Physics 2211: Lecture 21, Pg 1 Agenda di oggi Sistemi di Particelle Centro di massa Velocità e...
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Physics 2211: Lecture 21, Pg 1
Agenda di oggiAgenda di oggi
Sistemi di Particelle
Centro di massa
Velocità e accelerazione del centro di massa
Esempi
Physics 2211: Lecture 21, Pg 2
Una barra leggera di lunghezza L=1.4 m è Una barra leggera di lunghezza L=1.4 m è incernierata ad un estremo ed ha una palla di incernierata ad un estremo ed ha una palla di massa =0.82 kg all’altro estremo. Quando la massa =0.82 kg all’altro estremo. Quando la sbarra si trova in posizione orizzontale, la palla sbarra si trova in posizione orizzontale, la palla si muove con velocità di 6.8 m/s. Qual’è si muove con velocità di 6.8 m/s. Qual’è l’intensità della forza esercitata dalla barra l’intensità della forza esercitata dalla barra sulla palla quando si porta nella sua sulla palla quando si porta nella sua posizione più alta?posizione più alta?
V=6.8 m/sL
(1)(1) 11 N alto (2) 11 N basso11 N alto (2) 11 N basso (3) 5 N alto (4) 5 N basso(3) 5 N alto (4) 5 N basso(5) 3 N alto (6) 3 N basso(5) 3 N alto (6) 3 N basso
Physics 2211: Lecture 21, Pg 3
Una scatola (M=6kg), inizialmente ferma, è spinta Una scatola (M=6kg), inizialmente ferma, è spinta sù lungo una parete verticale priva di attrito da una sù lungo una parete verticale priva di attrito da una forza di intensità P.forza di intensità P.Quando la scatola è 0.5 m sopra la sua posizione Quando la scatola è 0.5 m sopra la sua posizione iniziale, si muove con una velocità di 2 m/s. iniziale, si muove con una velocità di 2 m/s. Quanto lavoro deve essere fatto sul blocco Quanto lavoro deve essere fatto sul blocco dalla forza P? ( dalla forza P? ( = 32 °)= 32 °)
(1)(1) 29 J (2) 41 J29 J (2) 41 J (3) 12 J (4) 55 J(3) 12 J (4) 55 J(5) 8 J (6) 15 J(5) 8 J (6) 15 J
P
M
Physics 2211: Lecture 21, Pg 4
Sistema di particelleSistema di particelle
Fino ad ora abbiamo considerato il comportamento di sistemi molto semplici (una o due masse).
Ma la vita reale è usualmente molto più interessante!
Per esempio, consideriamo un semplice disco rotante.
Un oggetto solido esteso (come un disco) può essre pensato come un insieme di parti. Il moto di ciascuna piccola parte dipende dalla posizione nell’oggetto!
Physics 2211: Lecture 21, Pg 5
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Come descriviamo la “posizione” di un sistema fatto da molti parti?
Definiamo il Centro di MassaCentro di Massa (posizione media):
Per una raccolta di N particelle individuali puntuali di cui sono note posizioni e masse:
Rr
CM
i ii
N
ii
N
m
m
1
1
y
x
rr1
m1
rr3
rr2
rr4m4
m2
m3
RRCM
(In questo caso, N = 4)
Physics 2211: Lecture 21, Pg 6
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Se il sistema è costituito soltanto da due particelle :
Rr
r rCM
i ii
N
ii
N
m
m
m m
m m
1
1
1 1 2 2
1 2
y
x
rr2rr1
m1
m2
RRCM
rr2 - r r1
m m m
m m1 2 1 2 2 1
1 2
r r r
R r r rCMm
M 1
22 1
dove M = m1 + m2
Così:
Physics 2211: Lecture 21, Pg 7
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Se il sistema è costituito soltanto da due particelle :
y
x
rr2rr1
m1
m2
RRCM
rr2 - r r1
dove M = m1 + m2
+
R r r rCMm
M 1
22 1
se m1 = m2
il CM è posto a metà fra le masse
R r r rCM 1 2 112
Physics 2211: Lecture 21, Pg 8
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Se il sistema è costituito soltanto da due particelle :
y
x
rr2rr1
m1
m2
RRCM
rr2 - r r1
dove M = m1 + m2
+
se m1 = 3m2
Il CM è ora più vicino alla
massa più leggera.
R r r rCMm
M 1
22 1
R r r rCM 1 2 114
Physics 2211: Lecture 21, Pg 9
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Il centro di massa si trova dove il sistema è in equilibrio!
La costruzione di una bilancia è un esercizio per trovare i centri massa.
m1m2
+m1 m2
+
Physics 2211: Lecture 21, Pg 10
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Possiamo considerare le componenti di RRCM separatamente:
( , , ) , ,X Y Zm x
M
m y
M
m z
MCM CM CMi ii i ii i ii
y
x
rr1
m1
rr3
rr2
rr4m4
m2
m3
RRCM
(In questo caso, N = 4)
Physics 2211: Lecture 21, Pg 11
Esempi di Calcolo:Esempi di Calcolo:
Consideriamo la seguente distribuzione di massa :
(24,0)
12m4
24m12)m2(0mM
xmX i ii
CM
6m4
0m12)m2(0mM
ymY i ii
CM
(0,0)
(12,12)
m
2m
m
RCM = (12,6)
Physics 2211: Lecture 21, Pg 12
Rr r
CMdm
dm
dm
M
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Per un solido continuo, facciamo un integrale.
y
x
dm
rrDove dm è un elemento di
massa infinitesimale.
Physics 2211: Lecture 21, Pg 13
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Troviamo che il Centro di Massa è al “centro”ndell’oggetto.
y
x
RRCM
Physics 2211: Lecture 21, Pg 14
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
La posizione del centro di La posizione del centro di massa è una proprietà massa è una proprietà intrinseca dell’oggetto!!intrinseca dell’oggetto!!
(non dipende da dove scegliamo l’origine o le coordinate per il calcolo)
y
xRRCM
Troviamo che il Centro di Massa è al “centro” dell’oggetto.
Physics 2211: Lecture 21, Pg 15
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Possiamo usare l’intuizione per trovare la posizione del centro di massa per oggetti simmetrici che hanni densità uniforme:
Sarà semplicemente il centro geometrico!
+
CM+ +
++ +
Physics 2211: Lecture 21, Pg 16
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Il centro di massa per una combinazione di oggetti è la media della posizione dei centri di massa degli oggetti :
+
+y
x
RR2
RR1
RRCM
m1
m2
+
21
2211CM
N
1ii
N
1iii
CM
mm
mm
m
m
RRR
RR
RR2 - R R1 Così se abbiamo due oggetti :
122
1 M
mRRR
Physics 2211: Lecture 21, Pg 17
Centro di MassaCentro di MassaIl disco mostrato sotto (A) ha chiaramente il suo CM al centro.
Supponiamo di tagliare il disco a metà e di sistemare le due metà come mostrare in (B):
Dove è il CM di (B) confrontato con (A)?
(1)(1) Più alto (2)(2) Più basso (3)(3) Lo stesso
(A) (B)
XCM
Physics 2211: Lecture 21, Pg 18
Il CM di ciacuna metà del disco srà più vicina alla parte piatta che alla parte tonda.(Pensare a dove si trova l’equilibrio).
(A) (B)
X
X
Il CM dell’oggetto composto sarà a metà fra i CM delle due metà.
XXCM
Questo è più alto del CM del disco
Physics 2211: Lecture 21, Pg 19
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Il centro di massa (CM) di un oggetto si trova nel punto in cui possiamo incernierare liberamente quell’ogetto.
La Gravità agisce sul CM di un oggetto
Se incerneriamo l’oggetto, esso si orienterà in modo che il CM sia direttamente al di sotto del punto di incernieramento.
Questo fatto può essere usato per trovare il CM di oggetti irregolari.
+
CM
pivot
+ CM
pivot
+
pivot
CM
mg
Physics 2211: Lecture 21, Pg 20
Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa
Appendiamo l’oggetto per diversi punti di sospensione e vediamo dove si intersecano le linee verticali tracciate per ciascun punto di sospensione.
pivot
pivotpivot
+
CM
Il punto di intersezione deve essere al CM.
Physics 2211: Lecture 21, Pg 21
Velocità e AccelerazioneVelocità e Accelerazionedel Centro di Massadel Centro di Massa
Se le sue particelle si muovono, si può muovere anche il CM del sistema. Supponiamo di conoscere la posizione rri di ogni particella nel sistema in funzione del tempo.
R rCM i ii
N
Mm
1
1
VR r
vCMCM
ii
i
N
i ii
Nd
dt Mm
d
dt Mm
1 1
1 1Così:
AV v
aCMCM
ii
i
N
i ii
Nd
dt Mm
d
dt Mm
1 1
1 1e:
La velocità e l’accelerazione del CM è la media pesata della velocità e dell’accelerazione di tutte le particelle.
N
1iimM
Physics 2211: Lecture 21, Pg 22
Centro di Massa e II Legge di NewtonCentro di Massa e II Legge di Newton
La II legge di Newton applicata al moto del CM :
Questa ha interessanti implicazioni:
Ci dice che il CM di un corpo esteso si comporta come un semplice punto materiale sotto l’azione di una forza esterna:
Possiamo usarla per correlare FF e AA come siamo soliti fare.
CMEXT MAF
Physics 2211: Lecture 21, Pg 23
Recapitolazione della lezione di oggiRecapitolazione della lezione di oggi
Sistemi di particelle
Centro di massa
Velocità e acelerazione del centro di massa
Dinamica del centro di massa