PID PD PI PD PI PID - bem.bime.ntu.edu.twbem.bime.ntu.edu.tw/LESSON/AC/BCKUO_2008/Ch10_5_7.pdfACSYS...
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Automatic Control Systems_B. C. Kuo & F. Golnaraghi 1 控制系統的設計 控制系統的設計 CHAPTER 10 10 - - 5 5 相位領前控制器的設計 相位領前控制器的設計 PID PID ， ， PD PD 和 和 PI PI 控制器都以微分和積分運算來表現對控制系統的補償。通常，可以 控制器都以微分和積分運算來表現對控制系統的補償。通常，可以 把控制系統之控制器設計視為濾波器設計的問題；因此便有很多可能的設計。就濾 把控制系統之控制器設計視為濾波器設計的問題；因此便有很多可能的設計。就濾 波的觀點言， 波的觀點言， PD PD 控制器為高通濾波器， 控制器為高通濾波器， PI PI 控制器為低通濾波器，而 控制器為低通濾波器，而 PID PID 控制器為 控制器為 帶通或帶減濾波器 帶通或帶減濾波器 ( ( 取決於控制器的參數值 取決於控制器的參數值 ) ) 。高通濾波器通常視為相位領前控制 。高通濾波器通常視為相位領前控制 器，因為在某些頻率範圍內，系統引入正的相位角。低通濾波器則為相位落後控制 器，因為在某些頻率範圍內，系統引入正的相位角。低通濾波器則為相位落後控制 器，因為所引入的相對應相角為負的。若設計者要在頻域實現時，則這些有關濾波 器，因為所引入的相對應相角為負的。若設計者要在頻域實現時，則這些有關濾波 和相位移的概念會派上用場。簡單的領前或落後控制器的轉移函數可表示為 和相位移的概念會派上用場。簡單的領前或落後控制器的轉移函數可表示為 (10 (10 - - 59) 59) 其中控制器在 其中控制器在 p p 1 1 > > z z 1 1 時為高通或相位領前；而在 時為高通或相位領前；而在 p p 1 < 1 < z z 1 1 時，為低通或相位落後。 時，為低通或相位落後。 (10 (10 - - 59) 59) 式之運算放大器並加入一反相放大器重繪於圖 式之運算放大器並加入一反相放大器重繪於圖 10 10 - - 26 26 。此電路的轉移函數為 。此電路的轉移函數為 (10 (10 - - 60) 60)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--5 5 相位領前控制器的設計相位領前控制器的設計
PIDPIDPD PD 和和 PI PI 控制器都以微分和積分運算來表現對控制系統的補償通常可以控制器都以微分和積分運算來表現對控制系統的補償通常可以把控制系統之控制器設計視為濾波器設計的問題因此便有很多可能的設計就濾把控制系統之控制器設計視為濾波器設計的問題因此便有很多可能的設計就濾
波的觀點言波的觀點言PD PD 控制器為高通濾波器控制器為高通濾波器PI PI 控制器為低通濾波器而控制器為低通濾波器而 PID PID 控制器為控制器為帶通或帶減濾波器帶通或帶減濾波器 ((取決於控制器的參數值取決於控制器的參數值))高通濾波器通常視為相位領前控制高通濾波器通常視為相位領前控制器因為在某些頻率範圍內系統引入正的相位角低通濾波器則為相位落後控制器因為在某些頻率範圍內系統引入正的相位角低通濾波器則為相位落後控制器因為所引入的相對應相角為負的若設計者要在頻域實現時則這些有關濾波器因為所引入的相對應相角為負的若設計者要在頻域實現時則這些有關濾波
和相位移的概念會派上用場簡單的領前或落後控制器的轉移函數可表示為和相位移的概念會派上用場簡單的領前或落後控制器的轉移函數可表示為
(10(10--59) 59)
其中控制器在其中控制器在 pp11 gt gt zz 1 1 時為高通或相位領前而在時為高通或相位領前而在 pp1 lt 1 lt zz1 1 時為低通或相位落後時為低通或相位落後
(10(10--59) 59) 式之運算放大器並加入一反相放大器重繪於圖式之運算放大器並加入一反相放大器重繪於圖 1010--2626此電路的轉移函數為此電路的轉移函數為
(10(10--60) 60)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--26 26 的運算放大器電路實現的運算放大器電路實現
比較上述兩個方程式可得比較上述兩個方程式可得
(10(10--61) 61)
令令 CC = = CC1= 1= CC2 2 可以把設計參數可以把設計參數由由 4 4 減為減為 3 3 個則個則 (10(10--60) 60) 式可式可以寫成以寫成
(10(10--62) 62)
其中其中
(10(10--63) 63)
(10(10--64) 64)
電路實現可由附錄電路實現可由附錄 E E 的表的表 EE--1 (g) 1 (g) 得到得到
反向器反向器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前控制器的時域表示和設計相位領前控制器的時域表示和設計
本節首先以本節首先以 (10(10--60) 60) 式和式和 (10(10--62) 62) 式來表示相位領前控制器式來表示相位領前控制器 ((zz1 lt 1 lt pp1 1 或或 aa gt 1)gt 1)為為了不讓相位領前控制器危及穩態誤差了不讓相位領前控制器危及穩態誤差(10(10--62) 62) 式中的因子式中的因子 aa 應由順向路徑增益應由順向路徑增益 KK所吸收因此基於設計目的所吸收因此基於設計目的GcGc((ss) ) 可寫成可寫成
(10(10--65) 65)
(10(10--65) 65) 式的極式的極--零點組態如圖零點組態如圖 1010--2727所所示根據第八章對於增加一對極示根據第八章對於增加一對極--零點所零點所產生影響的討論若適當地選擇參數產生影響的討論若適當地選擇參數使順向路徑轉移函數的零點接近於原使順向路徑轉移函數的零點接近於原點則相位領前控制器可以改善閉迴路點則相位領前控制器可以改善閉迴路系統的穩定性設計相位領前控制器在系統的穩定性設計相位領前控制器在
本質上為配置本質上為配置 GcGc((ss) ) 的極點和零點使的極點和零點使設計規格均可滿足根廓線的方法可用設計規格均可滿足根廓線的方法可用
來 求 出 參 數 的 適 當 範 圍 來 求 出 參 數 的 適 當 範 圍 ACSYS ACSYS MATLABMATLAB工具可用來大量減少試誤的過工具可用來大量減少試誤的過程程 圖圖 1010--27 27 相位領前控制器之極相位領前控制器之極--零點組態零點組態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 把把 11aTaT 之零點移向原點可以改善上升和安定時間若零點太接近原點則之零點移向原點可以改善上升和安定時間若零點太接近原點則最大超越量會增加因為最大超越量會增加因為 11aTaT 同時亦為同時亦為迴路轉移函數迴路轉移函數之零點之零點
22 把把 11TT 的極點遠離零點和原點可以降低最大超越量但若的極點遠離零點和原點可以降低最大超越量但若 TT 值太小則上升值太小則上升和安定時間仍將增加和安定時間仍將增加
以下的原則可做為參數以下的原則可做為參數 aa 和和 TT 的選擇參考的選擇參考
相位領前控制器對於控制系統時域規格的影響歸納如下相位領前控制器對於控制系統時域規格的影響歸納如下
1 1 若適當地使用則可增加系統阻尼若適當地使用則可增加系統阻尼2 2 改善上升和安定時間改善上升和安定時間3 3 以以 (10(10--65) 65) 式之型式相位領前控制不會對穩態誤差產生影響因為式之型式相位領前控制不會對穩態誤差產生影響因為 GcGc(0) = 1(0) = 1
相位領前控制器的頻域表示和設計相位領前控制器的頻域表示和設計
圖圖 1010--28 28 為為 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器的式之相位領前控制器的波德波德圖其中兩個轉折頻率為圖其中兩個轉折頻率為 = 1aT= 1aT和和 = 1T= 1T相位最大值相位最大值 mm 和其發生頻率和其發生頻率 mm 的推導如下由於的推導如下由於 mm 為兩個轉折為兩個轉折頻率的幾何平均值所以頻率的幾何平均值所以
(10(10--66) 66)
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圖圖 1010--28 28 相位領前控制器之相位領前控制器之波德波德圖其中圖其中
( )c
s aTG s as T
11
aa gt 1 gt 1
因此因此
(10(10--67) 67)
為了決定最大相角為了決定最大相角 mmGcGc(( jj) ) 的相位可寫為的相位可寫為
(10(10--68) 68) 由上式可得由上式可得
(10(10--69) 69)
將將 (10(10--67) 67) 式代入式代入 (10(10--69) 69) 式中可得式中可得
(10(10--70) 70)
或或
(10(10--71) 71)
因此由因此由 mm 值可以決定值可以決定 aa 值為值為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--72) 72)
相角相角 mm 與與 a a 之間的關係和相位領前控制器的之間的關係和相位領前控制器的波德波德圖特性提供了頻域設計的優圖特性提供了頻域設計的優勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求
11 先利用穩態誤差規格求出未補償系統先利用穩態誤差規格求出未補償系統 GPGP( ( jj) ) 之之 KK 值再繪出值再繪出 GPGP(( jj) ) 之之波德波德圖待圖待 a a 值決定後值決定後K K 值須再往上調值須再往上調
22 求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增
加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角 mm並由並由 ((1010--72) 72) 式算式算出出 a a 值值
33 一旦決定了一旦決定了 a a 值則只需要再求出值則只需要再求出 T T 值到此設計基本上即已完成值到此設計基本上即已完成TT值的決定值的決定
方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在 1aT1aT 和和 1T1T使使 mm 發生在新的發生在新的增益交越頻率增益交越頻率 gg上如此補償系統的相位邊限便增加了上如此補償系統的相位邊限便增加了 mm注意相位領注意相位領前控制器的高頻增益為前控制器的高頻增益為 20 log10 a20 log10 a dBdB因此為了要使新的增益交越頻率因此為了要使新的增益交越頻率 mm為為 1aT1aT 和和 1T1T 的幾何平均值必須將的幾何平均值必須將 mm 配置於未補償系統配置於未補償系統 GPGP(( jj) ) 幅度值為幅度值為10 log10 log10 a 10 a dB dB 的頻率處的頻率處如此由相位領前控制器所增加的增益如此由相位領前控制器所增加的增益 10 log10 a10 log10 adB dB 剛好使補償過的系統幅度曲線在剛好使補償過的系統幅度曲線在 mm 處通過處通過 0 dB0 dB
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 以補償系統的順向路徑轉移函數的以補償系統的順向路徑轉移函數的波德波德圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足
若無法滿足則必須再選一若無法滿足則必須再選一 mm 值並重複以上步驟值並重複以上步驟55 若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由 aa 和和 TT 值來加以建立值來加以建立
若設計規格中也包括了若設計規格中也包括了 MrMr 和和或或 BWBW則上述結果必須以則上述結果必須以尼可尼可圖或電腦程式的輸出圖或電腦程式的輸出資料加以驗證資料加以驗證
例題例題1010--66 圖圖 1010--29 29 的方塊圖說明的方塊圖說明 44--9 9 節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統
可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數 rr 代表陽光的參考角代表陽光的參考角oo 代表代表太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使 rr 和和 oo 之間的誤差之間的誤差 保持接近零保持接近零
圖圖1010--29 29 太陽追蹤器控制系統方塊圖太陽追蹤器控制系統方塊圖
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系統的參數為系統的參數為
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKiKi = 00125 N= 00125 N--mA mA RaRa = 625 = 625 J J = 10= 1066 kgkg--m2 m2 Ks Ks = 01 A= 01 AradradK K = = 待決定待決定 BB = 0= 0n n = 800= 800
未補償系統的順向路徑轉移函數為未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--73) 73)
其中其中 oo((ss) ) 和和 AA((ss) ) 分別為分別為 oo((tt) ) 和和 ((tt) ) 的的拉氏拉氏轉換轉換將系統參數的數值代入將系統參數的數值代入 (10(10--73) 73) 式可得式可得
(10(10--74) 74)
將圖將圖1010--2929之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用 ACSYS ACSYS 來求解此問題詳見來求解此問題詳見1010--1515節節
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時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
11 對單位斜坡函數輸入對單位斜坡函數輸入 rr((tt))穩態誤差穩態誤差 (t(t) ) 需小於或等於最後穩態輸出需小於或等於最後穩態輸出速度的速度的 001 001 radradsecradradsec換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於或等於或等於 11
22 步階響應的最大超越量需小於步階響應的最大超越量需小於 55或更小或更小
33 上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至 ((tt))可得可得
(10(10--75) 75)
對於單位步階輸入對於單位步階輸入rr((ss) = 1) = 1ss22利用利用 (10(10--74) 74) 式則式則 (10(10--75) 75) 式可得式可得
(10(10--76) 76)
因此當因此當 ((tt) ) 的穩態值小於或等於的穩態值小於或等於 001 001 時時KK 必須大於或等於必須大於或等於 11KK = 1 = 1 為最壞的為最壞的情形此時未補償系統的特性方程式情形此時未補償系統的特性方程式
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(10(10--77) 77)
因此因此KK = 1 = 1 時未補償系統的阻尼比只有時未補償系統的阻尼比只有 025025對應的最大超越量超過對應的最大超越量超過 444444圖圖1010--30 30 所示為所示為 KK = 1 = 1 時系統的單位步階響應時系統的單位步階響應
圖圖 1010--30 30 例題例題 1010--6 6 太陽追蹤器系統的單位步階響應太陽追蹤器系統的單位步階響應
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現考慮使用現考慮使用 (10(10--62) 62) 式的相位領前控制器雖然在此例中使用式的相位領前控制器雖然在此例中使用 PD PD 控制器或採用其控制器或採用其它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫
成成
(10(10--78) 78)
以補償系統來滿足穩態誤差需求時以補償系統來滿足穩態誤差需求時KK 值必須滿足值必須滿足
(10(10--79) 79) 令令 KK = = aa則系統的特性方程式為則系統的特性方程式為
(10(10--80) 80)
在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變 a a 和和 TT 值所產生的影響首先令值所產生的影響首先令 aa= 0= 0則則 (10(10--80) 80) 式的特性方程式變成式的特性方程式變成
(10(10--81) 81)
(10(10--81) 81) 式兩邊除以不含式兩邊除以不含 TT 之項可得之項可得
(10(10--82) 82)
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因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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2
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--26 26 的運算放大器電路實現的運算放大器電路實現
比較上述兩個方程式可得比較上述兩個方程式可得
(10(10--61) 61)
令令 CC = = CC1= 1= CC2 2 可以把設計參數可以把設計參數由由 4 4 減為減為 3 3 個則個則 (10(10--60) 60) 式可式可以寫成以寫成
(10(10--62) 62)
其中其中
(10(10--63) 63)
(10(10--64) 64)
電路實現可由附錄電路實現可由附錄 E E 的表的表 EE--1 (g) 1 (g) 得到得到
反向器反向器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前控制器的時域表示和設計相位領前控制器的時域表示和設計
本節首先以本節首先以 (10(10--60) 60) 式和式和 (10(10--62) 62) 式來表示相位領前控制器式來表示相位領前控制器 ((zz1 lt 1 lt pp1 1 或或 aa gt 1)gt 1)為為了不讓相位領前控制器危及穩態誤差了不讓相位領前控制器危及穩態誤差(10(10--62) 62) 式中的因子式中的因子 aa 應由順向路徑增益應由順向路徑增益 KK所吸收因此基於設計目的所吸收因此基於設計目的GcGc((ss) ) 可寫成可寫成
(10(10--65) 65)
(10(10--65) 65) 式的極式的極--零點組態如圖零點組態如圖 1010--2727所所示根據第八章對於增加一對極示根據第八章對於增加一對極--零點所零點所產生影響的討論若適當地選擇參數產生影響的討論若適當地選擇參數使順向路徑轉移函數的零點接近於原使順向路徑轉移函數的零點接近於原點則相位領前控制器可以改善閉迴路點則相位領前控制器可以改善閉迴路系統的穩定性設計相位領前控制器在系統的穩定性設計相位領前控制器在
本質上為配置本質上為配置 GcGc((ss) ) 的極點和零點使的極點和零點使設計規格均可滿足根廓線的方法可用設計規格均可滿足根廓線的方法可用
來 求 出 參 數 的 適 當 範 圍 來 求 出 參 數 的 適 當 範 圍 ACSYS ACSYS MATLABMATLAB工具可用來大量減少試誤的過工具可用來大量減少試誤的過程程 圖圖 1010--27 27 相位領前控制器之極相位領前控制器之極--零點組態零點組態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 把把 11aTaT 之零點移向原點可以改善上升和安定時間若零點太接近原點則之零點移向原點可以改善上升和安定時間若零點太接近原點則最大超越量會增加因為最大超越量會增加因為 11aTaT 同時亦為同時亦為迴路轉移函數迴路轉移函數之零點之零點
22 把把 11TT 的極點遠離零點和原點可以降低最大超越量但若的極點遠離零點和原點可以降低最大超越量但若 TT 值太小則上升值太小則上升和安定時間仍將增加和安定時間仍將增加
以下的原則可做為參數以下的原則可做為參數 aa 和和 TT 的選擇參考的選擇參考
相位領前控制器對於控制系統時域規格的影響歸納如下相位領前控制器對於控制系統時域規格的影響歸納如下
1 1 若適當地使用則可增加系統阻尼若適當地使用則可增加系統阻尼2 2 改善上升和安定時間改善上升和安定時間3 3 以以 (10(10--65) 65) 式之型式相位領前控制不會對穩態誤差產生影響因為式之型式相位領前控制不會對穩態誤差產生影響因為 GcGc(0) = 1(0) = 1
相位領前控制器的頻域表示和設計相位領前控制器的頻域表示和設計
圖圖 1010--28 28 為為 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器的式之相位領前控制器的波德波德圖其中兩個轉折頻率為圖其中兩個轉折頻率為 = 1aT= 1aT和和 = 1T= 1T相位最大值相位最大值 mm 和其發生頻率和其發生頻率 mm 的推導如下由於的推導如下由於 mm 為兩個轉折為兩個轉折頻率的幾何平均值所以頻率的幾何平均值所以
(10(10--66) 66)
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5
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--28 28 相位領前控制器之相位領前控制器之波德波德圖其中圖其中
( )c
s aTG s as T
11
aa gt 1 gt 1
因此因此
(10(10--67) 67)
為了決定最大相角為了決定最大相角 mmGcGc(( jj) ) 的相位可寫為的相位可寫為
(10(10--68) 68) 由上式可得由上式可得
(10(10--69) 69)
將將 (10(10--67) 67) 式代入式代入 (10(10--69) 69) 式中可得式中可得
(10(10--70) 70)
或或
(10(10--71) 71)
因此由因此由 mm 值可以決定值可以決定 aa 值為值為
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6
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--72) 72)
相角相角 mm 與與 a a 之間的關係和相位領前控制器的之間的關係和相位領前控制器的波德波德圖特性提供了頻域設計的優圖特性提供了頻域設計的優勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求
11 先利用穩態誤差規格求出未補償系統先利用穩態誤差規格求出未補償系統 GPGP( ( jj) ) 之之 KK 值再繪出值再繪出 GPGP(( jj) ) 之之波德波德圖待圖待 a a 值決定後值決定後K K 值須再往上調值須再往上調
22 求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增
加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角 mm並由並由 ((1010--72) 72) 式算式算出出 a a 值值
33 一旦決定了一旦決定了 a a 值則只需要再求出值則只需要再求出 T T 值到此設計基本上即已完成值到此設計基本上即已完成TT值的決定值的決定
方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在 1aT1aT 和和 1T1T使使 mm 發生在新的發生在新的增益交越頻率增益交越頻率 gg上如此補償系統的相位邊限便增加了上如此補償系統的相位邊限便增加了 mm注意相位領注意相位領前控制器的高頻增益為前控制器的高頻增益為 20 log10 a20 log10 a dBdB因此為了要使新的增益交越頻率因此為了要使新的增益交越頻率 mm為為 1aT1aT 和和 1T1T 的幾何平均值必須將的幾何平均值必須將 mm 配置於未補償系統配置於未補償系統 GPGP(( jj) ) 幅度值為幅度值為10 log10 log10 a 10 a dB dB 的頻率處的頻率處如此由相位領前控制器所增加的增益如此由相位領前控制器所增加的增益 10 log10 a10 log10 adB dB 剛好使補償過的系統幅度曲線在剛好使補償過的系統幅度曲線在 mm 處通過處通過 0 dB0 dB
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 以補償系統的順向路徑轉移函數的以補償系統的順向路徑轉移函數的波德波德圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足
若無法滿足則必須再選一若無法滿足則必須再選一 mm 值並重複以上步驟值並重複以上步驟55 若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由 aa 和和 TT 值來加以建立值來加以建立
若設計規格中也包括了若設計規格中也包括了 MrMr 和和或或 BWBW則上述結果必須以則上述結果必須以尼可尼可圖或電腦程式的輸出圖或電腦程式的輸出資料加以驗證資料加以驗證
例題例題1010--66 圖圖 1010--29 29 的方塊圖說明的方塊圖說明 44--9 9 節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統
可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數 rr 代表陽光的參考角代表陽光的參考角oo 代表代表太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使 rr 和和 oo 之間的誤差之間的誤差 保持接近零保持接近零
圖圖1010--29 29 太陽追蹤器控制系統方塊圖太陽追蹤器控制系統方塊圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
系統的參數為系統的參數為
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKiKi = 00125 N= 00125 N--mA mA RaRa = 625 = 625 J J = 10= 1066 kgkg--m2 m2 Ks Ks = 01 A= 01 AradradK K = = 待決定待決定 BB = 0= 0n n = 800= 800
未補償系統的順向路徑轉移函數為未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--73) 73)
其中其中 oo((ss) ) 和和 AA((ss) ) 分別為分別為 oo((tt) ) 和和 ((tt) ) 的的拉氏拉氏轉換轉換將系統參數的數值代入將系統參數的數值代入 (10(10--73) 73) 式可得式可得
(10(10--74) 74)
將圖將圖1010--2929之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用 ACSYS ACSYS 來求解此問題詳見來求解此問題詳見1010--1515節節
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
11 對單位斜坡函數輸入對單位斜坡函數輸入 rr((tt))穩態誤差穩態誤差 (t(t) ) 需小於或等於最後穩態輸出需小於或等於最後穩態輸出速度的速度的 001 001 radradsecradradsec換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於或等於或等於 11
22 步階響應的最大超越量需小於步階響應的最大超越量需小於 55或更小或更小
33 上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至 ((tt))可得可得
(10(10--75) 75)
對於單位步階輸入對於單位步階輸入rr((ss) = 1) = 1ss22利用利用 (10(10--74) 74) 式則式則 (10(10--75) 75) 式可得式可得
(10(10--76) 76)
因此當因此當 ((tt) ) 的穩態值小於或等於的穩態值小於或等於 001 001 時時KK 必須大於或等於必須大於或等於 11KK = 1 = 1 為最壞的為最壞的情形此時未補償系統的特性方程式情形此時未補償系統的特性方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--77) 77)
因此因此KK = 1 = 1 時未補償系統的阻尼比只有時未補償系統的阻尼比只有 025025對應的最大超越量超過對應的最大超越量超過 444444圖圖1010--30 30 所示為所示為 KK = 1 = 1 時系統的單位步階響應時系統的單位步階響應
圖圖 1010--30 30 例題例題 1010--6 6 太陽追蹤器系統的單位步階響應太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
現考慮使用現考慮使用 (10(10--62) 62) 式的相位領前控制器雖然在此例中使用式的相位領前控制器雖然在此例中使用 PD PD 控制器或採用其控制器或採用其它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫
成成
(10(10--78) 78)
以補償系統來滿足穩態誤差需求時以補償系統來滿足穩態誤差需求時KK 值必須滿足值必須滿足
(10(10--79) 79) 令令 KK = = aa則系統的特性方程式為則系統的特性方程式為
(10(10--80) 80)
在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變 a a 和和 TT 值所產生的影響首先令值所產生的影響首先令 aa= 0= 0則則 (10(10--80) 80) 式的特性方程式變成式的特性方程式變成
(10(10--81) 81)
(10(10--81) 81) 式兩邊除以不含式兩邊除以不含 TT 之項可得之項可得
(10(10--82) 82)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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43
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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44
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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45
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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相位領前控制器的時域表示和設計相位領前控制器的時域表示和設計
本節首先以本節首先以 (10(10--60) 60) 式和式和 (10(10--62) 62) 式來表示相位領前控制器式來表示相位領前控制器 ((zz1 lt 1 lt pp1 1 或或 aa gt 1)gt 1)為為了不讓相位領前控制器危及穩態誤差了不讓相位領前控制器危及穩態誤差(10(10--62) 62) 式中的因子式中的因子 aa 應由順向路徑增益應由順向路徑增益 KK所吸收因此基於設計目的所吸收因此基於設計目的GcGc((ss) ) 可寫成可寫成
(10(10--65) 65)
(10(10--65) 65) 式的極式的極--零點組態如圖零點組態如圖 1010--2727所所示根據第八章對於增加一對極示根據第八章對於增加一對極--零點所零點所產生影響的討論若適當地選擇參數產生影響的討論若適當地選擇參數使順向路徑轉移函數的零點接近於原使順向路徑轉移函數的零點接近於原點則相位領前控制器可以改善閉迴路點則相位領前控制器可以改善閉迴路系統的穩定性設計相位領前控制器在系統的穩定性設計相位領前控制器在
本質上為配置本質上為配置 GcGc((ss) ) 的極點和零點使的極點和零點使設計規格均可滿足根廓線的方法可用設計規格均可滿足根廓線的方法可用
來 求 出 參 數 的 適 當 範 圍 來 求 出 參 數 的 適 當 範 圍 ACSYS ACSYS MATLABMATLAB工具可用來大量減少試誤的過工具可用來大量減少試誤的過程程 圖圖 1010--27 27 相位領前控制器之極相位領前控制器之極--零點組態零點組態
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11 把把 11aTaT 之零點移向原點可以改善上升和安定時間若零點太接近原點則之零點移向原點可以改善上升和安定時間若零點太接近原點則最大超越量會增加因為最大超越量會增加因為 11aTaT 同時亦為同時亦為迴路轉移函數迴路轉移函數之零點之零點
22 把把 11TT 的極點遠離零點和原點可以降低最大超越量但若的極點遠離零點和原點可以降低最大超越量但若 TT 值太小則上升值太小則上升和安定時間仍將增加和安定時間仍將增加
以下的原則可做為參數以下的原則可做為參數 aa 和和 TT 的選擇參考的選擇參考
相位領前控制器對於控制系統時域規格的影響歸納如下相位領前控制器對於控制系統時域規格的影響歸納如下
1 1 若適當地使用則可增加系統阻尼若適當地使用則可增加系統阻尼2 2 改善上升和安定時間改善上升和安定時間3 3 以以 (10(10--65) 65) 式之型式相位領前控制不會對穩態誤差產生影響因為式之型式相位領前控制不會對穩態誤差產生影響因為 GcGc(0) = 1(0) = 1
相位領前控制器的頻域表示和設計相位領前控制器的頻域表示和設計
圖圖 1010--28 28 為為 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器的式之相位領前控制器的波德波德圖其中兩個轉折頻率為圖其中兩個轉折頻率為 = 1aT= 1aT和和 = 1T= 1T相位最大值相位最大值 mm 和其發生頻率和其發生頻率 mm 的推導如下由於的推導如下由於 mm 為兩個轉折為兩個轉折頻率的幾何平均值所以頻率的幾何平均值所以
(10(10--66) 66)
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圖圖 1010--28 28 相位領前控制器之相位領前控制器之波德波德圖其中圖其中
( )c
s aTG s as T
11
aa gt 1 gt 1
因此因此
(10(10--67) 67)
為了決定最大相角為了決定最大相角 mmGcGc(( jj) ) 的相位可寫為的相位可寫為
(10(10--68) 68) 由上式可得由上式可得
(10(10--69) 69)
將將 (10(10--67) 67) 式代入式代入 (10(10--69) 69) 式中可得式中可得
(10(10--70) 70)
或或
(10(10--71) 71)
因此由因此由 mm 值可以決定值可以決定 aa 值為值為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--72) 72)
相角相角 mm 與與 a a 之間的關係和相位領前控制器的之間的關係和相位領前控制器的波德波德圖特性提供了頻域設計的優圖特性提供了頻域設計的優勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求
11 先利用穩態誤差規格求出未補償系統先利用穩態誤差規格求出未補償系統 GPGP( ( jj) ) 之之 KK 值再繪出值再繪出 GPGP(( jj) ) 之之波德波德圖待圖待 a a 值決定後值決定後K K 值須再往上調值須再往上調
22 求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增
加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角 mm並由並由 ((1010--72) 72) 式算式算出出 a a 值值
33 一旦決定了一旦決定了 a a 值則只需要再求出值則只需要再求出 T T 值到此設計基本上即已完成值到此設計基本上即已完成TT值的決定值的決定
方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在 1aT1aT 和和 1T1T使使 mm 發生在新的發生在新的增益交越頻率增益交越頻率 gg上如此補償系統的相位邊限便增加了上如此補償系統的相位邊限便增加了 mm注意相位領注意相位領前控制器的高頻增益為前控制器的高頻增益為 20 log10 a20 log10 a dBdB因此為了要使新的增益交越頻率因此為了要使新的增益交越頻率 mm為為 1aT1aT 和和 1T1T 的幾何平均值必須將的幾何平均值必須將 mm 配置於未補償系統配置於未補償系統 GPGP(( jj) ) 幅度值為幅度值為10 log10 log10 a 10 a dB dB 的頻率處的頻率處如此由相位領前控制器所增加的增益如此由相位領前控制器所增加的增益 10 log10 a10 log10 adB dB 剛好使補償過的系統幅度曲線在剛好使補償過的系統幅度曲線在 mm 處通過處通過 0 dB0 dB
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 以補償系統的順向路徑轉移函數的以補償系統的順向路徑轉移函數的波德波德圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足
若無法滿足則必須再選一若無法滿足則必須再選一 mm 值並重複以上步驟值並重複以上步驟55 若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由 aa 和和 TT 值來加以建立值來加以建立
若設計規格中也包括了若設計規格中也包括了 MrMr 和和或或 BWBW則上述結果必須以則上述結果必須以尼可尼可圖或電腦程式的輸出圖或電腦程式的輸出資料加以驗證資料加以驗證
例題例題1010--66 圖圖 1010--29 29 的方塊圖說明的方塊圖說明 44--9 9 節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統
可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數 rr 代表陽光的參考角代表陽光的參考角oo 代表代表太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使 rr 和和 oo 之間的誤差之間的誤差 保持接近零保持接近零
圖圖1010--29 29 太陽追蹤器控制系統方塊圖太陽追蹤器控制系統方塊圖
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系統的參數為系統的參數為
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKiKi = 00125 N= 00125 N--mA mA RaRa = 625 = 625 J J = 10= 1066 kgkg--m2 m2 Ks Ks = 01 A= 01 AradradK K = = 待決定待決定 BB = 0= 0n n = 800= 800
未補償系統的順向路徑轉移函數為未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--73) 73)
其中其中 oo((ss) ) 和和 AA((ss) ) 分別為分別為 oo((tt) ) 和和 ((tt) ) 的的拉氏拉氏轉換轉換將系統參數的數值代入將系統參數的數值代入 (10(10--73) 73) 式可得式可得
(10(10--74) 74)
將圖將圖1010--2929之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用 ACSYS ACSYS 來求解此問題詳見來求解此問題詳見1010--1515節節
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
11 對單位斜坡函數輸入對單位斜坡函數輸入 rr((tt))穩態誤差穩態誤差 (t(t) ) 需小於或等於最後穩態輸出需小於或等於最後穩態輸出速度的速度的 001 001 radradsecradradsec換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於或等於或等於 11
22 步階響應的最大超越量需小於步階響應的最大超越量需小於 55或更小或更小
33 上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至 ((tt))可得可得
(10(10--75) 75)
對於單位步階輸入對於單位步階輸入rr((ss) = 1) = 1ss22利用利用 (10(10--74) 74) 式則式則 (10(10--75) 75) 式可得式可得
(10(10--76) 76)
因此當因此當 ((tt) ) 的穩態值小於或等於的穩態值小於或等於 001 001 時時KK 必須大於或等於必須大於或等於 11KK = 1 = 1 為最壞的為最壞的情形此時未補償系統的特性方程式情形此時未補償系統的特性方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--77) 77)
因此因此KK = 1 = 1 時未補償系統的阻尼比只有時未補償系統的阻尼比只有 025025對應的最大超越量超過對應的最大超越量超過 444444圖圖1010--30 30 所示為所示為 KK = 1 = 1 時系統的單位步階響應時系統的單位步階響應
圖圖 1010--30 30 例題例題 1010--6 6 太陽追蹤器系統的單位步階響應太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
現考慮使用現考慮使用 (10(10--62) 62) 式的相位領前控制器雖然在此例中使用式的相位領前控制器雖然在此例中使用 PD PD 控制器或採用其控制器或採用其它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫
成成
(10(10--78) 78)
以補償系統來滿足穩態誤差需求時以補償系統來滿足穩態誤差需求時KK 值必須滿足值必須滿足
(10(10--79) 79) 令令 KK = = aa則系統的特性方程式為則系統的特性方程式為
(10(10--80) 80)
在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變 a a 和和 TT 值所產生的影響首先令值所產生的影響首先令 aa= 0= 0則則 (10(10--80) 80) 式的特性方程式變成式的特性方程式變成
(10(10--81) 81)
(10(10--81) 81) 式兩邊除以不含式兩邊除以不含 TT 之項可得之項可得
(10(10--82) 82)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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51
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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53
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 把把 11aTaT 之零點移向原點可以改善上升和安定時間若零點太接近原點則之零點移向原點可以改善上升和安定時間若零點太接近原點則最大超越量會增加因為最大超越量會增加因為 11aTaT 同時亦為同時亦為迴路轉移函數迴路轉移函數之零點之零點
22 把把 11TT 的極點遠離零點和原點可以降低最大超越量但若的極點遠離零點和原點可以降低最大超越量但若 TT 值太小則上升值太小則上升和安定時間仍將增加和安定時間仍將增加
以下的原則可做為參數以下的原則可做為參數 aa 和和 TT 的選擇參考的選擇參考
相位領前控制器對於控制系統時域規格的影響歸納如下相位領前控制器對於控制系統時域規格的影響歸納如下
1 1 若適當地使用則可增加系統阻尼若適當地使用則可增加系統阻尼2 2 改善上升和安定時間改善上升和安定時間3 3 以以 (10(10--65) 65) 式之型式相位領前控制不會對穩態誤差產生影響因為式之型式相位領前控制不會對穩態誤差產生影響因為 GcGc(0) = 1(0) = 1
相位領前控制器的頻域表示和設計相位領前控制器的頻域表示和設計
圖圖 1010--28 28 為為 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器的式之相位領前控制器的波德波德圖其中兩個轉折頻率為圖其中兩個轉折頻率為 = 1aT= 1aT和和 = 1T= 1T相位最大值相位最大值 mm 和其發生頻率和其發生頻率 mm 的推導如下由於的推導如下由於 mm 為兩個轉折為兩個轉折頻率的幾何平均值所以頻率的幾何平均值所以
(10(10--66) 66)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--28 28 相位領前控制器之相位領前控制器之波德波德圖其中圖其中
( )c
s aTG s as T
11
aa gt 1 gt 1
因此因此
(10(10--67) 67)
為了決定最大相角為了決定最大相角 mmGcGc(( jj) ) 的相位可寫為的相位可寫為
(10(10--68) 68) 由上式可得由上式可得
(10(10--69) 69)
將將 (10(10--67) 67) 式代入式代入 (10(10--69) 69) 式中可得式中可得
(10(10--70) 70)
或或
(10(10--71) 71)
因此由因此由 mm 值可以決定值可以決定 aa 值為值為
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6
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--72) 72)
相角相角 mm 與與 a a 之間的關係和相位領前控制器的之間的關係和相位領前控制器的波德波德圖特性提供了頻域設計的優圖特性提供了頻域設計的優勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求
11 先利用穩態誤差規格求出未補償系統先利用穩態誤差規格求出未補償系統 GPGP( ( jj) ) 之之 KK 值再繪出值再繪出 GPGP(( jj) ) 之之波德波德圖待圖待 a a 值決定後值決定後K K 值須再往上調值須再往上調
22 求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增
加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角 mm並由並由 ((1010--72) 72) 式算式算出出 a a 值值
33 一旦決定了一旦決定了 a a 值則只需要再求出值則只需要再求出 T T 值到此設計基本上即已完成值到此設計基本上即已完成TT值的決定值的決定
方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在 1aT1aT 和和 1T1T使使 mm 發生在新的發生在新的增益交越頻率增益交越頻率 gg上如此補償系統的相位邊限便增加了上如此補償系統的相位邊限便增加了 mm注意相位領注意相位領前控制器的高頻增益為前控制器的高頻增益為 20 log10 a20 log10 a dBdB因此為了要使新的增益交越頻率因此為了要使新的增益交越頻率 mm為為 1aT1aT 和和 1T1T 的幾何平均值必須將的幾何平均值必須將 mm 配置於未補償系統配置於未補償系統 GPGP(( jj) ) 幅度值為幅度值為10 log10 log10 a 10 a dB dB 的頻率處的頻率處如此由相位領前控制器所增加的增益如此由相位領前控制器所增加的增益 10 log10 a10 log10 adB dB 剛好使補償過的系統幅度曲線在剛好使補償過的系統幅度曲線在 mm 處通過處通過 0 dB0 dB
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 以補償系統的順向路徑轉移函數的以補償系統的順向路徑轉移函數的波德波德圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足
若無法滿足則必須再選一若無法滿足則必須再選一 mm 值並重複以上步驟值並重複以上步驟55 若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由 aa 和和 TT 值來加以建立值來加以建立
若設計規格中也包括了若設計規格中也包括了 MrMr 和和或或 BWBW則上述結果必須以則上述結果必須以尼可尼可圖或電腦程式的輸出圖或電腦程式的輸出資料加以驗證資料加以驗證
例題例題1010--66 圖圖 1010--29 29 的方塊圖說明的方塊圖說明 44--9 9 節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統
可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數 rr 代表陽光的參考角代表陽光的參考角oo 代表代表太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使 rr 和和 oo 之間的誤差之間的誤差 保持接近零保持接近零
圖圖1010--29 29 太陽追蹤器控制系統方塊圖太陽追蹤器控制系統方塊圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
系統的參數為系統的參數為
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKiKi = 00125 N= 00125 N--mA mA RaRa = 625 = 625 J J = 10= 1066 kgkg--m2 m2 Ks Ks = 01 A= 01 AradradK K = = 待決定待決定 BB = 0= 0n n = 800= 800
未補償系統的順向路徑轉移函數為未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--73) 73)
其中其中 oo((ss) ) 和和 AA((ss) ) 分別為分別為 oo((tt) ) 和和 ((tt) ) 的的拉氏拉氏轉換轉換將系統參數的數值代入將系統參數的數值代入 (10(10--73) 73) 式可得式可得
(10(10--74) 74)
將圖將圖1010--2929之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用 ACSYS ACSYS 來求解此問題詳見來求解此問題詳見1010--1515節節
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
11 對單位斜坡函數輸入對單位斜坡函數輸入 rr((tt))穩態誤差穩態誤差 (t(t) ) 需小於或等於最後穩態輸出需小於或等於最後穩態輸出速度的速度的 001 001 radradsecradradsec換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於或等於或等於 11
22 步階響應的最大超越量需小於步階響應的最大超越量需小於 55或更小或更小
33 上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至 ((tt))可得可得
(10(10--75) 75)
對於單位步階輸入對於單位步階輸入rr((ss) = 1) = 1ss22利用利用 (10(10--74) 74) 式則式則 (10(10--75) 75) 式可得式可得
(10(10--76) 76)
因此當因此當 ((tt) ) 的穩態值小於或等於的穩態值小於或等於 001 001 時時KK 必須大於或等於必須大於或等於 11KK = 1 = 1 為最壞的為最壞的情形此時未補償系統的特性方程式情形此時未補償系統的特性方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--77) 77)
因此因此KK = 1 = 1 時未補償系統的阻尼比只有時未補償系統的阻尼比只有 025025對應的最大超越量超過對應的最大超越量超過 444444圖圖1010--30 30 所示為所示為 KK = 1 = 1 時系統的單位步階響應時系統的單位步階響應
圖圖 1010--30 30 例題例題 1010--6 6 太陽追蹤器系統的單位步階響應太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
現考慮使用現考慮使用 (10(10--62) 62) 式的相位領前控制器雖然在此例中使用式的相位領前控制器雖然在此例中使用 PD PD 控制器或採用其控制器或採用其它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫
成成
(10(10--78) 78)
以補償系統來滿足穩態誤差需求時以補償系統來滿足穩態誤差需求時KK 值必須滿足值必須滿足
(10(10--79) 79) 令令 KK = = aa則系統的特性方程式為則系統的特性方程式為
(10(10--80) 80)
在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變 a a 和和 TT 值所產生的影響首先令值所產生的影響首先令 aa= 0= 0則則 (10(10--80) 80) 式的特性方程式變成式的特性方程式變成
(10(10--81) 81)
(10(10--81) 81) 式兩邊除以不含式兩邊除以不含 TT 之項可得之項可得
(10(10--82) 82)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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63
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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5
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--28 28 相位領前控制器之相位領前控制器之波德波德圖其中圖其中
( )c
s aTG s as T
11
aa gt 1 gt 1
因此因此
(10(10--67) 67)
為了決定最大相角為了決定最大相角 mmGcGc(( jj) ) 的相位可寫為的相位可寫為
(10(10--68) 68) 由上式可得由上式可得
(10(10--69) 69)
將將 (10(10--67) 67) 式代入式代入 (10(10--69) 69) 式中可得式中可得
(10(10--70) 70)
或或
(10(10--71) 71)
因此由因此由 mm 值可以決定值可以決定 aa 值為值為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--72) 72)
相角相角 mm 與與 a a 之間的關係和相位領前控制器的之間的關係和相位領前控制器的波德波德圖特性提供了頻域設計的優圖特性提供了頻域設計的優勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求
11 先利用穩態誤差規格求出未補償系統先利用穩態誤差規格求出未補償系統 GPGP( ( jj) ) 之之 KK 值再繪出值再繪出 GPGP(( jj) ) 之之波德波德圖待圖待 a a 值決定後值決定後K K 值須再往上調值須再往上調
22 求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增
加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角 mm並由並由 ((1010--72) 72) 式算式算出出 a a 值值
33 一旦決定了一旦決定了 a a 值則只需要再求出值則只需要再求出 T T 值到此設計基本上即已完成值到此設計基本上即已完成TT值的決定值的決定
方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在 1aT1aT 和和 1T1T使使 mm 發生在新的發生在新的增益交越頻率增益交越頻率 gg上如此補償系統的相位邊限便增加了上如此補償系統的相位邊限便增加了 mm注意相位領注意相位領前控制器的高頻增益為前控制器的高頻增益為 20 log10 a20 log10 a dBdB因此為了要使新的增益交越頻率因此為了要使新的增益交越頻率 mm為為 1aT1aT 和和 1T1T 的幾何平均值必須將的幾何平均值必須將 mm 配置於未補償系統配置於未補償系統 GPGP(( jj) ) 幅度值為幅度值為10 log10 log10 a 10 a dB dB 的頻率處的頻率處如此由相位領前控制器所增加的增益如此由相位領前控制器所增加的增益 10 log10 a10 log10 adB dB 剛好使補償過的系統幅度曲線在剛好使補償過的系統幅度曲線在 mm 處通過處通過 0 dB0 dB
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 以補償系統的順向路徑轉移函數的以補償系統的順向路徑轉移函數的波德波德圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足
若無法滿足則必須再選一若無法滿足則必須再選一 mm 值並重複以上步驟值並重複以上步驟55 若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由 aa 和和 TT 值來加以建立值來加以建立
若設計規格中也包括了若設計規格中也包括了 MrMr 和和或或 BWBW則上述結果必須以則上述結果必須以尼可尼可圖或電腦程式的輸出圖或電腦程式的輸出資料加以驗證資料加以驗證
例題例題1010--66 圖圖 1010--29 29 的方塊圖說明的方塊圖說明 44--9 9 節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統
可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數 rr 代表陽光的參考角代表陽光的參考角oo 代表代表太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使 rr 和和 oo 之間的誤差之間的誤差 保持接近零保持接近零
圖圖1010--29 29 太陽追蹤器控制系統方塊圖太陽追蹤器控制系統方塊圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
系統的參數為系統的參數為
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKiKi = 00125 N= 00125 N--mA mA RaRa = 625 = 625 J J = 10= 1066 kgkg--m2 m2 Ks Ks = 01 A= 01 AradradK K = = 待決定待決定 BB = 0= 0n n = 800= 800
未補償系統的順向路徑轉移函數為未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--73) 73)
其中其中 oo((ss) ) 和和 AA((ss) ) 分別為分別為 oo((tt) ) 和和 ((tt) ) 的的拉氏拉氏轉換轉換將系統參數的數值代入將系統參數的數值代入 (10(10--73) 73) 式可得式可得
(10(10--74) 74)
將圖將圖1010--2929之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用 ACSYS ACSYS 來求解此問題詳見來求解此問題詳見1010--1515節節
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
11 對單位斜坡函數輸入對單位斜坡函數輸入 rr((tt))穩態誤差穩態誤差 (t(t) ) 需小於或等於最後穩態輸出需小於或等於最後穩態輸出速度的速度的 001 001 radradsecradradsec換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於或等於或等於 11
22 步階響應的最大超越量需小於步階響應的最大超越量需小於 55或更小或更小
33 上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至 ((tt))可得可得
(10(10--75) 75)
對於單位步階輸入對於單位步階輸入rr((ss) = 1) = 1ss22利用利用 (10(10--74) 74) 式則式則 (10(10--75) 75) 式可得式可得
(10(10--76) 76)
因此當因此當 ((tt) ) 的穩態值小於或等於的穩態值小於或等於 001 001 時時KK 必須大於或等於必須大於或等於 11KK = 1 = 1 為最壞的為最壞的情形此時未補償系統的特性方程式情形此時未補償系統的特性方程式
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10
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--77) 77)
因此因此KK = 1 = 1 時未補償系統的阻尼比只有時未補償系統的阻尼比只有 025025對應的最大超越量超過對應的最大超越量超過 444444圖圖1010--30 30 所示為所示為 KK = 1 = 1 時系統的單位步階響應時系統的單位步階響應
圖圖 1010--30 30 例題例題 1010--6 6 太陽追蹤器系統的單位步階響應太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
現考慮使用現考慮使用 (10(10--62) 62) 式的相位領前控制器雖然在此例中使用式的相位領前控制器雖然在此例中使用 PD PD 控制器或採用其控制器或採用其它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫
成成
(10(10--78) 78)
以補償系統來滿足穩態誤差需求時以補償系統來滿足穩態誤差需求時KK 值必須滿足值必須滿足
(10(10--79) 79) 令令 KK = = aa則系統的特性方程式為則系統的特性方程式為
(10(10--80) 80)
在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變 a a 和和 TT 值所產生的影響首先令值所產生的影響首先令 aa= 0= 0則則 (10(10--80) 80) 式的特性方程式變成式的特性方程式變成
(10(10--81) 81)
(10(10--81) 81) 式兩邊除以不含式兩邊除以不含 TT 之項可得之項可得
(10(10--82) 82)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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6
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--72) 72)
相角相角 mm 與與 a a 之間的關係和相位領前控制器的之間的關係和相位領前控制器的波德波德圖特性提供了頻域設計的優圖特性提供了頻域設計的優勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位勢但其困難在於時域和頻域規格之間的相互關係下面將說明在頻域中設計相位領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求領前控制器的一般原則在此假設設計規格只包含穩態誤差和相位邊限之需求
11 先利用穩態誤差規格求出未補償系統先利用穩態誤差規格求出未補償系統 GPGP( ( jj) ) 之之 KK 值再繪出值再繪出 GPGP(( jj) ) 之之波德波德圖待圖待 a a 值決定後值決定後K K 值須再往上調值須再往上調
22 求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增求出未補償系統的相位邊限和增益邊限並決定要達成相位邊限規格所需要增
加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角加的相位領前量由所增加的相位領前量可預估相位角 mm並由並由 ((1010--72) 72) 式算式算出出 a a 值值
33 一旦決定了一旦決定了 a a 值則只需要再求出值則只需要再求出 T T 值到此設計基本上即已完成值到此設計基本上即已完成TT值的決定值的決定
方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在方法便是將相位領前控制器的轉折頻率配置在 1aT1aT 和和 1T1T使使 mm 發生在新的發生在新的增益交越頻率增益交越頻率 gg上如此補償系統的相位邊限便增加了上如此補償系統的相位邊限便增加了 mm注意相位領注意相位領前控制器的高頻增益為前控制器的高頻增益為 20 log10 a20 log10 a dBdB因此為了要使新的增益交越頻率因此為了要使新的增益交越頻率 mm為為 1aT1aT 和和 1T1T 的幾何平均值必須將的幾何平均值必須將 mm 配置於未補償系統配置於未補償系統 GPGP(( jj) ) 幅度值為幅度值為10 log10 log10 a 10 a dB dB 的頻率處的頻率處如此由相位領前控制器所增加的增益如此由相位領前控制器所增加的增益 10 log10 a10 log10 adB dB 剛好使補償過的系統幅度曲線在剛好使補償過的系統幅度曲線在 mm 處通過處通過 0 dB0 dB
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 以補償系統的順向路徑轉移函數的以補償系統的順向路徑轉移函數的波德波德圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足
若無法滿足則必須再選一若無法滿足則必須再選一 mm 值並重複以上步驟值並重複以上步驟55 若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由 aa 和和 TT 值來加以建立值來加以建立
若設計規格中也包括了若設計規格中也包括了 MrMr 和和或或 BWBW則上述結果必須以則上述結果必須以尼可尼可圖或電腦程式的輸出圖或電腦程式的輸出資料加以驗證資料加以驗證
例題例題1010--66 圖圖 1010--29 29 的方塊圖說明的方塊圖說明 44--9 9 節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統
可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數 rr 代表陽光的參考角代表陽光的參考角oo 代表代表太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使 rr 和和 oo 之間的誤差之間的誤差 保持接近零保持接近零
圖圖1010--29 29 太陽追蹤器控制系統方塊圖太陽追蹤器控制系統方塊圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
系統的參數為系統的參數為
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKiKi = 00125 N= 00125 N--mA mA RaRa = 625 = 625 J J = 10= 1066 kgkg--m2 m2 Ks Ks = 01 A= 01 AradradK K = = 待決定待決定 BB = 0= 0n n = 800= 800
未補償系統的順向路徑轉移函數為未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--73) 73)
其中其中 oo((ss) ) 和和 AA((ss) ) 分別為分別為 oo((tt) ) 和和 ((tt) ) 的的拉氏拉氏轉換轉換將系統參數的數值代入將系統參數的數值代入 (10(10--73) 73) 式可得式可得
(10(10--74) 74)
將圖將圖1010--2929之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用 ACSYS ACSYS 來求解此問題詳見來求解此問題詳見1010--1515節節
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9
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
11 對單位斜坡函數輸入對單位斜坡函數輸入 rr((tt))穩態誤差穩態誤差 (t(t) ) 需小於或等於最後穩態輸出需小於或等於最後穩態輸出速度的速度的 001 001 radradsecradradsec換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於或等於或等於 11
22 步階響應的最大超越量需小於步階響應的最大超越量需小於 55或更小或更小
33 上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至 ((tt))可得可得
(10(10--75) 75)
對於單位步階輸入對於單位步階輸入rr((ss) = 1) = 1ss22利用利用 (10(10--74) 74) 式則式則 (10(10--75) 75) 式可得式可得
(10(10--76) 76)
因此當因此當 ((tt) ) 的穩態值小於或等於的穩態值小於或等於 001 001 時時KK 必須大於或等於必須大於或等於 11KK = 1 = 1 為最壞的為最壞的情形此時未補償系統的特性方程式情形此時未補償系統的特性方程式
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10
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--77) 77)
因此因此KK = 1 = 1 時未補償系統的阻尼比只有時未補償系統的阻尼比只有 025025對應的最大超越量超過對應的最大超越量超過 444444圖圖1010--30 30 所示為所示為 KK = 1 = 1 時系統的單位步階響應時系統的單位步階響應
圖圖 1010--30 30 例題例題 1010--6 6 太陽追蹤器系統的單位步階響應太陽追蹤器系統的單位步階響應
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11
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
現考慮使用現考慮使用 (10(10--62) 62) 式的相位領前控制器雖然在此例中使用式的相位領前控制器雖然在此例中使用 PD PD 控制器或採用其控制器或採用其它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫
成成
(10(10--78) 78)
以補償系統來滿足穩態誤差需求時以補償系統來滿足穩態誤差需求時KK 值必須滿足值必須滿足
(10(10--79) 79) 令令 KK = = aa則系統的特性方程式為則系統的特性方程式為
(10(10--80) 80)
在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變 a a 和和 TT 值所產生的影響首先令值所產生的影響首先令 aa= 0= 0則則 (10(10--80) 80) 式的特性方程式變成式的特性方程式變成
(10(10--81) 81)
(10(10--81) 81) 式兩邊除以不含式兩邊除以不含 TT 之項可得之項可得
(10(10--82) 82)
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12
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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45
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 以補償系統的順向路徑轉移函數的以補償系統的順向路徑轉移函數的波德波德圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足圖來驗證是否所有的性能規格均能滿足
若無法滿足則必須再選一若無法滿足則必須再選一 mm 值並重複以上步驟值並重複以上步驟55 若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由若設計規格均能滿足則相位領前的轉移函數可由 aa 和和 TT 值來加以建立值來加以建立
若設計規格中也包括了若設計規格中也包括了 MrMr 和和或或 BWBW則上述結果必須以則上述結果必須以尼可尼可圖或電腦程式的輸出圖或電腦程式的輸出資料加以驗證資料加以驗證
例題例題1010--66 圖圖 1010--29 29 的方塊圖說明的方塊圖說明 44--9 9 節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統節中所描述的太陽追蹤器控制系統此系統
可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數可安置在太空船上所以能精準地追蹤太陽變數 rr 代表陽光的參考角代表陽光的參考角oo 代表代表太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使太空船的軸太陽追蹤器系統的目的是設法使 rr 和和 oo 之間的誤差之間的誤差 保持接近零保持接近零
圖圖1010--29 29 太陽追蹤器控制系統方塊圖太陽追蹤器控制系統方塊圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
系統的參數為系統的參數為
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKiKi = 00125 N= 00125 N--mA mA RaRa = 625 = 625 J J = 10= 1066 kgkg--m2 m2 Ks Ks = 01 A= 01 AradradK K = = 待決定待決定 BB = 0= 0n n = 800= 800
未補償系統的順向路徑轉移函數為未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--73) 73)
其中其中 oo((ss) ) 和和 AA((ss) ) 分別為分別為 oo((tt) ) 和和 ((tt) ) 的的拉氏拉氏轉換轉換將系統參數的數值代入將系統參數的數值代入 (10(10--73) 73) 式可得式可得
(10(10--74) 74)
將圖將圖1010--2929之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用 ACSYS ACSYS 來求解此問題詳見來求解此問題詳見1010--1515節節
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
11 對單位斜坡函數輸入對單位斜坡函數輸入 rr((tt))穩態誤差穩態誤差 (t(t) ) 需小於或等於最後穩態輸出需小於或等於最後穩態輸出速度的速度的 001 001 radradsecradradsec換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於或等於或等於 11
22 步階響應的最大超越量需小於步階響應的最大超越量需小於 55或更小或更小
33 上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至 ((tt))可得可得
(10(10--75) 75)
對於單位步階輸入對於單位步階輸入rr((ss) = 1) = 1ss22利用利用 (10(10--74) 74) 式則式則 (10(10--75) 75) 式可得式可得
(10(10--76) 76)
因此當因此當 ((tt) ) 的穩態值小於或等於的穩態值小於或等於 001 001 時時KK 必須大於或等於必須大於或等於 11KK = 1 = 1 為最壞的為最壞的情形此時未補償系統的特性方程式情形此時未補償系統的特性方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--77) 77)
因此因此KK = 1 = 1 時未補償系統的阻尼比只有時未補償系統的阻尼比只有 025025對應的最大超越量超過對應的最大超越量超過 444444圖圖1010--30 30 所示為所示為 KK = 1 = 1 時系統的單位步階響應時系統的單位步階響應
圖圖 1010--30 30 例題例題 1010--6 6 太陽追蹤器系統的單位步階響應太陽追蹤器系統的單位步階響應
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現考慮使用現考慮使用 (10(10--62) 62) 式的相位領前控制器雖然在此例中使用式的相位領前控制器雖然在此例中使用 PD PD 控制器或採用其控制器或採用其它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫
成成
(10(10--78) 78)
以補償系統來滿足穩態誤差需求時以補償系統來滿足穩態誤差需求時KK 值必須滿足值必須滿足
(10(10--79) 79) 令令 KK = = aa則系統的特性方程式為則系統的特性方程式為
(10(10--80) 80)
在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變 a a 和和 TT 值所產生的影響首先令值所產生的影響首先令 aa= 0= 0則則 (10(10--80) 80) 式的特性方程式變成式的特性方程式變成
(10(10--81) 81)
(10(10--81) 81) 式兩邊除以不含式兩邊除以不含 TT 之項可得之項可得
(10(10--82) 82)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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40
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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41
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
系統的參數為系統的參數為
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKiKi = 00125 N= 00125 N--mA mA RaRa = 625 = 625 J J = 10= 1066 kgkg--m2 m2 Ks Ks = 01 A= 01 AradradK K = = 待決定待決定 BB = 0= 0n n = 800= 800
未補償系統的順向路徑轉移函數為未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--73) 73)
其中其中 oo((ss) ) 和和 AA((ss) ) 分別為分別為 oo((tt) ) 和和 ((tt) ) 的的拉氏拉氏轉換轉換將系統參數的數值代入將系統參數的數值代入 (10(10--73) 73) 式可得式可得
(10(10--74) 74)
將圖將圖1010--2929之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用之方塊圖化簡為基本型式後讀者亦可使用 ACSYS ACSYS 來求解此問題詳見來求解此問題詳見1010--1515節節
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
11 對單位斜坡函數輸入對單位斜坡函數輸入 rr((tt))穩態誤差穩態誤差 (t(t) ) 需小於或等於最後穩態輸出需小於或等於最後穩態輸出速度的速度的 001 001 radradsecradradsec換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於或等於或等於 11
22 步階響應的最大超越量需小於步階響應的最大超越量需小於 55或更小或更小
33 上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至 ((tt))可得可得
(10(10--75) 75)
對於單位步階輸入對於單位步階輸入rr((ss) = 1) = 1ss22利用利用 (10(10--74) 74) 式則式則 (10(10--75) 75) 式可得式可得
(10(10--76) 76)
因此當因此當 ((tt) ) 的穩態值小於或等於的穩態值小於或等於 001 001 時時KK 必須大於或等於必須大於或等於 11KK = 1 = 1 為最壞的為最壞的情形此時未補償系統的特性方程式情形此時未補償系統的特性方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--77) 77)
因此因此KK = 1 = 1 時未補償系統的阻尼比只有時未補償系統的阻尼比只有 025025對應的最大超越量超過對應的最大超越量超過 444444圖圖1010--30 30 所示為所示為 KK = 1 = 1 時系統的單位步階響應時系統的單位步階響應
圖圖 1010--30 30 例題例題 1010--6 6 太陽追蹤器系統的單位步階響應太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
現考慮使用現考慮使用 (10(10--62) 62) 式的相位領前控制器雖然在此例中使用式的相位領前控制器雖然在此例中使用 PD PD 控制器或採用其控制器或採用其它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫
成成
(10(10--78) 78)
以補償系統來滿足穩態誤差需求時以補償系統來滿足穩態誤差需求時KK 值必須滿足值必須滿足
(10(10--79) 79) 令令 KK = = aa則系統的特性方程式為則系統的特性方程式為
(10(10--80) 80)
在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變 a a 和和 TT 值所產生的影響首先令值所產生的影響首先令 aa= 0= 0則則 (10(10--80) 80) 式的特性方程式變成式的特性方程式變成
(10(10--81) 81)
(10(10--81) 81) 式兩邊除以不含式兩邊除以不含 TT 之項可得之項可得
(10(10--82) 82)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
11 對單位斜坡函數輸入對單位斜坡函數輸入 rr((tt))穩態誤差穩態誤差 (t(t) ) 需小於或等於最後穩態輸出需小於或等於最後穩態輸出速度的速度的 001 001 radradsecradradsec換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於換言之對斜坡輸入而言穩態誤差應小於或等於或等於 11
22 步階響應的最大超越量需小於步階響應的最大超越量需小於 55或更小或更小
33 上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至的最小值可由所需的穩態誤差決定應用終值定理至 ((tt))可得可得
(10(10--75) 75)
對於單位步階輸入對於單位步階輸入rr((ss) = 1) = 1ss22利用利用 (10(10--74) 74) 式則式則 (10(10--75) 75) 式可得式可得
(10(10--76) 76)
因此當因此當 ((tt) ) 的穩態值小於或等於的穩態值小於或等於 001 001 時時KK 必須大於或等於必須大於或等於 11KK = 1 = 1 為最壞的為最壞的情形此時未補償系統的特性方程式情形此時未補償系統的特性方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--77) 77)
因此因此KK = 1 = 1 時未補償系統的阻尼比只有時未補償系統的阻尼比只有 025025對應的最大超越量超過對應的最大超越量超過 444444圖圖1010--30 30 所示為所示為 KK = 1 = 1 時系統的單位步階響應時系統的單位步階響應
圖圖 1010--30 30 例題例題 1010--6 6 太陽追蹤器系統的單位步階響應太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
現考慮使用現考慮使用 (10(10--62) 62) 式的相位領前控制器雖然在此例中使用式的相位領前控制器雖然在此例中使用 PD PD 控制器或採用其控制器或採用其它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫
成成
(10(10--78) 78)
以補償系統來滿足穩態誤差需求時以補償系統來滿足穩態誤差需求時KK 值必須滿足值必須滿足
(10(10--79) 79) 令令 KK = = aa則系統的特性方程式為則系統的特性方程式為
(10(10--80) 80)
在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變 a a 和和 TT 值所產生的影響首先令值所產生的影響首先令 aa= 0= 0則則 (10(10--80) 80) 式的特性方程式變成式的特性方程式變成
(10(10--81) 81)
(10(10--81) 81) 式兩邊除以不含式兩邊除以不含 TT 之項可得之項可得
(10(10--82) 82)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--77) 77)
因此因此KK = 1 = 1 時未補償系統的阻尼比只有時未補償系統的阻尼比只有 025025對應的最大超越量超過對應的最大超越量超過 444444圖圖1010--30 30 所示為所示為 KK = 1 = 1 時系統的單位步階響應時系統的單位步階響應
圖圖 1010--30 30 例題例題 1010--6 6 太陽追蹤器系統的單位步階響應太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
現考慮使用現考慮使用 (10(10--62) 62) 式的相位領前控制器雖然在此例中使用式的相位領前控制器雖然在此例中使用 PD PD 控制器或採用其控制器或採用其它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫
成成
(10(10--78) 78)
以補償系統來滿足穩態誤差需求時以補償系統來滿足穩態誤差需求時KK 值必須滿足值必須滿足
(10(10--79) 79) 令令 KK = = aa則系統的特性方程式為則系統的特性方程式為
(10(10--80) 80)
在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變 a a 和和 TT 值所產生的影響首先令值所產生的影響首先令 aa= 0= 0則則 (10(10--80) 80) 式的特性方程式變成式的特性方程式變成
(10(10--81) 81)
(10(10--81) 81) 式兩邊除以不含式兩邊除以不含 TT 之項可得之項可得
(10(10--82) 82)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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33
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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50
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
現考慮使用現考慮使用 (10(10--62) 62) 式的相位領前控制器雖然在此例中使用式的相位領前控制器雖然在此例中使用 PD PD 控制器或採用其控制器或採用其它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫它的相位領前控制器也能滿足前述的性能規格補償系統的順向路徑轉移函數可寫
成成
(10(10--78) 78)
以補償系統來滿足穩態誤差需求時以補償系統來滿足穩態誤差需求時KK 值必須滿足值必須滿足
(10(10--79) 79) 令令 KK = = aa則系統的特性方程式為則系統的特性方程式為
(10(10--80) 80)
在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變在此可利用根廓線法來說明相位領前控制器改變 a a 和和 TT 值所產生的影響首先令值所產生的影響首先令 aa= 0= 0則則 (10(10--80) 80) 式的特性方程式變成式的特性方程式變成
(10(10--81) 81)
(10(10--81) 81) 式兩邊除以不含式兩邊除以不含 TT 之項可得之項可得
(10(10--82) 82)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此當因此當 (10(10--81) 81) 式在式在 TT 變化時的根廓線可由變化時的根廓線可由 (10(10--82) 82) 式式 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組態來零點組態來決定決定
圖圖 1010--31 31 太陽追蹤器系統在太陽追蹤器系統在 aa = 0= 0且且 TT 由由 0 0 變化到變化到 時的根廓線時的根廓線
這些根廓線繪於圖這些根廓線繪於圖 1010--3131注意注意GGeq1(eq1(ss) ) 的極點為當的極點為當 aa = 0 = 0 和和 TT = 0 = 0 時特性方程式的根由圖時特性方程式的根由圖 1010--31 31 的根的根廓線可以清楚地看出廓線可以清楚地看出只在只在 (10(10--74) 74) 中的分母增加中的分母增加 (1 + (1 + TsTs) ) 因子將不會改因子將不會改善系統性能善系統性能因為特性方程式的根被因為特性方程式的根被
推往右半平面事實上推往右半平面事實上當當 TT 值大於值大於00133 00133 時系統變為不穩定時系統變為不穩定為發揮為發揮相位領前控制器完全的影響必須將相位領前控制器完全的影響必須將(10(10--80) 80) 式之式之 aa 值恢復值恢復
為畫出以為畫出以 aa 為可變參數的根廓線把為可變參數的根廓線把(10(10--80) 80) 式左右兩邊除以不含式左右兩邊除以不含 aa 之之項可得到以下方程式項可得到以下方程式
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(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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45
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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46
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--83) 83)
圖圖 1010--32 32 具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線具相位領前控制器之太陽追蹤器系統的根廓線
對一已知對一已知 TT 值值(10(10--80) 80) 式在式在 aa值變化時的根廓線可以根據值變化時的根廓線可以根據GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點得到注的極點和零點得到注意意GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--81) 81) 式的根相同因此對一已知的式的根相同因此對一已知的TT(10(10--80) 80) 式在式在 aa 值變化時的根值變化時的根廓線必定由圖廓線必定由圖 1010--31 31 根廓線上的根廓線上的點開始點開始 ((aa = 0) = 0) 這些根廓線結這些根廓線結
束束 ((aa = = ) ) 於於 ss = 0= 0且且為為 GGeq2(eq2(ss) ) 的零點的零點 (10(10--80) 80) 式式的完整根廓線如圖的完整根廓線如圖 1010--3232其乃其乃針對不同的針對不同的 TT 值而值而 aa 值由值由 0 0 到到 變化所得之變化所得之
為達有效的相位領前為達有效的相位領前
控制控制TT值應該要小值應該要小
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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45
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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46
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--32 32 的根廓線可知對於有效的相位領前控制的根廓線可知對於有效的相位領前控制TT 值應該要小對於大的值應該要小對於大的 TT值系統自然頻率隨著值系統自然頻率隨著 aa 值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多值增加而快速增加而系統阻尼則改善不多
任意的選擇任意的選擇 TT = 001= 001表表 1010--11 11 所示為當所示為當 aTaT 值由值由 002 002 到到 01 01 變化時單位步階響變化時單位步階響應的屬性應的屬性ACSYS MATLABACSYS MATLAB工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然工具可以用來計算時域響應由這些結果可知雖然上升時間和安定時間隨上升時間和安定時間隨 aTaT 增加而持續減少但當增加而持續減少但當aTaT = 005 = 005 時可以得到最小的最大時可以得到最小的最大超越量不過最大超越量的最小值為超越量不過最大超越量的最小值為 162162也已經超過設計規格其次如表也已經超過設計規格其次如表1010--1212所示令所示令 aTaT = 005= 005且且 TT 由由 001 001 到到 0001 0001 變化表變化表 1010--12 12 所示為單位步階所示為單位步階響應屬性當響應屬性當 TT 值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形值減少時最大超越量降低但上升和安定時間增加此一情形由表中可以看出在由表中可以看出在TT = 005= 005時滿足了設計需求圖時滿足了設計需求圖 1010--30 30 所示為不同三組控制器參所示為不同三組控制器參數之相位領前補償系統的單位步階響應數之相位領前補償系統的單位步階響應
選擇選擇 TT = 0004 = 0004 和和 aa = 125= 125則相位領前控制器轉移函數為則相位領前控制器轉移函數為
(10(10--84) 84)
補償系統之轉移函數為補償系統之轉移函數為
(10(10--85) 85)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定為求出相位領前控制器之運算放大器電路實現在此任意選定 CC = 01 = 01 ff電路中電路中的電阻值可以利用的電阻值可以利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式求出可得式求出可得 RR1 1 = 500000 = 500000 RR2 2 = = 40000 40000
表表 1010--11 11 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表T T = 001= 001
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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16
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--12 12 例題例題 1010--6 6 具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表具有相位領前控制器之系統的單位步階響應屬性表aTaT = 005= 005
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於規定穩態誤差需求與上面所要求的相同以頻域設計相位邊限要大於 4545以下以下為設計步驟為設計步驟
11 (10(10--74) 74) 式在式在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖如圖圖如圖 1010--33 33 所示所示
22 未補償系統在增益交越頻率未補償系統在增益交越頻率 cc= 47 = 47 radradsec sec 時的相位邊限為時的相位邊限為 2828由於最小的由於最小的設計相位邊限為設計相位邊限為 4545因此增益交越頻率上最少要增加因此增益交越頻率上最少要增加 1717 的領前相位到迴的領前相位到迴路中路中
33 (10(10--65) 65) 式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的式之相位領前控制器必須在補償系統的增益交越頻率上提供額外的
1717不過由於利用相位領前控制器不過由於利用相位領前控制器波德波德圖的幅度曲線也因為增益交越頻率圖的幅度曲線也因為增益交越頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率往較高頻偏移而受影響雖然可以很容易調整控制器的轉折頻率 ((1aT1aT 和和
1T1T))使控制器的最大相角使控制器的最大相角 mm 正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的正好落於新的增益交越頻率上但是在此點的原始相位曲線不再是原始相位曲線不再是 2828且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增且可能更少此乃因大多受控程序的相位隨頻率增加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而加而減少事實上若未補償系統的相位在靠近增益交越頻率處隨頻率增加而快速減少則單級的相位領前控制器不再有效快速減少則單級的相位領前控制器不再有效
由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些由於要正確預估添加多少相位領前到系統裡有其困難因此必須多加一些「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足「安全相角」以彌補潛在的相位減少確保相位邊限的規格能滿足
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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圖圖 1010--33 33 例題例題 1010--6 6 中的相位中的相位領前系統和未補償系統的領前系統和未補償系統的波德波德圖其中圖其中
( )( )( )( )
aTsG ss s Ts2500 1
25 1
加入安全相角後本例的加入安全相角後本例的 mm不是用不是用 1717 而是採用而是採用 2525利利用用 (10(10--72) 72) 式可得式可得
(10(10--86) 86)
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44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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44 決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為決定控制器兩個轉折頻率的適當位置其分別為 11aTaT 和和 11TT並由並由(10(10--67) 67) 式式可知最大相位領前可知最大相位領前 mm 發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定發生於兩個轉折頻率的幾何平均值為了達到所決定之之 aa 值最大相位邊限值最大相位邊限mm 應發生於新的增益交越頻率應發生於新的增益交越頻率 gg但此並未知以下但此並未知以下的步驟可確定的步驟可確定 mm 發生於發生於 gg
(10(10--87) 87)
(a)(a) (10(10--65) 65) 式的相位領前控制器的高頻增益為式的相位領前控制器的高頻增益為
(b) (b) 兩轉折頻率兩轉折頻率 11aTaT 和和 11TT 的幾何平均值的幾何平均值 mm 應取在未補償系統轉移函數以應取在未補償系統轉移函數以dB dB 表示的增益等於表示的增益等於 (10(10--87) 87) 式負值的一半即式負值的一半即 391 dB 391 dB 時的頻率如此時的頻率如此補償系統轉移函數的幅度曲線會在補償系統轉移函數的幅度曲線會在 = = mm 時通過時通過 0 dB 0 dB 軸因此軸因此mm 之之頻率發生於頻率發生於
(10(10--88) 88)
由圖由圖 1010--3333mm 可求得為可求得為 60 60 radradsecsec現在利用現在利用 (10(10--67) 67) 式可得式可得
rad secmaT
1 2 46 60 94 1 (10(10--89) 89)
則則 11aTaT = 941246 = 3821 = 941246 = 3821 radradsecsec相位領前控制器的轉移函數為相位領前控制器的轉移函數為
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(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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50
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--90) 90)
由圖由圖 1010--33 33 可以看出補償系統的相位邊限確實為可以看出補償系統的相位邊限確實為 476476驗證補償系統的時域性驗證補償系統的時域性能則可得以下結果能則可得以下結果
最大超越量最大超越量 = 223 = 223 trtr = 002045 = 002045 秒秒 tsts = 007439 = 007439 秒秒圖圖 1010--33 33 所示為以相位領前控制器補償系統在所示為以相位領前控制器補償系統在 aa = 5828 = 5828 和和 TT = 000588 = 000588 時的時的波德波德
圖相位邊限改善為圖相位邊限改善為 624624利用利用 (10(10--71) 71) 式可以證明在時域設計中所得到的式可以證明在時域設計中所得到的 aa = = 125 125 確實相對於確實相對於 mm = 5841= 5841把此相位加到原有的把此相位加到原有的 2828 相位可得相位邊限為相位可得相位邊限為86418641歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表歸納採用三種相位領前控制器之系統時域和頻域的屬性列於表 1010--1313
表表 1010--13 13 例題例題 1010--6 6 中具有相位領前控制器之系統的屬性表中具有相位領前控制器之系統的屬性表 在在 aa = 125 = 125 和和 TT = =
0004 0004 時設計的時設計的相 位 邊 限 為相 位 邊 限 為
86418641而實際值而實際值卻因為在新的增益卻因為在新的增益交越點之相位曲線交越點之相位曲線向下滑落的緣故向下滑落的緣故
只有只有 68126812
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在圖在圖 1010--34 (34 (下ㄧ頁下ㄧ頁))中只以中只以尼可尼可圖來顯示原有和補償系統的幅度及圖來顯示原有和補償系統的幅度及
相位此圖可直接利用圖相位此圖可直接利用圖 1010--33 33 波德波德圖上的資料繪出圖上的資料繪出MrMrrr 和和BW BW 值均可由尼可圖求出不過值均可由尼可圖求出不過這些性能資料從這些性能資料從 ACSYS ACSYS 電腦程式電腦程式更容易求得更容易求得
圖圖 1010--34 34 例題例題 1010--6 6 之系統之系統 GG((ss) ) 的的尼尼可圖其中可圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--77 此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用此例將說明相位領前控制器對具有相當高迴路增益的三階系統應用考慮圖考慮圖 1010--29 29 所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以所描述太陽追蹤器系統中直流馬達的電感並非為零以下為已知的系統參數下為已知的系統參數
RFRF = 10000 = 10000 KbKb = 00125 V= 00125 VradradsecsecKIKI = 00125 N= 00125 N--mAmA RaRa = 625 = 625 JJ = 10= 1066 kgkg--m2m2 Ks Ks = 03 A= 03 AradradKK = = 待決定待決定 BB = 0= 0n =n = 800 800 La La = 10= 1033 HH
直流馬達的轉移函數為直流馬達的轉移函數為
(10(10--92) 92)
系統的順向路徑轉移函數為系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--93)93)
將系統參數值代入將系統參數值代入 (10(10--92) 92) 式可得式可得
(10(10--94) 94)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--97) 97)
時域設計時域設計系統的時域規格為系統的時域規格為
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 所產生的穩態誤差所產生的穩態誤差 ((tt) ) 要小於或等於要小於或等於最終穩態輸出速度的最終穩態輸出速度的 1300 1300 radradsecradradsec
22 步階響應的最大超越量應小於步階響應的最大超越量應小於 55或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0004 0004 秒秒44 安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
放大器增益放大器增益 KK 的最小值可由穩態誤差需求來決定對的最小值可由穩態誤差需求來決定對 ((tt) ) 採用終值定理可得採用終值定理可得
(10(10--95) 95)
把把 (10(10--94) 94) 式代入式代入 (10(10--95) 95) 式且式且 rr((ss) = 1) = 1ss22可得可得
(10(10--96) 96)
因此若因此若 (t(t) ) 的穩態值要小於的穩態值要小於 13001300則則 K K 11令令 K K = 1= 1則則 (10(10--94) 94) 式的順向式的順向路徑轉移函數變成路徑轉移函數變成
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在在此可以證明太陽追蹤器閉迴路系統在 KK = 1 = 1 時對於單位步階響應具有以下的屬時對於單位步階響應具有以下的屬性性最大超越量最大超越量 = 43= 43上升時間上升時間 trtr = 0004797 = 0004797 秒安定時間秒安定時間 tsts = 004587 = 004587 秒為改秒為改善系統響應可以選擇善系統響應可以選擇 (10(10--62) 62) 式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉式所描述的相位領前控制器補償系統的順向路徑轉移函數為移函數為
(10(10--98) 98)
現在為滿足穩態誤差需求現在為滿足穩態誤差需求KK 值必須重新調整使值必須重新調整使 K K aa令令 KK == aa則相位領前則相位領前補償系統的特性方程式變成補償系統的特性方程式變成
(10(10--99) 99)
在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器在此可利用根廓線的方法來檢查改變相位領前控制器 aa 和和 TT 值所產生的影響首先值所產生的影響首先令令 aa 為零則為零則 (10(10--99) 99) 式之特性方程式變成式之特性方程式變成
(10(10--100) 100) 式的兩邊除以不含式的兩邊除以不含 TT 的項可得的項可得
(10(10--101) 101)
(10(10--100) 100)
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(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--100) 100) 式中當式中當 TT 值變化時的根廓線可以由值變化時的根廓線可以由 (10(10--101) 101) 式中式中 GGeq1(eq1(ss) ) 的極的極--零點組零點組
態得到如圖態得到如圖 1010--3535((參考第參考第2626頁頁))當當 aa 由由 0 0 變化到變化到 則可以把則可以把 (10(10--99) 99) 式兩邊式兩邊除以不含除以不含 aa 的項可得的項可得
(10(10--102) 102)
對已知對已知 TT 值值(10(10--99) 99) 式中式中aa 值變化時之根廓線可以由值變化時之根廓線可以由 GGeq2(eq2(ss) ) 的極點和零點求的極點和零點求得得GGeq2(eq2(ss) ) 的極點與的極點與 (10(10--100) 100) 式的根是相同的因此當式的根是相同的因此當 aa 變化時的根廓線起變化時的根廓線起始於始於 ((aa = 0) = 0) 以以 TT 為參數的根廓線上圖為參數的根廓線上圖 1010--35 35 所示為當所示為當 aa 變化時在變化時在 TT = 001= 00100045000450001000100005000050000100001和和 000001 000001 時根廓線的主要部份注意由於時根廓線的主要部份注意由於未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但未補償系統為輕微的阻尼所以相位領前控制器可有效應用但 TT 值應非常小值應非常小甚至於非常小的甚至於非常小的 TT 值也只有一小範圍的值也只有一小範圍的 aa 值可以增加阻尼不過系統的自然值可以增加阻尼不過系統的自然頻率隨頻率隨 aa 的增加而增加圖的增加而增加圖 1010--35 35 的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置的根廓線可以證明特性方程式主根的近似位置為最大阻尼發生點表為最大阻尼發生點表 1010--14 (14 (第第2727頁頁))所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所列之特性方程式的根和步階響應的屬性所對應的所對應的 TT 值大都會產生幾乎最小的最大超越量值大都會產生幾乎最小的最大超越量
圖圖 1010--36 36 為在為在 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的單位步階響應雖然最大超越量只有時的單位步階響應雖然最大超越量只有3838但在此情形下欠過量卻大於超越量但在此情形下欠過量卻大於超越量
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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圖圖 1010--35 35 例題例題 1010--7 7 中具相位領前控制中具相位領前控制器之太陽追蹤器系統器之太陽追蹤器系統
的根廓線其中的根廓線其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--14 14 例題例題 1010--7 7 具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應具相位領前控制器之系統的特性方程式的根和時間響應
圖圖 1010--36 36 例題例題 1010--7 7 中具相位領中具相位領前控制器的太陽追蹤器系統單位步前控制器的太陽追蹤器系統單位步
階響應其中階響應其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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頻域設計頻域設計
(10(10--97) 97) 式的式的 GpGp((ss) ) 波德波德圖如圖圖如圖 1010--3737所示未補償系統的性能屬性為所示未補償系統的性能屬性為
我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖我們將指出先前所提出的頻域設計步驟在此無效此乃因圖 1010--37 37 的的 GpGp( ( jj) ) 相相位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為位曲線在靠近增益交越點時有一非常陡峭的斜率例如若希望得到相位邊限為
6565則必須至少有則必須至少有 65652974 = 35262974 = 3526 的領前相位或的領前相位或 mm = 3526= 3526利用利用 (10(10--72) 72) 式式aa 值可以計算出為值可以計算出為
(10(10--103) 103)
選擇選擇 aa = 4= 4理論上要使理論上要使 mm 發揮最大效用發揮最大效用mm 應置於新的增益交越點在此頻應置於新的增益交越點在此頻率下率下GpGp(( jj) ) 的幅度為的幅度為 10 l10 log10 aog10 a dB = dB = 10 l10 log10 4 = og10 4 = 6 dB6 dB由圖由圖 1010--37 37 的的波德波德圖知此頻率為圖知此頻率為 380 380 radradsecsec因此令因此令 mm = 380 = 380 radradsecsecTT 值可以利用值可以利用 (10(10--67) 67) 式求出式求出
(10(10--104) 104)
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不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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42
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
不過在檢查相位領前補償系統於不過在檢查相位領前補償系統於 aa = 4 = 4 和和 TT = 00013 = 00013 的頻率響應時發現相位邊的頻率響應時發現相位邊
限只增加到限只增加到 38273827且且 MrMr = 169= 169其原因為其原因為 GpGp((jj) ) 相位曲線的負斜率太過陡峭相位曲線的負斜率太過陡峭事實上在新的增益交越頻率事實上在新的增益交越頻率 380 380 radradsecsec處處GpGp((jj) ) 的相位為的相位為 170170而非原始而非原始交越點的交越點的 1502615026這其中的落差幾乎為這其中的落差幾乎為 2020由時域設計可知在表由時域設計可知在表 1010--14 14 中的中的第一列為當第一列為當 a = 4 a = 4 和和 T = 0001 T = 0001 時的最大超越量為時的最大超越量為 217217檢查相位領前補償系統檢查相位領前補償系統於於 aa = 500 = 500 和和 TT = 000001 = 000001 的頻率響應可得以下性能資料的頻率響應可得以下性能資料
PM = 6055PM = 6055 MrMr = 1 BW = 6642 = 1 BW = 6642 radradsecsec
由此可看出由此可看出 aa 值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭值增加大體上而言只能彌補因增益交越點往上移所造成的相位陡峭落差的特性圖落差的特性圖 1010--37 37 所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在所示為補償系統的相位領前控制器和順向路徑轉移函數在 aa= 100= 100TT = 00005 = 00005 和和 aa = 500= 500TT = 000001 = 000001 時的時的波德波德圖表圖表 1010--15 15 所列為性能資所列為性能資料的整理選擇料的整理選擇 aa = 100 = 100 和和 T T = 000005= 000005時相位領前控制器可用下面的轉移函數描時相位領前控制器可用下面的轉移函數描述述
(10(10--105) 105)
利用利用 (10(10--63) 63) 式和式和 (10(10--64) 64) 式且令式且令 CC = 001 = 001 FF則相位領前控制器的電路參數為則相位領前控制器的電路參數為
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--37 37 例題例題 1010--77太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的太陽追蹤器系統之相位領前控制器和順向路徑轉移函數的波德圖其中波德圖其中
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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59
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--15 15 例題例題 1010--77具相位領前控制器之系統屬性表具相位領前控制器之系統屬性表
其中放大器增益其中放大器增益 KK 設為設為 100100以滿足穩態規格以滿足穩態規格
補償系統的順向路徑轉移函數為補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--108) 108)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位領前補償之效應相位領前補償之效應
11 相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的相位領前控制器會在順向路徑轉移函數增加一零點和一極點且零點在極點的右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則右邊一般的效應為對閉迴路系統增加較多的阻尼而上升時間和安定時間則降低降低
22 順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也順向路徑轉移函數在增益交越點附近的相位會增加閉迴路系統的相位邊限也會增加會增加
33 順向路徑轉移函數在順向路徑轉移函數在波德波德圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以圖上的幅度曲線於增益交越頻率的斜率降低通常以改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度改善增益和相位邊限的方式來改善系統相對穩定度
44 閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應閉迴路系統的頻寬會增加此相對於較快的時間響應55 系統穩態誤差不受影響系統穩態誤差不受影響
穩態誤差靠穩態誤差靠KK來改善來改善
單級相位領前控制器的限制單級相位領前控制器的限制
通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系通常相位領前控制並不適合所有的系統單級相位領前補償是否能改善控制系
統穩定性的關鍵全看下列條件統穩定性的關鍵全看下列條件
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 頻寬條件頻寬條件若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限則達成相位邊限規格
所需增加的領前相位可能會太大所需增加的領前相位可能會太大如此對控制器而言將需要非常大的如此對控制器而言將需要非常大的 aa 值且值且將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造將導致補償系統具有非常大的頻寬結果高頻雜訊便由輸入端進入系統造
成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖成不良的效果不過若是雜訊從靠近輸出端進入系統如圖 1010--2(g) 2(g) 所示則所示則增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點增加的頻寬對於雜訊去除有所助益大的頻寬也提供強韌性的優點 ((即系統對於即系統對於參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性參數變化較不敏感且具有先前所描述的雜訊去除特性))
22 若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數若原有系統為不穩定或具有較低的穩定邊限順向路徑轉移函數波德波德圖的相位圖的相位曲線曲線在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前在靠近增益交越頻率時具有較陡的負斜率在此條件下單級相位領前控制器可能無效控制器可能無效因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所因為在新增益交越點的相位遠比舊交越點的相位來得小所以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用以額外加的相位領前無法達到預期效果為達到所需的相位邊限控制器要用
一非常大的一非常大的 a a 值來實現由於放大器增益值來實現由於放大器增益 KK 必須設定來補償必須設定來補償 aa 值因此對於值因此對於大大的的 aa 值需要非常昂貴的高增益放大器值需要非常昂貴的高增益放大器
如例題如例題 1010--7 7 所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一所示補償系統可能發生欠過度比超越量大的情形通常有一
部份的相位曲線仍位在部份的相位曲線仍位在 180180 軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿軸的下面結果雖然所設計的相位邊限仍然滿足但僅為一條件穩定系統足但僅為一條件穩定系統
33 一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於一單級相位領前控制器最大的可用領前相位小於 9090因此若所需領前相位因此若所需領前相位大於大於 9090則要使用多級的控制器則要使用多級的控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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41
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--38 38 兩級相位領前兩級相位領前 ((相位落後相位落後) ) 控制器控制器
多級相位領前控制器多級相位領前控制器
當所設計的相位領前控制器需要當所設計的相位領前控制器需要大於大於 9090 的額外相位的額外相位時要用多級的控制器圖時要用多級的控制器圖1010--38 38 所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出所示為一個兩級相位領前控制器的運算放大器電路實現此電路的輸入輸出轉移函數為轉移函數為
或或
其中其中aa1 = 1 = RR11RR22aa2 = 2 = RR33RR44TT1 = 1 = RR22CC 和和 TT2 = 2 = RR44CC
(10(10--109) 109)
(10(10--110) 110)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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43
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數其它需求不變要加速上升時間和安定時間的方法之一為增加系統順向路徑轉移函數之增益考慮順向路徑轉移函數為之增益考慮順向路徑轉移函數為
例題例題1010--88 例題例題 1010--7 7 所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變所設計的太陽追蹤器系統令上升時間和安定時間的需求改變為為
多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配多級相位領前控制器在時域的設計會變得較麻煩因為有更多的極點和零點要配置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一置根廓線的方法因為有更多的變數而變得不實用在此情形下頻域設計便成一
種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言種較好的選擇方法例如對兩級的控制器而言
我們可以選擇兩級控制器的我們可以選擇兩級控制器的第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿第一級參數來滿足相位邊限需求然後再以第二級來滿足其它的需求足其它的需求通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩通常兩級的架構甚至參數都一樣並無不可下面例題說明利用兩級相位領前控制器來設計系統級相位領前控制器來設計系統
上升時間上升時間 trtr 0001 0001 秒秒安定時間安定時間 tsts 0005 0005 秒秒
(10(10--111) 111)
增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為增加順向路徑增益會使斜坡誤差常數增加為 1000 (1000 (在例題在例題 1010--6 6 為為300)300)
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圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--39 39 例題例題 1010--77未補償和使用兩級相位未補償和使用兩級相位領前控制器補償的太陽追蹤器系統領前控制器補償的太陽追蹤器系統的的波德波德圖圖
圖圖 1010--39 39 為為 GpGp((ss) ) 的的波德波德圖閉迴路系圖閉迴路系
統為不穩定其相位邊限為統為不穩定其相位邊限為 15431543由於例題由於例題1010--77的補償系統具有的補償系統具有 60556055 的的相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格相位邊限故可預期如滿足本例更為嚴格的時間響應需求則將必須有更大的相對的時間響應需求則將必須有更大的相對應的相位邊限才行很顯然地這種相位應的相位邊限才行很顯然地這種相位邊限的增加無法只用單級相位領前控制器邊限的增加無法只用單級相位領前控制器
來實現採用兩級控制器較為合適來實現採用兩級控制器較為合適
相位大於相位大於 6055 + 1543 6055 + 1543 度並不適用於單級相位度並不適用於單級相位領前控制器領前控制器
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此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用此項設計必須經過一些試誤法的過程才能得到能滿足條件的控制器因為所採用
的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之的為兩級控制器此種設計便具有多重的彈性我們可令第一級相位領前控制器之aa1 = 1001 = 100由由 (10(10--71) 71) 式可得到此控制器提供之領前相位為式可得到此控制器提供之領前相位為
(10(10--112) 112)
為使為使 mm 影響為最大新的增益交越點應該滿足影響為最大新的增益交越點應該滿足
(10(10--113)113)
由圖由圖 1010--39 39 可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為可知相對此一增益之幅度曲線的頻率約為 1150 1150 radradsecsec將將mm11 = = 1150 1150 radradsec sec 和和 aa11 = = 100 100 代入代入 (10(10--67)67)式可得式可得
(10(10--114) 114)
則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為則具單級相位領前控制器的順向路徑轉移函數為
(10(10--115) 115)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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其其波德波德圖如圖圖如圖1010--3939的曲線的曲線 (2) (2) 所示可看出此暫時設計的相位邊限只有所示可看出此暫時設計的相位邊限只有 20362036接下來我們可任意設定第二級之接下來我們可任意設定第二級之 aa2 2 值為值為 100100由圖由圖 1010--39 39 所示之所示之 (10(10--115) 115) 式的式的
波德波德圖可以發現圖可以發現G( G( jj) ) 的幅度在的幅度在 20 dB 20 dB 時的頻率約為時的頻率約為 3600 3600 radradsecsec因此因此
(10(10--116) 116)
故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數故具兩級相位領前控制器的太陽追蹤器系統的順向路徑轉移函數 ((其中其中aa1 = 1 = aa2 = 2 = 100) 100) 為為
(10(10--117) 117) 圖圖 1010--39 39 所示為採用上列設計所示為採用上列設計 ((即曲線即曲線3) 3) 所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追所得之具有兩級相位領前控制器的太陽追
蹤器系統蹤器系統波德波德圖圖 (10(10--117) 117) 式的式的 GG((ss) ) 系統相位邊限只有系統相位邊限只有 69346934不過如表不過如表1010--1616所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取所列的各項系統屬性所示此系統滿足了所有時域的規格事實上選取aa1 = 1 = aa2 = 1002 = 100顯然太過於嚴格顯然太過於嚴格此設計並非唯一此設計並非唯一可以選擇可以選擇 aa1 = 1 = aa2 =802 =80然後再取然後再取 aa1 1 = = aa2 =70 2 =70 結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在結果時域規格仍能滿足由以上類似的設計步驟最後可以得到在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時 TT1 = 00001117 1 = 00001117 和和 TT2 = 00000392 = 0000039而在而在 aa1 = 1 = aa2 = 702 = 70時時TT1 = 1 = TT2 = 2 = 0000048400000484圖圖1010--3939的曲線的曲線 (4) (4) 即為補償系統在即為補償系統在 aa1 = 1 = aa2 = 802 = 80時之時之波德波德圖表圖表 1010--16 16 歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖歸納了這三種控制器的系統性能屬性圖 1010--40 40 所示為具兩級相位領前控制所示為具兩級相位領前控制器 器 aa1 = 1 = aa2 = 80 2 = 80 和和 100 100 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應 時 的 系 統 單 位 步 階 響 應
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表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--16 16 例題例題 1010--8 8 中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性中太陽追蹤器系統在使用兩級相位領前控制器所得的屬性
圖圖 1010--40 40 例題例題 1010--7 7 中使用兩級相位領前中使用兩級相位領前控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響控制器之太陽追蹤器系統的單位步階響應應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
靈敏度的考量靈敏度的考量
(10(10--118) 118)
靈敏度函數定義於靈敏度函數定義於 99--16 16 節而節而 (9(9--122) 122) 式可作為系統強韌性的設計規格式可作為系統強韌性的設計規格在在 (9(9--122) 122) 式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義式中對順向路徑轉移函數改變時的閉迴路系統轉移函數靈敏度可定義為為
( )MGS j
對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是對頻率變化圖可以說明系統靈敏度為頻率的函數理想的強韌性是 在一很在一很寬的頻率範圍內寬的頻率範圍內 的值都很小的值都很小 (ltlt 1)(ltlt 1)舉例來看在例題舉例來看在例題 1010--7 7 中所設計的太陽追中所設計的太陽追蹤器系統採用單級相位領前控制時蹤器系統採用單級相位領前控制時aa = 100= 100T T = 000005 = 000005 的靈敏度函數繪於圖的靈敏度函數繪於圖
1010--4141注意靈敏度函數在低頻時很小且在注意靈敏度函數在低頻時很小且在 lt 400 lt 400 radradsec sec 時也小於時也小於 11雖雖然例題然例題 1010--7 7 的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩的太陽追蹤器系統並不需要多級相位領前控制器但可證明當採用兩級相位領前控制器時不只級相位領前控制器時不只 aa值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系值大大降低並導致了運算放大器較低的增益且系統將更為強韌利用例題統將更為強韌利用例題 1010--8 8 類似的步驟對類似的步驟對 (10(10--97) 97) 式式 所描述的太陽追蹤器系統所描述的太陽追蹤器系統進行兩級相位控制器設計控制器的參數為進行兩級相位控制器設計控制器的參數為 aa11 = a= a22 = 583= 583和和 TT11 = T= T22 = = 00006730000673則補償系統的順向路徑轉移函數為則補償系統的順向路徑轉移函數為
( )MGS j
(10(10--119) 119)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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45
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--41 41 可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在可以看出具兩級相位領前控制器之系統靈敏度函數在 lt 600 lt 600 radradsec sec 時小於時小於 11因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器因此具兩級相位領前控制器的系統比具單級相位領前控制器的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的的系統更具強韌性而愈強韌的系統具有更高的頻寬通常使用相位領前控制的
系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖系統是因為具較高的頻寬而更為強韌不過圖 1010--4141也可以看出具兩級相位領也可以看出具兩級相位領前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度前控制器的系統在高頻時有較高的靈敏度
圖圖 1010--41 41 例題例題 1010--7 7 中太陽追蹤器系統的靈敏度函數中太陽追蹤器系統的靈敏度函數具相位領前控制的具相位領前控制的系統因為增加頻系統因為增加頻寬通常會較具強寬通常會較具強韌性韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
1010--6 6 相位落後控制器的設計相位落後控制器的設計
(10(10--62) 62) 式在式在 a a lt 1 lt 1 時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為時的轉移函數為一相位落後或低通濾波器此轉移函數為
(10(10--120) 120)
相位落後控制之時域詮釋和設計相位落後控制之時域詮釋和設計
GcGc((ss) ) 的極的極--零點架構如圖零點架構如圖 1010--42 42 所示不像所示不像 PI PI 控制器有提供一個控制器有提供一個 ss = 0 = 0 的極點的極點相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因相位落後控制器只影響穩態誤差此乃因 GcGc((ss) ) 的零頻率增益大於的零頻率增益大於 11因此使用因此使用相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加相位落後控制器會使任何有限且非零的誤差常數增加 11aa 倍倍
由於由於 ss = = 11TT 的極點在零點的極點在零點 ss = = 11aTaT 的右邊所以必須要依循的右邊所以必須要依循 1010--3 3 節中設計節中設計 PI PI 控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適控制的理論才能使相位落後控制器有效地改善阻尼因此應用相位落後控制的適
當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式當方法為把極點和零點緊密配置在一起對於型式 0 0 和型式和型式 1 1 的系統此種組合應的系統此種組合應配置於配置於 ss 平面靠近原點處圖平面靠近原點處圖 1010--43 43 說明型式說明型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統在系統在 ss 平面上設計的平面上設計的策略而相位落後控制器不能使用於型式策略而相位落後控制器不能使用於型式 2 2 的系統的系統
以上所描述的設計準則可用型式以上所描述的設計準則可用型式 0 0 受控程序之控制系統來加以解釋即受控程序之控制系統來加以解釋即
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
(10(10--121) 121)
其中其中 和和 為共軛複數極點如圖為共軛複數極點如圖 1010--43 43 所示所示
如同相位領前控制器如同相位領前控制器(10(10--120) 120) 式式相位落後控制器中的增益因子相位落後控制器中的增益因子 11a a 可以拿掉因為不論可以拿掉因為不論 aa 值為何值為何KK值均可以調整以作為補償應用值均可以調整以作為補償應用(10(10--120) 120) 式的相位落後控制器式的相位落後控制器 ((忽忽略略 11aa 因子因子) ) 則系統的順向路徑則系統的順向路徑轉移函數變成轉移函數變成
圖圖 1010--42 42 相位落後控制器之極相位落後控制器之極--零點組態零點組態
(10(10--122) 122) 假設假設 KK 值可以滿足穩態誤差需求值可以滿足穩態誤差需求 且且
系統為欠阻尼或不穩定現在令系統為欠阻尼或不穩定現在令 11TT 11aTaT 並配置極並配置極 -- 零點對使其靠近零點對使其靠近
11pp3 3 的極點如圖的極點如圖 1010--4343
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44
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--43 43 型式型式 0 0 和型式和型式 1 1 系統之相位落後系統之相位落後控制設計策略控制設計策略
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極為此系統在具有和不具有相位落後控制器時的根軌跡因為此控制器極--零點的組合非常靠近位於零點的組合非常靠近位於 11pp3 3 之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控之極點所以具有和不具有相位落後控制器的主控根的根軌跡形狀相當類似由根的根軌跡形狀相當類似由 (10(10--122) 122) 式可以容易地加以解釋即式可以容易地加以解釋即
(10(10--123) 123)
由於由於 aa 小於小於 11相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路相位落後控制的應用相當於在不影響系統的穩態性能下將順向路徑增益由徑增益由 KK 降為降為 KaKa圖圖 1010--44 44 所示為選擇所示為選擇 aa 值使補償系統的阻尼可以滿足顯值使補償系統的阻尼可以滿足顯然所能增加阻尼的量在然所能增加阻尼的量在 和和 極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可極點非常靠近虛軸時會受到限制因此可以利用以下的方程式來選擇以利用以下的方程式來選擇 aa 值值
(10(10--124) 124)
TT 值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於值之選擇以使控制器極點和零點非常接近為準則且接近於 11pp33相位落後控相位落後控制通常會增加上升時間和安定時間制通常會增加上升時間和安定時間
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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圖圖 1010--44 44 未補償和相位落後補償系統之根軌跡未補償和相位落後補償系統之根軌跡
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相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
相位落後控制之頻域詮釋和設計相位落後控制之頻域詮釋和設計
相位落後控制器的轉移函數可寫為相位落後控制器的轉移函數可寫為
(10(10--125) 125)
假設增益因子假設增益因子 11aa可由順向增益可由順向增益 KK 吸收圖吸收圖 1010--45 45 為為 (10(10--125) 125) 式的式的波德波德圖幅圖幅
度曲線圖的轉折頻率位在度曲線圖的轉折頻率位在 = 1= 1aTaT 和和 1T1T因為相位領前和相位落後控制器除因為相位領前和相位落後控制器除 aa 值值外在型式上是相同的故由圖外在型式上是相同的故由圖 1010--45 45 的相位曲線可得最大的落後相位的相位曲線可得最大的落後相位 mm即即
(10(10--126) 126)
圖圖 1010--45 45 所示為相位落後控制器在高頻時提供了所示為相位落後控制器在高頻時提供了 20 log10 20 log10 aa 的衰減因此相位的衰減因此相位落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的落後補償法是利用網路在高頻的衰減來做設計不像相位領前補償法是利用網路的
最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子最大相位領前做設計此法與根軌跡設計法在順向路徑增益中引進衰減因子 aa 的的情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位情形類似相位領前控制器的目的在於增加開迴路系統在增益交越點附近的相位並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交並在新的增益交越點配置最大的領前相位而相位落後控制器的目的則在將增益交越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持越點移向所設計相位邊限可以實現之較低頻處並保持波德波德圖的相位曲線在增益交圖的相位曲線在增益交越頻率處不變越頻率處不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--45 45 相位落後控制器的相位落後控制器的波德波德圖圖GcGc((ss)=(1+)=(1+aTsaTs)(1+)(1+TsTs))aa lt 1lt 1
在頻域設計中相位在頻域設計中相位落後控制的目的為把落後控制的目的為把增益交越頻率移到所增益交越頻率移到所設計相位邊限可以實設計相位邊限可以實現之點而在新的增現之點而在新的增益交越點的相位曲線益交越點的相位曲線相對地保持不變相對地保持不變
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
用用波德波德圖來作相位落後補償的設計步驟如下圖來作相位落後補償的設計步驟如下
11 先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的先畫出未補償系統的開迴路轉移函數的波德波德圖依穩態誤差的要求定出系統的圖依穩態誤差的要求定出系統的
開迴路增益開迴路增益 KK22 由由波德波德圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限圖求出未補償系統的相位邊限和增益邊限33 假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由假設相位邊限增加所設計相位邊限的頻率可由波德波德圖中找出此頻率也稱為圖中找出此頻率也稱為
新增益交越頻率新增益交越頻率 gg且補償之幅度曲線在此頻率通過且補償之幅度曲線在此頻率通過 0 dB 0 dB 軸軸44 為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率為使幅度曲線在前述新的增益交越頻率 g g 時降至時降至 0 dB 0 dB 相位落後網路所提供相位落後網路所提供
的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之的增益衰減量必須等於幅度曲線在新增益交越頻率時的增益值換言之
(10(10--127) 127)
由上式求解由上式求解 aa 值可得值可得
(10(10--128) 128)
一旦一旦 aa 值決定後則要選擇適當的值決定後則要選擇適當的 TT 值來完成整個設計由圖值來完成整個設計由圖 1010--45 45 的相位特的相位特
性可以觀察出性可以觀察出若轉折頻率若轉折頻率 11aTaT 位於遠低於新增益交越頻率位於遠低於新增益交越頻率 g g 時補償後系時補償後系統的相位特性在統的相位特性在 g g 附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之附近不會受到相位落後補償太大的影響換言之1aT1aT 之之值不能太小於值不能太小於 gg否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且否則系統的頻帶寬度將過低而使系統的反應變得很慢且較不具強韌性較不具強韌性
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50
控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
通常選擇比新增益交越頻率通常選擇比新增益交越頻率 g g 小小 10 10 倍的頻率作為轉折頻率倍的頻率作為轉折頻率 1aT1aT 之值即之值即
(10(10--129) 129)
則則
(10(10--130) 130)
55 研究相位落後補償後的系統研究相位落後補償後的系統波德波德圖其是否符合工作性能的規格若否將圖其是否符合工作性能的規格若否將 aa和和 TT 值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或值重新調整並重複以上步驟若設計規格還包括增益邊限或 MrMr或或BWBW則必須加以驗證是否滿足則必須加以驗證是否滿足
因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻因為相位落後控制使系統有更多的衰減若設計得宜穩定度邊限將可改善但頻
寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度寬會降低低頻寬的唯一好處為降低對高頻雜訊和干擾的靈敏度
例題例題1010--99 本例使用例題本例使用例題 1010--6 6 的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設的二階太陽追蹤器系統來說明相位落後控制系統設計計
的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為的準則未補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--131) 131)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
11 單位斜坡函數輸入單位斜坡函數輸入 rr((tt) ) 之穩態誤差之穩態誤差 ((tt) ) 1122 單位步階響應的最大超越量單位步階響應的最大超越量 lt 5lt 5或愈小愈好或愈小愈好
33 上升時間上升時間 trtr 0505秒秒44 安定時間安定時間 tsts 05 05 秒秒55 由於雜訊問題系統頻寬由於雜訊問題系統頻寬 lt 50 lt 50 radradsecsec
時域設計時域設計
系統的時域規格如下系統的時域規格如下
注意上升和安定時間需求已在例題注意上升和安定時間需求已在例題 1010--6 6 的相位領前設計中加以考慮未補償系的相位領前設計中加以考慮未補償系統的根軌跡如圖統的根軌跡如圖 1010--46 (a) 46 (a) 所示如例題所示如例題 1010--66一開始令一開始令 KK = 1= 1未補償系統的阻未補償系統的阻尼比為尼比為 025025最大超越量為最大超越量為 444444圖圖 1010--47 47 所示為在所示為在 KK = 1 = 1 時系統之響應選時系統之響應選擇擇 (10(10--120) 120) 式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為式為相位落後控制器之轉移函數則補償系統的順向路徑轉移函數為
(10(10--132) 132)
若若 KK 值保持為值保持為 11則穩態誤差為則穩態誤差為 a a 因為因為 a a lt 1lt 1此值就比未補償系統來得好此值就比未補償系統來得好對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對對於有效的相位落後控制控制器轉移函數的極點和零點應緊密配置在一起而對
於型式於型式 1 1 的系統此組合配置應非常靠近的系統此組合配置應非常靠近 ss 平面的原點平面的原點
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由圖由圖 1010--46(a) 46(a) 的未補償系統根軌跡圖可以看出若的未補償系統根軌跡圖可以看出若 KK 設為設為 0125 0125 時則阻尼比為時則阻尼比為07070707且系統最大超越量為且系統最大超越量為 432432設定控制器極點和零點靠近設定控制器極點和零點靠近 ss = 0= 0補償系統補償系統主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用主控根的根軌跡形狀將非常類似於未補償系統的軌跡利用(10(10--124) 124) 式可求得式可求得 aa值即值即
(10(10--133) 133)
圖圖 1010--46 46 例題例題 1010--9 9 中的太陽追中的太陽追蹤器系統之根軌跡蹤器系統之根軌跡
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
因此若因此若 TT 值很大則當值很大則當 KK = 1 = 1 時特性方程式的主根會導致阻尼比接近時特性方程式的主根會導致阻尼比接近 07070707任任意選擇意選擇 TT = 100= 100補償系統的根軌跡如圖補償系統的根軌跡如圖 1010--46(b) 46(b) 所示在所示在 KK = 1= 1aa = 0125 = 0125 和和 TT= 100 = 100 時特性方程式的根為時特性方程式的根為
ss = = 0080500805 12465 + 12465 + jj12465 12465 和和 1246512465jj1246512465
相對的阻尼比確實為相對的阻尼比確實為 07070707若選擇較小的若選擇較小的 TT 值則阻尼比會比值則阻尼比會比 0707 0707 小從實務小從實務的觀點言的觀點言TT 值不能太大因為由值不能太大因為由 (10(10--64) 64) 式式TT = = RR22CC大的大的 TT 值會導致大的電容值會導致大的電容或不可實現的大電阻若要降低或不可實現的大電阻若要降低 TT 值同時又能滿足最大超越量的需求則值同時又能滿足最大超越量的需求則 aa 值要值要
減少不過控制器的減少不過控制器的 aa 值不能無限制的減少或為零因為值不能無限制的減少或為零因為 11aTaT 將會遠在實軸將會遠在實軸左側表左側表 1010--17 17 所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同所列為相位落後補償太陽追蹤器系統在不同 aa 和和 TT 值的時域性能屬值的時域性能屬性不同的設計參數均清楚地列出性不同的設計參數均清楚地列出
因此一適合的控制器參數為因此一適合的控制器參數為 aa = 009= 009T T = 30= 30當當 TT = 30 = 30 時選擇時選擇 CC = 1 = 1 FF則則RR22 為為 30M30M對一較小的對一較小的 TT 值則可採用兩級相位落後控制器值則可採用兩級相位落後控制器來實現補償系統來實現補償系統在在 aa = 009 = 009 和和 TT = 30 = 30 時的單位步階響應如圖時的單位步階響應如圖 1010--47 47 所示注意最大超越量在犧所示注意最大超越量在犧牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事牲上升和安定時間下而降低了雖補償系統的安定時間比未補償系統來得短但事實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態實上相位落後補償系統卻花較長的時間來達到穩態
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--17 17 例題例題 1010--99具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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圖圖 1010--47 47 例題例題 1010--99未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應未補償和使用相位落後控制補償的太陽追蹤器系統的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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圖圖 1010--48 48 例題例題 1010--9 9 中使用相位中使用相位落後控制器之太陽追蹤器系統的落後控制器之太陽追蹤器系統的根廓線根廓線
在例題在例題 1010--6 6 利用利用 (10(10--80) 80) 式到式到 (10(10--83) 83) 式來導出相位領前控制根廓線的式來導出相位領前控制根廓線的設計且圖設計且圖 1010--31 31 和圖和圖 1010--32 32 除了在除了在a a lt 1 lt 1 外對相位落後控制設計仍然外對相位落後控制設計仍然有效因此在圖有效因此在圖 1010--32 32 中只有中只有 a a lt 1 lt 1 部份的根廓線可用於相位落後控部份的根廓線可用於相位落後控制由這些根廓線可以清楚地看出制由這些根廓線可以清楚地看出
對有效的相位落後控制對有效的相位落後控制TT 值要相當值要相當大當大當 TT 值很大時閉迴路轉移函數值很大時閉迴路轉移函數的複數根對的複數根對 TT 值很不敏感圖值很不敏感圖 1010--48 48 正說明此種現象正說明此種現象
TT 值很大時值很大時 TT 值變值變動對閉迴路轉移函數動對閉迴路轉移函數的複數根不大的複數根不大
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頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
頻域設計頻域設計
圖圖 1010--49 49 為為 (10(10--131) 131) 式中式中 GpGp( ( jj) ) 在在 KK = 1 = 1 時的時的波德波德圖由此圖由此波德波德圖可以看出未補償系圖可以看出未補償系
統相位邊限只有統相位邊限只有 2828此時並不知道要多少此時並不知道要多少的相位邊限方能達到的相位邊限方能達到 5 5 之最大超越量在之最大超越量在此要由圖此要由圖 1010--49 49 的的波德波德圖來導出以下的設圖來導出以下的設
計由相位邊限為計由相位邊限為 4545 開始則可以觀察到開始則可以觀察到若增益交越頻率若增益交越頻率 g g 為為 25 25 radradsec sec 時便時便可達到此相位邊限這表示相位落後控制器可達到此相位邊限這表示相位落後控制器必須在必須在 = 25 = 25 radradsec sec 時把時把 GpGp(( jj) ) 之幅之幅度曲線降為度曲線降為 0 dB0 dB且不可影響此頻率附近的且不可影響此頻率附近的
相位曲線雖然將轉折頻率相位曲線雖然將轉折頻率 1aT1aT 配置於配置於 g g 值的值的 110110相位落後控制器仍然可提供一小相位落後控制器仍然可提供一小
的負相位為安全之故應將的負相位為安全之故應將 g g 選擇小於選擇小於25 25 radradsecsec在此選擇為在此選擇為 20 20 radradsecsec
圖圖 1010--49 49 例題例題 1010--99未補償和以相位落後未補償和以相位落後控制補償之控制補償之波德波德圖圖
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由由波德波德圖可以得到在圖可以得到在 gg = 20 = 20 radradsec sec 時時GGpp(( jjgg))dBdB 的值為的值為 117 dB117 dB因因此利用此利用 (10(10--128) 128) 式可得式可得
(10(10--134) 134)
將將 11aTaT 值選為值選為 gg = 20 = 20 radradsec sec 的的 110110則則
(10(10--135) 135)
故故
(10(10--136) 136)
當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為當以系統單位步階響應來驗證相位落後控制時可以發現最大超越量為 245245下下
一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表一步驟為以較高之相位邊限來嘗試表 1010--18 18 所列為利用不同相位邊限所列為利用不同相位邊限 ((到到 8080) ) 所所得到的設計結果由表得到的設計結果由表 1010--18 18 的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越的結果可以看出並沒有任何情形可以滿足最大超越
量量 55在在 aa = 0044 = 0044 和和 TT = 525 = 525 時的情形下才能產生最好的最大超越量但時的情形下才能產生最好的最大超越量但TT 值太大而無法實際應用因此單獨考慮值太大而無法實際應用因此單獨考慮 aa = 01 = 01 和和 TT = 10 = 10 的情形並把的情形並把 TT 值增值增加則如表加則如表 1010--17 17 所示當所示當 aa = 01= 01TT = 30 = 30 時最大超越量降為時最大超越量降為 4545補償系統補償系統
的的波德波德圖如圖圖如圖 1010--49 49 所示此時相位邊限為所示此時相位邊限為 67616761
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表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--18 18 例題例題 1010--9 9 具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤系統性能屬性表
圖圖 1010--47 47 相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後補償系統的單位步階響應指出了相位落後控制的主要缺點因為相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增相位落後控制器本質上為低通濾波器補償系統的上升時間和安定時間通常會增加加不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相不過下面的例題將會證明在改善穩定度方面相位落後控制會比單級的相
位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合位領前更具多樣性和更廣的應用尤其對於欠阻尼或負阻尼的系統更適合
相位落後控制適用於欠阻尼相位落後控制適用於欠阻尼或負阻尼的系統或負阻尼的系統
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
例題例題1010--10 10 例題例題 1010--8 8 所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如所設計的太陽追蹤器系統其順向路徑轉移函數如 (10(10--111)111)式所述現恢復式所述現恢復 KK 值使根軌跡圖可加以使用則值使根軌跡圖可加以使用則 (10(10--111) 111) 式可寫為式可寫為
(10(10--137) 137)
閉迴路系統的根軌跡如圖閉迴路系統的根軌跡如圖 1010--50 50 所示當所示當 K K = 1 = 1 時系統為不穩定且特性方程式的時系統為不穩定且特性方程式的
根為根為 71314713144407 + 4407 + jj4660146601和和 4407 4407 jj4660146601例題例題 1010--8 8 說明以單級相位說明以單級相位領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為領前控制器無法達到穩定度性能規格令性能規格為
最大超越量最大超越量 55上升時間上升時間 trtr 002 002 秒秒安定時間安定時間 tsts 002 002 秒秒
假設所欲設計的相對阻尼比為假設所欲設計的相對阻尼比為 07070707圖圖 1010--50 50 可看出在可看出在 KK = 010675 = 010675 時未補償時未補償
系統主要特性方程式的根為系統主要特性方程式的根為 17277 17277 jj1727317273所對應的阻尼比為所對應的阻尼比為 07070707因此因此可由可由 (10(10--124) 124) 式決定式決定 aa 值值
(10(10--138) 138)
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
圖圖 1010--50 50 例題例題 1010--10 10 中未補償系統之根軌跡中未補償系統之根軌跡
令令 aa = 01= 01因為主控根的根軌跡遠離因為主控根的根軌跡遠離ss 平面原點所以平面原點所以 TT 值有較大範圍的值有較大範圍的彈性表彈性表 1010--19 19 所列為在所列為在 aa = 01 = 01 時不同時不同 TT 值的性能結果故結論為值的性能結果故結論為只用單級的相位落後控制器便可以只用單級的相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位領前控制器滿足穩定性需求而相位領前控制器
需要兩級可參考例題需要兩級可參考例題 1010--88
同樣的系統只用單級的同樣的系統只用單級的相位落後控制器便可以相位落後控制器便可以滿足穩定性需求而相位滿足穩定性需求而相位領前控制器需要兩級領前控制器需要兩級
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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表表 1010--19 19 例題例題 1010--1010具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表具有相位落後控制器之太陽追蹤器系統的性能屬性表
圖圖 1010--51 51 例題例題 1010--1010相位落後補償系統的靈敏度函數相位落後補償系統的靈敏度函數
靈敏度函數在頻率靈敏度函數在頻率
到達到達 102 102 radradsec sec 前均小於前均小於 11此乃此乃因相位落後控制導因相位落後控制導
致低頻寬之故致低頻寬之故
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於由上述例題的結果相位落後控制對線性控制系統工作性能的效應和限制可總結於
下下
相位落後控制的影響和限制相位落後控制的影響和限制
11 對已知的順向路徑增益對已知的順向路徑增益 K K 而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近而言順向路徑轉移函數的幅度在增益交越頻率附近衰減因此衰減因此改善了系統的相對穩定度改善了系統的相對穩定度
22 增益交越頻率降低因此閉迴路系統的增益交越頻率降低因此閉迴路系統的頻帶寬度也變窄頻帶寬度也變窄33 由於頻寬降低所以系統的由於頻寬降低所以系統的上升和安定時間通常較長上升和安定時間通常較長44 系統對於參數的變化較為靈敏系統對於參數的變化較為靈敏因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻因系統頻寬已降低而靈敏度函數在比系統頻
寬更高的頻率均大於寬更高的頻率均大於 11
1010--7 7 相位領前相位領前--落後控制器的設計落後控制器的設計
由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系由前面章節已知相位領前控制通常可以改善上升時間和阻尼但卻增加閉迴路系統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有統的自然頻率另一方面若適當地使用相位落後控制則可以改善阻尼但卻有較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系較長的上升和安定時間因此每一種控制方法都有其優缺點和限制而且許多系統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加統不能以單一的方法來滿足所有規格是故若有必要可以將領前和落後控制器加
以組合使兩種方法的優點均能利用以組合使兩種方法的優點均能利用
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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簡單的落後簡單的落後--領前領前 ((或領前或領前--落後落後) ) 控制器的轉移函數可寫為控制器的轉移函數可寫為
(10(10--139) 139)
如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益如前面所討論的領前和落後控制器的增益和衰減可以由調整順向增益 KK 來補償來補償所以增益因子不包括在所以增益因子不包括在 (10(10--139) 139) 式中式中
由於在由於在 (10(10--139) 139) 式中的領前式中的領前--落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不落後控制器轉移函數中有四個參數所以此設計並不像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器像單級相位領前或相位落後設計般的直接通常此控制器相位領前的部份主要是相位領前的部份主要是達到較短上升時間和較高頻寬的目的達到較短上升時間和較高頻寬的目的而而相位落後的部份主要是提供系統的阻尼相位落後的部份主要是提供系統的阻尼
設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題設計時可以先從相位領前或相位落後控制器開始以下例題 1010--11 11 將說明設計步將說明設計步驟驟
例題例題1010--1111 本例為設計一領前本例為設計一領前--落後控制器考慮例題落後控制器考慮例題 1010--8 8 之太陽追蹤器系統之太陽追蹤器系統
在在 KK = 1 = 1 時未補償系統為不穩定在例題時未補償系統為不穩定在例題 1010--9 9 設計了兩級相位領前控制器而例設計了兩級相位領前控制器而例題題 1010--10 10 則是設計了單級相位落後控制器則是設計了單級相位落後控制器
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基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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控制系統的設計控制系統的設計CHAPTER
基於例題基於例題 1010--8 8 的設計首先以的設計首先以 a a = 70= 70TT1 = 000004 1 = 000004 來設計相位領前控制剩下來設計相位領前控制剩下的相位落後控制可用根軌跡或的相位落後控制可用根軌跡或波德波德圖來設計表圖來設計表 1010--20 20 所列為使用一較不靈敏之參所列為使用一較不靈敏之參數數 TT2 = 22 = 2和不同和不同 aa 值所得的結果由表值所得的結果由表 1010--2020的結果可知當的結果可知當 aa1 = 701 = 70TT1 = 1 = 000004 000004 時可使最大超越量為最小的時可使最大超越量為最小的 aa2 2 約為約為 0202與例題與例題 1010--9 9 單級相位落後控單級相位落後控制結果比較制結果比較BW BW 由由 6694 6694 radradsecsec增加為增加為 3514 3514 radradsecsec且上升時間由且上升時間由 001273 001273 秒降為秒降為 000668 000668 秒由於靈敏度函數在頻帶寬度秒由於靈敏度函數在頻帶寬度 3514 3514 radradsec sec 之下的頻率時均不之下的頻率時均不超過超過 11所以此所以此具有領前具有領前--落後控制器之系統較具強韌性落後控制器之系統較具強韌性圖圖 1010--52 52 為兩級相位領前為兩級相位領前控制單級相位落後控制和領前控制單級相位落後控制和領前--落後控制之單位步階響應的比較落後控制之單位步階響應的比較注意若在控制器相位領前部份採用較大的注意若在控制器相位領前部份採用較大的 aa1 1 值則太陽追蹤器系統的頻寬和上值則太陽追蹤器系統的頻寬和上升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較升時間會分別增加和減少不過雖然最大超越量保持較小值但步階響應卻有較
大的欠過度大的欠過度
表表 1010--20 20 例 題例 題 1010--1111 以 以aa1=701=70TT1=000004 1=000004 之領前之領前--落後控制器之落後控制器之太陽追蹤器系統性能太陽追蹤器系統性能屬性表屬性表
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圖圖 1010--52 52 例題例題 1010--1111中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前中之太陽追蹤器系統以單級相位落後領前--落後和兩級相位領前控制的單位步階響應落後和兩級相位領前控制的單位步階響應
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