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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de La Recherche Scientifique
Ecole Préparatoire en Sciences et
Techniques de Tlemcen
PHYSIQUE VIBRATIONS
Cours et problèmes résolus Classes préparatoires en sciences et techniques
Présenté par Dr Fouad BOUKLI HACENE
Dr Mohamed MEBROUKI
Année Universitaire : 2015-2016
Deuxième édition
Avant propos
Ce document est destiné aux étudiants de la deuxième année des filières
scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il
répond au programme officiel du module « Vibrations» enseignés en deuxième année
des filières Sciences et techniques et Sciences de la matière.
Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations
avec un rappel de cours.
Le manuscrit est divisé en cinq chapitres. Le premier chapitre porte sur
l’utilisation du formalisme de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes
physiques. L’étude des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à
un degré de liberté est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le
mouvement amorti qui prend en compte les forces de frottement de type visqueux
proportionnelles à la vitesse du mobile. La notion de résonance consacrée aux
oscillations forcées est présentée au quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite
les vibrations de systèmes à plusieurs degrés de liberté. Les analogies entre les
systèmes électriques et mécaniques sont présentées dans les cinq chapitres.
Chaque chapitre est suivi d’une série de problèmes avec solutions détaillées
permettant aux étudiants de mieux assimilés les phénomènes étudiés. Aussi, le
manuscrit est enrichi par deux travaux pratiques en relation avec les sujets traités.
SOMMAIRE
Chapitre 1 : Généralités sur les vibrations
1.1 Définitions
1.2 Exemples d’application
1.3 Modélisation physique
1.4 Nombre de degrés de liberté
1.5 Energie totale d’un système mécanique
1.5.1 Equilibre stable
1.5.2 Equilibre instable
1.6 Nature des forces appliquées aux systèmes mécaniques
1.7 Méthodes de détermination de la période d’oscillation
1.7.1 Principe de conservation de l’énergie mécanique
1.7.2 La loi de la dynamique de Newton
1.7.3 Formalisme de Lagrange
1.7.3.1 Genèse du principe de moindre action
1.7.3.2 Contraintes
1.7.3.3 Equations d’Euler-Lagrange
1.7.3.3.a Cas de systèmes conservatifs
1.7.3.3.b Cas de forces de frottement dépendant de la vitesse
1.7.3.3.c Fonction de dissipation de Rayleigh
1.7.3.3.d Cas d’une force extérieure dépendant du temps
Exercices
Travail pratique : Conservation de l’énergie mécanique – Roue de Maxwell
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire à un degré de liberté
2.1 Définitions
2.2 Exemple d’oscillations mécaniques (masse+ ressort)
2.3 Bilan énergétique
2.4 Applications
2.4.1 La chute libre (Le Bungee)
2.4.2 Pendule simple
2.4.3 Oscillation non linéaire
2.4.4 Pendule pesant
2.4.5 Pendule de torsion
2.5 Oscillations électriques
Exercices
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
3.1 Définitions
3.2 Modélisation mathématique
3.2.1 Cas d’un amortissment fort
3.2.2 Cas d’un amortissment critique
3.2.3 Cas d’un amortissment faible
3.3 Aspects énergétiques
3.4 Système électrique équivalent
Exercices
Chapitre 4 : Mouvement oscillatoire forcé d’un système mécanique
à un degré de liberté
4.1 Définitions
4.2 Cas d’une force extérieure constante
4.2.1 Cas d’un amortissment faible
4.2.2 Cas d’un amortissment critique
4.2.3 Cas d’un amortissment fort
4.3 Cas d’une force extérieure sinusoïdale
4.3.1 Etude de l’amplitude en fonction de la pulsation extérieure
4.3.1.a Dangers de la résonance
4.3.2 Etude de la phase en fonction de la pulsation extérieure
4.4 Bande passante
4.5 Cas d’une force périodique non-sinusoïdale
4.6 Energies mises en jeu
4.7 Système électrique équivalent
4.8 Effet Pogo
4.9 Système électrodynamique : le haut parleur
Travail pratique : Système amorti forcé- Pendule de Pohl
Exercices
Chapitre 5 : Mouvement oscillatoire forcé d’un système mécanique
à un degré de liberté
5.1 Définitions
5.1.1 Système mécanique à plusieurs sous systèmes découplés
5.1.2 Système mécanique plusieurs sous systèmes couplés
5.2 Types de couplages
5.2.a Couplage par élasticité
5.2.b Couplage par viscosité
5.2.c Couplage par inertie
5.3 Battements
5.4 Oscillations forcées d’un système mécanique non amorti à deux degrés de liberté
5.5 Analogies électromécaniques
5.6 Modes propres de vibration d’un système mécanique à trois degrés de liberté
Exercices
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 1
VIBRATIONS
Chapitre 1:
Généralités sur les oscillations
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 2
1.1 Définitions:
La vibration est un phénomène physique oscillatoire d’un corps en mouvement
autour de sa position d’équilibre. Parmi les mouvements mécaniques les plus variés, il
existe des mouvements qui se répètent : le mouvement d'une balançoire, le mouvement
alternatif des pistons d'un moteur à explosion. Aussi, les ailes d'une moustique vibrent
à une cadence de 100 battement par seconde et produisent un son audible. Après un
tremblement de terre, celle-ci continue à vibrer à raison d'une oscillation par heure. Le
corps humain est le lieu de plusieurs phénomènes de vibrations: le coeur bat, les
poumons oscillent, on tremble lorsqu'on a froid, et on ne peut entendre ni parler que
grâce aux vibrations du tympan et des larynges. Tous ces mouvements ont un trait
commun : une répétition du mouvement sur un cycle.
Un cycle est une suite ininterrompue de mouvements ou de phénomènes qui se
renouvellent toujours dans le même ordre. Prenenos à titre d'exemple le cycle à quatre
temps d'un moteur à explosion. Un cycle complet comprend quatre étapes (admission,
compression, explosion, échappement) qui se répètent durant un cycle moteur.
On appelle mouvement périodique un mouvement qui se répète et dont chaque cycle
se reproduit identiquement. La durée d'un cycle est appelée période T, et mesurée en
seconde s. Aussi, on définit la fréquence d’oscillations f comme le nombre
d’oscillations qui ont lieu pendant la période T :
Tf
1 (1.1)
mesurée en s-1 ou en Hertz (Hz). En multipliant la fréquence f par 2 on obtient
l’expression de la pulsation :
f 2 (1.2)
mesurée en rad.s-1
Un mouvement périodique particulièrement intéressant dans le domaine de la
mécanique est celui d'un objet qui se déplace à partir de sa position d'équilibre et y
revient en effectuant un mouvement de va-et-vient par rapport à cette position.
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 3
Ce type de mouvement périodique se nomme oscillation ou mouvement oscillatoire.
Les oscillations d'une masse reliée à un ressort, le mouvement d'un pendule ou les
vibrations d'un instrument à corde sont des exemples de mouvements oscillatoires.
Il est à noter que les vibrations peuvent représenter un risque pour la santé des
salariés. On distingue deux modes d’exposition: les vibrations transmises à l’ensemble
du corps, notamment lors de la conduite d’engins, et les vibrations transmises aux
membres supérieurs, lors de l’utilisation de machines portatives.
En général les corps n'oscillent pas entre des limites précises à cause des forces
de frictions qui dissipent l'énergie du mouvement. On ne peut pas donc éliminer la
friction des mouvement périodiques mais on peut enlever son effet d'amortissement en
introduisant une force extérieure (une énergie compensatrice).
1.2 Exemples d’applications :
Les vibrations transmises à l’ensemble du corps par les véhicules et les engins
(chariots de manutention, engins de chantier…) et certaines machines industrielles
fixes (tables vibrantes, concasseurs…).
Figure 1.1 : Les vibrations dues aux engins mécaniques
Les vibrations transmises aux membres supérieurs par des machines portatives,
guidées à la main (pilonneuses, plaques vibrantes…) ou par des pièces travaillées
tenues à la main (polissage...).
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 4
.Figure 1.2 : les vibrations transmises par les machines portatives
Tout système mécanique, incluant les machines industrielles les plus
complexes, peut être représenté par des modèles formés d’un ressort, un amortisseur et
une masse. Le corps humain, souvent qualifié de "belle mécanique", est décomposé à
la figure 1.3 en plusieurs sous-systèmes "masse-ressort-amortisseur" représentant la
tète, les épaules, la cage thoracique et les jambes ou les pieds.
Figure 1.3 : Modélisation masse-ressort-amortisseur de l’homme.
1.3 Modélisation physique :
Pour comprendre le phénomène vibratoire, on associe à tous les systèmes physiques un
système "masse-ressort" qui constitue un excellent modèle représentatif pour étudier
les oscillations (voir figure 1.4).
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 5
Figure 1.4: Schéma masse-ressort
F(t) est la force de rappel proportionnelle à l’allongement x(t). La constante k est
appelée la constante de raideur.
Il existe deux autres configurations pour le système masse-ressort, (voir figure 1.5):
Figure 1.5 : Différentes configurations pour le système masse-ressort
La représentation de plusieurs ressorts se présente en deux cas :
En parallèle, on a la figure (1.6):
Figure 1.6: Ressorts en parallèle
La constante de raideur équivalente est la somme des raideurs k1 et k2 telle que :
21// kkkeq
(1.3)
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 6
En série, on a la figure (1.7):
Figure 1.7: Ressorts en série
La constante raideur équivalente pour les constantes k1 et k2 est telle que :
21
111
kkkeqs
(1.4)
1.4 Nombre de degrés de liberté:
On définit n le nombre de degrés de liberté comme étant le nombre de mouvements
indépendants d’un système physique qui détermine le nombre d’équations
différentielles du mouvement.
A chaque degré de liberté du système mécanique on fait correspondre une coordonnée
généralisée q qui peut s’identifier à une distance comme elle peut être représentée par
un angle.
1.5 Energie totale d’un système mécanique:
L’énergie totale du système est définie par la somme de deux types d’énergie.
L’énergie cinétique d’un système mécanique qui s’écrit sous la forme :
n
i
jiiijc qqqmE1 2
1
(1.5)
où iij qm sont les coefficients d’inertie qui dépendent généralement des coordonnées
générales. Dans une première approximation, il est possible de faire en sorte que les
coefficients d’inerties soient constants. Cela permet de déboucher sur un système
d’équations linéaire de mouvement.
L’énergie potentielle d’un système mécanique s’écrit à partir d’un développement
limité de la fonction énergie potentielle autour de sa valeur à l’équilibre :
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 7
...2
10,,0,,
2
1,1
1
ji
eqji
pn
ji
i
n
i eqi
p
pnp qqqq
Eq
q
EEqqE
(1.6)
0,,0 pE est une constante qu’on peut prendre nulle en choisissant convenable une
référence pour l’énergie potentielles. Aussi, l’équilibre du système est caractérisé par:
0
0
iqi
p
q
E (1.7)
Ce sont là des conditions d’équilibre qui servent à simplifier l’expression de l’énergie
potentielle.
Un mouvement oscillatoire est dit harmonique si l’allongement est faible. A cet effet,
on se contente des termes quadratiques dans l’énergie potentielle :
ji
eqji
pn
ji
np qqqq
EqqE
2
1,
12
1,, (1.8)
où
eqji
p
ijqq
Ek
2
sont les coefficients de rigidité.
On distingue pour les systèmes mécaniques deux types d’équilibre :
1.5.1 Equilibre stable:
Un système mécanique une fois déplacé de sa position d’équilibre tend à la
retrouver en faisant des oscillations. Il est représenté par la figure 1.8. Dans le cas d’un
système à un seul degré de liberté, l’équilibre stable est mathématiquement obtenu
lorsque
02
2
eq
p
q
E
(1.9)
Ceci est aussi la condition d’oscillation du système autour de sa position d’équilibre.
Dans le cas d’un système à n degré de liberté, la condition d’oscillation est obtenue
lorsque la matrice construite à partir des dérivées deuxièmes de l’énergie potentielle
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 8
par rapport aux coordonnées généralisées prises à l’équilibre est définie positive
(toutes ses valeurs propres sont réelles positives).
eqn
p
eqn
p
eqn
p
eq
p
q
E
E
E
q
E
2
2
1
2
1
2
2
1
2
(1.10)
Figure 1.8: équilibre stable
1.5.2 Equilibre instable : si cette condition n’est pas remplie le système une fois
écarté de cette position s’écroulera. On dit qu’on est en présence d’un équilibre
instable, représenté sur la figure 1.9.
Figure 1.9: équilibre instable
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 9
Dans ce cas, la force de rappel prend la forme linéaire en fonction de l’allongement et
s’oppose au mouvement telle que:
n
j
j
eqji
p
i
p
q qqq
E
q
EF
i
1
2
2
1 (1.11)
Dans le cas d’un système simple à un degré de liberté, l’énergie potentielle s’écrit sous
la forme suivante:
2
2
1kxE p (1.12)
où k est la constante de raideur du ressort, et la force de rappel s’écrit :
kxF (1.13)
C’est la loi de Hooke.
Pour le pendule de torsion l’énergie de potentielle s’écrit alors :
2
2
1DE p (1.14)
où D est la constante de torsion. Ainsi, le moment de rappel s’écrit alors :
tDtM )( (1.15)
1.6 Nature des forces appliquées aux systèmes mécaniques:
On démontre qu'un champ de force F
est conservatif si et seulement si le rotationnel
du champ vectoriel F
est nul. Ceci vient du fait que le rotationnel d'un gradient est
toujours nul
0
U (1.16)
où U est un potentiel à l’origine de la force F
, telle que
UF
(1.17)
Le travail d'une force conservative est indépendant de la trajectoire et ne dépend que
de la valeur du potentiel U aux points de départ et d'arrivée et est égal au gain
d'énergie cinétique de la particule (énergie cinétique finale moins énergie cinétique
initiale) alors que le travail des forces non conservatives est égal au gain d'énergie
totale de la particule.
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 10
Toute force qui dépend de la vitesse n'est pas conservative. C'est le cas d'une force
de résistance au mouvement, causée soit par la viscosité, la turbulence ou le
frottement. On peut définir deux types de forces non conservatives:
- Les forces dites dissipatives, qui s'opposent au mouvement, comme celles
causées par la viscosité, la turbulence et le frottement dynamique.
- Les forces de contrainte, qui sont toujours perpendiculaires à la vitesse de
l'objet.
Comme les forces dissipatives sont grosso modo opposées à la vitesse, et leur travail
est négatif et elles ne peuvent que diminuer l'énergie mécanique de la particule. Par
contre, les forces de contrainte ne peuvent exercer aucun travail, car elles sont toujours
perpendiculaires au déplacement.
La force magnétique
BvqF
, (1.18)
quoiqu'elle ne soit pas considérée habituellement comme une force de contrainte, entre
dans cette catégorie. La force de frottement statique entre aussi dans cette catégorie,
car elle s'applique en l'absence de déplacement. En résumé, les forces dissipatives vont
diminuer l'énergie totale d'un objet, alors que les forces de contrainte (incluant la force
magnétique) vont la conserver (même si elles ne sont pas appelées conservatives.)
1.7 Méthodes de détermination de la période d’oscillation:
Le calcul de l’équation du mouvement pour un système conservatif peut être
déterminé par trois méthodes :
1.7.1 Principe de la conservation d’énergie totale :
0tan dt
dEteConsEEE T
pcT
(1.19)
où TE est l’énergie totale du système.
1.7.2 La loi de la dynamique de Newton :
La seconde loi de la dynamique s’écrit sous la forme:
1i
ii
dt
(1.20)
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 11
Où ip
est la quantité de mouvement de la masse im . Une équation importante
(théorème du moment cinétique) découlant de cette même équation est la suivante:
1
//
i
i
Oi
Odt
JdM
(1.21)
où i
OM /
est le moment de la force appliquée sur la masse im et
iJ
le moment cinétique
associé à la masse im .
1.7.3 Méthode de Lagrange-Euler:
1.7.3.1 Genèse du principe de moindre action :
La dynamique de Newton repose sur l'idée que l'action d'une force agissant sur un
objet consiste à changer sa quantité de mouvement. Leibniz, un contemporain de
Newton, avait plutôt tendance à mesurer le changement en énergie causé par la force,
et a, de ce fait, déplacé l'intérêt en la quantité de mouvement et le travail vers l'énergie
cinétique et l'énergie potentielle.
Les méthodes variationnelles établies par Lagrange et Hamilton, sont basées sur
l'analyse de l'énergie, et le système est traité comme un ensemble au lieu de parties
isolées. Il s'est avéré qu'il est plus facile de suivre l'évolution de l'énergie, quantité
scalaire, que de suivre des quantités cinématiques telles que les vitesses ou les
accélérations.
Prenons le cas d'un objet lancé en l'air et repérons deux points de sa trajectoire en deux
instants quelconques. Une infinité de courbes passent entre ces deux points et pourtant
la nature n'en choisit qu'une seule. Qu'est ce qui distingue cette courbe- la trajectoire
physique- de toutes les autres?
En 1744, Pierre-Louis Moreau de Maupertuis se posa cette question. Intuitivement il
pressentit que les phénomènes physiques répondaient à un premier, fondamental, selon
lequel la nature choisissait toujours, parmi toutes les possibilités qui s'offraient à elle,
celle qui était la plus efficace qui s'exprimait par un minimum de vitesse pour un
minimum de chemin parcouru. Il baptisa ce principe, le principe de moindre action.
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 12
Mathématiquement, Maupertuis traduisit le principe de moindre action comme suit. Si
l'on considère le mouvement d'un corps entre deux points A au temps At et B au
temps Bt . Pour une énergie totale E donnée, la trajectoire sélectionnée par la nature
est celle pour laquelle la grandeur
B
A
t
t
B
A rdvmK
. (1.22)
est minimale.
En remarquant que
dtvrd .
on obtient alors:
B
A
B
A
t
t
t
t
B
A dttvTdtvvmK ,2..
(1.23)
où tvT ,
est l'énergie cinétique du corps.
Quelques années plus tard, et à partir d'une intuition semblable à celle de Mapertuis,
Euler parvient à un énoncé très similaire de l'action mais en partant de l'idée que les
corps tendent à adopter un état où l'énergie potentielle est minimale. L'action d'Euler
s'exprimait en fonction de l'énergie potentielle trU ,
au lieu de l'énergie cinétique.
En faisant la synthèse de ces deux démarches, Lagrange a eu l’idée de proposer une
nouvelle action qui s’écrivait sous la forme :
B
A
t
t
B
A dttrUtvrTS ,,,
(1.24)
où la quantité
trUtvrTtvrL ,,,,,
est connue sous le nom de Lagrangien dus sytème.
La méthode de Lagrange compare les actions correspondant à différentes trajectoires
possibles et choisit le chemin pour lequel l’action est minimale. Ce critère débouche, à
l’aide du calcul variationnel, aux équations dites d’Euler-Lagrange gouvernant le
mouvement des corps rigides.
1.7.3.2 Contraintes :
En dehors des forces agissant sur un système lors de son mouvement, il existe dans la
plupart des problèmes de la dynamique des restrictions sur le mouvement, connues
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 13
sous le nom de contraintes, et qui sont dues à la nature du système et de son
environnement. Ces contraintes sont exprimées sous formes de relations entre
certaines coordonnées, leurs taux de variation, etc.
Ces contraintes exercent des forces sur le système et ainsi vont affecter l'évolution
dans le temps des coordonnées du système. Ce sont là des forces de contraintes ou
réactions. Dans la formulation du mouvement, basée sur les lois de Newton, les forces
appliquées sur le système ainsi que les forces de contraintes doivent toutes
incorporées. Ces dernières ne sont pas connues au préalable, puisque leurs valeurs
dépendent du mouvement lui-même. C'est précisément cela qui fait que les équations
du mouvement dans le formalisme de Newton sont difficiles à résoudre.
1.7.3.3 Equations d’Euler-Lagrange
Considérons une particule ponctuelle de masse m se déplaçant sans frottement sur une
courbe plane comprise dans le plan xOy et dont les coordonnées vérifient les
conditions suivantes :
0),(
0
yxf
z
Cette particule possède un seul degré de liberté. On choisit une variable q ; appelée
coordonnée généralisée pour repérer sa position.
Soit r
le vecteur de position de la particule qui s’exprime en fonction de q comme
suit : )(qrr
On considère F
la résultante de toutes les forces s’exerçant sur la particule. La relation
fondamentale de la dynamique s’écrit alors :dt
vdmF
, où
dt
rdv
est le vecteur de la
vitesse de la particule.
Soit dw le travail fournie par la force F
lors d’un déplacement infinitésimale rd
comme suit :
rdFdw
.
Le déplacement rd
peut s’écrire comme suit :
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 14
dqq
rrd
Dans ce cas dw peut se mettre sous la forme :
dqq
r
dt
vdmdq
q
rFdw
.
(1.25)
On appelle qF la force généralisée conjuguée de q ; où q-composante de la force, la
quantité qF définie par :
dq
dw
q
rFFq
D’où :
dqFdw q
(1.26)
D’autre part, on a :
q
r
dt
dv
q
r
dt
vd
q
rv
dt
d
Sachant que :
q
v
dt
rd
r
dt
d
On obtient alors :
dq
vdv
q
rv
dt
d
q
r
dt
vd
(1.27)
On a :
r
dt
q
q
r
dt
rd
On obtient alors :
q
vv
q
vv
dt
d
q
r
dt
vdet
qd
v
q
r
Sachant maintenant que :
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 15
q
vvvv
qv
q
et
q
vvvv
qv
q
..2
1
2
1
..2
1
2
1
2
2
On obtient :
22
2
1
2
1. v
qv
qdt
d
q
r
dt
vd
L’expression du travail peut alors s’écrire comme suit :
dqvq
vqdt
dmdw
22
2
1
2
1
(1.28)
avec : 2
2
1mvEc est l’énergie cinétique de la masse m ; on obtient finalement :
dqFdqq
E
q
E
dt
detdq
q
E
q
E
dt
ddw q
cccc
On en déduit l’équation de d’Alembert pour un système à un degré de liberté :
q
cc Fq
E
q
E
dt
d
(1.29)
1.7.3.3.a Cas de systèmes conservatifs :
Pour les systèmes conservatifs, la force appliquée au système dérive d’un potentiel pE
et elle s’écrit :
q
EF
p
q
(1.30)
L’équation d’Euler- Lagrange devient alors :
q
E
q
E
q
E
dt
d pcc
(1.31)
Sachant que l’énergie potentielle pE ne dépend pas de la vitesse tel que :
0
q
E p
Finalement l’équation d’Euler-Lagrange peut alors s’écrire sous la forme suivante:
pc EELavecq
L
q
L
dt
d
0
(1.32)
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 16
où on a introduit la fonction de Lagrange (ou lagrangien du système) qui est la
différence de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle.
Pour un système conservatif à plusieurs degrés de liberté (nombre n), l’équation
d’Euler-Lagrange s’écrit comme suit :
niq
L
q
L
dt
d
ii
,...10
(1.33)
1.7.3.3.b Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse :
Considérons une situation physique dans laquelle la particule est soumise à des
forces de frottement de viscosité dont la résultante frf
est de la forme :
vf fr
(1.34)
où est le coefficient de frottement et v
le vecteur vitesse de la particule.
Pour calculer la force généralisée pF
correspondante, nous utilisons la définition du
paragraphe précédent :
22
.
q
ravecq
t
q
q
r
q
rfF frp
Si en plus des forces qui dérivent d’un potentiel, le système est soumis à des forces de
frottement de viscosité, l’équation d’Euler-Lagrange s’écrit alors :
pc EELavecqq
L
q
L
dt
d
(1.34)
Pour un système dissipatif (non conservatif) de plusieurs degrés de liberté l’équation
du mouvement déterminée comme suit :
o Système en translation :
niFq
L
q
L
dt
dext
ii
,...1
(1.35)
où extF
sont les forces extérieures appliquées au système.
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 17
o Système en rotation
niMq
L
q
L
dt
dext
ii
,...1
(1.36)
où extM
sont les moments extérieurs appliqués au système. Dans ce cas les forces
extérieures ne dérivent pas d’un potentiel.
1.7.3.3.c Fonction de dissipation de Rayleigh:
Calculons le travail frdw fourni par la force de frottement pendant un intervalle de
temps dt lors d’un déplacement rd
:
dtvrdfdw frfr
2
(1.37)
La quantité de chaleur dQ gagnée par le système en interaction avec la particule est
telle que :
dtvdQ 2 (1.38)
On définit dP la puissance dissipée par les forces de frottement sous forme de chaleur
comme suit :
22 xvPd (1.39)
Cette puissance dissipée peut être exprimée en fonction de q par :
2
22
2 qt
q
q
r
dt
rdvPd
(1.40)
Par définition, la fonction dissipation est égale à la demi-puissance dissipée et s’écrit
comme suit :
2
2
1
2
1qPD d (1.41)
En général, et pour un système à n degré de liberté, la fonction de dissipation pour
des frottements de type visqueux (vitesses faibles) a la forme quadratique des vitesses
généralisées :
j
n
ji
iij qqD
1,2
1 (1.42)
où ij sont appelés les coefficients de frottements visqueux.
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 18
La iq -composante iqF de la force de frottement peut alors s’écrire :
i
DF
i
(1.43)
Finalement, l’équation d’Euler- Lagrange s’écrit alors :
niq
D
q
L
q
L
dt
d
iii
,,1
(1.44)
1.7.3.3.d Cas d’une force extérieure dépendant du temps
Considérons le cas plus général d’une force extérieure dépendant du temps agissant sur
un système soumis à des forces de frottement ‘dérivant ‘ d’une fonction dissipation D.
Soit extF la q-composante de la force extérieure. Dans ce cas l’équation d’Euler-
Lagrange peut s’écrire sous la forme suivante:
pcext EELavecFq
D
q
L
q
L
dt
d
(1.45)
Dans le cas général d’un système à plusieurs degrés de liberté, il y a autant d’équations
de Lagrange que de degrés de liberté. Ainsi, si le système possède n degrés de liberté,
il est nécessaire d’avoir n coordonnées généralisées pi (i = 1, 2, ...., n). Nous aurons
ainsi n équations d’Euler-Lagrange comme suit :
ext
i
iii
Fq
D
q
L
q
L
dt
d
(1.46)
où ext
iF est la force extérieure qui fait varier la coordonnée généralisée iq .
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 19
Applications
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 20
Exercice de rappels mathématiques:
1- donner le module et la direction du nombre complexe 354 j .
2- Donner les parties réelle et imaginaire du nombre
54
2
j
Aetj
sachant que A et sont réels.
3- écrire les nombres complexes suivants sous la forme jba : jjZ et
83.0jZ .
Solution:
1- on calcule directement :
543454.54.54543
jjjjj
Le module du nombre complexe est égal à :
23.965434542
23
j
L’argument du nombre complexe est égal à :
4
543arctg
2-
)54(2
sin2
cos4154
2
jtjtA
j
Aetj
)54()cos()sin(4154
2
jtjtA
j
Aetj
La partie réelle du nombre complexe est égale à :
)cos(5)sin(441
ttA
La partie imaginaire du nombre complexe est égale à :
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 21
)sin(5)cos(441
ttA
3- Le nombre complexe
k
j
kjj eejZ
22
22
est
kjkj
eejZ
2
283.0
83.0
2283.0
Problème 1:
Soient les systèmes physiquses représentés sur les figures 1.10 (A-B-C)
(A)
(B)
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 22
(C)
Figure 1.10 : Différents types de systèmes mécaniques.
Déterminer pour chaque système :
Le nombre de degré de liberté
L’énergie cinétique et l’énergie potentielle
En déduire le Lagrangien totale.
Solution
Figure 10.1-A :
Le système possède trois coordonnées ,, 21 xx et on a sin2 lx . Ce qui veut
dire que les composantes ,2x sont dépendantes. Donc, Le nombre de degrés
de liberté de ce système est égal à 2.
L’énergie cinétique s’écrit :
22
1 2
1i
i
ic xmE
L’énergie potentielle se calcule comme suit :
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 23
2
1
22
212
1cos)(
2
1
i
iip xkmglxxkE
Le Lagrangien s’écrit alors :
2
1
22
21
22
1 2
1cos)(
2
1
2
1
i
iii
i
ipc xkmglxxkxmEEL
Les coordonnées de ce système sont 21, qui sont indépendantes. D’où le
nombre de degré de liberté est égal à 2.
Le Lagrangien du système :
L’énergie cinétique s’écrit :
2m2
2m1c 21
Vm2
1Vm
2
1E
En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :
))sinsin(ly
)coscos(lx(V)
)cos(cosly
)sin(sinlx(mO
)sinly
coslx(V)
cosly
sinlx(mO
2211m
2211mm
21m
21m
2
11m
11mm
1m
1m
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
D’où :
2m
2m
2m
2m
2m
2m
222
111
yxV
yxV
Après calcul, l’énergie cinétique s’écrit alors:
)cos(lmlm2
1l)mm(
2
1E 2121
22
22
22
21
221c
Pour l’énergie potentielle on a :
)cos(cosglmcosglmE 21211p
Le Lagrangien devient alors:
)cos(cosglmcosglm
)cos(lmlm2
1l)mm(
2
1L
21211
21212
222
22
21
221
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 24
Figure 10.1-C :
Le nombre de degré de liberté :
On définit les petits déplacements comme suit :
dépendantssontx,x,xlx,lx,lx 321332211
Le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par θ
Pour l’énergie cinétique on a :
2233
2222
2211
2ii
1i
c lm2
1lm
2
1lm
2
1xm
2
1E
L’énergie potentielle s’exprime:
cosglmkl2
1kl
2
1E 33
222
221p
Le Lagrangien s’écrit alors :
cosglm)l(k2
1lm
2
1EEL 33
22
1i
i
3
1i
2i
2iipc
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 25
Problème 2 :
Soient deux systèmes physiques représentés par la figure 11.1
Figure 1.11: pendule simple et pendule oscillant
Déterminer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du pendule simple.
En déduire l’énergie totale du système.
En appliquant le principe de conservation de l’énergie totale, déterminer
l’équation différentielle du mouvement.
En appliquant la loi dynamique de Newton, déterminer l’équation
différentielle du mouvement du ressort.
Solutions :
Pour le pendule simple : Figue 1.12-A:
Le vecteur de position s’exprime comme suit:
sinly
coslxv
cosly
sinlxmo
D’où :
2222lyxv
L’énergie cinétique s’écrit :
222c ml
2
1mv
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a:
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 26
cosmglEp
Alors, l’énergie totale du système s’écrit :
cos2
1 22 mglmlEEE pcT
En appliquant le principe de conservation de l’énergie totale pour un
système conservatif ; on a :
0cos2
10 22
mglml
dt
d
dt
dET
D’où :
0sin0sin2 glmglml
On obtient alors l’équation différentielle pour des petites oscillations
comme suit :
sin0)( avectl
g
Pour le ressort ; (Figure 1.12-B) on applique la loi dynamique de
Newton :
amF
Figure 1.12 -B : Etat du système en équilibre et en mouvement
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 27
En appliquant les différentes forces au système ; on obtient :
amFp
En projection sur l’axe Ox ; on obtient :
xmkxkxmgxmxxkmg
0
00 )(
Finalement l’équation différentielle du mouvement pour des petites oscillations
s’écrit :
0)( txm
kx
Problème 3 :
Une poulie de masse M, de moment d’inertie J, et de rayon R, suspendue au
point O par un ressort de raideur k. Le fil inextensible glisse sur la poulie sans
frottement relié par une masse m (voir figure 1.13.)
Déterminer le nombre de degré de liberté
Etablir l’énergie cinétique et l’énergie potentielle
En déduire le Lagrangien du système
Etablir l’équation différentielle du système par le principe de Lagrange
Figure 1.13: Mouvement oscillatoire de la polie
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 28
La figure 1.13-a représente l’état d’équilibre du système et la figure 1.14-b
représente l’état du système en mouvement.
Les paramètres, (X01, X02) et (X1, X2) représentent respectivement les positions
des masses M et m en état d’équilibre et en mouvement.
Le nombre de degré de liberté :
La longueur du fil l est la même en mouvement et en équilibre tel que:
En équilibre :
)XX(RXDl 010201
En mouvement :
)XX(RXDl 121
Apres l’égalité des deux équations, on obtient :
dépendantssontx,xx2x 2112
Le nombre de degré de liberté est alors égal à 1 qui est représenté par x1.
L’énergie cinétique s’exprime:
22
21
21c xm
2
1J
2
1xM
2
1E
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 29
Pour l’énergie potentielle:
21p kx
2
1E
Le Lagrangien s’écrit alors :
21
212pc kx
2
1x)
R
Jm2M(
2
1EEL
L’équation différentielle s’exprime comme suit:
0x)
R
Jm4M
k(x0
x
L)
x
L(
dt
d1
2
111
D’où l’équation du mouvement s’écrit :
0xx0x)
R
Jm4M
k(x 1
2011
2
1
Avec :
2
20
R
Jm4M
k
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 30
TRAVAIL PRATIQUE
Conservation de l'énergie mécanique –
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 31
Roue de Maxwell
Mots clés :
Roue de Maxwell, énergies cinétiques de translation et de rotation, énergie potentielle,
énergie mécanique, moment d'inertie, vitesse angulaire, vitesse instantanée.
Principe de l'expérience :
Une roue massique, pouvant se dérouler avec son axe le long de deux cordes, est
en mouvement dans le champ gravitationnel. Les énergies potentielle, de translation et
de rotation sont converties les unes aux autres et sont déterminées en fonction du
temps.
Liste du matériel:
Pied de support en A
Tige carrée , l = 1000 mm
Noix double
Mètre de démonstration, l = 1000 x 27 mm
Curseur pour mètre, rouge, plastique, la paire Roue de Maxwell
Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A, rouge, l = 100 cm
Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A, bleu, l = 100 cm
Barrière optique avec compteur
Dispositif d´arrêt avec déclenchement Bowden
Porte-plaque, ouverture 0...10 mm
Adaptateur, fiche BNC / douille 4 mm
Condensateur 100 nF/250 V
Alimentation 5 V DC/2,4 A avec fiches 4 mm
Objectifs :
1- Déterminer le moment d'inertie du disque de Maxwell.
2- A l'aide de la roue de Maxwell, déterminer, en fonction du temps:
a- l'énergie potentielle,
b- l'énergie de mouvement,
c- l'énergie de rotation.
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 32
Montage:
Le dispositif expérimental est indiqué sur la figure ci-dessus. L'axe de la roue de
Maxwell est attaché de part et d'autre à deux fils qui peuvent s'enrouler pendant que la
roue ait un mouvement vers le bas. A l'état déroulé, l'axe doit être aligné
horizontalement. Une broche reliée à un commutateur de déverrouillage et pouvant
s'introduire dans un trou de la circonférence du disque, est utilisée pour libérer le
disque mécaniquement et ainsi démarrer le compteur afin de déterminer la distance et
le temps du mouvement de la roue. La densité d'enroulement doit être à peu près égale
des deux côtés. En outre, le fil doit toujours être enroulé dans le même sens pour le
démarrage.
Étude théorique:
L'énergie totale E de la roue de Maxwell, de masse m et de moment d'inertie autour de
l'axe de rotation zI , est la somme des énergies suivantes: potentielle pE , de
translation tE et de rotation rE .
1- Montrer que l'énergie totale s'écrit comme:
22
2
1
2
1zImvlgmE
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 33
où g
est l'accélération due à la gravité, l
la hauteur du centre de la roue par rapport à
un point choisi, v
la vitesse linéaire du centre de la roue et
la vitesse angulaire
parallèle à l'axe de rotation.
2- Montrer que rv
où r
est le vecteur position d'un point sur la
circonférence de l'axe de rotation de la roue relatif à son centre.
3- En faisant la projection sur un axe approprié, montrer que l'énergie totale s'écrit:
2
22
1v
r
ImmglE z
En supposant que l'énergie totale est conservée et en utilisant les conditions initiales
appropriées, montrer que :
t
r
Im
mgtv
z
2
et
2
2
t
r
Im
mgtl
z
Étude expérimentale:
On donne la masse de la roue m=0.436 kg et le rayon de son axe r =2.5 mm.
a- Étude de la variation de la hauteur en fonction du temps:
Pour différentes valeurs de tl , mesurer les temps moyens de parcours et reportez-les
sur le tableau suivant:
st
22 st
ml
1- Tracer sur un papier millimétré lln en fonction de tln .
2- En se proposant une loi de puissance entre la hauteur tl et le temps t sous la
forme,
kttl .
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 34
en déduire les valeurs de et de l'exposant de l'équation, k.
3- Quelle est la nature du mouvement?
4- Tracer sur un papier millimétrique la courbe tl en fonction de 2t et déterminer
la pente de la courbe (n'oubliez pas les rectangles d'erreur!).
5- En déduire la valeur de l'accélération a et le moment d'inertie de la roue zI
(n'oubliez pas les unités). On prend 2.81.9 smg .
6- Conclusion
a- Étude de la vitesse en fonction du temps:
Pour différentes valeurs de tl , mesurer les temps moyens de passage t de
l'axe de la roue et reportez-les dans le tableau suivant:
st
ml
st
1. smv
1- Tracer sur un papier millimétrique la courbe tv en fonction de t et
déterminer la pente de la courbe.
2- En déduire la valeur de l'accélération a et le moment d'inertie de la roue zI
(n'oubliez pas les unités).
3- Que peut-on conclure?
Étude de la conservation de l'énergie totale:
En utilisant les résultats précédents, remplissez le tableau suivant pour différentes
valeurs de tl .
avec ;
l'énergie potentielle: lgmE p ..
L'énergie de translation: 2.2
1vmEt
l'énergie de rotation: 2
2.
2
1v
r
IE z
r
et l'énergie totale rtp EEEE
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
PAGE 35
ml
st
12 . smv
mNE p .
mNEt .
mNEr .
mNE .
1- Comparer les valeurs des énergies tE et rE .
2- Tracer sur un papier millimétré les courbes des énergies pE , rt EE et
E en fonction de t.
3- Comparer les courbes pE et rt EE .
4- Que peut-on conclure à propos de l'énergie totale E .
5- Si on abandonne la roue en mouvement d'une hauteur fixe pendant un temps
plus long, va-t-elle s'arrêter? Expliquer.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 36
Chapitre 2 :
Mouvement oscillatoire libre
à un degré de liberté
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 37
2.1 Définitions:
Un système isolé oscillant à un degré de liberté est déterminé par la coordonnée
généralisée q(t) représentant l’écart d’amplitude par rapport à l’équilibre stable.
On définit l’oscillation harmonique par l’équation différentielle linéaire du second
ordre à coefficients constants suivante :
0)()( 2
0 tqtq
(2.1)
où ω0 est la pulsation propre du système.
On définit la période propre T0 comme suit :
0
0
2T
(2.2)
La solution de cette équation différentielle est de la forme sinusoïdale telle que :
)sin()cos()( 0201 tAtAtq (2.3)
dont la forme souligne que les solutions forment un espace vectoriel, et permet plus
facilement de mettre en place les conditions initiales.
L’équation horaire ci-dessus peut aussi se mettre sous la forme :
)cos()( 0 tAtq (2.4) où les constantes A et ϕ représentent respectivement l’amplitude des oscillations et le
déphasage qui sont déterminées par les conditions initiales suivantes :
0
0
)0(
)0(
qtq
qtq
L’allure de la solution q(t) ainsi que la vitesse du mobile sont représentées dans la
figure 2.1. Il faut signaler que toutes les oscillations de faible amplitude autour de la
position d’équilibre peuvent être assimilées à des mouvements linéaires et l’énergie
potentielle peut s’exprimer sous forme quadratique de la coordonnée généralisée q.
En revanche, au-delà d’une certaine amplitude l’oscillation devient non linéaire.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 38
Figure 2.1: Mouvement oscillatoire harmonique
2.2 Exemple d’oscillations mécanique (masse + ressort)
Un ressort étiré, dont la longueur passe de l à l+x , exerce une force pour revenir à sa
longueur initiale proportionnelle à l’allongement algébrique x.
Le vecteur de position est égal à :
ixvixmo
L’énergie cinétique s’écrit :
22c xm
2
1mv
2
1E
(2 .5)
Figure 2.2 : Mouvement rectiligne oscillatoire horizontal d’un ressort
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 39
L’énergie potentielle pour des petites oscillations s’écrit sous la forme:
22c xm
2
1mv
2
1E
(2.6)
Le Lagrangien du système prend donc la forme suivante:
22
2
1
2
1kxxmEEL pc
(2.7)
L’équation de mouvement est de la forme :
kxx
Lxm
x
L
x
L
x
L
dt
d
0
D’où
00 2
0 xxmkxxm (2.8)
La pulsation propre est égale :
m
k0 (2.9)
La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :
)cos()( 0 tAtx
1.2.3 Bilan énergétique :
L’approche par l’énergie est très importante pour la compréhension du phénomène
physique. En effet, l’énergie totale du système ci-dessus s’écrit comme suit :
teconskxxmEEE pcT tan2
1
2
1 22
(2.10)
Au cours d’une oscillations harmonique, l’énergie totale se partage en proportions
variables entre l’énergie potentielle Ep et l’énergie cinétique Ec. C’est une propriété de
tout mouvement sous l’effet d’une force qui dérive d’un potentiel. L’allure de
l’énergie totale en fonction de x(t) est représentée sur la figure (2.3).
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 40
Figure 2.3 : Energie potentielle et cinétique d’un oscillateur harmonique libre en
fonction de l’écart x par rapport à sa position d’équilibre
2.4 Applications :
2.4.1 La chute libre (Le Bungee ):
Le saut à l'élastique, aussi appelé benji, bungie, bungy jumping ou encore bungee, est
une activité ludique et sportive de plein air qui consiste à se jeter dans le vide avec une
corde élastique accrochée aux chevilles ou au torse, destinée à ralentir puis stopper la
chute. L’objectif visé est de restituer les sensations "fortes" ressenties lors d'une chute
libre.
On considère un fil élastique de longueur l en équilibre. Lors de la chute libre le fil
s’allonge jusqu’à la longueur l1 telle que la nouvelle position est y(t) ; comme le
montre la figure 2.4:
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 41
Figure 2.4: La chute libre : Le Bungee
Il est possible de modéliser le problème par un ressort de raideur k et une masse m
comme le montre la figure 2.5:
Figure 2.5: Modèle physique de la chute libre
En effet, il est facile d’obtient l’équation différentielle suivante :
0)()( tXm
ktX
(2.11)
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 42
A l’équilibre on a :
k
mgll 1
Avec les conditions suivantes initiales
000
0
2)0(
)0(0
glvetvX
lXetlxt
2.4.2 Pendule simple :
Le pendule simple est constitué d’une masse ponctuelle m attachée à un fil
inextensible et de masse négligeable. L’amplitude des oscillations est repérée par
l’angle θ(t) que fait le fil avec la position verticale. La position d’équilibre correspond
à θ=0. On écarte la masse d’un angle θ(t) et on la lâche sans vitesse initiale. On
cherche l’équation différentielle vérifiée par θ(t) .
Le pendule simple a une importance historique du fait que Galilée l'a étudié de
façon détaillée et scientifique.
Figure 2.6 : Mouvement oscillatoire d’un pendule simple
Pour écrire son équation de mouvement, nous utilisons un repère local en coordonnées
polaires planes (c.-à-d. cylindriques) avec comme origine le point d'attache de la tige.
La tige pointe alors dans la direction ru
, l'angle entre la tige et la verticale est et le
pendule est en mouvement alternativement dans la direction u
. La position du
pendule est alors rulr
. L'équation du mouvement est
gmTrm
(2.12)
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 43
Rappelons que les vecteurs unitaires ru
et u
s'écrivent dans le système de
coordonnées cartésiennes comme
jiur
cossin
(2.13)
et
jiu
sincos
(2.14)
D’autre part, on a
ul
dt
udlr r
(2.15)
et
rululr 2
(2.16)
Aussi, on a
ruTT
(2.17)
et
uumggm r
sincos (2.18)
Par identification, deux équations différentielles apparaissent
cos
sin22 mgTml
mgml
(2.19)
Il faut souligner que le mouvement oscillatoire du pendule simple est régi par le
moment de rappel
)( mgl .
La deuxième des deux équations ci-haut n'est donc pas immédiatement utile, alors que
la première peut s'écrire comme suit:
0sin l
g (2.20)
C’est une équation différentielle du second ordre non linéaire à coefficients constants.
Il est possible d’obtenir cette même équation de mouvement en utilisant le formalisme
de Lagrange.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 44
En effet, l’énergie cinétique du pendule simple s’écrit :
222c ml
2
1mv
2
1E
(2.21)
et l’énergie potentielle s’exprime:
cosmglEp
(2.22)
ce qui permet d’écrire le Lagrangien du système sous la fomre:
cosmglml2
1EEL 22
pc
(2.23)
L’équation différentielle du mouvement s’écrit :
sinmglL
mlL
0L
)L
(dt
d 2
(2.24)
Ce qui après réarrangement, donne
0sin l
g (2.25)
Dans la limite de petites oscillations on a :
sin
Finalement l’équation du mouvement devient:
0)( tl
gt (2.26)
dont la solution, appelée équation horaire, est de la forme :
)cos()( 0 tAt
(2.27)
où l
g0
est la pulsation propre du mouvement dont l’expression est indépendante
de l’amplitude. C’est une caractéristique des oscillateures dit isochrone.
A
et
sont des constantes à définir par les conditions initiales.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 45
2.4.3 Oscillation non linéaire:
Cependant, pour des amplitudes assez grandes, la pulsation n’est plus indépendante de
l’amplitude du mouvement. Pour la calculer, on fait un bilan énergétique tout en
profitant de la conservation de l’énergie totale du système (elle est la même en tout
point de la trajectoire). En effet,
teconsmglmlEEE pcT tancos2
1 22
(2.28)
Figure 2.7: Mouvement oscillatoire du pendule simple pour les
grandes amplitudes
On choisit deux points particuliers sur le chemin de la masse : le point à partir duquel
on lâche la masse sans vitesse initiale
00
et auquel correspond l’énergie totale
lT mglE cos
(2.29)
et un point quelconque du chemin auquel corrspond l’énergie totale suivante :
cos2
1 22 mglmlET
(2.30)
Les deux expressions sont donc égales, ce qui donne
lmglml coscos2
1 22
ou encore
)cos(cos2 2
0
2
l
(2.31)
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 46
Avec
dt
dtet
l
g )(2
0
On obtient alors :
l
l
l
l
T
ddt
)cos(cos2
2
0
0
(2.32)
Après calcul, on obtient :
l
l l
l dT
2sin
2sin
2
1
222
0
(2.33)
En introduisant le changement variable suivant :
2sinsin
2sin l
On trouve alors :
2
0 22
0
sin2
sin14
l
l dT
(2.34)
L’intégrale de cette formule est régulière et se prête aux développements en série.
On trouve après calcul la formule de la période de grandes amplitudes donnée comme
suit :
..
161
2
0l
l TT
(2.35)
Cette expression est appellée la formule de BORDA.
2.4.4 Pendule pesant :
On appelle pendule pesant tout solide mobile de masse M autour d'un axe (en
principe horizontal) ne passant pas par son centre de gravité et placé dans un champ de
pesanteur (voir la figure 2.8). Déplacé de sa position d'équilibre (stable) dans laquelle
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 47
le centre de gravité est à la verticale de l'axe, le solide se met à osciller de part et
d'autre de cette position dite d'équilibre.
Quelques exemples dans la pratique quotidienne constituent des pendules
pesants : un balancier d'horloge, une balançoire, etc. Le pendule simple est le cas
particulier du pendule pesant.
Figure 2.8: Mouvement oscillatoire du pendule pesant
Pour un pendule pesant quelconque, l'effet de l'inertie sur la rotation ne peut pas
être ramenée à une masse ponctuelle placée au centre de gravité. C’est l'ensemble du
solide qui tourne, et son inertie est caractérisée par son moment d'inertie par rapport à
l’axe de rotation (trace en O ) noté OI et la distance L0 du centre de gravité à l'axe de
rotation.
Si la seule force externe en présence provient d'un champ gravitationnel uniforme g
,
alors le couple total s'exerçant sur le système est
1i
ii gmr
(2.36)
où ir
et im sont le vecteur position par rapport à l’origine et la masse d’un élément de
la grande masse M du pendule pesant.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 48
Puisque le vecteur g
est le même partout sur la masse M, on peut écrire
grmi
ii
1
gRM cm
(2.37)
où cmR
est le vecteur position du centre de masse par rapport à l'axe de rotation.
Autrement dit, la gravité produit un couple sur l'objet comme si toute la masse de
l'objet était concentrée en son centre de masse. Ceci n'est valable que parce que le
champ gravitationnel est le même partout dans l'objet. Autrement dit, pour fins de
calcul du couple, on peut considérer que la force gravitationnelle agit à la position du
centre de masse, pourvu que g
soit uniforme.
La grandeur de ce couple, par rapport au pivot (axe des z sortant de la page), est donc
sin0MgLz (2.38)
où est l'angle d'inclinaison entre la verticale et la position du centre de masse par
rapport au pivot. La composante zJ du moment cinétique évaluée au pivot O est
donnée par :
Oz IJ (2.39)
où OI est le moment d’inertie de la masse M par rapport au point de pivot O , qui,
selon le théorème de Huygens (Steiner), est égal à
2
0MLII GO (2.40)
où GI est le moment d’inertie de la masse M par rapport à son centre de masse G .
L'équation du mouvement est donnée par
zz
dt
dJ (2.41)
ou encore
sin0MgLIO (2.42)
Ce qui donne
sin0
OI
MgL (2.43)
Ce résultat peut être obtenu en utilisant le formalisme de Lagrange.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 49
En effet, l’énergie cinétique est donnée par :
2
2
1Oc IE
(2.44)
alors que l’énergie potentielle s’écrit :
mgzE p
(2.45)
où :
)cos1(0 Lz
(2.46)
Le Lagrangien est alors égal à:
)cos1(2
10
2 mgLIEEL Opc
(2.47)
L’équation différentielle du mouvement du système est écrite comme suit :
00 2
00
OI
mgL (2.48)
La pulsation propre est indépendante de l’amplitude est égale à :
OI
mgL02
0
La solution de l’équation différentielle a la forme :
)cos()( 0 tAt
(2.49)
2.4.5 Pendule de torsion :
Un corps rigide de moment d’inertie 0J
oscille autour d’un axe avec une constante de
Torsion tk
(voir figure 2.9). L’énergie cinétique s’écrit :
20c J
2
1E (2.50)
L’énergie potentielle est donnée par:
2tp k
2
1E
(2.51)
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 50
Figure 2.9: Mouvement oscillatoire de torsion
Le Lagrangien du système s’écrit alors:
2t
20pc k
2
1J
2
1EEL
(2.52)
L’équation différentielle du mouvement du système s’écrit :
t0 kL
JL
0L
)L
(dt
d
d’où :
0)(0
tJ
kt (2.53)
La pulsation propre s’écrit alors :
0
t20
J
k (2.54)
La solution de l’équation différentielle est de la forme :
)tcos(A)t( 0
(2.55)
Quelques exemples d’applications qui décrivent les oscillations de torsion reportés
dans la figure 2.10
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 51
Figure 2.10: Mouvement oscillatoire de torsion
du pont de Tacoma aux U.S.A –Le 7 novembre 1940.
2.5 Oscillations électriques
On considère un circuit (Lind, Cap) parcouru par un courant i(t) représenté par la figure
comme suit :
Figure 2.11: Circuit (Lind, Cap) oscillant.
D’après la loi des mailles du Kirchhoff , le bilan de tension s’écrit comme suit :
0)()(
ap
indC
tq
dt
tdiL
(2.56)
Sachant que le courant i(t) pendant un temps dt apporte une charge dq tel que :
dt
tdqti
)()(
On obtient alors l’équation différentielle du mouvement comme suit :
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 52
0)(
)( ap
indC
tqtqL
(2.57)
On remarque que cette équation est équivalente à l’équation d’un mouvement
oscillatoire harmonique.
0)()(0)(
)( txm
ktx
CL
tqtq
apind
(2.58)
On obtient ainsi la pulsation propre et la période propre comme suit :
apind
pind
CLTetCL
21
0
2
0
La solution générale de l’équation s’écrit alors:
)cos()( 0 tAtq
(2.59)
En faisant l’analogie entre le système mécanique et le système électrique, on aura :
kc
1
)t(x)t(q
mL
ap
ind
Il faut retenir que :
L’oscillation harmonique est régie par
0)()( 2
0 tqtq
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
)sin()cos()( 0201 tAtAtq
La période propre T0 est donnée comme suit :
0
0
2T
où ω0 est la pulsation propre du système.
Il faut signaler que l’énergie totale du système conservatif est
constante dans le temps.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 53
Applications
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 54
Problème 1:
Un système hydraulique de forme U constitué de deux tuyaux cylindriques de sections
S1, S3 reliés par un autre cylindre de section S2 et de longueur B qui contient un liquide
de masse volumique. Le système est équivalent à un ressort de raideur ke et de masse
Me. A l’équilibre le liquide a la hauteur H, figure 12.2.
Figure 12.2: Mouvement oscillatoire d’un liquide dans un tube
Dans le cas des oscillations linéaires, déterminer pour chaque système :
Le nombre de degré de liberté.
L’énergie cinétique, l’énergie potentielle.
En déduire le Lagrangien.
L’équation différentielle du mouvement.
La période propre.
Solution:
Le système en équilibre se présente comme suit:
Le nombre de degré de liberté :
On a la conservation du volume d’eau déplacé dans le tube en forme U
D’où,
sdépendantesontxxxscoordonnéelesxSxSxS 321332211 ,,
Donc le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par x1.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 55
Le Lagrangien du système:
A partir de L’énergie cinétique, on calcule la masse équivalente
du système:
21e
3
1i
2iic xM
2
1xm
2
1E
D’où :
2
1
2
33
2
22
2
112
1
2
1
2
1
2
1xMxmxmxmE ec
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 56
Avec
332211
2
1
3
1
2
11
2
1
,,
)1(
HSmBSmHSm
et
xMS
S
S
S
H
BHSx e
Après l’identité, on déduit la masse équivalente du système comme suit :
)1(3
1
2
11
S
S
S
S
H
BHSM e
On calcule la constante de rappelle à partir de l’énergie
potentielle, on a alors :
PSxkFxkE eep 11
2
12
1
Avec
h
xxgSF )( 311
D’ou
1
3
11 )1( x
S
SgSF
Après l’identité, on détermine la constante de raideur équivalente
du système comme suit :
)1(3
11
S
SgSke
Le Lagrangien du système s’écrit alors :
21e
21e
1i
2ii
2ii
1i
pc
xk2
1xM
2
1xk
2
1xm
2
1L
EEL
L’équation différentielle est de la forme :
0)(0)()( 1
2
0111 txxtxM
kx
e
e
La pulsation propre ω0 est égale à :
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 57
)1(
)1(
3
1
2
1
3
1
2
0
S
S
S
S
H
BH
S
Sg
M
k
e
e
Problème 2:
La résonance de Helmholtz est un phénomène de résonance de l’air dans une
cavité. Les constructeurs automobiles peuvent utiliser ce dispositif à des fins
cosmétiques, pour rendre le bruit d'un véhicule plus sportif lors des accélérations.
On définit le système par un gaz parfait de pression P0, de volume V0 à l’équilibre
thermique, enfermé dans une enceinte reliée par un piston de masse m qui oscille sans
frottement suivant l’axe Ox comme le montre la figure (13.2) ci-dessous :
Figure 2.13: Modélisation physique du mouvement-Résonateur d’Helmholtz
L’ensemble du système évolue en opération adiabatique.
Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant la loi
fondamentale de la dynamique.
En déduire la pulsation propre du système et la solution générale.
Solution:
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 58
En appliquant la méthode des forces on obtient :
1i
rapixmPS
Ox:SuramFPamF
Puisque l’opération est adiabatique, on a:
SxV
PP
V
V
P
PtetanconscPV
0
0
00
L’équation différentielle s’écrit alors :
0xx0x)mV
SP(x 2
00
20
La pulsation propre est de la forme :
mV
SP
0
2
02
0
La solution générale est de la forme:
)tcos(A)t(x 0
Problème 3 :
Calculer la pulsation d'oscillation du système mécanique constitué d’une plaque
de masse M et de longueur L (sa largeur est très petite devant sa longueur)
pivotant autour d'un axe passant par son extrémité.
Figure 2.14: Plaque oscillante
Solution:
Rappelons que si la seule force externe en présence provient d’un champ
gravitationnel uniforme g, alors le couple total s’exerçant sur un pendule réel
est donné par :
gRMM cmo
/
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 59
où cmR
est le vecteur position du centre de masse par rapport à l’axe de
rotation. Par projection sur l’axe Oz, considéré normal à la page, on obtient :
sin2
LMgM z
Ce moment de force donne lieu à une variation dans le temps du moment
cinétique du système donné par :
0IJ z
où 0I est le moment d’inertie de la plaque par rapport à l’axe de rotation,
donné par :
2
02
LMII G
où GI est le moment d’inertie de la plaque par rapport à son centre de masse
donné par :
. 2
12
1MLIG
Le calcul donne enfin
2
03
1MLI
L’équation du mouvement s’écrit donc :
sin23
1 2 LMgMLM
dt
dJz
z
où encore
0sin2
3
L
g
On peut faire l’approximation des faibles oscillations et remplacer sin par ;
ce qui débouche sur l’équation du mouvement linéaire suivante:
02
3
L
g
et la pulsation propre du système s‘écrit
L
g
2
30
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 60
Problème 4:
Une masse ponctuelle m est astreinte à se déplacer sur une courbe dans un plan
vertical d’équation
2axy
1- Énumérer les contraintes appliquées sur le mouvement de la masse.
2- En déduire le nombre de degré de liberté du système, et la coordonnée
généralisée correspondante.
3- Calculer les énergies cinétique et potentielle du système, et en déduire le
Lagrangien du système.
4- Écrire l'équation différentielle de son mouvement, en supposant les
frottements négligeables.
5- Faire l'approximation des déplacements de faibles amplitudes pour linéariser
cette équation et la résoudre.
6- Donner alors la période de ce mouvement.
Solution:
Puisque la masse se déplace dans le plan Oxy , sa coordonnée suivant z est constante.
C'est une première contrainte.
Les coordonnées x et y sont reliées par la fonction 02 axy , ce qui représente une
seconde contrainte.
Le système peut être représenté par 3 coordonnées cartésiennes, avec deux contraintes.
On dit donc que le système est 1 degré de liberté. On peut choisir la coordonnée
cartésienne x comme coordonnée généralisée.
Le Lagrangien du système s'écrit donc:
2222412
1mgaxxxamUTL
Puisque le système est libre (sans frottement ni force extérieure), l'équation d'Euler-
Lagrange pour une seule coordonnée généralisée x s'écrit:
0
x
L
x
L
dt
d
Aprés dérivation, on trouve
02441 2222 mgaxxxmaxxam
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 61
Pour des oscillations de trés faibles amplitudes (x petit), on pourrait négliger les termes
d'ordre supérieur à 2dans l'équation différentielle, qui devient alors linéaire:
02 mgaxxm
La solution se présente sous la forme:
tCtx 0cos
où C et sont des constantes à définir par les conditions initiales, et
ga20
la pulsation propre du système. La période propre du système est donné par :
gaT
2
22
0
0
Problème 5:
Soient les systèmes mécaniques constitués par une tige de masse négligeable, de
longueur l reliée par un ressort de raideur k représentés dans la figure 13.2 : A-B-C
comme suit:
Figure 2.16: Couplage pendule ressort
Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système de la figure (13.2):
Le Lagrangien.
L’équation différentielle du mouvement.
La pulsation propre et la solution générale.
Interpréter les résultats.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 62
Solutions:
Système A :
Pour les faibles oscillations, on a la relation suivante :
ax
Les deux variables x, θ sont linéairement indépendant, d’où le nombre de degré de
liberté est égale à 1, représenté par la variable θ
L’énergie cinétique :
On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :
sinly
coslxmoV
cosly
sinlxmo m
L’énergie cinétique s’écrit :
222mc ml
2
1mV
2
1E
L’énergie potentielle s’exprime comme suit :
axaveccosmglkx2
1E 2
p
Le Lagrangien s’écrit alors :
cosmgl)a(k2
1ml
2
1EEL 222
pc
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 63
L’équation différentielle du mouvement est :
0)ml
mglka(0
L)
L(
dt
d2
2
La pulsation propre est égale à :
2
22
0ml
mglka
La solution générale est de la forme:
)tcos(A)t( 0
Système B :
L’énergie cinétique
On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :
sinly
coslxmoV
cosly
sinlxmo m
D’où l’énergie cinétique s’exprime comme suit :
222mc ml
2
1mV
2
1E
L’énergie potentielle pour le deuxième système est égale à :
axaveccosmglkx2
1E 2
p
Le Lagrangien s’écrit alors :
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 64
cosmgl)a(k2
1ml
2
1EE),(L 222
pc
L’équation différentielle du mouvement est :
0)ml
mglka(0
L)
L(
dt
d2
2
La pulsation propre est :
2
220
ml
mglka
La solution générale est de la forme:
)tcos(A)t( 0
Système C:
L’énergie cinétique
sinly
coslxmoV
cosly
sinlxmo m
D’où l’énergie cinétique s’écrit comme suit :
222mc ml
2
1mV
2
1E
L’énergie potentielle s’écrit :
2p kx
2
1E
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 65
Le Lagrangien s’écrit alors :
222pc )sina(k
2
1ml
2
1EEL
L’équation différentielle du mouvement est :
0ml
ka0
L)
L(
dt
d2
2
La pulsation propre est :
2
220
ml
ka
La solution générale est de la forme:
)tcos(A)t( 0
Problème 6:
Le fléau est un instrument agricole utilise pour le battage des céréales. On
modélise le système par une tige métallique de masse négligeable, de longueur l
portant deux masses m et M, tournant sans frottement autour de son axe au point fixe
O comme le montre la figure 14.2. A l’équilibre la barre est horizontale.
Figure 2.17: Modèle physique du Fléau
Déterminer dans le cas des petites oscillations:
Le Lagrangien du système
L’équation différentielle du mouvement,
La pulsation propre et la période propre.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 66
La solution générale avec les conditions initiales suivantes :
0)0( t et 0)0( t
Application numérique :
On prend : m=M=1Kg, k=20N/m
Solution:
Le Lagrangien :
On a les déplacements infinitésimaux comme suit :
dépandantssontx,x4
l3x,
4
lx 2121
On a donc un seul degré de liberté représenté par θ(t).
L’énergie cinétique s’exprime :
4
l3x,
4
lxavec)l
4
3(M
2
1)l
4
1(m
2
1xM
2
1xm
2
1E 21
2222
21c
L’énergie potentielle s’écrit :
22p )
4
l(k
2
1)
4
l(k
2
1E
Le Lagrangien s’écrit alors :
222pc )
4
l(k)l
4
3(M
2
1)l
4
1(m
2
1EEL
D’où :
222
)4
l(k)mM9(
16
l
2
1),(L
L’équation différentielle du mouvement :
0M9m
k20
L)
L(
dt
d
Respectivement, la pulsation propre ω0 et la période propre T0 sont de la
forme :
M9m
k2
2Tet
M9m
k2O
20
La solution générale est de la forme:
)tcos(A)t( 0
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 67
Problème 7 :
En physique, un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale,
de longueur l de moment d’inertie J0, fixée à un support par l'intermédiaire d'un fil de
torsion. Ce fil d'acier exerce un couple de rappel, proportionnel à l'angle de torsion. On
appelle D la constante de torsion du fil. Sur la barre, on positionne deux masselottes
identiques m de façon symétrique comme le montre la figure 15.2.
Figure 2.18: Mouvement oscillatoire d’un Pendule de Torsion
On considère les petites oscillations. A l’équilibre l’angle θ=0
Déterminer le Lagrangien du système
Etablir l’équation différentielle du mouvement
En déduire la pulsation propre et la solution générale
Solution:
Le Lagrangien du système :
L’énergie cinétique s’exprime:
4
lm2JJavecJ
2
1E
2
02
c
Pour l’énergie potentielle on a:
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 68
2p D
2
1E
Le Lagrangien s’écrit alors :
22
2
1
2
1),( DJEEL pc
L’équation du mouvement est de la forme:
0)(00)( 2
0
t
J
DLL
dt
d
La pulsation propre est égale à :
J
D20
La solution générale est de la forme :
)tcos(A)t( 0
Problème 8 :
Soit un disque de masse M, de moment d’inertie J lié par deux ressorts, l’un au centre
O, l’autre au point A distant de (R/2) du point O se glissant sans frottement suivant
l’axe Ox comme le montre la figure 16.2 :
Figure 2.19: Mouvement oscillatoire d’un disque
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer l’équation différentielle du mouvement
En déduire la pulsation propre du système ainsi que la solution générale
Solution:
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 69
Le degré de liberté :
On a le déplacement infinitésimal comme suit :
dépendantssont,xRx
Le système a un seul degré de liberté représenté par x
Le Lagrangien du système :
L’énergie cinétique s’exprime:
RxavecxM2
1J
2
1E 22
c
L’énergie potentielle s’écrit :
22p )
2
Rx(k
2
1)x(k
2
1E
Le Lagrangien du système s’écrit alors comme suit :
22
2kx
4
13
2
1x)
R
JM(
2
1)x,x(L
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 70
L’équation différentielle s’écrit sous la forme :
0)(0)(4
13
0)( 2
0
2
txxtx
R
JM
k
xx
L
x
L
dt
d
La pulsation propre est égale à :
2
20
R
JM
k4
13
La solution générale s’écrit alors :
)tcos(A)t(x 0
Problème 9 :
Soit un système électrique (Lind, Cap) en série représenté dans la figure 2.19 comme
suit :
Figure 2.19: Circuit L.C Libre
A partir des lois du Kirchhoff, établir l’équation différentielle du mouvement.
En déduire la pulsation propre du mouvement.
Solution:
La loi des mailles :
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 71
indLap
L
i
i jLZavec0C
q)t(iZ0V
indind
D’où l’équation du mouvement s’écrit :
0C
q
dt
)t(diL
apind
L’équation différentielle devient alors :
dt
dq)t(iavec0)t(q
C
1qL
ap
ind
On a l’équivalence du système mécanique-électricité comme suit :
0)t(kxxm0)t(qC
1qL
apind
D’où :
kc
1
)t(x)t(q
mL
ap
ind
La pulsation propre du mouvement s’écrit sous la forme :
apind
2
0CL
1
Problème 10 :
Soit un ressort de constante de raideur k , de longueur au repos b , et un point matériel
de masse m (voir figure 2.20). La masse est fixée à l'extrémité du ressort et peut
coulisser sans frottement sur l'axe horizontal des x .
La masse est abandonnée sans vitesse initiale à la distance a de O , tel que ba .
1- établir une équation différentielle du premier ordre relative au mouvement de la
masse.
2- calculer la période T du mouvement de la masse en fonction de a , b , m et k .
3- montrer en quoi les oscillations de la masse sont différentes de celles d'un
oscillateur harmonique.
On donne l'intégrale définie :
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 72
311.1
sin1
2
02
0
x
dxI
Figure 2.20: Oscillateur anharmonique
Solution:
Pour une x quelconque on a :
2222
2
1
2
1xxbkxmET
pour ax on a 0x et
222
2
1aabkET
Puisque l'énergie totale est supposée conservée, on écrit
2222
222
2
1
2
1
2
1aabkxxbkxm
Puisque ba et donc bx , on peut faire l'approximation suivante
b
ab
b
abab
2
111
2
22
Ce qui est aussi vrai pour 22 xb .
Après réarrangement on trouve
042
1
2
1442
2
b
a
b
xkbxm
Ou encore
44
2
2
4
1xa
m
k
bx
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
PAGE 73
Ce qui permet d’écrire
44
2
1xa
m
k
bdt
dx
On inverse l’équation ci-dessus
44
12
xak
mb
dx
dt
On fait l'intégration 4
0T
t et 0 ax ; pour cela on choisit le signe moins car en
lâchant la masse du point ax la masse se déplace dans la dirction négative de l’axe
x :
a
a
T
xa
dx
k
mb
xa
dx
k
mbdt
044
0
44
4
0
22
En utilisant le changement de variable ua
xsin , on tombe sur l’équation suivante :
a
u
du
k
m
a
bT
02sin1
2
4
Ou encore, la période du mouvement
k
m
a
bT 48.10
On voit clairement que la période T dépend de l'amplitude du mouvement, a , ce qui
n'est pas le cas des oscillations harmoniques. Ce sont là des oscillations
anharmoniques.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
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Problèmes supplémentaires
Problème 11 :
Déterminer la fréquence propre à partir de l’écrasement x0 du système de la
suspension.
Figure 2.21: Fréquence propre des plots anti-vibratiles
Problème 12:
Soient deux ressorts de même raideur k ont une longueur à vide l0. La figure 19.2
représente une masse m reliée à leurs extrémités peut glisser sans frottement suivant
l’axe Ox
Figure 2.22: Mouvement oscillatoire transversal
Déterminer dans le cas des petites oscillations:
Le Lagrangien du système.
L’équation différentielle du mouvement.
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
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La pulsation propre, la période propre et la solution générale.
Problème 13:
On considère un gaz ionisé, un plasma, formé d’ions et d’électrons ayant une
charge globale nulle. On négligera les mouvements des ions beaucoup plus
lourds que les électrons. On suppose que les électrons ne se déplacent que
parallèlement à l’axe Ox. Au repos, le plasma est homogène et contient n0,
nombre d’électron par unité de volume. On considère une tranche de plasma dx,
les électrons situés respectivement en position x et x +dx se déplacent par les
quantités s(x, t) et s(x+dx), la figure 20.2:
Figure 2.23: Mouvement Oscillatoire du plasma
En utilisant l’équation de poisson, déterminer l’équation différentielle du
mouvement.
En déduire la pulsation propre du système.
Problème 14:
On se propose d’étudier la stabilité vibratoire d’un pendule inversé. On considère un
pendule simple constitué d’une tige indéformable, de masse négligeable et de longueur
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
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l. cette tige est fixée à une extrémité sur un ressort de torsion de constante de raideur K
permettant une liaison rotoide parfaite. A l’autre extrémité une masse m. Le système
est illustrée dans la figure 2.23.
Figure 2.24: Pendule simple inversé-Ressort de torsion
Etablir le Lagrangien du système
Déterminer l’équation différentielle du mouvement
En déduire la pulsation propre ω0