BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK

-------------------------------------------------------------------------------------

PHÖÔNG PHAÙP TÍNH – HK 2 0506

CHÖÔNG 3

NOÄI SUY VAØ BÌNH PHÖÔNG CÖÏC

TIEÅU

• TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (04/2006)

NOÄI DUNG-----------------------------------------------------------------------------------------------------

---------

1- NOÄI SUY ÑA THÖÙC

LAGRANGE2- SAI SOÁ NOÄI SUY

LAGRANGE

5- BÌNH PHÖÔNG CÖÏC

TIEÅU

3- NOÄI SUY NEWTON (MOÁC

CAÙCH ÑEÀU)4- NOÄI SUY GHEÙP TRÔN (SPLINE)

BAÄC BA

BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT VEÀ NOÄI SUY -----------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

xk : moác noäi suy, yk : giaù trò

(haøm) noäi suy Töø baûng naøy, noäi suy giaù trò

ybaûng taïi ñieåm x = ?

Moác noäi suy x0 x1 … x = xk … xn-1 xn

Giaù trò noäi suy

y0 y1 … y = ? … yn-1 yn

Noäi suy ña thöùc: Xaùc ñònh ña thöùc y =

P(x) thoaû ñieàu kieän noäi suy P(xk) = yk, k =

0 … n ybaûng P()

Noäi suy: Baûng chöùa (n+1) caëp döõ lieäu {

(xk, yk) }, k = 0 n

NOÄI SUY ÑA THÖÙC LAGRANGE -----------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------Baûng chöùa (n+1) caëp soá lieäu {(xk,yk)} , k = 0 n

! ña thöùc L(x), baäc n, thoaû ñ/kieän noäi suy

L(xk) = yk, k = 0 … n

Caùch 1: 3 moác n = 2 L(x) = ax2 + bx + c (3

heä soá caàn tìm)

Tìm ña thöùc noäi suy Minh hoaï baûng 3 döõ

lieäu: {(xk,yk)} , k=02 Taïi x = 3,

ybaûng ?

Moác noäi suy xk 2 2.5 4

Giaù Trò noäi suy yk 0.5 0.4 0.25

25.04

4.05.2

5.02

L

L

L

25.0416

4.05.225.6

5.024

cba

cba

cba

ybaûng L(3) =

0.325

VÍ DUÏ SAI SOÁ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

xn

n

ba xxxxn

xfxLxf taïi suy Noäi

0

1

,

!1

max)()(Sai

soá:

Gia

ûi:

25

144,100

)3(

, 83

max)(max xxfMxxf

ba

115115 Lf 144115121115100115!3

1M

Keát

quaû:

Nhaéc laïi: Sai soá: luoân

laøm troøn leân!

Öôùc löôïng sai soá cuûa vieäc xaáp xæ giaù

trò baèng ña thöùc noäi suy Lagrange

baäc hai haøm y = xaây döïng taïi caùc

moác x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144. Yeâu caàu:

Laøm troøn keát quaû (sai soá) ñeán chöõ

soá leû thöù 4

115

x

NHIEÀU MOÁC ÑA THÖÙC NOÄI SUY CÔ SÔÛ

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ña thöùc noäi suy cô sôû taïi xk: Lk(xk) = 1,

Lk(xi) = 0 i k

45.225.2

421

xxxL

5.24245.22

2 xx

xL

Ña thöùc noäi suy: L(x) = 0.5L0(x) +

0.4L1(x) + 0.25L2(x)

Moác NS 2 2.5 4

Giaù Trò NS 0.5 0.4 0.25

ÑTNSCS L0(x) 1 0 0

ÑTNSCS L1(x) 0 1 0

ÑTNSCS L2(x) 0 0 1

Thieát laäp coâng thöùc toång quaùt vôùi

(n + 1) moác {(xk, yk)}?

3 moác 3 ÑT

NSCS

xL0

xL1

xL2 xL

425.22

45.2)(0

xxxL

COÂNG THÖÙC TOÅNG QUAÙT -----------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

(n+1) moác (n+1) ña thöùc noäi suy cô

sôû. Ña thöùc noäi suy cô sôû Lk(x) taïi xk (k

= 0 … n): Lk(xk) = 1, Lk(xi) = 0 i k:

0

1

1110 nkkkkkkk

kk

xLxLxLxLxL

xL

nkxxxxxxxx

xxxxxxxxxL

nkkkkkk

nkkk

0,)(110

110

)()()()( 1100 xLyxLyxLyxL nn suy noäi thöùc Ña

Öu ñieåm: Coâng thöùc toång quaùt cho ña

thöùc noäi suy L(x)Chæ phuï thuoäc boä moác {xk} (0 k n),

khoâng phuï thuoäc yk

VÍ DUÏ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------

Baûng 4 moác 1, 2, 3, 4 ; 4 giaù trò 5, 7, 8, 9.

Vieát ra bieåu thöùc caùc ña thöùc noäi suy

cô sôû. Tính giaù trò baûng taïi x = 3.5?

)5.3(2L

)5.3(3L

413121

4320

xxxxL 0625.05.30 L

423212

45.335.315.35.31L

)(98)(7)(5)( 3210 xLxLxLxLxL 4375.85.3 L

Vieát bieåu thöùc Lk(x) (Khoâng tính!)

Thay x Giaù trò

NOÄI SUY NEWTON – MOÁC CAÙCH ÑEÀU ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------

Baûng {(xk,yk)} , k = 0 n, moác noäi suy

caùch ñeàu: x0, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h … xn

= xn-1 + h. Laäp baûng sai phaân :Moác NS Gtrò NS x0 y0

x1 y1

x2 y2

x3 y3

ky ky2 ky

3

0y

1y

2y

02 y

12 y 0

3y

2yk = yk+1 – yk

…

Caáp 1: yk = yk+1

– ykVí duï: y0 = y1

– y0

2

3

xk yk y 2y

1 2

2 4

3 7

1

VD: Baûng

sai phaân 3

moác (caùch

ñeàu)

ÑA THÖÙC NOÄI SUY NEWTON ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------

Ña thöùc noäi suy Newton tieán: x

x0 (ñaàu baûng) hxx

t 0 x = x0 +th Ña thöùc noäi

suy tieán: 00

200 !

)1()1(!21

yn

nttty

ttytyxN n

Ña thöùc noäi suy Newton luøi: x

xn (cuoái baûng)h

xxt n x = xn + th Ña thöùc

noäi suy luøi: 02

21 !

)1(!21

ynntt

ytt

ytyxN nnnn

Ña thöùc theo t & Sai phaân naèm treân

ñöôøng cheùo tieán

Sai phaân naèm treân ñöôøng cheùo luøi

(töø cuoái baûng ñi leân)

VÍ DUÏ NOÄI SUY NEWTON -----------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------

Cho baûng giaù trò sinx töø 15 55.

Xaây döïng ña thöùc noäi suy tieán

(luøi) caáp 3 & tính sin16 (sin54)x y y 2y 3y

15 0.2588

20 0.3420

25 0.4226

30 0.5

35 0.5736

40 0.6428

45 0.7071

50 0.7660

55 0.8192

VÍ DUÏ NOÄI SUY NEWTON -----------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

Taát caû sai phaân: Noäi suy

Newton Lagrange!

Ña thöùc noäi suy tieán:

x 15 !3

210006.0

21

0026.00832.02588.0)(1

tttttttN

txx

t 515515

x = 16 t = 0.2 N1(0.2) = 0.

2756

sin16 = 0.

2756Ña thöùc noäi suy

luøi: x 55

txx

t 555555

!3

210003.0

21

0057.00532.08192.0)(2

tttttttN

x = 54

t = –0.2 N2(–0.2) =

0.80903

sin54 = 0.

8090Caâu hoûi: Tính taïi x = 54 vôùi Noäi suy

tieán. Nhaän xeùt?

HIEÄN TÖÔÏNG RUNGE --------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------

Noäi suy haøm f(x) = 1/(1+ 25x2), x [-

1, 1] baèng ña thöùc noäi suy, 5 moác

caùch ñeàu. Tính L(0.95), so saùnh giaù

trò tính ñöôïc vôùi giaù trò chính xaùc

f(0.95)Laäp baûng noäi suy: 5 moác caùch

ñeàu treân [–1, 1] x0 = –1, x1 = –0.5, x2 = 0, x3 = 0.5, x4 = 1

& yk = f(xk)

038.0 138.0 1 138.0 038.0

Giaù trò

L(0.95) =

Giaù trò chính xaùc

f(0.95) = 0.04

xk –1 –0.5 0. 0.5 1.

yk

KEÁT QUAÛ ------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------

So saùnh ñoà thò haøm ban ñaàu f(x) vaø

ña thöùc noäi suy P4(x)

Taêng soá nuùt coù theå

khieán sai soá taêng!

NOÄI SUY GHEÙP TRÔN -----------------------------------------------------------------------------------------------------

---------

Noäi suy Lagrange: Baäc quaù lôùn

Ñoà thò phöùc taïp

Thay ña

thöùc noäi

suy baäc n

baèng ña

thöùc noäi

suy baäc

thaáp

(baäc 1, 2,

3 …) treân

töøng

ñoaïn

[xk, xk+1],

k = 0 … n –

1

YÙ TÖÔÛNG NOÄI SUY GHEÙP TRÔN BAÄC 3 -----------------------------------------------------------------------------------------------------

-------

10 , xx 21, xx 32 , xx

xS0

xS1

xS2

1110

1110

1110

''''

''

xSxS

xSxS

xSxS

0'' 00 xS

000 yxS

110 yxS

XAÂY DÖÏNG HAØM NOÄI SUY GHEÙP TRÔN BAÄC 3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm haøm baäc 3 treân töøng ñoaïn,

lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm ñeán caáp

2 noäi suy baûng soá lieäu sau:

Haøm

noäi suy:

3,2,

2,1,3

12

1111

30

20000

xxdxcxbaxS

xxdxcxbaxSxS

Daïng thuaän

tieän hôn:

3,2,2

2,1,1

111

000

xxbaxS

xxbaxSxS

x 1 2 3

y 2 3 –4

NOÄI SUY SPLINE (GHEÙP TRÔN) BAÄC 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------

1/ Haøm daïng baäc 3 treân töøng ñoaïn

[xk,xk+1], k = 0 n –1

2/ Ñieàu kieän noäi suy: S(xk) = yk,

k = 0, 1 … n

3/ Gheùp

trôn:

4/ Ñieàu kieän bieân töï nhieân:

S’’(x0) = S’’(xn) = 0

111 kkkk xSxS

111 '' kkkk xSxS

111 "" kkkk xSxS

20 nk

nnnnnnnn xxxxxcxxbaS

xxxxxdxxcxxbaS

xxxxxdxxcxxbaS

S

,,

,,

,,

12

111111

213

112

111111

103

002

000000

GIAÛI THUAÄT NOÄI SUY SPLINE BAÄC 3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------

I/ Ñoä daøi hk = xk+1 – xk, k = 0 … n –1. Heä soá

ak = yk, k = 0 … n

Böôùc

III:

II/ c = [c0, … cn]T laø nghieäm (cn = S’’(xn)/2)

heä Ac = e vôùi

10........................0

)(20

............................................................

0)(20

00)(2

00001

1122

2211

1100

nnnn hhhh

hhhh

hhhh

A

0

)(3)(3

..........................................

)(3)(3

)(3)(3

0

2

21

1

1

1

12

2

23

0

01

1

12

n

nn

n

nn

h

aa

h

aa

h

aa

h

aa

h

aa

h

aa

e

1...0,3

)2( 11

nkcch

h

aab kkk

k

kkk

10,31

nk

h

ccd

k

kkk

VÍ DUÏ NOÄI SUY SPLINE (GHEÙP TRÔN) BAÄC 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Laäp haøm noäi suy spline baäc 3 g(x)

thoaû ñieàu kieän bieân töï nhieân vaø

noäi suy baûng sau

Böôùc I: Ñoä daøi

böôùc chia

.1210 hhh

Moác NS x0 = 1 x1 = 2 x2 = 3 x3 = 4

Giaù trò NS

y0 = 2 y1 = 1 y2 = 3 y3 = 2

S

2,1,111 30

2000 xxdxcxba

3,2,222 31

2111 xxdxcxba

4,3,333 32

2222 xxdxcxba

Haøm

spline

2,3,1,230, 3210 aaaakya kkHeä

soá:

BAÛNG TÍNH NOÄI SUY SPLINE (GHEÙP TRÔN) BAÄC 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Böôùc II: c3 = g”(x3)/2 c = [c0, c1, c2, c3]T

laø nghieäm

k hk ak bk ek ck dk

0 1 2 0 0

1 1 1

2 1 3

3 2 0 0

III/ bk, dk, 0 k

2:

0

010 3h

ccd

3

2 100

0

010

cch

h

aab

BÌNH PHÖÔNG CÖÏC TIEÅU ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Thöïc nghieäm: Thoáng keâ löôïng möa 12

thaùng & veõ ñoà thòThaùng 1 2 3 4 5 6 7 8

Löôïng möa

550

665

540

580

610

605

570 …

PHÖÔNG PHAÙP BÌNH PHÖÔNG CÖÏC TIEÅU (BPCT)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nhieàu döõ lieäu & yk coù sai soá: Aùp ñaët

L(xk) = yk: voâ nghóa!

)(xhy

kk yxh

min)(1

2

n

kkk yxhF

Giaûi quyeát: h(x) xaáp xæ baûng {(xk,

yk)} theo nghóa BPCT

TRÖÔØNG HÔÏP TUYEÁN TÍNH -----------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

h tuyeán tính: h(x) =

ax + b

n

kkk ybaxbaF

1

2,

Ñieåm

döøng:

0

0

bFa

F

n

kk

n

kk

n

kkk

n

kk

n

kk

ynbxa

yxxbxa

11

111

2

Giaûi heä 2 phöông trình 2 aån tìm a, b. So

vôùi ñöôøng cong y = h1(x) Toång S =

(h1(xk) – yk)2: caøng beù caøng toát VD: Tìm haøm baäc 1 xaáp xæ baûng sau

theo nghóa BPCT xk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yk 1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1

12.5

13.

15.6

ÑA THÖÙC BÌNH PHÖÔNG CÖÏC TIEÅU BAÄC CAO

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

h(x) = ax2 +

bx + c

n

kkkk ycbxaxcbaF

1

22,,

Ñieåm

döøng:

0

0

0

cFb

Fa

F

ncbxa

cbxa

cbxa

n

kk

n

kk

n

kk

1

2

1

3

1

4

Toång quaùt: Ñieåm döøng haøm toång

bình phöông ñoä leäch

h = ax2 +

bx

n

kkkk ybxaxbaF

1

22, 0

bF

aF

HAØM MUÕ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------

VD: Xaáp

xæ

baûng

soá vôùi

p/phaùp

bình

phöông

cöïc tieåu

y = h(x) = beax lny = ax + lnb Töông

quan baäc 1 giöõa lnyk & xk. Laäp baûng

{(xk, lnyk)} xaùc ñònh a & lnb.

n

kkk ybaxbaF

1

2lnln,

bnxa

xbxa

n

kk

n

kk

n

kk

ln

ln

1

11

2

k xk yk lnyk xk2 xklnyk

1 1.00 5.10 1.629 1.0000

1.629

2 1.25 5.79 1.756 1.5625

2.195

3 1.50 6.53 1.876 2.2500

2.814

4 1.75 7.45 2.008 3.0625

3.514

5 2.00 8.46 2.135 4.0000

4.270

7.50 9.404 11.875

14.422