Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...
Transcript of Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...
![Page 1: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/1.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη
Πιθανότητες και Στατιστική
Διάλεξη 11
Πολυδιάστατες διακριτές
τυχαίες μεταβλητές
Αντώνης Οικονόμου
Τμήμα Μαθηματικών
Πανεπιστήμιο Αθηνών
12 Νοεμβρίου 2014
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 2: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/2.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Ορισμός διδιάστατης τυχαίας μεταβλητής
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = 2 αριθμητικά
χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = συνάρτηση
(X, Y ) : Ω→ R2.
P (X = x, Y = y): Από κοινού συνάρτηση πιθανότηταςτων X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Από κοινού συνάρτηση κατανομήςτων X, Y .
(X, Y ) διακριτή ⇔ Παίρνει αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): από κοινού σμπ.χαρακτηρίζει την (X, Y ).
Για την ώρα περιοριζόμαστε σε διδιάστ. διακριτές τ.μ.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 3: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/3.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Ορισμός διδιάστατης τυχαίας μεταβλητής
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = 2 αριθμητικά
χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = συνάρτηση
(X, Y ) : Ω→ R2.
P (X = x, Y = y): Από κοινού συνάρτηση πιθανότηταςτων X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Από κοινού συνάρτηση κατανομήςτων X, Y .
(X, Y ) διακριτή ⇔ Παίρνει αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): από κοινού σμπ.χαρακτηρίζει την (X, Y ).
Για την ώρα περιοριζόμαστε σε διδιάστ. διακριτές τ.μ.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 4: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/4.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Ορισμός διδιάστατης τυχαίας μεταβλητής
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = 2 αριθμητικά
χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = συνάρτηση
(X, Y ) : Ω→ R2.
P (X = x, Y = y): Από κοινού συνάρτηση πιθανότηταςτων X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Από κοινού συνάρτηση κατανομήςτων X, Y .
(X, Y ) διακριτή ⇔ Παίρνει αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): από κοινού σμπ.χαρακτηρίζει την (X, Y ).
Για την ώρα περιοριζόμαστε σε διδιάστ. διακριτές τ.μ.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 5: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/5.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Ορισμός διδιάστατης τυχαίας μεταβλητής
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = 2 αριθμητικά
χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = συνάρτηση
(X, Y ) : Ω→ R2.
P (X = x, Y = y): Από κοινού συνάρτηση πιθανότηταςτων X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Από κοινού συνάρτηση κατανομήςτων X, Y .
(X, Y ) διακριτή ⇔ Παίρνει αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): από κοινού σμπ.χαρακτηρίζει την (X, Y ).
Για την ώρα περιοριζόμαστε σε διδιάστ. διακριτές τ.μ.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 6: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/6.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Ορισμός διδιάστατης τυχαίας μεταβλητής
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = 2 αριθμητικά
χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = συνάρτηση
(X, Y ) : Ω→ R2.
P (X = x, Y = y): Από κοινού συνάρτηση πιθανότηταςτων X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Από κοινού συνάρτηση κατανομήςτων X, Y .
(X, Y ) διακριτή ⇔ Παίρνει αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): από κοινού σμπ.χαρακτηρίζει την (X, Y ).
Για την ώρα περιοριζόμαστε σε διδιάστ. διακριτές τ.μ.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 7: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/7.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Ορισμός διδιάστατης τυχαίας μεταβλητής
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = 2 αριθμητικά
χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = συνάρτηση
(X, Y ) : Ω→ R2.
P (X = x, Y = y): Από κοινού συνάρτηση πιθανότηταςτων X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Από κοινού συνάρτηση κατανομήςτων X, Y .
(X, Y ) διακριτή ⇔ Παίρνει αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): από κοινού σμπ.χαρακτηρίζει την (X, Y ).
Για την ώρα περιοριζόμαστε σε διδιάστ. διακριτές τ.μ.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 8: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/8.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Ορισμός διδιάστατης τυχαίας μεταβλητής
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = 2 αριθμητικά
χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = συνάρτηση
(X, Y ) : Ω→ R2.
P (X = x, Y = y): Από κοινού συνάρτηση πιθανότηταςτων X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Από κοινού συνάρτηση κατανομήςτων X, Y .
(X, Y ) διακριτή ⇔ Παίρνει αριθμήσιμο πλήθος τιμών.
pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): από κοινού σμπ.χαρακτηρίζει την (X, Y ).
Για την ώρα περιοριζόμαστε σε διδιάστ. διακριτές τ.μ.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 9: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/9.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Ορισμός διδιάστατης τυχαίας μεταβλητής
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = 2 αριθμητικά
χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = συνάρτηση
(X, Y ) : Ω→ R2.
P (X = x, Y = y): Από κοινού συνάρτηση πιθανότηταςτων X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Από κοινού συνάρτηση κατανομήςτων X, Y .
(X, Y ) διακριτή ⇔ Παίρνει αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): από κοινού σμπ.χαρακτηρίζει την (X, Y ).
Για την ώρα περιοριζόμαστε σε διδιάστ. διακριτές τ.μ.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 10: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/10.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Ορισμός διδιάστατης τυχαίας μεταβλητής
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = 2 αριθμητικά
χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.
διδιάστατη τυχαία μεταβλητή = συνάρτηση
(X, Y ) : Ω→ R2.
P (X = x, Y = y): Από κοινού συνάρτηση πιθανότηταςτων X, Y .
P (X ≤ x, Y ≤ y): Από κοινού συνάρτηση κατανομήςτων X, Y .
(X, Y ) διακριτή ⇔ Παίρνει αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y): από κοινού σμπ.χαρακτηρίζει την (X, Y ).
Για την ώρα περιοριζόμαστε σε διδιάστ. διακριτές τ.μ.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 11: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/11.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Υπολογισμοί πιθαν., περιθώριες
Υπολογισμός πιθανοτήτων:
P ((X, Y ) ∈ A) =∑
(x,y)∈A
pX,Y (x, y).
Περιθώριες σμπ:
pX(x) = P (X = x) =∑y
pX,Y (x, y).
pY (y) = P (Y = y) =∑x
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 12: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/12.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Υπολογισμοί πιθαν., περιθώριες
Υπολογισμός πιθανοτήτων:
P ((X, Y ) ∈ A) =∑
(x,y)∈A
pX,Y (x, y).
Περιθώριες σμπ:
pX(x) = P (X = x) =∑y
pX,Y (x, y).
pY (y) = P (Y = y) =∑x
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 13: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/13.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Υπολογισμοί πιθαν., περιθώριες
Υπολογισμός πιθανοτήτων:
P ((X, Y ) ∈ A) =∑
(x,y)∈A
pX,Y (x, y).
Περιθώριες σμπ:
pX(x) = P (X = x) =∑y
pX,Y (x, y).
pY (y) = P (Y = y) =∑x
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 14: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/14.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Υπολογισμοί πιθαν., περιθώριες
Υπολογισμός πιθανοτήτων:
P ((X, Y ) ∈ A) =∑
(x,y)∈A
pX,Y (x, y).
Περιθώριες σμπ:
pX(x) = P (X = x) =∑y
pX,Y (x, y).
pY (y) = P (Y = y) =∑x
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 15: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/15.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Υπολογισμοί πιθαν., περιθώριες
Υπολογισμός πιθανοτήτων:
P ((X, Y ) ∈ A) =∑
(x,y)∈A
pX,Y (x, y).
Περιθώριες σμπ:
pX(x) = P (X = x) =∑y
pX,Y (x, y).
pY (y) = P (Y = y) =∑x
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 16: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/16.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Υπολογισμοί πιθαν., περιθώριες
Υπολογισμός πιθανοτήτων:
P ((X, Y ) ∈ A) =∑
(x,y)∈A
pX,Y (x, y).
Περιθώριες σμπ:
pX(x) = P (X = x) =∑y
pX,Y (x, y).
pY (y) = P (Y = y) =∑x
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 17: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/17.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Συναρτήσεις διδιάστατης τ.μ.
X, Y : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.g : R2 → R : Πραγματική συνάρτηση.g (X, Y ) : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικό τουπειράματος τύχης, που προσδιορίζεται από τα
χαρακτηριστικα X, Y .= Νέα τυχαία μεταβλητή.
Συμβολισμός: g(X, Y ), αντί g (X, Y ).
Πρόβλημα: (X, Y ) διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).Τότε Z = g(X, Y ) διακριτή τ.μ. Ποιά η σμπ. pZ(z); ; ;
Λύση:
pZ(z) =∑
(x,y):g(x,y)=z
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 18: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/18.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Συναρτήσεις διδιάστατης τ.μ.
X, Y : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.
g : R2 → R : Πραγματική συνάρτηση.g (X, Y ) : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικό τουπειράματος τύχης, που προσδιορίζεται από τα
χαρακτηριστικα X, Y .= Νέα τυχαία μεταβλητή.
Συμβολισμός: g(X, Y ), αντί g (X, Y ).
Πρόβλημα: (X, Y ) διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).Τότε Z = g(X, Y ) διακριτή τ.μ. Ποιά η σμπ. pZ(z); ; ;
Λύση:
pZ(z) =∑
(x,y):g(x,y)=z
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 19: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/19.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Συναρτήσεις διδιάστατης τ.μ.
X, Y : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.g : R2 → R : Πραγματική συνάρτηση.
g (X, Y ) : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικό τουπειράματος τύχης, που προσδιορίζεται από τα
χαρακτηριστικα X, Y .= Νέα τυχαία μεταβλητή.
Συμβολισμός: g(X, Y ), αντί g (X, Y ).
Πρόβλημα: (X, Y ) διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).Τότε Z = g(X, Y ) διακριτή τ.μ. Ποιά η σμπ. pZ(z); ; ;
Λύση:
pZ(z) =∑
(x,y):g(x,y)=z
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 20: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/20.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Συναρτήσεις διδιάστατης τ.μ.
X, Y : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.g : R2 → R : Πραγματική συνάρτηση.g (X, Y ) : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικό τουπειράματος τύχης, που προσδιορίζεται από τα
χαρακτηριστικα X, Y .
= Νέα τυχαία μεταβλητή.
Συμβολισμός: g(X, Y ), αντί g (X, Y ).
Πρόβλημα: (X, Y ) διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).Τότε Z = g(X, Y ) διακριτή τ.μ. Ποιά η σμπ. pZ(z); ; ;
Λύση:
pZ(z) =∑
(x,y):g(x,y)=z
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 21: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/21.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Συναρτήσεις διδιάστατης τ.μ.
X, Y : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.g : R2 → R : Πραγματική συνάρτηση.g (X, Y ) : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικό τουπειράματος τύχης, που προσδιορίζεται από τα
χαρακτηριστικα X, Y .= Νέα τυχαία μεταβλητή.
Συμβολισμός: g(X, Y ), αντί g (X, Y ).
Πρόβλημα: (X, Y ) διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).Τότε Z = g(X, Y ) διακριτή τ.μ. Ποιά η σμπ. pZ(z); ; ;
Λύση:
pZ(z) =∑
(x,y):g(x,y)=z
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 22: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/22.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Συναρτήσεις διδιάστατης τ.μ.
X, Y : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.g : R2 → R : Πραγματική συνάρτηση.g (X, Y ) : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικό τουπειράματος τύχης, που προσδιορίζεται από τα
χαρακτηριστικα X, Y .= Νέα τυχαία μεταβλητή.
Συμβολισμός: g(X, Y ), αντί g (X, Y ).
Πρόβλημα: (X, Y ) διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).Τότε Z = g(X, Y ) διακριτή τ.μ. Ποιά η σμπ. pZ(z); ; ;
Λύση:
pZ(z) =∑
(x,y):g(x,y)=z
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 23: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/23.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Συναρτήσεις διδιάστατης τ.μ.
X, Y : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.g : R2 → R : Πραγματική συνάρτηση.g (X, Y ) : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικό τουπειράματος τύχης, που προσδιορίζεται από τα
χαρακτηριστικα X, Y .= Νέα τυχαία μεταβλητή.
Συμβολισμός: g(X, Y ), αντί g (X, Y ).
Πρόβλημα: (X, Y ) διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).Τότε Z = g(X, Y ) διακριτή τ.μ. Ποιά η σμπ. pZ(z);
; ;
Λύση:
pZ(z) =∑
(x,y):g(x,y)=z
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 24: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/24.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Συναρτήσεις διδιάστατης τ.μ.
X, Y : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.g : R2 → R : Πραγματική συνάρτηση.g (X, Y ) : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικό τουπειράματος τύχης, που προσδιορίζεται από τα
χαρακτηριστικα X, Y .= Νέα τυχαία μεταβλητή.
Συμβολισμός: g(X, Y ), αντί g (X, Y ).
Πρόβλημα: (X, Y ) διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).Τότε Z = g(X, Y ) διακριτή τ.μ. Ποιά η σμπ. pZ(z); ;
;
Λύση:
pZ(z) =∑
(x,y):g(x,y)=z
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 25: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/25.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Συναρτήσεις διδιάστατης τ.μ.
X, Y : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.g : R2 → R : Πραγματική συνάρτηση.g (X, Y ) : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικό τουπειράματος τύχης, που προσδιορίζεται από τα
χαρακτηριστικα X, Y .= Νέα τυχαία μεταβλητή.
Συμβολισμός: g(X, Y ), αντί g (X, Y ).
Πρόβλημα: (X, Y ) διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).Τότε Z = g(X, Y ) διακριτή τ.μ. Ποιά η σμπ. pZ(z); ; ;
Λύση:
pZ(z) =∑
(x,y):g(x,y)=z
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 26: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/26.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Συναρτήσεις διδιάστατης τ.μ.
X, Y : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.g : R2 → R : Πραγματική συνάρτηση.g (X, Y ) : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικό τουπειράματος τύχης, που προσδιορίζεται από τα
χαρακτηριστικα X, Y .= Νέα τυχαία μεταβλητή.
Συμβολισμός: g(X, Y ), αντί g (X, Y ).
Πρόβλημα: (X, Y ) διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).Τότε Z = g(X, Y ) διακριτή τ.μ. Ποιά η σμπ. pZ(z); ; ;
Λύση:
pZ(z) =∑
(x,y):g(x,y)=z
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 27: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/27.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Συναρτήσεις διδιάστατης τ.μ.
X, Y : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικά πειράματος τύχης.g : R2 → R : Πραγματική συνάρτηση.g (X, Y ) : Ω→ R τ.μ. : Χαρακτηριστικό τουπειράματος τύχης, που προσδιορίζεται από τα
χαρακτηριστικα X, Y .= Νέα τυχαία μεταβλητή.
Συμβολισμός: g(X, Y ), αντί g (X, Y ).
Πρόβλημα: (X, Y ) διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).Τότε Z = g(X, Y ) διακριτή τ.μ. Ποιά η σμπ. pZ(z); ; ;
Λύση:
pZ(z) =∑
(x,y):g(x,y)=z
pX,Y (x, y).
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 28: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/28.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Διδιάστατες τ.μ. και μέση τιμή
Μέση τιμή συνάρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] =∑x
∑y
g(x, y)pX,Y (x, y).
Προσοχή !!!: E[g(X, Y )] 6= g(E[X], E[Y ]).
Μέση τιμή γραμμικής συνάρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 29: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/29.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Διδιάστατες τ.μ. και μέση τιμή
Μέση τιμή συνάρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] =∑x
∑y
g(x, y)pX,Y (x, y).
Προσοχή !!!: E[g(X, Y )] 6= g(E[X], E[Y ]).
Μέση τιμή γραμμικής συνάρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 30: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/30.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Διδιάστατες τ.μ. και μέση τιμή
Μέση τιμή συνάρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] =∑x
∑y
g(x, y)pX,Y (x, y).
Προσοχή !!!: E[g(X, Y )] 6= g(E[X], E[Y ]).
Μέση τιμή γραμμικής συνάρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 31: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/31.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Διδιάστατες τ.μ. και μέση τιμή
Μέση τιμή συνάρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] =∑x
∑y
g(x, y)pX,Y (x, y).
Προσοχή !!!: E[g(X, Y )] 6= g(E[X], E[Y ]).
Μέση τιμή γραμμικής συνάρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 32: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/32.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Διδιάστατες τ.μ. και μέση τιμή
Μέση τιμή συνάρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] =∑x
∑y
g(x, y)pX,Y (x, y).
Προσοχή !!!: E[g(X, Y )] 6= g(E[X], E[Y ]).
Μέση τιμή γραμμικής συνάρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 33: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/33.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Διδιάστατες τ.μ. και μέση τιμή
Μέση τιμή συνάρτησης τ.μ.:
E[g(X, Y )] =∑x
∑y
g(x, y)pX,Y (x, y).
Προσοχή !!!: E[g(X, Y )] 6= g(E[X], E[Y ]).
Μέση τιμή γραμμικής συνάρτησης τ.μ.:
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y ] + c.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 34: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/34.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 35: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/35.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 36: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/36.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 37: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/37.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ
(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 38: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/38.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 39: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/39.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 40: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/40.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 41: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/41.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 42: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/42.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ;
; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 43: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/43.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ;
;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 44: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/44.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 45: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/45.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ;
; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 46: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/46.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ;
;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 47: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/47.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 48: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/48.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ;
; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 49: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/49.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ;
;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 50: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/50.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 51: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/51.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1.
pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 52: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/52.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ;
E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 53: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/53.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =;
; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 54: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/54.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ;
;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 55: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/55.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 56: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/56.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =;
; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 57: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/57.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ;
;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 58: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/58.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pX,Y (x, y) = ; ; ;
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
P (X + Y = 4) = ; ; ;
Z = X + 2Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
E[XY ] =; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 59: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/59.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) :από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1. ΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 60: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/60.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) :από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1. ΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 61: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/61.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) :από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1. ΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 62: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/62.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) :από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1. ΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 63: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/63.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.
pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) :από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1. ΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 64: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/64.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn)
:
από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1. ΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 65: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/65.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) :από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1. ΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 66: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/66.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) :από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1. ΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 67: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/67.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) :από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1.
΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 68: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/68.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) :από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1. ΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 69: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/69.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) :από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1. ΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 70: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/70.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ορισμοί Παραδειγ Πολυδιάστ. τ.μ.
Γενίκευση: Πολυδιάστατες τ.μ.
΄Εστω πείραμα τύχης (Ω,A, P ).
n-διάστατη τ.μ. = n αριθμητικά χαρακτηριστικά.
n-διάστατη τ.μ. = συνάρτ. (X1, X2, . . . , Xn) : Ω→ Rn.
(X1, X2, . . . , Xn) διακρ. ⇔ Αριθμήσιμο πλήθος τιμών.pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) :από κοινού σμπ.
pX1(x1) =∑
x2,...,xnpX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
: περιθώρια της X1. ΄Ομοια ορίζονται και οι άλλες.
E[g(X1, X2, . . . , Xn)]=∑
x1,x2,...,xng(x1, x2 . . . , xn)pX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn).
E[a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn + b]= a1E[X1] + a2E[X2] + · · ·+ anE[Xn] + b.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 71: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/71.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 1: Μέση τιμή διωνυμικής τ.μ.
Πείραμα τύχης: Ακολουθία n δοκιμών Bernoulli.
Πιθανότητα επιτυχίας p.
X = Πλήθος επιτυχιών στις n δοκιμές.
Η X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Bin(n, p).
Η X είναι διωνυμική τυχαία μεταβλητή Bin(n, p).
Σμπ:
pX(k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 72: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/72.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 1: Μέση τιμή διωνυμικής τ.μ.
Πείραμα τύχης: Ακολουθία n δοκιμών Bernoulli.
Πιθανότητα επιτυχίας p.
X = Πλήθος επιτυχιών στις n δοκιμές.
Η X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Bin(n, p).
Η X είναι διωνυμική τυχαία μεταβλητή Bin(n, p).
Σμπ:
pX(k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 73: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/73.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 1: Μέση τιμή διωνυμικής τ.μ.
Πείραμα τύχης: Ακολουθία n δοκιμών Bernoulli.
Πιθανότητα επιτυχίας p.
X = Πλήθος επιτυχιών στις n δοκιμές.
Η X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Bin(n, p).
Η X είναι διωνυμική τυχαία μεταβλητή Bin(n, p).
Σμπ:
pX(k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 74: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/74.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 1: Μέση τιμή διωνυμικής τ.μ.
Πείραμα τύχης: Ακολουθία n δοκιμών Bernoulli.
Πιθανότητα επιτυχίας p.
X = Πλήθος επιτυχιών στις n δοκιμές.
Η X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Bin(n, p).
Η X είναι διωνυμική τυχαία μεταβλητή Bin(n, p).
Σμπ:
pX(k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 75: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/75.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 1: Μέση τιμή διωνυμικής τ.μ.
Πείραμα τύχης: Ακολουθία n δοκιμών Bernoulli.
Πιθανότητα επιτυχίας p.
X = Πλήθος επιτυχιών στις n δοκιμές.
Η X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Bin(n, p).
Η X είναι διωνυμική τυχαία μεταβλητή Bin(n, p).
Σμπ:
pX(k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 76: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/76.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 1: Μέση τιμή διωνυμικής τ.μ.
Πείραμα τύχης: Ακολουθία n δοκιμών Bernoulli.
Πιθανότητα επιτυχίας p.
X = Πλήθος επιτυχιών στις n δοκιμές.
Η X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Bin(n, p).
Η X είναι διωνυμική τυχαία μεταβλητή Bin(n, p).
Σμπ:
pX(k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 77: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/77.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 1: Μέση τιμή διωνυμικής τ.μ.
Πείραμα τύχης: Ακολουθία n δοκιμών Bernoulli.
Πιθανότητα επιτυχίας p.
X = Πλήθος επιτυχιών στις n δοκιμές.
Η X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Bin(n, p).
Η X είναι διωνυμική τυχαία μεταβλητή Bin(n, p).
Σμπ:
pX(k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 78: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/78.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 1: Μέση τιμή διωνυμικής τ.μ.
Πείραμα τύχης: Ακολουθία n δοκιμών Bernoulli.
Πιθανότητα επιτυχίας p.
X = Πλήθος επιτυχιών στις n δοκιμές.
Η X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Bin(n, p).
Η X είναι διωνυμική τυχαία μεταβλητή Bin(n, p).
Σμπ:
pX(k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.
E[X] = ;
; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 79: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/79.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 1: Μέση τιμή διωνυμικής τ.μ.
Πείραμα τύχης: Ακολουθία n δοκιμών Bernoulli.
Πιθανότητα επιτυχίας p.
X = Πλήθος επιτυχιών στις n δοκιμές.
Η X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Bin(n, p).
Η X είναι διωνυμική τυχαία μεταβλητή Bin(n, p).
Σμπ:
pX(k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.
E[X] = ; ;
;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 80: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/80.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 1: Μέση τιμή διωνυμικής τ.μ.
Πείραμα τύχης: Ακολουθία n δοκιμών Bernoulli.
Πιθανότητα επιτυχίας p.
X = Πλήθος επιτυχιών στις n δοκιμές.
Η X ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Bin(n, p).
Η X είναι διωνυμική τυχαία μεταβλητή Bin(n, p).
Σμπ:
pX(k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 81: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/81.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 2: Το πρόβλημα των συναντήσεων
n άνθρωποι έχουν παραγγείλει n διαφορετικά βιβλία σεέναν ιστότοπο (ο καθένας από 1).
Το σύστημα διαχείρισης των παραγγελιών χαλάει και
στέλνει τα παραγγελθέντα βιβλία στην τύχη (1 στον
καθένα από τους n ανθρώπους).
X= Πλήθος ατόμων που παίρνει το βιβλίο του.
P (X = n) = P (όλοι να πάρουν το βιβλίο τους) = 1n!.
P (X = 0) = P (κανένας να πάρει το βιβλίο του) =∑nk=0
(−1)kk!
.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 82: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/82.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 2: Το πρόβλημα των συναντήσεων
n άνθρωποι έχουν παραγγείλει n διαφορετικά βιβλία σεέναν ιστότοπο (ο καθένας από 1).
Το σύστημα διαχείρισης των παραγγελιών χαλάει και
στέλνει τα παραγγελθέντα βιβλία στην τύχη (1 στον
καθένα από τους n ανθρώπους).
X= Πλήθος ατόμων που παίρνει το βιβλίο του.
P (X = n) = P (όλοι να πάρουν το βιβλίο τους) = 1n!.
P (X = 0) = P (κανένας να πάρει το βιβλίο του) =∑nk=0
(−1)kk!
.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 83: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/83.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 2: Το πρόβλημα των συναντήσεων
n άνθρωποι έχουν παραγγείλει n διαφορετικά βιβλία σεέναν ιστότοπο (ο καθένας από 1).
Το σύστημα διαχείρισης των παραγγελιών χαλάει και
στέλνει τα παραγγελθέντα βιβλία στην τύχη (1 στον
καθένα από τους n ανθρώπους).
X= Πλήθος ατόμων που παίρνει το βιβλίο του.
P (X = n) = P (όλοι να πάρουν το βιβλίο τους) = 1n!.
P (X = 0) = P (κανένας να πάρει το βιβλίο του) =∑nk=0
(−1)kk!
.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 84: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/84.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 2: Το πρόβλημα των συναντήσεων
n άνθρωποι έχουν παραγγείλει n διαφορετικά βιβλία σεέναν ιστότοπο (ο καθένας από 1).
Το σύστημα διαχείρισης των παραγγελιών χαλάει και
στέλνει τα παραγγελθέντα βιβλία στην τύχη (1 στον
καθένα από τους n ανθρώπους).
X= Πλήθος ατόμων που παίρνει το βιβλίο του.
P (X = n) = P (όλοι να πάρουν το βιβλίο τους) = 1n!.
P (X = 0) = P (κανένας να πάρει το βιβλίο του) =∑nk=0
(−1)kk!
.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 85: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/85.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 2: Το πρόβλημα των συναντήσεων
n άνθρωποι έχουν παραγγείλει n διαφορετικά βιβλία σεέναν ιστότοπο (ο καθένας από 1).
Το σύστημα διαχείρισης των παραγγελιών χαλάει και
στέλνει τα παραγγελθέντα βιβλία στην τύχη (1 στον
καθένα από τους n ανθρώπους).
X= Πλήθος ατόμων που παίρνει το βιβλίο του.
P (X = n) = P (όλοι να πάρουν το βιβλίο τους) = 1n!.
P (X = 0) = P (κανένας να πάρει το βιβλίο του) =∑nk=0
(−1)kk!
.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 86: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/86.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 2: Το πρόβλημα των συναντήσεων
n άνθρωποι έχουν παραγγείλει n διαφορετικά βιβλία σεέναν ιστότοπο (ο καθένας από 1).
Το σύστημα διαχείρισης των παραγγελιών χαλάει και
στέλνει τα παραγγελθέντα βιβλία στην τύχη (1 στον
καθένα από τους n ανθρώπους).
X= Πλήθος ατόμων που παίρνει το βιβλίο του.
P (X = n) = P (όλοι να πάρουν το βιβλίο τους) = 1n!.
P (X = 0) = P (κανένας να πάρει το βιβλίο του) =∑nk=0
(−1)kk!
.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 87: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/87.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 2: Το πρόβλημα των συναντήσεων
n άνθρωποι έχουν παραγγείλει n διαφορετικά βιβλία σεέναν ιστότοπο (ο καθένας από 1).
Το σύστημα διαχείρισης των παραγγελιών χαλάει και
στέλνει τα παραγγελθέντα βιβλία στην τύχη (1 στον
καθένα από τους n ανθρώπους).
X= Πλήθος ατόμων που παίρνει το βιβλίο του.
P (X = n) = P (όλοι να πάρουν το βιβλίο τους) = 1n!.
P (X = 0) = P (κανένας να πάρει το βιβλίο του) =∑nk=0
(−1)kk!
.
E[X] = ;
; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 88: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/88.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 2: Το πρόβλημα των συναντήσεων
n άνθρωποι έχουν παραγγείλει n διαφορετικά βιβλία σεέναν ιστότοπο (ο καθένας από 1).
Το σύστημα διαχείρισης των παραγγελιών χαλάει και
στέλνει τα παραγγελθέντα βιβλία στην τύχη (1 στον
καθένα από τους n ανθρώπους).
X= Πλήθος ατόμων που παίρνει το βιβλίο του.
P (X = n) = P (όλοι να πάρουν το βιβλίο τους) = 1n!.
P (X = 0) = P (κανένας να πάρει το βιβλίο του) =∑nk=0
(−1)kk!
.
E[X] = ; ;
;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 89: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/89.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παρ. 1 Παρ. 2
Παράδειγμα 2: Το πρόβλημα των συναντήσεων
n άνθρωποι έχουν παραγγείλει n διαφορετικά βιβλία σεέναν ιστότοπο (ο καθένας από 1).
Το σύστημα διαχείρισης των παραγγελιών χαλάει και
στέλνει τα παραγγελθέντα βιβλία στην τύχη (1 στον
καθένα από τους n ανθρώπους).
X= Πλήθος ατόμων που παίρνει το βιβλίο του.
P (X = n) = P (όλοι να πάρουν το βιβλίο τους) = 1n!.
P (X = 0) = P (κανένας να πάρει το βιβλίο του) =∑nk=0
(−1)kk!
.
E[X] = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 90: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/90.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.A: ΄Ηρθε άρτιος.pX(x) = 1
6, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 91: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/91.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.A: ΄Ηρθε άρτιος.pX(x) = 1
6, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 92: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/92.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.A: ΄Ηρθε άρτιος.pX(x) = 1
6, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 93: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/93.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.A: ΄Ηρθε άρτιος.pX(x) = 1
6, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 94: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/94.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.A: ΄Ηρθε άρτιος.pX(x) = 1
6, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 95: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/95.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.A: ΄Ηρθε άρτιος.pX(x) = 1
6, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 96: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/96.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.A: ΄Ηρθε άρτιος.pX(x) = 1
6, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 97: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/97.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.A: ΄Ηρθε άρτιος.pX(x) = 1
6, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 98: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/98.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.
A: ΄Ηρθε άρτιος.pX(x) = 1
6, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 99: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/99.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.A: ΄Ηρθε άρτιος.
pX(x) = 16, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 100: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/100.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.A: ΄Ηρθε άρτιος.pX(x) = 1
6, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 101: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/101.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από γεγονός
X διακριτή τ.μ. με σμπ. pX(x).
A ενδεχόμενο (γεγονός).
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος του A:
pX|A(x) = P (X = x|A) =P (X = x ∩ A)
P (A).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|A(x) ≥ 0,∑
x pX|A(x) = 1.
Π.χ. Ρίψη ζαριού.
X: ένδειξη.A: ΄Ηρθε άρτιος.pX(x) = 1
6, x = 1, 2, . . . , 6.
pX|A(x) = 13, x = 2, 4, 6.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 102: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/102.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από άλλη τ.μ.
(X, Y ) διδιάστατη διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).
pX(x), pY (y) οι αντίστοιχες περιθώριες σμπ.
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος ότι Y = y:
pX|Y (x|y) = P (X = x|Y = y) =P (X = x, Y = y)
P (Y = y).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|Y (x|y) ≥ 0,∑
x pX|Y (x|y) = 1.
Η δεσμευμένη σμπ. της Y δοθέντος ότι X = x:
pY |X(y|x) = P (Y = y|X = x) =P (X = x, Y = y)
P (X = x).
΄Ομοια: pY |X(y|x) ≥ 0,∑
y pY |X(y|x) = 1.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 103: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/103.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από άλλη τ.μ.
(X, Y ) διδιάστατη διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).
pX(x), pY (y) οι αντίστοιχες περιθώριες σμπ.
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος ότι Y = y:
pX|Y (x|y) = P (X = x|Y = y) =P (X = x, Y = y)
P (Y = y).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|Y (x|y) ≥ 0,∑
x pX|Y (x|y) = 1.
Η δεσμευμένη σμπ. της Y δοθέντος ότι X = x:
pY |X(y|x) = P (Y = y|X = x) =P (X = x, Y = y)
P (X = x).
΄Ομοια: pY |X(y|x) ≥ 0,∑
y pY |X(y|x) = 1.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 104: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/104.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από άλλη τ.μ.
(X, Y ) διδιάστατη διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).
pX(x), pY (y) οι αντίστοιχες περιθώριες σμπ.
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος ότι Y = y:
pX|Y (x|y) = P (X = x|Y = y) =P (X = x, Y = y)
P (Y = y).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|Y (x|y) ≥ 0,∑
x pX|Y (x|y) = 1.
Η δεσμευμένη σμπ. της Y δοθέντος ότι X = x:
pY |X(y|x) = P (Y = y|X = x) =P (X = x, Y = y)
P (X = x).
΄Ομοια: pY |X(y|x) ≥ 0,∑
y pY |X(y|x) = 1.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 105: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/105.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από άλλη τ.μ.
(X, Y ) διδιάστατη διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).
pX(x), pY (y) οι αντίστοιχες περιθώριες σμπ.
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος ότι Y = y:
pX|Y (x|y) = P (X = x|Y = y) =P (X = x, Y = y)
P (Y = y).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|Y (x|y) ≥ 0,∑
x pX|Y (x|y) = 1.
Η δεσμευμένη σμπ. της Y δοθέντος ότι X = x:
pY |X(y|x) = P (Y = y|X = x) =P (X = x, Y = y)
P (X = x).
΄Ομοια: pY |X(y|x) ≥ 0,∑
y pY |X(y|x) = 1.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 106: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/106.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από άλλη τ.μ.
(X, Y ) διδιάστατη διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).
pX(x), pY (y) οι αντίστοιχες περιθώριες σμπ.
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος ότι Y = y:
pX|Y (x|y) = P (X = x|Y = y) =P (X = x, Y = y)
P (Y = y).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|Y (x|y) ≥ 0,∑
x pX|Y (x|y) = 1.
Η δεσμευμένη σμπ. της Y δοθέντος ότι X = x:
pY |X(y|x) = P (Y = y|X = x) =P (X = x, Y = y)
P (X = x).
΄Ομοια: pY |X(y|x) ≥ 0,∑
y pY |X(y|x) = 1.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 107: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/107.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από άλλη τ.μ.
(X, Y ) διδιάστατη διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).
pX(x), pY (y) οι αντίστοιχες περιθώριες σμπ.
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος ότι Y = y:
pX|Y (x|y) = P (X = x|Y = y) =P (X = x, Y = y)
P (Y = y).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|Y (x|y) ≥ 0,∑
x pX|Y (x|y) = 1.
Η δεσμευμένη σμπ. της Y δοθέντος ότι X = x:
pY |X(y|x) = P (Y = y|X = x) =P (X = x, Y = y)
P (X = x).
΄Ομοια: pY |X(y|x) ≥ 0,∑
y pY |X(y|x) = 1.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 108: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/108.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από άλλη τ.μ.
(X, Y ) διδιάστατη διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).
pX(x), pY (y) οι αντίστοιχες περιθώριες σμπ.
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος ότι Y = y:
pX|Y (x|y) = P (X = x|Y = y) =P (X = x, Y = y)
P (Y = y).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|Y (x|y) ≥ 0,∑
x pX|Y (x|y) = 1.
Η δεσμευμένη σμπ. της Y δοθέντος ότι X = x:
pY |X(y|x) = P (Y = y|X = x) =P (X = x, Y = y)
P (X = x).
΄Ομοια: pY |X(y|x) ≥ 0,∑
y pY |X(y|x) = 1.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 109: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/109.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από άλλη τ.μ.
(X, Y ) διδιάστατη διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).
pX(x), pY (y) οι αντίστοιχες περιθώριες σμπ.
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος ότι Y = y:
pX|Y (x|y) = P (X = x|Y = y) =P (X = x, Y = y)
P (Y = y).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|Y (x|y) ≥ 0,∑
x pX|Y (x|y) = 1.
Η δεσμευμένη σμπ. της Y δοθέντος ότι X = x:
pY |X(y|x) = P (Y = y|X = x) =P (X = x, Y = y)
P (X = x).
΄Ομοια: pY |X(y|x) ≥ 0,∑
y pY |X(y|x) = 1.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 110: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/110.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από άλλη τ.μ.
(X, Y ) διδιάστατη διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).
pX(x), pY (y) οι αντίστοιχες περιθώριες σμπ.
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος ότι Y = y:
pX|Y (x|y) = P (X = x|Y = y) =P (X = x, Y = y)
P (Y = y).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|Y (x|y) ≥ 0,∑
x pX|Y (x|y) = 1.
Η δεσμευμένη σμπ. της Y δοθέντος ότι X = x:
pY |X(y|x) = P (Y = y|X = x) =P (X = x, Y = y)
P (X = x).
΄Ομοια: pY |X(y|x) ≥ 0,∑
y pY |X(y|x) = 1.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 111: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/111.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από άλλη τ.μ.
(X, Y ) διδιάστατη διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).
pX(x), pY (y) οι αντίστοιχες περιθώριες σμπ.
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος ότι Y = y:
pX|Y (x|y) = P (X = x|Y = y) =P (X = x, Y = y)
P (Y = y).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|Y (x|y) ≥ 0,∑
x pX|Y (x|y) = 1.
Η δεσμευμένη σμπ. της Y δοθέντος ότι X = x:
pY |X(y|x) = P (Y = y|X = x) =P (X = x, Y = y)
P (X = x).
΄Ομοια:
pY |X(y|x) ≥ 0,∑
y pY |X(y|x) = 1.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 112: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/112.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Δεσμευμένη τ.μ. από άλλη τ.μ.
(X, Y ) διδιάστατη διακριτή τ.μ. με σμπ. pX,Y (x, y).
pX(x), pY (y) οι αντίστοιχες περιθώριες σμπ.
Η δεσμευμένη σμπ. της X δοθέντος ότι Y = y:
pX|Y (x|y) = P (X = x|Y = y) =P (X = x, Y = y)
P (Y = y).
Η δεσμευμένη σμπ. έχει τις ιδιότητες μιας σμπ:
pX|Y (x|y) ≥ 0,∑
x pX|Y (x|y) = 1.
Η δεσμευμένη σμπ. της Y δοθέντος ότι X = x:
pY |X(y|x) = P (Y = y|X = x) =P (X = x, Y = y)
P (X = x).
΄Ομοια: pY |X(y|x) ≥ 0,∑
y pY |X(y|x) = 1.
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 113: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/113.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος (συνέχεια)
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pY |X(y|0) = ; pY |X(y|1) = ; pY |X(y|2) = ; pY |X(y|3) = ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 114: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/114.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος (συνέχεια)
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pY |X(y|0) = ; pY |X(y|1) = ; pY |X(y|2) = ; pY |X(y|3) = ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 115: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/115.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος (συνέχεια)
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pY |X(y|0) = ; pY |X(y|1) = ; pY |X(y|2) = ; pY |X(y|3) = ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 116: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/116.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος (συνέχεια)
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ
(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pY |X(y|0) = ; pY |X(y|1) = ; pY |X(y|2) = ; pY |X(y|3) = ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 117: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/117.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος (συνέχεια)
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pY |X(y|0) = ; pY |X(y|1) = ; pY |X(y|2) = ; pY |X(y|3) = ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 118: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/118.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος (συνέχεια)
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pY |X(y|0) = ; pY |X(y|1) = ; pY |X(y|2) = ; pY |X(y|3) = ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 119: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/119.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος (συνέχεια)
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pY |X(y|0) = ; pY |X(y|1) = ; pY |X(y|2) = ; pY |X(y|3) = ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 120: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/120.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος (συνέχεια)
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pY |X(y|0) = ; pY |X(y|1) = ; pY |X(y|2) = ; pY |X(y|3) = ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 121: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/121.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Παραδειγ
Παράδειγμα 1: 3 ρίψεις νομίσματος (συνέχεια)
Π.χ. Τυχαίο πείραμα: 3 ρίψεις δίκαιου νομίσματος.
X = Πλήθος K.
Y= Πλήθος K ως τα πρώτα Γ(Y = 3 αν δεν εμφανιστούν γράμματα).
ω ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ
X(ω) 3 2 2 1 2 1 1 0
Y (ω) 3 2 1 1 0 0 0 0
pY |X(y|0) = ; pY |X(y|1) = ; pY |X(y|2) = ; pY |X(y|3) = ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 122: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/122.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 123: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/123.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 124: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/124.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ;
; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 125: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/125.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ;
;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 126: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/126.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 127: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/127.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1.
pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 128: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/128.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ;
E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 129: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/129.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =;
; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 130: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/130.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ;
;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 131: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/131.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 132: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/132.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ;
; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 133: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/133.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ;
;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 134: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/134.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 135: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/135.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =;
; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 136: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/136.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ;
;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 137: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/137.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 138: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/138.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ;
; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 139: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/139.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ;
;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 140: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/140.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 141: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/141.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ;
; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 142: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/142.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ;
;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 143: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/143.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 144: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/144.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ;
; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 145: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/145.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ;
;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 146: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/146.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη Ασκ. 1
΄Ασκηση 1: Η διδιάστατη διακριτή ομοιόμορφη τ.μ.
Διδιάστατη ομοιόμορφη διακριτή τ.μ. Από κοινού σμπ:
pX,Y (x, y) = 1n2 , x, y = 1, 2, . . . , n.
pX(x) = ; pY (y) = ; E[X] = ; E[Y ] = ; ; ;
Z = X + Y + 1. pZ(z) = ; E[Z] =; ; ;
P (X + Y = 5|X ≤ 3) = ; ; ;
U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). pU,V (u, v) =; ; ;
E[U + V ] = ; ; ;
pU(u) = ;, pV (v) = ;, E[V ] = ;, E[U ] = ; ; ;
pU |V (u|v) = ;, pV |U(v|u)=; pV |X=k(v) = ; ; ;
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 147: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/147.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη
Μελέτη
Μπερτσεκάς, Δ.Π. και Τσιτσικλής, Γ.Ν. (2013) Εισαγωγή
στις Πιθανότητες με Στοιχεία Στατιστικής, Εκδόσεις Τζιόλα.
Θεωρία:
2.5 Από κοινού σμπ πολλαπλών τυχαίων
μεταβλητών
2.6 Δέσμευση
Ασκήσεις:
2.5 Προβλήματα 24, 26, 27
2.6 Πρόβλημα 31
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11
![Page 148: Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 11 Poludi‹statec ...](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013012/61cf0c121fcb9f4f4023a41b/html5/thumbnails/148.jpg)
Βασικές έννοιες Παραδείγμ. Δέσμ. Ασκής. Μελέτη
Μελέτη
Μπερτσεκάς, Δ.Π. και Τσιτσικλής, Γ.Ν. (2013) Εισαγωγή
στις Πιθανότητες με Στοιχεία Στατιστικής, Εκδόσεις Τζιόλα.
Θεωρία:
2.5 Από κοινού σμπ πολλαπλών τυχαίων
μεταβλητών
2.6 Δέσμευση
Ασκήσεις:
2.5 Προβλήματα 24, 26, 27
2.6 Πρόβλημα 31
Α. Οικονόμου - [email protected] Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 11