BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THU SƢƠNG

PHÉP TÍNH MA TRẬN VÀ

ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng –Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phan Đức Tuấn

Phản biện 1: TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà

Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phép tính ma trận ứng dụng trong lĩnh vực phân tích nhiều

chiều. Nó đề cập đến một số kí hiệu khác nhau mà sử dụng ma trận

và vector để suy ra đạo hàm của mỗi thành phần của biến phụ thuộc

đối với mỗi thành phần của biến độc lập. Các biến độc lập có thể là

một vô hướng, một vector hay một ma trận trong khi biến phụ thuộc

có thể là một trong số chúng cũng được.

Trong toán học ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm của các

phương trình ma trận có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực bao

gồm lý thuyết điều khiển, hỗ trợ máy tính trong mô phỏng những hệ

cỡ lớn thông qua giảm bậc, xử lý ảnh, mô phỏng hệ cơ cưỡng bức.

Nghiệm của phương trình cho ta thông tin về tính ổn định của

phương trình vi phân, phân tích giá trị riêng của ma trận và là công

cụ trong điều khiển những hệ động lực mô tả mà phương trình trạng

thái của nó là một phương trình vi phân đại số. Trong số đó thì

phương trình Sylvester có vai trò quan trọng trong cả toán học lý

thuyết và toán học ứng dụng. Vấn đề đặt ra ở đây là cần tìm lời giải

cho phương trình ma trận nói trên. Có nhiều phương pháp để giải

quyết trong đó không thể không đề cập tới vai trò của phép tích

Kronecker và đạo hàm ma trận.

Ngoài ra để tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán bình phương bé

nhất và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng hay ước

lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận thì phép tính đạo

hàm ma trận được ứng dụng rất nhiều và sử dụng đạo hàm ma trận để

giải quyết các vấn đề trên cũng rất nhanh chóng và mang lại hiệu quả

cao.

2

Với ý tưởng này tác giả đã lựa chọn đề tài “Phép tính ma trận

và ứng dụng”.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu rõ được bản

chất của phép tính ma trận và ứng dụng của nó trong việc giải

phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán về bình

phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô

hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tƣợng nghiên cứu: Phép tính ma trận.

3.2. Phạm vi nghiên cứu: Phép tính ma trận ứng dụng giải

phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán về bình

phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô

hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của TS. Phan Đức Tuấn

và các tài liệu tiếng Anh thu thập từ các bài báo khoa học, trang web

và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến phép tính ma trận.

Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tập, phân tích, đánh giá,

tổng hợp tư liệu và tiếp cận hệ thống.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Đề tài hệ thống lại các kiến thức cơ bản về tích Kronecker và

đạo hàm ma trận. Đưa ra phương pháp giải quyết các bài toán

phương trình ma trận, tính ma trận xấp xĩ ở bình phương tối thiểu và

tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng, ước lượng

Jacobian của một số phép biến đổi ma trận.

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Có thể sử dụng luận văn làm

tài liệu tham khảo dành cho sinh viên nghành Toán.

3

6. Bố cục luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham

khảo và ba chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2. Phép tính ma trận.

Chương 3. Ứng dụng.

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về ma

trận, định thức, hàm vết (tr) và toán tử vec, hàm mũ ma trận. Trong

đó có một số kí hiệu và một số kết quả mà có ích cho phát triển lý

thuyết của tích Kronecker và đạo hàm ma trận trong các chương tiếp

theo.

1.1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1.1.1. Một số định nghĩa ma trận

1.1.2. Các phép toán trên ma trận

1.1.3. Định thức

1.1.4. Ma trận nghịch đảo

1.1.5. Hạng của ma trận

1.1.6. Hệ phƣơng trình tuyến tính

1.2. KHAI TRIỂN CỦA MỘT MA TRẬN

1.3. HÀM VẾT VÀ TOÁN TỬ VEC

1.3.1. Hàm vết (tr)

1.3.2. Toán tử vec

1.3.3. Ma trận hoán vị kết hợp vecX và TvecX

1.4. HÀM MŨ MA TRẬN

4

CHƢƠNG 2

PHÉP TÍNH MA TRẬN

Trong chương này ta tìm hiểu một số phép tính ma trận trong

đó tập trung vào phép tích Kronecker và phép đạo hàm ma trận. Cụ

thể phần 2.1 sau giới thiệu định nghĩa và một số tính chất cơ bản của

tích Kronecker có kèm theo phần chứng minh cụ thể. Và phần 2.2 thu

thập một số công thức hữu ích về đạo hàm ma trận thường xuất hiện

trong đạo hàm của các phần tử hữu hạn.

2.1. TÍCH KRONECKER

2.1.1. Định nghĩa tích Kronecker

Xét ma trận ijm n

A a

và ma trận ij .r s

B b

Tích

Kronecker của hai ma trận A và B , được kí hiệu là A B được xác

định như ma trận sau:

11 12 1

21 22 2

ij

1 2

,

n

n

m m mn

a B a B a B

a B a B a BA B a B

a B a B a B

(2.1)

A B được xem là ma trận cấp ( ).mr ns Nó có mn

khối, khối ở vị trí hàng i, cột j là ma trận ija B cấp .r s

2.1.2. Một số tính chất và quy tắc cho tích Kronecker

Tính chất 2.1.

( ) ( )A B A B ( là đại lượng vô hướng). (2.2)

Tính chất 2.2.

(i) ( ) ,A B C A C B C (2.3)

(ii) ( ) .A B C A B A C (2.4)

Tính chất 2.3. ( ) ( ) .A B C A B C (2.5)

5

Tính chất 2.4.

Tính chất 2.5. ( ) .T T TA B A B (2.6)

Tính chất 2.6. Cho các ma trận A cấp ( ),m n B cấp ( ),r s

C cấp ( ),n p D cấp ( ).s t

( )( ) .A B C D AC BD (2.7)

Tính chất 2.7. Cho A là ma trận cấp ( )m m và B là ma trận

cấp ( ),n n trong đó ,A B không suy biến.

1 1 1( ) .A B A B (2.8)

Tính chất 2.8. Cho hai ma trận A và B cùng cấp ( )n n

( ) ( ) .Tvec AXB B A vecX (2.9)

Tính chất 2.9. Nếu i và ix là các giá trị riêng và các

vector riêng tương ứng của ma trận A cấp ( )n n . Nếu j và

jy là các giá trị riêng và các vector riêng tương ứng của B cấp

( )m m .

Khi đó, A B có các giá trị riêng i j và vector riêng

tương ứng i jx y .

Tính chất 2.10. 1 2( )A B U B A U (2.10)

trong đó 1U và 2U là các ma trận hoán vị.

Tính chất 2.11. Cho hai ma trận ijn n

A a

và ijm m

B b

,m n

A B A B (2.11)

trong đó: A là định thức của .A

Tính chất 2.12. Nếu là f hàm giải tích, ijn n

A a

và tồn

tại ( ).f A Khi đó:

( ) ( ),m mf I A I f A (2.12)

( ) ( ) .m mf A I f A I (2.13)

Trường hợp riêng: Nếu ta cho ( ) zf z e . Khi đó:

6

I,m A A

me I e

(2.14)

I.mA A

me e I

(2.15)

2.1.3. Định nghĩa tổng Kronecker

Xét ma trận ijn n

A a

và ma trận ij .m m

B b

Tổng

Kronecker của hai ma trận A và B , được kí hiệu là A B được xác

định bằng biểu thức:

.m nA B A I I B (2.16)

Tính chất 2.13. Nếu i và j là các giá trị riêng tương ứng

của A cấp ( )n n và B cấp ( ).m m

Khi đó, i j là các giá trị riêng của .A B

Tính chất 2.14. Cho A là ma trận cấp ( )n n và B là ma trận

cấp ( )m m

( ) .exp A B expA expB (2.17)

2.2. ĐẠO HÀM MA TRẬN

2.2.1. Đạo hàm của một ma trận

Cho ma trận ij( ) ( ) ,m n

A t a t

đạo hàm của ma trận A đối với

biến vô hướng t , kí hiệu: ( )d

A tdt

hay dAdt

hay ( )A t được định

nghĩa như một ma trận

ij( ) ( ) .d d

A t a tdt dt

(2.18)

Tính chất 2.15. Cho các ma trận ( )A t và ( )B t , ta có:

.d dA dB

AB B Adt dt dt

(2.19)

Ví dụ 2.4. Cho .C A B Chứng minh rằng:

,dC dA dB

B Adt dt dt

(2.20)

trong đó: các ma trận A và B là hàm của t (t là biến vô hướng).

7

2.2.2. Đạo hàm của các vector

Cho các vector

1

2

n

x

xx

x

và

1

2.

m

y

yy

y

Khi đó ta có đạo hàm các

vector như sau:

(i) Đạo hàm của vector y đối với vector x là ma trận cấp ( )n m

2

1 2

1 1 1

1

2 2 2

1 2

.

m

m

m

n n n

yy y

x x x

y yyy

x x xx

yy y

x x x

(2.21)

(ii) Đạo hàm của một đại lượng vô hướng y đối với một vector x

1

2 .

n

y

x

yy

xx

y

x

(2.22)

(iii) Đạo hàm của một vector y đối với một đại lượng vô hướng x

8

1

2

.

m

y

x

yy

xx

y

x

(2.23)

2.2.3. Jacobian của phép biến đổi một biến

2.2.4. Đạo hàm của một ma trận đối với một trong các phần

tử của nó và ngƣợc lại

Ta xét ma trận ij .m n

X x

Đạo hàm của ma trận X đối với một trong các phần tử của nó

rsx là:

,rs

rs

XE

x

(2.24)

trong đó: rsE là ma trận cơ sở cùng cấp với ,X 1, ; s 1, .r m n

Từ đó, suy ra

.T

Trs

rs

XE

x

(2.25)

Bây giờ, ta xét dạng tích các ma trận sau:

Y AXB

trong đó: ijm n

X x

; ij n qB b ; ij

l mA a

; ij .

l qY y

Lúc này ta cần tìm rs

Y

x

và

ijy

X

( rsx và ijy lần lượt là phần tử

đặc trưng của X và Y).

ij

ij .T Ty

A E BX

(2.26)

( ijE là ma trận cơ sở cấp ( )l q cùng cấp với Y ) .

9

.rs

rs

YAE B

x

(2.27)

( rsE là ma trận cơ sở cấp ( )m n cùng cấp với ma trận X ).

2.2.5. Đạo hàm hàm vô hƣớng của ma trận đối với ma trận

Cho ma trận ijm n

X x

và ( )y f X là hàm vô hướng của

.X Đạo hàm của y đối với X được xác định là ma trận cấp ( )m n

như sau:

11 12 1

21 22 2 ij

ij ij,

1 2

,

n

n

i j

m m mn

y y y

x x x

y y yy y y

x x x EX x x

y y y

x x x

(2.28)

trong đó: ijE là ma trận cơ sở cấp ( ).m n

2.2.6. Đạo hàm của hàm vô hƣớng vết (tr) đối với ma trận.

Cho ma trận ij ,m n

X x

Y là ma trận vuông và hàm .trY

Khi đó đạo hàm của hàm trY đối với ma trận X được viết như sau:

11 12 1

21 22 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

.

( ) ( ) ( )

n

n

m m mn

trY trY trY

x x x

trY trY trYtrY

x x xX

trY trY trY

x x x

(2.29)

Hay ( ) ( )

,rs

trY trY

X x

(2.30)

10

trong đó: vế phải của (2.30) là ma trận có cấp ( ),m n rsx là các

phần tử ở vị trí hàng r, cột s của ma trận X 1, ; s 1, .r m n

Ví dụ 2.8. Hãy ước lượng ( )

.trY

X

a) TY A X d) TY X X

b) TY X A e) .T TY U XX

c) XT TY U

2.2.7. Xác định đạo hàm của vecYvecX

cho phƣơng trình

phức tạp hơn

2.2.8. Trạng thái ma trận chuyển tiếp

Ma trận chuyển tiếp là khái niệm quan trọng trong lý thuyết điều

khiển và phân tích không gian trạng thái của hệ bất kỳ.

Trước tiên ta xét nghiệm của phương trình ma trận trạng thái

thuần nhất được cho bởi:

( ) ( ) ,X t AX t (2.31)

với điều kiện ban đầu 0(0) ,X X

trong đó: A là ma trận cấp ( ).n n

0( ) .AtX t e X (2.32)

Như vậy phương trình này cung cấp hệ thức giữa trạng thái ban

đầu 0(0)X X tại 0 0t và trạng thái ( )X t tại bất kỳ thời điểm t.

Sự chuyển đổi từ trạng thái 0X đến ( )X t được thực hiện bởi hàm

mũ ma trận .Ate Do đó hàm ma trận này được gọi là trạng thái ma

trận chuyển tiếp và được ký hiệu bởi ( ).t

Khi đó ( ) .Att e

Tính chất 2.16. (0) ,I

1( ) ( ),t t

1 2 2 1( ) ( ) ( )t t t t

11

Ngoài ra trạng thái ma trận chuyển tiếp luôn luôn thỏa mãn hệ

thức sau:

( ) ( ) ( )

( , ) .

t A t t

t t I

CHƢƠNG 3

ỨNG DỤNG

3.1. ỨNG DỤNG TÍCH KRONECKER

Trong phần này xét một số ứng dụng của tích Kronecker trong

việc giải một số dạng phương trình ma trận trong đó đặt biệt có

phương trình ma trận Sylvester. Từ phương trình tổng quát này ta có

thể giải một số phương trình ma trận dạng tương tự.

3.1.1. Nghiệm của + AX XB C

Xác định điều kiện để phương trình Sylvester

+ ,AX XB C (3.1)

có nghiệm duy nhất.

Trong đó A : là ma trận cấp ( );n n B là ma trận cấp ( m m );

C là ma trận cấp ( ).n m

Phương pháp giải.

Ta sử dụng toán tử vec trên (3.1) :

( + ) = vec AX XB vecC

( ) + ( ) = TI A vecX B I vecX vecC (theo (2.9))

( ) .TB A vecX vecC (theo (2.16))

Khi đó ta viết phương trình (3.1) về dạng:

,Gx c (3.2)

12

trong đó: ; c

T Tn mG B A B I I A

x vecX vecC

Gọi i là các giá trị riêng của A

j là các giá trị riêng của B cũng là giá trị riêng của .TB

Theo Tính chất 2.13 thì các giá trị riêng của G là: .i j

Phương trình (3.2) có nghiệm duy nhất:

G không suy biến.

Tất cả các giá riêng của G khác 0.

0i j (tất cả i và j ).

Như vậy ta đã chứng minh được rằng phương trình (3.1) có

nghiệm duy nhất:

A và (-B) không có giá trị riêng chung.

Ngược lại, A và (-B) có chung các giá trị riêng. Khi đó tồn tại

nghiệm phụ thuộc vào hạng của ma trận mở rộng .G c

Nếu rank G c rank G khi đó nghiệm tồn tại, ngược lại hệ

phương trình

+ AX XB C

là không phù hợp.

Ví dụ 3.1. Tìm nghiệm của phương trình .AX XB C Cho

biết:

(a) 1 1

0 2A

; 3 4

1 0B

; 1 3

.2 2

C

(b) 1 1

0 2A

; 3 4

0 1B

;

0 5.

2 9C

Giải.

Ta kí hiệu 1 3

2 4

.x x

Xx x

13

Khi đó 1 2 3 4 .T

x vecX x x x x

(a) Các giá trị riêng của A : 1; 2 .

Các giá trị riêng của B : 1; 4.

Nhận thấy A và B không có giá trị riêng chung.

Ta viết phương trình về dạng (3.2):

Gx c

trong đó: 2 2

; c

T TG B A B I I A

x vecX vecC

Ta có

2 1 1 0

0 1 0 1.

4 0 1 1

0 4 0 2

G

1 2 3 2 .TTc vecC

Khi đó

1

2

3

4

2 1 1 0 1

0 1 0 1 2

4 0 1 1 3

0 4 0 2 2

x

x

x

x

1 2 3

2 4

1 3 4

2 4

2 1

+ 2

4 = 3

4 + 2 2.

x x x

x x

x x x

x x

1

2

3

4

= 0

1

= 2

1.

x

x

x

x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0 2

.1 1

X

(b) Các giá trị riêng của A : 1; 2 .

Các giá trị riêng của B : 1; 3.

Nhận thấy A và B có giá trị riêng chung ( 1).

Ta viết phương trình về dạng (3.2):

14

,Gx c

2 1 0 0

0 1 0 1.

4 0 0 1

0 4 0 1

G

0 2 5 9 .TTc vecC

Khi đó

1

2

3

4

2 1 0 0 0

0 1 0 0 2

4 0 0 1 5

0 4 0 1 9

x

x

x

x

Nhận thấy 3r G r G c (< số ẩn).

Mà G là ma trận suy biến.

Do đó hệ có ít nhất một nghiệm tồn tại

1 2

2

4

4

2 0

2

= 1

1

x x

x

x

x

1

2

4

3

= 1

2

= 1

, R.

x

x

x

x

Chọn 0

1

3

3

0

1.

x

x

Vậy hệ có hai nghiệm độc lập tuyến tính là:

1

1 0

2 1X

và 2

1 1.

2 1X

3.1.2. Nghiệm của AX XA X

Xác định điều kiện để phương trình

,AX XA X (3.3)

có một nghiệm không tầm thường.

Trong đó: A là ma trận cấp ( ).n n

15

Phương pháp giải. Ta sử dụng toán tử vec trên (3.3):

Khi đó ta viết phương trình (3.3) về dạng:

,Hx x (3.4)

trong đó: .

TH I A A I

x vecX

Phương trình (3.4) có một nghiệm không tầm thường:

0,I H là giá trị riêng của .H

Theo Tính chất 2.13 các giá trị riêng của H là ( ) ,i j

trong đó i là các giá trị riêng của .A

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm không tầm thường:

.i j

Ví dụ 3.2. Xác định nghiệm của phương trình .AX XA X

Cho 1 0

2 3A

và 2.

3.1.3. Nghiệm của + ; (0) = .X AX XB X C

Giải phương trình

+ ; (0) = ,X AX XB X C (3.5)

trong đó ( ),A n n ( ),B m m ( ).X n m

Phương pháp giải.

Trước tiên ta nhắc lại công thức nghiệm của phương trình vi

phân ma trận dạng

, x(0) = cx Ax (3.6)

là:

exp( ) .x At c (3.7)

Ta sử dụng toán tử vec trên (3.5), ta được:

, x(0) = c,x Gx (3.8)

16

trong đó: , c .

T Tm nG B A I A B I

x vecX vecC

Theo (3.6) và (3.7) thì nghiệm của (3.8) là:

exp( )x Gt c

exp Tm nvecX I A B I t vecC

= exp ) ( Tm nI A t B I t vecC

= exp( ) exp( ) .Tm nI A t B I t vecC

Theo (2.14) và (2.15):

exp( ) exp( ) .Tm nvecX I At B t I vecC

(3.9)

Ngoài ra, ta chứng minh được:

( )TvecAB B I vecA (3.10)

( ) .vecAB I A vecB (3.11)

Theo (3.10):

exp( ) exp( ) .T TnB t I vecC vec C B t

Mà exp( ) exp( ).TB t Bt

exp( ) exp( ) .TnB t I vecC vec C Bt (3.12)

Thay (3.12) vào (3.9) :

exp( ) exp( ) .mvecX I At vec C Bt

Sử dụng (3.11), ta tìm được:

exp( ) exp( ) .vecX vec At C Bt

Vậy exp( ) exp( ).X At C Bt (3.13)

Ví dụ 3.3. Tìm nghiệm của phương trình

+ X AX XB ; ( ) 0.X C

Cho 1 1

0 2A

; 1 0

0 1B

;

2 0.

1 1C

17

Giải.

Nghiệm của phương trình đã cho có dạng:

exp( ) exp( ).X At C Bt

* Tính được

2

2;

0

t t t

t

e e eexpAt

e

0

( ) .0

t

Bt

t

eexp Bt e

e

Vậy

2 3

3

1.

t t t

t t

e e eX

e e

3.1.4. Tìm ma trận chuyển tiếp kết hợp với phƣơng trình

= + .X AX XB

Cho A và B lần lượt là các ma trận cấp ( )n n và ( ).m m

Phương pháp giải.

Trước tiên, ta xét phương trình ma trận trạng thái thuần nhất

( )X A t X

Ma trận chuyển tiếp là 1( , )t hay 1 , có hai tính chất sau:

1 1

1

( , ) ( ) ( , )

( , ) .

t A t t

t t I

(3.14)

Nếu A là ma trận không đổi, ta dễ dàng chỉ ra rằng:

1 exp( ) .AtAt e

Tương tự, ta xét phương trình ( )X XB t

X ( ) .T T TB t X

Khi đó ma trận chuyển tiếp 2 ( , )t có tính chất là:

2 2.TB (3.15)

Bây giờ, ta kí hiệu là ma trận chuyển tiếp đối với phương

trình

= + .X AX XB

18

Ta viết phương trình đã cho về dạng:

x Gx

trong đó: ; .T Tm nG I A B I B A x vecX

Xác định ma trận chuyển tiếp như sau:

( )TGt B A te e

TB t Ate e (theo (2.17))

2 1 ( , ) ( , ) ( , ).t t t (3.16)

Để cho đơn giản ta kí hiệu thay cho ( , ).t

Suy ra

2 1 2 1( , )t (theo (2.20))

2 1 2 1( ) ( )TB A (theo (3.14) và (3.15))

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )TB I I A (do ( , ) 1t t I )

2 1 2 1( )( ) ( )( )TB I I A (theo (2.7))

2 1( ) ( ) .TB I I A

Do đó .G (3.17)

Ngoài ra 2 1( , ) ( , ) ( , ) .t t t t t t I I I (3.18)

Qua (3.17) và (3.18) chứng tỏ rằng là ma trận chuyển tiếp

đối với

= + .X AX XB

Ví dụ 3.4. Tìm ma trận chuyển tiếp đối với phương trình:

= + .X AX XB (3.19)

Cho 1 1

0 2A

và 1 0

.0 1

B

3.1.5. Nghiệm của phƣơng trình AXB C

3.2. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM MA TRẬN

3.2.1. Các vấn đề về bình phƣơng bé nhất và tối ƣu hóa đƣợc

ràng buộc trong các biến vô hƣớng.

19

a. Phương pháp bình phương bé nhất áp dụng cho quan hệ

tuyến tính giữa x và y.

b. Phương pháp nhân tử Lagrange

3.2.2. Tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán bình phƣơng bé

nhất và tối ƣu hóa đƣợc ràng buộc.

Ta biểu diễn phần dư (hay độ lệch) ở dạng của ma trận E như

sau:

,E A X (3.20)

trong đó: ij ;E e ij ;A a ij .X x

Khi đó, tổng bình phương các phần dư là:

.TS trE E (3.21)

Tiêu chuẩn của phương pháp bình phương bé nhất là tổng ở

(3.21) nhỏ nhất.

Bài toán tối ưu được ràng buộc khi đó đưa về dạng tìm ma trận

X mà hàm ma trận vô hướng

( )S f X

nhỏ nhất tùy thuộc các ràng buộc trên X ở dạng:

( ) 0G X (3.22)

(Đây còn được gọi là phương trình ràng buộc),

trong đó: ij ,r s

G g

s, r phụ thuộc vào số lượng các ràng buộc

ij.g

Đối với trường hợp vô hướng, nhân tử Lagrange ở dạng hàm ma

trận bổ trợ (hàm Lagrange) *( ).f X

Mỗi ràng buộc ijg được kết hợp với một tham số (nhân tử

Lagrange) kí hiệu ij.

Từ đó ij ij ij

1 1 1 1

( ) m n m n

T Tji

j i j i

g U g trU G

ij( ).r s

U

20

Vậy hàm ma trận bổ trợ có thể viết như sau:

ij ij( ) ( )f X f X g

( ) + .T Tf X trE E trU G (3.23)

Cuối cùng, để tìm X tối ưu, ta giải hệ phương trình sau:

( )0

( ) 0.

f X

X

G X

(3.24)

Bây giờ ta xét bài toán với các ràng buộc cụ thể như sau: Cho

ma trận không suy biến ij .n n

A a

Xác định ma trận ijX x mà

bình phương bé nhất xấp xỉ đến .A

(a) Khi X là ma trận đối xứng

(b) Khi X là ma trận trực giao.

Phương pháp giải.

(a) Theo (3.20) ta có phần dư theo ma trận E là:

E A X .T T TE A X

Mà TX X (Vì X là ma trận đối xứng).

Nên phương trình ràng buộc có dạng:

( ) 0.TG X X X

Theo (3.23) thì hàm ma trận bổ trợ là:

( ) .T T T Tf X tr A X A X trU X X

Theo (3.24):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0.

T T T

T T T T

f X trA A trA X trX A

X X X X

trX X trU X trU X

X X X

( ) 0 2 0Tf X

A A X U UX

21

( ) 2 2 0Tf X

A X U UX

.2

TU UX A

(3.25)

Khi đó .2 2

TT T

T TU U U UX A A

(3.26)

Ta lấy (3.25) + (3.26):

2 2

T TT T U U U U

X X A A

1

.2

TX A A

Như vậy xấp xỉ A với ma trận đối xứng, ma trận tối ưu theo tiêu

chuẩn bình phương bé nhất là trung bình cộng các phần tử của A và

các phần tử của .TA

(b) Theo (3.20) ta có phần dư theo ma trận E là:

E A X .T T TE A X

Mà TX X I (Vì X là ma trận trực giao).

Nên phương trình ràng buộc có dạng:

( ) 0.TG X XX I

Theo (3.23) thì hàm ma trận bổ trợ là:

( ) T T T Tf X tr A X A X trU XX I

( ) .T T T T T T Tf X trA A trA X trX A trX X trU XX trU I

Theo (3.24):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0.

T T T

T T T T

f X trA A trA X trX A

X X X X

trX X trU XX trU I

X X X

22

( )

2 2 0Tf XA X X U U

X

.2

TU UX A X

Nhân hai vế với ,TX ta được:

.2

TT T T U U

X X X A X X

2

TT U U

I X A I

( ).Tdo X X I

.2

TT U U

X A I

(3.27)

Ta chuyển vị hai vế:

.2

TT U U

A X I

(3.28)

Từ (3.27) và (3.28), suy ra:

.T TX A A X (3.29)

Bây giờ ta giải phương trình (3.29) để tìm X.

Ta lấy vec hai vế (3.29): T TvecX A vecA X

( ) ( ) .T T TA I vecX I A vecX

Mà TvecX UvecX (U là ma trận hoán vị).

Suy ra ( ) ( )T TA I UvecX I A vecX

( ) ( ) 0.T TI A A I U x (3.30)

Vậy ta đã rút gọn phương trình ma trận thành hệ phương trình

thuần nhất.

Lúc này ta giải (3.30) để tìm nghiệm độc lập tuyến tính và chọn

nghiệm tương ứng để X là ma trận trực giao.

23

Ví dụ 3.7. Cho 1 2

.1 1

A

Tìm ma trận trực giao X mà bình

phương bé nhất xấp xỉ đến A.

3.2.3. Ƣớc lƣợng Jacobian của một số phép biến đổi

Xét một số bài toán sau:

Bài toán 3.1. Tìm Jacobian của phép biến đổi tuyến tính tổng

quát

,Y AXB (3.31)

với A , X , B là các ma trận cấp ( ),n n không suy biến.

Giải. Phương trình (3.31) được viết lại như sau:

,y Px

trong đó ; x =

.T

y vecY vecX

P B A

Khi đó ( )

( )T T T Ty PxP B A B A

x x

và 1

1 1( ) .T T TxB A B A

y

Vậy ước lượng Jacobian của phép biến đổi trên là: 1 1

1

.Ty vecYJ B A

x vecX

nn TJ B A

(theo (2.11))

.n n

J B A

(3.32)

Bài toán 3.2. Tìm Jacobian của phép biến đổi tuyến tính

,Y AX (3.33)

trong đó: , YX là các ma trận cấp .m n

A là ma trận cấp ,n n không suy biến.

Bài toán 3.3. Tìm Jacobian của phép biến đổi tuyến tính

24

,Y XB (3.34)

với , YX là các ma trận cấp ( ),m n B là ma trận cấp ( )n n

không suy biến.

KẾT LUẬN

Qua quá trình nghiên cứu đề tài luận văn của tác giả đã thu

được một số kêt quả sau:

1. Đã hệ thống được một số kiến thức cơ bản về phép tính ma

trận mà trọng tâm là tích Kronecker và đạo hàm ma trận. Trình bày

và chứng minh một cách chi tiết một số tính chất cơ bản của tích

Kronecker.

2. Đã vận dụng phép tích Kronecker và đạo hàm ma trận để

tìm nghiệm một số dạng phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ ở

các bài toán bình phương bé nhất và tối ưu hóa được ràng buộc, ước

lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận. Đưa ra được một

số ví dụ để minh họa cụ thể cho những dạng nêu trên.

Luận văn với mong muốn tìm hiểu sâu hơn và nhiều hơn nữa

những ứng dụng của phép tính ma trận, để từ đó giải quyết một số bài

toán trong thực tế.