PHYSIK 1 ET - DHBW Mosbach · Integration der Bewegungsgleichung, Phasenraumdarstellung...
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(1)
© H.Neuendorf
PHYSIK 1 1. Semester ET
Prof. Dr. Herbert Neuendorf [email protected] Tel : 470
Klausur : Gesamtmodul über beide Semester
Skript : Folien als pdf
Übungen : Handouts
www.dhbw-mosbach.de/studienangebote/wirtschaftsinformatik/kontakt/
prof-dr-neuendorf/aktuelle-lehrveranstaltungen.html
→ Physik_1A.pdf und folgende …
Anliegen → Pointer für Vorlesungen :
Elektrotechnik, Signale & Systeme …
Literatur :
Tipler , Pysik, Oldenbourg
Hering, Martin, Stohrer , Physik für Ingenieure, Springer
Kuypers , Physik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Wiley-VCH, Bd 1 + 2
Harten , Physik, Springer
von Oppen, Melchert , Physik für Ingenieure, Pearson
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© H.Neuendorf
PHYSIK 1
Grundlagen Physikalische Größen, Skalare, Vektoren, Koordinatensysteme Skalarprodukt, Vektorprodukt, Differentiation, Integration
Kinematik des Massenpunktes Lineare Bewegung + Kreisbewegung Differentiation des Ortsvektors, Integration des Beschleunigungsvektors Inertialsystem
Dynamik Newton'sche Axiome, Schwere vs Träge Masse, Gravitation, Impuls Integration der Bewegungsgleichung, Phasenraumdarstellung Differentialgleichungen Numerische Integrationsverfahren (Euler, RK4)
Erhaltungsgrößen Arbeit, Energie, Leistung Energieerhaltungssatz der Mechanik Skalares Feld, Vektorfeld - Kraftfeld als Gradient der Potentiellen Energie Exkurs : Rotation, Divergenz Massepunktsysteme, innere Kräfte, äußere Kräfte, Impulssatz Drehimpuls und Drehmoment (Kreisel)
Prof. Dr. Herbert Neuendorf
Klassische Mechanik
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Bewegungen starrer Körper
Trägheitsmomente, Berechnung für einfache Fälle
Drehimpuls + Rotationsenergie
Mechanische Schwingungen
Ungedämpfte + gedämpfte freie Schwingungen (Lösung DGL)
Erzwungende Schwingungen, Resonanz, Leistungsaufnahme
Einschwingvorgänge
Analogie mechanische + elektrodynamische Schwingungen
Superposition von Schwingungen, Fourierreihe
Wellen
Beschreibung von laufenden + stehenden Wellen
Harmonische Wellen, Wellengleichung, Phasengeschwindigkeit, Intensität
Energietransport durch Wellen
Wellengruppen (Signale), Gruppengeschwindigkeit
Exkurs: Fourieranalyse + Synthese, Unschärferelation
Kohärenz + Interferenz im Fernfeld
Vielstrahl-Interferenz + Beugung + Gitter + Auflösungsvermögen
Inhalte Mechanik …
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Anliegen und Verortung der Physik als Wissenschaft
Physik : Grundlegendste Naturwissenschaft
Eigenschaften + Wechselwirkungen der Materie ← Experiment + Theorie
Verständnis aller Phänomene der unbelebten (z.T. auch belebten) Natur
Ziel : Reduktion + Vereinheitlichung in Theorien, Modellen → Naturgesetze →
Zusammenfassung in möglichst wenigen und grundlegenden Gesetzen - aus denen möglichst viele empirische Einzeltatsachen ableitbar sind !
Einstein :
Mein eigentliches Forschungsziel war stets die Vereinfachung und Vereinheitlichung des physikalischen theoretischen Systems.
Das große Ziel aller Wissenschaft ist es, die größte Anzahl empirischer Tatsachen durch logische Herleitung aus der kleinsten Anzahl von Hypothesen oder Axiomen zu erfassen
Physik
Chemie :Untersuchung der Bildung
und Umwandlung von Molekülen
Biologie / Medizin :Untersuchung der Vorgänge in
lebenden Organismen, Untersuchung von Selbst-organisationsvorgängen
Ingenieurwissenschaften :Direkte Umsetzung physikalischer Erkenntnisse:
Elektronik, Systemtheorie, Mechatronik …
Mathematik :
Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben (Galilei)
Physiker sind Mathematiker
mit Sinn für die Realität …..
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Einige Teilgebiete der Physik
Hochenergiephysik → Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen
Kernphysik → Aufbau und Eigenschaften der Kernmaterie
Atom- und Molekülphysik → Eigenschaften der Atome und ihrer Verbindungen
Festkörperphysik → Eigenschaften der kondensierten Materie
Astrophysik & Kosmologie → Eigenschaften und Entstehung des Universums
Einige aktuelle Forschungsfelder
Erweiterung des Standardmodells der Materie
Kosmologie, Quantentheorie der Gravitation
Bedeutung nichtlinearer Prozesse - z.B. in Optik
Verständnis ungeordneter Materie (Polymere, Gläser ...)
Mikromechanik, Nanophysik
Halbleiterpysik, Optische Rechner, Quantum Computing …
PhysikAllgemein
Gibt tiefe Einblicke in die Natur und korrigiert unsere Vorstellungen von Raum,
Zeit und Kausalität
Konkret
Grundlage der modernen Technik und Zivilisation
Man studiert Mathematik, um entscheiden zu können, welche der wichtigen Aussagen richtig sind …
Man studiert Physik, um entscheiden zu können, welche der richtigen Aussagen wichtig sind …
Klassifikationen der Physik
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Klassifikationen
10-15 10-7 1011 1026 L [m]Atomkerne Universum
Klassifikationen der Physik
Relativistische
Quantenphysik
Relativistische
klassische
Physik
Kosmologie
ART
Quantenphysik
Klassische Physik
"gewöhnliche
Objekte"
Astrophysik
v
c
0
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Ziel der Physik als Wissenschaft
Über bloße unverbundene Erfahrungstatsachen hinaus gehen ⇒
Verallgemeinerte Theorien zur Deutung + Vorhersage vieler Einzelerscheinungen
Richtigkeit Theorie = Anwendbarkeit + Einfachheit
Theorie-Klassifikation :
1. Punkttheorien Bsp Punktmechanik der Massepunkte, ausdehnungsloses Elektron
Phys. Größen nur in diskreten Punkten des 3d-Raumes definiert
Koordinaten sind Funktionen der Zeit ⇒ Zeit als einzige unabhängige Variable
2. Feldtheorien / Kontinuumstheorien Bsp Wellen, Elektrodynamik
Phys. Größen in jedem Punkt des 3d-Raumes definiert
Sind lokale Funktionen von Zeit + Ort ⇒ Auch Koordinaten als unabhängige Variablen
3. Systemtheorien Bsp Thermodynamik
Makroskopische Zustandsgrößen beschreiben räumlich ausgedehnte Systeme
Zustandsgleichungen verknüpfen die Zustandsgrößen (p, V, T, N)
Statistische Fundierung der Zustandsgrößen
Abgeschlossene Theorie Bsp: Klassische Mechanik versus RT + QM
1. Kann durch kleine Änderungen nicht mehr signifikant verbessert werden –
nur durch Einführung ganz neuer Begriffe - was jedoch Übergang zu neuer Theorie bedeutet
2. Kennt die Grenzen ihrer Gültigkeit und Anwendbarkeit
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Physikalische Erkenntnis
ExperimentZusammenhänge
physikalischer Größen
Verifikation / Test
Induktionn → n+1
Verallgemeinerung
Physikalisches GesetzNaturgesetze
Messvorschriften
DeduktionNeue Voraussagen
Vermutungen
Regelkreis physikalischer Erkenntnis
Makrophysik > 10-6 m
Unmittelbar wahrnehmbar
Anschauliche Bilder
Streng deterministisch
Kontinuierliche stetige Abläufe (Teilbarkeit)
Genaue Messbarkeit
Klassische Physik
Mikrophysik <≈ 10-10 m
Mittelbar wahrnehmbar
Unanschaulich, abstrakt
Statistisch deterministisch
Diskontinuierliche unstetige Abläufe (Quanten)
Unschärferelation
Quantenphysik
Grundanliegen der Pysik ist Theorie-Vereinheitlichung = Reduktion :
Die verschiedenen historisch
entstandenen Theorien sollen auf
wenige fundamentalere Theorien
zurückgeführt werden.
Einstein :
Die Theorie bestimmt,
was beobachtbar ist …
Klassifikationen der Physik
Physical laws should have mathematical beauty
Dirac, 1956
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Mechanische Systeme
Einfache Mechanische Systeme
Bsp: Pendel, Billardkugeln, Planeten
Wenige Teilchen bzw. Zusammenfassung der gemeinsamen Bewegung im Schwerpunkt
Abbildung des Gesamtsystems durch einenWert für Masse, Trägheitsmoment, Geschwindigkeit …
⇒ Zeitliche Entwicklung - Bahnkurve :
Durch wenige Bewegungsgleichungen und Erhaltungssätze beschrieben + berechenbar
Vielteilchen-Systeme (Thermodynamik)
Bsp: Teilchen eines Gases
Extrem große Teilchenzahlen N ≈ 10²³ in ungeordneter Bewegung
Alle Teilchen bewegen sich individuell , können in ihrem Gesamtverhalten nicht durch eine gemeinsame Bahnkurve dargestellt werden
⇒ Zeitliche Entwicklung :
Berechnung aller 10²³ Teilchenbahnen nichtmöglich – extremer Rechenaufwand
m1
m2r (t)
Keine mikroskopischen Detail-Angaben in Vielteilchen-Systemen möglich !!
⇒ Definition makroskopischer Zustandsgrößen + Übergang zur Statistischen Physik
Klassifikationen der Physik
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Messung und Maßeinheit : Physikalische Größen + M aßsysteme
Ausdruck physikalischer Zusammenhänge in normierten Größen :
1. Skalare Größen = ungerichtete Größen (Länge, Masse, Zeit, Energie ....)
2. Vektorielle Größen = räumlich gerichtete Größen (Geschwindigkeit, Kraft, Impuls ....)
Unabhängige SI-Basisgrößen :
Mechanik: Masse [kg] Länge [m] Zeit [s]
Elektriztätslehre: Stromstärke [A]
Thermodynamik: Temperatur [K] Stoffmenge [m ol]
Optik: Lichtstärke [cd]
Maßsystem durch Grundgrößen + ihre Einheiten bestimmt :
cgs = [cm] [g] [s]
mks = [m] [kg] [s]
Seit 1978 : SI-System
Festlegung physikalischer Größen durch :
a) Zahlenwert G = "Menge " b) Einheit [G] = "Norm "
Skalare Größe g = G • [G]
Vektorielle Größe g = G • [G] • e
e = Einheitsvektor = g / g in Richtung von g | e | = 1
Alle anderen Größen sind aus Grundgrößen abgeleitet :
Geschw. = Länge / Zeit
Beschl. = Geschw. / Zeit
Kraft = Masse ·Beschl.
...
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Größenordnungen Abgeleitete Größen
Zehnerpotenzen als Faktoren für SI-Einheiten :
10 12 Tera T
10 9 Giga G
10 6 Mega M
10 3 Kilo k
10 0 - -
10 -3 milli m
10 -6 mikro µ
10 -9 nano n
10 -12 piko p
10 -15 femto f
Wichtige abgeleitete Größen :
Frequenz → Periodische Vorgänge - Anzahl n in Zeit t
f = n / t [ Hz = s-1 ] ( ≠ Kreisfrequenz ω ! )
Ebener Winkel :
Gradmaß → Vollkreis = 360° 1° = 60' 1' = 60''
Bogenmaß → ϕ = s / r [ rad ]
360° ≡ 2π ⇒ 1 rad ≡ 360°/2π = 57.295°
Raumwinkel : Ω = A / R2 [ sr ] Steradiant
Gebräuchliche Nicht-SI-Einheiten :
Länge : 1 LJ = 9.46·10 15 m Lichtjahr
1 Å = 10 -10 m Ångström
1 fm = 10 -15 m Fermi
Masse: 1 t = 10 3 kg Tonne
1 u = 1.6604· 10 -27 kg atomare Masseneinh.
Zeit: 1 min = 60 s 1 h = 3600 s
1 d = 86400 s 1 a = 365.24 d = ..... s
r sϕ
R AΩ
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Vektorielle Größen Ein Vektor ist durch Betrag und Richtung definiert
Vektoraddition :
Vektorsubtraktion :
Komponentenzerlegung :
Koordinatendarstellung :
→→→⋅= aeaa ||
Betrag des Vektors
Einheitsvektor in Richtung von a
+++
==+=+→→→→→
zz
yy
xx
ba
ba
ba
cabba
)(→→→→
−+=− baba
→→→+= bac
=⋅+⋅+⋅=
=++=
→→→
→→→→
z
y
x
zzyyxx
zyx
a
a
a
eaeaea
aaaa
Projektion eines Vektors auf Wirkungslinie eines anderen Vektors :
)cos(|||| α⋅=→→aab
ab
a b
α
Vektor-Betrag in cartesischen Koordinaten :
222|| zyx aaaa ++=→
Cartesische Einheitsvektoren liegen parallel zu Koordinatenachsen x, y, z : →→→
zyx eee
→a
→a →
b
→b
→a
→b
→− b
→c
1,, =
==
→→
→
azyx
a ea
a
a
a
aa
aa
e
Einheitsvektor in Richtung von a :
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Vektorielle Größen Skalarprodukt zweier Vektoren (Inneres Produkt) : Liefert Skalar
→→→→→→→
→→→→
→→
⋅+⋅=+⋅
⋅=⋅
⋅⋅=⋅
cabacbaDG
abbaKG
baba
)(:
:
)cos(α
a
bα
Skalarprodukt in Komponentendarstellung
Durch Ausmultiplizieren in cartesischer Darstellung unter Beachtung der Sonderfälle :
Spezialfälle :
1
0
0
||
2
=⋅=⋅=⋅
=⋅=⋅=⋅
=⋅⇒⊥
=⋅⇒
⋅=⋅⇒
→→→→→→
→→→→→→
→→→→
→→
→→→→
zzyyxx
zxzyyx
eeeeee
eeeeee
baba
aaa
bababa
zzyyxx
zzzzyyyyxxxx
zzyyxxzzyyxx
bababa
eebaeebaeeba
ebebebeaeaea
ba
⋅+⋅+⋅=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=
=⋅
→→→→→→
→→→→→→
→→
)()(
Speziell : Betrag eines Vektors
222
2
|| zyx
zzyyxx
aaaa
aaaaaaaaa
++=⇒
++==⋅
→
→→
Physikalische Motivation :Berechnung der Arbeit bei beliebiger Orientierung von Kraft und Weg
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0
||
0
0||
=×=×=×
−=×−=×−=×
=×=×=×
⋅=×⇒⊥
=×⇒
=×⇒
→→→→→→
→→→→→→→→→
→→→→→→→→→
→→→→
→→→
→→→→→
zzyyxx
yzxxyzzxy
yxzxzyzyx
eeeeee
eeeeeeeee
eeeeeeeee
bababa
aa
baba
Vektorielle Größen Vektorprodukt zweier Vektoren (Äußeres Produkt) : Liefert Vektor !
Vektoren bilden mit resultierendem Vektor ein Rechtssystem Rechtsschraube, RechteHand-Regel : a → b
)!(
)(:
)(
,
)sin(
KGkeinbaab
cabacbaDG
baba
bcac
baccba
→→→→
→→→→→→→
→→→→
→→→→
→→→
×−=×
×+×=+×
×⋅=×
⊥⊥
⋅⋅==×
λλ
α
b
aα
c
Spezialfälle :
c
b
aα Gemäß Rechtsschrauben-regel
Physikalische Motivation :Berechnung der Drehmoments
bei beliebiger Orientierung von
Kraft und Hebelarm
Geometrische Deutung :
Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms
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−−−
=−+−+−=
−+++
+−+−+=
×+×+×+
+×+×+×+
+×+×+×=
=++×++=×
→→→
→→→
→→→
→→→→→→
→→→→→→
→→→→→→
→→→→→→→→
xyyx
zxxz
yzzy
zxyyxyzxxzxyzzy
xyzyxzxzy
zxyyzxzyx
zzzzyzyzxzxz
zyzyyyyyxyxy
zxzxyxyxxxxx
zzyyxxzzyyxx
baba
baba
baba
ebabaebabaebaba
ebaebaeba
ebaebaeba
eebaeebaeeba
eebaeebaeeba
eebaeebaeeba
ebebebeaeaeaba
)()()(
)(
)()(
)()( Vektorielle Größen
Vektorprodukt in Komponentenschreibweise : Komponentendarstellung der Vektoren und Bildung der Vektorprodukte unter Beachtung der Spezialfälle parallel / senkrecht
Determinanten-Schreibweise :
zyx
zyx
zyx
bbb
aaa
eee
ba
→→→
→→=×
Übung : Was erhält man speziell für zwei Vektoren a un d b die in der (x,y)-Ebene liegen ?
Definition eines rechtshändigen Koordinatensystems :
1+=⋅
×→→→
zyx eee
y
x
z
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Koordinatensysteme - Zusammenhang mit cartesischen Koordinaten
Beschreibung physikalischer Zusammenhänge in verschiedenen frei wählbarenKoordinatensystemen → Länge + Richtung von Vektoren bleibt erhalten
Naturgesetze dürfen weder vom Maßsystem noch vom Ko ordinatensystem abhängen !Voraussetzung : Inertialsystem = nicht-beschleunigtes System !
xy
yxr
ryrx
rP
=+=
⋅=⋅=
)tan(
)sin()cos(
,:
22 ϕ
ϕϕ
ϕ
1. Ebene Polarkoordinaten :
r = Abstand vom Ursprung ϕ = Winkel(Verbindungsvektor, x-Achse)
2. Zylinderkoordinaten :
r = Länge (x,y)-Ortsvektorprojektion
ϕ = Winkel( Proj.Vektor, x-Achse )
z = Abstand von (x,y)-Ebene
zrP ,,: ϕ
Auch in nicht-cartesischen Systemen sind spezielle Einheits-vektoren e definiert :
radiale + tangentialeEinheitsvektoren
xϕ
yP
re r
e T
zTr eee ⊥⊥
(18)
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Koordinatensysteme
( )xy
zyx
z
zyxr
rz
ry
rx
rP
=
++=
++=
⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
ϕ
ϑ
ϑ
ϕϑ
ϕϑ
ϑϕ
tan
)cos(
)cos(
)sin()sin(
)cos()sin(
,,:
222
222
3. Kugelkoordinaten = räumliche Polarkoordinaten :
r = Abstand vom Ursprung = Länge Ortsvektor
ϕ = Meridianwinkel(xy-Projektion Ortsvektor, x-Achse)
ϑ = Polwinkel(Ortsvektor, z-Achse)
Radialer (Einheits-) Vektor mittels Kugelkoordinaten :
[ ][ ]πϑ
πϕ
,0
2,0
=
=
⋅⋅
=⇒
⋅=
⋅⋅
⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅
=
)cos(
)sin()sin(
)cos()sin(
)cos(
)sin()sin(
)cos()sin(
)cos(
)sin()sin(
)cos()sin(
ϑϕϑϕϑ
ϑϕϑϕϑ
ϑϕϑϕϑ
r
r
e
err
r
r
r
r
1)(cos)(sin 22 =+ ααSehr nützlich :
y
x
ϕ
Pr
z
ϑ
ϑ r
P
zr·sin( ϑ)
Draufsicht
r·co
s(ϑ)
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Koordinatensysteme
Translation
Übergang zu verschobenem Koordinatensystem
Verschiebevektor R bewirkt parallele Translation mit Koordinaten-Transformation :
−−−
=−=
=⇒=+→→→→→→
z
y
x
Rz
Ry
Rx
Rr
z
y
x
rrrR
'
'
'
''
Translation : Richtung + Länge aller Vektoren erhalten
⇒ Symmetrieoperation / keine Beschleunigung
Rotation :
⇒ Keine Symmetrieoperation / zusätzliche Beschleunigung
Inertialsysteme :
Naturgesetzliche Beschreibung ist in allen gleichförmig bewegten , unbeschleunigt translatierenden, nicht rotierenden Koordinatensystemen identisch ⇒
Alle Inertialsysteme sind physikalisch gleichwertig !
Es gibt kein ausgezeichnetes Inertialsystem !
Symmetrie = Invarianz unter Transformation
"Etwas ist symmetrisch, wenn man es einer bestimmten Operation unterziehen kann und es ist nach der Operation noch genau dasselbe" H.Weyl
P
R
x
y
z
r '
x'
y'
z'
r
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Kinematik der Massenpunkte
Lehre von Bewegungen der Körper :
Berechnung von Bahnkurven
Rein mathematischer Ansatz → Ursache der Bewegung = Kräfte werden nicht formuliert !
Modell = Idealisierung → Absehen von Ausdehnung → Körper = Punktmasse
Konsequenz der Näherung : Elimination von Störeffekten
Vernachlässigung von Eigenrotation + Drehmomenten
Vernachlässigung von Verformungen + Eigenschwingungen
Alle auf Körper wirkenden Kräfte greifen in einem Punkt an
Zeitabhängige Position des Körpers durch nur einen Ortsvektor r(t) beschrieben
Geschwindigkeit :a) Gleichförmige 1d-Bewegung Gleiche Strecken In gleichen Zeitintervallen
)(tr→
Beginn der empirischen Physik mit Galilei :Experimente + Messungen, Definition neuer Begriffe, mathematische Formulierung
tvxtxt
xtxst
sxtxvconst
tx
v ⋅+=⇒−=
−−=== 0
0 )()(
)0()0()(
:∆∆
x
t
x0
x(t)Weg-Zeit-Diagramm = Gerade
Konstante Steigung ∝ konstante Geschwindigkeit v
geradlinig ⇒eindimensional
Wichtig : Relativ zu welchem Bezugssystem = Inertialsystem ?
(21)
© H.Neuendorf
Kinematik der Massenpunkte : Geschwindigkeit
b) Ungleichförmige geradlinige Bewegung :
In gleichen Zeitintervallen ungleiche Strecken zurückgelegt
Weg-Zeit-Diagramm ist gekrümmte Kurve
Für endliche Zeitintervalle erhält man als Mittelwert die mittlere Geschwindigkeit
)(
)()(
)(
)()(:
34
34
12
12
tttxtx
tttxtx
consttx
vm −−≠
−−≠=
∆∆
Mittlere Geschwindigkeit = grobes, unzureichendes Maß
Sekante zwischen zwei Zeitpunkten (zeitabhängig!)
Momentane Geschwindgkeit =
Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt =
Steigung der Tangenten im Weg-Zeit-Diagramm
Anstieg der x(t) -Kurve = 1. Ableitung x(t) nach Zeit
)()()()(
limlim:)( 11
00tx
dttdx
ttxttx
tx
tvtt
•
→∆→∆==
∆−∆+=
∆∆=
Mit immer kleiner werdendem Zeitintervall ∆t geht Sekante = mittlere Geschwindigkeit in Tangente = momentaneGeschwindigkeit über
x
t
Tangente
x(t)
Sekante
t1 t2∆t
Voraussetzung :
Stetiger Verlauf, Differenzierbarkeit
Differentialschreibweise !
(22)
© H.Neuendorf
xtdxdttvtdxdttvdt
tdxtv
dttvttv
ttvttvtxtxx
et
atii
t
ae
∆
∆
∆∆∆
∆
==⋅⇒=⋅⇒=
==
=+⋅+⋅=−=
∫∫
∫∑→
)()()()()(
)(
)()(lim
)()()()(
0
21 K
Bei konstanter Geschwindigkeit v = ∆ x / ∆ t = const ist Wegstrecke einfach multiplikativ :
Nicht-konstante Geschwindigkeit v(t) = dx(t) / dt
Nur über kleine Zeitintervalle ∆t ist v ≈ konstant
→ Unterteilung in kleine Zeitintervalle ∆ t
→ Aufsummation aller Teilstrecken v(t) ·∆ t
Näherung umso besser, je feiner Unterteilung
Ziel ∆ t → 0 : Liefert Integral -Begriff
Kinematik der Massenpunkte : Wegberechnung
Integration als Umkehrung der Differentiation
Mit Differentialen kann man "rechnen"
tvx ∆⋅=∆
Bsp: a) v = const ⇒ ∆x = ∫ v dt = v ∫ dt = v·∆t
b) v = g·t ⇒ ∆x = ∫ v dt = ∫ g·t dt = 1/2g t2
Weg ist die Fläche unter der / das Zeit-Integralüber die Geschwindigkeits-Zeit-Kurve.
Geschwindigkeit ist der Anstieg / die zeitliche Ableitung der Weg-Zeit-Kurve
v(t)
ta te
t∆t
v(t 3
) =
v(t
i )
∆x3
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7
(23)
© H.Neuendorf
Differentialrechnung einer Veränderlichen
Differenzenquotient = Sekantenanstieg
Verhältnis ∆ y / ∆ x ist der Differenzenquotient
xxfxxf
xxxfxf
xy
∆−∆+=
−−=
∆∆ )()()()( 11
12
12
Differentialquotient = Tangentenanstieg
Grenzübergang ∆x → 0 "Anstieg am Punkt x0"
0
)()('lim 0
0x
x dxxdf
xfdxdy
xy ===
∆∆
→∆
Definition dient zur Berechnung von Differentialquotienten mittels Grenzwertbetrachtung :
Bsp :
( ) xxxx
xxxx
xxxxx
xxxx
xxfxxf
xf
xxf
xxx
xx
⋅=+=+⋅=−+⋅+=
=−+=−+=⇒
=
→→→
→→
636lim36
lim3363
lim
3)(3lim
)()(lim)('
3)(
0
2
0
222
0
22
00
2
∆∆
∆∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆∆
∆∆
Aus solchen Grenzwertbetrachtungen erhält man alle bekannten symbolischen Ableitungsregeln !
f(x2)
f(x1)
x
f(x) = y
x1 x2
∆ x
∆ y
x
f(x) = y
x0
(24)
© H.Neuendorf
Ableitungs-regeln
( )( )
dtd
tdtd
ddy
dtdy
ty
xyxyxyxy
eacyecyeyey
dxdf
dxdu
dudf
yxufy
v
vuvuy
xvxu
y
uvvuyxvxuy
vuyxvxuy
x
nxny
xxyxnyxy
xyxycxycxy
constbybxyyay
xaxaxx
nn
nnnn
ϕϕϕϕ
ϕ ⋅=⋅=⇒=
−=⇒==⇒=
⋅⋅=⇒⋅==⇒=
=⋅=⇒=
⋅−⋅=⇒=
⋅+⋅=⇒⋅=
+=⇒+=
−=⋅−=⇒==⋅=⇒=
=⇒==⇒=
==⇒==⇒=
⋅⋅
+−−−−
))(cos())(sin(
)sin(')cos()cos(')sin(.11
''.10
'.9
'''
)()(
.8
''')()(.7
''')()(.6
'1
'.5
3'.42'.3
'.20'.1
2
111
232
el)(Kettenreg
nregel)(Quotiente
gel)(Produktre
el)(Summenreg
"Kürzen" der Differentiale
(25)
© H.Neuendorf
( )
( )( ) ( )∫∫
∫∫∫
∫
∫∫∫∫
∫∫
∫∫∫
⋅=
+=+
=
−=−=
=⋅=⋅
≤≤+=
)(
)(
00
..6
)()()()(.5
0)(.4
)()()()(.3
)()(.2
)()()(.1
bg
ag
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
abb
a
b
a
b
a
b
m
m
a
b
a
Substdgdgdx
gfdxxgf
dxxgdxxfdxxgxf
dxxf
dxxfdxxfdxxfdxxf
constkdxxfkdxxfk
bmadxxfdxxfdxxfIntegrale
∫
∑
=
∆⋅=
−=∆
=→∆∞→
b
a
n
ii
xn
dxxf
xxfF
nab
x
)(
)(lim1
0,
Fläche unter Kurve
Definition des Integrals :
f(x)
a b
x∆x
f ( x
i )
x i
(26)
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Integration : Stammfunktionen
cxdxxfxxf
cxdxxfxxf
ceab
dxxfebxf
cxn
dxxfxxf
cxn
dxxfxxf
cbxdxxfbxxf
cbxdxxfbxxf
cdxxfxf
xaxa
nn
nn
+=⇒=
+−=⇒=
+⋅=⇒⋅=
++−
=⇒=
+⋅+
=⇒=
+=⇒=
+=⇒=
+=⇒=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
⋅⋅
+−−
+
)sin()()cos()(.9
)cos()()sin()(.8
)()(.7
11
)()(.6
11
)()(.5
31
)()(.3
21
)()(.2
0)(0)(.1
1
1
32
2
Hauptsatz der Integralrechnung
Differentiation kehrt Integration um ⇒
Test der Regeln durch Ableiten
)()(')( xfxFdxxfF =⇒= ∫
−=
=
−=
−=
∫
∫∫∫
33
32
00
31
31
31
:
)()(
)()()(
ab
xdxxBsp
aFbF
dxxfdxxfdxxf
b
a
b
a
abb
a
Berechnung des bestimmten Integrals : Einsetzen der Integrationsgrenzen ⇒
Integrationskonstante fällt weg
Bei physikalischen Problemen wird Wert der Integrationskonstantendurch die physikalischen Randbedingungen festgelegt !!
(27)
© H.Neuendorf
Anwendung Integration auf physikalische Begriffe
∫∑
∑
=⋅
==−=
−=
=→∞→
=∞→
b
a
n
ii
xn
n
ii
n
dxxfxxf
FaFbFF
nab
x
)()(lim
lim)()(
10,
1
∆
∆∆
∆
∆
Fläche unter Kurve
∫∑
∑
=⋅
==−=
−=
=→∞→
=∞→
b
a
n
ii
tn
n
ii
n
dttvttv
xaxbxx
nab
t
)()(lim
lim)()(
10,
1
∆
∆∆
∆
∆
Strecke = Fläche unter Geschwindigkeits-Zeit-Kurve
dttvdx
dtdx
tv
⋅=
=
)(
)(
Geschwindigkeit variiert ständig
Nur über kleine(infinitessimale) Zeit-intervalle ∆t durch festen Wert näherbar !
Grenzübergang
⇒ lim ∆t → 0
y = f(x)
a b
x∆x
f(x
3) =
f(x
i)
∆F3
v = v(t)
a b
t∆t
v(t 3
) =
v(t i)
∆x3
Analog: ∫=b
a
dttav )(∆
(28)
© H.Neuendorf
Kinematik der Massenpunkte : Krummlinige Bahnen
Lage des Massenpunktes durch drei cartesische Koordinaten bestimmt : x(t) y(t) z(t)
Zusammengefasst im Ortsvektor r vom Koordinatenursprung zum Ort des Teilchens
=
++=→→→→
)(
)(
)(
)()()()(
tz
ty
tx
etzetyetxtr zyxTrajektorie
=→
)(
)(
)(
)(
tv
tv
tv
tv
z
y
x
Bewegung eines Teilchens determiniert durch :
1. Anfangsbedingungen
aktueller Ort r +
aktuelle Geschwinigkeit v
2. Wirkende Beschleunigungen
(Kräfte)
Phasenraum ( r, v ) :
Komplette Koordinaten beschreiben die 6 Freiheitsgrade der Bewegung pro Teilchen :
3 Komponenten des Ortsvektors +
3 Komponenten des Geschwindigkeitsvektors
N Teilchen ⇒ 6N Freiheitsgrade
(29)
© H.Neuendorf
Kinematik der Massenpunkte Krummlinige Bahnen
Geschwindigkeit v durch zeitliche Ableitung aller drei Komponenten von r
⇒ v ist dreikomponentiger Vektor im Raum
−+−+−+
=
=
=
=⇒
=
→
•
•
•
→
→
)()(
)()(
)()(1
lim
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
0tzttz
tytty
txttx
t
tzdtd
tydtd
txdtd
tz
ty
tx
tv
tv
tv
tv
tz
ty
tx
tr
t
z
y
x
∆∆∆
∆∆
y(t)
x(t)
x
y
Pr(t)
z
z(t)
exey
ez
222
222||
+
+
=
=++=→
dtdz
dtdy
dtdx
vvvv zyx
Vektor wird differenziert, indem man komponentenweise differenziert …
(30)
© H.Neuendorf
Kinematik der Massenpunkte Krummlinige Bahnen
Bewegung des Massenpunktes entlang Bahnkurve durch zeitabhängigen Ortsvektor r(t) beschrieben, der der Bahnkurve folgt
Zwischen zwei Zeitpunkten hat sich Massepunkt um Verschiebungsvektor ∆ r weiterbewegt.
Auf Bahnkurve wurde Weg ∆ s durchlaufen
)()( trttrr→→→
−+= ∆∆
Für ∆t → 0 geht ∆ r → ∆ s
T
r
evv
err
rv
→→
→→
→→
⋅=
⋅=
⊥
x
y
r(t)
z
∆ r
r (t + ∆t)
Bahnkurve r(t)
∆ s
x
y
z
r(t)
r (t + ∆t)
∆ r∆ s
Te→
→v
re→
→r
Kreisbewegung : Momentaner Geschwindigkeits-vektor steht stets senkrecht zum Ortsvektor !
Richtungen durch radiale und tangentialeEinheitsvektoren beschrieben
in (x,y)-Ebene …
(31)
© H.Neuendorf
Kinematik der Massenpunkte : Beschleunigung [ m / s 2 ]
Beschleunigung a (acceleratio ) = Geschwindigkeits-Änderung durch :
a) Zunahme / Abnahme Geschwindigkeitsbetrag |v| ohne Richtungsänderung
→ geradlinige beschleunigte Bewegung
b) Richtungsänderung des Vektors v trotz konstantem Geschwindigkeitsbetrag
→ z.B. Kreisbewegung !
→ a) Analog Geschwindigkeit :
Mittlere Beschleunigung = Sekantensteigung
Momentane Beschleunigung = Tangentensteigung
Zeitintervalle ∆t → 0
)()(
)(
)()()(
lim:)(
:
2
2
0
212
12
txdt
txdtx
dtd
dtd
tvdtd
ttvttv
ta
sm
tv
ttvv
a
t
m
••
→∆
===
=∆
−∆+=
∆∆=
−−=
v
t
Tangente
v(t)
Sekante
t1 t2
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
Erste Ableitung der Geschwindigkeit nach Zeit
Zweite Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit
3d-Vektor !
Newton : Jede Beschleunigung resultiert aus Kraftein-wirkung. Kräfte sind Ursache aller Beschleunigungen und somit aller Bewegungszustands-Änderungen !
(32)
© H.Neuendorf
Kinematik der Massenpunkte Spezialfall : a(t) = const
Anfangs- / Rand-Bedingungen :
Zur Zeit t = 0s hat v(t) Wert v(t=0) = v0
Zur Zeit t = 0s hat x(t) Wert x(t=0) = x0
( )
002
00
0
21
)()(
)()(
xtvta
dtvdttadtvta
dttvtx
vtadtadttatv
+⋅+⋅=
=+=+⋅=
==
+⋅=⋅==
∫ ∫∫
∫
∫ ∫
Festlegung Integrationskonstanten durchAnfangsbedingungen für Startzeitpunkt
t = t0 = 0s
v
t
v(t) = v 0 + a·t
v(t)
t1 t2
v 0 =
v (
t =
0 )
Manchmal ist die Integration trivial (wie hier), manchmal analytisch nicht mehr möglich und nur noch als Computersimulation numerisch machbar
Bsp: Drei-Körper-Problem i.A. nicht mehr analytisch lösbar
Geschwindigkeit v verändert sich linear im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
Änderung der Geschwindigkeit v(t) ist Beschleunigung a(t)
(33)
© H.Neuendorf
Beschleunigung, Geschwindigkeit, Ort
Entwicklung von Geschwindigkeit und Ort bei konstanter Beschleunigung :
Beschl.-Zeit-Diagramm ⇒ Geschw.-Zeit-Diagramm ⇒ Orts-Zeit-Diagramm
v
t
v(t) = v 0 + a·t
a > 0
v0
a < 0
a
t
a = const
a > 0
a < 0
x
t
x(t) = x 0 + v0 ·t + ½ a·t2
a > 0
x0 a < 0
Spezialfall x0 = 0 m v0 = 0 m/s :
xavta
xtav ⋅⋅=⇒⋅=⋅= 22
22 Freier Fall Richtung Erdmittelpunkt mit breitenabhängiger Beschleunigung g = 9.81 m/s2 liefert Fallgesetze :
s = ½ g t 2 v = g·t ⇒ v 2 = 2·g·s
Durch Galilei empirisch gefunden.
Eigentlich "triviale" mathematische Anwendung des Newton'schen Differentialkalküls !
(34)
© H.Neuendorf
Bsp : Einfache Kinematik-Aufgabenstellung → Bremsvorgang
Konstante Beschleunigung a < 0 m/s 2 bei Abbremsvorgang
Randbedingungen :
t = 0s → v(t=0s) = v0 t = T → v( t=T ) = 0 m/s Objekt steht !
x(t=0s) = 0m x( t=T ) = s Bremsweg !
0
20
20
20
20
20
200
02
0
00
200
222
2222)(
0)(
2)()(
vs
Ts
va
av
s
av
av
av
ava
av
vTa
TvsTx
av
TTavsm
Tv
ta
tvtxtavtv
=⇒−=⇔−=⇒
−=+−=
−⋅+
−⋅=+⋅==⇒
−=⇒⋅+==⇒
+⋅=⋅+=
0 t = T
0 x = s
Bremsweg wächst quadratisch mit Geschwindigkeit !
1. Aufstellen bekannter Beziehungen
2. Einbau der Randbedingungen
3. Auflösen nach gesuchter Größe
(35)
© H.Neuendorf
Kinematik der Massenpunkte
Anfangsbedingungen :
Zur Zeit t = 0s hat v(t) Wert v(t=0) = v0
Zur Zeit t = 0s hat x(t) Wert x(t=0) = x0
∫
∫
=
=
dttvtx
dttatv
)()(
)()(
Ziel der Kinematik :
Integration der Bewegungsgleichungen
Bestimmen der expliziten Bahnkurve r (t)
r(t) v(t) a(t)
∫ dt....∫ dt....
dtd
dtd
Festlegung Integrationskonstanten durchAnfangsbedingungen für Startzeitpunkt
t = t0 = 0s
Der Weg von r(t) zu a(t) ist leichter und gelingt immer.
Der Weg von a(t) zu r(t) ist schwieriger und nicht immer analytisch möglich.
(39)
© H.Neuendorf
Beschleunigung durch Richtungsänderung : Kreisbew egung
Massenpunkt läuft auf Kreisbahn mit Radius r = const um Ursprung
Winkel ϕ(t) zwischen Achse und Ortsvektor r variiert
1. Gleichförmige Kreisbewegung
In gleichen Zeitintervallen ∆t werden gleiche Winkel ∆ ϕ überstrichen
Vom Fahrstrahl überstrichener Winkel ϕ(t) wächst linear in der Zeit
⇒ Analog zu Bahngeschwindigkeit v = ∆x / ∆t wird Winkelgeschwindigkeit definiert :
tt
radsst
ttttconst
srad
tttt
t
⋅=⇒
==
+∆⋅=∆+⇒=
∆
−∆+=∆∆=
ωϕ
ϕ
ϕωϕω
ϕϕϕω
)(
0)0(:0
)()(
"")()(:
Völlig analog zur Geschwindigkeit v
xϕ
yP
r
(40)
© H.Neuendorf
Beschleunigung durch Richtungsänderung : Kreisbew egung
2. Ungleichförmige Kreisbewegung ∆ϕ / ∆t ≠ const
Momentane Winkelgeschwindigkeit ω(t) (∆t → 0s)
⇒ Erste zeitliche Ableitung der Winkelfunktion ϕ(t)
dttd
tttt
tt
)()()(lim)(
0
ϕϕϕω =∆
−∆+=→∆
Winkel müssen im Bogenmaßangegeben werden !
Bahngeschwindigkeit v folgt aus ω gemäß Winkeldefinition im Bogenmaß :
)(limlim)(00
trt
rts
tvtt
ωϕ ⋅=⋅==→→ ∆
∆∆∆
∆∆
ϕ
ϕ
∆∆
∆∆
⋅=
⇒=
rs
rs
xϕ
yP
r
∆s∆
)()( trtv ω⋅=Allgemeiner Zusammenhang
Gilt für gleichförmige undungleichförmige Kreisbewegung
Drehwinkel ϕ( t ) durch Integration von ω( t )
∫=⇒ dttt )()( ωϕ Anfangsbedingung :
ϕ( t=0s )
(41)
© H.Neuendorf
Kreisbewegung Geschwindigkeiten sind Vektoren ⇒ Richtungsdefinitionen nötig
a) v(t) verläuft tangential zur Bahnkurve
b) Richtung von ω(t)
Senkrecht auf Bahnebene
Parallel zur Drehachse
Rechtsschraubenrichtung – RechteHandRegel
Beträge :
Orientierungen :
=→
)(
0
0
)(
t
t
ωω
→→→⊥
⊥ ωrv
x
y
ω(t)
z
r(t)ϕ
v(t)
)()( trtv ω⋅=
Können wir dies auch analytisch darstellen ? …
Kreisfrequenz ω = "2π / Zeit"
Rotationsfrequenz f = "Zahl Umläufe / Zeit"
Periode T = Umlaufzeit = 1 / f = 2 π/ ω ff
fTdt
d
≠⇒⋅=
⋅===
ωπω
ππϕω
2
22
(42)
© H.Neuendorf
Gleichförmige Kreisbewegung (in x,y-Ebene)
Speziell : ω(t) = const = ω
Ortsvektor r(t) der Kreisbewegung in (x,y)-Ebene :
⋅⋅−
⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
==⇒
⋅⋅
⋅=
⋅⋅⋅⋅
=
=
→→
→
0
)cos(
)sin(
/0
)cos(
)sin()(
)(
0
)sin(
)cos(
0
)sin(
)cos(
)(
)(
)(
)(
t
t
r
sm
tr
tr
dttrd
tv
t
t
r
m
tr
tr
tz
ty
tx
tr
ωω
ωωωωω
ωω
ωω
Kettenregel !Betrag von r ist konstant !
Winkelgeschwindigkeit ω ist konstant !
Betrag Bahngeschwindigkeit vist konstant !
( ) ( ) ( ) ( )( )→→
→→
⊥⇒
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅
rv
ttttrrv 0cossinsincos2 ωωωωω
Te→
ttdt
tdt ⋅=⇒== ωϕωϕω )(
)()(
x
ϕ
y
r·cos( ϕ)
r·sin( ϕ)
Ortsvektor r(t) und Bahngeschwindigkeit v(t)stehen stets senkrecht zueinander !
ω⋅=→
rtv )(
(43)
© H.Neuendorf
Gleichförmige Kreisbewegung
Berechnung Beschleunigungsvektor a( t ) :
⋅−⋅−
⋅⋅=
⋅⋅−⋅⋅−
⋅⋅==⇒
⋅⋅−
⋅⋅==
−
→→
→→
0
)sin(
)cos(
0
)sin(
)cos()(
)(
0
)cos(
)sin()(
)(
2
1
t
t
r
s
t
t
rdt
tvdta
t
t
rdt
trdtv
ωω
ωωωωω
ω
ωω
ω
Anwendung Kettenregel !
( ) ( ) ( ) ( )( )→→
→→
⊥⇒
=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅
av
ttttrav 0sincoscossin32 ωωωωω
re→
−
x
ϕ
y
r·cos( ϕ)
r·sin( ϕ)
Beschleunigungsvektor a(t) stets senkrecht zur Bahngeschwindigkeit v(t)
a(t) stets antiparallel zum Ortsvektor r(t)
a(t) zeigt stets zum Zentrum der Kreisbewegung
⇒ Zentri petal beschleunigung
2)( ω⋅=→
rta
Betrag von rkonstant !
Winkelgeschwindig-keit ω konstant !
Betrag Zentripetal-beschleunigung a(t) konstant
(44)
© H.Neuendorf
Gleichförmige Kreisbewegung
Vektorielle Zusammenhänge mit Vektorprodukt
−−−
=×→→
xyyx
zxxz
yzzy
baba
baba
baba
ba
( )( )
( )( )
rvta
tvtata
tvdt
trdtr
dtd
dttvd
ta
sm
tr
tr
m
tr
tr
trtv
⋅=⋅=⇒
⊥⊥⇒
×=×=
×==⇒
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
=
⋅⋅⋅⋅
×
=×=
→
→→→→
→→→
→→→→
→
→→→
2)(
)()()(
)()(
)()(
)(
/0
cos
sin
0
sin
cos
0
0
)()(
ωω
ω
ωωω
ωωωω
ωω
ωω
Für ω(t) = ω = const
Vektor a(t) zeigt immer zum Rotations-Zentrum = Zentripetalbeschleunigung
x
y
ω(t)
z
r(t)ϕ
v(t)Bem :
Gilt allgemein - auch für ungleichförmigeKreisbewegung mit ω(t) ≠ const!
)()()( trttv→→→
×= ω
Berechnung Beschleunigungsvektor :
(45)
© H.Neuendorf
−⋅⋅=
⋅⋅
⋅⋅−
==⇒
⋅=
⋅⋅
=
=
−
→→
→
0
)(cos
)(sin
)(
/0
)(cos)(
)(sin)(
)()(
0
)(sin
)(cos
0
)(sin
)(cos
)(
)(
)(
)(
1
t
t
tr
sm
tdt
tdr
tdt
tdr
dttrd
tv
t
t
r
m
tr
tr
tz
ty
tx
tr
ϕϕ
ωϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
Ungleichförmige Kreisbewegung
Winkelgeschwindigkeit ω( t ) ist nicht konstant !
Drehwinkel ϕ( t ) ist beliebige Funktion der Zeit !
Ortsvektor r(t) der Kreisbewegung in (x,y)-Ebene :
Anwendung Kettenregel !
Betrag von rist konstant !
( ) ( ) ( ) ( )( )→→→→
⊥⇒=⋅+⋅−⋅⋅=⋅ rvtttttrrv 0cossinsincos)(2 ϕϕϕϕω
Te→
ttconstdt
tdt ⋅≠⇒≠= ωϕϕω )(
)()(
x
ϕ
y
r·cos( ϕ)
r·sin( ϕ)
Ortsvektor r(t) und Bahngeschwindig-keit v(t) stehen stets senkrecht zueinander !
(46)
© H.Neuendorf
Radiale und Tangentiale 2d-Einheitsvektoren Ortsvektor mit radialem Einheitsvektor e r dargestellt :
xϕ
y
r·cos( ϕ)
r r·sin( ϕ)
−==
−==
==
==
→→
→→
1
0:
23
0
1:
1
0:
20
1:0
rr
rr
ee
ee
πϕπϕ
πϕϕ
Zu e r senkrechter Einheitsvektor = Tangentialer Einheitsvektor e TTe
→
re→
1))((sin))((cos||
)(sin
)(cos
)(sin
)(cos
)(
)()(
22 =+=
⋅=
⋅=
⋅⋅
=
=
→
→→
tte
ert
tr
tr
tr
ty
txtr
r
r
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
( ) 0)(sin)(cos)(cos)(sin
0)(cos
)(sin
=⋅+⋅−=⋅
⊥⇒=⋅
−=
→→
→→→→→
ttttee
eeeet
te
rT
rTrTT
ϕϕϕϕ
ϕϕ
=→
)(sin
)(cos
t
te r ϕ
ϕ
(47)
© H.Neuendorf
Kreisbewegung : Allgemeine Beschleunigungen
Nur noch Betrag von r sei konstant
Zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors v(t) liefert Beschleunigung a(t)
Komponentenweise Vektordifferentiation von v(t) :
)()()(
0
)(sin
)(cos
)(
0
)(cos
)(sin
)(
0
)(cos
)(sin
)()()(
2
2
rT etretr
t
t
trt
t
tr
t
t
trdtd
tvdtd
ta
→→•
•
→→
−⋅⋅+⋅⋅=
=
−−
⋅⋅+
−⋅⋅=
=
−⋅⋅==
ωω
ϕϕ
ωϕϕ
ω
ϕϕ
ω
1.Term : Tangentiale Beschleunigung bei Änderung von ω ⇒ Verschwindet bei gleichförmiger Kreisbewegung !
2. Term : Zentripetalbeschleunigung - zeigt zum Mittelpunkt ! Stets ≠ 0, auch wenn ω = const ! Ursache der Kreisbewegung !
Gleichf. Rotation: |a| = ω2·r = v2 / r = ω·v
Parallel zu v (tang.) Parallel zu -r (radial)
)()()( 2 trtta→→
⋅−= ωÜbung : Wenn ω konstant ist, aber r nicht ? …
(51)
© H.Neuendorf
Grundgrößen der Kinematik " Galilei "
2
2
,dt
rddt
vda
dtrd
vrx
→→→
→→→→
===Grundgrößen und ihre momentanen Änderungen
2
2
dtd
dtd
dtd
→→→→
=== ϕωαϕωϕ
2000
2000
2)()(
2)()(
tttttconst
ta
tvxtxtavtvconsta
αωϕϕαωωα +⋅+=⇒⋅+=⇒=
+⋅+=⇒⋅+=⇒= Entwicklung der Grundgrößen bei konstanterBeschleunigung
Spezialfall Kreisbewegung :
a) Vektorielle Abhängigkeiten
b) Betrags-Abhängigkeiten rr
va
rv
rv
rvt
t
r
tz
ty
tx
tr
p ⋅===⇔⋅=
×=
⋅=
=→→→→
22
0
)(sin
)(cos
)(
)(
)(
)(
ωωω
ωϕϕ
Grundsätzliche
Analogie zwischen
geradliniger und
kreisförmiger
Bewegung
Bislang nur mathematisch-geometrische Zusammenhänge analysiert. Noch nichts über Ursachen der Bewegungsänderungen ausgesagt. Es fehlt noch ein analytischer Kraft-Begriff - von Massen, Kräften, Energien war noch nicht die Rede ! …
(52)
© H.Neuendorf
Superpositionsprinzip - Unabhängige Überlagerung von Bewegungen
=⇒
+=⇒
⋅=⇒
⋅
⋅=⇒
⋅=⇒⋅=⋅=
→
→→
ga
tgvvtg
vv
tg
tvr
xvg
ytg
ytvx
0
2
22
2220
02
0
220
20
Körper kann mehrere Teil-Bewegungen gleichzeitig ausführen
Überlagern sich störungsfrei : Jede Teilbewegung läuft ab, als wäre sie allein vorhanden
⇒ Vektorielle Addition der Vektoren r(t) v(t) a(t) aller Teilbewegungen
Waagerechter Wurf Horizontaler Wasserstrahl zeigt Parabelform !
Gleichförmige Bewegung in x-Richtung + freier beschleunigter Fall in y-Richtung
⇒ Wurfparabel :
Die frei fallende und die horizontal abgeschosseneKugel sind stets auf gleicher Höhe - und schlagen gleichzeitig auf
(53)
© H.Neuendorf
Galilei-Transformation Beschreibung in verschiedenen Inertialsystemen :
Geradlinig gleichförmige Translation der beiden Bezugssysteme mit konstanter Geschwindigkeit V
Keine Rotation Keine Beschleunigung
tt
tVrr
tVtRRrrrrR
=
⋅−=
⋅=−=⇒=+
→→→
→→→→→→→→
'
'
)(''
Grundannahme klassische Physik
In beiden Inertialsystemen werden gleiche Zeitintervalle gemessen - das Resultat von Zeitmessungen ist unabhängig vom Bewegungszustand des Beoabchters
Durch spezielle Relativitätstheorie widerlegt !
Galilei-Transformation nur Näherung !
Gültigkeitsbereich : V << c
Wegen V = const ist Beschleunigung ainvariant gegenüber geradlinig gleichförmiger Bewegung des Bezugssystems :
→→
→→→→
→→→→→
==−==
−=⋅−=
adt
vdVv
dtd
vdtd
a
VvtVrdtd
v
)(''
)('
P
R
x
y
z
r '
x'
y'
z'
r
S( x,y,z )
S( x',y',z' )
Transformation
Galileisches Relativitätsprinzip
In beiden Inertialsystemen werden gleiche Kräfte registriert
In beiden Inertialsystemen herrscht die gleiche Physik
Gleiche
Naturphänomene,
gleiche
Naturgesetze ,
identische
Gleichungen
(54)
© H.Neuendorf
Trägheitskräfte in beschleunigten Bezugssystemen Bewegungsgleichung F = m·a gilt in allen Inertialsystemen : Invarianz der Newtonschen Gleichung bei Galilei-Transformation
Beschleunigtes Bezugssystem : Scheinkräfte = Trägheitskräfte
Beobachter in S beschreibt 2 :
Wagen 1 unter 2 beschleunigt mit A
Wagen 2 bleibt in Ruhe
a2 = 0 m/s2 ⇒ F2 = 0 N
m
1→A
2
S
m
1
→'a 2
S'
Beobachter in S' beschreibt 2 :
Wagen 2 gegen Beobachter in S'
mit a2' beschleunigt
⇒ F2' = m·a2' ≠ 0 N
Vergleich S mit S' : a' = - A
Trägheitskraft m·a' im beschleunigten Bezugssystem S' !
Physikalische Situationin S und S' ist nichtäquivalent ! Objekt in S' fällt nicht senkrecht sondern
wird zusätzlich rückwärts beschleunigt
durch Trägheitskraft = Scheinkraft
Wahre Kräfte → Sind die Ursache von Beschleunigungen / Bewegungsänderungen
Schein- / Trägheitskräfte → Werden erst durch Beschleunigungen verursacht !
Beschleunigung + Rotationsind keine Symmetrie-operationen für Naturgesetze !
Die beiden Beobachter messen nicht gleiche Beschleunigungen und Kräfte – sie erhalten nicht dieselbenNaturgesetze !
(55)
© H.Neuendorf
Inertialsystem – weitere Definitionen
Solche Bezugssysteme, in denen ein Körper in Ruhe oder gleichförmiger Bewegungverharrt, solange keine physikalischen Kräfte auf ihn einwirken, heißen Inertialsysteme.
Es ist unmöglich , in der Mechanik ein Experiment anzugeben, durch das ein Inertialsystem vor einem anderen ausgezeichnet würde.
Wird eine physikalische Kraft in zwei Inertialsystemen gemessen, dann stimmen die beiden Messwerte überein .
In Bezug auf alle Inertialsysteme werden dieselben Kräfte gemessen.
Die Newtonschen Grundgesetze der Mechanik nehmen in der klassischen Raum-Zeit einheitlich für alle Inertialsysteme dieselbe Form an.
Jede Bewegung, die in einem Inertialsystem möglich ist, gibt es auch in jedem anderenInertialsystem.
(56)
© H.Neuendorf
Struktur von Raum und Zeit Voraussetzungen jeder universellen Physik
1. Homogenität der Zeit
Naturgesetze gelten zu allen Zeiten in gleicher Weise
Speziell Newton: Zeit verläuft kontinuierlich und für alle Beobachter unabhängig von
ihrem Bewegungszustand in gleicher Weise
2. Homogenität des Raumes
Eigenschaften eines abgeschlossenen Systems hängen nicht von dessen Ort im Raum ab
Naturgesetze sind invariant unter räumlicher Translation im unendlich ausgedehnten Raum
An allen Orten im Universum gelten dieselben universellen Naturgesetze
Speziell Newton: Absoluter 3d-Raum ist euklidisch - unabhängig von Masseverteilung
3. Isotropie des Raumes
Keine Richtung im Raum ist naturgesetzlich ausgezeichnet
4. Voraussetzung jeder empirischen Naturwissenschaft
Induktionsgesetz → Empirischer Schluss vom Einzelfall auf alle möglichen Fälle
Logisch problematisch - aber einzige Möglichkeit, sich in der Welt zu orientieren !
Korrektur von Newton erst durch Einstein :
1. An Stelle der absoluten Zeit tritt die in
allen Inertialsystemen konstante Lichtgeschwindigkeit.
2. Massen krümmen die Raumzeit lokal.
Sind die Naturkonstanten
wirklich zeitlich konstant ??
"Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und vermöge ihrer Natur gleichförmig, und ohne Beziehung auf irgend einen äußeren Gegenstand ... Der absolute Raum bleibt vermöge seiner Natur und ohne Beziehung auf einen äußeren Gegenstand, stets gleich und unbeweglich."