte mulţimea vidă şi se
notează .
2.1.2. Reprezentarea mulţimilor
Mulţimile se reprezintă astfel: 1. Prin enumerarea tuturor elementelor, scrise cu virgulă între ele, între acolade:
A = {a,b,c,d,e}, care se citeşte: mulţimea A formată din elementele a,b,c,d,e.
2. Printr-o proprietate comună pe care o au elementele ei. Aceeaşi mulţime se poate
reprezenta în acest mod astfel:
A = {x | x este una dintre primele 5 litere ale alfabetului latin }, care se citeşte:
mulţimea A este mulţimea elementelor x cu proprietatea că x este una dintre primele
5 litere ale alfabetului latin.
3. Prin diagrame Venn - Euler:
A a
b
c
d e
Mulţimea A conţine elementele a, b, c, d, e
2.1.3. Incluziunea mulţimilor
15
Definiţie: Mulţimea A este inclusă în mulţimea B dacă
x A x B.
Se notează: A B.
În acest caz A se numeşte submulţime sau parte a lui B.
Mulţimea tuturor părţilor mulţimii B se notează P(B)
Mulţimea vidă şi mulţimea însăşi se numesc părţi
improprii, iar celelalte submulţimi se numesc părţi proprii.
Exemplu:
Fie mulţimea A = a,b,c,d . Mulţimea submulţimilor ei este:
P(A) = , {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b , {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c},
{a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, A}.
Dacă mulţimea A conţine n elemente, atunci P(A) conţine 2n elemente.
Relaţia de incluziune are următoarele proprietăţi:
Reflexivitatea: Orice mulţime este inclusă în ea însăşi: A A.
Antisimetria: Dacă A B şi B A, atunci A=B.
Tranzitivitatea: Dacă A B şi B C, atunci A C.
2.1.4. Operaţii cu mulţimi
a) Reuniunea mulţimilor ( )
Definiţie: Reuniunea a două mulţimi este mulţimea care conţine toate elementele
celor două mulţimi, adică: A B= x | x A x B .
Exemplu: A={a,b,c,d,e,f}; B={b,d,g,h}. Atunci: A B={a,b,c,d,e,f,g,h}.
Sau, pe desen:
Proprietăţi:
comutativitatea: A B=B A, oricare ar fi mulţimile A
şi B
asociativitatea: (A B)
mulţimile A,B,C.
C=A (B C), oricare ar fi
A = A=A, oricare ar fi mulţimea A.
b) Intersecţia mulţimilor ( )
Definiţie: Intersecţia a două mulţimi este mulţimea care conţine elementele comune
celor două mulţimi, adică: A B= x | x A x B .
Exemplu: A={a,b,c,d,e,f}; B={b,d,g,h}. Atunci:
A B={b,d}.
16
Proprietăţi:
comutativitatea: A B=B A, oricare ar fi mulţimile A şi B.
asociativitatea: (A B) C=A (B C), oricare ar fi mulţimile A,B,C.
A = A= , oricare ar fi mulţimea A.
reuniunea este distributivă faţă de intersecţie: A (B C)=(A B) (A C), oricare ar fi mulţimile A, B, C.
intersecţia este distributivă faţă de reuniune: A (B C)=(A B) (A C), oricare
ar fi mulţimile A, B, C.
c) Diferenţa mulţimilor ( \ ) Definiţie: Diferenţa mulţimilor A şi B este mulţimea care conţine
elementele care sunt în A şi nu sunt în B, adică: A \ B = {x | x A
x B}.
Exemplu: A={a,b,c,d,e,f}; B={b,d,g,h}. Atunci: A \ B={a,c,e,f}, iar B \ A={g,h}.
Diferenţa mulţimilor nu este comutativă, nici asociativă.
A \ =A; \ A= .
d) Complementara unei mulţimi ( CM)
Fie mulţimea A M.
Definiţie: Se numeşte complementara mulţimii A în raport cu mulţimea M, diferenţa
M \ A.
Exemplu: M = { a, b, c, d, e, f, g, h }; A = { a, b, c };
atunci CMA = { d, e, f, g, h }
Proprietăţi:
CM (CMA) = A, oricare ar fi mulţimea A
Legile lui De Morgan:
M.
CM(A B)= CMA CMB, oricare ar fi submulţimile A şi B ale mulţimii M.
CM(A B)= CMA CMB, oricare ar fi submulţimile A şi B
ale mulţimii M.
CMA
e) Produsul cartezian ( x )
Definiţie: Se numeşte produsul cartezian al mulţimilor A şi B mulţimea tuturor
perechilor formate cu primul element din mulţimea A şi al doilea element din
mulţimea B, adică: A x B = { (a,b) | a A şi b B}.
17
Exemplu: A = a, b, c, d ; B = b, e, f ;
A x B = (a,b), (a,e), (a,f), (b,b), (b,e), (b,f), (c,b), (c,e), (c,f), (d,b), (d,e), (d,f) .
Produsul cartezian nu este o operaţie comutativă, nici asociativă.
2.2. RELAŢII BINARE
2.2.1. Relaţii binare. Proprietăţi
Definiţie: Se numeşte relaţie binară pe mulţimea A o submulţime R a produsului
cartezian A x A.
Exemplu: Fie mulţimea A = { 1, 2, 3, 4 }. Atunci A x A = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) }.
R = { (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) } este o relaţie binară pe mulţimea A.
Se spune că elementele a şi b sunt în relaţie şi se scrie a b dacă perechea (a,b) R.
În exemplul de mai sus, 1 2, 3 4 etc.
O relaţie binară poate avea una sau mai multe dintre următoarele proprietăţi:
a) Reflexivitatea: O relaţie binară este reflexivă dacă oricare ar fi elementul x al
mulţimii A, x x, adică R conţine toate perechile de forma (x,x) ale lui A x A.
b) Simetria: O relaţie binară are proprietatea de simetrie dacă x y implică y
adică împreună cu perechea (x,y), R conţine şi perechea (y,x).
x,
c) Antisimetria: O relaţie binară are proprietatea de antisimetrie dacă x y şi y x
implică x = y, adică dacă R conţine perechile (x,y) şi (y,x), atunci x = y.
Tranzitivitatea: O relaţie binară are proprietatea de tranzitivitate dacă x d) y şi y
z implică x
perechea (x,z).
z, adică dacă R conţine perechile (x,y) şi (y,z), atunci R conţine şi
Relaţia din exemplul anterior are proprietatea de tranzitivitate. În funcţie de aceste proprietăţi există două categorii de relaţii importante în
matematică: relaţiile de ordine şi relaţiile de echivalenţă.
2.2.2. Relaţii de ordine
Definiţie: Se numeşte relaţie de ordine pe mulţimea A o relaţie binară cu următoarele
proprietăţi:
a) b)
c)
reflexivitate antisimetrie
tranzitivitate.
Exemple:
Relaţia “ “ în mulţimile de numere naturale, întregi, raţionale, reale. Această relaţie
este reflexivă, pentru că orice număr natural este mai mic sau egal cu el însuşi; este
antisimetrică, pentru că din
x y şi y x rezultă x = y; este tranzitivă, pentru că din x y şi y z rezultă x z.
18
Relaţia de incluziune între mulţimi are aceleaşi proprietăţi, deci şi această relaţie este o relaţie de ordine.
Relaţia “a divide b” definită pe mulţimea numerelor naturale nenule este de asemenea
o relaţie de ordine.
2.2.3. Relaţii de echivalenţă
Definiţie: Se numeşte relaţie de echivalenţă pe mulţimea A o relaţie binară cu
următoarele proprietăţi:
d) e)
f)
reflexivitate simetrie
tranzitivitate.
Exemple: Relaţia “ = “ în mulţimile de numere naturale, întregi, raţionale, reale. Această relaţie
este reflexivă, pentru că orice număr natural este egal cu el însuşi; este simetrică,
pentru că din x = y rezultă y = x; este tranzitivă, pentru că din x = y şi y = z rezultă x
= z.
Relaţia de congruenţă a segmentelor, a unghiurilor, a triunghiurilor din geometrie are
proprietăţile de reflexivitate, simetrie şi tranzitivitate.
Relaţia de congruenţă modulo n definită pe mulţimea numerelor întregi. Două numere
întregi sunt congruente modulo n dacă dau acelaşi rest la împărţirea la n. De exemplu,
7 22 ( mod 5) pentru că 7 şi 22 dau restul 2 la împărţirea la 5. Şi această relaţie este
reflexivă ( orice număr întreg este congruent cu el însuşi modulo n), este simetrică ( dacă a este congruent cu b modulo n, atunci şi b este congruent cu a modulo n ) şi
este tranzitivă ( dacă a este congruent cu b şi b este congruent cu c, rezultă că a este
congruent cu c modulo n ).
Definiţie: Fie o relaţie de echivalenţă R definită pe mulţimea A. Se numeşte clasă de echivalenţă a elementului y mulţimea elementelor din A echivalente cu elementul y.
Se notează: ŷ = x A | (y,x) R .
Proprietăţi: Oricare două clase de echivalenţă sunt disjuncte ( nu au elemente comune ).
Reuniunea tuturor claselor de echivalenţă este mulţimea A.
În acest mod se spune că s-a definit o partiţie a mulţimii A.
Definiţie: Se numeşte partiţie a mulţimii A o familie de submulţimi A1, A2, …, An ale
lui A astfel încât sunt disjuncte două câte două şi reuniunea lor este mulţimea A.
Teoremă: Orice relaţie de echivalenţă determină pe o mulţime o partiţie şi, reciproc,
orice partiţie a unei mulţimi defineşte o relaţie de echivalenţă.
S-a menţionat mai sus că mulţimea claselor de echivalenţă este o partiţie a mulţimii A.
Fiind dată partiţia Ai, i 1, 2,…, n a mulţimii A, relaţia de echivalenţă se defineşte
astfel: x este echivalent cu y dacă există o mulţime Ai astfel încât x şi y aparţin
19
mulţimii Ai. Aceasta este o relaţie de echivalenţă, căci oricare ar fi x A, există o
mulţime Ai astfel încât x Ai deci x este echivalent cu el însuşi, relaţia fiind reflexivă.
Relaţia este şi simetrică pentru că dacă x şi y sunt în relaţie, înseamnă că există o
mulţime Aj din familie astfel încât x şi y aparţin acesteia. Rezultă că şi y este în relaţie
cu x. Relaţia are şi proprietatea de tranzitivitate: dacă x este în relaţie cu y, rezultă că
există o mulţime Aj astfel încât x şi y aparţin acesteia. Dacă y este în relaţie cu z, iar y
aparţine mulţimii Aj şi nici unei alte submulţimi din familie căci submulţimile sunt
disjuncte, rezultă că şi z aparţine aceleiaşi submulţimi Aj, deci x şi z fac parte din Aj,
adică sunt în relaţie.
Exemplu: Pe mulţimea numerelor întregi s-a definit relaţia de congruenţă modulo 5. Clasele de echivalenţă sunt submulţimile de numere întregi care dau acelaşi rest la
împărţirea la 5:
0 {...,
{...,
{...,
{...,
{...,
25,
24,
23,
22,
21,
20,
19,
18,
17,
16,
15,
14,
13,
12,
11,
10, 5,0,5,10,15,20,25,...}
1 9,
8,
7,
6,
4,1,6,11,16,21,26,...}
3,2,7,12,17,22,27,...}
2,3,8,13,18,23,28,...}
1,4,9,14,19,24,29,...}
2
3
4
Submulţimile sunt disjuncte, iar reuniunea lor este mulţimea numerelor întregi.
2.3. FUNCŢII
2.3.1. Noţiunea de funcţie
Definiţie: Se numeşte funcţie un triplet format din două mulţimi A şi B şi o relaţie
între aceste mulţimi astfel încât oricărui element din mulţimea A îi corespunde un
singur element din mulţimea B. Se scrie f : A
pe A cu valori în B.
B, ceea ce se citeşte: funcţia f definită
Mulţimea A se numeşte domeniul de definiţie al funcţiei, iar mulţimea B codomeniul sau mulţimea în care funcţia ia valori.
Elementul x A se numeşte argument, iar valoarea care îi corespunde din mulţimea B
se notează f(x). Se foloseşte notaţia: x f(x), care se citeşte: elementului x îi
corespunde valoarea f(x).
Funcţiile se pot reprezenta cu ajutorul tabelului de valori:
A = { a, b, c, d, e, f }; B = { 1,2,3,4,5,6,7,8 }; f : A B
x | a b c d e f
f(x)| 2 4 3 2 1 7
ceea ce înseamnă că elementului a îi corespunde valoarea 2, elementului b îi corespunde valoarea 4 etc.
Funcţiile numerice se mai pot reprezenta cu ajutorul unei formule de definiţie, de
exemplu:
f : Z Z prin f(x) = 3x+4. Pentru această funcţie f(2) = 3·2+4=10,
f(-5) = 3·(-5)+4 = -11.
Funcţiile se mai pot reprezenta prin diagrame:
20
Definiţie: Se numeşte graficul unei funcţii mulţimea perechilor:
Gf = { (x,f(x)) | x A}.
În cazul funcţiilor numerice se asociază acestor perechi punctele din plan
corespunzătoare şi se obţine reprezentarea geometrică a graficului unei funcţii.
2.3.2. Funcţii injective, surjective, bijective
Definiţie: Funcţia f : A
mulţimea A distincte, f(x1)
Cu alte cuvinte, la valori
mulţimea B.
B este funcţie injectivă dacă oricare ar fi x1 şi x2 din
f(x2).
diferite din mulţimea A corespund valori diferite din
Examinând diagramele de mai sus, se observă că funcţia f este injectivă, dar funcţia g
nu este injectivă pentru că g(n) = g(p).
Definiţie: Funcţia f : A B este funcţie surjectivă dacă oricare ar fi elementul y din
mulţimea B există cel puţin un element x din mulţimea A astfel încât f(x) = y.
Se notează cu f(A) mulţimea valorilor pe care le ia funcţia, adică: f(A)= f(x)
Cu această notaţie, condiţia de surjectivitate este: f(A) = B.
x A .
În exemplul reprezentat
alături, funcţia f surjectivă pentru că
elementele din B sunt
este toate
valori ale funcţiei. Funcţia g nu este
21
surjectivă pentru că nu există nici un element din C a cărui imagine să fie elementul 4
din mulţimea D.
Definiţie: Funcţia f : A
surjectivă.
B este funcţie bijectivă dacă este atât injectivă cât şi
Altfel spus: oricare ar fi elementul y din mulţimea B există un singur element x din mulţimea A astfel încât f(x) = y. O funcţie bijectivă pune cele două mulţimi în
corespondenţă biunivocă, adică "element cu element".
Pentru mulţimile finite o astfel de corespondenţă poate exista numai dacă cele două
mulţimi au tot atâtea elemente.
Exemplu:
2.3.3. Compunerea funcţiilor
Definiţie: Fiind date funcţiile: f : A B şi g : B C se defineşte g f : A C prin (g
f)(x) = g(f(x)). Aceasta este operaţia de compunere a funcţiilor. După cum se observă pe desen,
prin funcţia g f, elementului a
din mulţimea A îi corespunde
elementul m din mulţimea C, căci
(g f)(a) = g(f(a)) = g(1) = m.
La fel,
(g
(g
(g
(g
f)(b) = g(f(b)) = g(2) = n;
f)(c) = g(f(c)) = g(4) = q;
f)(d) = g(f(d)) = g(6) = q;
f)(e) = g(f(e)) = g(4) = q.
Nu oricare două funcţii se pot
compune. După cum se observă, codomeniul lui f trebuie să fie acelaşi cu domeniul
lui g pentru a putea face compunerea g f.
Proprietăţi:
a) Compunerea funcţiilor este asociativă, adică dacă f : A
D, atunci (h g) f = h (g f).
B, g : B C şi h : C
(h
((h
(h
g)
g)
(g
f : A D şi h (g f): A D.
f) (x) = (h g) (f(x)) = h(g(f(x)))
f)) (x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x)))
b) Dacă f : A A, atunci funcţia 1A : A A; 1A (x) = x, numită aplicaţia identică a
mulţimii A este element neutru la compunere, adică f 1A = 1A f = f.
f 1A : A A şi 1A f : A A.
(f 1A )(x) = f(1A (x)) = f(x)
22
(1A f)(x) = 1A (f(x)) = f(x)
B bijectivă, atunci există funcţia f-1 : B c) Dacă f : A A, numită inversa funcţiei
f-1 = 1B şi f = 1A. f-1 f, cu proprietatea: f
Dacă f(x) = y, atunci f-1(y) = x.
Compunerea funcţiilor nu este în general comutativă.
2.4. PROBLEME PROPUSE
2.4.1. Mulţimi. Operaţii cu mulţimi
1. Fie A = a, b, c, d, e, f şi B = b, d, g, h . Să se calculeze: A
B \ A.
B, A B, A \ B,
2. Fie A = { 1, 2, 3 } şi B = { 2, 4 }. Să se determine A x B şi B x A.
3. Să se determine mulţimile A şi B astfel încât să fie îndeplinite simultan condiţiile:
A
A
B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
B = 7, 8, 9, 10
B \ A = 4, 5, 6, 11 .
4. Să se determine mulţimile A şi B ştiind că A x B =
(b,f) .
(a,a), (a,c), (a,f), (b,a), (b,c),
5. Fie mulţimea A = 1, 2, 3, 4, 5 . Să se determine submulţimile B ale lui A astfel
încât
B 1, 2, 3 = .
2.4.2. Relaţii binare
1. Fie A = 1, 2, 3, 4 . Scrieţi perechile corespunzătoare relaţiei R A x A, unde x şi
y sunt în relaţie dacă x y. Ce proprietăţi are această relaţie?
2. Fie A = 1, 2, 3 şi relaţia R = (1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (1,2), (3,3) . Este această
relaţie reflexivă? Dar simetrică? Dar antisimetrică? Dar tranzitivă?
3. Demonstraţi că incluziunea mulţimilor nu este o relaţie simetrică.
4. Demonstraţi că relaţia a | b ( a divide b ) definită pe mulţimea numerelor naturale
nenule este o relaţie de ordine.
5. Demonstraţi că relaţia de congruenţă modulo 3 definită pe mulţimea numerelor întregi este o relaţie de echivalenţă. Scrieţi clasele de echivalenţă determinate de
această relaţie.
2.4.3. Funcţii
1. Fie A = 1, 2, 3, 4 , B = 1, 3, 5, 7, 9, 11 şi funcţia f : A B, f(x) = 2x + 1.
Enumeraţi elementele mulţimii f(A). Este această funcţie injectivă? Dar surjectivă?
23
2. Fie f : Z Z , f(x) = x2. Este această funcţie injectivă? Dar surjectivă?
3. Fie f : Z
inversa.
Z , f(x) = x - 4. Demonstraţi că funcţia este bijectivă şi determinaţi-i
4. Fie funcţia f : R \ {2} R \ {1}, f(x) = (x + 3 ) / (x - 2 )
Demonstraţi că f este bijectivă şi determinaţi-i inversa.
5. Fie funcţiile f : R
şi g f.
R şi g : R R, f(x) = 2x + 7 şi g(x) = 3x - 2. Determinaţi f g
6. Fie mulţimile A = a, b, c, d , B = 1, 2, 3, 4, 5 , C = m, n, p, q şi
funcţiile: f : A B şi g : B C astfel:
Completaţi tabelul de valori al funcţiei g f:
24
2.5. FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. Fie A = 1, 2, 3, 4, 5 şi B = 3, 5, 7, 9, 11, 13 . Care dintre propoziţiile de mai
jos este adevărată?
C A a) 7 A B; b) 7 A B; c) 7 A \ B; d) 7 B \ A; e) 7 B A.
2. Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată: a) reuniunea are element neutru;
b) diferenţa este comutativă;
c) intersecţia este distributivă faţă de reuniune;
d) complementara reuniunii a două mulţimi este egală cu intersecţia
complementarelor celor două mulţimi;
e) complementara intersecţiei a două mulţimi este egală cu intersecţia
complementarelor celor două mulţimi.
3. Relaţia " " definită pe mulţimea numerelor întregi este: a) reflexivă;
b) simetrică;
c) tranzitivă;
d) antisimetrică.
4. Congruenţa modulo 7 definită pe Z este: a) o relaţie de ordine;
b) o relaţie de echivalenţă.
5. Fie A = 1, 2, 3, 4, 6, 12 şi relaţia "a divide b" definită pe această mulţime. Care dintre următoarele perechi aparţin relaţiei:
a) (1,3);
b) (2,4);
c) (3,4);
d) (2,3);
e) (6,12)?
6. Fie f : N N, f(x) = 2x2. Funcţia este:
a) injectivă;
b) surjectivă;
c) bijectivă?
Z , f(x) = x + 2. Inversa acestei funcţii este: f-1 : Z 7. Fie f : Z Z, prin: a) f-1(x) = - x - 2
b) f-1(x) = x - 2
c) f-1(x) = 1 / ( x + 2 )
d) f-1(x) = 2 - x
e) f-1(x) = x + 2
8. Fie A = 1, 2, 3, 4 , B = a, b, c, d, e , C = f, g, h, i şi funcţiile: f : A B şi
g : B C astfel:
25
Completaţi tabelul de valori al funcţiei g f:
(g f)(x)
2.6. RĂSPUNSURI - Fişa de autoevaluare
1. a), d), e). 2. a), c), d).
3. a), c), d).
4. b)
5. a), b), e).
6. a)
7. b)
8.
9.
2.7. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 2:
1. Stănescu, I.; Mulţimi de numere, Ed. Albatros, 1975
2. Ganga, M.; Algebră, Ed. Mathpress, 2000
26
x 1 2 3 4
(g f)(x)
i g g f
x 1 2 3 4
x a b c d e
g(x)
i g h g f
x 1 2 3 4
f(x)
a b b e
3. NUMERE NATURALE
3.1. MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE
3.1.1. Mulţimi echipotente. Numărul natural
Definiţie: Două mulţimi A şi B se numesc echipotente dacă există o funcţie bijectivă
f : A B. Se notează A ~ B.
Teoremă: Relaţia de echipotenţă este o relaţie de echivalenţă. Demonstraţie:
a) Reflexivitatea: orice mulţime A este echipotentă cu ea însăşi, A ~ A, pentru că se
defineşte funcţia 1A : A A, 1A(x) = x, care este o funcţie bijectivă.
b) Simetria: dacă A ~ B, atunci şi B ~ A.
B, bijectivă. Inversa ei, f-1 : B Dacă A ~ B, atunci există f : A
bijectivă, aşadar B ~ A.
A este tot o funcţie
c) Tranzitivitatea: dacă A ~ B şi B ~ C, atunci A ~ C.
Dacă A ~ B, atunci există f : A
Dacă B ~ C, atunci există g : B
B, bijectivă.
C, bijectivă.
Funcţia g f : A C este de asemenea o funcţie bijectivă, ca funcţie rezultată din
compunerea a două funcţii bijective. Rezultă că A ~ C. Deci, relaţia de echipotenţă a mulţimilor are toate proprietăţile relaţiei de echivalenţă.
Această relaţie împarte mulţimile în clase de echivalenţă. Toate mulţimile echipotente
între ele fac parte din aceeaşi clasă. O astfel de clasă de echivalenţă se numeşte
cardinal.
Definiţie: Se numeşte mulţime infinită o mulţime echipotentă cu o parte (submulţime)
proprie a ei.
Definiţie: Se numeşte mulţime finită o mulţime care nu este infinită.
Definiţie: Se numeşte număr natural, cardinalul unei mulţimi finite.
De exemplu, numărul natural 0 este card , 1 = card( x ), 2 = card( x,y ), 3 =
card( x,y,z ) etc.
Mulţimea numerelor naturale se notează cu N.
3.1.2. Relaţia de ordine în mulţimea numerelor naturale.
Definiţie: Se spune că numărul natural n, unde n = cardA, este mai mic sau egal cu
numărul natural m, unde m = cardB, şi se notează n m, dacă există o funcţie
f : A B, injectivă ( A şi B mulţimi finite ).
Se va demonstra că această relaţie este o relaţie de ordine.
a) Reflexivitatea: Trebuie demonstrat că oricare ar fi n număr natural, n n.
Fie n = cardA. Se poate defini 1A: A A, 1A(x) = x, care este o funcţie injectivă, deci
n n.
27
b) Antisimetria: Dacă n m şi m n, trebuie arătat că n = m.
Fie n = cardA, m = cardB, cu A şi B mulţimi finite.
n
m
m implică existenţa unei funcţii injective f : A
n implică existenţa unei funcţii injective g : B
B,
A.
Teorema lui Bernstein afirmă că în acest caz A ~ B, adică n = m.
c) Tranzitivitatea: Dacă n m şi m p, trebuie demonstrat că n p.
Fie n = cardA, m = cardB, p = cardC, cu A, B şi C mulţimi finite.
n
m
În
m implică existenţa unei funcţii injective f : A
p implică existenţa unei funcţii injective g : B
B,
C.
o funcţie injectivă ca rezultat al aceste condiţii, funcţia g f : A C este
compunerii a două funcţii injective. Din existenţa acestei funcţii rezultă că n p.
Relaţia de ordine este peste tot definită în mulţimea numerelor naturale, adică oricare
două numere naturale sunt comparabile prin această relaţie.
3.2. OPERAŢII ÎN MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE
3.2.1. Adunarea
Definiţie: Fiind date numerele naturale n şi m, unde n = cardA şi m = cardB, cu A şi B
disjuncte ( A B = ), se defineşte legea de compoziţie internă numită adunare
B ). prin: n + m = card( A
Proprietăţile adunării:
a) Asociativitatea:
n,m,p N, (n + m) + p = n + (m + p).
Fie n = cardA, m = cardB, p = cardC, cu A, B şi C mulţimi finite şi disjuncte două
câte două. Atunci: (n + m) + p = card(A B) + p = card((A B) C), iar
n + (m + p) = n + card(B C) = card(A (B C)). Dar reuniunea mulţimilor este
asociativă, deci se obţine acelaşi rezultat, oricum s-ar asocia termenii adunării.
b) Elementul neutru 0 = card
n N, n + 0 = 0 + n = n
Fie n = cardA. Atunci n + 0 = card(A cardA = n.
c) Comutativitatea:
n,m N, n + m = m + n
) = cardA = n, iar 0 + n = card( A) =
Fie n = cardA şi m = cardB, unde A şi B disjuncte. Atunci n + m = card(A B) =
card(B A ) = m + n.
3.2.2. Înmulţirea
Definiţie: Fiind date numerele naturale n şi m, unde n = cardA şi m = cardB, se
defineşte legea de compoziţie internă numită înmulţire prin: n · m = card( A x B ).
Proprietăţile înmulţirii:
a) Asociativitatea:
n,m,p N, (n · m) · p = n · (m · p).
Fie n = cardA, m = cardB, p = cardC, cu A, B şi C mulţimi finite.
Atunci: (n · m) · p = card(A x B) · p = card((A x B) x C).
28
n · (m · p) = n · card(B x C) = card(A x (B x C)). Produsul cartezian nu este o operaţie asociativă, astfel încât trebuie să se demonstreze că cele două mulţimi au acelaşi
cardinal, adică (A x B) x C ~ A x (B x C).
Definim funcţia f : (A x B) x C A x (B x C) prin f(((a,b),c)) = (a,(b,c)), oricare ar fi
a A, b B şi c C, care se demonstrează că este bijectivă.
- Injectivitatea: ((a,b),c) şi ((p,q),r) (A x B) x C cu ((a,b),c) ((p,q),r), adică a p
sau b q sau c r, trebuie să arătăm că f(((a,b),c)) f(((p,q),r)). Presupunem că
f(((a,b),c)) = f(((p,q),r)), adică (a,(b,c)) = (p,(q,r)), de unde rezultă că a = p, b = q şi c
= r, contradicţie cu ipoteza, deci presupunerea făcută este falsă, ceea ce înseamnă că
f(((a,b),c)) f(((p,q),r)), adică funcţia este injectivă.
- Surjectivitatea: (p,(q,r)) A x (B x C) trebuie să arătăm că există ((a,b),c) (A x B) x C, astfel încât f(((a,b),c)) = (p,(q,r)). Dar f(((a,b),c)) = (a,(b,c)), deci (a,(b,c)) = (p,
(q,r)), de unde rezultă a = p, b = q şi c = r, deci funcţia este şi surjectivă.
Funcţia f definită mai sus este bijectivă, ceea ce demonstrează că mulţimile au acelaşi
cardinal.
b) Elementul neutru 1 = card e , cardinalul mulţimii cu un element.
n N, n · 1 = 1 · n = n
Fie n = cardA. Atunci n · 1 = card(A x e ), iar 1 · n = card( e x A)
Trebuie să demonstrăm că mulţimile A x e şi e x A sunt echipotente cu A.
Definim funcţiile f : A x e A prin f((a,e)) = a, a A şi g : e x A A prin
g((e,a)) = a, a A, despre care se demonstrează uşor că sunt bijective şi deci card(A
x e ) = card( e x A) = cardA. c) Comutativitatea:
n,m N, n · m = m · n
Fie n = cardA şi m = cardB. Atunci n · m = card(A x B) = card(B x A ) = m · n.
Faptul că card(A x B) = card(B x A) se demonstrează cu ajutorul funcţiei f: A x B
B x A, f((a,b)) = (b,a) bijectivă.
3.3. AXIOMELE LUI PEANO
3.3.1. Definirea axiomatică a mulţimii numerelor naturale
Încă din cele mai vechi timpuri, numărul natural a apărut în mintea omului sub cele două aspecte ale sale:
- aspectul cardinal care provine din necesitatea de a pune mulţimi de obiecte în
corespondenţă pentru a vedea unde sunt mai multe şi
- aspectul ordinal care provine din necesitatea de a pune obiectele într-o anumită
ordine: primul, al doilea, ... .
Numărul natural sub aspect cardinal s-a definit cu ajutorul relaţiei de echipotenţă a
mulţimilor.
Definirea lui sub aspect ordinal implică folosirea noţiunii de succesor ( număr care
urmează celui despre care este vorba ). Definirea riguroasă a mulţimii numerelor
naturale sub acest aspect este dată de cele 5 axiome enunţate de Giuseppe Peano în
anul 1891. Acestea sunt:
1. 0 este număr natural.
2. Orice număr natural n are exact un succesor n'.
3. 0 nu este succesorul nici unui număr natural.
4. Două numere naturale distincte au succesori distincţi.
29
5. Mulţimea numerelor naturale este mulţimea cu cele mai puţine elemente care are proprietăţile:
a) îl conţine pe 0;
b) împreună cu orice număr natural n conţine şi succesorul acestuia n'.
3.3.2. Operaţii cu numere naturale definite axiomatic
Operaţiile cu numere naturale: adunarea şi înmulţirea se definesc de asemenea
axiomatic, pe baza noţiunii de succesor.
Definiţia adunării: 1. m + 0 = 0 + m = m
2. m + n' = (m + n)'
Proprietăţile adunării se demonstrează prin metoda inducţiei matematice complete.
De exemplu, pentru asociativitate:
după c, a,b N.
a,b,c N, (a + b) + c = a + (b + c) se face inducţie
Verificare: pentru c = 0: (a + b) + 0 = a + b ( axioma 1 ) şi a + (b + 0) = a + b pentru că b + 0 = b ( axioma 1 ).
Presupunem proprietatea adevărată pentru c = k, adică:
(a + b) + k = a + (b + k) şi pe baza presupunerii vom demonstra proprietatea pentru c
= k', adică: (a + b) + k' = a + (b + k').
(a + b) + k' = ((a + b) + k)' = (a + (b + k))' = a + (b + k)' = a + (b + k'), ceea ce trebuia
demonstrat ( s-a folosit axioma 2 şi presupunerea inducţiei ).
Rezultă că c N, (a + b) + c = a + (b + c).
Faptul că 0 este element neutru pentru adunare rezultă din axioma 1.
Definiţia înmulţirii: 1. m · 0 = 0 · m = 0
2. m · n' = m · n + m.
3.3.3. Relaţia de ordine în N
Definiţie: Numărul natural n este mai mic sau egal cu numărul natural m dacă există
numărul natural p astfel încât n + p = m. Se notează n m.
Dacă n m şi n m, atunci se notează n m sau m n.
Proprietăţile relaţiei de ordine:
1. Trichotomie: Două numere naturale oarecare n şi m sunt neapărat într-una din
relaţiile: n m, n m sau n = m.
2. Monotonia adunării şi înmulţirii: dacă n m, iar p este un număr natural oarecare,
atunci: n + p m + p şi n · p m · p.
3. Axioma lui Arhimede: Pentru două numere naturale oarecare p şi q, p 0, există un
număr natural n astfel încât p · n q.
3.4. SISTEME DE NUMERAŢIE
Definiţie: Ansamblul regulilor de grupare a elementelor unei mulţimi în scopul numărării lor şi de reprezentare simbolică a numărului obţinut se numeşte sistem de
numeraţie.
30
Pentru scrierea numerelor naturale se folosesc simboluri grafice, numite cifre.
Există două sisteme de numeraţie: sistemul poziţional şi sistemul aditiv.
3.4.1. Sistem de numeraţie poziţional
Sistemul poziţional se numeşte astfel pentru că valoarea pe care o reprezintă cifra în scrierea numărului depinde de poziţia pe care aceasta o ocupă în scrierea
numărului. De exemplu, în numărul 4235 cifra 2 reprezintă 200, iar în numărul 702,
cifra 2 reprezintă 2 unităţi.
În general, un sistem de numeraţie poziţional foloseşte n cifre ( simboluri )
pentru primele n numere naturale.
Definiţie: Se numeşte bază a sistemului de numeraţie numărul care arată câte unităţi
de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior.
În acest caz baza de numeraţie este n. În momentul în care se termină cifrele, numărul n se scrie ocupând o nouă poziţie, respectând regula că n unităţi de un
anumit ordin formează o unitate de ordin superior.
Sistemul zecimal foloseşte zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numărarea în
sistem zecimal se bazează pe gruparea obiectelor câte 10. Fiecare poziţie în scrierea
numărului corespunde unui anumit ordin, iar trei ordine formează o clasă, ca în
tabelul următor:
Fiecărui ordin îi corespunde o cifră. De exemplu, numerele scrise în tabel se citesc: 46 053 382, patruzeci şi şase de milioane, şaizeci şi trei de mii, trei sute optzeci şi doi;
23 002 346 104, douăzeci şi trei de miliarde, două milioane, trei sute patruzeci şi şase
de mii, o sută patru; 341 970, trei sute patruzeci şi una de mii, nouă sute şaptezeci.
Dacă lipsesc unităţi de un anumit ordin, pe acele poziţii se aşează cifra 0. Între
clase nu se pun puncte, ci se lasă mici spaţii pentru a citi mai uşor numerele mari.
Fiecare poziţie în scrierea numărului o reprezintă o putere a bazei, în acest caz, a lui
10. Numărul 341 970 = 3·100 000 + 4·10 000 + 1·1 000 + 9·100 + 7·10 + 0 = 3·10 5 +
+ 4·104 + 1·103 + 9·102 + 7·101 + 0·100.
În tehnica de calcul se foloseşte sistemul binar. Acest sistem are baza 2 şi
foloseşte doar cifrele 0 şi 1. Orice număr natural se poate scrie cu aceste cifre. De
exemplu, 0 şi 1 se scriu cu o cifră: 0(2), respectiv 1(2); pentru numărul 2 este nevoie de
o nouă poziţie, el se va scrie 10(2); 3 se scrie 11(2); 4 necesită deja trei poziţii pentru
scriere: 100(2); 5 este 101(2); 6 se scrie 110(2); 7 este cel mai mare număr care se poate
scrie folosind trei poziţii 111(2); 8, ca putere a bazei va fi 1000(2); 9 se reprezintă
1001(2); 10 este 1010(2) şi aşa mai departe. Ca în orice bază, fiecare poziţie reprezintă o
20 21
22 23
24 25
putere a bazei: =
100000(2).
1(2); = 10(2); = 100(2); = 1000(2); = 10000(2); =
31
CLASA
MILIARDELOR
CLASA
MILIOANELOR
CLASA MIILOR
CLASA
UNITĂŢILOR
Sute
de
mili-
arde
Zeci
de
mili-
arde
Mili-
arde
Sute
de
mili-
oane
Zeci
de
mili-
oane
Mili-
oane
Sute
de
mii
Zeci
de
mii
Mii
Sute
Zeci
Uni-
tăţi
sim-
ple 4 6 0 6 3 3 8 2 2 3 0 0 2 3 4 6 1 0 4 3 4 1 9 7 0
De exemplu, numărul 110010011(2) = 1·28 + 1·27 + 0·26 + 0·25 + 1·24 + 0·23 +
0·22 + 1·21 + 1·20 = 256 + 128 + 16 + 2 + 1 = 403(10)
Transformarea unui număr din baza 10 în baza 2 se face prin împărţiri repetate
(gruparea elementelor câte două ) în următorul fel:
În căsuţe se găsesc câturile împărţirilor, iar sub acestea resturile. Prima cifră a numărului este ultimul cât, iar apoi se scriu resturile de jos în sus: 110010011(2).
În baza de numeraţie 5 se folosesc cifrele 0, 1, 2, 3, 4.
Numărul 42331(5) = 4·54 + 2·53 + 3·52 + 3·51 + 1·50 = 4·625 + 2·125 + 3·25 + 3·5 + 1 =
= 2500 + 250 + 75 + 15 + 1 = 2841(10)
Transformarea din baza 10 în baza 5 se face prin împărţire:
Rezultatul este: 42331(5) . Baza de numeraţie 16 ( sistemul hexazecimal ) este de asemenea folosit în
tehnica de calcul. Acest sistem foloseşte 16 cifre: 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F, unde
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
Numărul A7F(16) = A·162 + 7·161 + F·160 = 10·256 + 7·16 + 15·1 = 2560 + 112 + 15 =
2687(10) . Numerele scrise în baza 16 folosesc mai multe simboluri, dar mai puţine
poziţii.
Transformarea lui 2687 din baza 10 în baza 16:
10 = A, 15 = F, numărul obţinut este: A7F(16).
3.4.2. Operaţii cu numere naturale scrise în diferite baze de numeraţie
Adunarea Pentru a aduna două sau mai multe numere scrise în aceeaşi bază k, se adună
între ele cifrele care reprezintă unităţi de acelaşi ordin. Dacă suma unităţilor de un
anumit ordin este mai mare sau egală cu baza sistemului de numeraţie, atunci ea se
transformă în unităţi de ordin imediat următor, acestea adunându-se la suma unităţilor
de acelaşi ordin, restul de unităţi scriindu-se în coloana respectivă.
Se poate utiliza tabla adunării. Pentru baza de numeraţie 6, aceasta este:
32
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 10
2687 16
15 167 16
7 10
2841 5
1 568 5
3 113 5
3 22 5
2 4
403 2
1 201 2
1 100 2
0 50 2
0 25 2
1 12 2
0 6 2
0 3 2
1 1
Cu ajutorul tablei efectuăm următoarea adunare: 43524+
2345
50313 Calculele s-au efectuat astfel: 4 + 5 = 13, se scrie 3 şi 1 se transportă; 1 + 2 + 4 = 11,
se scrie 1 şi 1 se transportă; 1 + 5 + 3 = 13, se scrie 3 şi 1 se transportă; 1 + 3 + 2 =
10, se scrie 0 şi 1 se transportă; 1 + 4 = 5.
Scăderea Pentru a efectua scăderea, se procedează ca şi la adunare. Dacă unităţile de un
anumit ordin ale descăzutului sunt în număr mai mic decât unităţile de acelaşi ordin
ale scăzătorului, o unitate de ordin imediat superior se transformă în atâtea unităţi de
ordin inferior cât este baza.
De exemplu, dacă se face proba prin scădere a adunării efectate în bază 6 se
procedează astfel:
50313 -
2345
43524 3 - 5 nu se poate efectua. Se împrumută o unitate de la ordinul superior, care se
transformă în 6 unităţi. 6 + 3 - 5 = 4. 0 - 4 nu se poate. Se împrumută de la ordinul
superior şi se obţine 6 - 4 = 2. 2 - 3 nu se poate efectua. La ordinul imediat superior
sunt 0 unităţi, astfel că împrumutul se face de următorul ordin. O astfel de unitate se
transformă în 5 unităţi de ordin imediat inferior şi 6 unităţi de ordinul la care se
ajunsese cu scăderea. Deci, 6 + 2 - 3 = 5; 5 - 2 = 3 şi 4 - 0 = 4.
Înmulţirea La efectuarea înmulţirii se ţine cont de aceeaşi regulă, adică un număr
unităţi egal cu baza formează o unitate de ordin imediat superior.
Este util a se folosi tabla înmulţirii. În bază 6, tabla înmulţirii este următoarea:
de
Se efectuează următoarea înmulţire în baza 6:
4352 x
314
30332
4352
33
x 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 10 12 14
3 0 3 10 13 20 23
4 0 4 12 20 24 32
5 0 5 14 23 32 41
2 2 3 4 5 10 11
3 3 4 5 10 11 12
4 4 5 10 11 12 13
5 5 10 11 12 13 14
21540
2312252
4 x 2 = 12, 2 se scrie, 1 se transportă. 4 x 5 = 32, la care se adună 1, deci 33, se scrie 3, iar 3 se transportă. 4 x 3 = 20 la care se adună 3, deci 23, se scrie 3, se transportă 2.
4 x 4 = 24, la care se adună 2, deci 30. Se scrie 0, iar în faţa lui 3. Următoarele două
produse parţiale se efectuează analog, se scriu cu câte o unitate mai la stânga, iar
rezultatul se obţine prin adunare.
Împărţirea Pentru efectuarea împărţirii se utilizează legătura dintre împărţire şi înmulţire.
Împărţirea este cea mai dificilă operaţie. de exemplu, se va face proba înmulţirii
anterioare prin împărţire:
2312252
21540
4352 se cuprinde în 23122 ca 4 în 23. Analizând tabla înmulţirii, cel mai apropiat rezultat este 4 x 3 = 20.
Aşadar scriem 3 şi facem înmulţirea lui 4352 cu 3.
Se obţine rezultatul 21540. Se efectuează scăderea
şi se coboară cifra 5. 4352 se cuprinde în 11425 ca 4 în
11. Cel mai apropiat rezultat este 4 x 1 = 4. Se scrie 1,
se face înmulţirea 1 x 4352, se scade din 11425, iar
lângă rezultat se coboară cifra 2. 4352 se cuprinde în
30332 ca 4 în 30. Cel mai apropiat rezultat este 4 x 4 =
= 24, deci se scrie 4 şi se înmulţeşte 4 x 4352, obţinând
rezultatul 30332.
=11425
4352
=30332
30332
=====
3.4.3. Sistem de numeraţie aditiv
Cel mai cunoscut exemplu îl reprezintă scrierea numerelor cu ajutorul cifrelor romane. Acest sistem foloseşte şapte simboluri, patru de bază: I = 1, X = 10, C = 100,
M = 1000 şi trei auxiliare: V = 5, L = 50, D = 500.
Scrierea numerelor cu ajutorul acestor simboluri respectă câteva reguli:
- cifrele mai mari se scriu în faţa celor mai mici şi valorile se adună;
- numărul maxim de cifre de acelaşi fel care se repetă una după alta este 3;
- pentru a scrie 4, 40, 400, 9, 90, 900 se pune în faţa cifrei mai mari cifra mai mică,
astfel încât valoarea se obţine prin scădere.
De exemplu, MDCCLXVI reprezintă numărul: 1000 + 500 + 200 + 50 + 10 + 5 + 1,
adică 1766.
MMCDXCIV reprezintă 2000 + ( 500 - 100 ) + ( 100 - 10 ) + ( 5 - 1 ) = 2000 + 400 +
+ 90 + 4 = 2494.
34
4352
314
3.5. PROBLEME PROPUSE
1. Să se afle numărul abcd ştiind că abcd + bcd + cd + d = 1986
2. Un elev, la înmulţirea a două numere, a scris din greşeală cifrele deînmulţitului cu o unitate mai mică fiecare şi i-a dat la rezultat 82 176 în loc de 110 592. Care sunt cele
două numere?
3. Dacă la un număr de 5 cifre scris în baza 10 punem la stânga cifra 2, obţinem un număr de 2 ori mai mare decât dacă am pune cifra 3 în dreapta numărului. Să se afle
acest număr.
4. Să se determine toate numerele naturale care împărţite la 9 dau câtul c şi restul r şi
care împărţite la 5 dau câtul r şi restul c.
5. Aflaţi numerele naturale care împărţite la 15 dau un rest egal cu pătratul câtului.
6. Un număr de trei cifre împărţit la răsturnatul său dă câtul 3 şi restul 175, iar
diferenţa dintre cifra sutelor şi cea a unităţilor numărului este 7. Să se afle numărul.
7. Împărţind 2414 şi 1856 prin acelaşi număr natural obţinem resturile 17 şi, respectiv,
23. Să se afle numărul prin care ele au fost împărţite.
8. Să se afle un număr natural în bazag10, format din 3 cifre, ştiind că scris în baza 7
are forma xyy, iar în baza 6 are forma yxx.
9. Să se afle x şi y, baze de numeraţie, astfel încât: 12(x) + 36(y) = 34(10).
10. În ce bază de numeraţie numerele 23, 32, respectiv 41 sunt pitagoreice?
11. Să se afle baza de numeraţie x în care sunt scrise numerele care verifică relaţia:
23(x) · 32(x) = 746(x).
12. Să se afle cifrele x şi y, ştiind că au loc simultan egalităţile:
45y(x) = 178(10) şi 452(x) = 3y1(7).
13. Să se determine cifrele x şi y din egalitatea:
1111(2) + 1111(3) + 1111(4) + 1111(5) + 1111(6) + 1111(7) + 1111(8) + 1111(9) = xyxyx(7) - -
91(10), unde indicii reprezintă baze de numeraţie.
35
3.6. FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. Ce se numesc mulţimi echipotente?
Răspuns: ..............................................................................................................
2. Ce fel de relaţie este relaţia de echipotenţă?
Răspuns: ..........................................................................................................
3. Cum se numeşte o clasă de echivalenţă determinată de relaţia de echipotenţă a mulţimilor?
Răspuns: .........................................................................
4. Ce este numărul natural?
Răspuns: ..................................................................................................................
5. Ce proprietăţi are adunarea numerelor naturale? a) asociativitate
b) are element neutru
c) toate elementele sunt simetrizabile
d) comutativitate
e) este distributivă faţă de înmulţire
6. Ce proprietăţi are operaţia de înmulţire a numerelor naturale? a) asociativitate
b) are element neutru
c) toate elementele sunt simetrizabile
d) comutativitate
e) este distributivă faţă de adunare
7. Care sunt tipurile de sisteme de numeraţie care se folosesc?
Răspuns: ...........................................................................
8. Scrieţi cu cifre romane: 2845; 1974.
9. Scrieţi numărul 1324(6) în baza 10 şi apoi în baza 16.
10. Alcătuiţi tabla adunării şi înmulţirii în baza de numeraţie 4.
36
3.7. RĂSPUNSURI - fişa de autoevaluare
1. Mulţimile A şi B sunt echipotente dacă există o funcţie bijectivă f : A B.
2. Relaţia de echipotenţă este o relaţie de echivalenţă.
3. cardinal.
4. Numărul natural este cardinalul unei mulţimi finite.
5. a), b), d).
6. a), b), d), e).
7. sisteme poziţionale şi sisteme aditive.
8. 2845 = MMDCCCXLV
1974 = MCMLXXIV
1324(6) = 1· 63 + 3 · 62 + 2 · 6 + 4 = 216 + 108 + 12 + 4 = 340(10) 9.
340(10) = 154(16)
10.
3.8. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 3
1. Aron, I. ; Herescu, Gh., Aritmetică pentru învăţători, E.D.P., 1977 2. Mică enciclopedie matematică, Ed. Tehnică, 1980
3. Roşu M., Roman M., Matematică pentru perfecţionarea învăţătorilor,
Educational, 1995
Ed. ALL
37
x 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 10 12
3 0 3 12 21
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 10
2 2 3 10 11
3 3 10 11 12
340 16
4 21 16
5
1
4. NUMERE ÎNTREGI
4.1. NUMERELE ÎNTREGI ŞI REPREZENTANŢII LOR
4.1.1. Număr întreg
Pe mulţimea N x N a perechilor de numere naturale definim relaţia:
( m,n ) este în relaţie cu ( p,q ) şi notăm ( m,n ) ( p,q ) dacă m + q = n + p.
Relaţia definită în acest mod este o relaţie de echivalenţă.
Reflexivitatea:
Oricare ar fi perechea ( m,n ) din N x N, ( m,n )
Simetria:
( m,n ), pentru că m + n = n + m.
Dacă ( m,n ) ( p,q ), atunci şi ( p,q ) p + n = q + m.
Tranzitivitatea:
( m,n ), pentru că din m + q = n + p rezultă
Dacă ( m,n ) ( p,q ) şi ( p,q ) ( r,s ), atunci ( m,n ) ( r,s ).
Din ( m,n ) ( p,q ) rezultă că m + q = n + p, iar din ( p,q ) ( r,s ) rezultă că p + s =
q + r. Adunăm egalităţile: m + q + p + s = n + p + q + r, de unde rezultă că m + s = n
+ + r, adică ( m,n ) ( r,s ).
Această relaţie determină pe mulţimea N x N clase de echivalenţă.
Definiţie: Se numeşte număr întreg o clasă de echivalenţă determinată de relaţia definită anterior pe N x N.
Mulţimea numerelor întregi se notează cu Z.
4.1.2. Numere întregi pozitive şi negative
Teoremă: O clasă de echivalenţă nu conţine decât cel mult un element ( p, q ) în care
q = 0.
Presupunem că există două elemente care au a doua componentă a perechii nulă, adică două perechi de forma ( m,0 ) şi ( p,0 ). Rezultă că m + 0 = 0 + p, adică m = p, deci
este una şi aceeaşi pereche.
Toate elementele dintr-o clasă care conţine perechea ( m, 0 ) sunt de forma ( p, q ) cu
p > q, pentru că m + q = 0 + p implică p > q.
Definiţie: Se numeşte număr întreg pozitiv o clasă care conţine un element de forma
( m, 0 ).
Teoremă: O clasă de echivalenţă nu conţine decât cel mult un element ( p, q ) în care
p = 0.
Presupunem că există două elemente care au prima componentă a perechii nulă, adică două perechi de forma ( 0, m ) şi ( 0, p ). Rezultă că 0 + p = m + 0, adică p = m, deci
este una şi aceeaşi pereche.
38
Toate elementele dintr-o clasă care conţine perechea ( 0,m ) sunt de forma ( p, q ) cu
p < q, pentru că 0 + q = m + p implică p < q.
Definiţie: Se numeşte număr întreg negativ o clasă care conţine un element de forma
( 0,m ).
Clasa care conţine elementul ( 0,0 ) defineşte numărul întreg zero. Oricare element din această clasă este de forma ( m,m ). Numărul întreg zero este şi pozitiv şi negativ.
Mulţimea numerelor întregi pozitive se notează Z+, iar mulţimea numerelor întregi
negative se notează Z-.
Z+ Z- = Z. Se notează Z* = Z \ { 0 }.
Numerele întregi se notează astfel: 0 = { ( 0,0 ), ( 1,1 ), ( 2,2 ), ..., ( n,n ), ... }
+ 1 = { ( 1,0 ), ( 2,1 ), ( 3,2 ), ..., ( n + 1,n ), ... }
- 1 = { ( 0,1 ), ( 1,2 ), ( 2,3 ), ..., ( n,n+1 ), ... }
+ 2 = { ( 2,0 ), ( 3,1 ), ( 4,2 ), ..., ( n+2,n ), ... }
- 2 = { ( 0,2 ), ( 1,3 ), ( 2,4 ), ..., ( n,n+2 ), ... }
Cu aceste notaţii, Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ... } .
4.1.3. Modulul unui număr întreg
Definiţie: Se numeşte modulul numărului întreg pozitiv m care conţine perechea ( m, 0 ), numărul natural m. Se numeşte modulul numărului întreg negativ – m care
conţine perechea ( 0, m ), numărul natural m.
Adică | m | = | - m | = m.
4.2. OPERAŢII ÎN MULŢIMEA NUMERELOR ÎNTREGI
4.2.1. Adunarea
Definiţie: Considerăm două numere întregi, pentru care alegem câte un reprezentant ( m,n ) şi ( p,q ) al claselor de echivalenţă respective. Se defineşte suma celor două
numere întregi clasa reprezentată de elementul ( m+p,n+q ).
Independenţa definiţiei de reprezentanţi:
Fie ( m,n )
Din ( m,n )
( r,s ) şi ( p,q ) ( u,v ). Se va demonstra că ( m+p,n+q ) ( r+u,s+v ).
( r,s ) rezultă m + s = n + r, iar din ( p,q ) ( u,v ) rezultă p + v = q + u.
Adunând cele două relaţii se obţine m + s + p + v = n + r + q + u,
adică ( m+p ) + ( s+v ) = ( n+q ) + ( r+u ), deci ( m+p,n+q ) ( r+u,s+v ).
Proprietăţile adunării numerelor întregi:
1. Asociativitatea Oricare ar fi numerele întregi a, b, c: ( a + b ) + c = a + ( b + c ).
Fie ( m,n ) un reprezentant al lui a, ( p,q ) un reprezentant al lui b şi ( r,s ) un
reprezentant al lui c.
Atunci ( a + b ) + c = (( m,n ) + ( p,q )) + ( r,s) = ( m+p,n+q ) + ( r,s ) =
( m+p+r,n+q+s).
a + ( b + c ) = ( m,n ) + (( p,q ) + ( r,s )) = ( m,n ) + ( p+r,q+s ) = ( m+p+r,n+q+s ). Se
obţine acelaşi rezultat, pentru că adunarea numerelor naturale este asociativă.
39
2. Comutativitatea Oricare ar fi numerele întregi a şi b: a + b = b + a.
Fie ( m,n ) un reprezentant al lui a şi ( p,q ) un reprezentant al lui b.
a + b = ( m,n ) + ( p,q ) = ( m+p,n+q ), iar b + a = ( p,q ) + ( m,n ) = ( p+m,q+n ). Se
obţine acelaşi rezultat pentru că adunarea numerelor naturale este comutativă.
3. Elementul neutru este numărul întreg 0
Oricare ar fi un număr întreg a: a + 0 = 0 + a = a.
Fie ( m,n ) reprezentantul lui a, iar ( 0,0 ) reprezentantul lui 0. Atunci a + 0 = ( m,n ) +
+ ( 0,0 ) = ( m,n ).
4. Toate numerele întregi sunt simetrizabile faţă de adunare
Oricare ar fi un număr întreg a, există un număr întreg (- a), astfel încât a + (-a) = (-a)
+ a = 0.
Fie ( m,n ) un reprezentant al lui a. Atunci reprezentantul lui (- a) este ( n,m ), căci: a
+ (- a) = ( m,n ) + ( n,m ) = ( m+n, n+m ) care este un reprezentant al lui 0.
Observaţii: - prin adunarea a două numere întregi pozitive se obţine tot un număr pozitiv;
- prin adunarea a două numere întregi negative se obţine un număr negativ;
- prin adunarea unui număr pozitiv cu unul negativ, suma este de semnul celui mai
mare număr în modul, iar modulul rezultatului este diferenţa modulelor celor două
numere.
4.2.2. Înmulţirea
Definiţie: Produsul a două numere întregi reprezentate prin perechile ( m,n ) şi ( p,q )
este ( mp + nq, mq + np )
Independenţa de reprezentanţi:
Fie: ( m,n )
· ( u,v ).
( r,s ) şi ( p,q ) ( u,v ). Se demonstrează că ( m,n ) · ( p,q ) ( r,s ) ·
( m,n ) · ( p,q ) = ( mp + nq,mq + np )
( r,s ) · ( u,v ) = ( ru + sv,rv + su )
Din ( m,n ) ( r,s ) rezultă că m + s = n + r, iar din ( p,q ) ( u,v ) rezultă că p + v =
q + u. Trebuie demonstrat că mp + nq + rv + su = mq + np + ru + sv. Din prima relaţie,
r = m + s - n, iar din a doua, u = p + v - q. Se înlocuieşte în relaţia care trebuie
demonstrată şi se obţine: mp + nq + ( m + s - n )v + s( p + v - q) = mq + np + ( m + s -
- n )( p + v - q) + sv;
mp + nq + mv + sv - nv + sp + sv - sq = mq + np + mp + mv - mq + sp + sv - sq - np -
- nv + nq + sv, egalitate adevărată.
Proprietăţile înmulţirii:
1. Asociativitatea Oricare ar fi a, b, c numere întregi, (a · b) · c = a · (b · c)
Fie ( m,n ) reprezentantul lui a, ( p,q ) reprezentantul lui b, ( r,s ) reprezentantul lui c.
Atunci ( a · b ) · c = ( mp + nq,mq + np ) · ( r,s ) = ( ( mp + nq )r + ( mq + np )s, ( mp
+ nq)s + ( mq + np )r ) = ( mpr + nqr + mqs + nps,mps + nqs + mqr + npr )
40
a · ( b · c ) = ( m,n ) · ( pr + qs, ps + qr ) = ( m(pr + qs ) + n(ps + qr),m(ps + qr) + n( pr + qs )) = ( mpr + mqs + nps + nqr,mps + mqr + npr + nqs ). Cele două rezultate
obţinute sunt egale, deci înmulţirea este asociativă.
2. Comutativitatea
Oricare ar fi numerele întregi a şi b, a · b = b · a
Fie ( m,n ) un reprezentant al lui a şi ( p,q ) un reprezentant al lui b.
Atunci a · b = ( mp + nq,mq + np), iar b · a = ( pm + qn,pn + qm ). Cele două rezultate
sunt egale, deci înmulţirea este comutativă.
3. Elementul neutru 1
Oricare ar fi numărul întreg a, a · 1 = 1 · a = a.
Fie ( m,n ) un reprezentant al lui a şi ( 1,0 ) un reprezentant al lui 1.
Atunci a · 1 = ( m,n ) = a.
4. Elementele simetrizabile sunt 1 şi – 1.
5. Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare
Oricare ar fi numerele întregi a, b, c:
a · ( b + c ) = a · b + a · c
Fie ( m,n ) reprezentant al lui a, ( p,q ) reprezentant al lui b şi ( r,s ) reprezentant al lui
c. Atunci a · ( b + c ) = ( m,n ) · ( p + r,q + s ) = ( mp + mr + nq + ns,mq + ms + np +
+nr ), iar a · b + a · c = ( mp + nq,mq + np ) + ( mr + ns,ms + nr ) = ( mp + nq + mr +
+ ns,mq + np + ms + nr ), egalitate adevărată.
Observaţii: - Produsul a două numere întregi pozitive este pozitiv;
- Produsul a două numere întregi negative este pozitiv;
- Produsul unui număr întreg pozitiv cu un număr întreg negativ este negativ.
4.3. RELAŢIA DE ORDINE ÎN MULŢIMEA NUMERELOR ÎNTREGI
Definiţie: Numărul întreg a este mai mic sau egal cu numărul întreg b şi se notează:
a b, dacă există un număr întreg pozitiv c astfel încât a + c = b.
Relaţia definită mai sus este o relaţie de ordine.
Reflexivitatea:
Oricare ar fi un număr întreg a, a a + 0 = a.
Antisimetria:
a, pentru că există numărul întreg 0 astfel încât
Dacă a
Din a
b şi b a, atunci a = b.
b rezultă că există c pozitiv, astfel încât a + c = b, iar din b a rezultă că
există d pozitiv, astfel încât b + d = a. Se adună cele două relaţii şi se obţine: a + c + b + d = b + a, de unde rezultă c + d = 0. Dar c şi d sunt pozitive, atunci c = d =
0, de unde a = b.
Tranzitivitatea:
Dacă a b şi b c, atunci a c.
Din a b rezultă că există d pozitiv, astfel încât a + d = b, iar din b c, rezultă că
există e pozitiv astfel încât b + e = c. Înlocuindu-l pe b în ultima relaţie, se obţine:
a + d + e = c. Dacă d şi e sunt pozitive, atunci d + e este un număr întreg pozitiv şi
rezultă că a c.
Între operaţiile cu numere întregi şi relaţia de ordine există proprietăţi de legătură:
41
1. Dacă a, b, c sunt numere întregi şi a b, atunci a + c b + c şi reciproc.
2. Dacă a b şi c d, atunci a + c b + d.
3. Dacă c este un număr întreg, pozitiv şi nenul, iar a
4. Dacă c este un număr întreg, negativ şi nenul, iar a
b, atunci ac
b, atunci bc
bc şi reciproc.
ac şi reciproc.
5. Dacă a, b, c, d sunt numere întregi, pozitive şi a b, c d, atunci ac bd.
4.4. FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. Două perechi de numere naturale ( m,n ) şi ( p,q ) sunt echivalente
dacă ...................................................
2. Numărul întreg este .....................................................................................................
3. Ce sunt numerele întregi pozitive?
Răspuns: .........................................................................................................................
4. Ce fel de număr este zero?
Răspuns: .........................................................................
5. Proprietăţile adunării numerelor întregi sunt: a) comutativitate
b) orice număr întreg are un simetric faţă de adunare
c) 0 este element neutru
d) adunarea este distributivă faţă de înmulţire
e) asociativitate
6. Prin adunarea a două numere întregi negative
întreg ...................
se obţine un număr
7. Proprietăţile înmulţirii numerelor întregi sunt: a) comutativitate
b) orice număr întreg are un simetric faţă de înmulţire
c) 1 este element neutru
d) înmulţirea este distributivă faţă de adunare
e) asociativitate
8. Prin înmulţirea a două numere întregi negative
întreg .................
se obţine un număr
9. Relaţia de ordine în mulţimea numerelor întregi are proprietăţile: a) reflexivitate
b) simetrie
c) antisimetrie
d) tranzitivitate
42
4.5. RĂSPUNSURI - fişa de autoevaluare
1. m + q = n + p
2. o clasă de echivalenţă determinată de relaţia de echivalenţă definită pe mulţimea
perechilor de numere naturale.
3. Numerele întregi pozitive sunt clasele de echivalenţă care conţin un element
forma ( p,0 ).
de
4. Zero este şi pozitiv şi negativ.
5. a), b), c), e).
6. negativ.
7. a), c), d), e).
8. pozitiv.
9. a), c), d).
4.6. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 4
Stănescu, I., Mulţimi de numere, Ed. Albatros, 1975
43
5. NUMERE RAŢIONALE
5.1. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE
5.1.1. Număr raţional
Pe mulţimea perechilor Z x Z* se defineşte relaţia: perechea ( m, n ) este echivalentă
cu perechea ( p, q ) şi se scrie: ( m, n ) ( p, q ) dacă mq = np.
Relaţia definită mai sus este o relaţie de echivalenţă. Reflexivitatea:
Oricare ar fi perechea ( m,n ), ea este echivalentă cu ea însăşi, pentru că mn = nm.
Simetria:
Dacă ( m,n ) ( p,q), atunci şi ( p,q ) ( m,n ).
Din ( m,n ) ( p,q ) rezultă că mq = np. Trebuie demonstrat că pn = qm, ceea ce este
adevărat, din condiţia anterioară.
Tranzitivitatea:
dacă ( m,n )
Din ( m,n )
( p,q ) şi ( p,q ) ( r,s ), atunci ( m,n ) ( r,s ).
( p,q ) rezultă că mq = np, iar din ( p,q ) ( r,s ) rezultă că ps = qr.
Înmulţind cele două egalităţi, se obţine: mqps = npqr, adică ms = nr, ceea ce înseamnă
că ( m,n ) ( r,s ).
Ca orice relaţie de echivalenţă, această relaţie împarte mulţimea Z x Z* în clase de
echivalenţă.
Definiţie: Se numeşte număr raţional o clasă de echivalenţă definită de relaţia dată
mai sus pe mulţimea Z x Z*. a
b Numărul raţional reprezentat de perechea ( a,b ) se notează
Aceasta este o fracţie, unde a se numeşte numărător, iar b se numeşte numitor.
Mulţimea numerelor raţionale se notează cu Q.
5.1.2. Numere raţionale pozitive şi negative
a Fracţia reprezintă un număr raţional pozitiv dacă ab 0. Ea reprezintă un
b
număr raţional negativ dacă ab 0. 0 este număr raţional pozitiv şi negativ.
Se notează cu Q+ mulţimea numerelor raţionale pozitive şi cu Q- mulţimea numerelor
raţionale negative. Q+ Q- = Q, Q+
Q- = 0 , Q \ { 0 } = Q*.
5.2. OPERAŢII CU NUMERE RAŢIONALE
5.2.1. Adunarea
a c Definiţie: Fie şi doi reprezentanţi ai numerelor raţionale p şi q. Se
b d
44
ad bc defineşte p + q ca fiind numărul raţional reprezentat de fracţia .
bd
Independenţa de reprezentanţi:
Fie un alt reprezentant al numărului raţional p, adică: an = bm m
rn şi un alt reprezentant al numărului raţional q, adică cs = dr.
s
ad bc şi
ms
nr Trebuie să se demonstreze că
raţional,
reprezintă acelaşi număr bd ns
adică ( ad + bc )ns = bd( ms + nr ); adns + bcns = bdms + bdnr. Dar an = bm şi cs = =dr. Înlocuim pe an şi cs din membrul stâng şi obţinem: bmds + drbn = bdms + bdnr,
egalitate adevărată.
Proprietăţile adunării numerelor raţionale
1. Asociativitatea Oricare ar fi numerele raţionale p, q şi r, ( p + q ) + r = p + ( q + r ).
Se alege câte un reprezentant pentru fiecare număr raţional:
a , c
şi ge . Înlocuind, obţinem:
b d f
a c e a c e ad bc e a cf de
b
ad
d
bc
f b
bde
d
adf
f
b cf
bd
de
f b
bcf
df
bde f adf adf bcf bde
bdf bdf bdf bdf
egalitate adevărată, ceea ce demonstrează asociativitatea adunării. 2. Comutativitatea
Oricare ar fi numerele raţionale p şi q, p + q = q + p.
a şi
c Alegem fracţiile ca reprezentanţi ai numerelor raţionale p, respectiv q.
b d
Se înlocuieşte şi se obţine: a c c a ad bc cb da , egalitate adevărată pentru că adunarea şi
înmulţirea sunt comutative în Z. b d d b bd db
3. Elementul neutru 0
Oricare ar fi numărul raţional p, p + 0 = 0 + p = p.
a 0 Fie un reprezentant al numărului raţional p şi un reprezentant al lui 0.
b m
, egalitate adevărată pentru că amb = bma. A doua
relaţie rezultă din comutativitate.
a 0 am b 0 am a
b m bm bm b
4. Toate numerele raţionale sunt simetrizabile în raport cu adunarea Oricare ar fi un număr raţional p, există un număr raţional (- p), astfel încât:
p + (- p) = (- p) + p = 0.
45
a a Dacă este un reprezentant al lui p,
reprezentant al lui (-p)
atunci este un b b
a a ab b( a) ab ba 0 0.
b2
b2
b2
b b
Din comutativitate rezultă şi cea de a doua relaţie.
5.2.2. Înmulţirea
a c Definiţie: defineşte
de fracţia
Fie
p · q
şi
ca
doi reprezentanţi ai numerelor raţionale p şi q. Se b
.
d fiind numărul raţional reprezentat ac
bd
Independenţa de reprezentanţi:
m Fie un alt reprezentant al numărului raţional p, adică: an = bm
n r
şi un alt reprezentant al numărului raţional q, adică cs = dr. s
ac şi
mr Trebuie demonstrat că reprezintă acelaşi număr raţional, adică
bd ns
acns = bdmr, ceea ce este evident, având în vedere că an = bm şi cs = dr.
Proprietăţile înmulţirii
1. Asociativitatea Oricare ar fi numerele raţionale p, q şi r, ( p · q ) · r = p · ( q · r ).
Se alege câte un reprezentant pentru fiecare număr raţional:
a ,
c şi
ge . Înlocuind, obţinem: b d f
a c e a c e ac e a ce ace ace
b d f b d f bd f b df bdf bdf
întregi şi s-a obţinut o s-a folosit asociativitatea adevărată.
2. Comutativitatea
înmulţirii numerelor egalitate
Oricare ar fi numerele raţionale p şi q, p · q = q · p.
a şi
c Alegem fracţiile ca reprezentanţi ai numerelor raţionale p, respectiv q.
b d
Se înlocuieşte şi se obţine: a c c a ac ca egalitate adevărată pentru că înmulţirea numerelor întregi
este comutativă. b d d b bd db
3. Elementul neutru 1
Oricare ar fi numărul raţional p, p · 1 = 1 · p = p.
46
a m Fie un reprezentant al numărului raţional p şi un reprezentant al lui 1.
b m
, egalitate adevărată pentru că amb = bma. A doua
relaţie rezultă din comutativitate. a m am a
b m bm b
4. Toate numerele raţionale nenule sunt inversabile în raport cu înmulţirea
0, există numărul raţional p-1 astfel încât: Oricare ar fi numărul raţional p
p · p-1 = p-1 · p = 1.
a b este un reprezentant al lui p-1. Fie
a b
un reprezentant al lui p. Atunci b ab
a
1 , egalitate adevărată. Cealaltă egalitate rezultă din comutativitatea
înmulţirii. b a ba
5. Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare Oricare ar fi numerele raţionale p, q şi r,
p · ( q + r ) = p · q + p · r
Se alege câte un reprezentant pentru fiecare număr raţional:
a ,
c şi
e
. Înlocuind, obţinem: b d f
a c e a c a e a cf de ac ae acf ade acbf aebd
b d f b d b f b df bd bf bdf bdbf
Dar (acf + ade ) bdbf = bdf ( acbf + aebd ) în mulţimea numerelor întregi. S-au obţinut reprezentanţi ai aceluiaşi număr raţional, rezultă că înmulţirea este
distributivă faţă de adunare.
5.3. RELAŢIA DE ORDINE ÎN MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE
Definiţie: Se spune că numărul raţional p este mai mic sau egal cu numărul raţional q
şi se scrie p q dacă există numărul raţional pozitiv r astfel încât p + r = q.
Relaţia definită mai sus este o relaţie de ordine pe mulţimea numerelor raţionale. Se vor demonstra în cele ce urmează proprietăţile acesteia.
Reflexivitatea
Oricare ar fi un număr raţional p, el este mai mic sau egal cu el însuşi.
Oricare ar fi numărul raţional p, există numărul raţional pozitiv 0, astfel încât
p + 0 = p, deci relaţia este reflexivă.
Antisimetria
Dacă p
Din p
Din q
q şi q p, trebuie demonstrat că p = q.
q rezultă că există un număr raţional pozitiv r, astfel încât p + r = q.
p rezultă că există un număr raţional pozitiv s, astfel încât q + s = p. atunci p + r + q + s = q + p, adică r + s = 0. Dar r şi s sunt numere raţionale pozitive, rezultă că r = s = 0, adică p = q.
Tranzitivitatea
Dacă p
Din p
Din q
q şi p r, atunci p r.
q rezultă că există un număr raţional pozitiv s, astfel încât p + s = q.
r rezultă că există un număr raţional pozitiv t, astfel încât q + t = r.
47
Înlocuindu-l pe q în a doua relaţie se obţine: p + s + t = r. Dacă s şi t sunt numere
raţionale pozitive, atunci şi s + t este un număr raţional pozitiv. Rezultă că p r.
S-a demonstrat că relaţia definită anterior are proprietăţile unei relaţii de ordine.
Această relaţie este legată de operaţiile definite în Q prin următoarele proprietăţi:
1. Oricare ar fi numerele raţionale p, q şi r astfel încât
p q , atunci p + r q + r.
2. Dacă numerele raţionale p, q, r şi s sunt astfel încât p q şi r s, atunci
p + r q + s.
3. Dacă p
4. Dacă p
q şi r un număr raţional pozitiv nenul, p · r
q şi r un număr raţional negativ nenul, q · r
q · r.
p · r.
q şi r 5. Dacă p, q, r şi s sunt numere raţionale pozitive şi p s, atunci pr qs.
5.4. REPREZENTAREA NUMERELOR RAŢIONALE PRIN FRACŢII
ZECIMALE
5.4.1. Fracţii zecimale cu număr finit de cifre semnificative după virgulă
S-a arătat în paragraful 1 al acestui capitol că un număr raţional este reprezentat printr-o fracţie ordinară. O fracţie ordinară se poate reprezenta ca fracţie zecimală prin
împărţirea numărătorului la numitor.
În cazul în care numitorul acestei fracţii conţine numai factorii primi 2 sau 5 la
diferite puteri, acest număr se reprezintă printr-o fracţie zecimală cu număr finit de
cifre semnificative după virgulă.
Exemple: 28
2,8; 5672
13 65432
56,72; 0,013; 654,32. 10 100 1000 100
În cazul în care numitorii sunt puteri ale lui 2 şi/sau 5, printr-o amplificare
corespunzătoare se pot obţine puteri ale lui 10, deci se reduc la cazul anterior.
5.4.2. Fracţii zecimale periodice simple
Dacă o fracţie se transformă într-o fracţie zecimală infinită, cifrele părţii zecimale se repetă periodic, datorită faptului că prin împărţirea numărătorului la numitor se poate
obţine un număr finit de resturi, astfel încât la un moment dat se obţine acelaşi rest,
deci câturile se repetă.
În cazul în care numitorul conţine numai factori primi cu 10, perioada ( partea care se
repetă ) începe imediat după virgulă.
Exemple: 2
0,666666... 0, (6) 3
7 2,333333... 2, (3)
3
1 0,142857142857142857... 0, (142857)
7
3 0,2727272727... 0, (27)
11
Numărul cifrelor perioadei este egal cu numărul cifrelor de 9 din cel mai mic număr al
şirului: 9, 99, 999, 9999, ... care se divide prin numitor.
48
5.4.3. Fracţii zecimale periodice mixte
În cazul în care numitorul este format din factorii 2 sau 5 cât şi din alţi factori primi, fracţia ordinară se transformă în fracţie zecimală periodică mixtă. La o astfel de
fracţie, după virgulă există un număr de cifre care nu se repetă, după care începe
perioada. Numărul de cifre al părţii neperiodice este egal cu puterea cea mai mare a
factorilor 2 sau 5 din dezvoltarea numitorului, iar numărul cifrelor perioadei este egal
cu numărul cifrelor de 9 al celui mai mic termen al şirului 9, 99, 999, 9999, ... care se
divide prin numitor.
Exemple:
1 0,16666... 0,1(6)
6
25 2,083333... 2,08(3)
12
16219 2,43528528528... 2,43(528)
6660
5.4.4. Transformarea fracţiilor zecimale în fracţii ordinare
1. Fracţii zecimale cu număr finit de cifre semnificative după virgulă O astfel de fracţie se transformă astfel: se scriu în faţă întregii, la numărător
partea zecimală, iar la numitor cifra 1 urmată de un număr de zerouri egal cu numărul
de cifre al părţii zecimale.
Exemple: 687
0,687 1000
2 3473
20000 3473 23473
2,3473 10000 10000 10000
2. Transformarea fracţiilor zecimale periodice simple în fracţii ordinare O astfel de fracţie se transformă astfel: se scriu în faţă întregii, la numărător
partea zecimală periodică, iar la numitor cifra 9 de un număr de ori egal cu numărul
de cifre al părţii periodice.
Exemple:
3 41
297 41 338
3, (41) 99
1
99 99
3 0, (3)
9 3
3. Transformarea fracţiilor zecimale periodice mixte în fracţii ordinare Transformarea se face astfel: se scriu în faţă întregii, la numărător diferenţa
dintre numărul format din cifrele părţii neperiodice şi părţii periodice şi numărul
format din cifrele părţii neperiodice, iar la numitor, atâtea cifre de 9 câte cifre sunt la
partea periodică urmate de atâtea cifre de 0 câte cifre are partea neperiodică.
Exemple:
49
325 32 293 0,32(5)
900
2 43528
900
43 2
43485
199800 43485 243285 16219 2,43(528)
99900 99900 99900 99900 6660
Observaţie: Fracţiile zecimale infinite neperiodice nu reprezintă numere raţionale, nu
se pot scrie ca raport de numere întregi.
5.5. FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. Două perechi de numere din ZxZ* ( m,n ) şi ( p,q ) sunt echivalente
dacă ...................................................
2. Numărul raţional este ..................................................................................................
3. Ce sunt numerele raţionale pozitive?
Răspuns: .........................................................................................................................
4. Ce fel de număr este zero?
Răspuns: .........................................................................
5. Proprietăţile adunării numerelor raţionale sunt: a) comutativitate
b) orice număr raţional are un simetric faţă de adunare
c) 0 este element neutru
d) adunarea este distributivă faţă de înmulţire
e) asociativitate
6. Proprietăţile înmulţirii numerelor raţionale sunt: a) comutativitate
b) orice număr raţional nenul are un simetric faţă de înmulţire
c) 1 este element neutru
d) înmulţirea este distributivă faţă de adunare
e) asociativitate
7. Relaţia de ordine în mulţimea numerelor raţionale are proprietăţile: a) reflexivitate
b) simetrie
c) antisimetrie
d) tranzitivitate
23 8. Fracţia ordinară se scrie ca fracţie zecimală ............................. .
14
9. Fracţia zecimală 8,3(215) se scrie ca fracţie ordinară ............................... .
50
5.6. RĂSPUNSURI - fişa de autoevaluare
1. mq = np
2. O clasă de echivalenţă determinată de relaţia de echivalenţă definită pe mulţimea ZxZ*.
a 3. Numărul raţional este pozitiv dacă ab 0. b
4. Zero este şi pozitiv şi negativ.
5. a), b), c), e).
6. a), b), c), d), e).
7. a), c), d).
8. 1,6(428571)
g41566 9. . 4995
5.7. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 5
1. Stănescu, I., Mulţimi de numere, Ed. Albatros, 1975
2. Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, E.D.P., 1977
51
6. DIVIZIBILITATE
6.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. DEFINIŢII
6.1.1. Divizor; multiplu
Definiţie: Fie a şi b numere naturale, a nenul. Se spune că: - a este divizor al lui b;
- a divide b ( a | b );
- b este multiplu al lui a;
- b se divide cu a ( b a )
dacă există un număr natural c astfel încât b = ac.
De exemplu, divizorii numărului 12 formează mulţimea D12= 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Orice număr admite ca divizori pe 1 şi numărul însuşi. Aceşti divizori se numesc divizori
improprii. Ceilalţi divizori se numesc divizori proprii. 1 şi 12 sunt divizorii improprii
ai lui 12, iar 2, 3, 4 şi 6 sunt divizorii proprii.
Mulţimea multiplilor lui 5 este: M5= 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... . 0 este multiplu pentru
orice număr natural. Mulţimea multiplilor unui număr este infinită.
Relaţia a | b este o relaţie de ordine pentru că are următoarele proprietăţi:
- reflexivitate: a | a pentru orice număr natural a;
- antisimetrie: dacă a | b şi b | a, atunci a = b;
- tranzitivitate: dacă a | b şi b | c, atunci a | c.
6.1.2. Numere prime
Definiţie: Se numeşte număr prim un număr care are doi divizori, pe 1 şi pe el însuşi.
Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... .
Definiţie: Se numeşte număr compus un număr care are mai mult de 2 divizori.
Observaţie: Numărul 1 nu este nici prim nici compus.
Teoremă: Şirul numerelor prime este infinit.
Demonstraţie: presupunem că şirul numerelor prime este finit, format din numerele: 2, 3, 5, 7, ... , p. Considerăm numărul 2 · 3 · 5 · 7 · ... · p + 1. Acest număr dă restul 1
la împărţirea cu oricare număr prim din şirul dat, deci este prim sau se divide cu un
număr prim mai mare. În concluzie mai există şi alte numere prime, deci şirul
numerelor prime este infinit.
Teoremă: Cel mai mic divizor propriu al unui număr compus este prim.
52
Demonstraţie: Se consideră numărul compus a şi cel mai mic divizor propriu al său d, astfel încât a = dq, unde d < q. Dacă d ar fi compus, atunci d = bp şi a = bpq, unde
b < d, deci d nu ar fi cel mai mic divizor al lui a, contradicţie. De aici rezultă că d este
prim.
6.1.3. Numere prime Fermat
Numerele prime Fermat sunt numere de forma:
unde n = 0, 1, 2, 3, ... . n
22
F 1, n
Fn = F0· F1 · ... · Fn-1 + 2
0
22 F 1
1
1
1
3
5
17
257
0
1
22 F 1
2
22 F 2
3
22 F 3
6.1.4. Numere perfecte
Definiţie: Se numesc numere perfecte, numerele
divizorilor este 2n.
naturale n pentru care suma
Exemple:
6 este perfect pentru că D6 = 1, 2, 3, 6 , iar S = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 · 6.
28 este perfect pentru că D28 = 1, 2, 4, 7, 14, 28 , iar S = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = =
56 = 2 · 28.
Euclid a stabilit că 2p-1(2p-1) este perfect dacă şi numai dacă p şi 2p-1 sunt prime.
Euler a demonstrat că orice număr perfect par este de această formă.
Exemple: p = 2 22-1(22-1) = 6
p = 3 23-1(23-1) = 28
p = 5 25-1(25-1) = 496
p = 7 27-1(27-1) = 8128
p = 11
p = 13
211-1 = 2047 = 23 · 89, nu este prim, deci nu se obţine un număr perfect.
213-1(213-1) = 33 550 336
6.1.5. Numere prime Mersene
Definiţie: Dacă p şi 2p-1 sunt prime, atunci 2p-1 se numeşte număr prim Mersene.
Se cunosc 30 de numere prime Mersene din care rezultă 30 de numere perfecte. Cel
mai mare număr Mersene cunoscut se obţine pentru p = 216 091 pentru care obţinem
un număr perfect cu 65 000 de cifre.
53
6.2. TEOREME DE DIVIZIBILITATE
6.2.1. Divizibilitatea sumei
Teoremă: Dacă fiecare termen al sumei este divizibil printr-un număr, atunci suma este divizibilă prin acel număr.
Demonstraţie: Se consideră suma: S = m + n + p + q, unde d | m, d | n, d | p , d | q.
Atunci m = da, n = db, p = dc, q= df. S = da + db + dc + df = d ( a + b + c + f ), ceea
ce confirmă faptul că d | S.
6.2.2. Divizibilitatea diferenţei
Teoremă: Dacă ambii termeni ai unei diferenţe sunt divizibili cu acelaşi număr,
atunci diferenţa este divizibilă cu acel număr.
Demonstraţia se face ca şi la teorema anterioară.
Consecinţe: 1. Într-o sumă de doi termeni, dacă suma şi unul din termeni se divid prin acelaşi
număr, atunci şi al doilea termen se divide prin acel număr.
2. Dacă diferenţa a două numere şi unul din termeni se divid prin acelaşi număr,
atunci şi celălalt termen se divide prin acel număr.
6.2.3. Divizibilitatea unui produs
Teoremă: Pentru ca un produs să fie divizibil printr-un număr dat este suficient ca
unul din factori să fie divizibil prin acel număr.
Condiţia este suficientă, dar nu este necesară. Exemplu: nici 10 şi nici 21 nu se divid
prin 6, dar produsul lor 210 se divide prin 6.
6.2.4. Divizibilitatea deîmpărţitului, împărţitorului şi restului
Teoremă: Într-o împărţire cu rest, dacă deîmpărţitul şi împărţitorul se divid printr-un
număr, atunci şi restul se divide prin acel număr.
Teoremă: : Într-o împărţire cu rest, dacă împărţitorul şi restul se divid printr-un
număr, atunci şi deîmpărţitul se divide prin acel număr.
6.2.5. Teorema fundamentală a aritmeticii
Teoremă: Orice număr natural a > 1 poate fi descompus în mod unic ca produs de
numere prime.
Demonstraţie: Se presupune că există numere naturale a > 1 care nu pot fi reprezenate ca produs finit de numere prime. Fie A mulţimea acestora. Numerele din A nu sunt
prime. Fie a cel mai mic număr din mulţime. Cum a nu este prim rezultă că există
54
numerele naturale b şi c astfel încât bc = a, 1 < b < a, 1 < c < a. Dar b şi c nu aparţin mulţimii A, ceea ce înseamnă că ele se pot reprezenta ca produse finite de numere
prime şi atunci a are aceeaşi proprietate, ceea ce contrazice presupunerea făcută. Mai
rămâne de arătat unicitatea descompunerii. Presupunem că a admite două
descompuneri a = p1p2...pn şi a = q1q2...qm. Rezultă că p1 divide produsul q1q2...qm. Dar
p1 este prim, rezultă că există i astfel încât p1 divide qi. dar acesta este şi el prim, de
unde rezultă că p1 = qi. Numerele qi se pot renumerota, astfel încât p1 = q1, de unde
p2...pn = q2...qm = b. dacă n = 1, atunci şi m = 1, căci altfel din 1 = q2...qm rezultă q2
divide pe 1, deci q2 = 1, contradicţie. Unicitatea se demonstrează prin inducţie după n.
Exemple: 105 = 3 · 5 · 7; 12 = 22 · 3; 360 = 23 · 32 · 5.
6.2.6. Numărul divizorilor unui număr
Se consideră numărul natural a care se descompune conform teoremei fundamentale a
aritmeticii astfel:
p k1 p
k2 p kn
a ... 1 2 n
unde p1, p2, ..., pn sunt numere prime distincte. Numărul a se divide cu toate puterile numărului prim pi, de la 0 la ki, adică ki + 1
divizori, unde i = 1, 2, ..., n şi cu toate combinaţiile acestora. Rezultă că numărul
divizorilor acestui număr este ( k1 + 1 ) ( k2 + 1 )... ( kn + 1 ).
Exemplu: 360 = 23 · 32 · 5. Numărul divizorilor lui este ( 3 + 1 )( 2 + 1 )( 1 + 1 ) = 24.
6.3. CEL MAI MARE DIVIZOR COMUN ŞI CEL MAI MIC MULTIPLU
COMUN
6.3.1. Cel mai mare divizor comun a două numere naturale
Mulţimea divizorilor comuni a două numere naturale este intersecţia mulţimilor divizorilor acestora.
Exemplu:
D12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 , iar D30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 . Mulţimea divizorilor
comuni este: D = 1, 2, 3, 6
Definiţie: Cel mai mare divizor comun este cel mai mare element al mulţimii
divizorilor comuni.
În exemplul anterior, acesta este 6.
Cel mai mare divizor comun se notează c.m.m.d.c. al numerelor a şi b sau ( a, b ).
Definiţie: Două numere naturale se numesc prime între ele dacă cel mai mare divizor
comun al lor este 1.
Exemplu: 35 şi 24 sunt prime între ele.
6.3.2. Aflarea c.m.m.d.c.
55
1. Aflarea c.m.m.d.c. prin descompunerea numerelor în factori primi
C.m.m.d.c. este egal cu produsul factorilor comuni la puterea cea mai mică.
Exemplu: 3600 = 24 · 32 · 52
1050 = 2 · 3 · 52 · 7
c.m.m.d.c. = 2 · 3 · 52 = 150.
2. Aflarea c.m.m.d.c. prin algoritmul lui Euclid
Fie numerele naturale a şi b. Se împarte un număr la celălalt. Dacă restul împărţirii nu este 0, se continuă, împărţind împărţitorul la rest. Dacă restul nu este 0, se împarte din
nou împărţitorul la rest. Procedeul continuă până se obţine restul egal cu 0. Ultimul
rest nenul sau împărţitorul ultimei împărţiri este c.m.m.d.c.. Scriind teorema împărţirii
cu rest pentru împărţirile care se fac până se obţine restul 0, rezultă:
a = bq + r b = rq1 + r1 r
= r1q2 + r2 r1
= r2q3 + r3
r < b; r1 < r;
r2 < r1;
r3 < r2;
...............................................
rn-2 = rn-1qn + rn
rn-1 = rnqn+1
rn < rn-1;
rn+1 = 0.
Şirul a > b > r > r1 > r2 > ... > rn > rn+1 este strict descrescător, format din numere naturale. În consecinţă trebuie să se ajungă la un rest egal cu 0, rest care s-a notat cu
rn+1 . Dacă se notează c.m.m.d.c. cu d, din prima relaţie, ştiind că divide pe a şi pe b,
rezultă că d divide şi pe r. Din a doua relaţie, dacă d divide pe b şi r, rezultă că d
divide şi pe r1. Judecând analog pentru toate relaţiile, rezultă că d divide pe rn şi pe
rn-1. Dar rn îl divide pe rn-1, de unde rezultă că d = rn.
Exemplu: Fie 3600 şi 1050 numerele pentru care căutăm c.m.m.d.c..
3600 = 1050 · 3 + 450
1050 = 450 · 2 + 150
450 = 150 · 3, restul acestei împărţiri fiind 0.
Rezultă că c.m.m.d.c. = 150.
6.3.3. Cel mai mic multiplu comun
Mulţimea multiplilor comuni a două numere naturale este intersecţia mulţimilor multiplilor acestora.
De exemplu, M15 = 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, ...
M12 = 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, ...
Mulţimea multiplilor comuni este:
M = 0, 60, 120, 180, 240, ...
Definiţie: Cel mai mic multiplu comun a două sau mai multe numere naturale este cel
mai mic element nenul al mulţimii multiplilor comuni.
În exemplul de mai sus acesta este 60.
56
Cel mai mic multiplu comun se notează c.m.m.m.c. al numerelor a şi b sau [ a, b ]. Între numerele a şi b şi c.m.m.d.c. al lor şi c.m.m.m.c. al lor există relaţia:
ab = ( a, b ) [ a, b ].
6.3.4. Aflarea c.m.m.m.c.
Se descompun numerele în factori primi. Cel mai mic multiplu comun al lor este
produsul factorilor primi care apar în descompuneri, la puterea cea mai mare.
Exemplu: 3600 = 24 · 32 · 52
1050 = 2 · 3 · 52 · 7
c.m.m.m.c. = 24 · 32 · 52· 7 = 25 200.
6.4. CRITERII DE DIVIZIBILITATE
6.4.1. Criteriul general de divizibilitate
Teoremă: Pentru ca numărul natural n să se dividă cu numărul natural d este necesar şi suficient ca suma produselor numerelor reprezentate de cifrele numărului n cu
resturile ce se obţin la împărţirea la d a puterilor respective ale lui 10 să se dividă cu
d.
Demonstraţie: Fie n = xk10k+xk-110k-1+xk-210k-2+...+x2102+x1101+x0100
10k = dqk + rk
10k-1 = dqk-1 + rk-1
10k-2 = dqk-2 + rk-2
..............................
102 = dq2 + r2
101 = dq1 + r1
100 = dq0 + r0
Se înlocuiesc puterile lui 10 şi se obţine:
n = xk(dqk + rk) + xk-1(dqk-1 + rk-1) + xk-2(dqk-2 + rk-2) + ... + x2(dq2 + r2) + x1(dq1 + r1) + +
x0(dq0 + r0)
După efectuarea înmulţirilor se regrupează termenii şi se obţine:
n = d ( xkqk + xk-1qk-1 + xk-2qk-2 + ... + x2q2 + x1q1 + x0q0 ) + ( xkrk + xk-1rk-1 + xk-2rk-2 + + ...
+ x2r2 + x1r1 + x0r0 )
Primul termen al sumei avându-l pe d ca factor este divizibil cu d. Pentru ca n să fie
divizibil cu d este necesar şi suficient ca suma produselor resturilor puterilor lui 10 cu
numerele reprezentate de cifrele corespunzătoare să fie divizibilă cu d, ceea ce trebuia
demonstrat.
Exemplu: Fie n = 62 746, iar d = 137. n = 6 · 104 + 2 · 103 + 7 · 102 + 4 · 101 + 6 · 100
Se caută resturile împărţirii puterilor lui 10 la 137:
104 = 137 · 72 + 136
103 = 137 · 7 + 41
102 = 137 · 0 + 100
57
101 = 137 · 0 + 10
100 = 137 · 0 + 1
Numărul 62 746 se divide cu 137 dacă 6 · 136 + 2 · 41 + 7 · 100 + 4 · 10 + 6 · 1 =
= 816 + 82 + 700 + 40 + 6 = 1644 este divizibil cu 137. Dar 1644 = 137 · 12, deci şi
numărul 62 746 este divizibil cu 137.
Metoda nu prezintă avantaje practice pentru că, observând exemplul anterior, ea conduce la calcule mai laborioase decât împărţirea propriu-zisă. Cu ajutorul acestei
teoreme însă se deduc criteriile de divizibilitate particulare, foarte utile în practică.
6.4.2. Criteriile de divizibilitate cu 2 şi 5
Dacă în criteriul general se face d egal cu 2 sau 5, se observă că toate puterile lui 10 cu excepţia lui 100 dau restul 0 la împărţirea la d. Din suma produselor dintre
numerele care reprezintă cifrele şi resturile respective rămâne doar ultima cifră a
numărului. Se deduce criteriul de divizibiliate cu 2 sau 5:
Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 2 sau 5 este necesar şi suficient ca
ultima cifră a numărului să reprezinte un număr divizibil cu 2 sau 5.
Exemple: numerele 4 325, 780, 45 sunt divizibile cu 5, pentru că 5 şi 0 sunt divizibile cu 5. Numerele 43 268, 76, 960, 700, 554 sunt divizibile cu 2, pentru că 8, 6, 0, 4
sunt divizibile cu 2.
6.4.3. Criteriile de divizibilitate cu 4 şi 25
Raţionând analog ca şi pentru deducerea criteriilor anterioare, se observă că puterile lui 10 mai mari sau egale cu 2 dau restul 0 la împărţirea la 4 sau 25.
Atunci este necesar şi suficient ca x1 · 10 + x0 să se dividă cu 4 sau 25, adică:
Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 4 sau cu 25 este necesar şi suficient ca
numărul format din ultimele două cifre ale numărului să fie divizibil cu 4 sau 25.
Exemple: 11 872, 236, 5 460, 500 sunt divizibile cu 4 pentru că 72, 36, 60, 0 sunt divizibile cu 4.
21 450, 3 475, 800, 425 sunt divizibile cu 25 pentru că 50, 75, 0, 25 sunt divizibile cu
25.
Criterii asemănătoare se obţin pentru 8 şi 125:
Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 8 sau cu 125 este necesar şi suficient
ca numărul format din ultimele trei cifre ale numărului să fie divizibil cu 8 sau 125.
6.4.4. Criteriile de divizibilitate cu 3 şi 9
Având în vedere că toate puterile lui 10 dau restul 1 atât la împărţirea la 3 cât şi la
împărţirea la 9, criteriul general se particularizează în acest caz astfel:
Pentru ca un număr natural să se dividă cu 3 sau cu 9 este necesar şi suficient ca
suma numerelor reprezentate de cifrele sale să fie un număr divizibil cu 3 sau cu 9.
Exemple: 43 527 are suma cifrelor 4 + 3 + 5 + 2 + 7 = 21. Acest număr este divizibil
cu 3, rezultă că şi numărul iniţial este divizibil cu 3.
58
Numărul 768 618 are suma respectivă: 7 + 6 + 8 + 6 + 1 + 8 = 36. Acest număr este divizibil cu 9, deci şi numărul 768 618 este divizibil cu 9.
6.4.5. Criteriile de divizibilitate cu 7, 11, 13
Pentru deducerea acestor criterii se observă mai întâi că 1001 = 7 · 11 · 13, deci 1001
se divide cu 7, cu 11 şi cu 13.
Se alege un număr scris cu 6 cifre pentru început, abcdef = 1000 · abc + def =
= 1001 · abc - abc + def
Pentru ca numărul natural abcdef să fie divizibil cu 7, 11 sau 13 este necesar şi
suficient ca diferenţa abc - def sau def - abc ( se alege aceea care reprezintă un
număr natural ) să fie divizibilă prin 7, 11, respectiv 13.
În mod analog se raţionează pentru un număr mai mare, spre exemplu de 9 cifre:
abcdefghi = 1 000 000 abc + 1 000 def + ghi = 1 001 000 abc - 1 000 abc + 1 000 def
+ ghi = (1 001 000 abc - 1 001 abc + 1 001 def ) + ( abc - def + ghi ) =
= 1 001 ( 1 000 abc - abc + def ) + ( abc - def + ghi ), unde primul termen al sumei având factor pe 1 001 este divizibil cu 7, 11 şi 13. Pentru ca numărul iniţial să fie
divizibil cu 7, 11 sau 13 este necesar şi suficient ca al doilea termen al sumei să fie
divizibil cu 7, 11 sau 13.
În general, numerele se împart în clase, iar numerele reprezentate de acestea se adună
şi scad alternativ. Dacă această sumă ( în sens algebric ) este divizibilă cu 7, 11 sau
13, atunci şi numărul iniţial este divizibil cu 7, 11 sau 13.
Exemplu: Fie numărul 4 218 307 247. Se împarte în clase, iar numerele reprezentate de acestea sunt: 4, 218, 307, 247. Acestea trebuie adunate şi scăzute alternativ. Se
observă că se obţine un număr natural dacă semnele se pun alternativ astfel:
247 - 307 + 218 - 4 = 465 - 311 = 154. ( Dacă s-ar fi calculat 4 - 218 + 307 - 247 s-ar
fi obţinut - 154, număr întreg care se divide şi el cu aceleaşi numere ca şi 154. )
154 se divide atât cu 7 cât şi cu 11, de unde se deduce că 4 218 307 247 se divide cu
7 şi 11.
154 nu se divide cu 13, de unde rezultă că nici numărul iniţial nu se divide cu 13.
6.5. DIVIZIBILITATEA ÎN MULŢIMEA NUMERELOR ÎNTREGI
Definiţie: Fie a şi b numere întregi, a nenul. Se spune că: - a este divizor al lui b;
- a divide b ( a | b );
- b este multiplu al lui a;
- b se divide cu a ( b a )
dacă există un număr întreg c astfel încât b = ac.
Relaţia de divizibilitate în mulţimea Z se defineşte ca şi în N. Spre deosebire de relaţia de divizibilitate în mulţimea numerelor naturale, relaţia de divizibilitate în
mulţimea numerelor întregi nu mai are proprietatea de antisimetrie. Dacă a | b şi b | a,
atunci rezultă că a = b.
Un număr p întreg este prim dacă |p| care este un număr natural este prim în sensul în
care s-au definit numerele naturale prime.
59
Definiţie: Un număr întreg d se numeşte c.m.m.d.c. al numerelor întregi a şi b dacă 1) d | a şi d | b
2) dacă c | a şi c | b, atunci c | d.
Se observă că c.m.m.d.c. definit în acest mod nu este unic. Cu condiţia suplimentară
ca d 0, atunci c.m.m.d.c. al lui a şi b este unic determinat şi se notează ( a, b ).
Se vor da în continuare câteva proprietăţi importante legate de c.m.m.d.c. definit mai sus.
Teoremă: Fie a şi b numere întregi. Atunci c.m.m.d.c. al lui a şi b există. În plus, dacă
d = ( a,b ), atunci există h şi k numere întregi astfel încât d = ah + bk.
Teoremă: Fie a, b, c numere întregi. Sunt valabile proprietăţile: 1) Dacă ( a,b ) = 1 şi ( a,c ) = 1, atunci ( a,bc ) = 1;
2) Dacă ( a,b ) = 1 şi a | bc, atunci a | c.
3) Dacă ( a,b ) = 1, a | c şi b | c, atunci ab | c.
6.6. ECUAŢII DIOFANTICE
6.6.1. Rezolvarea ecuaţiilor diofantice în cazuri particulare
Ecuaţiile diofantice ( numele provine de la numele matematicianului Diofant ) sunt ecuaţii liniare în două necunoscute cu coeficienţi naturali sau întregi, pentru care se
caută soluţiile în mulţimea numerelor naturale sau întregi. Vom studia aceste ecuaţii
în mulţimea numerelor naturale.
O astfel de ecuaţie este de următoarea formă:
ax = by + c, unde a,b,c sunt numere naturale.
Rezolvarea acestei ecuaţii înseamnă găsirea perechilor ( dacă există ) de forma ( x,y ) pentru care egalitatea este adevărată.
Se disting mai multe cazuri posibile, care se vor analiza în continuare.
1. ( a,b ) = 1, adică a şi b sunt prime între ele. În plus, c < b. În acest caz, scrierea ax = by + c poate fi considerată teorema împărţirii cu rest, unde
ax este deîmpărţitul, b este împărţitorul, iar c este restul.
Se scriu multiplii lui a şi resturile împărţirii acestora la b. La un moment dat se obţine
un rest egal cu c. Se fac cel mult b paşi până se găseşte acest rest. În acest fel se obţine
o soluţie particulară, x0 şi y0. Soluţia generală este de forma:
x = x0 + b şi y = y0 + a , unde N.
Exemplu: Fie ecuaţia 7x = 9y + 4
7 şi 9 sunt numere naturale prime între ele, iar 4 < 9. Se scriu multiplii lui 7 şi
resturile împărţirii lor la 9 până când se obţine restul 4:
Se observă că 49 dă restul 4 la împărţirea la 9.
60
multiplii lui 7
7 14 21 28 35 42 49
restul împ. la 9
7 5 3 1 8 6 4
7x = 49, de unde rezultă x = 7 Se înlocuieşte: 49 = 9y + 4, de unde rezultă y = 5
Aceasta este soluţia particulară: x0 = 7 şi y0 = 5
Soluţia generală este: x = 7 + 9 ; y = 5 + 7 , unde N.
2. ( a,b ) = 1, dar c > b. Acest caz se poate reduce la cazul anterior, scriindu-l pe c = bq + r, unde r < b.
Se obţine:
ax = by + bq + r,
ax = b ( y + q ) + r
Se notează z = y + q şi se rezolvă ecuaţia: ax = bz + r, care este o ecuaţie de forma 1.
Exemplu: 3x = 5y + 11
11 = 5 · 2 + 1
3x = 5y + 5 · 2 + 1, adică 3x = 5 ( y + 2 ) + 1.
Se notează: z = y + 2 şi se obţine: 3x = 5z + 1, care se rezolvă:
1
Aşadar 3x = 6, deci x0 = 2, 6 = 5z + 1, de unde z0 = 1
x = 2 + 5 şi z = 1 + 3 . Dar z = y + 2, atunci y + 2 = 1 + 3 , y = 3 - 1.
Soluţia este: x = 2 + 5 şi y = 3 -1, unde N*.
Observaţie: în acest caz, nu poate lua totdeauna toate valorile naturale. I se vor
atribui numai acele valori pentru care x şi y sunt numere naturale.
3. ( a,b ) = d, a şi b nu mai sunt prime între ele. Dacă d nu îl divide pe c, atunci
ecuaţia nu are soluţii.
Exemplu: 12x = 15 y + 7 Membrul stâng este un multiplu de 3, un termen al sumei din dreapta este multiplu de
3, atunci trebuie ca şi celălalt termen să fie multiplu de 3, ceea ce nu este adevărat.
Rezultă că ecuaţia nu are soluţii.
4. ( a,b ) = d, a şi b nu mai sunt prime între ele. Dacă d îl divide şi pe c, se împarte
toată ecuaţia cu d şi se reduce la o ecuaţie de tip studiat anterior.
Exemplu: 12x = 15y + 9 Această ecuaţie se poate împărţi cu 3 şi se obţine: 4x = 5y + 3, care se rezolvă după
metoda descrisă la punctul 1.
6.6.2. Rezolvarea ecuaţiilor diofantice oarecare
În cazul în care numerele a şi b sunt numere mari, metoda expusă anterior este foarte laborioasă, poate să necesite sute de încercări până la găsirea multiplului lui a care la
împărţirea la b dă restul c.
61
multiplii lui 3
3 6
restul împ. la 5
3
Metoda generală se bazează pe scrierea c.m.m.d.c. al numerelor a şi b ca o combinaţie liniară a lor, aşa cum s-a demonstrat în capitolul anterior. Problema se reduce la cazul
când a şi b sunt prime între ele, după cum s-a demonstrat în paragraful precedent.
Scrierea c.m.m.d.c. ca o combinaţie liniară a numerelor a şi b se deduce din
algoritmul lui Euclid de aflare a lui.
Fie ecuaţia ax = by + c, unde a şi b sunt prime între ele.
Conform algoritmului lui Eucliud, se scrie:
a = bq + r b = rq1 + r1 r
= r1q2 + r2 r1
= r2q3 + r3
r < b; r1 < r;
r2 < r1;
r3 < r2;
...............................................
rn-2 = rn-1qn + rn
rn-1 = rnqn+1
rn < rn-1;
rn+1 = 0, unde rn = 1.
În acest caz, 1 = rn-2 - rn-1qn, din relaţia anterioară se exprimă rn-1 care se înlocuieţte, apoi rn-2 şi aşa mai departe, până când 1 = ka - hb sau 1 = hb - ka.
Luăm în considerare primul caz, 1 = ka - hb. Relaţia se înmulţeşte cu c, de unde
rezultă c = kac - hbc, adică kac = hbc + c. O soluţie particulară a ecuaţiei este:
x0 = kc şi y0 = hc. Soluţia generală se obţine ca şi în cazul anterior,
x = x0 + b şi y = y0 + a , unde este număr întreg. Se alege astfel încât să se
obţină cea mai mică soluţie particulară pentru = 0, iar apoi se scrie soluţia generală.
Exemplu: Fie ecuaţia: 392x = 103 y + 40
Se scrie algoritmul lu Euclid pentru aflarea c.m.m.d.c. al numerelor 392 şi 103:
392 = 103 · 3 + 83
103 = 83 · 1 + 20
83 = 20 · 4 + 3
20 = 3 · 6 + 2
3 = 2 · 1 + 1
2 = 2 · 1
Din penultima relaţie şi apoi treptat din relaţie în relaţie până la prima, se obţine:
1 = 3 - 2 · 1 = 3 - ( 20 - 3 · 6 ) · 1 = ( 83 - 20 · 4 ) - 20 + ( 83 - 20 · 4 ) · 6 = 83 - 20 ·
· 4 - 20 + 83 · 6 - 20 · 4 · 6 = 392 - 103 · 3 - ( 103 - 83 · 1 ) · 4 - ( 103 - 83 · 1 ) +
+ ( 392 - 103 · 3 ) · 6 - ( 103 - 83 · 1 ) · 4 · 6 = 392 - 103 · 3 - 103 · 4 + ( 392 -
103 · 3 ) · 4 - 103 + 392 - 103 · 3 + 392 · 6 - 103 · 18 - 103 · 24 + ( 392 - 103 · 3 ) ·
24 =
= 392 - 103 · 3 - 103 · 4 + 392 · 4 - 103 · 12 - 103 + 392 - 103 · 3 + 392 · 6 - 103 · 18
-- 103 · 24 + 392 · 24 - 103 · 72 = 392 ( 1 + 4 + 1 + 6 + 24 ) - 103 ( 3 + 4 + 12 + 1 + 3
+ 18 + 24 + 72 ) = 392 · 36 - 103 · 137
S-a obţinut 392 · 36 - 103 · 137 = 1.
Se înmulţeşte relaţia cu 40 şi se obţine:
392 · 36 · 40 - 103 · 137 · 40 = 40, adică:
392 · ( 36 · 40 ) = 103 · ( 137 · 40 ) + 40, de unde rezultă că o soluţie particulară este
x = 36 · 40 = 1 440 şi y = 137 · 40 = 5480
Soluţia generală este: x = 1440 + 103 şi y = 5480 + 392 , unde ia valori întregi.
Cea mai mică soluţie în numere naturale se obţine pentru = -13, x0 = 101 şi y0 = 384
astfel încât soluţia generală este: x = 101 + 103 şi y = 384 + 392 , unde N.
62
6.7. PROBLEME PROPUSE
1. Să se arate că oricare ar fi a, a4 este multiplu de 5 sau multiplu de 5 plus 1.
2. Să se afle c.m.m.d.c. al numerelor: 58 464 şi 37 008 prin descompunere şi prin
algoritmul lui Euclid.
3. Să se arate că oricare ar fi n număr natural, produsul
n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) este divizibil cu 120.
4. Să se demonstreze că orice număr prim p > 3 prin împărţirea la 6 dă restul 1 sau 5.
5. Dacă elevii unei clase se aşează câte 4 în rând, rămâne un elev singur. Dacă se aşează câte 5 în rând, iar rămâne un elev singur. Câţi elevi sunt în acea clasă? Puteţi
spune precis?
6. Peretele are lungimea de 4 m 86 cm şi lăţimea de 36 dm. Se acoperă cu faianţă pătrată. Care este latura maximă a pătratului astfel încât numărul plăcilor de faianţă să
fie întreg?
7. Dacă elevii unei şcoli se aşează câte 6 sau 8 în rând, nu rămâne nici un rând descompletat. Când se aşează câte 6, ies cu 10 rânduri mai mult decât când se aşează
câte 8. Câţi elevi sunt?
8. Pe o pistă aleargă 4 cai. Un cal parcurge pista în 20 min, al doilea în 15 min, al treilea în 12 min, iar al patrulea în 10 min. Dacă pleacă din acelaşi loc, după cât timp
se vor mai găsi din nou toţi în acelaşi punct?
9. Să se rezolve ecuaţiile diofantice: 3x = 10y + 2
3x = 10y + 22
10x = 20y + 30
10x = 15y + 7
81x = 128y + 20.
63
6.8. FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. Numărul natural a este divizor al numărului natural b
dacă .......... ........................................................................................ .
2. Numărul natural p este număr prim
dacă ............................................................. ................................ .
3. Numerele naturale a şi b sunt prime între ele dacă ................................................... .
4. Orice număr natural mai mare decât 1 admite o descompunere unică în .................
........................................... .
5. Dacă două numere naturale sunt divizibile prin numărul natural d, atunci suma
lor ....................................................................... .
6. Cel mai mare divizor comun a două numere naturale este
factorilor ........................................................................ .
produsul
7. Aflaţi c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. pentru numerele 8100 şi 3240.
8. Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 4 este necesar
ca .................................................................................................. .
şi suficient
9. Scrieţi soluţia generală a ecuaţiei diofantice: 7x = 5y + 3.
64
6.9. RĂSPUNSURI - fişa de autoevaluare
1. există un număr natural c astfel încât ac = b.
2. are doi divizori.
3. cel mai mare divizor comun al lor este 1.
4. produs de factori primi.
5. este divizibilă prin d.
6. comuni la puterea cea mai mică.
7. c.m.m.d.c. = 1620; c.m.m.m.c. = 16200
8. numărul reprezentat de ultimele două cifre eate divizibil cu 4.
9. x = 4 + 5 şi y = 5 + 7 .
6.10. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 6
1. Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, E.D.P., 1977
2. Becheanu M., Dincă A., Ion I.D.,
perfecţionarea profesorilor, E.D.P., 1983
Niţă C., Purdea I. ş.a., Algebra pentru
3. Rusu E., Aritmetica, E.D.P., 1967
65
7. GRUPURI
7.1. LEGI DE COMPOZIŢIE
7.1.1. Definiţie; proprietăţi
Definiţie: Fie o mulţime M nevidă. Se numeşte lege de compoziţie pe M o funcţie
f : M x M M.
Prin această corespondenţă, oricărei perechi de elemente din M i se asociază tot un
element din M.
Exemple: Adunarea în mulţimea numerelor naturale este o lege de compoziţie internă, căci
oricărei perechi de numere naturale (a,b) îi corespunde numărul natural a+b.
De asemenea adunarea definită în alte mulţimi de numere sau înmulţirea sunt legi de
compoziţie. Operatorii logici definiţi în logica matematică sunt
compoziţie. La fel reuniunea şi intersecţia mulţimilor.
tot legi de
Aceste legi se notează prin diferite simboluri aşezate între elementele care se compun:
+, , , , , , ·, x, , etc.
Se pot defini legi de compoziţie cu ajutorul operaţiilor. De exemplu, pe mulţimea Z a numerelor întregi, definim legea ¤ astfel: x ¤ y = 2xy + x + y - 4. Atunci 4 ¤ 5 =
2·4·5
+ 4 + 5 - 4 = 45.
Dacă mulţimea este finită, legea de compoziţie se poate defini cu ajutorul tablei legii
de compoziţie, prin care se indică elementul care corespunde fiecărei perechi de
elemente. De exemplu, dacă M =
astfel:
a, b, c, d , definim legea de compoziţie * : MxM M
Din tabla legii se citeşte a*a = b, a*b = d, a*c = c, a*d = a, b*a = c etc
Legile de compoziţie pot să aibă anumite proprietăţi. Vom defini în cele ce urmează
unele dintre acestea.
a) Asociativitatea
Definiţie: Legea de compoziţie * : MxM
elemente din M, (x*y)*z = x*(y*z).
M este asociativă dacă oricare ar fi x, y, z
66
* a b c d
a b d c a
b c a b a
c c b b a
d c d a b
Exemple: Adunarea numerelor naturale este asociativă. S-a mai menţionat că operatorii logici conjuncţie şi disjuncţie sunt de asemenea legi asociative.
Compunerea funcţiilor este o lege asociativă.
b) Comutativitatea
Definiţie: Legea de compoziţie * : MxM
elementele x şi y din M, x*y = y*x.
M este comutativă dacă oricare ar fi
Exemple: Adunarea este comutativă pe diferite mulţimi de numere. De asemenea conjuncţia şi disjuncţia propoziţiilor logice, reuniunea şi intersecţia mulţimilor. Există
şi legi care nu sunt comutative, cum ar fi compunerea funcţiilor.
c) Element neutru
Definiţie: Legea de compoziţie * : MxM M are element neutru dacă există un
element e M, astfel încât oricare ar fi alt element x M, x*e = e*x = x.
Exemple: 0 este element neutru pentru adunare, pentru că adunat cu oricare alt număr se obţine acel număr. Pentru operaţia de înmulţire 1 este element neutru. Aplicaţia
identică este elementul neutru pentru compunerea funcţiilor.
d) Element simetrizabil
Definiţie: Se spune că x M este element simetrizabil pentru legea de compoziţie * :
MxM M care are elementul neutru e, dacă există un element x' M, astfel încât x*x'
= x'*x = e. Elementul x' se numeşte în acest caz simetricul lui x.
Exemple: În mulţimea Z a numerelor întregi, toate elementele sunt simetrizabile faţă de adunare ( simetricul elementului x este opusul acestuia - x ), iar faţă de înmulţire
numai 1 şi -1 sunt simetrizabile. Toate numerele raţionale nenule sunt simetrizabile
faţă de înmulţire. În raport cu compunerea funcţiilor, numai funcţiile bijective sunt
simetrizabile, adică admit inversă.
7.1.2. Monoizi
Definiţie: Se numeşte monoid o structură algebrică (M,*) formată dintr-o mulţime
nevidă M pe care s-a definit o lege de compoziţie * : MxM următoarele axiome:
M1) Legea * este asociativă
M2) Legea * are element neutru.
M care satisface
Dacă, în plus, legea este şi comutativă, atunci monoidul se numeşte monoid
comutativ.
Exemple: mulţimea numerelor naturale cu adunarea (N,+) sau cu înmulţirea (N,·)
formează monoizi comutativi.
67
7.2. NOŢIUNEA DE GRUP. EXEMPLE
7.2.1. Definiţia grupului
Definiţie: Se numeşte grup o structură algebrică formată dintr-o mulţime nevidă G pe
care s-a definit o lege de compoziţie internă * : G x G G astfel încât oricare ar fi x
şi y din mulţimea G, x * y G, cu următoarele proprietăţi:
G1. Asociativitatea:
G2. Elementul neutru:
x, y, z
e
G, ( x * y ) * z = x * ( y * z );
G astfel încât x G, x * e = e * x = x;
G3. Toate elementele din mulţimea G sunt simetrizabile: x G, x * x' = x' * x = e.
Notaţie: ( G,* ) grup.
x' G, astfel încât
În cazul în care legea este şi comutativă, adică:
atunci grupul se numeşte comutativ sau abelian.
x, y G, x * y = = y * x,
7.2.2. Exemple de grupuri
1. Fie mulţimea numerelor întregi Z pe care s-a definit operaţia de adunare. Adunarea
are următoarele proprietăţi în mulţimea numerelor întregi:
- asociativitatea: x, y, z Z, ( x + y ) + z = x + ( y + z );
- elementul neutru este 0: x Z, x + 0 = 0 + x = x;
- toate elementele sunt simetrizabile:
x Z, ( -x ) Z, astfel încât x + (- x) = (- x) + x = 0.
- comutativitatea: x, y Z, x + y = y + x.
În concluzie, ( Z, + ) este un grup abelian.
2. Fie mulţimea numerelor raţionale nenule Q* pe care s-a definit operaţia de
înmulţire. Înmulţirea are următoarele proprietăţi în mulţimea numerelor raţionale:
- asociativitatea: x, y, z Q*, ( x · y ) · z = x · ( y · z );
- elementul neutru este 1: x Q*, x · 1 = 1 · x = x;
- toate elementele sunt simetrizabile:
x-1 Q*, astfel încât x · x-1 = x-1 · x = 1. x Q*,
- comutativitatea: x, y Q*, x · y = y · x.
În concluzie, ( Q*, · ) este un grup abelian.
Observaţii: - Mulţimea numerelor naturale cu operaţia de adunare nu formează grup, pentru că
singurul element simetrizabil este 0.
- Mulţimea numerelor naturale cu operaţia de înmulţire nu formează grup, pentru că
singurul element simetrizabil este 1.
- Mulţimea numerelor întregi cu operaţia de înmulţire nu formează grup, pentru că
singurele elemente simetrizabile sunt 1 şi -1.
- Mulţimea numerelor raţionale cu operaţia de înmulţire nu formează grup, pentru că
0 nu este simetrizabil.
3. ( Q, + ) formează grup.
68
4. Fie mulţimea funcţiilor bijective FE = { f | f : E E } pe care se defineşte ca lege
de compoziţie internă compunerea funcţiilor: oricare ar fi funcţiile f şi g din mulţimea
FE, g f : E E, (g f)( x ) = g ( f ( x ) ). Dacă funcţiile f şi g sunt bijective atunci şi
compusa lor este o funcţie bijectivă, deci g f FE. Compunerea este o operaţie
asociativă. Există funcţia 1E FE, numită aplicaţia identică a mulţimii E, astfel încât
oricare ar fi funcţia f FE, f 1E = 1E f = f, ceea ce înseamnă că funcţia 1E este
element neutru în raport cu compunerea. Toate elementele sunt simetrizabile pentru că
f-1 f-1
orice funcţie bijectivă admite o inversă, adică, f FE, FE, astfel încât f
= f-1 f = 1E. În general compunerea funcţiilor nu este comutativă.
În concluzie, ( FE, ) este grup.
5. Un exemplu de grup foarte important în algebră este grupul lui Klein. Mulţimea este formată din 4 elemente: K = { e, a, b, c }, iar legea de compoziţie este dată prin
următorul tabel:
Proprietatea de asociativitate se verifică prin calcul. Studiind tabla legii se observă că
e este elementul neutru şi fiecare element este simetricul lui însuşi. Din simetria tablei
faţă de diagonala principală se deduce comutativitatea legii. În concluzie, ( K , ) este
un grup comutativ.
6. Fie mulţimea M = 1, -1 , iar legea de compoziţie înmulţirea. Se observă uşor că (
M , · ) formează grup abelian.
7. Mulţimea Zn a claselor de resturi modulo n formează grup în raport cu adunarea ( Zn,+ )
Ca exemplu se prezintă tabla adunării în Z4 = 0 ,1,2 ,3 :
Verificînd prin calcul se deduce că legea este asociativă. Din tabla adunării se observă că
admite element neutru şi că fiecare element este
simetrizabil.
În plus, legea este şi comutativă.
În concluzie, ( Z4, + ) are o structură de grup abelian. 3 3 0 1 2
8. Fie mulţimea numerelor întregi Z şi legea de compoziţie x * y = x + y - 2, oricare ar fi x şi y din Z.
Se demonstrează că ( Z, * ) are o structură de grup abelian.
- Asociativitatea:
69
0 1 2 3
0
1
2
ˆ
0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
e a b c
e
a
b
c
e a b c
a e c b
b c e a
c b a e
x, y, z Z, ( x * y ) * z = x * ( y * z )
Se înlocuieşte conform legii de compoziţie şi se obţine: ( x + y - 2 ) * z = x * ( y + z - 2 );
( x + y - 2 ) + z - 2 = x + ( y + z - 2 ) - 2;
x + y - 2 + z - 2 = x + y + z - 2 - 2;
x + y + z - 4 = x + y + z - 4, egalitate adevărată. S-au folosit proprietăţile adunării în
mulţimea numerelor întregi.
- Elementul neutru:
e Z, astfel încât x Z, x * e = e * x = x.
Se începe cu x * e = x, unde se înlocuieşte şi se obţine: x + e - 2 = x, de unde rezultă e = 2.
Din e * x = x rezultă tot e = 2. Elementul neutru este numărul întreg 2.
- Toate elementele sunt simetrizabile:
x Z, x' Z astfel încât x * x' = x' * x = e.
Se înlocuieşte în relaţia: x * x' = 2 şi se obţine: x + x' - 2 = 2, de unde x' = 4 - x.
Folosind relaţia x' * x = 2 se obţine x' = 4 - x.
Dacă x Z, atunci şi 4 - x Z, ceea ce înseamnă că toate elementele din Z sunt
simetrizabile în raport cu legea *. În aceste condiţii ( Z, * ) este grup. Pentru a fi grup comutativ se mai demonstrează:
- Comutativitatea:
x, y Z, x * y = y * x. Înlocuind conform legii de compoziţie, se obţine: x + y - 2
= y + x - 2, egalitate adevărată pentru că adunarea este comutativă în Z.
În concluzie, ( Z, * ) are o structură de grup abelian.
7.2.3. Reguli de calcul într-un grup
G astfel: xn = x Fiind dat un grup ( G , * ) se defineşte puterea a n-a a elementului x * x * x * ... * x (de n ori), dacă n este număr natural mai mare decât 1; x 1 = x şi x0 =
e, elementul neutru al grupului.
Definiţia se extinde şi pentru puteri întregi. Se notează simetricul elementului
x cu x-1. Pe baza faptului că ( xy )-1 = y-1x-1, rezultă
( xn )-1 = ( x-1 )n.
În cazul în care n < 0, xn = ( x-1 )- n = ( x- n )-1.
Într-un grup sunt valabile relaţiile:
xmxn = xm+n şi ( xm )n = xmn, oricare ar fi m şi n numere întregi.
Într-un grup ( G,· ) au loc legile de simplificare:
1. Dacă x, y, z G şi xy = xz, atunci y = z.
2. Dacă x, y, z G şi xz = yz, atunci x = y.
Demonstraţie: Prima lege se demonstrează compunând la stânga cu x-1, astfel încât se obţine: x-1(xy)
= x-1(xz). lagea este asociativă, deci: (x-1x)y = (x-1x)z, adică ey = ez, y = z, ceea ce
trebuia demonstrat.
A doua lege se demonstrează analog, compunând relaţia din partea dreaptă cu z-1.
70
Ca o consecinţă a acestor legi de simplificare, în orice grup G are loc următoarea
proprietate:
Dacă a şi b G, fiecare dintre ecuaţiile: ax = b şi ya = b, are soluţie unică în G.
7.3. MORFISME DE GRUPURI. IZOMORFISME
7.3.1. Morfisme de grupuri
Definiţie: Fie ( G, * ) şi ( , ) două grupuri. Se numeşte morfism de grupuri de la G
la o funcţie f : G , astfel încât:
f ( x * y ) = f ( x ) f ( y ), oricare ar fi x şi y din G.
Exemple:
1. Fie ( G, * ) şi ( , ) două grupuri, iar e' elementul neutru al grupului
( , ). Atunci funcţia f : G prin f ( x ) = e' oricare ar fi x din G este un morfism
de grupuri.
Se demonstrează că f ( x * y ) = f ( x ) f ( y ), oricare ar fi x şi y din G. Se
înlocuieşte şi se obţine: e' = e' e', ceea ce este adevărat, e' fiind elementul neutru.
2. Fie grupurile ( Z, + ) şi ( { -1, 1 }, · ). Funcţia f : Z definită prin:
1, dacă x este par,
f ( x ) =
- 1, dacă x este impar.
este un morfism de grupuri.
-1, 1
Pentru a demonstra relaţia f ( x + y ) = f ( x ) · f ( y ) oricare ar fi x şi y din Z, se consideră trei cazuri:
- x şi y numere pare, de unde rezultă x + y număr par şi după înlocuire se obţine: 1 =
1 · 1, adevărat;
- x şi y numere impare, de unde rezultă x + y număr par şi după înlocuire se obţine: 1
= ( -1 ) · ( -1 ), adevărat şi
- x şi y de parităţi diferite de unde rezultă x + y număr impar şi după înlocuire se
obţine: -1 = 1 · ( -1 ) sau - 1 = ( -1 ) · 1, egalităţi adevărate.
3. Fie grupurile ( Z, * ) unde x * y = x + y -2 oricare ar fi x şi y din Z şi
( Z, # ) unde x # y = x + y + 1 oricare ar fi x şi y din Z.
Funcţia f : Z Z, f ( x ) = x - 3 este un morfism de grupuri.
Trebuie arătat că oricare ar fi x şi y din Z, f ( x * y ) = f ( x ) # f ( y ).
Se înlocuieşte şi se obţine:
f ( x + y - 2 ) = ( x - 3 ) # ( y - 3 );
x + y - 2 - 3 = ( x - 3 ) + ( y - 3 ) + 1;
x + y - 5 = x - 3 + y - 3 + 1;
x + y - 5 = x + y - 5, ceea ce este adevărat.
Proprietăţi:
1. Dacă ( G, * ), ( , ) şi ( H, ¤ ) sunt grupuri şi f : G şi g : H sunt
morfisme de grupuri, atunci şi g f : G H este un morfism de grupuri.
71
Pentru a demonstra proprietatea trebuie arătat că ( g f )( x * y ) = (g f)( x ) ¤ (g f) ( y ), oricare ar fi x şi y elemente din G. Aplicând definiţia compunerii şi faptul că f şi
g sunt morfisme, se obţine:
g ( f ( x * y ) ) = g ( f ( x ) ) ¤ g ( f ( y ) );
g ( f ( x ) f ( y ) ) = g ( f ( x ) ) ¤ g ( f ( y ) );
g ( f ( x ) ) ¤ g ( f ( y ) ) = g ( f ( x ) ) ¤ g ( f ( y ) ).
2. Dacă ( G, * ) este un grup, atunci aplicaţia identică 1G : G
un morfism de grupuri.
G 1G ( x ) = x este
Trebuie arătat că 1G ( x * y ) = 1G ( x ) * 1G ( y ). Înlocuind se obţine: x * y = x * y.
3. Dacă ( G, * ) şi ( G', ¤ ) sunt grupuri şi f : G G' este un morfism de grupuri, iar e
şi e' sunt elementele neutre ale grupurilor G, respectiv G', atunci: a) f ( e ) = e';
b) oricare ar fi x din G, f ( x -1 ) = ( f ( x ) ) -1.
Demonstraţie: a) Se foloseşte faptul că e şi e' sunt elemente neutre şi f morfism şi se scrie:
f ( e ) = f ( e * e ) = f ( e ) ¤ f ( e ) sau:
f ( e ) = f ( e ) ¤ e'
Egalând cele două expresii şi folosind regula de simplificare la stânga se obţine: f ( e )
¤ f ( e ) = f ( e ) ¤ e', adică f ( e ) = e'.
b) Se demonstrează că f ( x -1) ¤ f ( x ) = e' astfel:
f ( x -1 ) ¤ f ( x ) = f ( x -1 * x ) = f ( e ) = e'.
Analog se arată că f ( x ) ¤ f ( x -1 ) = e'.
Rezultă că simetricul elementului f ( x ) în grupul G' este f ( x -1 ), adică:
f ( x -1 ) = ( f ( x ) ) -1, ceea ce trebuia demonstrat.
7.3.2. Izomorfisme de grupuri
Definiţie: Fie ( G, * ) şi ( , ) două grupuri. Se numeşte izomorfism de grupuri de la
G la o funcţie f : G , astfel încât:
1. f este morfism de grupuri, adică f ( x * y ) = f ( x ) mulţimea G.
2. f este bijectivă.
f ( y ), oricare ar fi x şi y din
În cazul în care între două grupuri există un izomorfism, grupurile se numesc
izomorfe şi se notează G ~ .
Izomorfismele sunt foarte importante în algebră pentru că este suficient să se
studieze spre exemplu un grup, iar apoi toate proprietăţile deduse pentru acesta sunt
valabile pentru toate grupurile izomorfe cu el.
Exemple: 1. Din exemplele de morfisme de grupuri care s-au dat la 1.2.1. primele două nu sunt
izomorfisme pentru că funcţiile nu sunt bijective. Al treilea exemplu este un
izomorfism pentru că funcţia f : Z Z,
f ( x ) = x - 3 este atât morfism de grupuri ( ceea ce s-a demonstrat ), cât şi bijecţie.
Se demonstrează mai întâi injectivitatea:
72
Oricare ar fi x1 şi x2 din Z cu x1 x2 trebuie demonstrat că f ( x1 ) f (x2).
Se presupune că f ( x1 ) = f ( x2 ), adică x1 - 3 = x2 - 3, de unde rezultă că x1 = x2, în
contradicţie cu ipoteza. Rezultă că presupunerea făcută este falsă, deci
f ( x1 ) f ( x2 ), ceea ce înseamnă că funcţia este injectivă.
Se demonstrează surjectivitatea: Oricare ar fi y din mulţimea Z trebuie să existe x din domeniul de definiţie Z al
funcţiei, astfel încât f ( x ) = y.
Se înlocuieşte şi se obţine: x - 3 = y, de unde x = y + 3.
Rezultă că f este şi surjectivă. În acest caz funcţia este bijectivă, deci este
izomorfism de grupuri.
un
2. Fie grupul G1 = ( 0 , ) cu operaţia de înmulţire şi
grupul G2 = ( -2,2 ) cu legea de compoziţie dată de formula:
g4( x y) oricare ar fi x şi y din G2. x y xy 4
Faptul că ( G1 , · ) şi ( G2, * ) sunt grupuri se demonstrează fără dificultate. 2x 2
f x Funcţia f : G1 G2 , oricare ar fi x ( 0 , ) x 1
este un izomorfism între grupurile G1 şi G2. Se demonstrează mai întâi faptul că este morfism, adică:
f ( x y ) = f ( x ) * f ( y ) oricare ar fi x şi y din G1. Se înlocuieşte şi se obţine:
2 xy 2 2 x 2 2 y 2 ;
xy 1 x 1 y 1
2 y 2 2 x 2 4
x 1 y 1 2 xy 2 ;
2 x 2 2 y 2 xy 1 4
x 1
4 2 xy
y
2 x
1
2 y 2 2 xy 2 y 2 x 2
2 xy 2 x 1 y 1 ;
4 xy 4 x 4 y 4 4 xy 4 x 4 y 4 xy 1
x 1 y 1
2 xy 2 16 xy 16 ;
xy
2 xy
1
2
8xy 8
2 xy 2 .
xy 1 xy 1
S-a obţinut o egalitate adevărată oricare ar fi x şi y din G1. Mai trebuie demonstrat că funcţia este bijectivă.
Se demonstrează injectivitatea:
Oricare ar fi x1 şi x2 din G1, cu x1 x2 trebuie ca f ( x1 ) f ( x2 ).
Se presupune că f ( x1 ) = f ( x2 ), adică:
2 x1 2 2 x2 2 2 x x 2x 2 x 2 2 x x 2 x 2 x 2 4 x 4 x x x , 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2
x 1 x 1 1 2
ceea ce contrazice ipoteza, adică presupunerea făcută este falsă, deci
73
f ( x1 ) f ( x2 ). În aceste condiţii funcţia este injectivă.
Se demonstrează surjectivitatea: Oricare ar fi y din G2 trebuie să existe x din G1 astfel încât f ( x ) = y. Se înlocuieşte şi
se obţine: 2 x 2 y 2
. y 2 x 2 xy y 2 x xy y 2 x(2 y) y 2 x x 1 2 y
Se observă că y ( -2, 2 ) x ( 0, ). Deci funcţia este şi surjectivă.
Dacă f este o funcţie injectivă şi surjectivă, atunci ea este bijectivă. În concluzie, f este un izomorfism de la grupul G1 la grupul G2,
deci ( G1, · ) ~ ( G2, * ).
3. Fie grupul (Z4, +) care s-a studiat la paragraful 7.2.2. exemplul 7 şi mulţimea
G = 1, i, - 1, - i unde i este unitatea imaginară, adică i2 = - 1. Această mulţime
formează grup în raport cu operaţia de înmulţire. Se construiesc tablele legilor de
compoziţie pentru cele două grupuri:
2 3 0 1 i 1 i 1
Fie funcţia f : Z4 G, definită prin următorul tabel:
Analizând tablele celor două legi de compoziţie se deduce că funcţia definită mai sus este un izomorfism de grupuri, astfel încât
( Z4, + ) ~ ( G, · ).
Observaţie: Dacă se studiază tabla legii de compoziţie a grupului lui Klein (7.2.2.,
exemplul 4) se observă că nu se poate defini o funcţie bijectivă de la mulţime K la
mulţimea G sau la Z4 astfel încât să fie morfism de grupuri. Grupul lui Klein nu este
izomorf cu aceste grupuri.
7.4. SUBGRUPURI
7.4.1. Definiţia subgrupului. Exemple
Definiţie: Fie ( G, * ) un grup şi H o submulţime nevidă a lui G. Se spune că H este un subgrup al grupului G dacă:
H1. Oricare ar fi x şi y elemente din H, x * y aparţine lui H;
H2. ( H, * ) este grup.
Teoremă: Fie ( G, * ) un grup şi H o submulţime nevidă a lui G. Atunci următoarele
trei afirmaţii sunt echivalente:
1. H este subgrup al lui G.
2. a) x, y H, rezultă că x * y H;
b) e H ( unde e este elementul neutru al lui G );
74
x 0 1 2 3
f ( x) 1 i 1 i
0 1 2 3
0
1
2
3
0 1 2 3
1 2 3 0
3 0 1 2
1 i 1 i
1
i
1
i
1 i 1 i i
1 i 1
1 i 1 i
i 1 i
H, simetricul său x-1 c) x H.
H, rezultă că x * y-1 3. x, y H.
Demonstraţie:
1. 2.
a) rezultă din H1 din definiţia subgrupului. Pentru a demonstra afirmaţia b) se ţine cont de faptul că H este grup, deci are element
neutru notat e'. e fiind elementul neutru al lui G,
e * e' = e' * e' = e', de unde rezultă e' = e. Dar e' H, deci e H.
H şi x-1 simetricul lui x în G, iar x' simetricul lui x în c) se demonstrează astfel: fie x H. Atunci x * x-1 = x * x' = e. Conform regulii de simplificare la stânga, rezultă x-1 =
x', deci x-1 H.
2. 3.
H, conform c) rezultă că şi y-1 H, iar conform a), Dacă x,y
x * y-1 H.
3. 1.
Trebuie demonstrat că în acest caz H este grup în raport cu legea * şi că
x, y H implică x * y H.
H, atunci x * x-1 = e H şi x-1 = e * x-1 Dacă x H. De asemenea, dacă y h,
atunci şi y-1 H şi x * y = x * (y-1)-1
H.
Asociativitatea legii din H rezultă din asociativitatea legii de compoziţie din G.
Observaţie: Dacă un grup este abelian, atunci orice subgrup al său este abelian.
Exemple:
1. Dacă G este un grup, atunci G însuşi este un subgrup al său, numit subgrupul total.
Mulţimea e este de asemenea un subgrup al lui G, numit subgrupul nul. Aceste
două subgrupuri se numesc subgrupuri improprii ale grupului. Oricare alt subgrup se
numeşte subgrup propriu.
2. Grupul ( Z, + ) este subgrup al grupului ( Q, + ).
3. Grupul multiplicativ ( -1, 1 , · ) este un subgrup al grupului multiplicativ ( Q*, · ).
7.4.2. Subgrup generat de o mulţime. Grup ciclic
Definiţie: Fie ( G, * ) un grup şi M o submulţime nevidă a lui G. Se numeşte subgrup generat de mulţimea M intersecţia tuturor subgrupurilor care conţin mulţimea M.
Se notează: H i
M M H i
Un caz particular îl
constituie subgrupul generat de un singur element, adică M = { x }. Acest subgrup se
notează x şi are ca elemente puterile lui x : ..., x-2, x-1, x0 = e, x, x2,... . Se numeşte
subgrupul ciclic generat de x.
= { xk | k x Z }
Definiţie: Un grup se numeşte ciclic dacă este generat de un element al său. Acest
element se numeşte generator al grupului.
75
Exemple:
1. Fie grupul G = 1, i, - 1, - i despre care s-a demonstrat că formează grup în raport
cu operaţia de înmulţire. Acest grup este ciclic, generat de elementul i. Toate
elementele sunt puteri ale lui i: i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1.
2. Grupul ( Z4, + ) care este izomorf cu acesta este tot un grup ciclic, generat de
elementul care îi corespunde lui i prin izomorfism, adică 1 , deoarece:
11
1; 1 2 1 1 2 ; 1 3 1 1 1 3; 1 4 1 1 1 1 0 .
3. Grupul ( Z, + ) este un grup ciclic, generat de numărul întreg 1.
Definiţie: Fie ( G, * ) un grup şi x G. Cel mai mic număr natural nenul n pentru care
xn = e se numeşte ordinul elementului x în grupul G. Dacă pentru orice n N*, xn
e, atunci se spune că ordinul elementului x este .
Observaţie: În orice grup ordinul unui element este egal cu ordinul simetricului
acestuia.
În grupul de la exemplul 1, ord ( -1 ) = 2 pentru că ( -1 )2 = 1, iar ord ( i ) = ord
( -i ) = 4, pentru că i4 = 1 şi ( -i )4 = 1.
În grupul lui Klein, K = e, a, b, c , a2 = b2 = c2 = e, deci ord(a) = = ord(b) =
ord (c) = 2.
Teoremă: Fie (G,*) un grup şi x un element al său de ordin n.
= { e, x, x2, ..., xn-1 } şi Atunci subgrupul generat de x, x
ord( x ) = n.
Demonstraţie:
{ e, x, x2, ..., xn-1 } x .
Fie xk x . Atunci, pentru orice k număr întreg există numerele întregi q şi
r, 0 r n. deci xk = xnq+r = (xn)q *xr = eq*xr = e * xr = xr, care aparţine mulţimii { e,
x, x2, ..., xn-1 }, deci x { e, x, x2, ..., xn-1 }.
Din cele două incluziuni rezultă că mulţimile sunt egale.
7.4.3. Teorema lui Lagrange
Teorema lui Lagrange: ordinul oricărui subgrup al unui grup finit este un divizor al
ordinului grupului.
Demonstraţie:
Fie ( G, ) un grup finit de ordin n, iar H = h1, h2, ..., hk un subgrup al său
de ordin k. Se va demonstra că n este divizibil cu k..
Fie x un element al lui G. Se defineşte clasa lui x la stânga modulo H astfel:
x xH xh | h H xh1, xh2, ..., xhk
76
Clasa lui x este o mulţime nevidă, deoarece conţine elementul x, căci acesta se poate scrie x = xe, iar e este un element al subgrupului H. Elementele clasei lui x sunt
distincte două câte două pentru că din xhi = xhj rezultă prin simplificare hi = hj, ceea
ce este fals. Aşadar numărul de elemente al clasei lui x este k..
Oricare două clase distincte sunt disjuncte. Aceasta se demonstrează prin
reducere la absurd. Presupunem că există un element care este şi în clasa lui x şi în
clasa lui y, dar cele două clase nu sunt una şi aceeaşi mulţime. Fie s elementul comun.
Atunci există i şi j 1, 2, ..., k pentru care s = xhi şi s = yhj, de unde y = xhihj-1.
Dar hihj
y
-1 H, deci y = xhp. Atunci,
x yh1, yh2, ..., yhk xhph1, xhph2, ..., xhphk xh1, xh2, ..., xhk
Oricare ar fi un element al lui G, există o clasă în care este conţinut. Fie
toate clasele distincte două câte două, submulţimi disjuncte
ale lui G. Fiecare clasă conţine k elemente, rezultă că G x 1, x 2, ..., x p
conţine pk elemente, adică n = pk, adică n se divide cu k, ceea ce trebuia demonstrat.
Consecinţa 1: Într - un grup finit, ordinul oricărui element este finit şi este un divizor
al ordinului grupului.
Consecinţa 2: Dacă ordinul grupului finit G este n, atunci oricare ar fi x din G, xn = e.
Consecinţa 3: Orice grup de ordin număr prim este ciclic.
7.5. PROBLEME
7.5.1. Legi de compoziţie. Monoizi
1. Fie M = 1, 2, 3, 4, 6 şi legea de compoziţie * : M x M M, x * y = c.m.m.d.c. al numerelor x şi y. Completaţi tabla legii de compoziţie. Este legea comutativă?
Există element neutru?
2. Fie legea de compoziţie * : Z x Z Z, x * y = xy + x + y - 1. Ce proprietăţi are
această lege? Este ( Z,* ) monoid comutativ?
7.5.2. Grupuri
1. Se consideră mulţimea M = ( -2, 2 ). Pentru orice x şi y din M se defineşte legea de
compoziţie:
x y x y
xy 1
4 Să se demonstreze că ( M, * ) este grup abelian.
1 2. Pe mulţimea Q \ { - } se defineşte legea de compoziţie
3
x * y = x + y + 3xy. a) Să se arate că mulţimea Q \ { - 1/3 } înzestrată cu această lege de compoziţie
formează o structură de grup abelian.
77
b) Să se rezolve ecuaţiile: x * 3 = 2 şi ( -5 ) * x = 1.
3. Fie G = ( 0, 1 ) şi legea de compoziţie pe G: xy
x y 2 xy x y 1
oricare ar fi x şi y din mulţimea G. Să se arate că:
a) ( G, * ) este grup abelian x
b) Funcţia f : G R*+ definită prin relaţia: f x
1 x
este un izomorfism de la grupul ( G, * ) la grupul (R*+, · ), unde · semnifică operaţia
de înmulţire.
4. Se consideră mulţimea G = ( 2, ) pe care se defineşte legea
x * y = xy - 2x - 2y + 6, oricare ar fi x şi y din mulţimea G. Să se demonstreze:
a) ( G, * ) este grup abelian;
G, f(x) = e x + 2 este un izomorfism între grupurile b) Funcţia f : R
( R, + ) şi ( G, * );
c) Să se determine a şi b astfel încât funcţia g : R*+
izomorfism de la grupul ( R*+, · ) la grupul ( G, * ).
G, g(x) = ax + b să realizeze un
5. Pe mulţimea numerelor reale R se defineşte legea de compoziţie x * y = 2(x+y) - xy - a; a număr real.
Să se determine a şi submulţimea lui R pe care legea determină o structură de grup
comutativ.
R*. Pe A se defineşte legea: 6. Fie A = ( 0, ) \ { 1 }, a A, log y
a . Notând Ga, = ( A, * ), să se arate că Ga, este un grup comutativ, x * y = x
R* ), izomorfismul fiind realizat de funcţia: izomorf cu Gb, ( b A,
f : Ga, Gb, ,
log a
b
f ( x) x
7. Se consideră mulţimea:
a a (1 x) (1 x) R*} F { f | f : ( 1,1) ( 1,1); f (x) , a
a a a (1 x)
a x)a (1
Să se arate că ( F, ) este grup abelian izomorf cu ( R*, · ), unde s-a notat cu
operaţia de compunere a funcţiilor şi cu · operaţia de înmulţire.
8. Fie grupul aditiv ( Z, + ).
78
Să se arate că submulţimea: 3Z = { 3n | n
cu operaţia indusă.
Z } este un subgrup al acestuia în raport
7.6. FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. Fie M = 1, 2, 3, 4, 6, 12 şi legea * : M x M x şi y.
Completaţi tabla legii:
M astfel: x * y = c.m.m.m.c. al lui
2. Fie mulţimea M = [ 2, ) şi legea de compoziţie * : M x M M astfel:
x * y = xy - 2x - 2y + 6 oricare ar fi x şi y din mulţimea M. Demonstraţi că (M,*) are o structură algebrică de monoid. Este acesta un monoid
comutativ?
3. Care dintre următoarele mulţimi de numere înzestrate cu operaţiile respective
formează o structură algebrică de grup:
a) ( N, + );
d) ( Z, · );
b) ( Z, + ); c) ( Q, + );
e) ( Q, · ); f) ( Q*, · ) ?
4. Fie mulţimea părţilor unei mulţimi A, P(A), pe care se defineşte operaţia de reuniune a mulţimilor.
i) Ce proprietăţi are această operaţie:
a) asociativitate; b) existenţa elementului neutru; c) toate elementele simetrizabile; d)
comutativitate?
ii) ( P(A), ) formează o structură de grup?.........................
Motivaţi! ................................................................................
5. Fie grupurile ( Z, + ) şi ( { -1, 1 }, · ).
{ -1, 1 }, f(n) = ( -1 )n este un: Funcţia f : Z
a) morfism de grupuri
b) izomorfism de grupuri?
6.Oricare două grupuri finite care au acelaşi ordin sunt izomorfe? ...........................
Dacă nu, daţi un contraexemplu!
...................................................
79
* 1 2 3 4 6 12
1
2
3
4
6
12
7. Grupul ( Z, + ) este un grup ciclic, generat de elementul 1. Poate fi izomorf cu grupul ( Z[X], + )?.................................... Motivaţi!
..............................................................................................................
8. Există în grupul lui Klein elemente de ordin 3?........................................... Motivaţi!
................................................................................................................
...............................................................................................................
7.7. RĂSPUNSURI - FIŞA DE AUTOEVALUARE
1.
2. Se demonstrează proprietăţile monoidului:
M1) asociativitatea:
x,y,z M, (x * y) * z = x * (y * z)
(xy - 2x -2y + 6) * z = x * (yz - 2y - 2z + 6) (xy - 2x -2y + 6)z - 2(xy - 2x -2y + 6) - 2z + 6 = x(yz - 2y - 2z + 6) - 2x - 2(yz - 2y -
2z + 6) + 6
xyz - 2xz - 2yz + 6z - 2xy + 4x + 4y - 12 - 2z + 6 = xyz - 2xy - 2xz + 6x - 2x - 2yz +
4y + 4z - 12+ 6
xyz - 2xz - 2yz + 4z - 2xy + 4x + 4y - 6 = xyz - 2xy - 2xz + 4x - 2yz + 4y + 4z - 6,
egalitate adevărată, x,y,z
M2) element neutru:
M.
e M astfel încât x M, x * e = e * x = x.
x * e = x; xe - 2x - 2e + 6 = x; xe - 2e = 3x - 6; e(x - 2 ) = 3 ( x - 2 ). Dacă x e = 3.
e * x = x; ex - 2e - 2x + 6 = x; ex - 2e = 3x - 6; e(x - 2 ) = 3 ( x - 2 ). Dacă x
e = 3.
Mai trebuie analizat cazul când x = 2.
2,
2,
2 * 3 = 2·3 - 2·2 - 2·3 + 6 = 6 - 4 - 6 + 6 = 2
3 * 2 = 3·2 - 2·3 - 2·2 + 6 = 6 - 6 - 4 + 6 = 2
S-a obţinut rezultatul 2, deci se poate trage concluzia că elementul neutru este 3.
Pentru a cerceta dacă monoidul este comutativ vom studia comutativitatea legii de
compoziţie:
80
* 1 2 3 4 6 12
1 1 2 3 4 6 12
2 2 2 6 4 6 12
3 3 6 3 12 6 12
4 4 4 12 4 12 12
6 6 6 6 12 6 12
12 12 12 12 12 12 12
x,y M, x * y = y * x, adică: xy -2x -2y + 6 = yx -2y -2x +6, egalitate adevărată.
Rezultă că (M,*) este monoid comutativ.
3. b), c), f).
4. i)
ii)
a), b), d).
nu.
P(A) nu are toate elementele simetrizabile în raport cu reuniunea.
5. a)
6. nu Contraexemplu: grupul lui Klein şi grupul ( Z4, + ) sunt ambele de ordinul 4, dar nu
sunt izomorfe.
7. nu Ar trebui ca şi Z[X] să fie generat de un element al său. Dar, oricare polinom adunat
cu el însuşi îşi păstrează gradul, deci nu există nici un polinom astfel încât toate
celelalte să se obţină din el.
8. nu Un element de ordin 3 generează un subgrup de ordin 3. Teorema lui Lagrange afirmă
că ordinul oricărui subgrup divide ordinul grupului, ori 3 nu îl divide pe 4, deci un
astfel de element nu poate exista.
7.8. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 7
1. Ganga, M.; Algebră, Ed. Mathpress, 2000 2. Becheanu, M.; Dincă, A; Ion, I. D.; Niţă, C; Purdea I.; Algebra pentru
perfecţionarea profesorilor, E.D.P., Bucureşti, 1983
3. Ganga, M; Teste de algebră şi analiză matematică, Ed. Mathpress, 1998.
4. Năstăsescu, C.; Ţena, M; Andrei, G.; Otărăşanu, I.; Probleme de structuri
algebrice,Editura Academiei, Bucureşti, 1988.
8. INELE
8.1. NOŢIUNEA DE INEL. EXEMPLE
8.1.1. Definiţia inelului
Definiţie: Se numeşte inel o mulţime A pe care se definesc două legi de compoziţie,
una notată aditiv "+" şi una notată multiplicativ " " care satisfac următoarele axiome:
I. ( A, + ) este grup abelian, adică:
I.1. Legea + este asociativă:
oricare ar fi x şi y din A, ( x + y ) + z = x + ( y + z )
81
I.2. Legea + admite element neutru:
există 0 A, astfel încât oricare ar fi x A, x + 0 = 0 + x = x A sunt simetrizabile în raport cu legea +:
A, astfel încât x + x' = x' + x = 0
I.3. Toate elementele mulţimii
oricare ar fi un element x A, există x'
I.4. Legea + este comutativă: oricare ar fi elementele x şi y din mulţimea A, x + y = y + x.
II. ( A, ) este monoid, adică:
II.1. Legea este asociativă:
oricare ar fi x şi y din A, ( x y ) z = x ( y z )
II.2. Legea admite element neutru:
există 1 A, astfel încât oricare ar fi x A, x 1 = 1 x = x.
III. Legea este distributivă faţă de legea +: oricare ar fi x,y şi z elemente din mulţimea A,
x ( y + z ) = ( x y ) + ( x z ) şi ( x + y ) z = ( x z ) + ( y z ).
Dacă în plus legea este şi comutativă, adică oricare ar fi x şi y din A, x y =
y x, atunci inelul se numeşte inel comutativ.
Observaţie: După unii autori, printre axiomele inelului nu se numără II.2., iar după alţii nici II.1, aceştia numind un inel care satisface axioma II.2. inel unitar, iar pentru
axioma II.1. inel asociativ. Se va folosi în continuare definiţia dată mai sus.
Definiţie: Fie ( A, + , ) un inel. Un element din A se numeşte element inversabil al
inelului dacă este inversabil faţă de operaţia multiplicativă.
Mulţimea elementelor inversabile se notează cu U(A) şi se mai numeşte
mulţimea "unităţilor" lui A.
Propoziţie: Dacă ( A, + , ) este un inel, mulţimea U(A) este parte stabilă faţă de
legea şi cuplul ( U(A), ) este un grup, numit grupul multiplicativ al elementelor
inversabile din inelul A.
Definiţie: Fie ( A, + , ) un inel. Se numesc divizori ai lui zero, elementele x şi y din
A, x 0 şi y 0, dar al căror produs x y = 0.
Definiţie: Un inel comutativ se numeşte inel integru sau domeniu de integritate dacă
nu are divizori ai lui zero, adică din produsul x y = 0 rezultă x = 0 sau y = 0.
8.1.2. Exemple de inele
1. Un exemplu tipic de inel îl constituie mulţimea numerelor întregi Z, înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire. ( Z, + ) este grup abelian, ( Z, · ) este
monoid, iar înmulţirea este distributivă faţă de adunare. Înmulţirea numerelor întregi
este şi comutativă, deci inelul este comutativ. Acest inel nu are divizori ai lui zero.
Unităţile lui sunt 1 şi - 1.
2. Mulţimea numerelor raţionale şi mulţimea numerelor reale formează de asemenea inele faţă de operaţiile de adunare şi înmulţire, tot inele comutative şi fără
divizori ai lui zero.
82
3. Mulţimea matricelor pătratice de ordin n cu coeficienţi din R formează inel cu adunarea şi înmulţirea matricelor. Acest inel nu este comutativ. Unităţile sale sunt
matricele inversabile, adică matricele nesingulare, cele care au determinantul nenul.
Inelul ( Mn, + , · ) are divizori ai lui zero. Exemplul următor este din mulţimea
matricelor de ordin 2.
Fie matricele A şi B diferite de maticea nulă, dar al căror produs este matricea
nulă.
2
0
0
0
0
1
0
3
0
0
0
0 A şi B , iar AB .
În acest caz, matricele A şi B sunt divizori ai lui zero.
4. Inelul întregilor lui Gauss este mulţimea
Z[i] = { a + bi | a, b Z, iar i este unitatea imaginară, i2 = - 1 } Această mulţime, împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire formează un inel comutativ, fără divizori ai lui zero.
Mulţimea U(Z[i]) = { 1, - 1, i, - i } formea ză grup faţă de înmulţire, după cum s-a
demonstrat în exemplul 3. de la paragraful 7.3.2..
5. Inelul resturilor Rn = { 0, 1, 2, ..., n - 1 }. Pe această mulţime se definesc
adunarea modulo n, notată şi înmulţirea modulo n, notată , astfel: a b = restul
împărţirii lui a + b la n, iar a b = restul împărţirii lui a · b la n, unde a şi b aparţin
mulţimii Rn. Se observă că rezultatele acestor operaţii sunt tot din mulţimea Rn.
( Rn, , ) formează un inel comutativ. Dacă n nu este număr prim, atunci are
divizori ai lui zero. De exemplu, în R6, 2 3 = 0.
6. Inelul claselor de resturi modulo n se defineşte cu ajutorul operaţiilor modulo n definite anterior. Clasa de echivalenţă modulo n a elementului x din
mulţimea numerelor întregi reprezintă mulţimea numerelor întregi congruente cu x
modulo n, adică toate numerele întregi care dau acelaşi rest ca şi x la împărţirea la n:
x y | x y(mod n)
Mulţimea Zn este formată din elementele:
Zn 0 , 1, 2 , ..., n - 1
Adunarea şi înmulţirea se definesc astfel:
a b b a ab a b şi
( Zn, +, · ) formează un inel comutativ. În cazul în care n nu este număr prim,
inelul are divizori ai lui zero. Elementele inversabile ale inelului sunt clasele cu proprietatea că (x, n) = 1, unde s-a notat cu (x,n) cel mai mare divizor comun al lui x
şi n.
x
7. Fie mulţimea Z a numerelor întregi pe care se definesc legile de compoziţie:
x * y = x + y - a, oricare ar fi x şi y din Z şi
x # y = xy - a (x + y) + a2 + a, oricare ar fi x şi y din Z şi a un număr întreg
fixat. Se demonstrează că ( Z, *, # ) formează un inel comutativ, fără divizori ai lui
zero.
I.1. asociativitatea legii *:
83
oricare ar fi x, y, z din Z, ( x * y ) * z = x * ( y * z ), ( x + y - a ) * z = x * ( y + z - a ),
x + y - a + z - a = x + y + z - a - a, ceea ce este adevărat.
I.2. elementul neutru al legii *:
există e număr întreg astfel încât oricare ar fi x număr întreg,
x * e = e * x = x
x + e - a = x, respectiv e + x - a = x, de unde rezultă e = a. I.3.
toate elementele sunt simetrizabile în raport cu legea *:
oricare ar fi x număr întreg, există x' număr întreg astfel încât:
x * x' = x' * x = e,
x + x' - a = a, respectiv x' + x - a = a, de unde rezultă x' = 2a - x.
I.4. comutativitatea legii *:
oricare ar fi x şi y numere întregi, x * y = y * x,
x + y - a = y + x - a, ceea ce este adevărat.
II.1. asociativitatea legii #:
oricare ar fi x, y şi z numere întregi:
( x # y ) # z = x # ( y # z )
( xy - a ( x + y ) + a2 + a ) # z = x # ( yz - a ( y + z ) + a2 + a )
xyz - axz - ayz + a2z + az - axy + a2x + a2y - a3 - a2 - az + a2 + a =
= xyz - axy - axz + a2x + ax - ax - ayz + a2y + a2z - a3 - a2 + a2 + a,
xyz - axz - ayz - axy + a2z + a2x + a2y - a3 + a =
= xyz - axy - axz - ayz + a2x + a2y + a2z - a3 + a, egalitate adevărată.
II.2. elementul neutru al legii #:
există u număr întreg, astfel încât oricare ar fi x număr întreg,
x # u = u # x = x
xu - a ( x + u ) + a2 + a = x, respectiv ux - a ( u + x ) + a2 + a = x, de unde rezultă:
u ( x - a ) = ( x - a ) ( a + 1 ), adică u = a + 1.
III. distributivitatea legii # faţă de legea *:
oricare ar fi x, y, z numere întregi,
x # ( y * z ) = ( x # y ) * ( x # z ) şi ( x * y ) # z = ( x # z ) * ( y # z ). Se verifică prima
relaţie, demonstraţia celei de a doua făcându-se analog:
x # ( y + z - a ) = ( xy - a ( x + y ) + a2 + a ) * (xz - a ( x + z ) + a2 + a );
x (y + z - a ) - a ( x + ( y + z - a ) ) + a2 + a = ( xy - a ( x + y ) + a2 + a ) + + (xz - a ( x
+ z ) + a2 + a ) - a;
xy + xz - ax - ax - ay - az + a2 + a2 + a = xy - ax - ay + a2 + a + xz - ax - az + a2 + a -
a, egalitate adevărată.
Pentru ca inelul să fie comutativ, trebuie ca legea # să fie comutativă, adică
oricare ar fi x şi y numere întregi, x # y = y # x,
xy - a ( x + y ) + a2 + a = yx - a ( y + x ) + a2 + a, ceea ce este adevărat.
Pentru a demonstra că nu are divizori ai lui zero, folosim metoda reducerii la
absurd, adică presupunem că există numerele întregi x şi y,
a, dar x # y = a, adică xy - a ( x + y ) + a2 + a = a, x a şi y xy - ax - ay + a2 = 0, ( x - a ) ( y - a ) = 0 ,
de unde rezultă x = a sau y = a, ceea ce contrazice ipoteza. S-a demonstrat astfel că
inelul nu are divizori ai lui zero.
Se vor căuta în continuare elementele inversabile ale inelului, adică numerele
întregi x pentru care există x' astfel încât x # x' = x' # x = a + 1.
Legea este comutativă, se va folosi o singură relaţie:
xx' - a ( x + x' ) + a2 + a = a + 1,
x' ( x - a ) = ax - a2 + 1; x' ( x - a ) = a ( x - a ) + 1, de unde.
84
x' = a + 1/( x - a ). pentru ca acest număr să fie întreg, trebuie ca ( x - a ) să îl dividă pe 1, adică x - a = 1 sau x - a = - 1, de unde rezultă
x = a + 1 şi x = a - 1, elementele inversabile ale inelului.
8.1.3. Reguli de calcul într-un inel
Fie ( A, +, ) un inel. Se notează cu 0 elementul neutru al legii +, cu – x
simetricul lui x faţă de legea + şi cu 1 elementul neutru al legii .
1. Pentru orice x din A, x 0 = 0 x = 0.
Demonstraţie: x 0 = x (0+0) = x 0 + x 0, adică x 0 = x 0 + x 0.
Dar 0 = x 0 + (- x 0 ) = x 0 + x 0 + ( - x 0 ) = x 0 + ( x 0 + ( - x 0 ) ) = = x 0 + 0 =
x 0, adică 0 = x 0. Analog, 0 x = 0.
2. Dacă inelul A are cel puţin două elemente, atunci 1 0.
Demonstraţie: Dacă 1 = 0, atunci oricare ar fi x din A, x = 1 x = 0 x = 0, de unde A =
0 , contradicţie, căci s-a presupus că A are cel puţin două elemente.
3. Regula semnelor: Oricare ar fi x şi y din inelul A:
( - x ) y = x ( - y ) = - x y
( - x ) (- y ) = x y.
Demonstraţie: 0 = 0 y = ( ( - x ) + x) y = ( - x ) y + x y şi 0 = 0 y = ( x + ( - x ) ) y
= x y + ( - x ) y. Din cele două relaţii rezultă că ( - x ) y este simetricul lui x y,
adică ( - x ) y = - x y.
Analog se demonstrează că x ( - y ) = - x y.
( - x ) ( - y ) = - ( x ( - y ) ) = - ( - x y ) = x y.
4. Distributivitatea înmulţirii faţă de scădere: Oricare ar fi x, y şi z din inelul
A: x ( y – z ) = x y - x z şi ( y – z ) x = y x - z x.
S-a notat y – z = y + ( - z ).
Demonstraţie: x ( y – z ) = x ( y + ( - z ) ) = x y + x ( - z ) = x y - x z. Cealaltă
relaţie se demonstrează analog.
5. Într-un inel fără divizori ai lui zero, din x y = x z sau y x = z x, cu x
rezultă y = z.
0,
Demonstraţie: Dacă x ( y – z ) = x y - x z = x y - x y = 0. Dar x divizori ai lui zero, atunci y – z = 0, deci y = z.
Analog se arată că y x = z x implică y = z.
0, iar inelul nu are
8.2. SUBINEL
8.2.1. Definiţia subinelului
85
Definiţie: Fie ( A, +, · ) un inel. Se numeşte subinel al inelului A, o submulţime B
nevidă a lui A, astfel încât:
1. Oricare ar fi x şi y
2. Oricare ar fi x şi y
B, rezultă că x - y
B, rezultă că xy
B;
B.
Observaţii: ( B, + ) este un subgrup al lui ( A, + ) şi B este parte stabilă în raport cu operaţia multiplicativă. Din acestea rezultă că mulţimea B împreună cu cele două legi
de compoziţie induse formează inel.
Dacă B şi C sunt subinele ale inelului A, atunci şi B C este un subinel al
inelului A.
Proprietatea nu este valabilă pentru reuniune.
8.2.2. Exemple de subinele
1. Oricare ar fi un inel A, mulţimile { 0 } şi A sunt subinele ale inelului A.
2. Inelul numerelor întregi (exemplul 1 de la 8.1.2.) este subinel al inelului
Z[i] al întregilor lui Gauss (exemplul 4 de la 8.1.2.).
3. Mulţimea 2Z = { 2z | z Z } este un subinel al lui Z.
Se verifică uşor proprietăţile subinelului pe toate exemplele de mai sus.
8.3. MORFISME DE INELE
8.3.1. Definiţia morfismului de inele
Definiţie: Fie (A, + , ) şi (R, *, # ) inele. Funcţia f : A R se numeşte morfism de
inele dacă oricare ar fi x şi y din A sunt îndeplinite condiţiile: 1. f (x + y) = f (x) * f (y)
2. f (x y) = f (x) # f (y).
Dacă f este morfism de inele şi f este şi bijectivă, atunci f se numeşte
izomorfism de inele.
Observaţii: Din condiţia 1 a definiţiei rezultă că f este un morfism de grupuri de la (A, +) la (R, *), ceea ce implică proprietăţile:
f (0A) = 0R şi f (- a) = - f (a), unde s-a notat cu 0A şi 0B elementele neutre în
raport cu legile +, respectiv * şi cu - a opusul elementului a.
Nu se poate deduce acelaşi lucru şi despre elementele unitate ale inelelor. Un
morfism de inele care satisface în plus condiţia:
f (1A) = 1R se numeşte morfism unitar de inele. Dacă morfismul de inele f este o
funcţie surjectivă, atunci f este morfism unitar de inele.
Dacă A, B şi C sunt inele şi funcţiile f : A B şi g : B C sunt morfisme de
inele, rezultă că funcţia g f : A C este un morfism de inele.
8.3.2. Exemple de morfisme şi izomorfisme de inele
86
1. Dacă A este un inel, atunci aplicaţia identică a lui A, 1A : A
= x este un morfism de inele.
A prin 1A (x)
2. Fie inelul (Z, +, · ). Atunci funcţia f : Z
un morfism de inele care nu este unitar.
Z, f (x) = 0 (morfismul nul) este
3. Fie Z mulţimea numerelor întregi şi legile de compoziţie: x * y = x + y + 2 şi x # y = xy - 2x - 2y + 6, oricare ar fi x şi y din Z.
(Z, *, #) formează un inel comutativ fără divizori ai lui zero.
Funcţia f : Z Z, f (x) = x + 2 este un izomorfism de la inelul (Z, +, ·) la inelul
(Z, *, #).
Demonstraţie:
1. Oricare ar fi x şi y din Z, f (x + y) = f (x) * f (y);
f ( x + y) = x + y + 2
f (x) * f (y) = (x + 2) * (y + 2) = x + 2 + y + 2 - 2 = x + y + 2
2. Oricare ar fi x şi y din Z, f (xy) = f (x) # f (y);
f (xy) = xy + 2
f (x) # f (y) = (x + 2) # (y + 2) = (x + 2)(y + 2) - 2(x + 2) - 2(y + 2) + 6 = = xy + 2x +
2y + 4 - 2x - 4 -2y - 4 + 6 = xy + 2.
3. f - funcţie bijectivă:
f - injectivă: oricare ar fi x şi y din Z, x y, trebuie ca f (x) f (y). Se presupune că f
(x) = f (y), adică x + 2 = y + 2, de unde rezultă x = y, contradicţie, deci presupunerea
este falsă, adică f (x) f (y), ceea ce înseamnă că funcţia f este injectivă.
f - surjectivă: oricare ar fi y din Z, există x din Z, astfel încât f (x) = y; x + 2 = y implică x = y - 2, iar dacă y este număr întreg şi x este număr întreg.
Funcţia f fiind şi injectivă şi surjectivă este bijectivă. Rezultă că f este un izomorfism
de inele.
8.4. PROBLEME
1. Să se demonstreze că pe mulţimea Z a numerelor întregi, următoarele legi de compoziţie:
x * y = x + y - 4 şi x # y = xy - 4x - 4y + 20
determină o structură de inel comutativ fără divizori ai lui zero. Determinaţi
elementele inversabile
2. Demonstraţi că mulţimea 5Z este un subinel al inelului (Z, + ,·).
3. Care sunt elementele inversabile ale inelului (Z12, + ,·); dar ale inelului (Z5, + ,·)?
4. Fie legile de compoziţie definite pe mulţimea Z a numerelor întregi: x * y = x + y - 3 şi x ¤ y = xy - 3x - 3y + 12.
a) Arătaţi că (Z, * ,¤) este un inel.
b) Determinaţi m şi n numere întregi, astfel încât funcţia f : Z Z,
f (x) = mx + n să fie un izomorfism de la inelul (Z, + ,·), la inelul (Z, *,¤).
5. Fie A = Z x Z, şi legile de compoziţie definite pe A:
87
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) şi (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc), unde a, b, c şi d sunt numere întregi.
a) Să se arate că (A, +, ·) este un inel comutativ fără divizori ai lui zero;
b) Să se afle elementele inversabile ale inelului;
c) Să se demonstreze că (A, +, ·) este izomorf cu inelul întregilor lui Gauss (Z[i], +, ·)
(exemplul 4 de la 8.1.2.), unde izomorfismul este realizat de funcţia f : A
b)) = a + bi, cu a şi b din Z.
Z[i], f((a,
88
8.5. FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. Care dintre următoarele mulţimi de numere înzestrate cu operaţiile respective au o
structură de inel:
d) (R*, +, ·); a) (N, +, ·);
e) (R, +, :);
b) (Z, +, ·);
f) (R, ·, +);
c) (Q, + . ·);
g) (R, +, ·)?
2. Sunt adevărate sau false următoarele afirmaţii: a) Q este subinel al lui Z ...........................
b) Z este subinel al lui Q ...........................
c) Q este subinel al lui R ...........................
d) N este subinel al lui Q ...........................
3. Care dintre următoarele mulţimi sunt subinele ale lui Z:
a) 7Z; b) 6Z 8Z; c) 6Z 8Z; d) 6Z 3Z?
4. Care dintre următoarele morfisme ale unui inel este şi izomorfism: a) morfismul nul ............................
b) morfismul identic ......................?
5. Fie (A, +, #) şi (R, *, ¤) inele şi funcţia f : A R. Care afirmaţie este adevărată:
a) f izomorfism de inele implică grupurile (A, +) şi (R, *) izomorfe........... b) f izomorfism al grupurilor (A, +) şi (R, *) implică inelele (A, +, #) şi (R, *, ¤)
izomorfe ...................?
89
8.6. RĂSPUNSURI - FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. b), c) şi g).
2. a) fals; b) adevărat; c) adevărat; d) fals.
3. a), b), d).
4. a) nu; b) da.
5. a) adevărat; b) fals.
8.7. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 8
1. Becheanu, M.; Dincă, A; Ion, I. D.; Niţă, C; Purdea I.; Algebra pentru perfecţionarea profesorilor, E.D.P., Bucureşti, 1983;
2. Năstăsescu, C.; Ţena, M; Andrei, G.; Otărăşanu, I.; Probleme de structuri
algebrice,Editura Academiei, Bucureşti, 1988;
3. Niţă, C.; Spircu, T.; Probleme de structuri algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti,
1974.
90
9. CORPURI
9.1. NOŢIUNEA DE CORP. EXEMPLE
9.1.1. Definiţia corpului
Definiţie: Se numeşte corp o mulţime K pe care se definesc două legi de compoziţie,
una notată aditiv "+" şi una notată multiplicativ " " care satisfac următoarele axiome:
I. ( K, + ) este grup abelian, adică:
I.1. Legea + este asociativă: oricare ar fi x şi y din K,
( x + y ) + z = x + ( y + z )
I.2. Legea + admite element neutru: există 0
K, x + 0 = 0 + x = x
K, astfel încât oricare ar fi x
I.3. Toate elementele mulţimii K sunt simetrizabile în raport cu legea +:
oricare ar fi un element x K, există x' K, astfel încât x + x' = x' + x = 0
I.4. Legea + este comutativă: oricare ar fi elementele x şi y din mulţimea K, x + y = y + x.
II. ( A, ) este monoid, adică:
II.1. Legea este asociativă: oricare ar fi x şi y din K,
( x y ) z = x ( y z )
II.2. Legea admite element neutru: există 1 K, astfel încât oricare ar fi x
A, x 1 = 1 x = x şi 1 0.
III. Legea este distributivă faţă de legea +: oricare ar fi x,y şi z elemente din mulţimea K,
x ( y + z ) = ( x y ) + ( x z ) şi ( x + y ) z = ( x z ) + ( y z ).
IV. Toate elementele din K cu excepţia lui 0 sunt inversabile în raport cu legea ,
adică oricare ar fi x din K*, există x -1 în K*, astfel încât:
x -1 = x -1 x x = 1, unde s-a notat cu K* = K \ 0 .
Dacă în plus legea este şi comutativă, adică oricare ar fi x şi y din K, x y = y x,
atunci corpul se numeşte corp comutativ.
Observaţie: Corpul are o singură proprietate în plus faţă de inel, proprietatea IV: toate
elementele sale nenule sunt inversabile, asfel încât este valabilă:
Propoziţia: Dacă ( K, + , ) este un corp, cuplul ( K*, ) este un grup.
Propoziţie: Într-un corp nu există divizori ai lui zero.
9.1.2. Exemple de corpuri
1. Un exemplu tipic de corp îl constituie mulţimea numerelor raţionale Q, înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire. ( Q, + ) este grup abelian, ( Q, · ) este
monoid, înmulţirea este distributivă faţă de adunare şi toate numerele raţionale nenule
sunt inversabile în raport cu înmulţirea. Înmulţirea numerelor raţionale este şi
comutativă, deci corpul este comutativ.
91
2. Mulţimea numerelor reale formează de asemenea corp faţă de operaţiile de
adunare şi înmulţire, tot comutativ.
3. Corpul numerelor complexe.
i2 Fie i unitatea imaginară, cu proprietatea că = - 1. Mulţimea numerelor
complexe se defineşte astfel:
C = {a + bi | a, b R}
Operaţiile cu numere complexe se bazează pe operaţiile cu numere reale:
Fie x, y C, deci x = a + bi şi y = c + di, unde a, b, c, d R.
x + y = (a + c) + (b + d)i şi xy = (ac - bd) + (ad + bc)i. Se verifică uşor că aceste operaţii au toate proprietăţile corpului, adică
adunarea este asociativă, are elementul neutru 0 = 0 + 0i, toate elementele sunt
simetrizabile faţă de adunare ( - x = - a + (- b)i ), adunarea este şi comutativă.
Înmulţirea definită mai sus este de asemenea comutativă, are elementul neutru 1 = 1 +
0i, iar inversul lui x 0 este tot un element din C:
1 a bi a bi a b 1 x i C. 2 2 2 2 2 2 a bi a bi a bi a b a b a b
Înmulţirea este distributivă faţă de adunare. În
comutativ.
concluzie, (C, +, ·) este un corp
4. Corpurile de numere pătratice. Fie d un întreg liber de pătrate.
Acest corp se numeşte corpul numerelor pătratice.
Q( d ) a b d
a
b
a,b Q
x, y
x
xy
(Q
Q d , x
a u
dbv
b d şi y u v d ,
y v d Q d
Q au av bu d d
d , , ) este corp.
5. Corpul claselor de resturi modulo p, unde p este număr prim, se defineşte cu ajutorul operaţiilor modulo p date pentru inelul respectiv. În cazul în care p este
număr prim se poate demonstra că (Zp, +, ·) este corp comutativ.
9.2. SUBCORP
9.2.1. Definiţia subcorpului
Definiţie: Fie ( K, +, · ) un corp. Se numeşte subcorp al corpului K, o submulţime C
nevidă a lui K, astfel încât:
1. Oricare ar fi x şi y
2. Oricare ar fi x şi y
C, rezultă că x - y C;
C, nenule, rezultă că xy -1 C.
Observaţii: (C, +) este un subgrup al lui (K, +) şi (C*, ·) este un subgrup al lui (K*, ·).
92
Din acestea rezultă că mulţimea C împreună cu cele două legi de compoziţie induse formează corp. Din definiţie mai rezultă că orice subcorp conţine elementele 0
şi 1 ale lui K.
Dacă C şi D sunt subcorpuri ale corpului K, atunci şi C corpului K.
Proprietatea nu este valabilă pentru reuniune.
D este un subcorp al
3.2.2. Exemple de subcorpuri
1. Corpul numerelor raţionale este subcorp al corpului numerelor reale şi complexe.
2. Corpul numerelor reale este subcorp al corpului numerelor complexe.
3. Corpul numerelor pătratice (definit la 9.1.2. exemplul 4) este un subcorp al
corpului numerelor complexe (definit la 9.1.2. exemplul 3).
9.3. MORFISME DE CORPURI
9.3.1. Definiţia morfismului de corpuri
Definiţie: Fie (K, + , ) şi (C, *, # ) corpuri. Funcţia f : K C se numeşte morfism de
corpuri dacă oricare ar fi x şi y din K sunt îndeplinite condiţiile: 1. f (x + y) = f (x) * f (y)
2. f (x y) = f (x) # f (y).
Dacă f este morfism de corpuri şi f este şi bijectivă, atunci f se numeşte
izomorfism de corpuri şi corpurile se numesc în acest caz izomorfe.
Observaţii: Din condiţia 1 a definiţiei rezultă că f este un morfism de grupuri de la (K, +) la (C, *), ceea ce implică proprietăţile:
f (0K) = 0C şi f (- a) = - f (a), unde s-a notat cu 0K şi 0C elementele neutre în
raport cu legile +, respectiv * şi cu - a opusul elementului a.
f (1K) = 1C şi f (x -1) = (f (x)) -1 (x 0), pentru că elementele nenule ale celor
două mulţimi formează grup în raport cu a doua lege.
Dacă A, B şi C sunt corpuri şi funcţiile f : A B şi g : B C sunt morfisme
de corpuri, rezultă că funcţia g f : A C este un morfism de corpuri.
Orice morfism de corpuri este injectiv.
9.3.2. Exemple de morfisme şi izomorfisme de corpuri
1. Dacă K este un corp, atunci aplicaţia identică a lui K, 1 K : K
= x este un morfism de corpuri.
K prin 1K (x)
2. Fie mulţimea K = R x R pe care se definesc legile de compoziţie: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) şi (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc).
Se demonstrează uşor că (K, +, ·) este un corp comutativ.
Se defineşte funcţia f : K C, prin f ((a, b)) = a + bi. Această funcţie este un
izomorfism de la corpul K la corpul C al numerelor complexe.
Demonstraţie:
93
Oricare ar fi perechile (a, b) şi (c, d) din K, f ((a,b) + (c, d)) = f ((a, b)) + f ((c, d))
f ((a, b) + (c, d)) = f ((a + c, b + d)) = (a + c) + (b + d)i
f ((a,b )) + f ((c, d)) = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
În raport cu a doua lege: f ((a,b) · (c, d)) = f ((a, b)) · f ((c, d))
f ((a,b) · (c, d)) = f ((ac - bd, ad + bc)) = (ac - bd) + (ad + bc)i
f ((a, b)) · f ((c, d)) = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc), ceea ce demonstrează
faptul că f este morfism de corpuri.
Mai trebuie demonstrată bijectivitatea:
f - injectivă:
Oricare ar fi perechile distincte (a, b) (c, d) din K, trebuie să rezulte că f ((a,
b)) f ((c, d)). Se presupune că f ((a, b)) = f ((c, d)), adică a + bi = c + di, de unde
rezultă a = b şi c = d, cotradicţie, rezultă că funcţia este injectivă. f - surjectivă:
Oricare ar fi numărul complex a + bi, trebuie să existe o pereche din K, (x, y),
astfel încât f ((x, y)) = a + bi, adică x + yi = a + bi, de unde x = a şi y = b, deci există
perechea (a, b) de numere reale cu proprietatea cerută.
În concluzie, funcţia este şi bijectivă, deci este un izomorfism de corpuri.
9.4. PROBLEME
1. Să se demonstreze că pe mulţimea Q a numerelor raţionale, următoarele legi de compoziţie:
x * y = x + y + 2 şi x # y = xy + 2x + 2y + 2
determină o structură de corp comutativ.
2. a) Să se demonstreze că pe mulţimea R a numerelor reale, următoarele legi de
compoziţie:
x3 y 3 ; x x y 3 y xy, x, y R
determină o structură de corp comutativ.
b) Să se demonstreze că între corpul numerelor reale şi corpul de la punctul a) există
un izomorfism f : R R de forma: 3 ax f ( x) b.
3. Pentru un număr dat a Q, fie funcţia f : R R
ax, dacă x Q
fa (x) =
0, dacă x R \ Q
Să se arate că adunarea şi compunerea funcţiilor determină pe mulţimea
F = {fa | a Q} o structură de corp comutativ.
9.5. FIŞA DE AUTOEVALUARE
94
1. Care dintre următoarele mulţimi de numere înzestrate cu operaţiile respective au o
structură de corp:
d) (R*, +, ·); a) (Z, +, ·); b) (Z17, +, ·); c) (Q, + . ·);
e) (Z12, +, ·,); f) (C, +, ·); g) (R, +, ·)?
2. Sunt adevărate sau false următoarele afirmaţii: a) Q este subcorp al lui R ...........................
b) Z este subcorp al lui Q ...........................
c) Z3 este subcorp al lui Z5 ...........................
d) R este subcorp al lui C ...........................
3. Într-un corp există divizori ai lui zero?
.................
95
9.6. RĂSPUNSURI - FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. b), c), f) şi g).
2. a) şi d).
3. nu.
9.7. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 9
1. Becheanu, M.; Dincă, A; Ion, I. D.; Niţă, C; Purdea I.; Algebra pentru perfecţionarea profesorilor, E.D.P., Bucureşti, 1983;
2. Năstăsescu, C.; Ţena, M; Andrei, G.; Otărăşanu, I.; Probleme de structuri
algebrice,Editura Academiei, Bucureşti, 1988;
3. Niţă, C.; Spircu, T.; Probleme de structuri algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti,
1974.
4. Ion, I. D.; Ghioca, A. P.; Nediţă, N. I.; Algebra, E.D.P., Bucureşti, 1989.
96
10. STATISTICĂ MATEMATICĂ ŞI TEORIA
PROBABILITĂŢILOR
10.1. ELEMENTE DE STATISTICĂ MATEMATICĂ
10.1.1. Noţiuni introductive
Statistica se ocupă în general cu gruparea, analiza şi interpretarea unor date referitoare la un anumit fenomen, precum şi cu unele previziuni privind producerea
lui viitoare.
Procesul de cunoaştere statistică parcurge mai multe etape:
1. Observarea statistică:
- culegerea datelor individuale de masă
2. Prelucrarea statistică:
- sistematizarea datelor observării de masă
- obţinerea sistemului de indicatori statistici
3. Analiza şi interpretarea statistică:
- confruntarea şi compararea datelor
- verificarea ipotezelor
- formularea concluziilor asupra cercetării
- fundamentarea calculelor de prognoză.
Noţiuni care se folosesc în statistică sunt:
1. Populaţie statistică reprezintă mulţimea care face obiectul unei analize statistice.
2. Unitate statistică este forma individuală de manifestare a fenomenelor supuse
cercetării.
3. Caracteristica statistică sau variabila este trăsătura comună tuturor unităţilor unei
populaţii statistice care face obiectul analizei statistice. Caracteristicile statistice pot
să fie:
- cantitative, care se pot măsura şi se exprimă numeric;
- calitative, care nu se pot măsura, ci se constată.
4. Indicatorul statistic reprezintă expresia numerică a unei determinări calitative
obţinută în urma unei cercetări statistice, raportată la condiţii specifice de timp sau
spaţiu.
Cercetarea statistică se poate face:
- luând în considerera toate elementele colectivităţii;
- se realizează pe subcolectivitate reprezentativă pentru întreaga colectivitate. Partea
examinată se numeşte eşantion sau selecţie. Numărul indivizilor reprezintă volumul
selecţiei.
10.1.2. Datele statistice
Datele statistice culese se ordonează în tabele după anumite criterii, grupate pe clase pentru a putea fi mai uşor interpretate.
Spre exemplu, dacă în urma unui test aplicat unei clase s-au obţinut anumite
note, tabelul care cuprinde elevul cu nota corespunzătoare nu este edificator în ceea ce
priveşte nivelul atins de clasă în însuşirea competenţelor testate. Acestea sunt datele
iniţiale care se vor prelucra şi interpreta.
97
În acest caz, populaţia statistică este clasa de elevi, caracteristica este nota obţinută. Unităţile statistice sunt elevii.
Numărul de unităţi ale populaţiei corespunzătoare unei anumite valori a
caracteristicii reprezintă frecvenţa absolută a valorii respective. În exemplul de mai
sus, numărul de elevi care au obţinut o anumită notă este frecvenţa absolută a notei
respective. Tabelul în care apar valorile caracteristicii şi frecvenţele absolute
formează o serie statistică.
Acest tabel reprezintă numărul notelor de o anumită valoare care s-au obţinut. Fiind puţine valori ale caracteristicii şi eşantionul destul de mic (25 elevi) se poate
observa distribuirea notelor, dar, mai edificator este dacă se calculează şi frecvenţa
relativă care exprimă în procente numărul de note de o anumită categorie raportat la
numărul total de elevi. Se poate observa din tabelul respectiv că cel mai mare procent
îl reprezintă notele de 6, adică 28%. Adeseori sunt necesare date de tipul: câţi elevi au
obţinut note sub 5 sau note peste 8. de aceea se calculează şi frecvenţa
cumulată crescător sau descrescător. Tabelul se completează astfel:
absolută
Examinând tabelul anterior, conform frecvenţelor absolute cumulate că
numărul notelor sub 5 este 3, numărul notelor sub 7 este 15 sau numărul notelor de 7 şi sub 7 este 18. Frecvenţa absolută cumulată descrescător indică faptul că numărul
notelor peste 8 este 3, numărul notelor de 8 şi peste 8 este 7.
98
Note
(caracteristica)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nr. elevi
(frecvenţa
absolută)
0
1
0
2
5
7
3
4
2
1
Frecv. abs.
cumulată
crescător
0
1
1
3
8
15
18
22
24
25
Frecv. abs.
cumulată
descrescător
25
25
24
24
22
17
10
7
3
1
Note
(caracteristica)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nr. elevi
(frecvenţa
absolută)
0
1
0
2
5
7
3
4
2
1
Frecvenţa
relativă
0%
4%
0%
8%
20%
28%
12%
16%
8%
4%
Note
(caracteristica)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nr. elevi
(frecvenţa
absolută)
0
1
0
2
5
7
3
4
2
1
Se observă că 32% din elevi au note de 5 şi sub 5. note sub 5 au 12% din elevi.
Note peste 7 au 28% din elevi, iar note de 7 şi peste 7 au 40% din elevi.
10.1.3. Reprezentarea grafică a datelor statistice
Ca exemplu s-au ales datele din primul tabel care reprezintă frecvenţa absolută
cu care au apărut notele. Reprezentările pot fi de diverse tipuri:
1. Reprezentare prin coloane
2. Reprezentare prin benzi
99
Nr. elevi
10
7
4
1
0 2 4 6 8
Nr. elevi
Nr. elevi
8
6
4
2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Note
(caracteristica)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Procente
(frecvenţa
relativă)
0%
4%
0%
8%
20%
28%
12%
16%
8%
4%
Frecv. relativă
cumulată
crescător
0%
4%
4%
12%
32%
60%
72%
88%
96%
100
%
Frecv. relativă
cumulată
descrescător
100
%
100
%
96%
96%
88%
68%
40%
28%
12%
4%
3. Poligonul frecvenţelor
4. Reprezentarea prin sectoare de cerc
5. Reprezentarea prin corpuri geometrice (piramide)
10.1.4. Mărimi numerice care caracterizează variabila
100
1
3
5
7
9
Nr. elevi
8
6
4
2
0
Nr. elevi
Nr. elevi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Nr. elevi
8
6
4
2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nr. elevi
Mediana Me este o valoare a variabilei (caracteristicii) cu proprietatea că numărul unităţilor statistice pentru care variabila ia valori mai mici decât Me este egal
cu numărul unităţilor statistice pentru care variabila ia valori mai mari. În exemplul
anterior este nota 6.
Modulul sau dominanta unei serii statistice este valoarea variabilei cu
frecvenţă maximă. Nota 6 are cea mai mare frecvenţă, deci acesta este modulul seriei
din exemplu.
Media aritmetică simplă a mai multor valori este suma lor împărţită la
numărul lor.
Media aritmetică ponderată. Dacă trebuie calculată o medie a notelor clasei,
se va face media ponderată a acestora, ţinând cont de frecvenţa apariţiei fiecărei note: 0 1 1 2 0 3 2 4 5 5 7 6 3 7 4 8 2 9 1 10
x 6,32 1 2 5 7 3 4 2 1
Dacă se noteză cu xi valorile variabilei şi cu ni frecvenţa apariţiei lor, atunci n x n x ... n x
1 1 2 2 p p x media ponderată se află astfel:
n n ... n 1 2 p
Abaterea liniară de la medie este media ponderată a abaterilor valorilor xi de
la media ponderată:
n x x n x x ... n x x 1 1 2 2 p p
e n n ... n
1 2 p
Pentru o mai bună apreciere a omogenităţii statistice se calculează dispersia şi
abaterea medie pătratică. 2
x 2 x 2 n x n x ... n x x Dispersia: s2
1 1 2 2 p p
n n ... n 1 2 p
Abaterea medie pătratică:
Coeficientul de variaţie: V
s 2 .
100 se exprimă procentual. Un ansamblu de x
valori este considerat omogen dacă coeficientul de variaţie este mai mic de 35%.
10.2. ELEMENTE DE PROBABILITĂŢI
10.2.1. Câmp de evenimente
Experienţă înseamnă producerea unui fenomen în condiţii ce permit urmărirea
rezultatelor sale şi care au un caracter întâmplător (aleator).
101
Rezultatele respective se numesc probe, fiecărei experienţe asociin-du-i-se mulţimea probelor sale.
De exemplu, aruncarea unui zar constituie experienţa, numărul de puncte de
pe suprafaţa superioară este proba, iar mulţimea probelor este {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Fiind dată o experienţă E şi M mulţimea probelor sale, se numeşte eveniment o
submulţime a mulţimii M. Se numeşte eveniment elementar o submulţime a lui M
care conţine numai un element. Un eveniment A este realizat când proba face parte
din din submulţimea A.
Exemplu: Fie E aruncarea zarului. Mulţimea probelor este: M = {1, 2, 3, 4, 5,
6}. Atunci A = {1, 2, 3}, apariţia unui număr impar este un eveniment. Evenimentul
{2} este un eveniment elementar.
Un eveniment realizat de oricare probă a experienţei se numeşte eveniment
sigur, iar un eveniment pe care nu îl realizează nici o probă este evenimentul
imposibil.
Fie E o experienţă şi evenimentele A şi B.
Atunci evenimentul A B se realizează dacă se realizează cel puţin unul din
evenimentele A, B. Evenimentul A B se realizează atunci când se realizează simultan A şi B. Evenimentul contrar lui A, Ā se realizează atunci când A nu se
realizează.
Definiţie: Fiind dată o mulţime finită M şi K mulţimea părţilor sale, se numeşte câmp
finit de evenimente cuplul (M, K).
10.2.2. Câmp finit de probabilitate
Definiţie: Fiind dat câmpul de evenimente (M, K), probabilitatea se defineşte ca o
funcţie P : K R, care satisface următoarele axiome:
1. Fiecărui eveniment A din M îi corespunde un număr real pozitiv notat P(A).
2. Dacă A şi B sunt incompatibile, adică A B = , atunci
P (A B) = P (A) + P (B).
3. Probabilitatea evenimentului sigur este egală cu 1: P (M) = 1.
Consecinţe:
a) P ( ) = 0.
b) Dacă A este o submulţime a lui M, atunci 0 P (A) 1.
c) Probabilitatea evenimentului contrar este P (Ā) = 1 - P (A).
Dacă A1, A2, ..., An sunt evenimente egal probabile (exemplu, la aruncarea
zarului, apariţia unei feţe) şi A1
atunci P(Ai) = 1/n şi dacă A = A1
A2
A2
... An,
Ak, atunci P (A) = k/n. ...
Exemple: 1. La aruncarea zarului apariţia unei feţe pare este reuniunea evenimentelor
elementare egal probabile {2}, {4} şi {6}. Rezultă că probabilitatea apariţiei unei feţe
pare este 3/6, adică 1/2.
2. O urnă conţine 3 bile albe şi 7 bile negre. Se extrage o bilă. Care este probabilitatea următoarelor evenimente:
A = bila este neagră;
102
B = bila este albă? Sunt 7 evenimente elementare care îl compun pe A din totalul de 10
evenimente elementare. Deci P (A) = 7/10.
Analog, P (B) = 3/10.
Definiţie: Dându-se câmpul finit de evenimente (M, K) pe care s-a definit
probabilitate P, atunci tripletul (M, K, P) se numeşte câmp finit de probabilitate.
o
103
10.3. FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. Se face un sondaj de opinie înainte de alegeri pe un număr de 1000 de subiecţi, în funcţie de preferinţele electorale pentru partidele A, B, C, D, E, F şi se obţin
următoarele frecvenţe absolute:
a) Să se calculeze frecvenţele relative.
b) Să se reprezinte grafic seria statistică.
2. Să se calculeze dispersia, abaterea medie pătratică şi coeficientul de corelaţie
pentru seria statistică de la 8.1.2..
3. Fie x un număr din mulţimea: M = {1, 2, ..., 10}. Să se scrie evenimen-tele: numărul este par;
B = numărul este divizibil prin 3;
C = numărul este multiplu de 4.
A =
4. Să se afle probabilitatea de a extrage un as dintr-un pachet de 32 cărţi de joc.
5. Care este probabilitatea ca la aruncarea unui zar să se obţină un număr mai mare
decât 4?
104
Partidul A B C D E F
Frecvenţa
absolută
238
153
335
34
211
29
10.4. RĂSPUNSURI - FIŞA DE AUTOEVALUARE
1.
2. Media ponderată s-a calculat şi a fost 6,32.
Dispersia s2 = 3,1736
Abaterea medie pătratică = 1,7815
Coeficientul de corelaţie: V = 28,19%.
3. A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {3, 6, 9}
C = {4, 8}.
4. Sunt 4 aşi, probabilitatea este P = 4/32 = 1/8.
5. Evenimentul A = {5, 6}. Atunci P (A) = 2/6 = 1/3.
10.5. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 10
1. Georgescu-Buzău, E.; Drăghicescu, I.; Matei, N.;
Probabilităţi, Editura Albatros, 1975
Mulţimi-Structuri algebrice -
2. Cîrjan, F.; Matematică pentru examenele de definitivat şi gradul II, Editura Paralela 45, 1998
3. Ghiciu, N.; Turcitu, G.; Elemente de statistică şi probabilităţi, Editura Radical,
1995
105
Cetăţeni
400
300
200
100
0
A B C D E F
Cetăţeni
Partidul A B C D E F
Frecvenţa
absolută
238
153
335
34
211
29
Frecvenţa
relativă
23,8%
15,3%
33,5%
3,4%
21,1%
2,9%
11. ELEMENTE DE GEOMETRIE
11.1. SISTEMUL AXIOMATIC AL LUI BIRKHOFF
11.1.1. Noţiuni primare
Prima prezentare axiomatică a geometriei a fost dată de Euclid, în cartea sa “Elementele”, care a servit ca model până la sfârşitul secolului XIX. Axiomatica lui
Euclid nu este perfectă şi de aceea în demonstraţii se face uz de intuiţie în mod tacit.
Primul sistem axiomatic complet al geometriei a fost dat de David Hilbert în
1899, în lucrarea sa “Grundlagen der Geometrie”. După Hilbert au mai apărut peste o
sută de axiomatizări ale geometriei. În continuare se va prezenta sistemul axiomatic al
lui George David Birkhoff, ales din considerente didactice.
Un sistem axiomatic cuprinde o mulţime de noţiuni şi relaţii primare sau
fundamentale, din care se deduc noţiunile şi relaţiile derivate. Sistemul mai cuprinde
un set de propoziţii adevărate, numite axiome, din care se deduc alte propoziţii
adevărate, numite teoreme.
Noţiunile primare în axiomatica lui Birkhoff sunt : punct, dreaptă, plan,
distanţă, măsură.
Punctele sunt elemente ale unei mulţimi S, care constituie spaţiul şi se notează
cu litere mari: A, B, C, ... .
Dreptele sunt mulţimi de puncte şi se notează cu litere mici : a, b, c, ... .
Mulţimea dreptelor D este o mulţime inclusă în mulţimea părţilor lui S : D P(S).
Planele sunt de asemenea mulţimi de puncte care se notează cu litere greceşti mici : α, β, γ, ... . Mulţimea planelor Π este o mulţime inclusă în mulţimea părţilor lui
S: Π P(S).
Distanţa este o funcţie d : S S R.
Se notează cu U mulţimea unghiurilor. Noţiunea de unghi nu este o noţiune
primară, se va defini pe baza altor noţiuni. Măsura este o funcţie m : U
În cadrul axiomaticii lui Birkhoff, geometria apare ca o structură :
(S, D, Π, d, m).
0,180 .
11.1.2. Axiome şi principalele lor consecinţe
Axiomele de apartenenţă
B1 : Prin două puncte diferite trece o dreaptă şi numai una.
A, B S , A B !a D : A a B a.
Dreapta determinată de A şi B se notează AB.
B A
B2 : Prin trei puncte necoliniare trece un plan unic.
106
A, B, C S , C AB ! : A, B, C .
Planul determinat de A, B şi C se notează (ABC).
C A
B α
B3 : Dacă două puncte distincte sunt într-un plan, dreapta care le conţine este inclusă
în acel plan.
A, B AB .
A d B
α
B4 : Dacă două
dreaptă.
plane distincte au intersecţie nevidă, atunci intersecţia lor este o
, , D.
d
α β
B5 : Orice dreaptă conţine cel puţin două puncte distincte. Orice plan conţine cel
puţin trei puncte necoliniare. S conţine cel puţin patru puncte necoplanare.
( a D, A, B a, A B) , A, B, C , C AB A, B, C, D S , D ABC .
Definiţie : Se numeşte sistem de coordonate pentru o dreaptă a, o funcţie bijectivă f : a R care satisface condiţia: |f(P) – f(Q)| = d(P,Q).
107
Axioma riglei
B6: Orice dreaptă a admite cel puţin un sistem de coordonate.
Teoremă: Fiind date punctele O şi A pe o dreaptă a există un sistem de coordonate f
astfel încât f(O) = 0 şi f(A) > 0.
O A
Definiţie: Punctul B este între punctele A şi C dacă punctele A, B, C sunt puncte
coliniare distincte două câte două şi d(A,B) + d(B,C) = d(A,C).
A B C
Teoremă: Dacă a este o dreaptă şi O un punct al ei, mulţimea a – {O} se descompune în mod unic în două clase disjuncte nevide, astfel încât punctele P, Q aparţin la clase
distincte dacă şi numai dacă O este între P şi Q. Cele două clase sunt semidreptele
deschise de origine O situate pe a.
P O Q
Demonstraţie: Fie f un sistem de coordonate pe aastfel încât f(O) = 0.
Mulţimile a1 X a | f X 0 şi a2 Y a | f Y 0 satisfac condiţiile din enunţ.
Teoremă: Orice segment nenul [AB] are un mijloc unic.
Axioma de separare a planului
B7: Pentru orice plan α şi orice dreaptă a inclusă în α, mulţimea α \ a se descompune în două submulţimi disjuncte, nevide, H, K, astfel încât punctele P, Q aparţin la
mulţimi H, K distincte dacă şi numai dacă există pe a un punct X situat între P şi Q.
Cele două submulţimi sunt semiplanele deschise determinate de a în planul α.
Definiţie: Se numeşte unghi o pereche de semidrepte cu aceeaşi origine.
Dacă cele două semidrepte coincid, unghiul se numeşte unghi nul. Dacă semidreptele sunt distincte, dar coliniare, unghiul se numeşte unghi alungit. În cazul
în care semidreptele sunt necoliniare, unghiul se numeşte unghi propriu.
108
A
O
B
Axioma de măsurare a unghiurilor
m AO B m AO B AO B B8: dacă şi numai dacă este unghi nul şi 0 180
AO B dacă şi numai dacă este unghi alungit.
Axioma de construcţie a unghiurilor proprii
B9: Oricare ar fi o dreaptă a, o semidreaptă închisă h inclusă în a, un semiplan H
delimitat de a şi un număr real u (0, 180) există exact o semidreaptă k în H a şi
m(h,k) = u.
Axioma de adunare a unghiurilor
AO C , B10: Dacă B este un punct interior unghiului atunci
m AO B m BO C m AO C .
B
A
O C
Axioma suplementului
B11: Dacă O este între A şi C, atunci pentru orice punct B nesituat pe dreapta AC are
loc relaţia: m AO B m BO C 180.
Definiţie: Două segmente [AB] şi [CD] sunt congruente dacă şi numai dacă
d(A,B) = d(C,D). Se notează: [AB] [CD].
AB C DE F sunt Două unghiuri şi congruente dacă şi numai dacă
m AB C m DE F AB C DE F
.
. Se notează
109
Definiţie: Se numeşte unghi drept un unghi congruent cu suplementul său. Un unghi se numeşte ascuţit dacă este mai mic decât un unghi drept. Un unghi se numeşte obtuz
dacă este mai mare decât un unghi drept.
unghi drept unghi ascuţit unghi obtuz
Definiţie: Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează formând patru
unghiuri drepte.
Axioma LUL
B12: Dacă (A, B, C) şi (D, E, F) sunt triplete de puncte necoliniare şi [AB] [DE], BA C DE F , AB C DE F , AC B DFE. [AC] [DF], atunci [BC] [EF],
A D
B F C E
Definiţie: Două drepte a şi b se numesc paralele dacă ele aparţin aceluiaşi plan şi nu
au nici un punct comun. Se notează: a b.
Teoremă: În planul determinat de o dreaptă a şi de un punct A care nu îi aparţine,
există o paralelă prin punctul A la dreapta a.
Demonstraţie: Fie α planul determinat de a şi A. În α, perpendiculara din A pe a taie pe a în punctul B. Perpendiculara b în A pe AB, aflată în planul α, este paralelă cu
dreapta a. Dreapta b se mai numeşte paralela canonică prin punctul A la dreapta a.
110
b A
B
Consecinţă: Există drepte paralele distincte.
Teorema anterioară asigură existenţa paralelei printr-un punct la o dreaptă.
Există două alternative: se poate impune existenţa unei singure paralele sau a mai multora. Ambele afirmaţii sunt independente de axiomele geometriei absolute (cele
enumerate mai sus) şi generează sisteme axiomatice diferite. Geometria euclidiană,
care se va trata în continuare, impune ca paralela să fie unică.
Axioma paralelelor
B13: Fiind date o dreaptă a şi un punct A care nu îi aparţine, în planul determinat de dreapta a şi punctul A, există cel mult o dreaptă b care conţine punctul A şi este
paralelă cu dreapta a.
11.2. SEGMENTE ŞI UNGHIURI. SIMETRIA
11.2.1. Mediatoarea segmentului
Definiţie: Se numeşte mediatoare a unui segment locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de capetele segmentului.
Teoremă: Mediatoarea unui segment trece prin mijlocul segmentului şi este
perpendiculară pe dreapta suport a segmentului.
A B
11.2.2. Bisectoarea unghiului
Definiţie: Se numeşte bisectoare a unui unghi locul geometric al punctelor din plan
egal depărtat de laturile unghiului.
111
M
a
Teoremă: Bisectoarea unghiului este semidreapta cu originea în vârful unghiului care
împarte unghiul în două unghiuri congruente.
A
C
B O
11.2.3. Simetria faţă de un punct
Definiţie: Fie punctul O, numit centru de simetrie. Simetricul punctului A în raport cu O este punctul B, astfel încât O este mijlocul segmentului [AB].
Figurile geometrice F şi F’ sunt simetrice faţă de punctul O dacă mulţimea punctelor
figurii F’ este mulţimea simetricelor punctelor figurii F în raport cu O.
C’ A
O B
B’
C A’
11.2.4. Simetria faţă de o dreaptă
Definiţie: Fie dreapta d, numită axă de simetrie. Simetricul punctului A în raport cu dreapta d este punctul B, astfel încât dreapta d este mediatoarea segmentului [AB].
Figurile geometrice F şi F’ sunt simetrice faţă de dreapta d dacă mulţimea punctelor
figurii F’ este mulţimea simetricelor punctelor figurii F în raport cu d.
A A’
B B’
112
C
C’
d
11.3. TRIUNGHIUL
Definiţie: Fie A, B, C trei puncte necoliniare. Triunghiul ABC este reuniunea
segmentelor [AB], [BC], [AC]. Segmentele [AB], [BC] şi [AC] se numesc laturi, iar BA C , AB C , AC B punctele A, B şi C se numesc vârfuri. Unghiurile
unghiurile triunghiului.
sunt
Clasificarea triunghiurilor
După laturi: Un triunghi se numeşte scalen sau oarecare dacă are laturile de lungimi diferite două
câte două;
Un triunghi se numeşte isoscel dacă are două laturi congruente;
Un triunghi se numeşte echilateral dacă are toate laturile congruente.
După unghiuri: Un triunghi se numeşte ascuţitunghic dacă are toate unghiurile ascuţite (mai mici
decât un unghi drept, adică măsurile lor sunt mai mici decât 90o);
Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are un unghi drept;
Un triunghi se numeşte obtuzunghic dacă are un unghi mai mare decât un unghi drept.
triunghi
ascuţitunghic
triunghi
dreptunghic
triunghi
obtuzunghic
11.3.1. Congruenţa triunghiurilor
Definiţie: Fie ABC şi DEF două triunghiuri. Dacă [AB] [DE], [BC] [EF] A D , B E , C F [CA] [FD] şi atunci triunghiurile sunt congruente.
Cazurile de congruenţă a triunghiurilor
Cazul LUL
Acest caz este dat de axioma B12:
Dacă ABC şi DEF sunt două triunghiuri astfel încât [AB] [DE], [CA] [FD] şi
A D atunci triunghiurile sunt congruente.
Cazul ULU
113
A D , B E Dacă ABC şi DEF sunt două triunghiuri astfel încât [AB] [DE] şi atunci triunghiurile sunt congruente.
Cazul LLL
Dacă ABC şi DEF sunt două triunghiuri astfel încât [AB] [DE], [BC] [EF]
[CA] [FD], atunci triunghiurile sunt congruente.
11.3.2. Linii importante în triunghi
Înălţimea
Definiţie: Se numeşte înălţime în triunghi perpendiculara dusă dintr-un vârf pe latura
opusă.
Teoremă: Cele trei înălţimi ale triunghiului
numeşte ortocentrul triunghiului.
sunt concurente. Punctul lor comun se
A A
F
B B C
D D C
Mediana
Definiţie: Se numeşte mediană în triunghi segmentul care uneşte un vârf cu mijlocul laturii opuse.
Teoremă: Medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se numeşte
centru de greutate. Centrul de greutate se găseşte pe fiecare mediană la 2/3 de vârf şi
1/3 de bază.
114
E
H
A A
N P
G
B B C
M M C
Bisectoarea
Definiţie: Se numeşte bisectoare în triunghi, bisectoarea unui unghi al său. Teoremă: Bisectoarele unui unghi sunt concurente. Punctul lor comun este
cercului înscris în triunghi.
centrul
A A
B’
C’
I
B B C
A’ A’ C
Mediatoarea
Definiţie: Se numeşte mediatoare în triunghi mediatoarea unei laturi a sa. Teoremă: Mediatoarele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun este centrul
cercului circumscris triunghiului.
115
A
N
C B
Linia mijlocie
Definiţie: Se numeşte linie mijlocie în triunghi segmentul care uneşte mijloacele a două laturi.
Teoremă: Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură, iar lungimea ei este jumătate
din lungimea laturii respective.
A
P N
B C
M
11.3.3. Asemănarea triunghiurilor
Teoremă (Thales): O paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte laturi
segmente proporţionale.
Definiţie: Triunghiurile ABC şi DEF se numesc triunghiuri asemenea dacă laturile lor sunt proporţionale şi unghiurile respectiv congruente, adică:
AB BC CA
DE
A
EF
D , B
FD
E , C F .
Se notează: ABC DEF.
Teorema fundamentală a asemănării: O paralelă la o latură a unui triunghi formează
cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat.
116
P
O
M
A
D
B C E F
Cazurile de asemănare
Fie triunghiurile ABC şi DEF.
A
A
AB
D
D
B
AB E , atunci ABC DEF. 1. Dacă
2. Dacă
şi
şi AC
, atunci ABC DEF. DF DE
AC BC 3. Dacă , atunci ABC DEF.
DE DF EF
11.3.4. Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic
Definiţie: Într-un triunghi dreptunghic, laturile alăturate unghiului
catete, iar latura opusă unghiului drept se numeşte ipotenuză.
drept se numesc
Observaţie: Catetele sunt în acelaţi timp şi înălţimi ale triunghiului pentru că sunt perpendiculare pe latura opusă. Când se vorbeşte despre înălţimea triunghiului
dreptunghic, se face referire la înlţimea corespunzătoare ipotenuzei.
m A 90 0 . [AB] şi [AC] sunt catetele, iar [BC] ipotenuza. Se notează Fie ABC cu
cu D piciorul înălţimii din A pe ipotenuza [BC]. Atunci [BD] este proiecţia catetei
[AB] pe ipotenuză, iar [DC] este proiecţia catetei [AC] pe ipotenuză.
A
B C
D
Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei: AB2 + AC2 = BC2
Teorema catetei: Într-un triunghi dreptunghic, cateta este medie proporţională între
ipotenuză şi proiecţia ei pe ipotenuză: AB2 = BC BD; AC2 = BC DC.
117
Teorema înălţimii: Într-un triunghi dreptunghic, înălţimea este medie proporţională
între proiecţiile catetelor pe ipotenuză: AD2 = BD DC.
11.3.5. Perimetrul şi aria unui triunghi
Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor: P = AB+ BC + AC. b i
Aria unui triunghi se află cu formula: A . 2
c1
c2 . Pentru triunghiul dreptunghic: A
2
11.4. PATRULATERE
11.4.1. Poligon
Definiţie: Se numeşte linie poligonală (linie frântă) o mulţime de forma:
L = [P1P2] [P2P3] ... [PnPn+1].
Punctele P1, P2, ..., Pn se numesc vârfurile liniei L, iar segmentele [P1P2], [P2P3], ..., [PnPn+1] se numesc laturile liniei L. Laturile [Pk-1Pk] şi [PkPk+1] se numesc vecine. Linia
poligonală L se numeşte închisă dacă P1 = Pn+1. O linie poligonală se numeşte simplu
închisă dacă oricare două laturi nevecine nu au punct comun şi două laturi vecine au
drepte suport diferite. O linie poligonală simplu închisă se numeşte poligon.
Un poligon cu 3 laturi este triunghi, un poligon cu 4 laturi este patrulater, cu 5 laturi
se cheamă pentagon, cu 6 laturi hexagon, etc..
P 2
P 3
P 1
P 4
P n
Poligonul P1P2...Pn se numeşte poligon convex dacă pentru fiecare latură [PkPk+1], toate vârfurile diferite de Pk şi Pk+1 se găsesc de aceeaşi parte a dreptei PkPk+1.
Interiorul unui poligon convex este intersecţia semiplanelor deschise limitate de
suporturile laturilor poligonului şi care conţin vârfurile nesituate pe laturile respective.
Reuniunea dintre un poligon convex P1P2...Pn şi interiorul său se numeşte suprafaţă
poligonală convexă şi se notează [P1P2...Pn].
11.4.2. Drepte paralele
Teoremă: Două drepte paralele tăiate de o secantă formează: 3 5 ; 4 6 ; - unghiuri alterne interne congruente:
118
unghiuri alterne externe congruente: 1 7 ;
5 ;
parte
2
2
a
8 ;
6 ;
-
-
-
1 3 7 ; 4 8 ; unghiuri corespondente congruente:
unghiuri interne de
m 3
de
m 2
aceeaşi
180 0
aceeaşi
secantei suplementare:
m 4 m 5 ; m 6 ;
parte
180 0
- unghiuri externe a secantei suplementare:
m 1 m 8 ; 180 0
m 7 . 180 0
1 2
4 3
5 6
8 7
11.4.3. Paralelogramul
Definiţie: Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele.
D C
O
A B
Proprietăţi:
1. Într-un paralelogram laturile opuse sunt congruente: [AB] [CD]; [BC] [AD]; A C ; B D ;
m B
2. Într-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente:
3. Într-un paralelogram unghiurile alăturate sunt suplementare: m A 180 0 ;
4. Într-un paralelogram diagonalele se înjumătăţesc: [AO] [OC]; [BO] [OD]; 5. Într-un paralelogram punctul de intersecţie a diagonalelor este centrul de simetrie al
paralelogramului.
Perimetrul paralelogramului: P = 2 (AB + BC).
Aria paralelogramului: A b i .
11.4.4. Dreptunghiul
119
Definiţie: Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept.
D C
A B
Consecinţa definiţiei: Dreptunghiul
90 0.
are toate unghiurile drepte:
m A m B m C m D
Proprietăţi:
1. Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente: [AC] [BD];
2. Mediatoarele laturilor dreptunghiului sunt axele de simetrie ale figurii.
Notaţie: L = lungimea; l = lăţimea.
Perimetrul dreptunghiului: P = 2 (L + l)
Aria dreptunghiului: A = L l.
11.4.5. Rombul
Definiţie: Rombul este paralelogramul cu două laturi alăturate congruente.
A
B D
C
Consecinţa definiţiei: Rombul are toate laturile congruente:
[AB] [BC] [CD] [DA].
Proprietăţi:
1. Diagonalele rombului sunt bisectoarele unghiurilor rombului:
2. Diagonalele rombului sunt perpendiculare: AC BD;
BA C CA D , etc.;
120
O
3. Diagonalele rombului sunt axele de simetrie ale figurii.
Notaţie: l = lungimea laturii rombului.
Perimetrul rombului: P = 4 l. d
1 d
2 . Aria rombului: A 2
11.4.6. Pătratul
Definiţie: Pătratul este paralelogramul cu un congruente.
Altfel spus, pătratul este şi dreptunghi şi romb.
unghi drept şi două laturi alăturate
D C
A B
Consecinţa definiţiei: Pătratul are toate unghiurile drepte şi toate laturile congruente.
Notaţie: l = lungimea laturii pătratului.
Perimetrul pătratului: P = 4 l.
Aria pătratului: A = l2.
11.4.7. Trapezul
Definiţie: Trapezul este patrulaterul cu două laturi paralele şi celelalte două neparalele. Laturile paralele se numesc baze, baza mare, notată cu B şi baza mică,
notată cu b.
b
a
B
Notăm lungimile laturilor neparalele cu a, respectiv c. Înălţimea trapezului este distanţa dintre laturile paralele, se notează cu i.
Perimetrul trapezului: P = B + b + a + c.
121
i
c
B b i Aria trapezului: A .
2
11.5. CERCUL
11.5.1. Definiţii
Definiţie: Cercul este locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de un punct
fix, numit centru. Distanţa de la centru la punctele cercului se numeşte rază.
R
O A
Segmentul care uneşte două puncte ale cercului se numeşte coardă. O coardă care trece prin centrul cercului se numeşte diametru.
Un unghi cu vârful în centrul cercului se numeşte unghi la centru. Un unghi cu vârful
pe cerc ale cărui laturi sunt coarde se numeşte unghi înscris în cerc.
11.5.2. Poziţiile unei drepte faţă de cerc
1. Dreaptă secantă este o dreaptă care taie cercul în două puncte. Distanţa de la
centrul cercului la această dreaptă este mai mică decât raza cercului.
2. Dreaptă tangentă la cerc este o dreaptă care atinge cercul într-un punct. Distanţa de la centrul cercului la această dreaptă este egală cu raza cercului. Raza cercului este
perpendiculară pe tangentă în punctul de tangenţă.
3. Dreaptă exterioară cercului este o dreaptă care nu are puncte comune cu cercul.
Distanţa de la centrul cercului la această dreaptă este mai mare decât raza cercului.
dreaptă secantă dreaptă tangentă dreaptă exterioară
122
11.5.3. Lungimea şi aria cercului
Se notează lungimea razei cercului cu R.
Lungimea cercului: L = 2 R.
Aria cercului: A = R2.
este un număr iraţional, = 3,141592653... .
11.6. CORPURI GEOMETRICE
11.6.1. Prisma
Definiţie: Fie S o suprafaţă poligonală inclusă într-un plan α, d o dreaptă care nu este paralelă cu planul α şi nici conţinută în acesta şi β un plan paralel cu planul α. Pentru
fiecare punct M S se consideră dreapta paralelă cu d care trece prin M şi care
intersectează planul β într-un punct N. Mulţimea formată din reuniunea tuturor
segmentelor [MN] se numeşte prismă.
Locul geometric al punctelor N β din definiţia precedentă este o suprafaţă poligonală S’ congruentă cu S. Suprafeţele poligonale S şi S’ se numesc bazele prismei.
Fie S = [A1A2...An] şi S’ = [B1B2...Bn].
Paralelogramele [AiAi+1Bi+1Bi] se numesc feţe laterale.
Segmentele [AiAi+1] sunt muchiile bazei, iar [AiBi] sunt muchiile laterale.
Punctele Ai, Bi se numesc vârfuri.
Distanţa dintre planele bazelor se numeşte înălţimea prismei.
În funcţie de poligonul de la bază, prismele pot fi: triunghiulare,
pentagonale, hexagonale, etc..
patrulatere,
Notaţie: Ab aria bazei, Al aria laterală, At aria totală, I înălţimea prismei. Aria bazei este aria suprafeţei poligonale de la baza prismei.
Aria laterală este suma ariilor feţelor laterale.
Aria totală: At = Al + 2 Ab.
Volumul prismei: V = Ab I.
123
B B 1 3
2
A A 1 3
A 2
Prismă triunghiulară oblică
Prisma dreaptă este prisma care are muchiile laterale perpendiculare pe planul bazei. Prisma cu poligonul bazei paralelegram se numeşte paralelipiped.
Paralelipipedul drept cu baza dreptunghi se numeşte paralelipiped dreptunghic.
Paralelipipedul dreptunghic are toate feţele dreptunghiuri.
Se notează lungimea, lăţimea şi înălţimea paralelipipedului dreptunghic cu a, b, c.
Aria totală a paralelipipedului dreptunghic: A = 2 (ab + bc + ac).
Volumul paralelipipedului dreptunghic: V = a b c.
Paralelipiped dreptunghic Cub
Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu toate feţele pătrate. Se notează lungimea muchiei cubului cu l.
Aria totală a cubului: A = 6 l 2.
Volumul cubului: V = l 3.
11.6.2. Piramida
Definiţie: Fie S = [A1A2...An] o suprafaţă poligonală într-un plan α şi un punct V α. Se numeşte piramidă de vârf V şi bază S reuniunea tuturor segmentelor [VA], unde
A S.
124
I
B
S se numeşte baza piramidei. Suprafeţele triunghiulare [VAiAi+1] se numesc feţe laterale. [VAi] se numesc muchii laterale, iar [AiAi+1] sunt muchiile bazei. Punctele V,
A1, ..., An se numesc vârfuri.
Perpendiculara dusă din vârful V pe planul bazei se numeşte înălţimea piramidei.
În funcţie de poligonul de la bază, piramidele
patrulatere, penatagonale, hexagonale, etc..
pot fi: triunghiulare (tetraedru),
V
I
A A 1 3
A 2
Notaţie: Ab aria bazei, Al aria laterală, At aria totală, I înălţimea piramidei. Aria bazei este aria suprafeţei poligonale de la baza piramidei.
Aria laterală este suma ariilor feţelor laterale.
Aria totală: At = Al + Ab.
A I b . Volumul piramidei: V
3
11.6.3. Cilindrul
Definiţie: Fie D un disc inclus într-un plan α, d o dreaptă care nu este paralelă cu planul α şi nici conţinută în acesta şi β un plan paralel cu planul α. Pentru fiecare
punct M D se consideră dreapta paralelă cu d care trece prin M şi care intersectează
planul β într-un punct N. Mulţimea formată din reuniunea tuturor segmentelor [MN]
se numeşte cilindru circular.
Locul geometric al punctelor N β din definiţia precedentă este un disc D’ congruent cu D.
Dacă dreapta d este perpendiculară pe α, atunci cilindrul se numeşte cilindru circular
drept. Segmentele [PP’], unde P este pe cercul bazei inferioare, iar P’ pe cercul bazei
superioare şi PP’ d, se numesc generatoare. Raza cercului bazei este raza
cilindrului. Distanţa dintre planele bazelor este înălţimea cilindrului. În cazul
cilindrului circular drept, înălţimea este egală cu generatoarea.
125
G
Notaţie: Ab aria bazei, Al aria laterală, At aria totală, H înălţimea cilindrului, G generatoarea, R raza.
Aria bazei este aria discului de la baza cilindrului: Ab = R2.
Aria laterală: Al = 2 RG.
Aria totală: At = Al + 2 Ab = 2 R(G + R).
Volumul cilindrului: V = Ab H = R2H.
11.6.4. Conul
Definiţie: Fie D un disc într-un plan α şi un punct V α. Se numeşte con circular de
vârf V şi bază D reuniunea tuturor segmentelor [VA], unde A D.
Segmentele [VP], unde P este pe cercul bazei inferioare, se numesc generatoare. Raza cercului bazei este raza conului. Perpendiculara din V pe planul bazei este înălţimea
conului.
Dacă înălţimea conului cade în centrul cercului bazei, conul se numeşte con circular
drept. Într-un con circular drept, generatoarele sunt congruente.
Într-un con circular drept facem următoarea notaţie: Ab aria bazei, Al aria laterală, At
aria totală, H înălţimea conului, G generatoarea, R raza.
H
126
G
R
H
R
Atunci G2 = R2 + H2.
Aria bazei este aria discului de la baza conului: Ab = R2.
Aria laterală: Al = RG.
Aria totală: At = Al + Ab = R(G + R).
R 2 H A H
b Volumul: V . 3 3
11.6.5. Sfera
Definiţie: Sfera este locul geometric al punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct
fix, numit centru. Distanţa de la centru la punctele sferei se numeşte raza sferei.
Corpul sferic este reuniunea dintre sferă şi interiorul acesteia.
R
Se notează cu R lungimea razei sferei.
R 2 .
4 R
Aria sferei: A 4
V 3
Volumul sferei: . 3
127
11.7. PROBLEME
1. Să se calculeze aria unui dreptunghi ştiind că are perimetrul de 42 m, iar lăţimea şi
lungimea sunt în raportul de 3/4. Ce lungime are diagonala dreptunghiului?
2. Determinaţi aria triunghiului echilateral de latură 6 cm.
3. Să se demonstreze că mijloacele laturilor unui romb sunt vârfurile unui dreptunghi,
iar mijloacele laturilor unui dreptunghi sunt vârfurile unui romb.
4. Să se determine raportul dintre aria unui cerc şi aria pătratului înscris în cercul
respectiv.
5. Să se demonstreze că miljoacele laturilor unui patrulater convex sunt vârfurile unui
paralelogram.
6. O piscină în formă de paralelipiped dreptunghic are lungimea de 18 m, lăţimea de 6 m şi adâncimea de 3 m. Câţi litri de apă sunt necesari pentru a umple piscina? Ce
suprafaţă de material impermeabil s-a folosit pentru a o căptuşi?
7. Un cilindru are raza bazei de 4 cm. Cilindrul este plin cu apă până la înălţimea de 12cm. Se introduce în cilindru o sferă cu raza de 3 cm. Cu câţi cm se ridică nivelul
apei din cilindru?
8. O piramidă metalică are baza un pătrat cu latura de 16 cm, iar înălţimea piramidei este 6 cm. Care este muchia cubului care se obţine din piramidă prin topire şi
remodelare?
9. Să se determine aria şi perimetrul unui triunghi dreptunghic care are proiecţiile
catetelor pe ipotenuză de 4 cm, respectiv 9 cm?
10. Care este înălţimea unui con a cărui suprafaţă laterală desfăşurată reprezintă un
sector de cerc de 216o şi raza de 10 dm?
11. Să se determine aria unui trapez isoscel care are baza mare de 30 cm, baza mică
de 20cm şi laturile neparalele de 13 cm.
128
11.8. FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. Care sunt noţiunile primare din sistemul axiomatic al lui Birkhoff?
2. Care dintre axiome este specifică geometriei euclidiene şi o diferenţiază pe aceasta
de alte geometrii?
3. Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci ele au ................... comună.
3. Ce este o linie poligonală? Dar un poligon? Ce este o suprafaţă poligonală?
4. Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersecţie a .................. .
5. În triunghiul ........................... mediana corespunzătoare bazei este şi înălţime şi
bisectoare şi mediatoare.
6. Într-un paralelogram ........................... opuse şi ......................... opuse sunt
congruente.
7. Paralelogramul are ......................... de simetrie.
8. Dreptunghiul are diagonalele ......................... .
9. Axele de simetrie ale rombului sunt ............................. sale.
10. Cercul este locul geometric al punctelor din
plan ........................................................ .
11. Într-un trapez, unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt .............................. .
12. Paralelipipedul este o ...................... cu baza ........................... .
13. Paralelipipedul dreptunghic este o prismă ...................... cu baza .......................... .
14. Cubul are ........... feţe în formă de .............. .
15. Sfera este locul geometric al punctelor din spaţiu ............................................ .
16. Rombul are toate laturile ........................... .
17. Dacă într-un patrulater convex diagonalele se taie în părţi egale, atunci el
este ....................... .
129
11.9. RĂSPUNSURI – FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. Punct, dreaptă, plan, distanţă, măsură.
2. Axioma paralelelor:
B13: Fiind date o dreaptă a şi un punct A care nu îi aparţine, în planul determinat de dreapta a şi punctul A, există cel mult o dreaptă b care conţine punctul A şi este
paralelă cu dreapta a.
3. o dreaptă
4. medianelor
5. isoscel
6. laturile şi unghiurile
7. centru
8. congruente
9. diagonalele
10. egal depărtate de un punct fix numit centru
11. suplementare
12. prismă ... paralelogram
13. dreaptă ... dreptunghi
14. şase ... pătrat
15. egal depărtate de un punct fix numit centru
16. congruente
17. paralelogram.
130
11.10. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 11
1. Miron, R.; Brânzei D.; Fundamentele aritmeticii şi geometriei, Editura Academiei, Bucureşti, 1983
2. Brânzei, D.; Onofraş E.; Aniţa S.; Isvoranu Gh.; Bazele raţionamentului geometric,
Editura Academiei, Bucureşti, 1983
3. Brânzei, D.; Aniţa S.; Cocea C.; Planul şi spaţiul euclidian, Editura Academiei,
Bucureşti, 1986
4. Vodă V.; Triunghiul – ringul cu trei colţuri, Editura Albatros, Bucureşti, 1979
131
12. MĂRIMI; MĂSURARE; UNITĂŢI DE MĂSURĂ
12.1. MĂRIMI FUNDAMENTALE ŞI MĂRIMI DERIVATE
Oamenii au creat şi utilizat unităţi de măsură, implicit mijloace de măsură încă din cele mai vechi timpuri. Progresul în ştiinţă şi tehnică, precum şi cunoaşterea,
stăpânirea şi transformarea mediului sunt de neconceput fără măsurări, fără mijloace
de măsură şi unităţi de măsură. Operaţia de măsurare constituie un atribut esenţial al
civilizaţiei. A măsura o mărime oarecare înseamnă a compara această mărime cu o
alta, luată ca unitate de măsură.
Condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească unităţile de măsură sunt
următoarele :
1. Unităţile trebuie să fie definite foarte precis. Unităţi care se foloseau înainte de
introducerea sistemului metric, de exemplu : palma, cotul pentru lungimi, ocaua
pentru masă, etc. nu îndeplineau această condiţie. definirea lor se face în legătură cu
fenomene fizice, în care intervine o mărime riguros constatată.
2. Sistemele de unităţi trebuie să fie aceleaşi pe tot globul pentru a uşura relaţiile
comerciale şi informaţiile de ordin ştiinţific.
3. Unităţile trebuie să fie cât mai utile şi uşor de mânuit – în problemele vieţii sau în
calcule – în legătură cu mărimile care se măsoară. De aceea, pe lângă unitatea
principală se adoptă şi unităţi mai mari şi mai mici decât ea, definite tot în legătură cu
unitatea principală. De exemplu, cu metrul se măsoară lungimea camerei, a unei stofe,
etc. ; drumurile sau căile ferate se măsoară cu kilometrul, lungimile mici se măsoară
cu centimetrul sau milimetrul, etc..
4. Pe cât posibil, unităţile de măsură trebuie legate de sistemul de numeraţie cu baza
10 pentru a se uşura calculele.
Mărimile fizice sunt de două categorii : mărimi fundamentale şi mărimi
derivate. Sistemul Internaţional de unităţi este un sistem coerent, simplu şi raţional
structurat, cu aplicabilitate în toate domeniile practicii, ştiinţei şi tehnicii. În Sistemul
Internaţional se consideră fundamentale şapte mărimi fizice :
- -
-
-
-
în mecanică : lungimea, masa, timpul ; în termodinamică : temperatura ;
în electricitate : intensitatea curentului electric ;
în optică : intensitatea luminoasă ;
în chimie : cantitatea de substanţe.
Celelalte mărimi se definesc cu ajutorul relaţiilor, pe baza mărimilor
fundamentale. Acestea se numesc mărimi derivate. De exemplu: aria, volumul, densitatea, viteza, acceleraţia, presiunea, etc..
Corespunzător mărimilor fundamentale se definesc unităţile fundamentale,
care sunt : pentru lungime metrul (m), pentru masă kilogramul (kg), pentru timp
secunda (s), pentru temperatură kelvinul (K), pentru intensitatea curentului electric
amperul (A), pentru intensitatea luminoasă candela (cd), pentru cantitatea de substanţe
molul (mol).
Pentru acestea se construiesc etaloane prototip. Prin comparaţie cu etaloanele
prototip se fac copii identice de primul, al doilea şi al treilea ordin. Acestea din urmă
se păstrează la institutele metrologice şi de cercetări. Numai copiile efectuate după
etaloanele de al treilea ordin se folosesc în practica zilnică în comerţ, ateliere, unităţi
132
de producţie, şantiere, etc.. Acestea se numesc măsuri şi cu ele se lucrează în mod
obişnuit.
12.2. LUNGIMEA. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIME
Unitatea de măsură pentru lungime este metrul (prescurtat m). Această unitate a fost fixată întâi în Franţa, în aprilie 1795. Pentru a se avea un model fix, precis
definit al metrului, s-a construit un metru din platină care se păstrează la Paris în
condiţii care să asigure o lungime absolut constantă (temperatură constantă pentru a
evita dilatarea, un material dur şi rezistent). Acest metru se numeşte metrul etalon.
Copii după metrul etalon (bare care respectă aceleaşi condiţii de exactitate cu lungimi
egale cu ale metrului etalon) au construit şi celelalte ţări. Diversele instrumente de
măsurat lungimi (metrul de lemn, ruletele din metal, etc.) se construiesc după aceste
modele exacte sub supravegherea unui serviciu special al fiecărui stat, serviciul de
măsuri, care are în grijă construirea sau verificarea instrumentelor de măsură.
Lungimea metrului s-a fixat la început (în 1795) în legătură cu lungimea
meridianului pământesc, la măsurarea căruia au luat parte cei mai pricepuţi oameni de
ştiinţă din acel timp (Laplace, Lagrange, D’Allembert). S-a luat un metru ca a zecea
milioana parte din sfertul unui cerc meridian. Ulterior s-a constatat că, dintr-o eroare
legată de calculul turtirii Pământului, distanţa etalon era cu 0,2 mm mai mică decât
definiţia originală; s-a stabilit însă ca etalonul să rămână definiţia unităţii de măsură.
În 1960, definiţia metrului a fost înlocuită cu lungimea egală cu 1 650 763,73
lungimi de undă în vid ale radiaţiei care corespunde tranziţiei între nivelele 2p10 şi
5d5 ale atomului de kripton 86.
În 1983, această definiţia a fost înlocuită cu definiţia curentă, distanţa
parcursă de lumină în vid în 1/299 792 458 dintr-o secundă. Viteza luminii în vid este
fixată prin definiţie la valoarea de 299 792 458 m/s.
Submultiplii şi multiplii metrului sunt daţi în tabelul următor:
133
Submultipli
Multipli
Factor
Nume
Simbol
Factor
Nume
Simbol
10−1
decimetru
dm
101
decametru
dam
10−2
centimetru
cm
102
hectometru
hm
10−3
milimetru
mm
103
kilometru
km
Pentru măsurarea lungimilor se folosesc diverse instrumente de măsură, în funcţie de specificul activităţii şi de necesitatea preciziei: metrul liniar, rigla gradată,
metrul tâmplarului, metrul de croitorie, ruleta, kilometrajul cu care sunt dotate
maşinile, şublerul, laser-metrul, etc..
12.3. MASA. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Kilogramul (prescurtat kg) este unitatea de măsură pentru masă, în Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură (SI).
Este singura unitate fundamentală formată cu ajutorul unui prefix. Astfel, deşi
conform prefixului kilo un kilogram este 1 000 grame, nu gramul este considerat
unitatea fundamentală, ci kilogramul.
Kilogramul a fost creat ca fiind masa unui decimetru cub (1 dm³) de apă la
temperatura de 4°C şi presiune atmosferică normală. Deoarece definiţia presiunii face
apel la unitatea de măsură pentru masă, kilogramul nu poate fi definit formal astfel.
Ca urmare, kilogramul este masa etalonului păstrat la Biroul de Măsuri şi Unităţi din
Paris.
Nu este corectă utilizarea kilogramului ca unitate de măsură pentru greutate
sau pentru forţe în general. Greutăţile şi, în general, forţele, se măsoară în newtoni.
Pentru măsurarea forţelor se foloseşte uneori o unitate numită kilogram-forţă, notată
kgf, egală cu greutatea unui corp cu masa de 1kg la suprafaţa Pământului. 1kgf ≈
9.8N.
Submultiplii kilogramului sunt următorii, iar 1 kg este echivalent cu:
134
10−6
micrometru (micron)
µm
106
megametru
Mm
10−9
nanometru
nm
109
gigametru
Gm
10−12
picometru
pm
1012
terametru
Tm
10−15
femtometru (fermi)
fm
1015
petametru
Pm
10−18
attometru
am
1018
exametru
Em
10−21
zeptometru
zm
1021
zettametru
Zm
10−24
yoctometru
ym
1024
yottametru
Ym
10 hectograme (hg) 100 decagrame (dag)
1 000 grame (g)
10 000 decigrame (dg)
100 000 centigrame (cg)
1 000 000 miligrame (mg)
Multiplii kilogramului sunt:
1 chintal (q) = 100 kg
1 tonă (t) = 1 000 kg
1 vagon (w) = 10 000 kg
Pentru măsurarea masei se folosesc diverse cântare şi balanţa.
12.4. TIMPUL. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
Oamenii au folosit la început ca unitate de măsură pentru timp ziua solară, adică intervalul de timp care trece din momentul când Soarele trece la meridianul
locului (când are înălţimea maximă deasupra orizontului) până a doua zi când trece
din nou la meridianul locului. Această unitate îndeplinea condiţia de a fi legată de
problemele vieţii. Dar acest interval de timp nu este absolut constant în timpul unui
an, din cauză că mişcarea Pământului în jurul Soarelui nu este uniformă în timp de un
an.
Ziua siderală. Intervalul de timp scurs între două treceri consecutive ale unei
stele fixe la meridianul locului se numeşte zi siderală şi este riguros constantă (egală
cu timpul unei rotaţii complete a Pământului în jurul axei polilor). Această unitate este
folosită în astronomie. Nu este folosită în practică deoarece nu este conformă cu
necesităţile vieţii. Între ziua solară şi cea siderală este o diferenţă de aproximativ 4
minute. Această diferenţă se acumulează cu trecerea mai multor zile şi se ajunge la
situaţia ca într-o zi Soarele să treacă la meridian (să fie miezul zilei) la ora siderală 12,
pentru ca, după 6 luni, tot la ora siderală 12 Soarele să fie la meridian în partea
cealaltă, adică să fie miezul nopţii.
Ziua solară mijlocie. Pentru a se găsi o zi – ca durată de timp – care să fie şi
riguros constantă şi legată de ziua solară obişnuită, în astronomie se introduce
noţiunea de zi solară mijlocie. Durata ei absolut exactă se fixează cu ajutorul
observaţiilor şi calculelor astronomice.
Subdiviziuni ale zilei solare mijlocii. O zi solară mijlocie se împarte în 24 de
ore, ora în 60 de minute, iar minutul în 60 de secunde.
Secunda, având simbolul „s”, este unitatea de măsură pentru timp, fiind în
Sistemul Internaţional una dintre cele şapte unităţi fundamentale. Este definită ca
durata a 9 192 631 770 de perioade ale radiaţiei ce corespunde tranziţiei dintre cele
două niveluri hiperfine ale stării fundamentale ale atomului de cesiu 133 în repaus la
temperatura de 0 K.
Denumirile iniţiale pentru subdiviziunile orei erau în latina medievală "pars
minuta prima" şi "pars minuta secunda" (adică parte mică de primul rang şi respectiv
parte mică de rangul al doilea). Prin simplificarea acestor expresii s-a ajuns la minutul
şi respectiv secunda de astăzi.
Numărul 60 folosit în divizarea orei şi a minutului este probabil moştenit de la
sistemul de numeraţie în baza 60 folosit de babilonieni. Se bănuieşte că ziua a fost
împărţită pentru prima dată în 24 de părţi de către vechii egipteni.
Secunda a fost, ca urmare, definită ca 1/86400 din zi (ziua solară medie).
Datorită neuniformităţii mişcării de rotaţie a Pământului, odată cu creşterea preciziei
135
ceasurilor, a devenit necesară modificarea definiţiei secundei. În 1960, secunda a fost redefinită ca fracţiunea 1/31 556 925,9747 a anului tropic la 1900/01/0 la ora 12
timpul efemeridelor. În 1967, în urma progresului efectuat în realizarea ceasurilor
atomice, secunda a fost din nou redefinită ca durata a 9 192 631 770 de perioade ale
radiaţiei ce corespunde tranziţiei dintre cele două niveluri hiperfine ale stării
fundamentale ale atomului de cesiu 133. În 1997 a fost adăugată precizarea
temperaturii considerate: 0 K.
Unităţi de timp mai mari decât o zi. Intervalul de timp în care Pământul face o
rotaţie completă în jurul Soarelui se numeşte an astronomic. Este un interval constant,
însă nu este egal cu un număr întreg de zile. Anul astronomic are 365,2422 zile solare
mijlocii. Anul calendaristic însă trebuie să aibă un număr întreg de zile. Problema de a
alcătui un calendar cât mai just, în care anul să aibă un număr întreg de zile, fără să se
depărteze prea mult de anul astronomic este una dintre problemele ştiinţifice cele mai
vechi, este o problemă care a dat un impuls important cercetărilor astronomice şi
cercetărilor matematice legate de astronomie.
Prima soluţie este următoarea. Deoarece anul real are 365 zile şi aproape 1/4,
anul calendaristic are 365 zile, iar din 4 în 4 ani, va avea 366 zile. Astfel, anii al căror
număr este divizibil cu 4 (2004, 2008) au câte 366 de zile; ei se numesc ani bisecţi.
Această soluţie ar fi perfectă dacă anul astronomic ar avea exact 365,25 zile.
Procedând ca mai sus, se adaugă prea mult (o zi la 4 ani); trebuie scăzute 3 zile la 400
de ani. Pentru a realiza această scădere, se convine ca anii care au ca număr un
multiplu de 100, iar numărul sutelor nu este multiplu de 4 să nu fie bisecţi, să aibă tot
365 de zile. De exemplu, anii 2100, 2200, 2300 sunt divizibili cu 4, dar nu vor fi
bisecţi. Anul 2400 este bisect pentru că numărul sutelor este divizibil cu 4.
Fusuri orare. Având în vedere că momentul în care Soarele este la meridianul
locului pentru diferite localităţi de pe glob, momentul de la care se începe numărarea
orelor diferă în funcţie de poziţia acestora. Pământul face o rotaţie de 360o în 24 de
ore, aşadar într-o oră parcurge 15o. Două localităţi ale căror longitudini diferă prin
15o, au ora reală diferită prin o oră. În schimb, în cadrul aceluiaşi stat, ora trebuie să
fie aceeaşi. Pe continentul european, statele sunt împărţite în funcţie de poziţia
geografică în trei categorii: ora Europei de vest, ora Europei centrale şi ora Europei de
est, categorie din care face parte şi România. De exemplu, Anglia este în urma
României cu 2 ore, Germania cu o oră, iar Rusia are avans de o oră. În plus, o
convenţie internaţională impune adoptarea orei de vară care este cu o oră în avans faţă
de ora de iarnă, având în vedere utilizarea economică a resuselor energetice.
Ca instrumente de măsură pentru timp se utilizează ceasul, cronometrul,
clepsidra, calendarul. Pentru stabilirea orei exacte există ceasurile atomice, deosebit
de precise la ora actuală.
12.5. ARIA. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU ARIE
Aria este o mărime derivată. Unitatea de măsură pentru arie este aria unui pătrat cu latura de 1 m, arie numită metru pătrat (m2).
Submultiplii metrului pătrat sunt: decimetrul pătrat: 1 m2 = 100 dm2
centimetrul pătrat: 1 m2 = 10 000 cm2
milimetrul pătrat: 1 m2 = 1 000 000 mm2
Multiplii metrului pătrat sunt:
decametrul pătrat: 1 dam2 = 1 a (ar) = 100 m2
hectometrul pătrat: 1 hm2 = 1 ha (hectar) = 10 000 m2
- -
-
-
-
136
kilometrul pătrat: 1 km2 = 1 000 000 m2 -
Aria nu se măsoară direct, se calculează, utilizând diverse formule, în funcţie de
forma suprafeţei.
12.6. VOLUMUL. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU VOLUM
Volumul este o mărime derivată. Unitatea sa de măsură în Sistemul Internaţional este metrul cub (m3).
Submultiplii metrului cub sunt: decimetrul cub: 1 m3 = 1 000 dm3
centimetrul cub: 1 m3 = 1 000 000 cm3
milimetrul cub: 1 m3 = 1 000 000 000 mm3
Multiplii metrului cub sunt: decametrul
cub: 1 dam3 = 1 000 m3 hectometrul cub: 1
hm3 = 1 000 000 m3 kilometrul cub: 1 km3
= 1 000 000 000 m3
Volumul se calculează, utilizând diverse formule în funcţie de forma corpului.
O mărime nestandard prin care se specifică în general volumul vaselor este
- -
-
- -
-
capacitatea. Unitatea de măsură pentru capacitate este litrul (prescurtat l),
folosită foarte mult în practică. Relaţia dintre această unitate de măsură şi unitatea standard pentru volum este:
1 l = 1 dm3.
Multiplii şi submultiplii litrului cresc şi descresc din 10 în 10.
Submultiplii litrului:
- -
-
decilitrul: 1 l = 10 dl; centilitrul: 1 l = 100 cl;
mililitrul: 1 l = 1 000 ml.
Multiplii litrului:
decalitrul: 1 dal = 10 l;
hectolitrul: 1 hl = 100 l;
kilolitrul: 1 kl = 1 000 l.
Capacitatea vaselor se măsoară utilizând vase gradate.
- -
-
12.7. VITEZA. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU VITEZĂ
Viteza este o mărime derivată care depinde de distanţa parcursă şi timpul necesar parcurgerii acesteia. Astfel se poate calcula o viteză medie, care rezultă din
formula: d
v t
În consecinţă, unitatea de măsură standard pentru măsurarea vitezei este metrul pe secundă (m/s). În practică se utilizează kilometrul pe oră (km/h). Relaţiile
dintre acestea sunt:
1 m/s = 0,001 km/s = 3,6 km/h
1 km/h = 1000 m/h = 1000 / 3600 m/s = 0,2(7) m/s.
12.8. PROBLEME
137
1. Să se transforme în cm următoarele măsuri: 5 m 6 dm 3 cm; 1 dam; 3hm 8 dam 5
dm; 8 km 2 dam 7 dm.
2. Să se transforme în unităţi de volum: 3 l; 1 dal; 1 hl; 1 kl; 2 450 l; 3 cl; 7 ml.
3. Ce distanţă este de la podul situat pe şosea la kilometrul 14 + 8 hm până la cantonul
de la kilometrul 22 + 3hm?
4. Din 14 m de stofă se fac 5 costume. Câtă stofă intră la un costum?
5. Pentru construcţia unui gard lung de 23m 70 cm se bat stâlpi la distanţa de 2m 50cm unul de altul. Poarta se aşează ântre doi stâlpi care sunt unul la 5 m şi altul la
6m 20 cm de la capătul gardului. Câţi stâlpi trebuie?
6. Dintr-o tablă dreptunghiulară cu dimensiunile de 15 cm, respectiv 10 cm se taie din fiecare colţ câte un pătrat cu latura de 1 cm. Marginile rămase se îndoaie în sus şi se
construieşte o cutie. Să se afle volumul acestei cutii.
7. Un rezervor în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 4 m 30 cm, 3m, 2 m 50 cm este plin cu apă. Se scoate apa cu o găleată având capacitatea de 13 l
5dl. Câte găleţi pline se vor scoate?
8. Patru lădiţe cu roşii au cântărit 132 kg. O lădiţă goală cântăreşte 1 kg 500 g. Din 4kg 200 g de roşii rezultă 1 kg bulion. Câte kilograme de bulion s-au făcut cu roşiile
din cele 4 lădiţe?
9. S-au cumpărat 2700 kg lemne de foc. Dacă se aşează lemnele în stivă, într-un metru cub încap 450 kg lemne. Încap lemnele cumpărate într-o magazie cu dimensiunile
1,5m, 2m, 2m 5dm?
10. Un ceas merge înainte cu 14 minute 45 secunde şi arată ora 3, 7 minute şi 10
secunde. Ce oră este în realitate?
11. Arhimede a murit în anul 212 înainte de Christos. Câte secole şi câţi ani au trecut
de la data morţii lui Arhimede până în ziua de azi?
12. Acceleratul parcurge distanţa Bucureşti – Ploieşti de 60 km într-o oră. Într-o zi a fost oprit timp de 5 minute la jumătatea drumului. Cu ce viteză trebuie să îşi continue
drumul pentru a ajunge la ora stabilită în program la Ploieşti?
13. Viteza luminii este de 300 000 km/s. Lumina ajunge de la Soare la Pământ în 8 minute şi 19 secunde. Să se afle distanţa de la Soare la Pământ; să se rotunjească la
milioane de kilometri.
12.9. FIŞA DE AUTOEVALUARE
138
1. Care dintre următoarele mărimi sunt mărimi fizice fundamentale: viteza, masa,
lungimea, densitatea, volumul, intensitatea luminoasă?
2. Kilogramul este unitatea de măsură în Sistemul Internaţional pentru .................. .
3. Câţi metri reprezintă 2 cm 8 mm?
4. Să se transforme în dm3: 2 kl 3 hl 45 dal 4 l.
5. Care dintre următorii ani reprezintă ani bisecţi: 1980, 1900, 1996, 2100, 2000,
2400, 2404, 2100?
6. Ordonaţi crescător următoarele viteze: 2 m/s, 8 km/h, 121 m/min.
7. Câte zile sunt din 12 ianuarie ora 12 până în 8 martie ora 12, anul 2008?
8. Câte minute sunt de luni, ora 14 până joi, ora 12 şi 35 minute, aceeaşi săptămână?
12.10. RĂSPUNSURI – FIŞA DE AUTOEVALUARE
1. masa, lungimea, intensitatea luminoasă.
2. masă
3. 0,028 m.
4. 2754 l = 2754 dm3.
5. 1980, 1996, 2000, 2400, 2404.
6. 2 m/s = 7,2 km/h, 121 m/min = 7,26 km/h, 8km/h.
7. 56 zile
8. 4235 minute.
12.11. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 12
1. Rusu, E., Aritmetica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1967 2. Neacşu, I., Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1988.
139