Phương trình lượng giác chứa cung hằng số

DANAMATH

www.toanhocdanang.com

www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

ĐẠI SỐ 11

GV:Phan Nhật Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CUNG HẰNG SỐ

http://www.toanhocdanang.com/


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

Phương trình chứa cung hằng số

Dấu hiệu nhận dạng : Phương trình chứa các cung có dạng 1 1 2 2, ,..., n na x b a x b a x b

Khi đó ta có 5 cách sử lý thường gặp

Cách 1: Sử dụng công thức cộng để bỏ cung hằng số (ít gặp)

sin( ) sin cos cos sina b a b a b hoặc cos( ) cos cos sin sina b a b a b

sin cos 2 sin4

x x x

hoặc cos sin 2 cos4

x x x

(cos trái dấu)

Ví dụ: giải phương trình:

sin 2 cos 2 4 2 sin 3cos4

1cos 1

x x x x

x

Điều kiện: cos 1 2x x k (*)

sin 2 cos 2 4 sin cos 3cos cos 1

sin 2 cos 2 4sin 1 0

pt x x x x x x

x x x

22sin cos (1 2sin ) 4sin 1 0

2sin cos sin 2 0

sin 0

cos sin 2 cos 2 ( )4

x x x x

x x x

x x k

x x x VN

Kết hợp với điều kiện (*) ta có 2x k là nghiệm duy nhất của phương trình

Cách 2: Hạ bậc sau đó dùng công thức cộng nến phương trình chứ các số hạng có dạng

2cos4

ax

hoặc 2sin4

ax

2 1 cos 2

2

asin a

Hoặc 2 1 cos 2

2

acos a

Có 2 lựa chon:

Ta phải chọn công thức nào có thể khử

được số 1 và quy về được dạng tích




Ví dụ: Giải phương trình 2 2 2sin tan cos 02 4 2

x xx

Điều kiện: cos 02

x x k

2

1 cos1 cos2

tan 02 2

xx

pt x

2

2

1 cos cos sin sinsin 1 cos2 2

02 cos 2

x xx x

x

2

2

1 cos1 sin (1 cos ) 0

1 sin

xx x

x

(1 cos )(1 cos ) (1 cos ) 1 sin 0x x x x

cos 1 2

(1 cos )(sin cos ) 0sin 0

4 4

x x k

x x xx x k

Cách 3: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để quy về phương trình tích nếu phương

trình có cặp số hạng : sin ,3

ax

3

2 hoặc

1sin ,

6 2ax

hoặc

1cos ,

3 2ax

hoặc 3

cos ,6 2

ax

(bằng cách chuyển các số về giá trị lượng giác của cung tương ứng)

cos cos 2cos .cos cos cos 2sin .sin2 2 2 2

sin sin 2sin .cos sin sin 2cos .sin2 2 2 2

a b a b a b a ba b a b

a b a b a b a ba b a b

Ví dụ: Giải phương trình 2

1cos22

3cos

xx

(với

1cos

2 3

)

cos cos 2 2cos 03 3

pt x x

2cos cos 2cos 03

x x x

2cos cos 1 03

x x

cos 0

2

cos 1 43

3

x x k

xx k




Cách 4: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng thông thường bước tiếp theo ta sẽ quy

phương trình về dạng bậc 2 hoặc bậc 3 theo một hàm lượng giác

)sin()sin(2

1cos.sin

)cos()cos(2

1sin.sin

)cos()cos(2

1cos.cos

bababa

bababa

bababa

Ví dụ: Giải phương trình xxxx 2cos6

sin6

sin.cos4

Ta có: 4cos .sin sin 2cos cos cos 2 cos 2cos 2 cos6 6 3

x x x x x x x x

2 2cos 2cos 2 cos cos 2 cos 2cos(2cos 1) 2cos 1pt x x x x x x x

3 24cos 2cos 3cos 1 0x x x 2(cos 1)(4cos 2cos 1) 0x x x

2

cos 1 2

cos 1 5 1 5 1cos arccos 2

4 44cos 2cos 1 0

5 1 5 1cos arccos 2

4 4

x x k

xx x k

x x

x x k

Cách 5: Đặt ẩn phụ :

Đặt i it a x b với 1 2; ; ;i na Min a a a để chuyển về phương trình bậc 2, bậc 3

Ví dụ: Giải phương trình:

2

3

10sin

2

1

210

3sin

xx

Đặt: 3 3 3 9

2 310 2 5 2 10

x xt x t t

(vì

1 1 3;

2 2 2Min

)

1 9 1

sin sin 3 sin sin 3 2sin sin 32 10 10 2

pt t t t t t t




3

sin 0 (1)

12sin 3sin 4sin sin (2)

2

1sin (3)

2

t

t t t t

t

3

(1) 25

t k x k

42 4

6 15(2)

5 72 4

6 30

t k x k

t k x k

132 4

6 15(3)

7 262 4

6 15

t k x k

t k x k

Bài tập minh họa

1. Giải các phương trình sau (cách 1)

a. 2 sin

41 sin 2 1 tan

cos

x

x xx

b. sin 3 sin 2 sin4 4

x x x

c.

sin 2 cos 2 4 2 sin 3cos4

1cos 1

x x x x

x

d. 02

3sin5

2cos

2

5sin2)3(sin3 22

xxxx

e. 2

sin os1 6 3

cos s inx.tanos 2 cos

x c xx

xc x x


a. 21 2cos3 sin sin 2 2sin 2 04

x x x x

b. 11cos2

42sin2cos)32( 2

x

xx




c.

22 os3 .cos + 3 1 s in2 2 3 os 24

c x x x c x

d. 2

sin3

3

2sin

3sin 22 x

xx

e.

24cos8

cos

)sin1(3tantan3 2

2

3 x

x

xxx

f. 22cos3 cos 3 1 sin 2 2 3 os 24

x x x c x

g. 2 22sin 1 4cos

2 4 3 6

x x


a. 2

1sin3sin4

6sin

xxx

b. 2 2 1

cos sin 2sin3 6 4

x x x

c. 2cos 4 2cos sin 3 sin 13 3

x x x x

d. 2cos 4 2cos sin 3 sin 1

3 3x x x x

e. 2

1cos22

3cos

xx

f. 23

os2 2 sinx sin 3 os 3 1 2sin 24 4 4

c x x c x x


a. 4 4 3cos sin cos sin 3 0

4 4 2x x x x

b. 2

4sin .sin .sin 4 3.cos .cos .cos 23 3 3 3

x x x x x x


a. sin 3 sin 2 .sin4 4

x x x

b. xx 3cos3

cos8 3

c. 217

sin 2 16 2 3 sin cos 20sin2 2 12

xx x x

d. sin 3 cos3 2 2 cos 1 04

x x x

e. 3

2 2 cos 2 sin 2 cos 4sin 04 4

x x x x


Phương trình lượng giác chứa cung hằng số

Education

Transcript of Phương trình lượng giác chứa cung hằng số