Phân lo⁄i và phương pháp gi£i TOÁN 9 · 2015-12-25 · TOÁN H¯C 9 L˝I M— ĐƒU Đ”...

NGUYỄN DUY PHÚC

Phân loại và phương pháp giải

TOÁN 9Tái bản lần 3

(Có chỉnh sửa bổ sung)

HÀ NỘI - 2016

TOÁN HỌC 9

LATEX 2 Ôn thi Toán vào lớp 10

TOÁN HỌC 9

LỜI MỞ ĐẦU

Để giúp các em ôn thi môn toán vào lớp 10 ,tôi biên soạn cuốn "Phân loại và phương pháp

giải toán lớp 9".Trong cuốn sách này được phân thành các chương ,mỗi chương là các loại

toán thường xuất hiện trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 của các tỉnh trong cả nước,cuốn

sách gồm rất nhiều các bài tập từ dễ đến khó giúp các em ôn lại, hệ thống hoá kiến thức của

mình ,và hình thành cho các em một tư duy toán học phục vụ sau này,một số bài có đáp số và

hướng dẫn giải chi tiết để các em tiện đối chiếu kết quả.

Do thời gian thực hiện không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi biên soạn không

tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tôi mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản

biện của quý thầy cô và bạn đọc.Mọi góp ý đóng góp xin gửi theo địa chỉ:

Email: [email protected]

Mobile: 0169.668.9392

Website:nguyenduyphuc.wordpress.com

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2014


Mục lục

Chương 1. Căn thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Tính toán biểu thức số chứa căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Rút gọn phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Chương 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Dạng toán chuyển động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Dạng toán năng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Dạng toán làm chung, làm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4. Dạng toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5. Dạng toán có nội dung hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6. Dạng toán tìm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7. Dạng toán có nội dung vật lí và hóa học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Chương 3. Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1. Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2. Hàm số bậc hai y = ax2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3. Tương giao giữa hai đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4. Tiếp tuyến của parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Chương 4. Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1. Giải phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2. Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3. Hệ thức Viét và các dạng toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


MỤC LỤC TOÁN HỌC 9

4.4. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc

tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6. Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Chương 5. Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1. Bất đẳng thức một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2. Bất đẳng thức hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3. Bất đẳng thức ba biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Chương 6. Giải phương trình nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1. Xét số dư của từng vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2. Đưa về dạng tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3. Dùng bất đẳng thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3.1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3.2. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3.3. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3.4. Sử dụng điều kiện ∆> 0 để phương trình bậc hai có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.4. Dùng tính chia hết , tính đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.4.1. Phương pháp phát hiện tính chia hết của ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4.2. Phương pháp đưa về phương trình ước số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.4.3. Phương pháp tách ra các giá trị nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.5. Lùi vô hạn , nguyên tắc cực hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.6. Xét chữ số tận cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.7. Dùng tính chất của số chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.7.1. Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.7.2. Tạo ra bình phương đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.7.3. Xét các số chính phương liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.7.4. Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính

phương thì mỗi số đều là số chính phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


MỤC LỤC TOÁN HỌC 9

6.7.5. Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thí một

trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.8. Tìm nghiệm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.8.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.8.2. Cách tìm một nghiệm riêng của phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.9. Hạ bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.10.Phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.10.1. Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.10.2. Phương trình bậc 2 hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.10.3. Phương trình bậc cao hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.10.4. Phương trình đa thức nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.11.Các dạng phương trình nghiệm nguyên khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.11.1. Phương trình dạng phân thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.11.2. Phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.11.3. Phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.11.4. Hệ phương trình nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.11.5. Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.12.Phương trình chứa phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.12.1. Dùng định nghĩa để khử dấu phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.12.2. Đặt ẩn phụ để khử dấu phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.12.3. Xét khoảng các giá trị của biến để khử dấu phần nguyên. Với chú ý rằng nếu x ≥ y thì

[x] ≥ [y]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Chương 7. Hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.1. Hình học trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Chương 8. Một số đề thi chính thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8.1. Các đề thi chính thức vào lớp 10 các năm trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218


Chương 1

Căn thức bậc hai

1.1. Tính toán biểu thức số chứa căn

Bài tập 1.1. Thực hiện phép tính

1. (2√

2−√

5 +√

18)(√

50 +√

5) Đáp số: 45

2. (√

28− 2√

14 +√

7).√

7 + 7√

8 Đáp số: 21

3. (2√

12− 5√

15 − 6

√13 −√

20)(√

27 + 3√

5−√

3) Đáp số: -33

4. (√

12 +√

75 +√

27) :√

15 Đáp số: 2√

5

5. (5 + 4√

2)(3 + 2√

1 +√

2)(3− 2√

1 +√

2) Đáp số: -7

6. (7√

48 + 3√

27− 2√

12) :√

3 Đáp số: 33

7. (2 + 4√√

2− 1)(2− 4√√

2− 1) + 8√

2− 10 Đáp số: −8√

2 + 10

8. 12−√

5 +√

7 +√

5 +√

6− 2√

5 Đáp số: 13

9.(

6√

89 − 5

√3225 + 14

√1849

).√

12 Đáp số: 6

10. 21(√

2 +√

3 +√

3−√

5)2− 6(√

2−√

3 +√

3 +√

5)2− 15√

15

Đáp số: 60

11.(√

22− 3√

2)√

10 + 3√

11 Đáp số: 2

12. 5+3√

5√5

+ 3+√

3√3+1−(√

5 + 3)

Đáp số:√

3

13.(

3√

2 +√

6)√

6− 3√

3 Đáp số: 6


1.1. Tính toán biểu thức số chứa căn TOÁN HỌC 9

14.√

4−2√

3√6−√

2Đáp số:

√2

2

15.√

12− 6√

3 +√

21− 12√

3 Đáp số:√

3

16. 5(√

2 +√

3 +√

3−√

5−√

52

)2

+

(√2−√

3 +√

3 +√

5−√

32

)2

Đáp số: 10

17. 4+√

2−√

3−√

6+√

82+√

2−√

3Đáp số: 1 +

√2

18.√

3+√

5+√

78+2√

15+√

21+√

35Đáp số:

√5−√

32

19.(

2−√

3)√

26 + 15√

3−(

2 +√

3)√

26− 15√

3 Đáp số:√

2

20.(√

11 + 2√

30−√

8− 4√

3)(√

5−√

2)

Đáp số: 3

21. 2+√

3√2+√

2+√

3+ 2−

√3√

2−√

2−√

3Đáp số:

√2

22. 3+√

5√2+√

3+√

5+ 3−

√5√

2−√

3−√

5Đáp số: 2

√2

23. 2√

4 +√

6− 2√

5(√

10−√

2)

Đáp số: 8

24. 43+√

5− 8

1+√

5+ 15√

5Đáp số: 5

25.√

3−√

2+√

3+√

2√3+√

7+√

5− 2√

6 Đáp số:√

3

26.

√10 + 2

√17− 4

√9 + 4

√5 Đáp số:

√5 + 1

27.√

7+√

5+√

7−√

5√7+2√

11Đáp số:

√2

28.√

3 +√

5− 2√

3−√

3−√

5− 2√

3 Đáp số:√

3− 1

29.√√

7 + 5− 2√√

7 + 4 + 1 Đáp số: 12

√14 + 1

2

√2

30.(√

14 +√

10)(

6−√

35)√

6 +√

35 Đáp số: 2

31.(√

3 + 1)(√

5− 1)(√

15− 1)(

7− 2√

3 +√

5)

Đáp số: 56

32. 3+4√

3√6+√

2−√

5Đáp số:

√6 +√

5 +√

2

33. (√

3−√

2)2+4√

6√3+√

2.(√

3−√

2)

Đáp số: 1



34.√√

10+√

8√10−√

8−√√

10−√

8√10+√

8Đáp số: 4

35. 3√

5√

2 + 7− 3√

5√

2− 7 Đáp số: 2

36.(

3−√

5)√

3 +√

5 +(

3 +√

5)√

3−√

5 Đáp số: 2√

10

37.√

2 +√

3−√

2−√

3−√

2 Đáp số: 0

38. 11+√

2+ 1√

2+√

3+ 1√

3+√

4+ ... + 1√

99+√

100Đáp số: 9

39.√

7− 2√

10 +√

20 + 12

√8 Đáp số: 3

√5

40. 1√3−√

2+ 1√

3+√

2Đáp số: 2

√3

Bài tập 1.2. Tính giá trị của biểu thức

A=x2 − 3x√

y + 2y tại x = 1√5−2

;y = 19+4√

5Đáp số: 24− 4

√5


B=x3 + 12x− 8 với x = 3√

4(√

5 + 1)− 3√

4(√

5− 1) Đáp số: 0


C=x + y biết(

x +√

x2 + 3)(

y +√

y2 + 3)= 3 Đáp số: C=0

Hướng dẫn(x +√

x2 + 3)(

y +√

y2 + 3)= 3

⇔−3(

y +√

y2 + 3)= 3

(x−√

x2 + 3)

⇔−y−√

y2 + 3 = x−√

x2 + 3

⇔√

x2 + 3−√

y2 + 3 = x + y

⇒ x2 + y2 + 6− 2√(x2 + 3) (y2 + 3) = (x + y)2

⇒ C2 − 2xy + 6− 2√

x2y2 + 3 (x2 + y2) + 9 = C2

⇒√

x2y2 + 3 (C2 − 2xy) + 9 = 3− xy

t = xy; t ≤ 3

⇒√

t2 − 6t + 3C2 + 9 = 3− t

⇒ t2 − 6t + 3C2 + 9 = 9− 6t + t2

⇒ C2 = 0→ C = 0


D=x√

1 + y2 + y√

1 + x2 biết xy +√(1 + x2) (1 + y2) = a

Hướng dẫn



D2 = x2 (1 + y2)+ y2 (1 + x2)+ 2xy√(1 + x2) (1 + y2)

D2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy√(1 + x2) (1 + y2)

D2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy(a− xy)

D2 = x2 + y2 + 2axy (1)

Từ điều kiện: xy +√(1 + x2) (1 + y2) = a

⇒√(1 + x2) (1 + y2) = a− xy; xy ≤ a

1 + x2 + y2 + x2y2 = a2 − 2axy + x2y2

x2 + y2 + 2axy + 1− a2 = 0

x2 + y2 + 2axy = a2 − 1 (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

D2 = a2 − 1⇒ D = ±√

a2 − 1 với |a| ≥ 1


E=√

16− 2x + x2 +√

9− 2x + x2 biết√

16− 2x + x2 −√

9− 2x + x2 = 1

Đáp số: 7

Bài tập 1.7. Cho biểu thức B =√

1 + 20142

20152 + 20142 + 20142015

Chứng minh rằng B∈Z

Hướng dẫn

Đặt x = 2014; thì B =

√1 + x2

(x+1)2 + x2 + xx+1

B =√(

x− xx+1

)2+ 2x2

x+1 + 1 + xx+1

B =

√x4

(x+1)2 +2x2

x+1 + 1 + xx+1

B =

√(x2

x+1 + 1)2

+ xx+1

B =(

x2

x+1 + 1)+ x

x+1

B = x + 1 mà x ∈Z nên B∈Z

Bài tập 1.8. Cho a,b,c ∈ Q thỏa mãn ab + bc + ca = 1

Chứng minh:√(a2 + 1) (b2 + 1) (c2 + 1) là một số hữu tỉ

Hướng dẫn

Ta có 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c); tương tự cũng có

1 + b2 = (b + c)(b + a)

1 + c2 = (c + a)(c + b)

Do đó√(a2 + 1) (b2 + 1) (c2 + 1)

=√(a + b)2(b + c)2(c + a)2 = |(a + b) (b + c) (c + a)| là số hữu tỉ


1.2. Rút gọn phân thức TOÁN HỌC 9

1.2. Rút gọn phân thức

Bài tập 1.9. (2014)

1.Tính giá trị của biểu thức A =√

x+1√x−1 khi x = 9

2.Cho biểu thức P =(

x−2x+2√

x + 1√x+2

).√

x+1√x−1 với x > 0 và x 6= 1

(a) Chứng minh rằng P =√

x+1√x

(b) Tìm giá trị của x để 2P = 2√

x + 5

Đáp số: (1) A=2 (2.b) x = 14

Bài tập 1.10. Cho A =√

x+2√x−1 và B =

√x−1√

x + 1√x−x

a.Tính giá trị của A biết x = 6− 4√

2

b.Rút gọn B.

c.Tìm x nguyên để giá trị biểu thức AB là số nguyên dương.

Đáp số: (a) A = −2− 3√

2 (b) B=√

x−2√x−1 (c) x=9;16;36


x−1√x+1 và B =

√x+1√

x −3√

x+22√

x−xa.Tính giá trị của A biết x = 2

2+√

3b.Rút gọn B

c.Tìm x để AB = 1

10

Đáp số: (a)A=3−2√

33 (b) B =

√x+2√x−2 (c) x = 9 hoặc x = 4

9


x+2√x−2 và B =

√x−2√

x + 3√

x+2x+√

xa.Tính giá trị của A biết x = 8

b.Rút gọn B

c.Tìm x để AB ≤

12

Đáp số: (a) A=3 + 2√

2 (b) B =√

x+2√x+1 (c) 0 < x < 4

Bài tập 1.13. Cho A=2+√

x√x và B=

√x−1√

x + 2√

x+1x+√

xa.Tính giá trị của A khi x = 64

b.Rút gọn B

c.Tìm x để AB > 3

2

Đáp số: (a) A=54 (b) B =

√x+2√x+1 (c) 0 < x < 4

Bài tập 1.14. Cho A=√

x+4√x+2 và B=(

√x√

x+4 +4√x−4) : x+16√

x+2a.Tính giá trị của A biết x = 36

b.Rút gọn B

c.Tìm x nguyên để giá trị của biểu thức B(A− 1) là số nguyên

Đáp số: (a) A=54 (b) B =

√x+2

x−16 (c) x=14;15;17;18



Bài tập 1.15. A=√

x+2√x+3 −

5x+√

x−6 +1

2−√

xa.Rút gọn A

b.Tính giá trị của A biết x = 22+√

3

Đáp số: (a) A=√

x−4√x−2 (b) A=6+

√3

3

Bài tập 1.16. Cho P =( √

a+1√ab+1

+√

ab+√

a√ab−1

− 1)

:( √

a+1√ab+1−√

ab+√

a√ab−1

+ 1)

a.Rút gọn P

b.Tính giá trị của P biết a = 2−√

3 và b =√

3−11+√

3

c.Tìm min P biết√

a +√

b = 4

Đáp số: a)P=−√

ab b)P=−2 +√

3 c) minP = 2 khi a = b = 4

Bài tập 1.17. Cho P = 2√

a+3√

b√ab+2

√a−3√

b−6− 6−

√ab√

ab+2√

a+3√

b+6a.Rút gọn P

b.Cho P= b+10b−10 (b 6= 10).Chứng minh a

b =9

10

Đáp số: a)P= a+9a−9

Bài tập 1.18. Cho P = (1 +√

aa+1) : ( 1√

a−1 −2√

aa√

a+√

a−a−1)

a.Rút gọn P

b.Tìm a để P>1

c.Tính giá trị của P biết a = 19− 8√

3

Đáp số: a) P = a+√

a+1√a−1 b) a>1 c) P=15−

√3

2

Bài tập 1.19. Cho P = (√

x√x+2 +

8√

x+8x+2√

x −√

x+2√x ) : ( x+

√x+3

x+2√

x + 1√x )

a.Rút gọn P

b.Chứng minh P≤1

c.Tìm x thoả mãn (√

x + 1)P = 1

Đáp số: (a) P = 4(√

x+1)x+2√

x+5 (b) x > 0 (c) x = 7−4√

33

Bài tập 1.20. Cho A =(

2+√

x2−√

x −2−√

x2+√

x −4x

x−4

):√

x−32√

x−xa.Rút gọn A

b.Tính giá trị của A biết∣∣√x− 5

∣∣ = 2

Đáp số: (a) A= 4x√x−3 (b) A=49

Bài tập 1.21. Cho P =(

2+√

x2−√

x +√

x2+√

x −4x+2

√x−4

x−4

):(

22−√

x −√

x+32√

x−x

)a.Rút gọn P

b.Tìm x để P > 0

c.Tìm x để P = −1

Đáp số: (a) P= 4x√x−3 (b) x > 9 (c) x = 9

16




2√

xx√

x−x+√

x−1 −1√x−1

):(

1 +√

xx+1

)a.Rút gọn P

b.Tìm x để P<0

Đáp số: (a) P = 1−√

xx+√

x+1 (b)x > 1


1−√

x√x+1

):(√

x+3√x−2 +

√x+2

3−√

x +√

x+2x−5√

x+6

)a.Rút gọn P

b.Tìm x để P<0

c.Tìm các giá trị của m để có giá trị của x thoả mãn P(√

x + 1) = m(x + 1)− 2

Đáp số: (a)P =√

x−2√x+1 (b)0≤ x < 4 (c) m≥ 0

Bài tập 1.24. Cho P = 1√x−1−

√x+ 1√

x−1+√

x+√

x3−x√x−1

a.Rút gọn P

b.Tìm x để P>0

c.Tính giá trị của P biết x = 539−2√

7Đáp số: (a) P = x− 2

√x− 1 (b)1 < x < 2 hoặc x > 2 (c) P=7

Bài tập 1.25. Cho P =(√

x+1√x−1 +

√x√

x+1 +√

x1−x

):(√

x+1√x−1 +

1−√

x√x+1

)a.Rút gọn P

b.Tính giá trị của P biết x = 2−√

32

c.So sánh P với 12

Đáp số: (a) P = 2x+14√

x (b) P =√

32 (c) P > 1

2


x−9x−5√

x+6 −√

x+3√x−2 −

2√

x+13−√

xa.Rút gọn P

b.Tìm giá trị của x để P<1

c.Tìm x nguyên để P∈Z


x+1√x−3 (b) 0≤ x < 9 và x 6= 4 (c) x=1;16;25;49


x+13x+5√

x+6 +√

x−2√x+2 −

2√

x−1√x+3

a.Rút gọn P

b.Tìm giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.


x+1√x−3 (b) x = 1;4;16;36;49

Bài tập 1.28. Cho P = a√

a−1a−√

a −a√

a+1a+√

a +(√

a− 1√a

).(

3√

a√a−1 −

2+√

a√a+1

)a.Rút gọn P

b.Với giá trị nào của a thì P=√

a + 7

c.Chứng minh với mọi a > 0, a 6= 1 thì P>6

Đáp số: (a) P =2(√

a+1)2

√a (b) a=4




x+1√x−1 −

√x−1√x+1

):(

1√x+1 −

√x

1−√

x + 2x−1

)a.Rút gọn P

b.Tính giá trị của P biết x =

√7−4√

32

c.Tìm x để P=12

Đáp số: (a) P = 4√

x

(√

x+1)2 (b)P=−20 + 12

√3 (c) x = 17± 12

√2


2a+1√a3−1−

√a

a+√

a+1

):(

1+√

a3

1+√

a −√

a)

a.Rút gọn P

b.Xét dấu của biểu thức Q = P.√

1− a

Đáp số: (a) P = 1(a−1)3 (b)Q<0

Bài tập 1.31. Cho P =√

x(1−x)2

1+√

x :[(

1−x√

x1−√

x +√

x)(

1+x√

x1+√

x −√

x)]

a.Rút gọn P

b.Xác định các giá trị của x để (x + 1)P = x− 1

Đáp số: (a) P =√

x1+√

x (b)x = 3 + 2√

2


x−3√

xx−9 − 1

):(

9−xx+√

x−6 −√

x−32−√

x −√

x−2√x+3

)a.Rút gọn P

b.Tìm x để P ≤ −12

Đáp số: (a) P = 3√x−2 (b) 0≤ x < 4


2√

x√x+3 +

√x√

x−3 −3x+3x−9

):(

2√

x−2√x−3 − 1

)a.Rút gọn P

b.Tìm x để P<12

c.Tìm min P

Đáp số: (a) P = −3√x+3 (b)x ≥ 0 (c) minP=-1 khi x=0

Bài tập 1.34. Cho P = 1 :(

x+2x√

x−1 +√

x+1x+√

x+1 −1√x−1

)a.Rút gọn P

b.Tính giá trị của P biết x = 5− 2√

6

c.So sánh P với 3


xx+√

x+1 (b) P = 2√

3−111 (c) P<3

Bài tập 1.35. Cho P = 3x+√

9x−3x+√

x−2 −√

x+1√x+2 +

√x−2√

x

(1

1−√

x − 1)

a.Rút gọn P

b.Tìm x để P∈Z


x+1√x−1 (b) x=0;4;9



Bài tập 1.36. Cho P = x√

x+26√

x−19x+2√

x−3 − 2√

x√x−1 +

√x−3√x+3

a.Rút gọn P

b.Tính giá trị của P tại x = 7− 4√

3

c.Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Đáp số: (a) P = x+16√x+3 (b) P = 103+3

√3

22

(c) Đặt t =√

x + 3→ minP = 4 khi x = 4


x−13√

x−1 −1

3√

x+1 +8√

x9x−1

):(

1− 3√

x−23√

x+1

)a.Rút gọn P

b.Tìm x để P=65


x(√

x+1)3√

x−1 (b) x= 925 ;4


4√

x2+√

x + 8x4−x

):( √

x−1x−2√

x −2√x

)a.Rút gọn P

b.Tìm x để P=-1

c.Tìm m để với mọi giá trị của x > 9 ta có :m(√

x− 3)P = x + 1

Đáp số: (a) P = 4x√x−3 (b)x = 9

16 (c) 14 < m < 5

18

Bài tập 1.39. Cho A=(

2√

x2x−5

√x+3 −

52√

x−3

):(

3 + 21−√

x

)a.Rút gọn A

b.Tìm x để A= 16−x

c.Tìm x để A > 0

Đáp số: (a) A= 13−2√

x (b) x = 9 (c) 0≤ x < 94


x√x+2 −

x√

x−8x√

x+8 . x−2√

x+4x−4

): 4√

x+2a.Rút gọn P

b.Tìm x để P = −25

c.Tìm x để P < −13

Đáp số: (a) P = − 1√x+2 (b) x = 1

4 (c) 0≤ x < 1

Bài tập 1.41. Cho P = 3a+√

9a−3a+√

a−2 −√

a−2√a−1 +

1√a+2 − 1

a.Rút gọn P

b.Tìm a để |P| = 1

c.Tìm các giá trị của a ∈N sao cho P∈N


a+1√a−1 (b) a=0 (c) a = 4;9


x−2x−1 −

√x+2

x+2√

x+1

): 2

1−2x+x2

a.Rút gọn P

b.Tìm x để P > 0

Đáp số: (a)P = − (√

x−1)√

x

(√

x+1)2 (b) 0<x<1




a√a+3 −

a√

a−27a√

a+27 . a−3√

a+9a−9

): 9√

a+3a.Rút gọn P

b.Tìm a để P < −14

c.Tìm a để P = −27

Đáp số: (a) P = −1√x+3 (b) 0≤ a < 1 (c) a = 1

4

Bài tập 1.44. Cho P = x√

x−1x−√

x −x√

x+1x+√

x + x+1√x

a.Rút gọn P

b.Tìm x để P=92

c.Tìm x ∈Z để P∈Z

d.Tính giá trị của P biết x = 2−√

32

e.So sánh P với 4

Đáp số: (a)P =(√

x+1)2

√x (b) x=1

4 hoặc x = 4 (c) x=1

(d) P=5+3√

32 (e)P>4


x−1√x+1 −

√x+1√x−1

).(

12√

x −√

x2

)2

a.Rút gọn P

b.Tính giá trị của P tại x = 3− 2√

2

c.Tìm x để P>0

d.Tìm x để P=3√

x + 12

Đáp số: (a)P = 1−x√x (b)P=2 (c) 0 < x < 1 (d) x = 19−6

√10

4


2x+1√x3−1− 1√

x−1

):(

1− x+4x+√

x+1

)(a) Rút gọn P

(b) Tìm giá trị của x để P nguyên dương

Đáp số: (a) P=√

x√x−3 (b) x=16;36


x√x−1 −

1x−√

x

):(

1√x+1 +

2x−1

)(a) Rút gọn P

(b) Tìm x để P > 0

(c) Tìm các giá trị của m để có các giá trị của x thỏa mãn P√

x = m−√

x

Đáp số: (a) P= x−1√x (b) x>1 (c) m > −1


x− x+2√x+1

):( √

x√x+1 −

√x−4

1−x

)a.Rút gọn P

b.Tìm x để P<0

c.Tìm giá trị nhỏ nhất của P


x−1√x+2 (b) 0≤ x < 1 (c) minP=−1

2 khi x=0




x− 1√x

):(√

x−1√x + 1−

√x

x+√

x

)a.Rút gọn P

b.Tính P biết x = 22+√

3c.Tìm GTNN của x thoả mãn P

√x = 6

√x− 3−

√x− 4


x+1)2

√x (b) P=3

√3+32 (c) x = 4


1√x−2 +

5√

x−42√

x−x

):(

2+√

x√x −

√x√

x−2

)a.Rút gọn P

b.Tính giá trị P biết x = 3−√

52

c.Tìm m để có x thoả mãn P=mx√

x− 2mx + 1


x− 1 (b) P =√

5−32 (c) m > 0

Bài tập 1.51. Cho P =

[a+3√

a+2(√

a+2)(√

a−1)− a+

√a

a−1

]:(

1√a+1 +

1√a−1

)a.Rút gọn P

b.Tìm a để 1P −

√a+18 ≥ 1


a+12√

a (b) a=9


x√x−1 +

3√x+1 −

6√

x−4x−1

a.Rút gọn P

b.Tìm x để P <12


x−1√x+1 (b) 0≤ x < 9 và x 6= 1

Bài tập 1.53. Cho biểu thức A =√

x√x−5 −

10√

xx−25 −

5√x+5

(a) Rút gọn A

(b) Tính giá trị của A biết x = 9

(c) Tìm x để A < 13

Đáp số: (a) A =√

x−5√x+5 (b) A = −1

4 (c) 0≤ x < 100

Bài tập 1.54. Cho biểu thức A = xx−4 +

1√x−2 +

1√x+2

(a) Rút gọn A

(b) Tính giá trị của A biết x = 25

(c) Tìm x để A = −13

Đáp số: (a) A =√

x√x−2 (b) A = 5

3 (c) x = 14

Bài tập 1.55. Cho biểu thức A =√

x√x+3 +

2√

x√x−3 −

3x+9x−9

(a) Rút gọn A

(b) Tìm giá trị của x để A = 13

(c) Tìm giá trị lớn nhất của A

Đáp số: (a) A = 3√x+3 (b) x = 36 (c) maxA = 1 khi x = 0



Bài tập 1.56. Cho P = 2√x−1 +

2(√

x+1)x+√

x+1 + x−10√

x+3√x3−1

a.Rút gọn P

b.Tìm x để P=1

c.Tìm max P

Đáp số: (a) P = 5√

x−3x+√

x+1 (b) x = 4 (c) maxP = 1 khi x = 4

Bài tập 1.57. ChoP = x2−√

xx+√

x+1 −2x+√

x√x + 2(x−1)√

x−1a.Rút gọn P

b.Tìm min P

c.Tìm x để Q = 2√

xP nhận giá trị nguyên.

Đáp số: (a) P = x−√

x + 1 (b) minP=34 khi x=1

4 (c) x = 7±3√

52


x√x−2 −

3√

x+1√x+2 −

3√

x+2x−4 + 1

a.Rút gọn P

b.Tìm x để P ≥ 12

c.Tìm x nguyên để P nguyên dương

d.Tìm giá trị lớn nhất của P

Đáp số: (a)P = −√

x−2√x+2 (b)

0≤ x ≤ 4

9

(c) x=1 (d) maxP=1 khi x=0


6x+43√

3x3−8−

√3x

3x+2√

3x+4

)(1+3√

3x3

1+√

3x−√

3x)

(a) Rút gọn P

(b) Xác định x nguyên sao cho P nguyên.

Đặt a=√

3x thì

P =(

2(a2+2)a3−8 −

aa2+2 a+4

)(a3+11+a − a

)= · · · = (a−1)2

a−2


3x−1)2

√3x−2

(b) x = 3


a3−√

b3

a−b − a√a+√

b− b√

b−√

a(a) Rút gọn P

(b) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 8− 2√

15;b = 8 + 2√

15


ab√a−√

b(b) P=−

√3

3

Bài tập 1.61. Cho các số thực dương a,b với a 6=b. Chứng minh rằng

(a−b)3

(√

a−√

b)3 − b

√b + 2a

√a

a√

a− b√

b+

3a + 3√

abb− a

= 0

Bài tập 1.62. Cho biểu thức:

A =

[(1√x+

1√

y

)2√

x +√

y+

1√x+

1√

y

]:

√x3 + y

√x + x

√y +

√y3√

xy3 +√

x3y



(a) Rút gọn A

(b) Tìm x,y biết xy = 136 ; A=17

5

Đáp số: (a) A=√

x+√

y+2√x+√

y (b) (x;y) =(

14 ; 1

9

),(

19 ; 1

4

)Bài tập 1.63. Cho Q = 2√

x −(

xx+√

xy −x−y√

xy −y√

xy+y

).√

x+√

yx+√

xy+y

(a) Rút gọn Q

(b) Tính giá trị của Q biết x = 5− 2√

6;y = 5 + 2√

6

Đáp số: (a) Q =√

x+√

y√xy (b) Q = 2

√3

Bài tập 1.64. Cho B=(

x−y√x−√y +

√x3−√

y3

y−x

): (√

x−√y)2+√

xy√x+√

y

(a) Rút gọn B

(b) Chứng minh rằng B≥ 0

(c) So sánh B với√

B

Đáp số: (a)B =√

xyx−√xy+y (b) B =

√xy(√

x−√

y2

)2+

3y4

≥ 0

(c) Ta cóx−√xy + y = (x + y)−√xy ≥ 2

√xy−√xy =

√xy ≥ 0,∀x,y ≥ 0, x 6= y

⇒ 0≤√

xyx+y−√xy ≤ 1

⇒ 0≤ B ≤ 1

⇒ B ≤√

B

Bài tập 1.65. Cho A=( √

a√ab−1−

√a√

ab+1+√

a(b−2)ab−1

):√

b1−ab

(a) Rút gọn A

(b) Cho√

a +√

b = 6. Tìm giá trị của a và b để A đạt GTNN.

Đáp số: (a)A = −√

ab (b) minP=-3 khi a=b=9

Bài tập 1.66. Cho M =(

3√1+a

+√

1− a)

:(

3√1−a2 + 1

)(a) Rút gọn M

(b) Tính giá trị của M nếu a =√

32+√

3(c) Tìm a để

√M > M

Đáp số: (a) M=√

1− a (b) M=√

3− 1 (c) 0<a<1

Bài tập 1.67. Cho P = a√a2−b2 −

(1 + a√

a2−b2

): b

a−√

a2−b2

(a) Rút gọn P

(b) Tính giá trị của P biết ab =

32

(c) Tìm điều kiện của a,b để P<1

Đáp số: (a) P= a−b√a2−b2 (b) P = 1√

5khi a > b > 0,P =−1√

5khi a < b < 0

(c) ab>0




x√x+m +

√x√

x−m −m2

4x−4m2

(a) Rút gọn P

(b) Tính x theo m để P=0

(c) Xác định giá trị của m để x tìm được ở câu (b) thỏa mãn điều kiện x>1

Đáp số: (a) P= m2+4m√

x−12x4(m2−x) (b) x =

m2

36 ; m2

4

(c) |m| > 6

Bài tập 1.69. Cho P = 1 +(

2a+√

a−11−a − 2a

√a−√

a+a1−a√

a

). a−√

a2√

a−1(a) Rút gọn P

(b) Tìm a khi P=√

61+√

6(c) Chứng minh P>2

3

Đáp số: (a) P = a+1a+√

a+1 (b)x = 4±√

122


a−√

b)2+4√

ab√

a+√

b. a√

b−b√

a√ab

(a) Rút gọn P

(b) Tính P biết a = 2√

3;b =√

3√3−1

Đáp số: (a) P=a− b (b) P=3√

3−32


3√

aa+√

ab+b− 3a

a√

a−b√

b+ 1√

a−√

b

):(a−1)(

√a−√

b)2a+2

√ab+2b

(a) Rút gọn P

(b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.

Đáp số: (a) P= 2a−1


1√a+√

b+ 3

√ab

a√

a+b√

b

).[(

1√a−√

b− 3

√ab

a√

a−b√

b

): a−b

a+√

ab+b

](a) Rút gọn P

(b) Tính P khi a = 16;b = 4

Đáp số: (a) P= (√

a+√

b)2

a−√

a√

b+b(b) P=3

Bài tập 1.73. Chứng minh các đẳng thức sau:

1.( √

x√x+2√

y −√

x+2√

y2√

y

)( √x√

x−2√

y − 1 + 8√

y3

8√

y3−√

x3

)=

√x

2√

y−√

x

2.(

99√

x+15x−5 + 1

5+5√

x + 201−√

x

): 4√

x3y−√xy= −5

√xy

3.√

y−√

x√xy :

(y

(√

x−√y)2(√

x+√

y)− 2x

√y

x2−2xy+y2 +x

(y−x)(√

x+√

y)

)=

(√

x−√y)2

√xy

4.√

x+√

y2(√

x−√y)−

√x−√y

2(√

x+√

y)− y+x

y−x =√

x+√

y√x−√y với x ≥ 0;y ≥ 0; x 6= y

5. 2√ab

:(

1√a −

1√b

)2− a+b

(√

a−√

b)2 = −1 với a > 0;b > 0; a 6= b



Bài tập 1.74. Cho biểu thức P = 1√x+1−2

− 1x−3√

x+1+3(a) Rút gọn P

(b)Tìm x để P=1


x+1−2x+3−3

√x+1

(b) x = ∅

Bài tập 1.75. Cho A = 1x+√

x + 2√

xx−1 −

1x−√

x(a) Rút gọn A

(b) Tìm x để A=√

x− 5− 43

(c) Tìm x để biểu thức P= A√4−x

là số nguyên

Đáp số: (a)A = 2√x (b) x = 9 (c) x =

2;2±

√3

Bài tập 1.76. Cho A = 2−√

x1+√

x ;B =√

x+3x−1 +

√x+1

1−√

x(a) Tính giá trị của A biết x = 9

4

(b) Rút gọn B

(c) Tìm x để biểu thức AB là số tự nhiên.

Đáp số: (a)A = 15 (b) B =

−(√

x+2)√x+1 (c) x = 4


x−2√x+2 ; B = 3

√x−2√

x−2 + 8√

x4−x

(a) Tính giá trị của A biết x = 925

(b) Rút gọn B

(c) Tìm x để biểu thức BA ≤

32 .

Đáp số: (a)A = −14 (b) B = 3

√x+2√

x+2 (c)0≤ x < 4

Bài tập 1.78. Rút gọn biểu thức:P =√

1 + 1a2 +

1(a+1)2 với a > 0

Đáp số: P = a2+a+1a(a+1)


Chương 2

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

2.1. Dạng toán chuyển động

Quãng đường =Vận tốc . Thời gian

Bài tập 2.1. Một người đi xe đạp dự định đi từ A đến B dài 60km trong một thời gian nhất

định.Sau khi đi được một nửa quãng đường AB,người đó nhận thấy vận tốc thực tế chỉ bằng23 vận tốc dự định,nên trên quãng đường còn lại người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h so với

vận tốc dự định.Tuy vậy người đó vẫn đến B chậm mất 40 phút so với dự kiến.Tính vận tốc

dự định của người đi xe đạp ,biết vận tốc người đó không nhỏ hơn 10 km/h.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc dự định :x km/h,x>10

Thời gian dự định đi quãng đường AB là 60x h

Vận tốc thực tế trên nửa quãng đường đầu là 23 .x km/h

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là 30:23 x h

Vận tốc thực tế trên nửa quãng đường sau là x+3 km/h

Thời gian đi nửa quãng đường sau là 30:(x+3) h

Ta có phương trình: 45x + 30

x+3 = 60x + 2

3 ⇔[

x = 92 (loại)

x = 15 thoả mãn

Bài tập 2.2. Lúc 6 giờ 30 phút một người đi xe máy từ A đến B dài 75 km với vận tốc dự

định.Đến B người đó nghỉ lại 20 phút rồi quay về A với vận tốc lớn hơn dự định là 5

km/h.Người đó về đến A lúc 12 giờ 20 phút .Tính vận tốc dự định của người đó.

Hướng dẫn


2.1. Dạng toán chuyển động TOÁN HỌC 9

Gọi vận tốc dự định : x km/h,x>0

Thời gian xe máy đi từ A đến B: 75x h

Thời gian xe máy đi từ B đến A : 75x+5 h

Ta có phương trình:75x + 75

x+5 +13 = 35

6 ⇔[

x = 25

x = −3011 (loại)

Bài tập 2.3. Hai ôtô khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 300 km .Ôtô thứ nhất mỗi

giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai là 1 giờ.Tính vận tốc

mỗi xe ?

Hướng dẫn

Gọi vận tốc ô tô thứ 2 là x km/h,x>0

Vận tốc ô tô thứ nhất : x+10 km/h

Thời gian ô tô thứ nhất đi : 300x+10h

Thời gian ô tô thứ 2 đi : 300x h

Ta được phương trình:300x −

300x+10 = 1⇔

[x = −60 (loại)

x = 50

Bài tập 2.4. Một người đi xe đạp từ A đến B dài 78 km.Sau 1h ,người thứ 2 đi từ B đến A

.Hai người gặp nhau tại C cách B 36 km.Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến

lúc gặp nhau,biết vận tốc người thứ 2 lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4 km/h

Hướng dẫn

Gọi thời gian người thứ 1 đi từ A đến chỗ gặp nhau: x ,x>0

Thời gian người thứ 2 đi từ B đến chỗ gặp nhau là x-1

Vận tốc người thứ 1 và thứ 2 lần lượt là:78−36x ; 36

x−1

Ta có phương trình: 36x−1 −

78−36x = 4⇔

[x = −7

2 (loại)

x = 3

Bài tập 2.5. Một ô tô từ Hà Nội đến Hải Phòng dài 100km.Lúc về vận tốc ô tô đó tăng thêm

10km/h,do đó thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút .Tính vận tốc của ô tô lúc đi ?

Hướng dẫn

Gọi vận tốc của ô tô lúc đi là x (km/h)

Thời gian đi: 100x (h)

Vận tốc lúc về: x+10 (km/h)

Thời gian về : 100x+10 (h)

Ta có phương trình:100x −

100x+10 = 1

2 ⇔[

x = −50 (loại)

x = 40



Bài tập 2.6. Một ô tô đi quãng đường AB dài 150km với thời gian đã định.Sau khi đi 12 quãng

đường ,ô tô dừng lại 10 phút ,do đó để đến B đúng hẹn ,xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h

trên quãng đường còn lại .Tính vận tốc dự định cỉa ô tô ?

Hướng dẫn

Gọi vận tôc dự định của ô tô là x km/h

Thời gian dự định :150x (h)

Thời gian đi 12 quãng đường đầu là 75

x (h)

Thời gian đi 12 quãng đường sau: 75

x+5 (h)

Vì ô tô đến đúng hẹn nên ta có phương trình : 150x = 75

x + 75x+5 +

16

⇔[

x = −50 (loại)

x = 45

Bài tập 2.7. Một nhóm bạn đi du khảo bằng xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km.Khi trở về

thì bị gió ngược nên tốc độ trung bình của nhóm bạn giảm đi 4km/h và thời gian di chuyển

về A lâu hơn thời gian di chuyển từ A đến B là 1h.Tính tốc độ trung bình ở lượt đi của nhóm

bạn nói trên?

Hướng dẫn

Gọi vận tốc trung bình lượt đi là x km/h

Thời gian đi từ A đến B: 24x h

Vận tốc đi từ B về A là x-4 km/h

Thời gian đi từ B về A : 24x−4h

Ta có phương trình: 24x−4 = 24

x + 1⇔[

x = −8 (loại)

x = 12

Bài tập 2.8. Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định .Khi còn cách B

30km nhận thấy nếu không tăng vận tốc thì sẽ đến B chậm nửa giờ,do đó người đó đã tăng

vận tốc thêm 5km/h nên tới B sớm hơn dự định nửa giờ .Tính vận tốc ban đầu của người đi

xe đạp?

Hướng dẫn

Gọi vận tốc ban đầu của người đi xe đạp là x km/h

Thời gian dự định đi 30km lúc đầu là 30x (h)

Khi tăng vận tốc thì thời gian đi 30 km lúc sau là 30x+5 (h)

Vì nếu không tăng vận tốc thì đến muộn nửa giờ ,còn nếu tăng vận tốc thì lại đến sớm nửa

giờ nên ta có phương trình :30x −

12 = 30

x+5 +12

x=10 km/h



Bài tập 2.9. Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 60km và quay trở lại A,cả

đi và về hết 12 giờ 30 phút .Biết vận tốc nước là 2km/h.Tính vận tốc thực của ca nô?

Hướng dẫn

Gọi vận tốc thực của ca nô là x km/h,x>2

Vận tốc ca nô lúc đi là x+2 (km/h),lúc về là x-2 (km/h)

Thời gian ca nô đi là 60x+2 (h)

Thời gian ca nô về là 60x−2 (h)

Ta có phương trình: 60x+2 +

60x−2 = 12,5⇔

[x = 10

x = −25 (loại)

Bài tập 2.10. Hai bến sông A và B cách nhau 40km.Cùng một lúc một chiếc ca nô xuôi từ A

đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3km/h.Sau khi đến B,ca nô quay về

A và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách A là 8km.Tính vận tốc thực của ca nô.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h),x>3

Vận tốc xuôi dòng:x+3 (km/h)

Vận tốc ngược dòng: x-3 (km/h)

Thời gian ca nô đi từ A đến B là : 40x+3 (h)

Thời gian ca nô đi từ B đến khi gặp bè :40−8x−3 (h)

Thời gian chiếc bè trôi từ A đến khi gặp ca nô là :83 (h)


32x−3 = 8

3

x=27 km/h

Bài tập 2.11. Quãng đường sông từ bến A đến bến B dài 48 km.Một ca nô xuôi dòng từ A

đến B rồi ngược dòng từ B về. Thời gian lúc về lâu hơn thời gian lúc đi là 30 phút ,biết vận

tốc thực của ca nô là 28km/h.Tính vận tốc dòng nước.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc dòng nước là x (km/h),0<x<28

Vận tốc xuôi: 28+x km/h

Vận tốc ngược:28-x km/h

Thời gian xuôi: 4828+x h

Thời gian ngược: 4828−x h

Ta có : 4828−x −

4828+x = 1

2

x=4 km/h



Bài tập 2.12. Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km,rồi ngược về 36 km.Biết thời gian xuôi

dòng nhiều hơn thời ngược dòng là 2h và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng

là 6km/h.Tính vận tốc ca nô lúc xuôi và ngược dòng.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc lúc ngược dòng là x (km/h)

Vận tốc lúc xuôi dòng là x+6 (km/h)

Thời gian xuôi: 90x+6

Thời gian ngược:36x

Ta có phương trình: 90x+6 − 2 = 36

x

x=9 hoặc x=12

Bài tập 2.13. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định.Sau

khi đi được 13 quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường còn

lại,vì vậy người đó đến B sớm hơn dự định là 24 phút.Tìm vận tốc dự định và thời gian xe

lăn bánh trên đường.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc dự định là x (km/h)

Ta có phương trình:40x + 80

x+10 +2460 = 120

x

x=40 hoặc x=-50 (loại)

Bài tập 2.14. Một người dự định đi xe đạp từ A đến B dài 45 km.Khi đi được 13 quãng đường

thì xe bị hỏng nên người đó chờ ô tô hết 20 phút và đi tiếp bằng ô tô trên quãng đường còn

lại, vì vậy người đó đến B sớm hơn dự định là 1h20 phút. Tính vận tốc dự định của người đi

xe đạp biết vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe đạp 24km/h.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc dự định của người đi xe đạp là x (km/h),x>0

Ta có phương trình:45x − (15

x + 30x+24 +

13) =

43

x=-36 (loại) hoặc x=12

Bài tập 2.15. Hai địa điểm A và B cách nhau 200 km.Một ô tô đi từ A đến B, một xe máy đi

từ B về A cùng xuất phát một lúc và gặp nhau tại C cách A 120km. Nếu ô tô đi chậm 1h thì

gặp xe máy tại D cách C là 24 km.Tìm vận tốc mỗi xe

Hướng dẫn



Gọi vận tốc ô tô là x (km/h),x>0

Gọi vận tốc xe máy là y (km/h),y>0

Ta có hệ:

120

x = 80y

96x + 1 = 104

yx=60 và y=40

Bài tập 2.16. Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8h,xuôi dòng 125 km và ngược dòng

60 km.Một lần khác ca nô cũng chạy trên sông đó trong 6h , xuôi dòng 50 km và ngược dòng

80 km. Tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết rằng vận tốc dòng nước và

vận tốc của ca nô không đổi .

Hướng dẫn

Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h)

Gọi vận tốc dòng nước là y (km/h),x>y>0

Ta có hệ:

125x+y +

60x−y = 8

50x+y +

80x−y = 6

x=22,5km/h và y= 2,5km/h

Vận tốc xuôi dòng:22,5+2,5=25km/h

Vận tốc ngược dòng:22,5-2,5=20km/h

Bài tập 2.17. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 84 km đi ngược chiều

nhau.Sau 1h45phút thì chúng gặp nhau .Tìm vận tốc riêng của mỗi ca nô ,biết vận tốc riêng

của ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc riêng của ca nô đi ngược là 6km/h và vận tốc dòng nước

là 2km/h.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc riêng của ca nô đi ngược dòng là x (km/h),x>2

Vận tốc riêng của ca nô đi xuôi dòng là: x+6 (km/h)

Vận tốc ca nô xuôi dòng: x+6+2=x+8 (km/h)

Vận tốc ca nô ngược dòng: x-2 (km/h)

Vì chúng khời hành cùng một lúc ,đi ngược chiều và sau 1 giờ 45 phút= 74h chúng gặp nhau

nên:

(x + 8 + x− 2).74 = 84

x=21 km/h suy ra

Vận tốc riêng của ca nô đi ngược dòng là: 21km/h

Vận tốc riêng của ca nô đi xuôi dòng là:27 km/h

Bài tập 2.18. Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km ,cả đi cả về mất 8h20phút.Tính

vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng ,biết vận tốc dòng nước là 4km/h



Hướng dẫn

Gọi vận tốc riêng của tàu thủy là :x (km/h),x>4

Vận tốc tàu khi xuôi dòng: x+4

Vận tốc tàu khi ngược dòng: x-4

Thời gian xuôi dòng : 80x+4

Thời gian ngược dòng: 80x−4


80x−4 = 25

3

x=20 km/h

Bài tập 2.19. Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian đã định.Nếu vận tốc ca nô

tăng 3km/h thì đến nơi sớm 2h.Nếu vận tốc ca nô giảm 3km/h đến nơi chậm 3h.Tính chiều

dài khúc sông.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc dự định của ca nô : x (km/h),x>3

Gọi thời gian dự định đi hết quãng đường AB: y (h)

Quãng đường sông AB : xy (km)

Vận tốc ca nô khi tăng 3 km/h là x+3 (km/h)

Thời gian đi hết quãng đường sông AB lúc này : y-2 (h)

(x + 3)(y− 2) = xy

Vận tốc ca nô khi giảm 3 km/h là x-3 (km/h)

Thời gian đi hết quãng đường sông AB lúc này: y+3 (h)

(x− 3)(y + 3) = xy

Khi đó ta có hệ :

(x + 3) (y− 2) = xy

(x− 3) (y + 3) = xyx=15 và y=12 suy ra: SAB = 15.12 = 180km.

Bài tập 2.20. Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc và một đoạn xuống dốc dài 5km.Một

người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B trở về A hết 41 phút . Tính vận tốc lúc lên

dốc và xuống dốc, biết vận tốc lên dốc lúc đi và về như nhau,vận tốc xuống dốc lúc đi và về

như nhau.

Hướng dẫn

Gọi đỉnh dốc là C.

Gọi vận tốc lên dốc là x (km/h)

Gọi vận tốc xuống dốc là y (km/h)



Thời gian lên dốc AC là: 4x (h)

Thời gian xuống dốc CB là 5y (h)

Tổng thời gian đi từ A đến B là : 4x + 5

y = 23

Thời gian lên dốc CB là: 5x (h)

Thời gian xuống dốc CA là 4y (h)

Tổng thời gian đi từ B đến A là : 5x + 4

y = 4160

x=12 và y=15

Bài tập 2.21. Một ca nô xuôi một khúc sông dài 40km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rưỡi

.Biết thời gian ca nô xuôi 5km bằng thời gian ca nô ngược 4 km.Tính vận tốc dòng nước.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h)

Gọi vận tốc dòng nước là : y (km/h),x>y>040

x+y +40

x−y = 4,55

x+y = 4x−y

x=18 và y=2

Bài tập 2.22. Một ca nô dự định xuôi và ngược một con sông với vận tốc và thời gian nhất

định .Khi khởi hành vận tốc nước lớn gấp đôi lúc dự định,ca nô đó chạy trong 8h xuôi dòng

84km ngược dòng 100km.Một lần khác ca nô cũng chạy trên sông đó với vận tốc dòng nước

giống lần đầu.Ca nô chạy trong 9h xuôi dòng 140 km ngược dòng 80 km.Tính vận tốc riêng

của ca nô và vận tốc dòng nước lúc dự định.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc riêng ca nô là x (km/h)

Gọi vận tốc dòng nước lúc dự định đi là: y (km/h),x>y>0

Vận tốc dòng nước thực tế: 2y (km/h)84

x+2y +100

x−2y = 8140

x+2y +80

x+2y = 9x=24 và y=2

Bài tập 2.23. Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h.Lúc đầu ô tô đi với vận

tốc đó khi còn 60 km nữa thì được một nửa quãng đường AB,người lái xe tăng vận tốc thêm

10km/h trên quãng đường còn lại,do đó ô tô đến B sớm hơn dự định 1 giờ.Tính quãng

đường AB.

Hướng dẫn



Gọi độ dài quãng đường AB là :x (km/h)

Thời gian dự định đi hết quãng đường AB là x40 h

Gọi C là điểm chính giữa quãng đường AB nên AC=CB= x2 km

Gọi D là điểm nằm giữa quãng đường AC sao cho quãng đường DC bằng 60 km

Quãng đường AD dài là x2 − 60 km

Quãng đường DB dài là x2 + 60 km

Thời gian đi hết quãng đường AD làx2−60

40 h

Thời gian đi hết quãng đường DB làx2+60

50 hx

40 −( x

2−6040 +

x2+60

50

)= 1

x=280 km

Bài tập 2.24. Trên quãng đường AB dài 200km.Một xe tải và xe con cùng khởi hành từ A đến

B ,xe tải đi với vận tốc ít hơn xe con 20km/h.Sau khi mỗi xe đi được nửa đường,xe con nghỉ

40 phút rồi chạy tiếp đến B,xe tải trên quãng đường còn lại đã tăng vận tốc thêm 10km/h

xong vẫn đến B chậm hơn xe con nửa giờ.Tính vận tốc mỗi xe trên nửa quãng đường đầu.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc của xe tải trên 12 quãng đường đầu: x (km/h),x>10

Vận tốc xe con trên toàn bộ quãng đường AB là x+20 (km/h)

Thời gian xe con đi hết quãng đường AB : 200x+20 h

Thời gian xe tải đi hết 12 quãng đường đầu: 100

x h

Vận tốc của xe tải trên 12 quãng đường sau: x+10

Thời gian xe tải đi hết 12 quãng đường sau: 100

x+10h(100

x + 100x+10

)−( 200

x+20 +23

)= 1

2

x=40 km/h.

Vận tốc xe tải : 40 km/h

Vận tốc xe con: 60 km/h

Bài tập 2.25. Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 50 km theo

hai hướng vuông góc với nhau,chúng gặp nhau sau 2 giờ.Tìm vận tốc mỗi xe ,biết mỗi giờ xe

đi từ A đi nhanh hơn xe đi từ B là 5km/h.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc xe đi từ B là x (km/h),x>0

Vận tốc xe đi từ A là x+5 (km/h)

Sau 2h xe đi từ B đi được số km là: 2x

Sau 2h xe đi từ A đi được số km là: 2(x+5)



Theo pitago:(2x)2 + (2(x + 5))2 = 502

x=15 km/h suy ra vận tốc xe đi từ A là 20 km/h

Bài tập 2.26. Một xe lửa đi từ ga A đến ga B.Sau đó 1h40 phút,một xe lửa khác đi từ A đến

B với vận tốc lớn hơn xe lửa thứ nhất là 5km/h.Hai xe lửa gặp nhau tại địa điểm G cách B là

300km.Tìm vận tốc mỗi xe,biết quãng đường AB dài 650 km.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc xe lửa thứ nhất là x (km/h),x>0

Vận tốc xe lửa thứ hai : x+5 (km/h)

Quãng đường AG dài là : 650-300=350 km.

Thời gian xe lửa thứ nhất đi hết quãng đường AG:350x h

Thời gian xe lửa thứ hai đi hết quãng đường AG: 350x+5 h

350x −

350x+5 = 5

3

x=30 km/h.

Bài tập 2.27. Hai xe ô tô cùng khởi hành đi từ A đến B ,xe thứ hai đến B sớm hơn xe thứ

nhất 1h.Lúc trở về xe thứ nhất tăng vận tốc thêm 5 km/h,xe thứ hai vẫn giữ nguyên vận tốc

cũ,nhưng dừng lại nghỉ ở một địa điểm trên đường hết 40 phút,sau đó về A cùng lúc với xe

thứ nhất .Tìm vận tốc ban đầu của mỗi xe, biết quãng đường AB dài 120 km,khi đi và về hai

xe đều xuất phát cùng một lúc.

Đáp số: xe thứ nhất:40km/h,xe thứ hai 60km/h

Bài tập 2.28. Hai người đi xe đạp từ A đến B dài 60 km với cùng một vận tốc. Khi đi được23 quãng đường người thứ nhất bị hỏng xe nên dừng lại 20 phút đón ô tô quay về A.Người

thứ hai tiếp tục đi với vận tốc cũ và tới B chậm hơn người thứ nhất về tới A là 40 phút.Hỏi

vận tốc người đi xe đạp ,biết ô tô đi nhanh hơn xe đạp là 30 km/h.

Đáp số: 10km/h

Bài tập 2.29. Quãng đường sông AB dài 78 km. Một thuyền máy đi từ A đến B. Sau 1h, một

ca nô đi từ B đến A, thuyền và ca nô gặp nhau tại C cách B là 36 km. Tính thời gian của

thuyền và ca nô đã đi được từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ca nô lớn hơn

vận tốc của thuyền là 4 km/h.

Đáp số: Thời gian thuyền và ca nô đi từ lúc khởi hành tới lúc gặp nhau lần lượt: 3h và 2h

Bài tập 2.30. Trên quãng đường AB dài 156 km, một người đi xe máy từ A đến B và một

người đi xe đạp từ B về A. Hai xe cùng xuất phát thì sau 3h gặp nhau, biết vận tốc xe máy

lớn hơn vận tốc xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.

Đáp số: xe đạp:12km/h; xe máy:40km/h


2.2. Dạng toán năng suất TOÁN HỌC 9

Bài tập 2.31. Quãng đường AB dài 120km. Lúc 7h sáng, một xe máy đi từ A đến B, đi được34 quãng đường thì xe bị hỏng phải dừng lại sửa mất 10 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc

nhỏ hơn vận tốc lúc đầu là 10 km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả

sử vận tốc xe máy trên 34 quãng đường đầu không thay đổi và vận tốc xe máy trên 1

4 quãng

đường còn lại cũng không thay đổi. Hỏi xe bị hỏng lúc mấy giờ.

Đáp số: Xe hỏng lúc 10h

Bài tập 2.32. (2013) Quãng đường AB dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B, khi đến

B người đó nghỉ 30 phút rồi quay về A với vận tốc lớn hơn lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ

lúc bắt đầu đi từ A cho đến lúc trở về A là 5 giờ. Tính vận tốc lúc đi từ A đến B.

Đáp số: 36km/h

Bài tập 2.33. Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động

ngược dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ .Biết quãng đường sông từ A đến B dài 60

km và vận tốc dòng nước là 5 km/h.Tính vận tốc thực của ca nô ?.

Đáp số: 25km/h

Bài tập 2.34. Quãng đường sông AB dài 78km một chiếc thuyền đi từ A đến B. Sau 1h, 1

cano đi từ B đến A. Thuyền và cano gặp nhau tại C cách B 36km. Tính thời gian đi của

thuyền và cano, biết vận tốc cano lớn hơn vận tốc thuyền là 4km/h.

Đáp số: Thời gian đi của thuyền :3h Thời gian đi của cano: 2h

Bài tập 2.35. Một chiếc xe khởi hành từ A đến B cách nhau 240km.Sau đó 1h ,một chiếc xe

thứ hai cũng khởi hành từ A đến B với vận tốc lớn hơn xe thứ nhất 10km/h nên đã đuổi kịp

xe thứ nhất ở chính giữa quãng đường AB. Tính vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn

Điểm chính giữa cách A số km là: 240 : 2 = 120 km

Gọi vận tốc xe thứ nhất là: x (km/h) (x > 0)

Vận tốc xe thứ 2 là: x + 10 (km/h)

Thời gian xe thứ nhất đi là: 120x (giờ)

Thời gian xe thứ 2 đi là: 120x+10 (giờ)

Xe thứ 2 đi sau xe thứ nhất 1 giờ nên ta có phương trình:120x - 120

x+10 = 1

⇔ 120(x + 10)− 120x = x(x + 10)

⇔ x2 + 10x− 1200 = 0⇔ x = 30(TM); x = −40( loại )

2.2. Dạng toán năng suất

Khối lượng công việc=Năng suất . Thời gian



Bài tập 2.36. (2014)

Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định

. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành

kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch , mỗi ngày phân xưởng phải

sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Đáp số: 50 sản phẩm/ngày

Bài tập 2.37. Một người dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian nhất định .Sau khi

làm được 1 giờ 30 phút,người đó bị mệt nên làm giảm năng suất 8 sản phẩm/giờ. Do đó đã

hoàn thành công việc chậm hơn dự định 2 giờ. Tính năng suất dự kiến.

Đáp số: 18 sản phẩm/giờ

Bài tập 2.38. Một công nhân dự định làm 192 sản phẩm trong một thời gian nhất định .Sau

khi làm được 3h với năng suất dự kiến người đó đã cải tiến thao tác nên đã tăng năng suất

được 2 sản phẩm mỗi giờ, vì vậy đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định là 36 phút. Tính

năng suất dự kiến.


Bài tập 2.39. Một người thợ dự định làm 100 sản phẩm trong một thời gian đã định.Trong 2

giờ đầu người đó làm với năng suất dự kiến,các giờ còn lại người đó làm chưa nghiêm túc

nên đã giảm năng suất 5 sản phẩm/giờ, vì vậy đã hoàn thành chậm hơn dự định 1 giờ.Tính

năng suất dự kiến.


Bài tập 2.40. Một công nhân phải làm một số dụng cụ trong một thời gian nhất định. Nếu

mỗi ngày làm thêm 3 dụng cụ thì hoàn thành sớm 2 ngày. Nếu mỗi ngày làm giảm 3 dụng

cụ thì thời gian phải kéo dài 3 ngày. Tính số dụng cụ được giao.

Đáp số: 180 dụng cụ

Bài tập 2.41. Để sửa một con đường cần huy động một số người làm trong một số ngày. Nếu

bổ sung thêm 3 người thì thời gian hoàn thành công việc được rút ngắn 2 ngày. Nếu rút bớt

3 người thì thời gian hoàn thành công việc phải kéo dài dài thêm 3 ngày. Tính số người dự

định huy động và số ngày dự định hoàn thành công việc.

Đáp số: Số người dự kiến là 15 người; số ngày dự kiến hoàn thành:12 ngày

Bài tập 2.42. Trong một phòng có 80 người họp ,được xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta

bớt đi hai dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có

mấy dãy ghế,mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu người.

Đáp số: 10 dãy, mỗi dãy xếp 8 người



Bài tập 2.43. Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một thời gian.

Người thứ nhất mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nên đã hoàn thành công việc trước thời hạn 2h.

Người thứ hai mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên không những hoàn thành công việc trước

thời hạn 3h mà còn làm thêm được 6 chiếc nữa. Tính số dụng cụ mỗi người được giao.

Hướng dẫn

Gọi x,y lần lượt là năng suất và thời gian dự kiến hoàn thành công việc

Ta có hệ:(x + 2) (y− 2) = xy

(x + 4) (y− 3) = xy + 6x=10;y=12

Số dụng cụ mỗi người được giao: 10.12=120 dụng cụ

Bài tập 2.44. Trong hội khỏe Phù Đổng lần thứ 4 của trường THCS Đình Xuyên đội thể dục

nhịp điệu của trường gồm 180 học sinh của 3 khối 7,8,9 được xếp vào hàng . Nếu tăng 3 hàng

thì mỗi hàng phải rút đi 3 em. Tính số hàng dọc và hàng ngang lúc đầu.

Hướng dẫn

Gọi x,y lần lượt là số hàng dọc và số hàng ngang lúc đầu,x>0,y>0,x,y ∈ Nxy = 180

(x + 3) (y− 3) = 180Số hàng dọc: 12; Số hàng ngang: 15

Bài tập 2.45. Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm quy định. Vì

trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải trở thêm 0,7 tấn. Tính số xe của

đội lúc đầu.

Đáp số: 10 xe

Bài tập 2.46. Một tập đoàn đánh cá dự định đánh bắt 480 tạ cá trong một thời gian nhất

định. Nhưng do vượt mức 5 tạ mỗi tuần nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm 2 tuần

mà còn vượt mức kế hoạch 10 tạ cá. Tính xem theo dự định tập đoàn đó đánh bắt được bao

nhiêu tạ cá mỗi tuần.

Đáp số: 30 tạ/tuần

Bài tập 2.47. Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự kiến.

Thời gian làm theo năng suất tăng 10 sản phẩm mỗi ngày kém 4 ngày so với thời gian làm

giảm năng suất 20 sản phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến theo kế hoạch.

Đáp số: 80 sản phẩm/ngày



Bài tập 2.48. Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn

hàng . Lúc sắp khởi hành đoàn được giao thêm 14 tấn hàng , do đó phải điều thêm 2 xe cùng

loại nên mỗi xe phải trở thêm 0,5 tấn. Tính số lượng xe phải điều theo dự định, biết rằng mỗi

xe chở số lượng như nhau.

Đáp số: Số lượng xe phải điều theo dự định:10 xe hoặc 16 xe

Bài tập 2.49. Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 56 tấn

hàng . Lúc sắp khởi hành đoàn được giao thêm 16 tấn hàng , do đó phải điều thêm 1 xe cùng

loại nên mỗi xe phải trở thêm 1 tấn. Tính số lượng xe phải điều theo dự định, biết rằng mỗi

xe chở số lượng như nhau.

Đáp số: Số lượng xe phải điều theo dự định: 7 xe hoặc 8 xe

Bài tập 2.50. Một học sinh lớp 9 dự định làm xong 30 bộ đề toán để chuẩn bị cho vừa kịp kì

thi tuyển vào lớp 10 trong một số ngày nhất định. Nhưng vì ngày thi tuyển sớm hơn 2 ngày

so với dự định, vì thế học sinh này đã làm thêm 2 đề mỗi ngày nên chẳng những đã làm hết

các bộ đề toán kể trên mà còn dành được 2 ngày để nghỉ ngơi trước ngày thi tuyển. Tính số

bộ đề toán học sinh đó dự định làm trong 1 ngày.

Hướng dẫn

Gọi x là số bộ đề học sinh đó dự định làm trong một ngày, x∈N*

Ta có phương trình:30x −

30x+2 = 4→ x = 3

Bài tập 2.51. Hai công nhân nhận giao làm mỗi người 60 dụng cụ. Mỗi ngày người thứ nhất

làm nhiều hơn người thứ hai là 2 dụng cụ, nên đã hoàn thành công việc với thời gian ít hơn

người thứ hai là 1 ngày. Tính thời gian mỗi người đã làm.

Đáp số: Người thứ nhất đã làm trong 5h, người thứ hai làm trong 6h

Bài tập 2.52. Một công nhân phải làm 420 dụng cụ . Do mỗi ngày người đó làm tăng năng

suất 5 dụng cụ nên đã hoàn thành công việc sớm 7 ngày. Tính số ngày người đó đã làm.

Đáp số: 21 ngày

Bài tập 2.53. Một tổ sản suất phải làm 300 dụng cụ. Nếu số công nhân giảm đi 5 người thì

số giờ làm việc phải tăng thêm 2 giờ. Tính số công nhân của tổ.

Đáp số: 30 công nhân

Bài tập 2.54. Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản suất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc

do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn

dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân, coi năng suất mỗi người là như

nhau.

Đáp số: 18 công nhân



Bài tập 2.55. Một xí nghiệp dự định điều một số xe để chuyển 120 tấn hàng . Nếu mỗi xe

chở thêm 1 tạ so với dự định thì số xe giảm đi 4 chiếc . Tính số xe dự định điều động.

Đáp số: 24 xe

Bài tập 2.56. Có hai đội công nhân , mỗi đội phải sửa 10 km đường . Thời gian đội I làm

nhiều hơn đội II là 1 ngày. Trong một ngày , mỗi đội làm được bao nhiêu km đường biết

rằng cả hai đội làm được 4,5 km đường trong một ngày?

Đáp số: Đội I: 2km/ngày ;Đội II: 2,5 km/ngày

Bài tập 2.57. Hai đội thủy lợi tổng cộng có 25 người đào đắp một con mương. Đội I đào

được 45m3 đất ,đội II dào được 40m3 đất, mỗi công nhân đội II đào được nhiều hơn mỗi

công nhân đội I là 1m3. Tính số đất mỗi công nhân đội I đào được?

Đáp số: 3m3

Bài tập 2.58. Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi tuần

trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn dự

định 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha?

Đáp số: 15ha/tuần

Bài tập 2.59. Một xí nghiệp đánh cá theo kế hoạch phải đánh được 800 tấn cá. Nhờ tăng

năng suất 20 tấn một tháng nên đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 tháng. Tính năng suất

mỗi tháng theo kế hoạch của xí nghiệp.

Đáp số: 80 tấn/tháng

Bài tập 2.60. Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhưng thực

tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm, vì vậy mặc dù người đó đã làm thêm mỗi giờ 1 sản phẩm

xong thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm hơn so với dự định là 12 phút. Tính năng suất

dự kiến, biết rằng mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm.


Bài tập 2.61. Có hai phân xưởng , phân xưởng I làm trong 20 ngày , phân xưởng II làm trong

15 ngày được tất cả 1600 sản phẩm. Biết số sản phẩm của phân xưởng I làm trong 4 ngày

bằng số sản phẩm phân xưởng II làm trong 5 ngày. Tính số sản phẩm mỗi phân xưởng đã

làm.

Đáp số:

Phân xưởng I làm được:1000 sản phẩm

phân xưởng II làm được:600 sản phẩm

Bài tập 2.62. Một phòng họp có một số dãy ghế , tổng cộng 40 chỗ. Do phải xếp 55 chỗ nên

người ta phải kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy ghế xếp thêm 1 chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy

ghế trong phòng.

Đáp số: 4 dãy hoặc 10 dãy


2.3. Dạng toán làm chung, làm riêng TOÁN HỌC 9

Bài tập 2.63. Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ

hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo.Biết rằng một ngày tổ thứ nhất

may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may được bao nhiêu chiếc áo.

Đáp số: Tổ 1 may được:510 chiếc; Tổ 2 may được 800 chiếc

2.3. Dạng toán làm chung, làm riêng

Đối với loại này ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị và biểu thị bằng 1. Nếu thực hiện xong một

công việc hết x ngày (giờ,phút...) thì trong một ngày (giờ, phút...) làm được 1x công việc và tỉ số 1

x

chính là năng suất lao động làm trong một ngày (giờ, phút ...)

Bài tập 2.64. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7h12phút thì xong. Nếu người

thứ nhất làm trong 5 giờ người thứ hai làm trong 6 giờ cả hai người làm được 34 công việc.

Hỏi mỗi người làm một mình xong công việc đó thì hết bao nhiêu thời gian ?

Đáp số:

Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 12h

Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 18h

Bài tập 2.65. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 4 giờ

48 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 4 giờ. Hỏi nếu

chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?

Đáp số:

Vòi 1 chảy một mình trong 8h thì đầy bể


Bài tập 2.66. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 6h đầy bể. Nếu vòi I chảy 20

phút và vòi II chảy 30 phút thì được 115 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu mới

đầy bể.

Đáp số:

Vòi I chảy một mình trong 10h thì đầy bể

Vòi II chảy một mình trong 15h thì đầy bể

Bài tập 2.67. Để hoàn thành một công việc , hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm

chung thì tổ II bị điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10h.

Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì bao lâu sẽ hoàn thành công việc.

Đáp số:

Tổ I làm một mình xong công việc trong 15h

Tổ II làm một mình xong công việc trong 10h



Bài tập 2.68. Hai người cùng làm chung một công việc trong 125 giờ thì xong. Nếu mỗi người

làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là

2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?

Đáp số:



Bài tập 2.69. Hai vòi nước chảy vào hai bể có dung tích như nhau là 2400 lít. Mỗi phút vòi

thứ hai chảy nhiều hơn vòi thứ nhất là 8 lít nên thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể ít hơn

vòi thứ nhất là 10 phút. Tính xem trong mỗi phút mỗi vòi chảy được bao nhiêu lít.

Đáp số:

Mỗi phút vòi 1 chảy được 40 lít

Mỗi phút vòi 2 chảy được 48 lít

Bài tập 2.70. Hai công nhân nếu làm chung thì hoàn thành công việc trong 4 ngày. Người

thứ nhất làm một nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại thì toàn bộ

công việc được hoàn thành trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành

công việc đó trong bao nhiêu ngày.

Đáp số:

Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 6 ngày

Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 12 ngày

hoặc

Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 12ngày


Bài tập 2.71. Hai công nhân nếu làm chung thì hoàn thành công việc trong 3 giờ 36 phút.

Người thứ nhất làm 13 công việc, sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại thì toàn bộ

công việc sẽ được hoàn thành trong 7 giờ. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành

công việc đó trong bao lâu.

Đáp số:



hoặc

Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 8h24phút

Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 6h18phút

Bài tập 2.72. Hai công nhân nếu làm chung trong 4 ngày hoàn thành được 23 công việc. Nếu

làm riêng thì người thứ nhất xong trước người thứ hai là 5 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm

riêng thì sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu.



Đáp số:

Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 10 ngày


Bài tập 2.73. Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể sau 2 giờ 24 phút thì đầy bể. Nếu chảy

riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy

riêng đầy bể.

Đáp số:



Bài tập 2.74. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 4 giờ

48 phút. Mỗi giờ lượng nước của vòi II chảy được bằng 23 lượng nước vòi I chảy được. Hỏi

nếu mỗi vòi chảy riêng sau bao lâu đầy bể.

Đáp số:

Vòi I chảy một mình trong 8h thì đầy bể

Vòi II chảy một mình trong 12h thì đầy bể

Bài tập 2.75. Hai đội thủy lợi cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con

mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm thì công việc

hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu.

Đáp số:

Đội I làm một mình xong công việc trong 15h

Đội II làm một mình xong công việc trong 10h

hoặc

Đội I làm một mình xong công việc trong 10h

Đội II làm một mình xong công việc trong 15h

Bài tập 2.76. Hai vòi mước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 9h36phút sẽ đầy. Nếu hai vòi

chảy chung trong 8h rồi thôi không cho vòi thứ nhất chảy thì sau 4 giờ vòi thứ hai sẽ chảy

đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể.

Đáp số:

Vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 16h

Vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 24h

Bài tập 2.77. Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12

ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ

còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm , năng suất của đội II tăng gấp đôi,

nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi

đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên.



Hướng dẫn

Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (giờ)

Thời gian đội II làm một mình xong công việc là y (giờ)

Trong 1 giờ, đội I làm được: 1x (công việc)

Trong 1 giờ, đội II làm được 1y (công việc)

⇒ Trong 1 giờ, 2 đội làm được: 1x + 1

y (công việc)

Cả 2 đội cùng làm thì sau 12 giờ xong công việc nên trong 1 giờ cả 2 đội làm được: 112

(công việc)

Ta có: 1x + 1

y = 112 (1)

Sau 8 giờ, đội I và đội II làm được là: 8x + 8

y (công việc)

Đội II tăng năng suất lên gấp đôi nên trong một giờ, đội II làm được 2y (công việc)

⇒ Trong 3,5 giờ, đội II làm được 3,5 .2y = 7

y (công việc)

Khi đó,xong toàn bộ công việc nên ta có PT: 8x + 8

y + 7y = 1 (2)

Từ (1)(2)⇒ x = 28;y = 21

Đáp số:

Đội I làm riêng xong công việc trong 28 ngày

Đội II làm riêng xong công việc trong 21 ngày

Bài tập 2.78. Một bể nước có 2 vòi chảy vào, vòi 2 chảy 6h đầy bể, ở đáy bể có một vòi để

tháo nước ra. Nếu bể đầy mở vòi thoát sau 30h bể cạn.Lúc đầu bể cạn người ta quên khóa

vòi ở đáy bể, người ta mở vòi thứ nhất sau 2h mở tiếp vòi thứ 2 sau 2h nữa bể đầy.Hỏi vòi

thứ nhất chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể ?

Hướng dẫn

Gọi x (giờ) (x > 0)là thời gian vòi thứ nhất chảy đầy để.

Vòi thứ nhất chảy được 2h rồi mở tiếp vòi thứ hai sau 2h nữa thì đầy bể nên cho đến khi

đầy bể thì vòi thứ nhất chảy được 4h, vòi thứ hai chảy được 2h và vòi nước chảy ra ở đáy bể

chảy được 4h.

Sau 4 giờ vòi thứ nhất chảy được 4x bể.

Sau 2 giờ vòi thứ hai chảy được 13 bể.

Sau 4 giờ vòi thoát chảy được 430 bể.

Theo giả thiết ta có phương trình: 4x + 1

3 −4

30 = 1⇔ x = 5


2.4. Dạng toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm TOÁN HỌC 9

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 5h.

2.4. Dạng toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm

Bài tập 2.79. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do

áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong trong

thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao

của mỗi tổ theo kế hoạch.

Đáp số: Tổ I được giao 200 sản phẩm;Tổ II được giao 400 sản phẩm

Bài tập 2.80. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 sản phẩm. Thực tế do đổi mới kĩ

thuật xí nghiệp I đã vượt mức kế hoạch 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 10% , do đó

cả hai xí nghiệp làm được tổng cộng 400 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi xí nghiệp phải

làm theo kế hoạch.

Đáp số: Tổ I được giao 200 sản phẩm;Tổ II được giao 160 sản phẩm

Bài tập 2.81. Hai trường A và B của một phường có 480 học sinh thi tốt nghiệp lớp 9, tỉ lệ

trúng tuyển là 95%. Tính riêng thì trường A đỗ 90%, trường B đỗ 98%. Tính xem mỗi trường

có bao nhiêu học sinh dự thi.

Đáp số:

Số học sinh dự thi của trường A:180 học sinh

Số học sinh dự thi của trường B:300 học sinh

Bài tập 2.82. Hai trường A và B của một phường có 480 học sinh thi tốt nghiệp lớp 9, tỉ lệ

trúng tuyển là 96%. Tính riêng thì trường A đỗ 94%, trường B đỗ 99%. Tính xem mỗi trường

có bao nhiêu học sinh dự thi.

Đáp số:

Số học sinh dự thi của trường A:288 học sinh

Số học sinh dự thi của trường B:192 học sinh

Bài tập 2.83. Hai khối 8 và 9 của một trường THCS có 420 học sinh có học lực trên trung

bình đạt tỉ lệ 84%. Khối 8 đạt tỉ lệ 80% là học sinh trên trung bình, khối 9 đạt 90%. Tính số

học sinh của mỗi khối.

Hướng dẫn

Số học sinh khối 8 và 9 là : 420 : 84% = 500 học sinh

Gọi x; y lần lượt là học sinh khối 8; 9


2.5. Dạng toán có nội dung hình học TOÁN HỌC 9

⇒ x + y = 500 (1)

Số học sinh trung bình khối 8 là : 80%x = 0,8 x (học sinh)

Số học sinh khối 9 là : 90%y = 0,9 y (học sinh)

Ta có: Tổng số học sinh trung bình khối 8 và 9 là: 0,8x + 0,9 y = 420 (2)

Giả hệ (1)(2)⇒ x=300; y=200

Bài tập 2.84. Mức sản xuất của một xí nghiệp cách đây 2 năm là 75000 sản phẩm trong một

năm, hiện nay là 90750 sản phẩm trong một năm. Hỏi trung bình năm sau xí nghiệp làm

tăng hơn năm trước bao nhiêu phần trăm.

Đáp số: Mức tăng trung bình 10% /năm

Hướng dẫn

Gọi mức tăng của xí nghiệp năm sau so với năm trước là: x%

(75000 + 750x) + (75000 + 750x). x100 = 90750

Bài tập 2.85. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế

giá trị gia tăng(VAT) với mức 10% với loại hàng thứ nhất và 8% với loại hàng thứ hai. Nếu

thuế VAT là 9% đối với cả hai loại mặt hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng.

Hỏi nếu không tính thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại.

Đáp số: Nếu không tính thuế VAT thì phải trả 0,5 triệu đồng cho mặt hàng thứ nhất và 1,5

triệu đồng cho mặt hàng thứ hai.

2.5. Dạng toán có nội dung hình học

Bài tập 2.86. Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm

mỗi chiều đi 2 m thì điện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chu vi và diện

tích của hình chữ nhật đã cho.

Đáp số: Chu vi :12m Diện tích:4m2

Bài tập 2.87. Mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100m. Nếu tăng chiều rộng 3m giảm chiều

dài 4m thì diện tích mảnh vườn giảm 2 m2. Tính diện tích của mảnh vườn đó.

Đáp số: 600m2

Bài tập 2.88. Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7

cm. Tính diện tích tam giác vuông đã cho.

Đáp số: 30m2

Bài tập 2.89. Tính kích thước của một hình chữ nhật có chu vi 110 m và diện tích là 700 m2

Đáp số: Chiều dài:35m; chiều rộng:20m


2.5. Dạng toán có nội dung hình học TOÁN HỌC 9

Bài tập 2.90. Tính kích thước của hình chữ nhật có chu vi là 34 m, đường chéo bằng 13 m.


Bài tập 2.91. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 1m. Nếu chiều dài

tăng 8m chiều rộng tăng 5m thì diện tích tăng gấp đôi. Tính chu vi và diện tích của mảnh

đất trên.

Đáp số: Chu vi :62m Diện tích:240

Bài tập 2.92. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 30 m, chiều rộng 20 m. Ở xung

quanh về phía trong mảnh vườn người ta để một lối đi có chiều rộng không đổi , phần còn

lại là một hình chữ nhật trồng hoa. Biết diện tích trồng hoa bằng 84% diện tích mảnh vườn.

Tính chiều rộng lối đi ?

Đáp số: Chiều rộng lối đi:1m

Bài tập 2.93. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Ở xung quanh về phía trong

mảnh vườn người ta để một lối đi có chiều rộng 2 m , phần còn lại là một hình chữ nhật

trồng hoa có diện tích 4256 m2.Tìm kích thước của vườn.


Bài tập 2.94. Một hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều

dài đi 10 m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200m2. Tính chiều rộng của hình chữ nhật

ban đầu.

Đáp số: Chiều rộng:10m hoặc 20m

Bài tập 2.95. Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2. Tính cạnh đáy của hình tam giác

biết nếu tăng cạnh đáy 4 m và giảm chiều cao tương ứng 1 m thì diện tích không đổi.

Đáp số: Cạnh đáy:36m

Bài tập 2.96. Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26 cm. Hai cạnh góc vuông hơn kém

nhau 14 cm. Tính chu vi của tam giác vuông đó.

Đáp số: Chu vi tam giác:60m

Bài tập 2.97. Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn

hơn chiều rộng là 7 m. Tính kích thước của mảnh đất đó.


Bài tập 2.98. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình phương

độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi. Xác định chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật.



2.6. Dạng toán tìm số TOÁN HỌC 9

Bài tập 2.99. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông , biết nếu tăng mỗi

cạnh lên 3m thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36m2, và nếu một cạnh giảm đi 2m, cạnh

kia giảm đi 4m thì diện tích tam giác giảm đi 26m2.

Đáp số: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông:9m và 12m

Bài tập 2.100. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 600m2.Do thực hiện quy hoạch

chung người ta đã cắt giảm chiều dài mảnh đất 10m nên phần còn lại của mảnh đất trở thành

hình vuông.Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.

Hướng dẫn

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là a; chiều rộng là b.(Điều kiện a,b > 0).

Diện tích hình chữ nhật là 600 m2 nên a.b = 600⇒ b = 600a (1)

Do thực hiện quy hoạch chung người ta cắt giảm chiều dài 10 m thì chiều dài còn lại là: a-10

nên mảnh đất trở thành hình vuông a− 10 = b (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình:600

a = a− 10⇔ a2 − 10a = 600⇔ a2 − 10a− 600 = 0

⇔ (a + 20)(a− 30) = 0

⇔ a = 30 (thỏa mãn điều kiện) hoặc a = −20 (loại vì a<0)

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là 30m và 20m

2.6. Dạng toán tìm số

Bài tập 2.101. Tìm một số có hai chữ số biết rằng gấp 2 lần chữ số hàng chục thì lớn hơn chữ

số hàng đơn vị là 1 đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta sẽ được số mới lớn hơn số

ban đầu là 27 đơn vị.

Đáp số: Số 47

Bài tập 2.102. Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 7. Nếu thêm chữ số 0 vào

giữa hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đã cho?

Đáp số: Số 25

Bài tập 2.103. Một số tự nhiên có hai chữ số , tổng các chữ số là 9. Nếu thêm chữ số 7 vào

giữa hai chữ số của nó thì ta được một số mới lớn hơn số ban đầu 340 đơn vị. Tìm số ban

đầu.

Đáp số: Số 36

Bài tập 2.104. Tìm số có hai chữ số , biết hiệu chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 1.

Nếu thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số của nó thì ta được số mới lớn hơn số đã cho 900 đơn


2.7. Dạng toán có nội dung vật lí và hóa học TOÁN HỌC 9

vị.

Đáp số: Số 98

Bài tập 2.105. Tìm số có hai chữ số , biết rằng lấy số đó chia cho bình phương của tổng hai

chữ số của nó thì được 1 dư 12. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho

nhau ta được số mới nhỏ hơn số ban đầu 45 đơn vị.

Đáp số: Số 61

Bài tập 2.106. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho tích hai chữ số của

nó thì được thương là 3 và dư 9, còn nếu lấy bình phương của tổng hai chữ số của nó trừ đi

tích hai chữ số của nó thì ta được lại số đã cho.

Đáp số: Số 63

Bài tập 2.107. Tìm phân số dương có tử lớn hơn mẫu 1 đơn vị. Nếu tăng tử và mẫu thêm 2

đơn vị ta được một phân số mới có giá trị bằng 910 giá trị của phân số cần tìm.

Đáp số: 43

Bài tập 2.108. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông, biết độ dài ba cạnh lần lượt là ba

số chẵn liên tiếp.

Đáp số: 6;8;10

2.7. Dạng toán có nội dung vật lí và hóa học

Bài tập 2.109. Hòa lẫn 7 kg chất lỏng I với 5kg chất lỏng II thì được hỗn hợp có khối lượng

riêng là 600 kg/m3. Biết khối lượng riêng của chất lỏng I lớn hơn khối lượng riêng của chất

lỏng II là 200 kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.

Đáp số:

Khối lượng riêng của chất lỏng I:700 kg/m3

Khối lượng riêng của chất lỏng II:500 kg/m3

Bài tập 2.110. Cho hai điện trở R1, R2, nếu mắc nối tiếp hai điện trở trên thì điện trở tương

đương là 32Ω,nếu mắc song song hai điện trở trên thì điện trở tương đương là 6Ω.Tính điện

trở của R1, R2.

Đáp số: R1 = 8Ω; R2 = 24Ω hoặc R1 = 24Ω; R2 = 8Ω

Bài tập 2.111. Một vật có khối lượng là 124 g và thể tích 15cm3 là hợp kim của đồng và kẽm.

Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết cứ 89g đồng thì có

thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1cm3.

Đáp số: 89g đồng;35g kẽm


Chương 3

Hàm số

3.1. Hàm số bậc nhất

Bài tập 3.1. Xác định tham số m để hàm số

(a) y = (m2 − 4)x− 5 nghịch biến trên R

(b) y = (m2 − 1)x + 2 đồng biến với mọi x>0

Đáp số: (a) −2 < m < 2 (b) m < −1 hoặc m > 1

Bài tập 3.2. Cho hàm số y = ax + 1 (d)

a.Xác định hàm số, biết (d) đi qua A(2;0)

b.Hãy vẽ (d) gọi A,B là giao của (d) với hệ trục tọa độ, tính diện tích tam giác OAB.

Đáp số: (a) y = −12 x + 1 (b)SOAB = 1(đvdt)

Bài tập 3.3. Cho hàm số y = 2x (d)

a.Vẽ đồ thị hàm số

b.Điểm A thuộc đồ thị của hàm số có khoảng cách đến gốc O bằng 3√

5. Tìm tọa độ của A.

Đáp số: (b) A1(3;6), A2(−3;−6)

Bài tập 3.4. Cho hàm số y = 2x + b hãy xác định hệ số b trong các trường hợp sau :

a) Đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3

b) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1,5

Đáp số: (a) b = −3 (b) b = −3

Bài tập 3.5. Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số của nó cắt trục hoành tại điểm có

hoành độ là 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ là -2.

Đáp số: y = 23 x− 2


3.1. Hàm số bậc nhất TOÁN HỌC 9

Bài tập 3.6. Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị của nó song song với đường thẳng

y = −23 x + 1 và đi qua điểm A(3;-1).

Đáp số: y = −23 x + 1

Bài tập 3.7. Cho điểm A(2;3) .Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó đi qua B(2;1) và

song song với đường thẳng OA , với O là gốc tọa độ.

Đáp số: y = 32 x− 2

Bài tập 3.8. Cho (d):y = (m + 2)x + m và (d’): y = (2m + 1)x + m2

Tìm m để (d) và (d’) cắt nhau? song song ? trùng nhau ? vuông góc?

Đáp số: (a) m 6= 1 (b) Không tồn tại m (c) m = 1 (d) m =

−1;−32

Bài tập 3.9. Cho hàm số y=ax có đồ thị đi qua điểm A(3;√

3).Xác định hệ số a và tính góc tạo

bởi đường thẳng và tia Ox.

Đáp số: a =√

33 ;α = 30o

Bài tập 3.10. Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ

bằng -3 và tạo với tia Ox góc α = 600.

Đáp số: y =√

3x− 3

Bài tập 3.11. Cho(d1) : y = 3x + 2, (d2) : y = x + 1, (d3) : y = mx− 2

Tìm m để ba đường thẳng trên đồng quy.

Đáp số: m = −5

Bài tập 3.12. Cho đường thẳng (d):y = 23 x + 2

(a) Vẽ (d). Tìm giao điểm A của (d) với Ox.

(b) Tìm m,n để đồ thị hàm số y=mx+n (d’) vuông góc với (d) và cắt trục tung tại điểm B sao

cho MOAB vuông cân tại O,(O là gốc tọa độ)

Đáp số: (a) A(−3;0) (b) m = −32 ;n = ±3

Bài tập 3.13. Trong mặt phẳng (Oxy) cho

(d) : y = (a2 − 3a)x + 2a− 1 và (d′) : y = −2x + 1

Xác định a biết (d) // (d’)

Đáp số: a = 2

Bài tập 3.14. Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A(−5;2005), B(2;2019)

Đáp số: y = 2x + 2015

Bài tập 3.15. Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng (d1) : y = 2x + 2

a, Điểm A có thuộc (d1) không?



b, Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1)

c, Gọi B là giao điểm của (d1) và (d2), C là giao điểm của (d1) và Oy. tìm tọa độ B,C và tính

diện tích tam giác ABC

Đáp số: (a) Không thuộc (b) y = −12 x + 1 (c) SABC = 4

5

Bài tập 3.16. Cho đường thẳng y = (m− 1)x + 2.

Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.

Gợi ý: Đường thẳng (d) : y = (m − 1)x + 2⇔ mx = y + x − 2 đi qua điểm cố định A(0;2).

Do đó OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d

vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m− 1 = 0⇔ m = 1.

Bài tập 3.17. Tìm m để hệ:

mx + 4y = 10

6x + 3y = ma.Có nghiệm duy nhất

b.Vô nghiệm

c.Vô số nghiệm

Đáp số: (a) m 6= 8 (b) m = 8 (c) Không tồn tại m

Bài tập 3.18. Giải hệ phương trình:

1.

xy = 4

5

x + 20 = 2 (y− 20)2.

3 (x + 1) + 2 (x + 2y) = 4

4 (x + 1)− (x + 2y) = 9(2013)

3.

3√

x−√y = 5

2√

x + 3√

y = 184.

2x2 + 3y2 = 66

3x2 + 7y2 = 139

5.

(x− 2) (y + 1) = xy

(x + 8) (y− 2) = xy6.

(x + 1) (y− 1) = xy + 1

(x− 2) (y + 1) = xy− 1

7.

x− y = 10

(x + 6) (y− 3) = xy + 128.

x + y = 50

130%x + 120%y = 63

9.

x + y = 140

x− y8 = y− x

8

10.

x2 = y

3x+4x+y = 3

4

11.

2x + 1

y = 26x −

2y = 1

12.

x2 −

y3 = 1

x4 + 2y

3 = 8

13.

3yx+2y +

4xy−1 = −1

4yx+2y −

3xy−1 = 2

14.

x + 3y + z = −2

x− y + 2z = 9

z = 3x

15.

1x + 1

y = 11y +

1z = 2

1z +

1x = 5

16.

x + y = xy− 1

x + 2y = xy + 1



17.

3 (x + y) + 4

2x−3y = 19

y + 23y−2x = 3− x

18.

2 (x + y) = 5 (x− y)

20x+y +

20x−y = 7

19.

xy + 2x− 2y = 4

x2 + y2 + xy = 1220.

3x2 − 4y2 + 2 (3x− 2y) = −11

x2 − 5y2 + 2x− 5y = −11

21.

2 |x|+ 3y = 13

3x− y = 322.

(x + y)2 − (x− y)2 = 8

7x− 2y = 3

23.

x2 − 2xy + 3y2 = 9

x2 − 4xy + 5y2 = 524.

x + y + xy = 7

x2 + y2 + xy = 13

25.

xy −

yx = 5

6

x2 − y2 = 526.

x2 = 3x + 2y

y2 = 3y + 2x

27.

4

x+y +1

y−1 = 51

x+y −2

y−1 = −1(2014) 28.

x2 + 4y2 − 8xy = 2

x = 2y + 4xy

29.

x (x + 1) + y (y + 1) = 8

x + xy + y = 530.

2

x−2y −5

x+2y = 193

x−2y +4

x+2y = −6

31.

2 + 3x = 8y3

x3 − 2 = 6y

Đáp số:

1. x = 40,y = 50

2. x = 1,y = −1

3. x = 9,y = 16

4. x = −3,y = 4,x = 3,y = 4,x = −3,y = −4,x = 3,y = −4

5. x = 12,y = 5

6. x = −5,y = −3

7. x = 30,y = 20

8. x = 30,y = 20

9. x = 70,y = 70

10.

x = 327 ,y = 48

7

11. x = 2,y = 1



12. x = 8,y = 9

13.

x = 617 ,y = 2

17

14. x = 1,y = −2,z = 3

15.

x = 12 ,y = −1,z = 1

3

16. x = 3,y = 2

17.

x = 165 ,y = 9

5

18. x = 7,y = 3

19. x = −2,y = −2,x = 4,y = −2,x = 2,y = −4,x = 2,y = 2

20. x = −1,y = −2,x = −1,y = 1

21. x = 2,y = 3

22. x = −47 ,y = −7

2,x = 1,y = 2

23. x = 3,y = 2,x = −3,y = −2,x =5√

22 ,y =

√2

2 ,x = −5√

22 ,y = −

√2

2

24. x = 3,y = 1,x = 1,y = 3

25. x = 3,y = 2,x = −3,y = −2

26. x = 0,y = 0,x = 5,y = 5,x = −1,y = 2,x = 2,y = −1

27. x = −1,y = 2

28. x = 1+√

2,y =√

2−12 ,x = 1−

√2,y = −

√2+12

29. x = 2,y = 1,x = 1,y = 2

30.

x = 112 ,y = − 5

24

31. (x,y) = (2;1) , (−1;−2)

Bài tập 3.19. Cho hệ:

2 (a− 1) x + by = −4

bx− ay = 5− 2bTìm a,b để hệ có nghiệm duy nhất là (x;y) = (−1;2)

Đáp số: a = −8,b = −11



Bài tập 3.20. Cho

kx− y = 2

3x + ky = 5a.Giải hệ khi k = −1

b.Tìm k để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x + y = 1− k2

k2+3

Đáp số: (a)

x = 34 ,y = −11

4

(b) k = 4

7

Bài tập 3.21. Cho

(a + 1) x− y = 3

ax + y = aa.Giải hệ với a=−

√2

b.Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0

Đáp số: (a)

x = 1−5√

27 ,y = −6

√2+107

(b) a > −1

2

Bài tập 3.22. Xác định a,b để hệ phương trình :

2x− ay = b

ax + by = 1a.Có nghiệm là x = −

√2,y =

√2

b.Có vô số nghiệm

Đáp số: (a)

a = 5√

22 − 5,b = −5 + 3

√2

(b) a2 + 2b = 0, a 6= 0

Bài tập 3.23. Tìm giá trị của m để hệ

(m + 1) x− y = m + 1

x + (m− 1)y = 2có nghiệm duy nhất thỏa

mãn điều kiện x+y nhỏ nhất.

Đáp số: m = −4

Bài tập 3.24. Giải biện luận hệ sau

a.

mx + (m− 1)y = m + 1

2x + my = 2b.

mx + (m− 2)y = 5

(m + 2) x + (m + 1)y = 2

c.

(m− 1) x + 2y = 3m− 1

(m + 2) x− y = 1−md.

(m + 4) x− (m + 2)y = 4

(2m− 1) x + (m− 4)y = m

Đáp số:

(a) Với mọi m hệ có nghiệm duy nhất :

x = m2−m+2m2−2m+2 ,y = − 2

m2−2m+2

(b) Với m 6= 4 có nghiệm :

x = 3(m+3)

m+4 ,y = −3m+10m+4

Với m=-4 thì hệ vô số nghiệm.

(c) Với m 6= −1 thì hệ có nghiệm:

x = 13 ,y = 4m−1

3

Với m = −1 hệ vô số nghiệm.

(d) Với m 6= 2 và m 6= −3 hệ có nghiệm

x = m+83(m+3) ,y = m−2

3(m+3)

Với m = 2 hoặc m = −3 hệ vô nghiệm



Bài tập 3.25. Cho hệ

mx + 2y = m + 1

2x + my = 2m + 5a.Giải và biện luận hệ trên

b.Khi hệ có nghiệm (x;y) tìm hệ thức giữa x và y độc lập đối với m.

Đáp số:

(a) Với m 6= ±2 hệ có nghiệm

x = m−5m−2 ,y = 2m−1

m−2

(b) x + y− 3 = 0

Với m=2 hệ vô nghiệm

Với m=-2 hệ vô số nghiệm


mx + y = 2m

x + my = m + 1a.Giải biện luận hệ trên

b.Khi hệ có nghiệm (x0;y0), tìm hệ thức liên hệ giữa x0 và y0 độc lập với m.

c.Khi hệ có nghiệm duy nhất (x0;y0) tìm giá trị nguyên của m sao cho x0 và y0 là những số

nguyên.

Đáp số:

(a) Với m 6= ±1 hệ có nghiệm

x = 2m+1m+1 ,y = m

m+1

Với m=-1 hệ vô nghiệm

Với m=1 hệ vô số nghiệm

(b) x− y− 1 = 0

(c) m = 0;−2


mx− y = 1x2 −

y3 = 335

(a) Giải hệ PT khi m=1

(b) Tìm m để hệ vô nghiệm

Đáp số: (a) x = 2008,y = 2007 (b) m = 32


2x− y = m− 2

x + 2y = 3m + 4(a) Giải hệ trên khi m=1

(b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn :x2 + y2 = 10

Đáp số: (a)x = 1,y = 3 (b) m = 1;−3


mx + 2y = 1

2x− 4y = 3(1)

(a) Giải hệ (1) khi m=1

(b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất.

Đáp số: (a)x = 5/4,y = −1/8 (b) m 6= −1


3.2. Hàm số bậc hai y = ax2 TOÁN HỌC 9


2x− y + m− 5 = 0

(m− 1) x + y− 6 = 0(a) Giải hệ khi m=4

(b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) với x bằng y. Tìm nghiệm đó.

Đáp số:

(a)x = 7/5,y = 9/5(b) m = 2;3Với m = 2 thì hệ có nghiệm x = 3,y = 3Với m = 3 thì hệ có nghiệm x = 2,y = 2

3.2. Hàm số bậc hai y = ax2

Bài tập 3.31. Cho (P):y = ax2

(a) Tìm a để (P) đi qua điểm M(−2,1)

(b) Với a tìm được ở trên ,hãy vẽ (P)

Hướng dẫn

(a) Vì (P) đi qua điểm M(−2;1) nên: 1 = a.(−2)2⇒ a = 14

(b) Với a = 14 thì (P):y = 1

4 x2

*Bảng giá trị:x -2 -1 0 1 2

y 1 14 0 1

4 1*Đồ thị hàm số:

−3 −2 −1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

2.5

0

y = x2

4

Hình 3.1:


3.2. Hàm số bậc hai y = ax2 TOÁN HỌC 9

Bài tập 3.32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P)

a) Tìm a, biết rằng (P) cắt đường thẳng (d) có phương trình y = −x− 32 tại điểm A có hoành

độ bằng 3. Vẽ đồ thị (P) ứng với a vừa tìm được.

b) Tìm tọa độ giao điểm thứ hai B (khác A) của (P) và (d).

Đáp số: a) a = −12 b)B(−1; −1

2 )

Bài tập 3.33. Cho hàm số y = ax + b. Tìm a,b biết rằng đồ thị hàm số đã cho song song với

đường thẳng y =−3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P):y = 12 x2 có hoành độ bằng −2.

Bài tập 3.34. Cho (P):y=−14 x2

(a) Vẽ (P)

(b) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2. Lập phương trình đường thẳng qua M đồng

thời cắt Ox và Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích MOMA gấp đôi diện

tích MOMB

Bài tập 3.35. Cho hàm số y = x2 có đồ thị là Parabol (P)

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Xác định a,b sao cho đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = −x + 5 và

cắt Parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.

Bài tập 3.36. Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P)

a) Tìm a biết rằng (P) qua điểm A(1;−1) .Vẽ (P) với a vừa tìm được

b) Trên (P) lấy điểm B có hoành độ -2, tìm phương trình của đường thẳng AB và tìm tọa độ

giao điểm D của đường thẳng AB và trục tung.

c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và song song với AB, xác định toạ độ giao điểm

C của (d) và (P) (C khác O)

d) Chứng tỏ OCDA là hình vuông.

Bài tập 3.37. Cho hàm số y = ax2

a) Tìm a biết đồ của thị hàm số đã cho đi qua điểm A(−√

3;3). Vẽ đồ thị (P) của hàm số với

a vừa tìm được.

b) Trên (P) lấy 2 điểm B, C có hoành độ lần lượt là 1, 2 .Hãy viết phương trình đường thẳng

BC.

c) Cho D(√

3;3). Chứng tỏ điểm D thuộc P và tam giác OAD là tam giác đều.Tính diện tích

của tam giác OAD.

Bài tập 3.38. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho parabol (P) : y = −x2

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 1 , -2 .Lập phương trình đường

thẳng AB.

c) Tìm phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng AB và tiếp xúc với P.


3.3. Tương giao giữa hai đồ thị TOÁN HỌC 9

3.3. Tương giao giữa hai đồ thị

Bài tập 3.39. (2014)

Trong mặt phẳng (Oxy) cho (d) : y = −x + 6 và (P) : y = x2

(a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P)

(b) Gọi A,B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.

Đáp số: (a) A(2;4),B(-3;9) (b) 21 đvdt

Bài tập 3.40. Cho đường thẳng (d) : y = −x + 2 và parabol (P) : y = 12 x2

a) Tìm giá trị m để điểm M(m;m − 1) nằm trên (d).Với m vừa tìm được chứng tỏ điểm M

không thuộc (P)

b) Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của chúng .

Bài tập 3.41. (2013)

Cho (P) : y = 12 x2 và (d) : y = mx− 1

2 m2 + m + 1

(a) Với m=1 tìm tọa độ giao điểm giữa (d) và (P)

(b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn |x1 − x2| = 2

Bài tập 3.42. Cho (P) : y = x2 và (d) : y = (2m + 6)x + m2 + m− 3

(a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m=4

(b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn |x1 − x2| = 2

Bài tập 3.43. Cho (P) : y = −x2 và đường thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1;-2)

(a) Chứng minh rằng với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B.

(b) Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.

Bài tập 3.44. Cho Parabol (P):y = x2 và đường thẳng (d):y = mx− 2 (m 6=0 là tham số)

(a) Vẽ đồ thị (P) trên mp tọa độ Oxy

(b) Khi m=3 tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)

(c) Gọi A(xA;yA), B(xB;yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). Tìm các giá trị của m

sao cho :yA + yB = 2(xA + xB)− 1

Bài tập 3.45. Trong mặt phẳng Oxy cho (P):y = ax2

(a) Tìm a, biết (P) cắt đường thẳng (d) : y =−x− 32 tại điểm A có hoành độ là 3. Vẽ đồ thị (P)

ứng với a vừa tìm được.

(b) Tìm giao điểm thứ hai B (B 6=A) của (P) và (d)

Bài tập 3.46. Cho (P):y=34 x2 và (d):y=1

2 x + m

(a) Hãy vẽ (P)

(b) Tìm m để đồ thị (d) và (P) không có điểm chung.


3.3. Tương giao giữa hai đồ thị TOÁN HỌC 9

Bài tập 3.47. Cho Parabol (P):y=x2 và đường thẳng (d) đi qua M(1;2) có hệ số góc k (k 6= 0)

(a) Chứng minh rằng với mọi k 6=0 (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A,B

(b) Gọi xA, xB là hoành độ giao điểm của A,B.

Chứng minh rằng xA + xB − xAxB − 2 = 0

Bài tập 3.48. Cho (P):y=x2 và (d):y=mx+1

(a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

(b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3.

Bài tập 3.49. Cho (P):y=x2 và (d) : y = 2mx + 1

(a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A,B. Tìm m để A,B đối xứng nhau

qua trục tung.

(b) Gọi xA, xB là hoành độ tương ứng của A,B

Xác định m để biểu thức Q=yA + yB − 2(xA + xB) đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 3.50. Cho (P):y=x2 và đường thẳng (d) : y = (m + 5)x−m ,m là tham số

(a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

(b) Gọi xA, xB là hoành độ tương ứng của A,B.Xác định m để biểu thức M=|x1 − x2| đạt giá

trị nhỏ nhất.

Bài tập 3.51. Trong mặt phẳng (Oxy):

Cho (P):y=x2 và đường thẳng (d):y=−23(m + 1)x + 1

3

1. Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

2. Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P), đặt f (x) = x3 + (m + 1)x2 − x. Chứng

minh đẳng thức f (x1)− f (x2) = −12(x1 − x2)

3

Bài tập 3.52. Trên mặt phẳng (Oxy) cho (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx + 2.

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm

nằm về hai phía của trục tung.

b) Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại A(x1;y1) và B(x2;y2). Tìm giá trị của m để

|y1 − y2| =√

24− x22 −mx1

Bài tập 3.53. Cho (P) : y = −12 x2 và (d) : y = mx− 1

2 m2 + m + 1

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1);B(x2;y2) thỏa mãn y1 + y2 =12(x1 + x2) +

4

Bài tập 3.54. Cho (P) : y = x2 và (d) : y = −mx−m + 1

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1);B(x2;y2) mà y1 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 3.55. Cho (P) : y = −14 x2 và đường thẳng (d) : y = mx− 2m− 1

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1);B(x2;y2) thỏa mãn y1 + y2 đạt giá trị lớn

nhất.


3.4. Tiếp tuyến của parabol TOÁN HỌC 9

Bài tập 3.56. Cho (P) : y = −12 x2 và (d) có hệ số góc k và đi qua điểm (0;-2)

(a) Viết phương trình (d).

(b) Chứng minh rằng khi k thay đổi thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

3.4. Tiếp tuyến của parabol

Bài tập 3.57. Cho (P) : y = x2 và M(−2,4) .Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm

M.

Bài tập 3.58. Cho (P) : y = x2.Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đi qua

điểm M(-1,-2).

Bài tập 3.59. Cho (P): y = x2 và (d) : y = −2x + 3

(a) Tìm tọa độ giao điểm A,B của (d) với (P)

(b) Tìm tọa độ điểm M trên AB_

thuộc (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.

Bài tập 3.60. Cho (P) : y = x2

4 và đường thẳng (d) : y = mx− 32 m− 1

Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) tiếp xúc với

(P) và hai đường thẳng ấy vuông góc với nhau.

Bài tập 3.61. Cho (P) : y = x2

Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến song song với (d) : y = 4x + 2014


Chương 4

Phương trình bậc hai

4.1. Giải phương trình bậc hai

Bài tập 4.1. Giải các phương trình

1) x2 − 6x + 14 = 0 2) 4x2 − 8x + 3 = 0

3) 3x2 + 5x + 2 = 0 4) -30x2 + 30x− 7,5 = 0

5) x2 − 4x + 2 = 0 6) x2 − 2x− 2 = 0

7) x2 + 2x + 4 = 3(x +√

2) 8) 2 x2 + x + 1 = (x + 1)

9) x2 − 2(√

3− 1)x− 2√

3 = 0

Bài tập 4.2. Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:

1) 3x2 − 11x + 8 = 0 2) 5x2 − 17x + 12 = 0

3) x2 − (1 +√

3)x +√

3 = 0 4) 2x2 + (√

2 + 1)x +√

2− 1 = 0

5) 3x2 − 19x− 22 = 0 6) 5x2 + 24x + 19 = 0

7) (√

3 + 1)x2 + 2x +√

3− 1 = 08)x2 − 11x + 30 = 0

9) x2 − 12x + 27 = 0 10) x2 − 10x + 21 = 0

11) (1−√

2)x2 − 2(1 +√

2)x + 1 + 3√

2 = 0

Bài tập 4.3. Giải phương trình quy về bậc hai:

1. x4 − x2 − 12 = 0 Đáp số: x = ±2

2. 4x4 − 7x2 − 2 = 0 Đáp số: x = ±√

2

3. 1x(x+2) −

1(x+1)2 =

112 Đáp số: x = 1;−3


4.1. Giải phương trình bậc hai TOÁN HỌC 9

4.√

x− 2− 2√

x− 3 = 1 Đáp số: x = 3;7

5.√

x2−16√x−3

+√

x + 3 = 7√x−3

Đáp số: x = 5

6.

√x2 − 1

4 +√

x2 + x + 14 = 1

2

(2x3 + x2 + 2x + 1

)Đáp số: x = 0;−1

2

7.(x2 + x

)2 − 2x (x + 1)− 24 = 0 Đáp số: x = 2;−3

8.√

x2 − x− 12 = 7− x Đáp số: x = 6113

9.√

2− x =√

7− x−√−3− 2x Đáp số: x = −2

10. x2 +√

x2 − 3x + 5 = 3x + 7 Đáp số: x = 4;−1

11. 3√

x + 32√

x = 2x + 12x − 7 Đáp số: x = 8±3

√7

2

12. 7 + 2√

x− x =(2 +√

x)√

7− x Đáp số: x = 72 ;3

13.√

6− 4x + x2 = x + 4 Đáp số: x = 56

14. 2+√

19−2xx = 1 Đáp số: x = 5

15. 3x2 + 15x + 2√

x2 + 5x + 1 = 2 Đáp số: x = 0;−5

16. 4x+√

x2+x− 1

x−√

x2+x= 3

x Đáp số: x = −1; 916

17.√

20+xx −

√20−x

x =√

6 Đáp số: Vô nghiệm

18.√

x + 5−√

x− 3 = 2 Đáp số: x = 4

19.√

x2 + 9−√

x2 − 7 = 2 Đáp số: x = ±4

20.√

15− x +√

3− x = 6 Đáp số: x = −1

21.√

3x + 4 +√

x + 4 = 2√

x Đáp số: x = −163

22.√

x + 2√

x− 1 +√

x− 2√

x− 1 = 2 Đáp số: x ≥ 1

23.√

x + 3− 4√

x− 1 +√

x + 8− 6√

x− 1 = 1 Đáp số: x ≥ 1

24.√

x +√

x + 11 +√

x−√

x + 11 = 4 Đáp số: x = 5

25.√

5x− 5 +√

10x− 5 =√

15x− 10 Đáp số: x = 1; 12

26.√

x2 + x + 4 +√

x2 + x + 1 =√

2x2 + 2x + 9 Đáp số: x = 0;−1

27. 3√

12− x + 3√

14 + x = 2 Đáp số: x = −15;13



28. 4√

57− x + 4√

40 + x = 5 Đáp số: x = 41;−24

29. 1x + 1√

2−x2 = 2 Đáp số: x = 1; −1−√

32

30.√

2x + 3 +√

x + 1 = 3x + 2√

2x2 + 5x + 13− 16 Đáp số: x = 3

31.√

x−√

x + 1−√

x + 4 +√

x + 9 = 0 Đáp số: x = 0

32. 3√

x− 2 + 3√

x + 3 = 3√

2x + 1 Đáp số: x = −3;2;−12

33. x 3√

35− x3(

x + 3√

35− x3)= 30 Đáp số: x = 2;3

34. x + x√x2−1

= 3512 Đáp số: x = 5

4 ; 53

35.(

1x2+x+1

)2+(

1x2+x+2

)2= 13

36 Đáp số: x = −1±√

52

36. 3( x+3

x−2

)2+ 168

( x−3x+2

)2 − 46(

x2−9x2−4

)= 0 Đáp số: x = 1;5;6; 6

5

37. x4 − 4 x3 − x2 + 8 x + 4 = 0 Đáp số: 2;−1; 3−√

172 ; 3+

√17

2

38. x4 + 3x3 − 2x2 − 6x + 4 = 0 Đáp số: x = 1;−2;−1±√

3

39. 4x3 − x2 + 17x + 15 = 0 Đáp số: x = −34

40. x4 − 7x3 + 14x2 − 2x− 12 = 0 Đáp số: x = 2;3;1±√

3

41. (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2 Đáp số: x = −4

42. (2 x + 1)4 − 12 x (x + 1) = 57 Đáp số: x = 1;−2

43. x6 − 7x2 +√

6 = 0

Gợi ý:⇔ x6 − (6 + 1) x2 +

√6 = 0

⇔ x6 − 6x2 − x2 +√

6 = 0

⇔ x2 (x4 − 6)− x2 +

√6 = 0

⇔ x2(

x4 −(√

6)2)−(

x2 −√

6)= 0

⇔ x2(

x2 +√

6)(

x2 −√

6)−(

x2 −√

6)= 0

⇔(

x2 −√

6)(

x4 +√

6x2 − 1)= 0

→ x =

4√

6;− 4√

6; 12

√−2√

6 + 2√

10;−12

√−2√

6 + 2√

10

Phương trình x6 −(a2 + 1

)x2 + a = 0 hoàn toàn giải được ∀ a.

44. (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 Đáp số: x = −4;−4±√

10

45. (x2 − 1)(x + 3)(x + 5) = 105 Đáp số: x = 2;−6



46.(x2 + 5 x + 6

)(x2 − 11 x + 30

)= 84 Đáp số: x = 4;−1; 3±

√105

2

47. (x− 1) (6 x− 5) (3 x + 2) (2 x + 1) = 22 Đáp số: x =−1; 4

3

48. (4 x− 1) (2 x + 1) (4 x− 3) (x + 1) = 18 Đáp số: x =

1; −5

4

49.

(x2 − x + 2

)(x2 + 5 x + 2

)= 16 x2 Đáp số: x = 1;2; −7±

√41

2

50. 4x4 − 7x2 − 5x− 1 = 0⇔(x2 − x− 1

)(1 + 2 x)2 = 0 Đáp số: x = −1

2 ; 1±√

52

51. (x + 4)6 + (x + 5)6 = 1 Đáp số: x = −5;−4

52. 6 x6 + 17 x5 − 22 x4 − 66 x3 − 22 x2 + 17 x + 6 = 0 Đáp số: x = 2; 12 ;−3;−1

3 ;−1

53. 24 x7 − 14 x6 − 361 x5 + 451 x4 + 451 x3 − 361 x2 − 14 x + 24 = 0

Đáp số: x = 2; 12 ;−3;−1

3 ;−1;−4;−14

54.x(x2−56)

4−7x − 21x+22x3+2 = 4 Đáp số: x = 1;2;5;−4;−3;−1

Gợi ý: Đặt a = x3 + 2;b = 4− 7x đưa phương trình về dạng: a2 + 2(2b− 17)a + 3b2 −34b = 0 có hai nghiệm là a = −b hoặc a = −3b + 34.

+Với a = −b⇒ x3 + 2 = −(4− 7x)⇔ x3 − 7x + 6 = 0⇒ x = 2;−3;1+Với a =−3b + 34⇒ x3 + 2 =−3(4− 7x) + 34⇔ x3− 21x− 20 = 0⇒ x = 5;−4;−1

55.x(x2−91)

2+7 x + 21 x−24x3−4 = −9 Đáp số: x = 1,3,4,−5,−2,−1

56.x(7 x2−31)

2 x+7 + 7(5x+10)x3+8 = 9 Đáp số: x =

1;−2; −1±

√5

2 ;1±√

2

57.√

12− 3x2 +

√4x2 − 3

x2 = 4x2 Đáp số: x = ±1

58. 11+x + 2

1+√

x = 2+√

x2x Đáp số: x = 1

59. x2 + 2x√

x + 1x = 8x− 1 Đáp số: x = 2±

√3

Gợi ý: Chia 2 vế cho x 6= 0 rồi đặt t=√

x + 1x

60. 5√

1 + x3 = 2(x2 + 2

)Đáp số: x = 5±

√37

2

61. 4x3 + 4x2 − 5x + 9 = 4 4√

16x + 8 Đáp số: x =

12


4.2. Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm TOÁN HỌC 9

4.2. Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm

Bài tập 4.4. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm.

1) x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;

3) x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0 4) x2 + 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0

5) x2 - (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 6) x2 - 2x - (m - 1)(m - 3) = 0

7) x2 - 2mx - m2 - 1 = 0 8) (m + 1)x2 - 2(2m - 1)x - 3 + m = 0

9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0

Bài tập 4.5. a) Cho phương trình (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0 (ẩn x).

Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.

b) Cho phương trình (2m - 1)x2 - 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.

Tìm m để phương trình có nghiệm.

c) Cho phương trình: (m - 1)x2 - 2mx + m - 4 = 0.

- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

d) Cho phương trình: (a - 3)x2 - 2(a - 1)x + a - 5 = 0.

Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài tập 4.6. Cho các PT:x2 +

√2(

a + 1b

)+ 25

8 = 0

x2 +√

3(

b + 1a

)+ 75

16 = 0

và a > 0,b > 0, a + b = 1Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Bài tập 4.7. Cho b,c là hai số khác 0 thoả mãn: 1b +

1c =

12

Chứng minh rằng có ít nhất một trong 2 phương trình sau có nghiệm:

x2 + bx + c = 0(1) và x2 + cx + b = 0 (2)

Hướng dẫn

Để (1) hoặc (2) có nghiệm ta cần chứng minh biệt thức Delta của một trong hai phương trình

đó không âm

x2 + bx + c = 0(1) có ∆1 = b2 − 4c

x2 + cx + b = 0(2) có ∆2 = c2 − 4b

Ta cần chứng minh ∆1 ≥ 0 hoặc ∆2 ≥ 0 Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử cả hai

phương trình đều vô nghiệm: ∆1 = b2− 4c < 0 và ∆2 = c2− 4b < 0→ ∆1 + ∆2 =(b2 − 4c

)+


4.2. Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm TOÁN HỌC 9(c2 − 4b

)= b2 + c2 − 4 (b + c) < 0 (*)

Từ giả thiết ta có 1b +

1c =

12 → b + c = 1

2 bc vì b và c khác 0

Suy ra: ∆1 + ∆2 = b2 + c2 − 4 (b + c) = b2 + c2 − 4.12 .bc = (b− c)2 ≥ 0

Điều này chứng tỏ (*) không thể xảy ra đồng nghĩa với giả thiết đưa ra là không thể xảy ra.

Từ đó suy ra một trong hai phương trình trên có nghiệm

Bài tập 4.8. a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có

nghiệm:

(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0

b) Chứng minh rằng với ba số thức a,b,c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân

biệt: 1x−a +

1x−b +

1x−c = 0 ẩn là x

c) Chứng minh rằng phương trình: c2x2 + (a2− b2− c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ

dài ba cạnh của một tam giác.

d) Chứng minh rằng phương trình bậc hai:

(a + b)2x2 − (a− b)(a2 − b2)x− 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt

Bài tập 4.9. a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có

nghiệm:

ax2 + 2bx + c = 0 (1)

bx2 + 2cx + a = 0 (2)

cx2 + 2ax + b = 0 (3)

b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau:

x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)

x2 − 2bx + 4a2 = 0 (2)

x2 − 4ax + b2 = 0 (3)

x2 + 4bx + a2 = 0 (4)

Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm.

c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau):ax2 − 2b

√b+c

b+c x + 1c+a = 0(1)

bx2 − 2c√

c+ac+a x + 1

a+b = 0(2)

cx2 − 2a√

a+ba+b x + 1

b+c = 0(3)

với a, b, c là các số dương cho trước.

Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Bài tập 4.10. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0

Biết a 6= 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm.

Bài tập 4.11. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 6= 0) có hai nghiệm nếu

một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:

(i) a(a + 2b + 4c) < 0 ;

(ii) 5a + 3b + 2c = 0.


4.3. Hệ thức Viét và các dạng toán liên quan TOÁN HỌC 9

Bài tập 4.12. Cho phương trình:4x2

x4 + 2x2 + 1− 2 (2m− 1) x

x2 + 1+ m2 −m− 6 = 0

a) Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm.

b) Cho phương trình: (m2 + m− 2)(x2 + 4)2 − 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m

để phương trình có ít nhất một nghiệm.

4.3. Hệ thức Viét và các dạng toán liên quan

Bài tập 4.13. Cho phương trình: x2 − 2(m + 1)x + 4m = 0

1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.

2) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.

3) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)

4) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm).

5) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

6) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 - x2 = - 2.

7) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho

A = 2x21 + 2x2

2 - x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 4.14. Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a) (m + 1)x2 − 2(m + 1)x + m− 3 = 0 (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18

b) mx2 − (m− 4)x + 2m = 0 2(x21 + x2

2) = 5x1x2

c) (m− 1)x2 − 2mx + m + 1 = 0 4(x21 + x2

2) = 5x21x2

2

d) x2 − (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 3x1x2 - 5(x1 + x2) + 7 = 0

Bài tập 4.15. Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a) x2 + 2mx− 3m− 2 = 0. 2x1 - 3x2 = 1

b) x2 − 4mx + 4m2 −m = 0. x1 = 3x2

c) mx2 + 2mx + m− 4 = 0. 2x1 + x2 + 1 = 0

d) x2 − (3m− 1)x + 2m2 −m = 0. x1 = x22

e) x2 − 4x + m2 + 3m = 0. x21 + x2 = 6

f) 2 x2 +(−m2 − 2m

)x + m3 = 0. x2

1 + x22 =

1764

g)2 x2 + (−5m + 3) x + 2m2 − 3m + 1 = 0. x1 = x22

h)x2 − (m + 1)x + 6 = 0. (x21 − 1)(x2

2 − 1) = 24

i)x2 −mx− 2 = 0. x31 + x3

2 = 7

j)x2 −mx + 1 = 0. x41 + x4

2 = 2



Bài tập 4.16. a) Cho phương trình: (m + 2)x2− (2m− 1)x− 3+ m = 0. Tìm điều kiện của m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

b) Cho phương trình bậc hai: x2 − mx + m− 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm

x1, x2 sao cho biểu thức T =2x1x2 + 3

x21 + x2

2 + 2 (1 + x1x2)đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

c) Định m để hiệu hai nghiệm của phương trình sau đây bằng 2.

mx2 − (m + 3)x + 2m + 1 = 0.

Bài tập 4.17. Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0).

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp

đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2.

Bài tập 4.18. Cho trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0). Chứng minh rằng điều kiện cần

và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là:

kb2 = (k + 1)2ac

Bài tập 4.19. Cho phương trình: (m2 − 4)x2 + 2(m + 2)x + 1 = 0

Tìm m để PT có nghiệm duy nhất.

Bài tập 4.20. Cho phương trình: x2 − 2 (m + 1) x + m2 + 2 = 0(m là tham số)

(a) Giải PT khi m=1

(b) Tìm m để PT có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức: x21 + x2

2 = 10

Bài tập 4.21. Cho x2 − (5m− 1) x + 6m2 − 2m = 0

(a) Chứng minh rằng PT luôn có nghiệm với mọi m

(b) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tìm m để x21 + x2

2 = 1

Bài tập 4.22. Cho x2 − 2 (m− 1) x + m2 −m− 5 = 0

(a) Giải PT với m=3

(b) Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện:x21 + x2

2 = 3m2 − 2

Bài tập 4.23. Không cần giải ,Chứng minh rằng (√

3 + 1)x2 − 2x −√

3 = 0 có hai nghiệm

phân biệt và tính tổng các bình phương hai nghiệm đó.

Bài tập 4.24. Cho phương trình:x2 − 4x−m2 + 6m− 5 = 0

(a) Giải phương trình với m=2

(b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm

(c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =

x31 + x3

2

Bài tập 4.25. Cho phương trình:x2 − 2(m− 1)x + m− 3 = 0 (1)

(a) Chứng minh rằng (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

(b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tìm min của biểu thức T=x21 + x2

2

(c) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.



Bài tập 4.26. Cho phương trình: (m− 3)x2 − 2mx + m + 2 = 0 (1)

a) Tìm m để pt có nghiệm duy nhất .

b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x21 + x2

2

c) Viết hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.

Bài tập 4.27. Cho phương trình:x2 − 2mx + 2m− 1 = 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 = 3x2

Bài tập 4.28. Cho phương trình:2x2 − (m + 3)x + m = 0 (1)

(a) Giải phương trình khi m=2

(b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa x1 + x2 =52 x1x2

(c) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (1).

Tìm m để biểu thức T=|x1 − x2| đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 4.29. Cho phương trình: x2 + mx + n = 0 (1)

(a) Giải (1) với m=3,n=2

(b) Xác định m,n biết (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x1 − x2 = 3

x31 − x3

2 = 9

Bài tập 4.30. Cho phương trình: x2 + 2 (m + 3) x + m2 + 3 = 0

(a) Tìm m để PT có nghiệm kép?. Tìm nghiệm kép đó.

(b) Tìm m để PT có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 − x2 = 2

Bài tập 4.31. Cho phương trình: 8x2 − 8x + m2 + 1 = 0 (*)

(a) Xác định m để (*) có nghiệm x = 12 . Tìm nghiệm còn lại?

(b) Tìm m để (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x41 − x4

2 = x31 − x3

2

Bài tập 4.32. Cho phương trình:x4 − (m + 1)x2 + m = 0 (1)

(a) Chứng minh rằng (1) luôn có nghiệm

(b) Tìm m để (1) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x21 + x2

2 + x23 + x2

4 = 20

Bài tập 4.33. Cho phương trình x2 − 2 (m− 1) x + 2m− 4 = 0 (1)

(a) Giải phương trình (1) với m=2

(b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x21 + x2

2 với x1, x2 là nghiệm của (1).

Bài tập 4.34. Cho phương trình:x2 + 2x−m = 0 (1)

(a) Giải hệ khi m=-1

(b) Gọi x1, x2 là nghiệm của (1), tìm m để biểu thức T=x41 + x4

2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 4.35. Cho phương trình: x2 − ax− 2 = 0 (*)

(a) Giải (*) với a=1



(b) Chứng minh rằng (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi a

(c) Gọi x1, x2 là nghiệm của (*) . Tìm a để biểu thức

T = x21 + (x1 + 2)(x2 + 2) + x2

2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 4.36. Cho phương trình: x2 − 2mx + m2 + 3m− 4 = 0 (m là tham số) (1)

a) Tìm m để (1) có nghiệm.

b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm x1, x2 để biểu thức T=x21 + x2

2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 4.37. Cho phương trình: x2 − 2mx + m2 −m + 1 = 0

(a) Giải phương trình trên với m=1

(b) Tìm m để PT có nghiệm phân biệt x1, x2 để biểu thức T=x1x2 − x1 − x2 đạt giá trị nhỏ

nhất

Bài tập 4.38. Cho phương trình: x2 − (3m + 1)x + 2m2 + m− 1 = 0

(a) Chứng minh phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

(b) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình trên.

Tìm m để biểu thức A=x21 + x2

2 − 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất

Bài tập 4.39. Cho phương trình: x2 + 2(m− 1)x− 2m− 3 = 0

(a) Chứng minh rằng PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

(b) Tìm m để PT có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (4x1 + 5)(4x2 + 5) + 19 = 0

Bài tập 4.40. Cho phương trình: x2 − 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x1 − x2| = x1 + x2

Bài tập 4.41. Cho phương trình: x2 − 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0

(a) Giải phương trình khi m=2

(b) Tìm m để PT có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x21 + 2(m + 1)x2 ≤ 3m2 + 16

Bài tập 4.42. Cho PT : x2 − 2(m− 1)x + 2m− 3 = 0 (1)

(a) Chứng minh rằng (1) luôn có nghiệm với mọi m.

(b) Với giá trị nào của m thì PT (1) có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.

(c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tìm m để biểu thức T=x21x2 + x1x2

2 − 5 đạt giá trị nhỏ

nhất.

Bài tập 4.43. Cho phương trình x2 − 2mx + m− 2 = 0

a) Chứng minh phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của PT. Tìm m để biểu thức T=−24

x21 + x2

2 − 6x1x2đạt giá trị nhỏ

nhất.



Bài tập 4.44. Cho phương trình: mx2 − 2(m− 2)x−m− 2 = 0

Tìm m để PT có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 − x2| = 3

Bài tập 4.45. Cho phương trình x2 − (2m− 1)x + m2 −m− 6 = 0

(a) Chứng minh phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

(b) Tìm m để −5 < x1 < x2 < 5

Bài tập 4.46. Cho phương trình: x2 − 2(m− 1)x− 3 = 0

(a) Giải PT khi m=2

(b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. Tìm m

thỏa mãn x1x2

2+ x2

x21= m− 1

Bài tập 4.47. Cho phương trình: x2 − 2(m + 1)x + m2 + 3m− 1 = 0

(a) Giải phương trình khi m = −2

(b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x21 + x2

2 = 2(x1 + x2)−x1x2 + 11

Bài tập 4.48. Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + 2m = 0(1) (với x là ẩn, m là tham số).

(a) Giải phương trình (1) với m = 0.

(b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác

vuông có cạnh huyền bằng√

2.

Bài tập 4.49. Gọi x1, x2 là các nghiệm của của phương trình

x2 − 3x− 7 = 0

Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là : 1x1−1 và 1

x2−1

Bài tập 4.50. Cho phương trình : x2 −m2x + 2m + 1 = 0

a, Giải phương trình khi m=√

2

b, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Lập hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không

phụ thuộc vào tham số m.

c, Tìm m sao cho :(

1x1+ 1

x2

)2= 1

Bài tập 4.51. Cho phương trình: x2 − 2 (m− 1) x−m = 0

a)Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Với m khác 0 , lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là x1 +1x2

và x2 +1x1

Bài tập 4.52. Giả sử a,b là 2 nghiệm của phương trình x2 + px + 1 = 0 và c,d là 2 nghiệm của

phương trình :x2 + qx + 1 = 0

Hãy chứng minh hệ thức: (a− c)(b− c)(a + d)(b + d) = q2 − p2 (*)



Hướng dẫn

Vì a,b là 2 nghiệm của phương trình x2 + px + 1 = 0 nên theo viét

a + b = −p

ab = 1

Vì c,d là 2 nghiệm của phương trình :x2 + qx + 1 = 0 nên theo viét

c + d = −q

cd = 1Xét VT(*)=(a− c)(b− c)(a + d)(b + d)

= (ab− ac− bc + c2)(ab + ad + bd + d2)

= (1− c(a + b) + c2)(1 + d(a + b) + d2)

= (1 + pc + c2)(1− pd + d2)

= 1− pd + d2 + pc− p2cd + pcd2 + c2 − pc2d + c2d2

= 1− pd + d2 + pc− p2 + pd + c2 − pc + 1

= 2 + d2 + c2 − p2

= 2.1 + d2 + c2 − p2

= 2.cd + d2 + c2 − p2

= (c + d)2 − p2 = (−q)2 − p2 = q2 − p2=VP(*) (đpcm).

Bài tập 4.53. Cho x1, x2 là các nghiệm của phương trình :x2 − 2x− 8 = 0

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm : 2x1 + x2 và 2x2 + x1

Bài tập 4.54. (Đề thi vào trường PTNK-ĐHQG TP.HCM,2000-2001)

Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2 − 7x + 3 = 0

a, Hãy lập phương tình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 − x2 và 2x2 − x1

b, Hãy tính giá trị của biểu thức : A = |2x1 − x2|+ |2x2 − x1|Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x2

1 + x2 và x22 + x1

Bài tập 4.55. Cho hai số a và b thỏa mãn đẳng thức

a2 + b2 + 3ab− 8a− 8b− 2√

3ab + 19 = 0

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm a và b.

Hướng dẫn

Đặt a + b = S; ab = P khi đó a;b là nghiệm của phương trình x2 − Sx + P = 0, Ta đi tìm S,P?

Do a2 + b2 + 3ab− 8a− 8b− 2√

3ab + 19 = 0

nên (a + b)2 + ab− 8(a + b)− 2√

3ab + 19 = 0

⇒ S2 + P− 8S− 2√

3P + 19 = 0

⇒ (S− 4)2 + (√

P−√

3)2 = 0

⇒

S− 4 = 0√P−√

3 = 0⇔

S = 4

P = 3Vậy a,b là nghiệm của phương trình x2 − 4x + 3 = 0.



Bài tập 4.56. Cho phương trình x2 − 2 (m + 2) x + m2 − 1 = 0 ( với m là tham số ) có hai

nghiệm x1, x2.

Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là : y1 = 4x21 − 1 và y2 = 4x2

2 − 1

Bài tập 4.57. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn :

x1x2 = 4 và x1x1−1 +

x2x2−1 = a2−7

a2−4

Bài tập 4.58. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn :

4x1x2 − 5 (x1 + x2) + 4 = 0 và (x1 − 1) (x2 − 1) = 1m+1

Bài tập 4.59. Cho P(x) = ax2 + bx + c

Xác định hệ số a,b,c để |P (x)| ≤ 10 và |a|+ |b|+ |c| đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập 4.60. Cho phương trình: x2 − 3(m + 1)x + 2m2 + 5m + 2 = 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x1 + x2| = 2 |x1 − x2|

Bài tập 4.61. Cho phương trình: x2 − 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (*)

(a) Tìm m để phương trình có nghiệm

(b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (*). Tìm m để biểu thức T=x21 + x2

2 + 8x1x2 đạt giá trị nhỏ

nhất.

Bài tập 4.62. Cho phương trình: x2 − 5mx + 4m = 0 (1)

(a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

(b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức

A =m2

x21 + 5mx2 + 12m

+x2

2 + 5mx1 + 12mm2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 4.63. Cho phương trình: x2 −mx− 1 = 0 (1) (x là ẩn số)

(a) Chứng minh rằng (1) luôn có hai nghiệm trái dấu.

(b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1).Tính giá trị của biểu thức

P =x2

1 + x1 − 1x1

− x22 + x2 − 1

x2

Bài tập 4.64. Cho phương trình: x2− (m− 1)x + 5m− 6 = 0 (1) (x là ẩn số). Tìm m để PT có

hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 4x1 + 3x2 = 1

Bài tập 4.65. Cho phương trình: x2 + x + m− 5 = 0 (1) (m là tham số)

(a) Giải (1) với m=4

(b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1 6= 0; x2 6= 0 thoả mãn :

6−m− x1

x2+

6−m− x2

x1=

103


4.4. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số TOÁN HỌC 9

4.4. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số

Bài tập 4.66. Cho phương trình x2− (2m− 3)x + m2− 3m = 0. Xác định m để phương trình

có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6.

Bài tập 4.67. Cho phương trình 2x2 + (2m− 1)x + m− 1 = 0. Xác định m để phương trình

có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - 1 < x1 < x2 < 1.

Bài tập 4.68. Cho f(x) = x2 − 2(m + 2)x + 6m + 1.

a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.

b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai

nghiệm lớn hơn 2.

Bài tập 4.69. Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.

a) Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.

b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn - 1.

Bài tập 4.70. Cho phương trình: x2 + 2(m− 1)x− (m + 1) = 0.

a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.

Bài tập 4.71. Tìm m để phương trình: x2 −mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn

x1 ≤ - 2 ≤ x2.

4.5. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình

bậc hai không phụ thuộc tham số

Bài tập 4.72. a) Cho phương trình: x2 −mx + 2m− 3 = 0.

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m.

b) Cho phương trình: (m− 2)x2 − 2(m + 2)x + 2(m− 1) = 0.

Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào

tham số m.

c) Cho phương trình: 8x2 − 4(m− 2)x + m(m− 4) = 0.

Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m,

suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số - 1 và 1.

Bài tập 4.73. Cho phương trình: (m− 1)2x2 − (m− 1)(m + 2)x + m = 0.

Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào

tham số m.


4.6. Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai TOÁN HỌC 9

Bài tập 4.74. Cho phương trình: x2 − 2mx−m2 − 1 = 0.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1x2+ x2

x1= −5

2

Bài tập 4.75. Cho phương trình: (m− 1)x2 − 2(m + 1)x + m = 0.

a) Giải và biện luận phương trình theo m.

b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:

- Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m.

- Tìm m sao cho |x1 − x2| ≥ 2.

Bài tập 4.76. Cho phương trình: (m− 4)x2 − 2(m− 2)x + m− 1 = 0.

Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:

4x1x2 - 3(x1 + x2) + 2 = 0.

4.6. Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc

hai

Kiến thức cần nhớ:

1/ Định giá trị của tham số để phương trình này có một nghiệm bằng k lần một nghiệm của

phương trình kia (k 6= 0)

Xét hai phương trình:

ax2 + bx + c = 0 (1)

a’x2 + b′x + c′ = 0 (2)

trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m.

Định m để sao cho phương trình (2) có một nghiệm bằng k (k 6= 0) lần một nghiệm của

phương trình (1), ta có thể làm như sau:

i) Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (1) thì kx0 là một nghiệm của phương trình (2), suy

ra hệ phương trình:ax2

0 + bx0 + c = 0

a′k2x20 + b′kx0 + c′ = 0

(*)

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.

ii) Thay các giá trị m vừa tìm được vào hai phương trình (1) và (2) để kiểm tra lại.

2/ Định giá trị của tham số m để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau.

Xét hai phương trình:

ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) (3)



a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ 6= 0) (4)

Hai phương trình (3) và (4) tương đương với nhau khi và chỉ khi hai phương trình có cùng 1

tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng).

Do đó, muốn xác định giá trị của tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau

ta xét hai trường hợp sau:

i) Trường hợp cả hai phương trình cùng vô nghiệm, tức là:∆(3) < 0

∆(4) < 0Giải hệ trên ta tịm được giá trị của tham số.

ii) Trường hợp cả hai phương trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:∆(3) ≥ 0

∆(4) ≥ 0

S(3) = S(4)

P(3) = P(4)Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phương trình (*) có thể đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

như sau:bx + ay = −c

b′x + a′y = −c′

Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm như sau:

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.

- Tìm m thoả mãn y = x2.

- Kiểm tra lại kết quả.

Bài tập 4.77. Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung:

2x2 − (3m + 2)x + 12 = 0

4x2 − (9m− 2)x + 36 = 0

Bài tập 4.78. Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm

chung đó:

a) 2x2 + (3m + 1)x− 9 = 0 và 6x2 + (7m− 1)x− 19 = 0.

b) 2x2 + mx− 1 = 0 và mx2 − x + 2 = 0.

c) x2 −mx + 2m + 1 = 0 và mx2 − (2m + 1)x− 1 = 0.

Bài tập 4.79. Xét các phương trình sau:

ax2 + bx + c = 0 (1)

cx2 + bx + a = 0 (2)

Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có một nghiệm

chung duy nhất.

Bài tập 4.80. Cho hai phương trình:

x2 − 2mx + 4m = 0 (1)



x2 −mx + 10m = 0 (2)

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm

của phương trình (1).


x2 + x + a = 0 (1)

x2 + ax + 1 = 0 (2)

a) Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.

b) Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương.


x2 + mx + 2 = 0 (1)

x2 + 2x + m = 0 (2)

a) Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

b) Định m để hai phương trình tương đương.

c) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài tập 4.83. Cho các phương trình:

x2 − 5x + k = 0 (1)

x2 − 7x + 2k = 0 (2)

Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm

của phương trình (1).


Chương 5

Bất đẳng thức

5.1. Bất đẳng thức một biến

Giả sử cần tìm min và max của biểu thức P ,ta có thể biến đổi P về một trong các dạng

sau để đánh giá:

P = [ f (x)]2k + C ≥ C⇒ minP = C⇔ f (x) = 0 (C là hằng số,k ∈N∗) hoặc

P = −[ f (x)]2k + C ≤ C⇒ maxP = C⇔ f (x) = 0

*Đặc biệt

Khi P là tam thức ta biến đổi như sau

P = ax2 + bx + c = a

[(x +

b2a

)2

− ∆4a2

]= a(

x +b

2a

)2

− ∆4a

=

≥ − ∆

4a nếu a>0

≤ − ∆4a nếu a<0

Ở đây ∆ = b2 − 4ac, do đó

Nếu a > 0 thì min P = − ∆4a ⇔ x = − b

2a , không có max P

Nếu a < 0 thì max P = − ∆4a ⇔ x = − b

2a , không có min P

Bài tập 5.1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

1. 2x2 + 1

Do x ≥ 0 nên 2x2+1≥ 1

⇒ 2x2 + 1 đạt GTNN bằng 1 khi x=0

*Biểu thức trên không tồn tại max.

2. x2 − 3x + 2

Ta có y=x2 − 3x + 2 =(x− 3

2

)2 − 14 ≥ −

14

⇒ miny = 14 , maxy không tồn tại.


5.1. Bất đẳng thức một biến TOÁN HỌC 9

3. 2x2 + x

Ta có 2x2 + x=2(

x + 14

)2− 1

8 ≥ −18

4. −2x2 + 5x + 1

=−2(x− 54)

2 + 338 ≤

338

5. 2x−√

x

Điều kiện:x ≥ 0

Đặt P=2x−√

x = 2(√

x− 14

)2− 1

8 ≥ −18

⇒ minP = −18 khi x = 1

16

6. y = x + 5√

x + 1

Do x ≥ 0 nên y≥ 1

Vậy min y=1 khi x=0 , không có max

7. 3√

x− x, Điều kiện:x ≥ 0

=−(√

x− 32

)2+ 9

4 ≤94

⇒ max = 94 khi x=9

4

8. 5√

x− 2x + 1, Điều kiện:x ≥ 0

=−2(√

x− 54)

2 + 338 ≤

338

⇒ max = 338 khi x = 25

16

9. x− 3√

x + 2, Điều kiện:x ≥ 0

=(√

x− 32

)2 − 14 ≥ −

14

⇒ min = −14 khi x = 9

4

10. 1−√

2− x, Điều kiện:x ≤ 2

=1−√

2− x ≤ 1

max=1 khi x=2, không có min

11.√

x− 3− 2, Điều kiện:x ≥ 3

Ta có y=√

x− 3− 2≥ −2⇒ miny = −2 khi x=3

12.√

4− x2, Điều kiện:4− x2 ≥ 0

Đặt y=√

4− x2 ≥ 0

⇒ miny = 0 khi 4− x2 = 0⇒ x = ±2

13. y =√

2x2 − x + 3

=y =

√2(

x− 14

)2+ 23

4 ≥√

234



14. 1−√−x2 + 2x + 5, Điều kiện:−x2 + 2x + 5≥ 0

=1−√−(x− 1)2 + 6

Ta có 0≤ −(x− 1)2 + 6≤ 6

⇒ 0≤√−(x− 1)2 + 6≤

√6

⇒−√

6≤ −√−(x− 1)2 + 6≤ 0

⇒ 1−√

6≤ 1−√−(x− 1)2 + 6≤ 1

⇒ 1−√

6≤ y ≤ 1

maxy=1 khi −(x− 1)2 + 6 = 0⇒ x = 1±√

6

miny = 1−√

6 khi x=1

15. y= 1√2x−√

x+3

Ta có√

2x−√

x + 3 =

√2(√

x− 14

)2+ 23

8 ≥√

238 > 0

y= 1√2(√

x− 14)

2+ 23

8

≤√

823

maxy=√

823 khi x= 1

16

16. y = 1√x2−x+2

y= 1√(x− 1

2)2+ 7

4

≤ 1√74=√

47

⇒ maxy =√

47 khi x=1

2

17. y = 11+√

1−x2

Điều kiện: 1− x2 ≥ 0

0≤ 1− x2 ≤ 1

⇔ 0≤√

1− x2 ≤ 1

⇔ 1≤ 1 +√

1− x2 ≤ 2

⇔ 12 ≤

11+√

1−x2 ≤ 1

⇔ 12 ≤ y ≤ 1

maxy=1 khi x=±1

miny=12 khi x=0

18. y = 13−√

1−x2



Điều kiện: 1− x2 ≥ 0

0≤ 1− x2 ≤ 1

⇔ 0≤√

1− x2 ≤ 1

⇔−1≤ −√

1− x2 ≤ 0

⇔ 2≤ 3−√

1− x2 ≤ 3

⇔ 13 ≤

13−√

1−x2 ≤12

⇔ 13 ≤ y ≤ 1

2maxy=1

2 khi x=0

miny=13 khi x=±1

Bài tập 5.2. Tìm min và max

1. y = x2 −√

x2 − 2 + 1Điều kiện : |x| ≥

√2

y =(

x2 − 2−√

x2 − 2 + 14

)− 1

4 + 3

y =(√

x2 − 2− 12

)2+ 11

4 ≥114

miny = 114 ⇔

√x2 − 2− 1

2 = 0⇔ x = ±√

52

2. y = x(x + 1)(x− 2)(x− 3)y = [x (x− 2)] [(x + 1) (x− 3)]

y =(x2 − 2x

)(x2 − 2x− 3

)Đặt t = x2 − 2x⇒ t = (x− 1)2 − 1≥ −1

y = t(t− 3), t ≥ −1

y = t2 − 3t =(t− 3

2

)2 − 94 ≥ −

94

miny = −94 ⇔ t = 3

2 ( thỏa mãn )⇒ x2 − 2x = 32 ⇔ x = 2±

√10

2

3. y =x2 + x + 1x2 − x + 2

(x2 − x + 2)y = x2 + x + 1

(y− 1) x2 − (y + 1) x + 2y− 1 = 0

Xét y = 1⇒−2x + 1 = 0⇔ x = 12

Xét y 6= 1

∆x = −7y2 + 14y− 3

∆x ≥ 0⇔ 1− 2√

77 ≤ y ≤ 1 + 2

√7

7

Bài tập 5.3. (1988) Tìm x để biểu thức M=(2x− 1)2 − 3 |2x− 1|+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn



M=(2x− 1)2 − 3 |2x− 1|+ 2 = (|2x− 1|)2 − 3 |2x− 1|+ 94 −

14

=(|2x− 1| − 3

2

)2 − 14 ≥ −

14

Dấu "=" xảy ra khi(|2x− 1| − 3

2

)2= 0

⇒ |2x− 1| = 32

⇔[

2x− 1 = 32

2x− 1 = −32

⇔[

x = 54

x = −14

Bài tập 5.4. (1989)

Tìm x để biểu thức y= x2−2x+1989x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn

Điều kiện :x 6= 0⇒ y 6= 0

Để y nhỏ nhất⇔ 1y đạt GTLN.

⇔ x2

x2−2x+1989 max⇔ 11− 2

x+1989x2

max

⇔ 1− 2x + 1989

x2 min

Mà 1− 2x + 1989

x2 = 1989x2 − 2

x + 1989(1988+1)19892

= 1989(

1x2 − 2. 1

x . 11989 +

119892

)+ 1988

1989

=1989(

1x −

11989

)2+ 1988

1989 ≥19881989

⇒ miny = 19891988 khi x=1989.

Bài tập 5.5. (1990) Tìm x để biểu thức y = x−√

x− 1991 đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn

y=x−√

x− 1991 =[(x− 1991)−

√x− 1991 + 1

4

]− 1

4 + 1991

=(√

x− 1991− 12

)2+ 19903

4 ≥ 199034 = 7963

4

Vậy miny = 79634 khi

√x− 1991− 1

2 = 0⇒ x = 79654 .

Bài tập 5.6. (2008)

Tìm GTNN của A=(x− 1)4 + (x− 3)4 + 6(x− 1)2(x− 3)2

Hướng dẫn

Đặt x-2=a⇒ A=8a4 + 8≥ 8

Dấu "=" xảy ra khi a=0 suy ra x-2=0⇒ x = 2

Bài tập 5.7. (2011)

Tìm GTNN của M = 4x2 − 3x + 14x + 2011


5.2. Bất đẳng thức hai biến TOÁN HỌC 9

Hướng dẫn

M = 4(

x− 12

)2+ x + 1

4x + 2010≥ 2√

x. 14x + 2010 = 2011

Dấu "=" xảy ra khi x=12

5.2. Bất đẳng thức hai biến

Bài tập 5.8. (2006) Cho hai số dương x,y thỏa mãn x+y=2

Chứng minh rằng x2y2(x2 + y2) ≤ 2

Hướng dẫn

x2y2 (x2 + y2) ≤ 12 xy

[2xy

(x2 + y2)] ≤ 1

2 xy(

x2+2xy+y2

2

)2= 1

2 xy[(x+y)2

2

]2

= 2xy ≤ 2(

x+y2

)2= 2

Bài tập 5.9. (2012)

Cho x,y >0 thỏa mãn x ≥ 2y, tìm GTNN của biểu thức M = x2+y2

xy

Hướng dẫn

Vì x≥ 2y⇒ xy ≥ 2

Ta có M= xy + y

x

Đặt t= xy ⇒ t ≥ 2

M=t + 1t

Dự đoán M đạt min khi dấu bằng xảy ra tức là t=2

Chọn số α thỏa αt = 1t ⇒ α = 1

4

Do đó M= t4 +

1t +

3t4 ≥ 2

√t4 .1

t +3t4 ≥ 1 + 3.2

4 = 52

Dấu"=" xảy ra khi x=2y

Bài tập 5.10. Cho biểu thức

P = xy(x− 2)(y + 6) + 12x2 − 24x + 3y2 + 18y + 36

Chứng minh rằng P luôn dương với mọi x,y ∈R

Hướng dẫn

P = xy (x− 2) (y + 6) + 12x (x− 2)︸︷︷︸+3(y2 + 6y + 12

)P = x (x− 2)

(y2 + 6y + 12

)+ 3

(y2 + 6y + 12

)LATEX 78 Ôn thi Toán vào lớp 10

5.2. Bất đẳng thức hai biến TOÁN HỌC 9

P = (y2 + 6y + 12)(x2 − 2x + 3) Vì

y2 + 6y + 12 = (y + 3)2 + 3 > 0,∀y

x2 − 2x + 3 = (x− 1)2 + 2 > 0,∀x

⇒ P > 0,∀x,y

Bài tập 5.11. Gọi x,y là các số thực thỏa mãn√

x− 1− y√

y =√

y− 1− x√

x

Tìm GTNN của S = x2 + 3xy− 2y2 − 8y + 5

Hướng dẫn

Với x ≥ 1,y ≥ 1 từ giả thiết ta có:

x√

x− y√

y =√

y− 1−√

x− 1 (1)

+Nếu x=y=1 thì S=-1 (*)

+Nếu x,y không đồng thời bằng 1 thì√

y− 1 +√

x− 1 > 0, vì vậy

(1)⇔ x√

x− y√

y = (y−1)−(x−1)√y−1+

√x−1

⇔(√

x−√y)(

x +√

xy + y +√

x+√

y√

x+1+√

y+1

)= 0 (2)

Vì x ≥ 1,y ≥ 1 nên từ (2) suy ra: x=y

Vì vậy :S=2x2 − 8x + 5 = 2(x− 2)2 − 3≥ −3 (**) với mọi x

Dấu bằng xảy ra khi x=2

Vậy min S=-3 khi x=y=2

Bài tập 5.12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1. A = 2x2 − 10x + 17

2. B = (x− 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

3. C = 5x2 + y2 + 10 + 4xy− 14x− 6y

4. D = 2x2 + 2y2 + 26 + 12x− 8y

5. E = 5x2 + 10y2 + 26− 14xy− 18x− 28y

6. F = x2 − 4xy + 5y2 + 10x− 22y + 35

7. G = x2 − 2xy + 2y2 − 8y + 2010


5.3. Bất đẳng thức ba biến TOÁN HỌC 9

5.3. Bất đẳng thức ba biến

Bài tập 5.13. (2014)

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q =√

2a + bc +√

2b + ca +√

2c + ab

Hướng dẫn

Q =√

a(a + b + c) + bc +√

b(a + b + c) + ac +√

c(a + b + c) + ab

Q =√(a + b)(a + c) +

√(b + c)(b + a) +

√(c + a)(c + b)

Q ≤ (a+b)+(a+c)2 + (b+c)+(b+a)

2 + (c+a)+(c+b)2 = 2(a + b + c) = 4

⇒ Qmax = 4⇔

a + b = a + c

b + c = b + a

c + a = c + b

a + b + c = 2

⇔ a = b = c = 23

Bài tập 5.14. (2013)

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c+ab+bc+ca=6abc

Chứng minh rằng 1a2 +

1b2 +

1c2 ≥ 3

Hướng dẫn

1ab +

1bc +

1ca +

1a +

1b +

1c = 6

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:12

(1a2 +

1b2

)≥ 1

ab ;12

(1b2 +

1c2

)≥ 1

bc ;12

(1c2 +

1a2

)≥ 1

ca ;12

(1a2 + 1

)≥ 1

a ;12

(1b2 + 1

)≥ 1

b ;12

(1c2 + 1

)≥ 1

c ;

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:32

(1a2 +

1b2 +

1c2

)+ 3

2 ≥ 6⇔ 32

(1a2 +

1b2 +

1c2

)≥ 6− 3

2 = 92

⇔(

1a2 +

1b2 +

1c2

)≥ 3

Bài tập 5.15. Cho 3 số thực x,y,z .

Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 − yz− 4x− 3y ≥ −7

Hướng dẫn

VT-VP= x2 + y2 + z2 − yz− 4x− 3y + 7



=(

y− 12 z− 3

2

)2+ 3

4 +34 z2 − 3

2 z + (x− 2)2

=(

y− 12 z− 3

2

)2+ 3

4(z− 1)2 + (x− 2)2 ≥ 0

Dấu "=" xảy ra khi

y = 2

z = 1

x = 2

Bài tập 5.16. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn

x,y,z ∈ [−1;3]

x + y + z = 3Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≤ 11

Hướng dẫn

Vì x,y,z ∈ [−1;3]

⇒

−1≤ x ≤ 3

−1≤ y ≤ 3

−1≤ z ≤ 3

⇒

(x + 1) (y + 1) (z + 1) ≥ 0

(3− x) (3− y) (3− z) ≥ 0

⇒

xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1≥ 0

27− 9 (x + y + z) + 3 (xy + yz + zx)− xyz ≥ 0

⇒ 2 (xy + yz + zx) ≥ −2

⇒ x2 + y2 + z2 + 2 (xy + yz + zx) ≥ x2 + y2 + z2 − 2

⇒ (x + y + z)2 ≥ x2 + y2 + z2 − 2

⇒ 32 + 2≥ x2 + y2 + z2

⇒ x2 + y2 + z2 ≤ 11Cách 2:

Không mất tính tổng quát , ta đặt x = maxx,y,z⇒ 3 = x + y + z ≤ 3⇒ 1≤ x ≤ 3

⇒ 2 (x− 1) (x− 3) ≤ 0 (1)x2 + y2 + z2 ≤ x2 + y2 + z2 + 2 (y + 1) (z + 1)

= x2 + (y + z)2 + 2 (y + z) + 2

= x2 + (3− x)2 + 2 (3− x) + 2

= 2x2 − 8x + 17 = 2 (x− 1) (x− 3) + 11(2)Từ (1)(2)⇒ x2 + y2 + z2 ≤ 11

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

x = maxx,y,z(x− 1) (x− 3) = 0

(y + 1) (z + 1) = 0

x + y + z = 3Không xảy ra dấu đẳng thức

Bài tập 5.17. Cho x,y,z thỏa mãn 0 < x,y,z ≤ 1 và x + y + z = 2

Tìm GTNN của biểu thức:A = (x−1)2

z + (y−1)2

x + (z−1)2

y



Hướng dẫn

Phân tích:

A là đối xứng với x,y,z

Dự đoán dấu bằng xảy ra :x=y=z=23

Chọn α sao cho (x−1)2

z = αz⇒1923= α.2

3 ⇒ α = 14

Theo Cauchy ta có:(x−1)2

z + z4 ≥ 2

√(x−1)2

z . z4 = 2. |x−1|

2 = 1− x(y−1)2

x + x4 ≥ 1− y

(z−1)2

y + y4 ≥ 1− z

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được:

A + 14 (x + y + z) ≥ 3− (x + y + z)

A ≥ 3− 54 (x + y + z) = 3− 5

4 .2 = 12

⇒ minA = 12 ⇔ x = y = z = 2

3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 5.18. Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa

1. a2 + 2b2 + 2ab + b + 10 > 0,∀a,b

2. a2 + 4b2 + 3c2 + 14 > 2a + 12b + 6c

3. a + b ≥ 0 thì ab (a + b) ≤ a3 + b3

4. a + b ≥ 0 thì a3+b3

2 ≥(

a+b2

)3

5. a,b > 0 thì a√b+ b√

a ≥√

a +√

b

6. a + b ≥ 0, a 6= 0,b 6= 0 thì ab2 +

ba2 ≥ 1

a +1b

7. a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a (b + c + d + e) ,∀a,b, c,d, e

8. a + b + c ≥ 0 thì a3 + b3 + c3 ≥ 3abc

Gợi ý đi xét hiệu:

H = (a + b)3 + c3 − 3ab (a + b)− 3abc

= 12 (a + b + c)

[(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2

]9. 1 + 2a4 ≥ a2 + 2a3,∀a

10. Cho a < b < c thì a2b + b2c + c2a < a2c + b2a + c2b



Bài tập 5.19. Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

1. Cho a,b,c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1 thì − 12 ≤ ab + bc + ca ≤ 1

Ta cần chứng minh:

−12

(a2 + b2 + c2) ≤ ab + bc + ca ≤ 1

(a2 + b2 + c2)

2. Cho a,b, c > 0 thì a8+b8+c8

a3b3c3 ≥ 1a +

1b +

1c

3. Cho a,b,x,y tuỳ ý thì (ax + by)2 ≤(a2 + b2)(x2 + y2) (Bunhiacopski)

Mở rộng: Với hai bộ (a1, a2, .., an), (b1,b2, ...,bn)ta có:

n

∑i=1

a2i

n

∑i=1

b2i ≥

(n

∑i=1

aibi

)2

4.√(a + c)2 + (b + d)2 ≤

√a2 + b2 +

√c2 + d2,∀a,b, c,d (Mincopski)

Mở rộng:Với hai dãy số không âm a1, a2, ..., an và b1,b2, ...,bn và p là số hữu tỉ lớn hơn 1

ta có:

(n

∑i=1

api

) 1p

+

(n

∑i=1

bpi

) 1p

≥(

n

∑i=1

(ai + bi)p

) 1p

5. Cho a > c,b > c, c > 0 thì√

c (a− c) +√

c (b− c) ≤√

ab

Gợi ý :Bình phương hai về đưa về dạng:(

c−√(a− c) (b− c)

)2≥ 0

6. abc +

bca +

cab ≥ 2

(1a +

1b +

1c

),∀a,b, c > 0

7. Cho a,b ∈ [0;1] thì a2 + b2 + c2 ≤ 1 + a2b + b2c + c2a

Gợi ý sử dụng: 0≤(1− a2)(1− b2)(1− c2)

8. Cho x,y > 0, xy ≤ 1. Chứng minh 11+x + 1

1+y ≤2

1+√

xy

9. Cho 0 < x ≤ 1,0≤ y < 1,0 < z ≤ 1.

Chứng minh 11+x2 +

11+y2 +

11+z2 ≤ 3

1+xyz

Gợi ý: sử dụng câu 8 ở trên

10. Cho z ≥ y ≥ x > 0. Chứng minh : y(

1x + 1

z

)+ 1

y (x + z) ≤ (x + z)(

1x + 1

z

)

Bài tập 5.20. Chứng minh các bất đẳng thức cơ bản sau:

1. a > b > 0⇒ 1b >

1a

2. a + b ≤√

2(a2 + b2) với mọi a,b dương.



3. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi a,b,c∈R

4. a2 + b2 + ab ≥ 0 với mọi a,b∈R

5. a4 + b4 ≥ a3b + ab3 với mọi a,b∈R

6. (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) với mọi a,b,c∈R

7. a2b + ab2 ≤ a3 + b3 với a>0,b>0

8. (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab với a>0,b>0

9. ab +

ba ≥ 2 với a>0,b>0

10. 2a2 + b2 + c2 ≥ 2a (b + c) với mọi a,b,c ∈R

11. a4 + a3b + ab3 + b4 ≥ 0 với mọi a,b∈ R

12. ca + bc ≥ 2

√ab với mọi a,b,c dương

13. a+bc4

2c2 ≥√

ab với mọi a,b,c dương.

14. (a + b)(

1a +

1b

)≥ 4 với ab=1.

Bài tập 5.21. Cho ba số dương thoả mãn điều kiện:a2 + b2 + c2 = 1

Chứng minh rằng a + b + c + ab + bc + ca ≤ 1 +√

3

Bài tập 5.22. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:(y2 + 4

)(x2 + y2) = 8xy2

Bài tập 5.23. Cho a,b là các số dương thoả mãn:a + b = 2ab.

Tìm giá trị nhỏ nhất của B= a+12a−1 +

b+12b−1

Bài tập 5.24. Cho(√

a2 + 1− a)(√

b2 + 1− b)= 1. Hãy tính tổng a+b.

Bài tập 5.25. Tính giá trị của biểu thức A= x5−4x3−3x+9x4+3x2+11 với x

x2+x+1 = 14

Bài tập 5.26. Cho ba số thực dương a,b,c và ab>c;a3 + b3 = c3 + 1

Chứng minh rằng : a + b > c + 1

Bài tập 5.27. Cho a,b,c, là các số dương thoả mãn a + b + c = 1

Chứng minh rằng :√

a + b +√

b + c +√

c + a ≤√

6

Bài tập 5.28. Tìm x nguyên để biểu thức x4 − x2 + 2x + 2 là số chính phương.

Bài tập 5.29. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:



1. y = x2+1x2−x+1

2. y = x4+2x2+2x2+1

3. y = x2−2x+2003x2

4. y =√

3− x +√

4 + x

5. y =√

x− 1− 2√

x− 2 +√

x + 7− 6√

x− 2

6. y =√

x + 1√x+1

7. y =√

x2 + x + 1 +√

x2 − x + 1

8. y = (x + 1)√

3− 2x− x2

9. y = x4 − 4x3 + 8x

10. y = |x− 2001|+ |x− 1|

11. y = |x− 2003|+ |x + 2003|

12. y = |2x− 1|+ |2x + 5|

13. y = |2x− 2002|+ |x + 2003|

14. y = x2 − 3x + 5, x ≥ 2

15. A = x2

y2 +y2

x2 − ( xy + y

x ), x 6= 0;y 6= 0

16. P =(

x2 + 1y2

)(y2 + 1

x2

), x + y = 1

17. y = −2001x2 + 2002x− 2003

18. P = x2 + y2 − xy− x + y + 1

19. P = 1x + 1

y , x + y = 5

20. f (x) = x1−x + 5

x với 0<x<1

21. f (x) = x2 + 2

x−1 với x>1

22. f (x) = x + 3x với x>0

23. f (x) = x + 1x−1 với x>1

Bài tập 5.30. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



1. y = x(x+2014)2

2. y =√

4− x +√

2 + x

3. y =√

3 + x +√

6− x

4. y = x +√

2− x2

Bài tập 5.31. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :

1. y = x4+1(x2+1)2

2. y =√

x +√

2− x

3. y = x +√

1− x2

4. y = 3√

x− 1 + 4√

5− x

5. P = xy với x4 + y4 − 3 = xy(1− 2xy)

6. y = x√

4− x2

Bài tập 5.32. Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và p = a+b+c2 .Chứng minh :

(a) (p− a)(p− b)(p− c) ≤ abc8

(b) 1p−a +

1p−b +

1p−c ≥ 2

(1a +

1b +

1c

)Bài tập 5.33. Cho a,b,c ≥0.Chứng minh (a + b) (b + c) (c + a) ≥ 8abc

Bài tập 5.34. Cho a,b,c >0, a + b + c = 1

Chứng minh(

1a + 1

)(1b + 1

)(1c + 1

)≥ 64

Bài tập 5.35. Cho a,b,c >0 và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng :c

a2+b2 +b

a2+c2 +a

c2+b2 ≥ 3√

32

Bài tập 5.36. Cho a,b,c>0 thoả mãn ba cạnh của tam giác .Chứng minh rằng :a2

b+c−a +b2

c+a−b +c2

a+b−c ≥ a + b + c


Chương 6

Giải phương trình nghiệm nguyên

Không giống như các phương trình nghiệm thực hay nghiệm phức, phương trình nghiệm

nguyên khó giải quyết hơn vì điều kiện ràng buộc nguyên của nghiệm. Vì vậy với phương

trình nghiệm nguyên, ta thường không có một phương pháp hoặc định hướng giải cụ thể

nào như với phương trình nghiệm thực và nghiệm phức. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng một

số phương pháp hiệu quả để giải quyết lớp phương trình này. Trong chuyên đề này ta sẽ nêu

ra một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Tùy vào từng bài toán mà ta có

những dấu hiệu nhận biết để chọn phương pháp thích hợp.

Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên:

1. Xét số dư của từng vế

2. Đưa về dạng tổng

3. Dùng bất đẳng thức

4. Dùng tính chia hết, tính đồng dư

5. Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn

6. Xét chữ số tận cùng

7. Dùng tính chất của số chính phương

8. Tìm nghiệm riêng

9. Hạ bậc

6.1. Xét số dư của từng vế

Bài tập 6.1. Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:

a) x2 − y2 = 1998

b) x2 + y2 = 1999

Giải:

a) Dễ chứng minh x2,y2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên x2 − y2 chia cho 4 có số dư 0, 1,


6.2. Đưa về dạng tổng TOÁN HỌC 9

3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

b) x2,y2 chia cho 4 có số dư 0, 1 nên x2 + y2 chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999

chia cho 4 dư 3.

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

Bài tập 6.2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

9x + 2 = y2 + y

Giải:

Biến đổi phương trình: 9x + 2 = y(y + 1)

Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên y(y + 1) chia cho 3 dư 2.

Chỉ có thể: y = 3k + 1, y + 1 = 3k + 2 với k nguyên

Khi đó: 9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2)

⇔ 9x = 9k(k + 1)

⇔ x = k(k + 1)

Thử lại, x = k(k + 1), y = 3k + 1 thỏa mãn phương trình đã cho.

Đáp số

x = k(k + 1)

y = 3k + 1với k là số nguyên tùy ý

6.2. Đưa về dạng tổng

Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng vế trái là tổng của các bình phương, vế

phải là tổng của các số chính phương.

Bài tập 6.3. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

x2 + y2 − x− y = 8 (1)

Giải:

(1)⇔ 4x2 + 4y2 − 4x− 4y = 32⇔ (4x2 − 4x + 1) + (4y2 − 4y + 1) = 34

⇔ |2x− 1|2 + |2y− 1|2 = 32 + 52

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của

hai số chính phương 32,52. Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng:|2x− 1| = 3

|2y− 1| = 5hoặc

|2x− 1| = 5

|2y− 1| = 3Giải các hệ trên⇒phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là:

(2 ; 3), (3 ; 2), (−1 ; −2), (−2 ; −1)


6.3. Dùng bất đẳng thức TOÁN HỌC 9

6.3. Dùng bất đẳng thức

Phương pháp:

Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các

biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực

tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính

chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức . . .

6.3.1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn

Bài tập 6.4. Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng

Giải:

Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x,y,z. Ta có:

x + y + z = x.y.z (1)

Chú ý rằng các ẩn x,y,z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự

giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 16 x 6 y6 z

Do đó: xyz = x + y + z6 3z

Chia hai vế của bất đẳng thức xyz6 3z cho số dương z ta được: xy6 3

Do đó xy ∈ 1;2;3Với xy = 1, ta có x = 1,y = 1. Thay vào (1) được 2 + z = z (loại)

Với xy = 2, ta có x = 1,y = 2. Thay vào (1) được z = 3

Với xy = 3, ta có x = 1,y = 3. Thay vào (1) được z = 2 loại vì y6 z

Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3.

Cách 2: Chia hai vế của (1) cho xyz 6= 0 được:1yz +

1xz +

1xy = 1

Giả sử x > y> z> 1 ta có

1 = 1yz +

1xz +

1xy 6

1z2 +

1z2 +

1z2 =

3z2

Suy ra 16 3z2 do đó z2 6 3 nên z = 1. Thay z = 1 vào (1):

x + y + 1 = xy

⇔ xy− x− y = 1

⇔ x(y− 1)− (y− 1) = 2

⇔ (x− 1)(y− 1) = 2

Ta có x− 1> y− 1> 0 nên (x− 1,y− 1) = (2,1)

Suy ra (x,y) = (3,2)

Ba số phải tìm là 1; 2; 3

Bài tập 6.5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :

5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt.


6.3. Dùng bất đẳng thức TOÁN HỌC 9

Giải:

Vì vai trò của x,y,z, t như nhau nên có thể giả thiết

x ≥ y ≥ z ≥ t.

Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10

⇒ yzt6 15⇒ t3 6 15⇒ t6 2

Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15

⇒ 2yz6 30⇒ 2z2 6 30⇒ z6 3

Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay

(2x - 5)(2y - 5) = 65 .

Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là

(x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5).

Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp t = 2.

Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là :

(x;y;z; t) = (35;3;1;1); (9;5;1;1) và các hoán vị của các bộ số này.

6.3.2. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn

Bài tập 6.6. Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:1x + 1

y = 13

Giải:

Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x> y. Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị

của số nhỏ hơn (là y).

Hiển nhiên ta có 1y < 1

3 nên y > 3 (1)

Mặt khác do x > y> 1 nên 1x 6

1y . Do đó:

13 = 1

x + 1y 6

1y +

1y = 2

y nên y6 6 (2)

Ta xác định được khoảng giá tri của y là 46 y6 6

Với y = 4 ta được: 1x = 1

3 −14 = 1

12 nên x = 12


3 −15 = 2

15 loại vì x không là số nguyên


3 −16 = 1

6 nên x = 6

Các nghiệm của phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6)

6.3.3. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên

Bài tập 6.7. Tìm các số tự nhiên x sao cho:

2x + 3x = 5x

Giải:

Viết phương trình dưới dạng:


6.3. Dùng bất đẳng thức TOÁN HỌC 9(25

)x+(3

5

)x= 1 (1)

Với x = 0 thì vế trái của (1) bằng 2, loại.

Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1, đúng

Với x > 2 thì(2

5

)x< 2

5 ,(3

5

)x< 3

5 nên:(25

)x+(3

5

)x< 2

5 +35 = 1 loại

Nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1

6.3.4. Sử dụng điều kiện ∆> 0 để phương trình bậc hai có nghiệm


x + y + xy = x2 + y2 (1)

Giải:

Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với x:

x2 − (y + 1)x + (y2 − y) = 0 (2)

Điều kiện cần để (2) có nghiệm là ∆> 0

M= (y + 1)2 − 4(y2 − y) = −3y2 + 6y + 1> 0

⇔ 3y2 − 6y− 16 0

⇔ 3(y− 1)2 6 4

Do đó⇔ (y− 1)2 6 1 suy ra: y ∈ 0,1,2Với y = 0 thay vào (2) được x2 − x = 0⇔ x1 = 0; x2 = 1

Với y = 1 thay vào (2) được x2 − 2x = 0⇔ x3 = 0; x4 = 2

Với y = 2 thay vào (2) được x2 − 3x + 2 = 0⇔ x5 = 1; x6 = 2

Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phương trình (1)

Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2)


Bài tập 6.9. Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên (x,y) thỏa mãn :

y(x− 1) = x2 + 2.

Hướng dẫn:

Ta có y(x− 1) = x2 + 2⇒ y = x2+2x−1 = x + 1 + 3

x−1

Vì x,y nguyên nên x− 1 là ước của 3

Vậy(x,y) = (4,6); (2,6); (−2,−2); (0,−2)

Bài tập 6.10. Tìm x,y ∈Z thỏa mãn :

2x2 − 2xy = 5x− y− 19 .

Hướng dẫn: (x,y) = (0,−19); (1,16); (9,8); (−8,−11)


6.4. Dùng tính chia hết , tính đồng dư TOÁN HỌC 9

Bài tập 6.11. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

xy2 + 2xy− 243y + x = 0

Hướng dẫn:

Ta có xy2 + 2xy− 243y + x = 0⇔ x(y + 1)2 = 243y (1)

Từ (1) với chú ý rằng (y + 1;y) = 1 ta suy ra (y + 1)2 là ước của 243.

Vậy (x,y) = (54,2); (24,8)

Bài tập 6.12. Tìm các số nguyên dương thỏa mãn :

x < y < z và 5x + 2.5y + 5z = 4500.

Hướng dẫn: Nếu z < 5 thì 5x + 2.5y + 5z < 4500.

Nếu z > 5 thì 5x + 2.5y + 5z > 4500.

Vậy x = 3,y = 4,z = 5.


y = 14

Hướng dẫn:

Giả sử 16 x 6 y thì 1x >

1y

14 = 1

x + 1y 6

2x ⇒ x 6 8

1x < 1

4 ⇒ x > 4Vậy 4 < x 6 8, thử chọn để tìm nghiệm.

Đáp số: (5 ; 20), (20 ; 5), (6 ; 12), (12 ; 6), (8 ; 8)

Bài tập 6.14. Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:

x17 + y17 = 1917

Hướng dẫn:

Giả sử x17 + y17 = 1917 và 16 x 6 y < 19

Ta có:1917 > (y + 1)17

⇒ 1917 > y17 + 17y16

Vậy x > 17, chỉ có thể x = y = 18.

Thử lại, x = y = 18 không thỏa.

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.

6.4. Dùng tính chia hết , tính đồng dư

Phương pháp: Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính

chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,. . . để tìm ra điểm đặc biệt của các biến số cũng như

các biểu thức chứa trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết

cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn..



6.4.1. Phương pháp phát hiện tính chia hết của ẩn

Bài tập 6.15. Giải phương trính với nghiệm nguyên: 3x+17y=159

Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình.

Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17y...3 do đó y

...3 ( vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau)

Đặt y=3t (t∈Z). Thay vào phương trình ta được:

3x + 17.3t = 159

⇔ x + 17t = 53

Do đó

x = 53− 17t

y = 3tĐảo lại, thay các biểu thức của x và y vào phương trình ta được nghiệm đúng.

Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên được xác định bằng công thức:x = 53− 17t

y = 3t(t là số nguyên tùy ý)

Bài tập 6.16. Chứng minh rằng phương trình : x2 − 5y2 = 27 (1) không có nghiệm là số

nguyên.

Giải:

Một số nguyên x bất kì chỉ có thể biểu diễn dưới dạng x=5k hoặc x=5k±1 hoặc x=5k±2 trong

đó k∈Z

• Nếu x=5k thì :

(1)⇔ (5k)2 − 5y2 = 27

⇔ 5(5k2 − y2) = 27 Điều này vô lí, vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn

vế phải không chia hết cho 5

• Nếu x=5k±1 thì :

(1)⇔ (5k± 1)2 − 5y2 = 27

⇔ 25k2 ± 10k + 1− 5y2 = 27

⇔ 5(5k2 ± 4k− y2) = 23

Điều này cũng vô lí, vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không

chia hết cho 5

• Nếu x=5k±2 thì :

(1)⇔ (5k± 2)2 − 5y2 = 27

⇔ 25k2 ± 20k + 4− 5y2 = 27

⇔ 5(5k2 ± 4k− y2) = 23

Lập luận tương tự như trên, điều này cũng vô lí

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm là số nguyên

Bài tập 6.17. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :

19x2 + 28y2 = 729.



Giải:

Cách 1. Viết phương trình đã cho dưới dạng

(18x2 + 27y2) + (x2 + y2) = 729 (1)

Từ (1) suy ra x2 + y2 chia hết cho 3, do đó x và y đều chia hết cho 3. Đặt

x=3u, y=3v (u,v∈Z)

Thay vào phương trình đã cho ta được : 19u2 + 28v2 = 81 (2)

Từ (2) lập luận tương tự trên ta suy ra u=3s,v=3t (s,t∈Z)

Thay vào (2) ta có 19s2 + 28t2 = 9 (3)

Từ (3) suy ra s,t không đồng thời bằng 0, do đó

19s2 + 28t2 ≥ 19 > 9

Vậy (3) vô nghiệm và do đó phương trình đã cho cũng vô nghiệm.

Cách 2. Giả sử phương trình có nghiệm

Từ phương trình đã cho ta suy ra x2 = −1(mod4), điều này không xảy ra với mọi số nguyên

x. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

6.4.2. Phương pháp đưa về phương trình ước số


xy-x-y=2

Giải:

Biến đổi phương trình thành:

x(y-1)-y=2

⇔x(y-1)-(y-1)=3

⇔(y-1)(x-1)=3

Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: vế trái là 1 tích các thừa số nguyên, vế phải

là một hằng số. Ta có x và y là các số nguyên nên x-1 và y-1 là các số nguyên và là ước của

23.

Do vai trò bình đẳng của x và y trong phương trình nên có thể giả sử x ≥ y, khi đó

x− 1≥ y− 1

Ta có: (x− 1,y− 1) = (3,1), (−1,−3)

Do đó: (x,y) = (4,2), (0,−2)

Nghiệm nguyên của phương trình: (4;2), (2;4), (0;−2), (−2;0)

Bài tập 6.19. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x + xy + y = 9.

Phương trình đã cho có thể đưa về dạng :

(x + 1)(y + 1) = 10. (1)

Từ (1) ta suy ra (x+1) là ước của 10 hay (x + 1) ∈ ±1;±2;±5;±10Từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình là :



(1,4), (4,1), (−3,−6), (−6,−3), (0,9), (9,0), (−2,−11), (−11,−2).

Bài tập 6.20. Xác định tất cả các cặp nguyên dương (x; n) thỏa mãn phương trình sau:

x3 + 3367 = 2n

Giải:

Để sử dụng được hằng đẳng thức a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2) ta chứng minh n chia hết

cho 3 .

Từ phương trình đã cho ta suy ra x3 ≡ 2n(mod7)

Nếu n không chia hết cho 3 thì 2n khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 2, 4 hoặc 7, trong

khi đó x3 khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 0, 1, hoặc 6 nên không thể có đồng dư thức

x3 ≡ 2n(mod7).

Vậy n=3m với m là một số nguyên dương nào đó. Thay vào phương trình đã cho ta được

x3 + 3367 = 23m

(2m − x)[(2m− x)2 + 3x.2m] = 3367 (1)

Từ (1) ta suy ra 2m − x là ước của 3367

Hơn nữa,(2m − x)3 < 23m − x3 = 3367 nên (2m − x) ∈ 1;7;13Xét 2m-x=1, thay vào (1) ta suy ra 2m(2m − 1) = 2.561, vô nghiệm.

Xét 2m − x = 3, thay vào (1) ta suy ra 2m(2m − 13) = 2.15, vô nghiệm.

Xét 2m − x = 7, thay vào (1) ta suy ra 2m(2m − 7) = 24.32.

Từ đó ta có: m=4;n=3m=12,và x=9.

Vậy (x;n)=(9;12)

6.4.3. Phương pháp tách ra các giá trị nguyên

Bài tập 6.21. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình xy− x = 2 + y

Giải:

Biểu thị x theo y:

x(y-1)=y+2

Ta thấy y 6=1 ( vì nếu y=1 thì ta có 0x=3 vô nghiệm)

Do đó: x = y+2y−1 = y−1+3

y−1 = 1 + 3y−1

Do x là số nguyên nên 3y−1 là số nguyên, do đó y-1 là ước của 3. Lần lượt cho y-1 bằng -1,1,-

3,3 ta được

Đáp số :(x,y) = (−2;0) , (4;2) , (0;−2) , (2;4)


6.5. Lùi vô hạn , nguyên tắc cực hạn TOÁN HỌC 9

6.5. Lùi vô hạn , nguyên tắc cực hạn


x3 + 2y3 = 4z3

Giải:

Hiển nhiên x...2. Đặt x=2x1 với x1 nguyên. Thay vào (1) rồi chia hai vế cho 2 ta được:

4x31 + y3 = 2z3 (2)

Do đó y...2. Đặt y=2y1 với y1 nguyên. Thay vào (2) rồi chia hai vế cho 2 ta được:

2x31 + 4y3

1 = z3 (3)

Do đó z...2. Đặt z=2z1 với z1 nguyên. Thay vào (3) rồi chia hai vế cho 2 được:

x31 + 4y3

1 = 4z31 (4)

Như vậy nếu (x , y , z) là nghiệm của (1) thì (x1,y1,z1)cũng là nghiệm của (1) trong đó

x = 2x1,y = 2y1,z = 2z1.

Lập luận tương tự như trên, (x2,y2,z2) cũng là nghiệm của (1) trong đó x1 = 2x2,y1 =

2y2,z1 = 2z2.

Cứ tiếp tục như vậy ta đi đến: x,y,z chia hết cho 2k với k là số tự nhiên tùy ý. Điều này chỉa

xảy ra khi x=y=z=0.

Đó là nghiệm nguyên duy nhất của (1)

Bài tập 6.23. Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau x,y,z thỏa mãn :

x3 + y3 + z3 = (x + y + z)2

Giải:

Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử x < y < z.

Áp dụng bất đẳng thức :x3+y3+z3

3 ≥(

x+y+z3

)3

Với mọi x,y,z≥0 ta suy ra x+y+z≤9.

Dấu bằng không xảy ra vì x, y, z đôi một khác nhau.

Vậy x+y+z≤8. (1)

Mặt khác: x+y+z≥1+2+3=6. (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra x + y + z ∈ 6,7,8Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được x,y,z

Vậy (x,y,z)=(1,2,3) và các hoán vị của bộ ba số này

6.6. Xét chữ số tận cùng

Bài tập 6.24. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

1! + 2! + ... + x! = y2 (1)


6.6. Xét chữ số tận cùng TOÁN HỌC 9

Giải:

Cho ‘x‘ lần lượt bằng 1; 2; 3; 4, ta có ngay 2 nghiệm nguyên dương (x;y) của phương trình là

(1;1),(3;3)

Nếu x>4 thì dễ thấy k! với k>4 đều có chữ số tận cùng bằng 0

→ 1!+2!+3!+4!+. . . +x!=33+5!+. . . +x! có chữ số tận cùng bằng 3.

Mặt khác vế phải là số chính phương nên không thể tận cùng là 3.

Vậy phương trình (1) chỉ có hai nghiệm nguyên dương (x;y) là (1 ; 1) và (3 ; 3)

Bài tập 6.25. Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình:

x2 + x− 1 = 32y+1 (1)

Giải:

Cho x nhận các giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định được chữa số tận cùng của x2 + x− 1 chì

nhận các giá trị 1; 5; 9. Mặt khác ta thấy 32y+1 là lũy thừa bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng

của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1; 5; 9.

Vậy (1) không thể xảy ra. Nói các khác phương trình (1) không có nghiệm nguyên dương.


Bài tập 6.26. Tìm nghiệm của phương trình:

2x − 3 = 65y

Hướng dẫn:

Ta chứng tỏ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Giả sử phương trình 2x − 3 = 65y có nghiệm nguyên ta suy ra

2x=3(mod5) và 2x=3 (mod 13)

Từ 2x=3 (mod 5) suy ra x=3 (mod 4) (1)

Từ 2x=3 (mod 13) ta suy ra x=4 (mod 12), trái với (1)

Bài tập 6.27. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :

a) 15x2 − 7y2 = 9

b) 29x2 − 28y2 = 2000

c) 1999x2 − 2000y2 = 2001

d) x2002− 2000.y2001 = 2003

e) 19x2 − 84y2 = 198

Hướng dẫn

a) Từ phương trình đã cho ta suy ra y chia hết cho 3. Đặt y=3y1. Ta có

5x2 − 21y21 = 3 (1)

Từ (1) suy ra x chia hết cho 3. Đặt x = 3x1. Ta có

15x21 − 7y2

1 = 1 (2)

Từ (2) suy ra y21 = −1(mod3), vô nghiệm


6.6. Xét chữ số tận cùng TOÁN HỌC 9

b) Từ phương trình đã cho ta suy ra x2 = 5(mod7). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

c) Từ phương trình đã cho ta suy ra x2 = −1(mod4). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

d) Từ phương trình đã cho ta suy ra x lẻ và x2002 = 1(mod4)

Suy ra 2003 = 1 (mod 4), vô lí. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

e) Giả sử phương trình đã cho có nghiệm. Khi đó: y2 + 1 = 0(mod19). Vì 19 là số nguyên tố

có dạng 4k+3 nên y2 + 1 = 0(mod19) ta suy ra 19 | 1, vô lí

Bài tập 6.28. Tìm các số nguyên x,y,z,t sao cho :

a) x2 + y2 + z2 = x2y2

b) x2 + y2 + z2 = 2xyz

c) x2 + y2 + z2 + t2 = 2xyzt

Hướng dẫn:

Sử dụng phương pháp xuống thang

a) Phương trình đã cho : x2 + y2 + z2 = x2y2 (1)

Nếu cả x và y đều lẻ thì từ (1) suy ra z chẵn. Khi đó, x2 + y2 + z2 ≡ 2(mod4)

còn x2y2 ≡ 1(mod4): vô lí

Vậy 1 trong 2 biến x,y phải chẵn

Giả sử x chẵn, từ (1) suy ra y2 + z2...4 do đó cả y và z đều phải chẵn

Đặt x = 2x1,y = 2y1,z = 2z1(x1,y1,z1 ∈ N).

Thay vào (1) ta có x21 + y2

1 + z21 = 4x2

1.y21 (2)

Từ (2) lại lập luận như trên ta suy ra x1,y1,z1 đều chẵn

Cứ tiếp tục như vậy sẽ dẫn đến x...2k,y

...2k,z...2k, với mọi k ∈ N.

Điều này chỉ xảy ra khi x=y=z=0

b) , c) tương tự

Bài tập 6.29. Cho phương trình: x3 − 3xy2 + y3 = n

a) Giả sử phương trình đã cho có một nghiệm nguyên (x,y). Chứng minh rằng phương trình

đã cho có ít nhất ba nghiệm nguyên

b) Giải phương trình tìm nghiệm nguyên với n=2002

Hướng dẫn:

a) Ta có x3 − 3xy2 + y3 = (y− x)3 − 3(y− x)x2 + (−x)3

= (−y)3 − 3(−y)(x− y)2 + (x− y)3.

b) Từ phương trình đã cho ta suy ra x3 + y3 ≡ 1(mod3).

Suy ra x ≡ 1(mod3) và y ≡ 0(mod3) hoặc x ≡ 0(mod3) và y ≡ 1(mod3)

Cả hai trường hợp ta đều có x3 − 3xy2 + y3 ≡ 1(mod9). Do đó phương trình đã cho không

còn nghiệm khi n=2002.


6.7. Dùng tính chất của số chính phương TOÁN HỌC 9

6.7. Dùng tính chất của số chính phương

6.7.1. Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương

Bài tập 6.30. Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp

Giải:

Cách 1: Giải sử 9x + 5 = n(n + 1) với n nguyên thì:

36x + 20 =4n2 + 4n

⇒ 36x + 21 = 4n2 + 4n + 1

⇒ 3(12x + 7) = (2n + 1)2

Số chính phương (2n + 1)2 chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9.

Ta lại có 12x + 7 không chia hết cho 3 nên 3(12x + 7) không chia hết cho 9.

Mâu thuẫn trên chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để 9x + 5 = n(n + 1).

Cách 2: Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) với n nguyên

Biến đổi n2 + n− 9x− 5 = 0

Để phương trình bậc hai đối với n có nghiệm nguyên, điều kiện cần làM là số chính phương.

Nhưng ∆ = 1 + 4(9x + 5) = 36x + 21 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không

là số chính phương.

Vậy không tồn tại số nguyên n nào để 9x + 5 = n(n + 1), tức là không tồn tại số nguyên x để

9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp.

6.7.2. Tạo ra bình phương đúng


2x2 + 4x = 19− 3y2

Giải :

2x2 + 4x + 2 = 21− 3y2

⇔ 2(x + 1)2 = 3(7− y2)

Ta thấy 3(7− y2)...2⇒ 7− y2...2⇒y lẻ

Ta lại có 7− y2 > 0 nên chỉ có thể y2 = 1

Khi đó (2) có dạng: 2(x + 1)2 = 18

Ta được: x + 1 = ±3, do đó: x1 = 2; x2 = −4

Các cặp số (2;1), (2;−1), (−4;1), (−4;−1) thỏa mãn (2) nên là nghiệm của phương trình đã

cho.



6.7.3. Xét các số chính phương liên tiếp

Bài tập 6.32. Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên

dương x sao cho:

x(x + 1) = k(k + 2)

Giải:

Giả sử x(x + 1) = k(k + 2)với k nguyên, x nguyên dương.

Ta có:

x2 + x = k2 + 2k

⇒ x2 + x + 1 = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2

Do x > 0 nên x2 < x2 + x + 1 = (k + 1)2 (1)

Cũng do x > 0 nên

(k + 1)2 = x2 + x + 1 < x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

x2 < (k + 1)2 < (x + 1)2 vô lý

Vậy không tồn tại số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2)

Bài tập 6.33. Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương:

x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3

Giải:

Đặt x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3= y2 (1) với y ∈N

Ta thấy:y2 = (x4 + 2x3 + x2) + (x2 + x + 3)

y2 = (x2 + x)2 + (x2 + x + 3)Ta sẽ chứng minh a2 < y2 < (a + 2)2 với a = x2 + x

Thật vậy:y2 − a2 = x2 + x + 3 = (x + 1

2)2 + 11

4 > 0

(a + 2)2 − y2 = (x2 + x + 2)2 − (x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3)

= 3x2 + 3x + 1

= 3(x + 12)

2 + 14 > 0

Do a2 < y2 < (a + 2)2 nên y2 = (a + 1)2

⇔ x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 = (x2 + x + 1)2

⇔ x2 + x− 2 = 0

⇔[

x = 1

x = −2Với x = 1 hoặc x = −2 biểu thức đã cho bằng 9 = 32



6.7.4. Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau

có tích là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương

Bài tập 6.34. Giải phương trình với nghiệm nguyên dương:

xy = z2 (1)

Giải:

Trước hết ta có thể giả sử (x,y,z) = 1. Thật vậy nếu bộ ba số xo,yo,zo thỏa mãn (1) và có

ƯCLN bằng d, giả sử xo = dx1,yo = dy1,zo = dz1 thì x1,y1,z1 cũng là nghiệm của (1).

Với (x,y,z) = 1 thì x,y,z đôi một nguyên tố cùng nhau, vì nếu hai trong ba số x,y,z có ước

chung là d thì số còn lại cũng chia hết cho d.

Ta có z2 = xy mà (x, y) = 1 nên x = a2,y = b2 với a,b ∈N∗

Suy ra: z2 = xy = (ab)2 do đó, z = ab

Như vậy:

x = ta2

y = tb2

z = tab

với t là số nguyên dương tùy ý.

Đảo lại, hiển nhiên các số x,y,z có dạng trên thỏa mãn (1)

Công thức trên cho ta các nghiệm nguyên dương của (1)

6.7.5. Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số

chính phương thí một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0


x2 + xy + y2 = x2y2 (1)

Giải:

Thêm xy vào hai vế:

x2 + 2xy + y2 = x2y2 + xy

⇔ (x + y)2 = xy(xy + 1) (2)

Ta thấy xy và xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính phương nên tồn tại

một số bằng 0. Xét xy = 0. Từ (1) có x2 + y2 = 0 nên x = y = 0

Xét xy + 1 = 0. Ta có xy = −1 nên (x,y) = (1;−1) hoặc (−1;1)

Thử lại, ba cặp số (0;0), (1;−1), (−1;1) đều là nghiệm của phương trình đã cho.


6.8. Tìm nghiệm riêng TOÁN HỌC 9

6.8. Tìm nghiệm riêng

6.8.1. Phương pháp

Xét phương trình ax + by + c = 0 (1)

trong đó a,b, c ∈Z, a 6= 0,b 6= 0

Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng (a,b,c) = 1. Thật vậy, nếu ( a,b,c)=d 6= 1 thì ta chia

hai vế của phương trình cho d.

Ta có hai định lý:

Định lý 1:

Nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên thì (a,b) = 1(∗)Chứng minh:

Giả sử (xo,yo) là nghiệm nguyên của (1) thì axo + byo = c

Nếu a và b có ước chung là d 6= 1 thì c...d, trái với giả thiết (a,b, c) = 1.

Vậy (a,b) = 1

Định lý 2:

Nếu (xo,yo) là một nghiệm của phương trình (1) thì phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên

và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng:x = xo + bt

y = yo − attrong đó t là một số nguyên tùy ý (t = 0,±1,±2, ...).

Chứng minh:

Bước 1: Mọi cặp số (xo + bt;yo− at) đều là nghiệm nguyên của (1). Thật vậy (xo,yo) là nghiệm

của (1) nên axo + byo = c

Ta có: ax + by = a(xo + bt) + b(yo − at) = axo + byo = c

Do đó (xo + bt;yo − at) là nghiệm của (1)

Bước 2: Mọi nghiệm (x,y) của (1) đều có dạng (xo + bt;yo − at) với t ∈Z

Thật vậy, do (xo,yo) và (x,y) là nghiệm của (1) nênax + by = c

axo + byo = cTrừ từng vế:a(x− xo) + b(y− yo) = 0

⇒ a(x− xo) = b(yo − y)(2)

Ta có a(x− xo)...b mà (a,b) = 1 (theo định lý 1) nên x− xo

...b

Vậy tồn tại số nguyên t sao cho: x− xo = bt

Tức là: x = xo + bt.

Thay vào (2):

abt = b(yo − y)


6.9. Hạ bậc TOÁN HỌC 9

⇒ at = yo − y

⇒ y = yo − atVậy tồn tại số nguyên t sao cho:

x = xo + bt

y = yo − at

Bài tập 6.36. Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình:

3x− 2y = 5

Giải:

Cách 1: Ta thấy xo = 3;yo = 2 là một nghiệm riêng.

Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là:x = 3− 2t

y = 2− 3t(t là số nguyên tùy ý)

Cách 2: Ta thấy xo = 1;yo = −1 là một nghiệm riêng

Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là:x = 1− 2t

y = −1− 3t(t là số nguyên tùy ý)

Chú ý: Qua hai cách giải trên, ta thấy có nhiều công thức biểu thị tập hợp các nghiệm nguyên

của cùng một phương trình.

6.8.2. Cách tìm một nghiệm riêng của phương trình bậc nhất hai ẩn

Để tìm một nghiệm nguyên riêng của phương trình ax + by = c, ta có thể dùng phương

pháp thử chọn: lần lượt cho x bằng số có giá giá trị tuyệt đối nhỏ (0;±1;±2...) rồi tìm giá trị

tương ứng của y.

6.9. Hạ bậc

Bài tập 6.37. Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x3 + 2y3 − 4z3 = 0 (1)

Giải:

(1)⇔ x3 = 4z3 − 2y3 (2)

Rõ ràng vế phải của (2) chia hết cho 2 nên x3... 2 do đó x... 2. Đặt x = 2x1, (x1 ∈Z).

Thay vào (2) ta có:

(2)⇔ 8x31 = 4x3 − 2y3⇔ y3 = 2z3 − 4x3

1 (3)

Lập luận tương tự ta có y... 2, đặt y = 2y1, (y1 ∈Z).

Biến đổi tương tự, ta được:


6.9. Hạ bậc TOÁN HỌC 9

z3 = 4y31 + 2x3

1 (4)

Lập luận tương tự ta có z... 2, đặt z = 2z1, (z1 ∈Z).

Biến đổi tương tự, ta lại có:

(4)⇔ 8z31 = 4y3

1 + 2x31⇔ x3

1 + 2y31 − 4z3

1 = 0 (5)

Rõ ràng nếu bộ số (x0;y0;z0) là nghiệm của (1) thì bộ số ( x02 ; y0

2 ; z02 ) cũng là nghiệm của (1),

hơn nữa x0,y0,z0 là số chẵn và x02 ; y0

2 ; z02 cũng là số chẵn. Quá trình này có thể tiếp tục mãi và

các số x02n ; y0

2n ; z02n là số chẵn với mọi n là số nguyên dương.

Vậy x = y = z = 0


Bài tập 6.38. Tìm x,y nguyên thỏa mãn :

x2y2 − x2 − 8y2 = 2xy

Hướng dẫn:

Viết lại phương trình đã cho dưới dạng:

y2(x2 − 7) = (x + y)2. (1)

Phương trình đã cho có nghiệm x = y = 0.

Xét x,y 6= 0. Từ (1) suy ra x2 − 7 là một số chính phương. Đặt x2 − 7 = a2, ta có

(x− a)(x + a) = 7

Từ đó tìm được x

Đáp số: (0,0); (4,−1); (4,2); (−4,1); (−4,−2)

Bài tập 6.39. Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn:

a) 1! + 2! + ... + x! = y2

b) x! + y! = 10z + 9

Hướng dẫn:

a) Đây là bài toán liên quan đến chữ số tận cùng của một số chính phương.

Nếu x> 4 thì 1! + 2! + . . . + x! tận cùng bởi 3 và không có số nguyên dương y nào thỏa mãn.

Đáp số : x = y = 1 hoặc x = y = 3.

b) Nếu x, y > 1 thì x!+y! chia hết cho 2; loại

Nếu y = 1 thì x! = 10z + 8 = 8 (mod10), suy ra x 6 4.

Đáp số : vô nghiệm.

Bài tập 6.40. Tìm tất cả nghiệm nguyên (x;y) của phương trình :

(x2 + y)(x + y2) = (x− y)3

Hướng dẫn:

Biến đổi phương trình về dạng

y[2y2 + (x2 − 3x)y + (x + 3x2)] = 0 (1)


6.10. Phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức TOÁN HỌC 9

TH 1: y = 0

TH 2: y 6= 0. Khi đó

(1)⇔ 2y2 + (x2 − 3x)y + (x + 3x2) = 0 (2)

Xem (2) là phương trình bậc 2 đối với biến y. Để (2) có nghiệm nguyên thì ∆ = (x + 1)2x(x−8) phải là một số chính phương, tức là

x(x− 8) = a2(a ∈N)⇒ (x− 4− a)(x− 4 + a) = 16

Từ đó ta tìm được x

Đáp số : (x;y) = (9;−6), (9;−21), (8;−10), (−1;−1) và (m;0) với m ∈Z

Bài tập 6.41. Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:

3x2 + 4y2 = 6x + 13

Hướng dẫn:

Biến đổi 3x2 − 6x + 3 = 16− 4y2

3(x− 1)2 = 4(4− y2)

Đáp số: (3;1), (3;−1), (−1;1), (−1;−1), (1;2), (1;−2)

6.10. Phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức

Các dạng phương trình nghiệm nguyên đa thức:

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

2. Phương trình bậc 2 hai ẩn

3. Phương trình bậc cao hai ẩn

4. Phương trình đa thức nhiều ẩn

6.10.1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

- Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn

- Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia.

- Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x

- Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t1, ta được một

phương trình bậc nhất hai ẩn y và t1

- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các

hệ số nguyên


11x + 18y = 120

Giải:



Ta thấy 11x...6 nên x

...6. Đặt x = 6k (k nguyên).

Thay vào (1) và rút gọn ta được: 11k + 3y = 20

Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:

y = 20−11k3

Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:

y = 7− 4k + k−13

Lại đặt k−13 = t với t nguyên suy ra k = 3t + 1. Do đó:

y = 7− 4(3t + 1) + t = 3− 11t

x = 6k = 6(3t + 1) = 18t + 6Thay các biểu thức của x và y vào (1), phương trình được nghiệm đúng.

Vậy các nghiệm nguyên của (1) được biểu thị bởi công thức:x = 18t + 6

y = 3− 11tvới t là số nguyên tùy ý

6.10.2. Phương trình bậc 2 hai ẩn


5x− 3y = 2xy− 11

Giải:

Biểu thị y theo x:

(2x + 3)y = 5x + 11

Dễ thấy 2x + 3 6= 0 (vì x nguyên ) do đó:

y = 5x+112x+3 = 2 + x+5

2x+3

Để y ∈Zphải có x + 5...2x + 3

⇒ 2(x + 5)...2x + 3

⇒ 2x + 3 + 7...2x + 3

⇒ 7...2x + 3

Nên (x,y) = (−1,6), (−2,−1), (2,3), (−5,2)

Thử lại các cặp giá trị trên của (x,y) đều thỏa mãn phương trình đã cho.


x2 − 2x− 11 = y2

Giải:

Cách 1: Đưa về phương trình ước số:

x2 − 2x + 1− 12 = y2

⇔ (x− 1)2 − y2 = 12

⇔ (x− 1 + y)(x− 1− y) = 12



Ta có các nhận xét:

Vì (1) chứa y có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng y> 0.

Thế thì x− 1 + y> x− 1− y

(x− 1 + y)− (x− 1− y) = 2y nên x− 1 + yvà x− 1− y cùng tính chẵn lẻ.

Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn.

Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp:

(x− 1 + y, x− 1− y) = (6,2), (−2,6)

Do đó: (x,y) = (5,2), (−3,2)

Đáp số: (5;2), (5;−2), (−3;2), (−3;−2)

Cách 2: Viết thành phương trình bậc hai đối với x:

x2 − 2x− (11 + y2) = 0

∆′ = 1 + 11 + y2 = 12 + y2

Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên:

∆′ là số chính phương⇔ 12 + y2 = k2(k ∈N)

⇔ k2 − y2 = 12⇔ (k + y)(k− y) = 12

Giả sử y> 0 thì k + y > k− y và k + y> 0

(k + y)− (k− y) = 2y nên k + y và k− y cùng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn.

Từ các nhận xét trên ta có:k + y = 6

k− y = 2Do đó: y = 2

Thay vào (2): x2 − 2x− 15 = 0

⇒ x1 = 5, x2 = −3

Ta có bốn nghiệm: (5;2), (5;−2), (−3;−2), (−3;2)


x2 + 2y2 + 3xy− x− y + 3 = 0 (1)

Giải:

Viết thành phương trình bậc hai đối với x:

x2 + (3y− 1)x + (2y2 − y + 3) = 0 (2)

∆ = (3y− 1)2 − 4(2y2 − y + 3) = y2 − 2y− 11

Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là ∆ là số chính phương

⇔ y2 − 2y− 11 = k2(k ∈N) (3)

Giải (3) với nghiệm nguyên ta được y1 = 5,y2 = −3

Với y = 5 thay vào (2) được x2 + 14x + 48 = 0. Ta có: x1 = −8, x2 = −6

Với y = −3 thay vào (2) được x2 − 10x + 24 = 0. Ta có x3 = 6, x4 = 4

Đáp số: (−8;5), (−6;5), (6;−3), (4;−3)



6.10.3. Phương trình bậc cao hai ẩn


x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = y2 (1)

Giải:

Nếu y thỏa mãn phương trình thì −y cũng thỏa mãn, do đó ta giả sử y> 0

(1)⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2

Đặt x2 + 3x + 2 + 1 = a, ta được:

(a− 1)(a + 1) = y2⇔ a2 − 1 = y2

⇔ (a + y)(a− y) = 1

Suy ra a + y = a− y, do đó y = 0

Thay vào (1) được: x1 = 0; x2 = −1; x3 = −2; x4 = −3

Đáp số: (0;0), (−1;0), (−2;0), (−3;0)


x3 − y3 = xy + 8 (1)

Giải:

Cách 1: |x− y|.|x2 + xy + y2| = |xy + 8|Dễ thấy x 6= y, vì nếu x = y thì (1) trở thành 0 = x2 + 8, loại.

Do x,y nguyên nên |x− y|> 1

Suy ra: |x2 + xy + y2|6 |xy + 8|Do đó: x2 + xy + y2 6 |xy + 8| (2)

Xét hai trường hợp:

xy + 8 < 0. Khi đó (2) trở thành:

x2 + xy + y2 6−xy− 8⇔ (x + y)2 6−8, loại

xy + 8> 0. Khi đó (2) trở thành:

x2 + xy + y2 6 xy + 8⇔ x2 + y2 6 8 (3)

Do đó: x2,y2 ∈ 0;1;4Nếu x = 0 thì từ (1) có y3 = −8 nên y = −2

Nếu y = 0 thì từ (1) có x3 = −8 nên x = −2

Nếu x,y khác 0 thì x2,y2 ∈ 1;4. Do x 6= y nên chỉ có:x2 = 1

y2 = 4hoặc

x2 = 4

y2 = 1Như vậy trong hai số x và y có một số chẵn, một số lẻ. Khi đó vế trái của (1) lẻ còn vế phải

của (1) chẵn, không xảy ra.

Đáp số: (0;−2), (2;0)

Cách 2: x3 − y3 − xy = 8 (1)

⇔ 27x3 − 27y3 − 27xy = 216



⇔ 27x3 − 27y3 − 1− 27xy = 215 (2)

Ta thấy 27x3, −27y3, −1 là lập phương của 3x, - 3y,−1còn 27xy là ba lần tích của ba số ấy.

Áp dụng hằng đẳng thức:

a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c). (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2

2

Với a = 3x,b = −3y, c = −1, ta biến đổi (2) thành:

(3x− 3y− 1).[(3x+3y)2+(1−3y)2+(3x+1)2

2

]= 215 (3)

Đặt biểu thức trong dấu móc của (3) là A.

Ta thấy A > 0 nên A và 3x− 3y− 1 là ước tự nhiên của 215. Phân tích ra thừa số nguyên tố:

215 = 5.43 nên 215 cò bốn ước tự nhiên: 1, 5, 43, 215.

Do 3x− 3y− 1 chia cho 3 dư 2 nên 3x− 3y− 1 ∈ 5;215Xét hai trường hợp:

3x− 3y− 1 = 5(4)

A = 43(5)và

3x− 3y− 1 = 215

A = 1Trường hợp 1: từ (4) suy ra x− y = 2. Thay y = x− 2 vào (5) được:

[3x + 3(x− 2)]2 + [1− 3(x− 2)]2 + (3x + 1)2 = 86

Rút gọn được: x(x− 2) = 0⇔ x1 = 0, x2 = 2

Với x = 0 thì y = −2.

Với x = 2 thì y = 0

Trường hợp 2: Từ A = 1 suy ra:

(3x + 3y)2 + (1− 3y)2 + (3x + 1)2 = 2

Tổng của ba số chính phương bằng 2 nên có một số bằng 0, hai số bằng số 1.

Số bằng 0 không thề là 1− 3y hoặc 3x + 1, do đó 3x + 3y = 0.

Nghiệm nguyên của hệ:3x + 3y = 0

(1− 3y)2 = 1

(3x + 1)2 = 1là x = y = 0, không thỏa mãn 3x− 3y− 1 = 215.

Đáp số: (0;−2), (2;0)

Cách 3: x3 − y3 = xy + 8

⇔ (x− y)3 + 3xy(x− y) = xy + 8

Đặt x− y = a, xy = b ta có:

a3 + 3ab = b + 8

⇔ a3 − 8 = −b(3a− 1)

Suy ra: a3 − 8...3a− 1

⇒ 27(a3 − 8)...3a− 1

⇒ 27a3 − 1− 215...3a− 1

Do 27a3 − 1...3a− 1 nên 215

...3a− 1

Phân tích ra thứa số nguyên tố: 215 = 5.43



Do đó 3a− 1 ∈ ±1;±5;±43;±215Do 3a− 1 chia cho 3 dư 2 nên 3a− 1 ∈ −1;5;−43;215Ta có: Do b = a3−8

1−3a nên:

(a,b) = (0,−8), (2,0), (−14,−64), (72,−1736)

Chú ý rằng (x− y)2 + 4xy > 0 nên a2 + 4b > 0, do đó trong bốn trường hợp trên chỉ có

a = 2;b = 0. Ta được: x− y = 2; xy = 0

Đáp số: (0;−2) và (2;0)

6.10.4. Phương trình đa thức nhiều ẩn


6x + 15y + 10z = 3

Giải:

Ta thấy 10z...3 nên z

...3. Đặt z = 3k ta được:

6x + 15y + 10.3k = 3

⇔ 2x + 5y + 10k = 1

Đưa về phương trình hai ẩn x,y với các hệ số tương ứng 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng

nhau.

2x + 5y = 1− 10k

x = 1−10k−5y2 = −5k− 2y + 1−y

2

Đặt 1−y2 = t với t nguyên. Ta có:

y = 1− 2t

x = −5k− 2(1− 2t) + t = 5t− 5k− 2

z = 3kNghiệm của phương trình: (5t− 5k− 2;1− 2t;3k) với t,k là các số nguyên tùy ý.

Bài tập 6.49. Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:

x2 + y2 + z2 = 1999 (1)

Giải:

Ta biết rằng số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, còn số chính phương lẻ thì chia cho 4

dư 1 và chia cho 8 dư 1.

Tổng x2 + y2 + z2 là số lẻ nên trong ba số x2;y2;z2phải có: hoặc có một số lẻ, hai số chẵn; hoặc

cả ba số lẻ.

Trường hợp trong ba số x2;y2;z2 có một số lẻ, hai số chẵn thì vế trái của (1) chia cho 4 dư 1,

còn vế phải là 1999 chia cho 4 dư 3, loại.

Trong trường hợp ba số x2;y2;z2đều lẻ thì vế trái của (1) chia cho 8 dư 3, còn vế phải là 1999

chia cho 8 dư 7, loại.

Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên.





7(x + y) = 3(x2 − xy + y2)

Hướng dẫn:

Đáp số : (x,y) = (4,5) hoặc (5,4)

Cách 1: Đổi biến u = x + y,v = x− y ta đưa về phương trình:

28u = 3(u2 + 3v2).(∗)Từ (*) chứng minh được u chia hết cho 9 và 0≤ u ≤ 9 suy ra u = 0 hoặc u = 9

Cách 2: Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai đối với x.

3x2 − (3y + 7)x + 3y2 − 7y = 0 (1)

Để (1) có nghiệm thì biệt thức ∆ phải là số chính phương

Từ đó tìm được y

Bài tập 6.51. Tìm x,y ∈Z+ thỏa mãn :

x2000 + y2000 = 20032000 (1)

Hướng dẫn:

Đáp số: phương trình vô nghiệm

Giả sử x ≥ y. Từ (1) suy ra x < 2003 và x + 1 < 2003

Ta có

20032000 ≥ (x + 1)2000 > x2000 + 2000.x1999

⇒y2000 > 2000.x1999 ≥ 2000.y1999⇒ 2003 > x ≥ y > 2000

Vậy x = 2002,y = 2001

Thử lại không thỏa mãn (1)

Bài tập 6.52. Chứng minh ∀n ∈ N∗, phương trình x1 + x2 + ... + xn = x1.x2...xn luôn có

nghiệm trong N∗.

Hướng dẫn:

Cho x1 = x2 = ... = xn−2 = 1 ta đi đến phương trình

(xn−1 − 1)(xn − 1) = n− 1. (1)

Dễ thấy xn = n và xn−1 = 2 thỏa mãn (1)

Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm nguyên dương là

(x1; x2; ...; xn) = (1;1; ...;2;n)

Bài tập 6.53. Chứng minh rằng phương trình x3 + y3 + z3 − 3xyz = 2001n luôn có nghiệm

nguyên với mọi n ≥ 2

Hướng dẫn:

Đặt 2001n = 9m. Bộ ba số (m;m− 1;m + 1) là một nghiệm của phương trình đã cho


6.11. Các dạng phương trình nghiệm nguyên khác TOÁN HỌC 9

6.11. Các dạng phương trình nghiệm nguyên khác

Các dạng phương trình nghiệm nguyên khác:

1. Phương trình dạng phân thức

2. Phương trình mũ

3. Phương trình vô tỉ

4. Hệ phương trình nghiệm nguyên

5. Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên

6.11.1. Phương trình dạng phân thức


y +1

6xy = 16

Giải:

Nhân hai vế của phương trình với 6xy:

6y + 6x + 1 = xy

Đưa về phương trình ước số:

x(y− 6)− 6(y− 6) = 37

⇔ (x− 6)(y− 6) = 37

Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x > y> 1, thế thì x− 6> y− 6>−5.

Chỉ có một trường hợp:x− 6 = 37

y− 6 = 1⇔

x = 43

y = 7Đáp số: (43;7), (7;43)

Bài tập 6.55. Tìm các số nguyên x sao cho x−17x−9 là bình phương của một phân số

Giải:

Giải sử x−17x−9 =

( ab)2 với a ∈N,b ∈N∗.

Xét a = 0 thì x = 17

Xét a 6= 0. Không mất tính tổng quát, giả sử (a,b) = 1. Do (a2,b2) = 1 nên:

x− 17 = a2k (1)

x− 9 = b2k (2) k nguyên

Từ (1) và (2) suy ra:

(x− 9)− (x− 17) = (b2 − a2)k

8 = (b + a)(b− a)k

Ta thấy b + a và b− a là ước của 8. Chú ý rằng (b + a)− (b− a) = 2a nên b + a và b− a cùng

tính chẵn lẻ. Ta lại có b + a > b− a và b + a > 0. Có các trường hợp:



(b + a,b− a) = (4,2), (4,−2), (2,−2)(2,−4)

⇒ k ∈ 1,−1,−2,−1⇒ b ∈ 3,1,0,−1 loại 2 trường hợp 0 và −1

⇒ x = 18 hoặc x = 8

Vậy có ba đáp số:

x = 17 thì 17−1717−9 = 0

8 = 02

x = 18 thì 18−1718−9 = 1

9 =(

13

)2

x = 8 thì 8−178−9 = 9 = 32

6.11.2. Phương trình mũ

Bài tập 6.56. Tìm các số tự nhiên x và các số nguyên y sao cho:

2x + 3 = y2

Giải:

Lần lượt xét các giá trị tự nhiên của x:

Nếu x = 0 thì y2 = 4 nên y = ±2

Nếu x = 1 thì y2 = 5, không có nghiệm nguyên

Nếu x > 2 thì 2x...4, do đó vế trái chia cho 4 dư 3, còn y lẻ nên vế phải chia cho 4 dư 1. Mâu

thuẫn.

Kết luận: Nghiệm của phương trình là (0 ; 2), (0 ; −2)

Bài tập 6.57. Giải phương trình với nghiệm nguyên dương:

2x + 57 = y2 (1)

Giải:

Xét hai trường hợp:

a) x lẻ. Đặt x = 2n + 1(n ∈N). Ta có:

2x = 22n+1 = 2.4n = 2(3 + 1)n = 2(BS3 + 1) = BS3 + 2

Khi đó vế trái của (1) là số chia cho 3 dư 2, còn vế phải là số chính phương chia cho 3 không

dư 2, loại.

b) x chẵn. Đặt x = 2n(n ∈N∗). Ta có:y2 − 22n = 57

⇔ (y + 2n)(y− 2n) = 3.19Ta thấy y + 2n > 0 nên y− 2n > 0 và y + 2n > y− 2n

Do đó có các trường hợp:

(y + 2n,y− 2n)= (57,1), (19,3)

Nên (x,y) = (6,11) (1 trường hợp bị loại)

Ta có: 26 + 57 = 112

Kết luận: nghiệm của phương trình là (6 ; 11)



Bài tập 6.58. Giải phương trình với nghiệm tự nhiên:

2x + 2y + 2z = 1024 (1) với x 6 y6 z

Giải:

Chia hai vế của (1) cho 2x 6= 0 ta được:

1 + 2y−x + 2z−x = 210−x (2)

Do 210−x > 1 nên 210−x là bội của 2.

Ta lại có z > x, vì nếu z = x thì x = y = z,

Khi đó (2) trở thành 1 + 20 + 20 = Bội số của 2, loại.

Do đó 2y−x là bội của 2.

Suy ra 1 + 2y−x là bội của 2. Do đó 2y−x = 1, vậy y = x.

Thay vào (2):1 + 1 + 2z−x = 210−x

⇔ 2 + 2z−x = 210−x

⇔ 2(1 + 2z−x−1) = 210−x

⇔ 1 + 2z−x−1 = 29−x

Do 29−x > 1 nên 29−x là bội của 2. Do đó 2z−x−1 = 1 và 2 = 29−x.

Từ đó x = 8;y = 9;z = 9.

6.11.3. Phương trình vô tỉ


y =√

x + 2√

x− 1 +√

x− 2√

x− 1

Giải:

Điều kiện: x > 1

y =√(x− 1) + 1 + 2

√x− 1 +

√(x− 1) + 1− 2

√x− 1

= |√

x− 1 + 1|+ |√

x− 1− 1|=√

x− 1 + 1 + |√

x− 1− 1|Xét hai trường hợp:

a) Với x = 1 thì y = 2.

b) Với x > 2 thì y =√

x− 1 + 1 +√

x− 1− 1 = 2√

x− 1

Do đó: y2 = 4(x− 1). Do x > 2 nên có thể đặt x− 1 = t2 với t nguyên dương.

Ta có:

x = t2 + 1

y = 2tKết luận: nghiệm của phương trình là: (1 ; 2), (t2 + 1 ; 2t) với t là số nguyên dương tùy ý.

Bài tập 6.60. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:√x +

√x +

√x +√

x = y

Giải:



Ta có: x > 0,y> 0

Bình phương hai vế rồi chuyển vế:√x +

√x +√

x = y2 − x = k(k ∈N)

Bình phương hai vế rồi chuyển vế:√x +√

x = k2 − x = m(m ∈N)

Bình phương hai vế:

x +√

x = m2

Ta biết rằng với x nguyên thì√

x hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ.

Do x +√

x = m2 (m ∈N)nên√

x không là số vô tỉ. Do đó√

x là số nguyên và là số tự nhiên.

Ta có:√

x(√

x + 1) = m2

Hai số tự nhiên liên tiếp√

x và√

x + 1 có tích là số chính phương nên số nhỏ bằng 0:√

x = 0

Suy ra: x = 0;y = 0 thỏa mãn phương trình đã cho.

Nghiệm của phương trình là (0;0)

Bài tập 6.61. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:√

x +√

y =√

1980 (1)

Giải:√

x =√

1980−√y (2)

Với điều kiện 06 x,y6 1980:

(2)⇔ x = 1980 + y− 2√

1980y

⇔ x = 1980 + y− 12√

55y

Do x,y nguyên nên 12√

55y nguyên.

Ta biết rằng với y nguyên thì√

55y hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ.

Do đó√

55y là số nguyên, tức là 55y là số chính phương: 11.5.y = k2.

Do đó: y = 11.5.a2 = 55a2 với a ∈N

Tương tự: x =55b2 với b ∈N

Thay vào (1):a√

55 + b√

55 = 6√

55

⇔ a + b = 6Giả sử y6 x thì a6 b. Ta có:

(a,b) = (0,6), (1,5), (2,4), (3,3)

Nên (x,y) = (0,1980), (55,1375), (220,880), (495,495)

Có 7 đáp số: (0;1980), (1980;0), (55;1375), (1375;55), (220;880), (880;220), (495;495)



6.11.4. Hệ phương trình nghiệm nguyên

Bài tập 6.62. Tìm các nghiệm nguyên của hệ phương trình:x + y + z = 3

x3 + y3 + z3 = 3Giải:

Ta có hằng đẳng thức:

(x + y + z)3 − (x3 + y3 + z3) = 3(x + y)(y + z)(z + x)

Nên : 27− 3 = 3(x + y)(y + z)(z + x)

⇔ 8 = (x + y)(y + z)(x + z)

Đặt x + y = c,y + z = a,z + x = b.

Ta có: abc = 8⇒ a,b, c ∈ ±1,±2,±4,±8Giả sử x 6 y6 z thì a> b> c.

Ta có: a + b + c = 2(x + y + z) = 6 nên a> 2

Với a = 2 ta có

b + c = 4

bc = 4Suy ra: b = c = 2

Ta được: x = y = z = 1

Với a = 4 ta có

b + c = 2

bc = 2Không có nghiệm nguyên.

Với a = 8 ta có

b + c = −2

bc = 1Suy ra: b = c = −1

Ta được: x = y = 4;z = −5

Đáp số: (1;1;1), (4;4;−5), (4;−5;4), (−5;4;4)

6.11.5. Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên

Bài tập 6.63. Tìm các số thực a để các nghiệm của phương trình sau đếu là số nguyên:

x2 − ax + (a + 2) = 0 (1)

Giải:

Gọi x1, x2 là nghiệm nguyên của (1). Theo định lý Viét:x1 + x2 = a

x1x2 = a + 2Do đó:x1x2 − (x1 + x2) = 2

⇔ x1(x2 − 1)− (x2 − 1) = 3

⇔ (x1 − 1)(x2 − 2) = 3



x1 − 1 và x2 − 2 là ước của 3. Giả sử x1 > x2 thì x1 − 1 > x2 − 2. Ta có hai trường hợp:

a)

x1 − 1 = 3

x2 − 1 = 1⇔

x1 = 4

x2 = 2Khi đó a = 6

b)

x1 − 1 = −1

x2 − 1 = −3⇔

x1 = 0

x2 = −2Khi đó a = −2


Bài tập 6.64. Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình :x3 + y3 = z2

x + y = zHướng dẫn:

Khử z đưa đến phương trình : y2 − (x + 1)y + x2 − x = 0

Xem đây là phương trình bậc 2, biến y, từ điều kiện tồn tại nghiệm ta suy ra x = 1 hoặc x = 2

Đáp số: (x;y;z) = (1;2;3), (2;1;3), (2;2;4)

Bài tập 6.65. Tìm x ∈N :

√x + 2

√x + ... + 2

√x + 2

√3x = x

Hướng dẫn:

Đáp số : x = 0 hoặc x = 3

Xét các trường hợp của x và đánh giá hai vế

Bài tập 6.66. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho a2−2ab+2 là số nguyên

Hướng dẫn:

Từ giả thiết suy ra

2(a + b)...(ab + 2)⇒ 2(a + b) = k(ab + 2) (1)

Từ (1) chứng tỏ k = 1 suy ra a = 4,b = 3

Đáp số : (a;b) = (4;3)

Bài tập 6.67. Tìm các số tự nhiên x sao cho: 2x + 3x = 35

Hướng dẫn:

Thế x = 0,1,2,3 vào phương trình.

Với x > 3, phương trình vô nghiệm.

Đáp số: x = 3

Bài tập 6.68. Tìm các số nguyên tố x,y,z thỏa mãn :

xy + 1 = z



Hướng dẫn:

Vì x,y nguyên tố nên x,y ≥ 2.

Từ phương trình đã cho ta suy ra z≥ 5 và z lẻ (do z nguyên tố). Vì z lẻ nên x chẵn hay x = 2.

Khi đó, z = 1 + 2y.

Nếu y lẻ thì z chia hết cho 3 (loại). Vậy y = 2.

Đáp số : x = y = 2vz = 5.

Bài tập 6.69. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (n,z) thỏa mãn phương trình :

2n + 122 = z2 − 32

Hướng dẫn:

Nếu n lẻ thì 2n ≡ −1 (mod 3).

Từ phương trình đã cho ta suy ra z2 ≡ −1 (mod 3), loại.

Nếu n chẵn thì n = 2m(m ∈ N) và phương trình đã cho trở thành:

z2 − 22m = 153 hay (z− 2m)(z + 2m) = 153.

Cho z + 2m và z− 2m là các ước của 153 ta tìm được m = 2,z = 13.

Đáp số : n = 4,z = 13.

Bài tập 6.70. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :√x + 2

√3 =√

y +√

z

Hướng dẫn:

Vì vai trò của x,y,z như nhau nên có thể giả sử y> z.

Từ phương trình đã cho ta suy ra x + 2√

3 = y + z + 2√

yz. Suy ra:

(x− y− z)2 + 4√

3(x− y− z) = 4yz− 12. (1)

Vì√

3 là số vô tỉ nên từ (1) ta suy ra :

x− y− z = 4yz− 12 = 0⇒ yz = 3⇒ y = 3,z = 1 và x = y + z = 4

Đáp số : phương trình có 2 nghiệm là (4; 3; 1) và (4; 1; 3)

Bài tập 6.71. Tìm tất cả các số nguyên dương a,b, c đôi một khác nhau sao cho biểu thức :

A = 1a +

1b +

1c +

1ab +

1bc +

1ca nhận giá trị nguyên dương.

Hướng dẫn:

Ta có: A.abc = ab + bc + ca + a + b + c (1)

Từ (1) ta CM được a,b, c cùng tính chẵn lẻ. Vì vau trò của a,b, c như nhau và a,b, c đôi một

khác nhau nên có thể giả thiết a < b < c.

Nếu a> 3thì b> 5, c> 7 và A < 1, loại. Suy ra a = 1 hoặc a = 2

Nếu a = 1 thì b> 3, c> 5 do đó 1 < A < 3 suy ra A = 2. Thay a = 1, A = 2 ta được:

2(b + c) + 1 = bc hay (b− 2)(c− 2) = 5. Từ đó ta được b = 3, c = 7.

Trường hợp a = 2 xét tương tự.

Đáp số : (2; 4; 14), (1; 3; 7) và các hoán vị của 2 bộ số này



Bài tập 6.72. Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên không nhỏ hơn 1 sao cho tích của hai số bất kì

cộng với 1 chia hết cho số còn lại

Hướng dẫn:

Giả sử ba số đã cho là a> b> c> 1. Ta cóc

ab+1 , abc+1 , b

ac+1

Suy raabc

(ab+1)(ac+1)(bc+1)

⇒ ab + bc + ca + 1... abc

⇒ ab + bc + ca + 1 = k.abc,k ∈Z+. (1)

Vì ab + bc + ca + 16 4abc nên k6 4

Nếu k = 4 thì a = b = c = 1 (thỏa mãn)

Nếu k = 3 thì từ (1) ta suy ra 3abc6 4ab suy ra c61

Do đó c = 1⇒ a = 2,b = 1

Trường hợp k = 2,k = 1 được xét tương tự như trường hợp k = 3

Đáp số : (1;1;1), (2;1;1), (3;2;1), (7;3;2)

Bài tập 6.73. Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau x,y,z thỏa mãn :

x3 + y3 + z3 = (x + y + z)2

Hướng dẫn:

Vì vai trò của x,y,z như nhau nên có thể giả sử x < y < z

Áp dụng bất đẳng thứcx3+y3+z3

3 >(

x+y+z3

)3

∀x,y,z> 0 ta suy ra x + y + z 6 9

Dấu bằng không xảy ra vì x,y,z đôi một khác nhau

Vậy x + y + z 6 8 (1)

Mặt khác x + y + z > 1 + 2 + 3 =6 (2)

Từ (1), (2) ta suy ra x ∈ 6,7,8Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được x,y,z

Đáp số : (1, 2, 3) và các hoán vị của bộ ba số này

Bài tập 6.74. Tìm các số nguyên không âm x,y sao cho :

x2 = y2 +√

y + 1

Hướng dẫn:

Nếu y = 0 thì x = 1

Nếu y > 1 thì từ phương trình đã cho ta suy ra y < x < y + 1, vô lí

Bài tập 6.75. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn

12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)

Hướng dẫn:



Đáp số (x,y) = (0,0); (1,8); (−1,10)

Phương trình : 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)(∗)Ta sẽ đánh giá miền giá trị của ‘x‘:

Từ (*) suy ra:

9x2 = −3(x + y)2 + 28(x + y) = 142

3 − 3[(x + y)− 14

3

]26 196

3

⇒ x2 6 7⇒ x2 ∈ 0,1,4

Bài tập 6.76. Tìm x,y,z ∈Z :

2x3 − 7x2 + 8x− 2 = y

2y3 − 7y2 + 8y− 2 = z

2z3 − 7z2 + 8z− 2 = x

Hướng dẫn:

Đáp số : x = y = z = 1 hoặc x = y = z = 2

Đặt f (t) = 2t3 − 7t2 + 8t− 2 và sử dụng tính chất f (a)− f (b)...(a− b)∀a 6= b

Bài tập 6.77. Tìm x,y ∈Z:√

x +√

y =√

2001 (*)

Hướng dẫn:

Điều kiện x,y> 0

Từ (*) suy ra√

y =√

2001−√

x. Bình phương hai vế ta được

y = 2001 + x− 2√

2001.x⇒√

2001.x ∈N

Vì 2001 = 3 . 667, ta lại có 3 và 667 là các số nguyên tố nên

x = 3.667.a2 = 2001.a2 (trong đó a ∈N)

Lập luận tương tự ta có y =2001.b2(b ∈N)

Thay x = 2001a2,y = 2001b2 vào (*) và rút gọn ta suy ra : a + b = 1

Từ đó có hai nghiệm : (x;y) = (2001;0) hoặc (0;2001)

Bài tập 6.78. Tìm n nguyên dương sao cho phương trình x3 + y3 + z3 = nx2y2z2 có nghiệm

nguyên dương. Với các giá trị vừa tìm được của n, hãy giải phương trình trên.

Hướng dẫn:

Đáp số: n = 1 hoặc n = 3

Bài tập 6.79. Chứng minh rằng phương trình x2 + y5 = z3 có vô số nghiệm nguyên (x,y,z)

thỏa mãn xyz 6= 0

Hướng dẫn:

Dễ thấy bộ các bộ ba sau là nghiệm của phương trình đã cho: (3; -1; 2) và (10; 3; 7)

Ta thấy nếu (x;y;z) là nghiệm của phương trình đã cho thì (k15x,k6y,k10z) cũng là nghiệm

của phương trình đã cho.

Từ đó có điều phải chứng minh



Bài tập 6.80. Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:a)3x2 − 4y2 = 13

b)19x2 + 28y2 = 2001

c)x2 = 2y2 − 8y + 3

d)x5 − 5x3 + 4x = 24(5y + 1)

e)3x5 − x3 + 6x2 − 18x = 2001Hướng dẫn:

Dùng phương pháp xét số dư của từng vế. Từ đó ta thấy số dư của hai vế phương trình sẽ

không bằng nhau. Điều đó dẫn tới các phương trình vô nghiệm.

Bài tập 6.81. Tìm ba số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng.

Hướng dẫn:

xyz = 2(x + y + z)

Giải sử x 6 y6 z. Ta có xyz = 2(x + y + z)6 2.3z = 6z

Suy ra xy6 6, thử chọn lần lượt xy = 1;2;3;4;5;6.

Đáp số: (1;3;8), (1;4;5), (2;2;4) và các hoán vị.

Bài tập 6.82. Tìm bốn số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.

Hướng dẫn:

x + y + z + t = xyzt

Giả sử z> t> z> y> x.

Ta có xyzt = x + y + z + t6 4t nên xyz6 4.

Thử chọn lần lượt xy = 1;2;3;4.

Đáp số: 1 ; 1 ; 2 ; 4.

Bài tập 6.83. Tìm các nghiệm nguyên dương của các phương trình:a)x2 + xy + y2 = 2x + y

b)x2 + xy + y2 = x + y

c)x2 − 3xy + 3y2 = 3y

d)x2 − 2xy + 5y2 = y + 1Hướng dẫn:

đưa các phương trình vể dạng phương trình bậc hai theo ẩn x, tìm điều kiện của ∆ để phương

trình có nghiệm nguyên.

Đáp số:

a) (1;−1), (2;−1), (0;0), (2;0), (0;1), (1;1)

b) (0;0), (1;0), (0;1)

c) (0;0), (0;1), (3;1), (3;3), (6;3), (6;4)

d) (1;0), (−1;0)



Bài tập 6.84. Tìm các số nguyên x và y sao cho:

x3 + x2 + x + 1 = y3

Hướng dẫn:

Chứng minh y > x rồi xét hai trường hợp:

y = x + 1 và y > x + 1

Bài tập 6.85. Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:

x! + y! = (x + y)!

Hướng dẫn:

Giả sử x > y thì x!> y!. Do đó(x + y)! = x! + y!6 2x!

⇔ 2> (x + 1)(x + 2)...(x + y)Chỉ có x = 1,y = 1 thỏa mãn.

Đáp số (1;1)

Bài tập 6.86. Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho x2 + y và y2 + x đều

là số chính phương?

Hướng dẫn:

Giả sử y6 x. Ta có:

x2 < x2 + y6 x2 + x < (x + 1)2

Vậy không tồn tại hai số thỏa mãn đề bài.

Bài tập 6.87. Chứng minh rằng có vô số số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương:

(1 + 2 + 3 + 4 + ... + x)(12 + 22 + 32 + 42 + ... + x2)

Hướng dẫn:

Đặt (1 + 2 + 3 + 4 + ... + x)(12 + 22 + 32 + 42 + ... + x2) = y2

Ta có: x(x+1)2 . x(x+1)(2x+1)

6 = y2

⇔[

x(x+1)2

]2.2x+1

3 = y2

Phương trình này có vô số nghiệm nguyên:

x = 6n2 + 6n + 1

Bài tập 6.88. Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương:

x4 + x3 + x2 + x + 1

Hướng dẫn:

Giả sử x4 + x3 + x2 + x + 1 = y2

Biến đổi về dạng:

(2y)2 = (2x2 + x)2 + 2x2 + (x + 2)2 > (2x2 + x)2

Nên (2y)2 > (2x2 + x + 1)2

⇒−16 x 6 3.



Xét x = −1;0;1;2;3.

Đáp số: x = −1; x = 0; x = 3


a) x3 − 3y3 − 9z3 = 0

b) 8x4 − 4y4 + 2z4 = t4

Hướng dẫn:

a) Dễ thấy x,y,z đều chia hết cho 3.

Đặt x = x1,y = y1,z = z1(x1,y1,z1 ∈ Z), ta được :

x31 + 3y3

1 − 9z31 = 0

Suy ra x = y = z = 0

b) Đáp số: x = y = z = t = 0

Bài tập 6.90. Tìm năm sinh của Nguyễn Du, biết rằng vào năm 1786 tuổi của nhà thơ bằng

tổng các chữ số năm ông sinh ra.

Hướng dẫn:

Gọi năm sinh của nhà thơ 17xy

Ta có: 1786− 17xy = 1 + 7 + x + y(0≤ x ≤ 8,0≤ y ≤ 9)

11x + 2y = 78

Đáp số: 1766

Bài tập 6.91. Ba người đi câu được một số cá. Trời đã tối và mọi người đều mệt lả, họ vứt cá

trên bờ sông, mỗi người tìm một nơi lăn ra ngủ. Người thứ nhất thức dậy, đếm số cá thấy

chia 3 thừa 1 con, bèn vứt 1 con xuống sông và xách 13về nhà. Người thứ hai thức dậy, tưởng

hai bạn mình còn ngủ, đếm số cá vứt 1 con xuống sông và xách 13về nhà. Người thứ 3 thức

dậy , tưởng mình dậy sớm nhất, lại vứt 1 con xuống sông và mang 13về nhà.

Tính số cá 3 chàng trai câu được? biết rằng họ câu rất tồi. . . ..

Hướng dẫn:23

23

[23 (x− 1)− 1

]− 1= y

8x− 27y = 38(x,y ∈ N)

x = −2 + 27t,y = −2 + 8t

⇒ x = 25,y = 6 (cho t = 1)

Bài tập 6.92. Tìm điều kiện cần và đủ cho số k để phương trình có nghiệm nguyên.

x2 − y2 = k

Hướng dẫn:

Nếu x2 − y2 = k có nghiệm nguyên thì k 6= 4t + 2

Xét trường hợp k chẵn k lẻ



Bài tập 6.93. Chứng minh rằng phương trình :1x + 1

y +1z =

11991 chỉ có một số hữu hạn nghiệm nguyên dương.

Hướng dẫn:

Gỉả sử 0 < x ≤ y ≤ z. Ta có 1x + 1

y +1z +

1t =

11991 6

3x

Suy ra 1991 < x ≤ 3.1991 nên x có hữu hạn giá trị

Với mỗi giá trị của x có y≤ 2.1991xx−1991≤ 22.1991 suy ra giá trị tương ứng của z với mỗi gíá trị của

x,y

Bài tập 6.94. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:a) 1

x + 1y = 1

14

b) 1x + 1

y = 1z

Hướng dẫn:

a) Xét 1x + 1

y = 1a (a nguyên dương)

Với x 6= 0,y 6= 0, phương trình tương đương ax + ay = xy

hay (x− a)(y− a) = a2.

Có tất cả 2m− 1 nghiệm, với m là các ước số lớn hơn 0 của a2.

Với a = 14, a2 = 196 Có 9 ước số dương và phương trình có 17 nghiệm.

Bài tập 6.95. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

1! + 2! + . . . . . . + x! = y2

Hướng dẫn:

Thử trực tiếp, thấy x < 5, Phương trình có nghiệm, tìm nghiệm

Chứng minh với x ≥ 5 phương trình vô nghiệm


xy + 3x− 5y = −3

2x2 − 2xy− 5x + 5y = −19

Hướng dẫn:

a) xy + 3x− 5y = −3⇔ (x− 5)(y + 3) = −18

Đáp số : (x;y) = (4;15), (−13;−2), (3;6), (14;−5), (2;3),

(11,−6), (8;−9), (23− 4), (6;−21), (−1;0), (−4;−1), (7;−13)

b) Tương tự


4x + 11y = 4xy

x2 − 656xy− 657y2 = 1983

Hướng dẫn:

4x + 11y = 4xy⇔ (4x− 11)(y− 1) = 1

Xét 4 hệ phương trình


6.12. Phương trình chứa phần nguyên TOÁN HỌC 9

Đáp số: (x;y)(0;0), (3;12)

b) x2 − 656xy− 657y2 = 1983⇔ (x + y)(x− 657y) = 1983

Đáp số : (x;y) = (−4;−1), (4;−1), (−660;−1), (660;1)

Bài tập 6.98. Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn phương trình :

7x− xy− 3y = 0

y2 = x2 + 12x− 1923

Hướng dẫn:

7x− 3y− xy = 0⇔ (x + 3)(7− y) = 21

Chú ý rằng x ∈ Z+nên x + 3≥ 4, do đó chỉ có hai phuong trình

Đáp số : (4;4), (8,16)

Bài tập 6.99. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

a) x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2

b) y(y + 1)(y + 2)(y + 3) = x2

Hướng dẫn:

x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2⇔ (x2 + 8x + 7) = y2

Đặt x2 + 8x = z (z ∈ Z)

Ta có : z(z + 7) = y⇔ (2z + 7 + 2y)(2z + 7− 2y) = 49

Đáp số : (0;0), (−1;0), (1;12), (1;−12), (−9;12),

(−9;−12), (−8;0), (−7;0), (−4;12), (−4;12)

6.12. Phương trình chứa phần nguyên

6.12.1. Dùng định nghĩa để khử dấu phần nguyên

[x] = n⇔

n ∈Z

n ≤ x < n + 1⇔

n ∈Z

0≤ x− n < 1

Bài tập 6.100. Giải phương trình[3x+1

5

]= 2x− 1(1)

Lời giải :

PT (1)⇔

2x− 1 ∈Z

0≤ 3x+15 − 2x + 1 < 1

⇔

2x− 1 ∈Z

0≤ −7x+65 < 1

⇔

2x− 1 ∈Z

0≤ −7x + 6 < 5⇔

2x− 1 ∈Z

17 < x ≤ 6

7

⇔ x = 12

Vậy nghiệm của PT (1) là x = 12 .



Bài tập 6.101. Tìm nghiệm nguyên của PT[ x2

]+[ x

3

]= 17(2)

Lời giải :

Ta có :0≤ x2 −

[ x2

]< 1

0≤ x3 −

[ x3

]< 1

⇒ 0≤ x2 + x

3 −([ x

2

]+[ x

3

])< 2

⇒ 0≤ 5x6 − 17 < 2⇒ 102≤ 5x < 114⇒ 102

5 ≤ x < 1145 .

Kết hợp với x ∈Z, ta được x = 21, x = 22.

Tóm lại : x = 21 thỏa mãn.

Vậy nghiệm nguyên của (2) là x = 21.

Bài tập 6.102. Giải phương trình

[x]2 − 2[x]− 3 = 0(3)

Lời giải :

PT (3)⇔ [x]. ([x]− 2) = 3 = 3.1 = (−1).(−3)

Do [x], [x]− 2 là các số nguyên và [x] > [x]− 2 nên

[[x] = 3

[x] = −1Nếu [x] = 3⇔ 3≤ x < 4.

Nếu [x] = −1⇔−1≤ x < 0.

Vậy tập nghiệm của PT (3) là : [3,4) ∪ [−1,0).

6.12.2. Đặt ẩn phụ để khử dấu phần nguyên

Bài tập 6.103. Giải phương trình[7x−53

]= 16x+3

5 (4)

Lời giải :

Đặt 16x+35 = y, (y ∈Z), ta có

16x + 3 = 5y⇒ x = 5y−316 ⇒

7x−53 = 35y−101

48

Do đó

PT⇔[

35y−10148

]= y⇔ 0≤ 35y−101

48 − y < 1⇔ 0≤ −13y− 101 < 48

⇔ −10113 ≥ y > 149

13 ⇔ y ∈ −8;−9;−10;−11 do y ∈Z.

Với y = −8 thì 16x+35 = −8⇔ x = −43

16 .

Với y = −9 thì 16x+35 = −9⇔ x = −3.

Với y = −10 thì 16x+35 = −10⇔ x = −53

16 .

Với y = −11 thì 16x+35 = −11⇔ x = −58

16 .

Vậy tập nghiệm của PT (4) là :−43

16 ;−3;−5316 ;−58

16

.


x2 − 6[x] + 5 = 0



Lời giải :

Đặt [x] = y(y ∈Z) thì từ (5) ta có 6y = x2 + 5.

Suy ra y > 0. Lại có y≤ x < y+ 1 nên y2 + 5≤ x2 + 5< y2 + 2y+ 6⇔ y2 + 5≤ 6y < y2 + 2y+ 6

⇔

y2 − 6y + 5≤ 0

y2 − 4y + 6 > 0⇔ 1≤ y ≤ 5.

Do y ∈Z và 1≤ y ≤ 5 nên y ∈ 1,2,3,4,5.

Với y = 1 thì

[x] = 1

x2 = 1⇔ x = 1.

Với y = 2 thì

[x] = 2

x2 = 7⇔

2≤ x < 3

x = ±√

7⇔ x =

√7.

Với y = 3 thì

[x] = 3

x2 = 13⇔

3≤ x < 4

x = ±√

13⇔ x =

√13.

Với y = 4 thì

[x] = 4

x2 = 19⇔

4≤ x < 5

x = ±√

19⇔ x =

√19.

Với y = 5 thì

[x] = 5

x2 = 25⇔ x = 5.

Vậy tập nghiệm của PT (5) là

1,√

7,√

13,√

19,5

.

6.12.3. Xét khoảng các giá trị của biến để khử dấu phần nguyên. Với chú

ý rằng nếu x ≥ y thì [x] ≥ [y].


x4 = 2x2 + [x]

Lời giải :

PT (6)⇔ [x] = x2(x2 − 2).

Ta xét các trường hợp sau :

* Nếu x2 = 2 thì

x = ±√

2

[x] = 0⇔ không tồn tại x.

* Nếu x2 < 2 thì

−√

2 < x <√

2

[x] ≤ 0⇔[[x] = 0

[x] = −1

Với [x] = 0 thì

x2(x2 − 2) = 0

0≤ x < 1⇔ x = 0;



Với [x] = −1 thì

x4 − 2x2 + 1 = 0

−1≤ x < 0⇔ x = −1;

* Nếu x2 > 2 thì

x >

√2

x < −√

2

[x] > 0

⇔ x >√

2

Suy ra 1≤ [x] ≤ x do đó

[x] = x2(x2 − 2) ≥ [x] = [x]2(x2 − 2)

⇔ [x](x2 − 2) ≤ 1⇒ [x] = 1.

Từ đó x4 − 2x2 − 1 = 0⇔ x =√

1 +√

2 (do [x] = 1).

Giá trị này thuộc khoảng đang xét.

Vậy tập nghiệm của PT (6) là−1,0,

√1 +√

2

.


Giải các phương trình sau

1.[2−5x

4

]= −x.

2.[

2x−13

]=[

x+12

].

3.[

1−x2

]+[1− x

2

]= 1−3x

8 .

4. 1− [x + 1] = [x]−x[x−1] .

5. x4 − 3x2 − [x] = 0.


Chương 7

Hình học

7.1. Hình học trong mặt phẳng

Bài tập 7.1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) các đường phân giác trong của các góc B,C lần

lượt cắt (O) tại E,F, dây cung EF lần lượt cắt AC ,AB tại H,I và EB cắt FC tại K.

a.Chứng minh: Tam giác FKB và tam giác EAK là các tam giác cân.

b.Chứng minh: Tứ giác FIKB nội tiếp,từ đó suy ra IK//AC

c.Tứ giác AIKH là hình gì?

Hướng dẫn

1 2 12

1

21

23

2O

A

B C

K

E

FI

H

Hình 7.1:

a. Tam giác BKF cân

BE là phân giác của ABC nên EBA = EBC→ AE_

= EC_

CF là phân giác của ACB nên FCA = FCB→ FB_

= FA_

FBK = 12 sdEF

_(góc nội tiếp)


7.1. Hình học trong mặt phẳng TOÁN HỌC 9

FKB = 12(sdFB

_+ sdEC

_) = 1

2(sdFA_

+ sdAE_

) = 12 sdEF

_(góc có đỉnh nằm trong đường tròn)

→ tam giác FBK cân tại F

* Tam giác EAK cân?

Có AK là phân giác của BAC→ KAB = KAC(1)

Có KBA = EBC = EAC(góc nội tiếp cùng chắn các cung bằng nhau)(2)

AKE = KAB + KBA( tính chất góc ngoài tam giác)(3)

Có KAE = KAC + EAC (4)

Từ (1)(2)(3)(4)→ EAK = AKE→M EAK cân tại E.

b.Chứng minh: Tứ giác FIKB nội tiếp

Có FBK = 12 sdEF

_(góc nội tiếp) (5)

AIE = 12(sdFB

_+ sdAE

_) = 1

2(sdFA_

+ sdAE_

) = 12 sdEF

_(6)

Từ (5)(6) suy ra FKB = AIE (7)

Xét M AEI và M KEI có:

EA=EK (do M EAK cân)

EI chung

E1 = E2 (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

→M AEI =M KEI(cgc)

→ AIE = I2 (8)

Từ (7)(8) suy ra FBK = I2

Do đó tứ giác FIKB nội tiếp.

* Có AHF = 12(sdAF

_+ sdEC

_) = 1

2(sdAF_

+ sdAE_

) = 12 sdEF

_(tính chất góc nội tiếp và góc có

đỉnh bên trong đường tròn) (9)

Từ (5)(9) suy ra AHF = FBK = 12 sdEF

_mà FBK = I2 (cmt)

suy ra I2 = AHF mà hai góc này ở vị trí so le trong→ IK //AC

c.Tứ giác AIKH là hình gì?

AK là phân giác của IAH

→ A1 = A2

Có IA=IK và EA=EK (doM AEI =M KEI cmt)→ IE là trung trực của AK.

→ IE⊥AK

Có HA=HK (H∈ IE là trung trực của AK)

→M HAK cân tại H → A2 = HKA

mà A2 = A1 nên A1 = HKA mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AI//HK.

Có IK//AC (cmt)

→ AIHK là hbh mà AK⊥IH nên AIHK là hình thoi.

Bài tập 7.2. Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O,R), vẽ hai tiếp tuyến MA,MB với

đường tròn .Vẽ đường kính AC, tiếp tuyến tại C của (O) cắt AB tại E, MO cắt AB tại I.

a.Chứng minh: Tứ giác AMBO nội tiếp, tứ giác MACE là hình gì?



b.Chứng minh: MOA = AEC

c.Chứng minh: AB.AE không đổi.

d.Chứng minh: OE⊥MC.

Hướng dẫn

O M

A

BC

E

I

H

Hình 7.2:

a.MACE là hình thang (MA//CE vì cùng vuông góc AC)

b.Do tứ giác OIEC nội tiếp→ AEC = AOI

c.Xét M ACE vuông tại C có CB là đường cao→ AB.AE = AC2 = 4R2

d.Gọi H là giao điểm của OD và MC.

Ta có MAO = ACE = 90o

AMO = CAE (cùng phụ với MAI)

⇒ ∆MAOv ∆ACE (g-g)

⇒ MAAC = AO

CE mà AO=CO nên MAAC = CO

CE ;

MAC = OCE = 90o

⇒ ∆MAC v ∆OCE (c-g-c)

⇒ ACM = OEC mà MCE = AMC (so le trong)

⇒ ∆MAC v ∆CHE (g-g)⇒ EHC = MAC = 90o

Vậy OD ⊥MC.

Bài tập 7.3. Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE,CF cắt

nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.

a. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp

b.Chứng minh: Tứ giác BHCD là hình bình hành

c.Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt OH tại G.

Chứng minh: G là trọng tâm tam giác ABC.

b.Chứng minh: Tứ giác BHCD là hình bình hành

BH//CD vì cùng vuông góc với AC



O

B

A

C

H

F E

D

M

G

Hình 7.3:

CH//BH vì cùng vuông góc với AB

→ BHCD là hbh.

c.Chứng minh: G là trọng tâm tam giác ABC.

Do BHCD là hbh và MB=MC (gt) nên HD đi qua M (tính chất hbh)

suy ra MH=MD.

mà OA=OD (bán kính)

→ OM là đường trung bình của M AHD

→OM//AH và OM = 12 AH

Xét M AGH có OM//AH theo Talet ta cóGMGA = OM

AH = 12

suy ra GA=2GM

Xét M ABC có AM là trung tuyến và GA=2GM (cmt)

suy ra G là trọng tâm M ABC

Bài tập 7.4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD,

BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng:

1. Các tứ giác AEHF, nội tiếp .

2. Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.

4. H và M đối xứng nhau qua BC.

5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Hướng dẫn

3.Chứng minh AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.

*Do tứ giác CDHE nội tiếp nên ACD = AHE

Xét M AEH và M ADC cóACD = AHE (cmt)

DAC chung



O

A

BC

F

E

D

P

N

M

H

Hình 7.4:

→M AEH vM ADC(g.g)

→ AEAD = AH

AC → AE.AC = AH.AD

* Do M ADC vM BEC

(C chung và DAC = CBE do (ABDE nội tiếp))

→AD.BC=BE.AC

4. Chứng minh H, M đối xứng nhau qua BC

Ta đi chứng minh BC trung trực của HM

Do tứ giác CDHE nội tiếp nên ACD = BHD (vì cùng bù với EHD)

mà BMH = ACD góc nội tiếp cùng chắn AB_

→ BMH = BHD→ tam giác M BHM cân tại B→ BH=BM (1)

tương tự ta có CHD = ABD = AMC = 12 sdAC_→M CMH cân tại C

→ CH=CM (2)

Từ (1)(2)→ BC là trung trực của HM .

5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Do HFBD nội tiếp nên ABE = HDF

Do HECD nội tiếp nên HDE = HCE

Do BCEF nội tiếp nên ABE = HCE

→ HDF = HDE→ DH là phân giác trong của góc D của tam giác DEF

tương tự : EH là phân giác trong của góc E của tam giác DEF

→ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Bài tập 7.5. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.

1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .

2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3.Chứng minh ED = BC/2

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).



5. Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm.

Hướng dẫn

1

2

3 4

B CD

A

EH

O

Hình 7.5:

4.Chứng minh: DE là tiếp tuyến của (O)

Có M AOE cân tại O nên→ A1 = E1

Có M DCE cân tại D nên→ E4 = C

mà C + A1 = 90o (AB⊥BC)

→ E2 + E3 = 90o

→ DE⊥OE nên DE là tiếp tuyến của (O).

5. Tính độ dài DE

Có OA = OH = OE = 12 AH = 3

OD=OH+HD=3+2=5

Xét tam giác EDO vuông tại E

DE2 = OD2 −OE2 = 52 − 32 = 16

→ DE = 4

Bài tập 7.6. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By.

Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở

C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

1. Chứng minh AC + BD = CD.

2. Chứng minh COD = 900

3. Chứng minh: AC.BD = R2

4. Chứng minh OC //BM

5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

6. Chứng minh MN ⊥ AB.

7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.



xy

A BO

M

C

D

N

I

Hình 7.6:

Hướng dẫn

1. Chứng minh AC + BD = CD.

Có CA=CM (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

DM=DB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Mặt khác CD=CM+MD (vì M nằm giữa C và M)

→ CD = AC + BD

2. Chứng minh COD = 900

AMB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (1)

OC⊥AM và OD⊥BM (2)

Từ (1)(2)→ BM//OC và AM//OD

COM = OMB(slt) (3)

MOD = AMO(slt) (4)

Từ (1)(3)(4)→ COD = COM + MOD = AMO + OMB = 90o

3. Chứng minh: AC.BD = R2

Xét tam giác COD có OM là đường cao

→OM2 = CM.MD

→ R2 = AC.BD

4. Chứng minh OC // BM

Đã chứng minh ở trên

5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Gọi I là trung điểm của CD

do tam giác COD vuông tại O nên IO=ID=IC=bán kính của đường tròn đường kính CD

Xét tứ giác ABDC có:

I là trung điểm CD

O là trung điểm AB



→ IO là đường trung bình của tứ giác ABDC

→ IO//AC//BD mà AC⊥AB (gt)→ IO⊥AB

→ AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

6. Chứng minh MN ⊥ AB. Xét tam giác BDN có AC//BD theo Talets có:NCNB = AC

BD (5)

mà AC=CM ; BD=DM nên→ NCNB = MC

MD (6)

Xét tam giác CBD do (6) nên→MN//BD (Talet đảo)

mà BD⊥AB→ MN⊥AB (dpcm).

7.Tìm vị trí M để chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất ?

Chu vi tứ giác ACDB: C=AB+BD+DC+AC= 2R+2DC=2(R+DC)

Cmin↔ DCmin Ta có DC > 2R→ DC nhỏ nhất khi DC = 2R

→M là điểm chính giữa AB_

Bài tập 7.7. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường

tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.

1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.

2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OC).

3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác KBIC.

Biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm.

Hướng dẫn

123

123

K NI A

M

H

B

C

O

Hình 7.7:

1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.

*Có B1 = B2 (BI là phân giác ABC)

B3 = KBC (BK là phân giác góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC)

Có B1 + B2 + KBC + B3 = 180o

→ 2(B2 + KBC) = 1800

→ 2KBI = 180o→ KBI = 90o (1)

* Có C1 = C2 (CI là phân giác ACB)



C3 = KCB (CK là phân giác BCH)

mà C1 + C2 + KCB + C3 = 180o

→ 2(C2 + KCB) = 1800

→ 2KCI = 180o→ KCI = 90o (2)

Từ (1)(2)→ tứ giác KBIC nội tiếp

2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OC).

Tứ giác KBIC có hai có đối KBI và KCI đều bằng 90o

Có O là trung điểm IK (gt)→ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác KBIC

→OB = OK = OC = OI→ tam giác OKC cân tại O → OCK = OKC

mà OKC = CKH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

→ CKH = OCK

* Ta có C3 + CKH = 90o (vì KH⊥AH)

→ C3 + OCK = 90o→ OCH = 90o→OC⊥AC

→ AC là tiếp tuyến của đường tròn (O,OC)

3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác KBIC

Nửa chu vi tam giác ABC :p= AB+AC+BC2 = 32

Diện tích tam giác ABC:

S=√

p(p− AB)(p− AC)(p− BC) =√

32(32− 20)(32− 20)(32− 24) = 192

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là :

r=IN=Sp = 192

32 = 6

BN = BC2 = 12

Xét tam giác KBI vuông tại B có BN là đường cao.

BN2 = IN.KN→ KN = BN2

IN = 122

6 = 24

IK=IN+KN=6+24=30

OC= IK2 = 15cm

Bài tập 7.8. Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên

đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( AM>R), kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của

NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ⊥MB, BD⊥MA, gọi H là giao điểm của AC và

BD, I là giao điểm của OM và AB.

1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.

2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .

3. Chứng minh OI.OM = R2 ; OI.IM = IA2

4. Chứng minh OAHB là hình thoi.

5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.

6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d

Hướng dẫn



d

OA

M

BN

P

D

C

K

H

I

L

L′

Hình 7.8:

4. Chứng minh OAHB là hình thoi.

Có AH//OB (vì cùng vuông góc với MB)

BH//OA (vì cùng vuông góc với MA)

→ OAHB là hình bình hành mà AB ⊥ OH nên OAHB là hình thoi.

5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.

Có O,I,M thẳng hàng mà O,I,H thẳng hàng (đường chéo hình thoi)

vì vậy O,H,M thẳng hàng.

6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d

Khi M di chuyển trên d ta luôn có AH =R=const

→ H chạy trên đường tròn tâm A, bán kính R

Giới hạn:

Khi M≡L thì H≡L

Khi M≡L’ thì H≡L’

Khi M chạy ngoài đoạn LL’ thì H chạy trên cung tròn LHOL’_

có tâm là A , bán kính R=const

Khi M chạy trong đoạn LL’ thì H≡M

Bài tập 7.9. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính

AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA

ở E.

1. Chứng minh tam giác BEC cân.

2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.

3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).

4. Chứng minh BE = BH + DE.



Hướng dẫn

AC

B

E

HI

D

Hình 7.9:

1.Chứng minh tam giác BEC cân

DE⊥HD (tính chất tiếp tuyến)

Xét M HAC và M DAE có:

H = D = 90o

DAE = HAC (đối đỉnh)

AD=AH (bán kính)

→M HAC =M DAE (gcg)

→ AE=AC (2 cạnh tương ứng)

BA là trung tuyến của tam giác BEC

mặt khác BA lại là đường cao của M BEC (vì BA⊥AC gt)

→M BEC cân tại B.

2. Chứng minh rằng AI = AH.

Do BA là phân giác của EBC

nên IBA = HBA

→M IBA =M HBA (CH-GN )

→ AI = AH.

3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).

Do AI=AH nên I ∈ (A;AH) (1)

mà AI⊥BE (gt) (2)

Từ (1)(2)→ BE là tiếp tuyến của (A;AH).

4. Chứng minh BE = BH + DE.

Có DE=HC (do M HAC =M ADE) (cmt)

Có BC=BH+HC và BE=BC

→ BE=BH+DE.

Bài tập 7.10. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến

đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.



1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.

2. Chứng minh BM //OP.

3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình

bình hành.

4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J,

K thẳng hàng.

Hướng dẫn

x

A B

O

P

K

MI

N J

Hình 7.10:

1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp

PA⊥AB (tính chất tiếp tuyến)→ PAO = 90o

PM⊥OM (tính chất tiếp tuyến)→ PMO = 90o

Xét tứ giác APMO có:PAO và PMO là hai góc đối nhau

Có PAO + PMO = 90o + 90o = 180o

→ APMO nội tiếp.

2.Chứng minh BM // OPPM = PA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

OM = OA bán kính

→ PO là trung trực của AM

→ PO ⊥ AM (1)

Có AMB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ AM⊥BM (2)

Từ (1)(2)→ BM//OP. (3)

3.Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.

Xét M AOP và MOBN có:OA = OB (bán kính)

PAO = NOB = 90o

POA = NBO so le trong

→M AOP =MOBN (g-c-g)



→OP = BN (4)

Từ (3)(4)→ OBNP là hbh.

4.Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Do OBNP là hbh (cmt)→ PN//OB mà ON⊥ OB (gt)

→ON⊥PN→ ON là đường cao của MOPJ

Xét MOPJ có ON và PM là đường cao mà PM cắt ON tại I

→ I là trực tâm của MOPJ

→ I J⊥OP (5)

Do ON//AP→ APO = IOP (slt)

mà APO = IPO(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

do đó→ IOP = IPO→M IPO cân tại I (*)

Do AONP là hình chữ nhật→ K là trung điểm OP (**)

Từ (*)(**) suy ra IK⊥OP (6)

Từ (5)(6)→ I, J, K thẳng hàng.

Bài tập 7.11. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường

tròn ( M khác A, B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia

BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F; tia BE

cắt Ax tại H, cắt AM tại K.

a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng: AI2 = IM.IB

c) Chứng minh BAF là tam giác cân.

d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.

e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

Hướng dẫn

x

121 2

AB

O

M

I

EH

F

K

Hình 7.11:



a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.

AEB = 90o; ABM = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

FEK = 90o( vì kề bù với AEB)

FMK = 90o( vì kề bù với ABM)

→ tứ giác EFMK nội tiếp

b) Chứng minh rằng: AI2 = IM.IB

Xét tam giác ABI có AM là đường cao

→ AI2 = IM.IB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) Chứng minh BAF là tam giác cân.

A2 = B2 (góc nội tiếp) (1)

A1 = B1 =12 sdAE_

(2)

mà A1 = A2 (tính chất tia phân giác) (3)

Từ (1)(2)(3)→ B1 = B2

→ BE là phân giác của M ABF

Xét M ABF có BE là đường cao đồng thời là phân giác

→M ABF cân tại B

d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.

Do M ABF cân (cmt) có BE là đường cao

→ BE cũng là trung tuyến của M ABF

→ EA = EF (4)

Xét tam giác AHK có AE là phân giác đồng thời là đường cao

→M AHK cân tại A→ AE cũng là trung tuyến của M AHK

→ EH = EK (5)

Từ (4)(5)→ Tứ giác AKFH là hình bình hành, lại có AF⊥HK

→ Tứ giác AKFH là hình thoi.

e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

Điều kiện cần và đủ để AKFI nội tiếp là IAK = KFM (6)

Ta có FK//AI (vì AKFH là hình thoi)

→ AIF = KFM(slt) (7)

Từ (6)(7)→ AIF = IAK→M IAM vuông cân tại M

→ IAM = AIM = 45o

→M là điểm chính giữa AB_

.

Bài tập 7.12. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm

C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).

1. Chứng minh AC. AE không đổi.

2. Chứng minh: ABD = DFB

3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.



4.Cho ABC = 30o tính diện tích tam giác cong BCE theo R.

Hướng dẫn

x

A BO

C

D

E

F

Hình 7.12:

1. Chứng minh AC. AE không đổi.

ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

xBA = 90o (tính chất tiếp tuyến)

Xét M ABE vuông tại B có BC là đường cao

→ AC.AE = AB2 (hệ thức lượng)

mà AB=2R nên AC.AE = (2R)2 = 4R2 = const

2. Chứng minh: ABD = DFB

ABD = DFB (cùng phụ với DBF)

3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

CEF = 12(sdAB

_− sdCB_

) = 12 sdAC_

(1)

CDA = 12 sdAC_

(2)

Từ (1)(2)→ CEF = CDA→ CEFD nội tiếp.

Bài tập 7.13. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn

sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM,

M’A. Gọi P là chân đường vuông góc từ S đến AB.

1. Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn .

2. Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng tam giác PS’M cân.

3. Chứng minh :PM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

4.Chứng minh :A cách đều ba cạnh của M PMM′

Hướng dẫn

1. Có AMB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ AMS = 90o (kề bù với ) AMB



12

123

4O B

M

A

M′

S

P

S′

Hình 7.13:

Có SPA = 90o(gt)

Do đó tứ giác AMSP có tổng hai góc đối AMS + SPA = 180o

→ AMSP nội tiếp.

2. Do M’ đối xứng với M qua AB (gt)

→ AB là trung trực của MM′→ AB⊥MM′.

Do đó AM=AM’ và BM=BM’ ( A;B thuộc trung trực của MM’)

→M AMB =M AM′B(c.c.c)

→ A1 = A2 (2 góc tương ứng) (1)

Có A3 = A1(đối đỉnh) (2)

A4 = A2 (đối đỉnh) (3)

Từ (1)(2)(3)→ A1 = A2 = A3 = A4→AP là phân giác SAS′

Xét M SAS′ có AP là phân giác đồng thời là đường cao

→M SAS′ cân tại A

Do M SAS′ cân tại A có AP là đường cao nên AP cũng là đường trung tuyến của M SAS′

→ PS = PS′ (4)

Xét M SMS′ vuông tại M có MP là trung tuyến

→ PM = 12 SS′ (5)

Từ (4)(5) suy ra PM=PS’→M PS′M cân tại P

3. Có OMA = A1 (do OMA cân)

nên OMA = A4 (doA1 = A4(cmt) )

M2 = PSA (góc nội tiếp cùng chắn PA_

)

Mà A4 + PSA = 90o

→ M2 + OMA = 90o

→ POM = 90o→ PM⊥MO

→ PM là tiếp tuyến của (O)

4. Do MM’//SS’ (vì cùng vuông góc với AB)



→ S′1 = M1(slt)

mà S′1 = M2 (do M PS′M cân )

→ M1 = M2

→ MA là phân giác của M PMM′ (6)

Do M PMB =M PM′B(c− c− c)

→ MPA = M′PA (2 góc tương ứng)

→ PA là phân giác của M PMM′ (7)

Từ (6)(7)→ A là tâm đường tròn nội tiếp M PMM′

→ A cách đều 3 cạnh của M PMM′.

Bài tập 7.14. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O)

tại các điểm D, E, F; BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :

1. Tam giác DEF có ba góc nhọn.

2. DF //BC.

3. Tứ giác BDFC nội tiếp.

4. BDCB = BM

CF

Hướng dẫn

B CE

A

O

D F

I

M

Hình 7.14:

1. Tam giác DEF có ba góc nhọn.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AD=AF

→ tam giác ADF cân tại A→ ADF = AFD < 90o

Có DEF = 12 sdDF_

(tính chất góc nội tiếp)

ADF = 12 sdDF_

(góc tạo bởi 1 tia tiếp tuyến và dây cung)

→ DEF = ADF < 90o→ DEF là góc nhọn.

Chứng minh tương tự: DFE < 90o; EDF < 90o

2. DF // BC.



Có AB=AC (gt); AD=AF (cmt)→ ADAB = AF

AC → DF//BC

3. Tứ giác BDFC nội tiếp.

DF//BC→ BDFC là hình thang lại có B = C(vì ABC cân)

→ BDFC là thang cân nên BDFC nội tiếp .

4. BDCB = BM

CF

Xét M BDM và M CBF có:

DBM = BCF (hai góc ở đáy của tam giác cân)

BDM = BFD (cùng chắn DI_

)

CBF = BFD (slt)

→ BDM = CBF

→M BDMvM CBF (g.g)

→ BDCB = BM

CF

Bài tập 7.15. Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với

nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông

góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh :

1. Tứ giác OMNP nội tiếp.

2. Tứ giác CMPO là hình bình hành.

3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào?

Hướng dẫn

O BA

C

D

M

N

PA′ B′

Hình 7.15:

1. OMP = 90o (vì PM⊥AB)

ONP = 90o(do NP là tiếp tuyến)

→M, N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 90o

→ OMNP nội tiếp (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc)



2. Có OMNP nội tiếp→ OPM = ONM (góc nội tiếp cùng chắn cung OM)

MONC cân tại O (ON=OC=R)

→ ONC = OCN

→ OPM = OCM

Xét MOMC và MMOB có:

MOC = OMP

OPM = OCM→ CMO = POM

MO chung

→MOMC =MMOB (gcg)

→OC = MP (1)

Mà CD⊥AB; PM⊥AB→ CO//PM (2)

Từ (1)(2)→ CMPO là hình bình hành

3.Xét tam giác OMC và NDC có :

DNC = COM90o

C chung

→MOMC vM NDC (g.g)

→ CMCD = CO

CN → CM.CN = CO.CD mà CO=2R nên CO.CD=2R2

→ CM.CN = 2R2 = const

4. Có MOMC =M DPO(cgc)→ ODP = 90o → P chạy trên đường thẳng cố định vuông góc

với CD tại D.

Vì M chỉ chạy trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên đoạn thẳng A’B’ //AB và bằng AB.

Bài tập 7.16. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC), AD là đường cao.Từ D vẽ DE⊥AB

tại E ,Vẽ DF ⊥AC tại F

1.Chứng tỏ: Các tứ giác AEDF , BEFC nội tiếp

2.Tia EF cắt BC tại M .Chứng minh ME.MF=MB.MC

3.AM cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác tứ giác AEDF tại N .

Chứng minh : Tứ giác ANBC nội tiếp được

4. Trong trừờng hợp NF là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEDF.Chứng minh

rằng không bao giờ xảy ra trường hợp MF đi qua trung điểm của BN

Hướng dẫn

1/: Các tứ giác AEDF , BEFC nội tiếp

Xét trong tứ giác AEDF ta có :

( do DE ⊥AB và DF⊥AC)

→Tứ giác AEDF nội tiếp trong đường tròn đường kính AD

Do tứ giác AEDF nội tiếp→ AEF = ADF



A

B

C

D

E

F

M

O

I

N

J

Hình 7.16:

Mà dễ thấy ADF = ACD( cùng phụ với góc DAC)

→ AEF = ACD→Tứ giác BEFC nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )

2/ ME.MF=MB.MC

Xét MMEB và MMCF ta có :

FMC là góc chung

MEB = MCF ( tứ giác BEFC nôi tiếp)

MMEBvMMCF

→ MEMB = MC

MF → MB.MC = ME.MF

3/Tứ giác BNAC nội tiếp

Xét MMAE và MMFN ta có :

AME là góc chung ,

NAE = NFE ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung NE)

MMAEvMMFN (g-g)

→ MAME = MF

MN → MN.MA = MF.ME

Theo như trên ta đã có : ME.MF=MB.MC

→MN.MA=MB.MC→ MNMB = MC

MA

Xét MMNB và MMCA ta có :

AMClà góc chungMNMB = MC

MA (cmt)

→MMNBvMMCA(c-g-c)

→Tứ giác ANBC nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong)

4/ MF không đi qua trung điểm BN

Xét tứ giác AFDN nội tiếp có AD và NF là đường kính

→ tứ giác ANDE là hình chữ nhật→ NAF = 900

Do tứ giác ANBC nội tiếp MBN = 90o

→ MC⊥BN mà AD⊥MC→ AD//BN

Dễ thấy DE=AE.sin BAD= AE.cos ABC



Tương tự :DF= AF.cos ACB

MF cắt BN tại J và cắt AD tại I

Xét M IAF và M IED ta có :

AIF = EID ( 2 góc đối đỉnh )

IED = IAF( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung DF )

→M IAF vM IED (g-g)→ IFID = AF

DE

Chứng minh tương tự :M IAEvM IFD→ IAIF = AE

DF

Lấy 2 đẳng thức trên nhân nhau vế theo vế ta cóIAID

=AFDE

.AEDF

=AF.AE

AE. cos ABC.AF. cos ACB=

1

cos ACB. cos ABCTa có :BN//AD ,Áp dụng định lý ta lét trong các tam giác MID và MIA được : BJ

DI =MJMI =

NJAI

Giả sử J là trung điểm của BN→ BJ=NJ→DI=AI Kết hợp với giả thiết trên

→ cosACB.cosABC =1

Nhưng cosACB ≤ 1 và cosABC ≤ 1

→ cosACB.cosABC ≤ 1

Dấu = xảy ra khi :cosACB = 1 và cosABC = 1

→ C = 0o; B = 0o ( vô lý trong tam giác BAC )

Nói tóm lại : MF không đi qua trung điểm của BN

Bài tập 7.17. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) nội tiếp trong (O;R) có 3 đường cao

AD,BE,CF cắt nhau tại H ,AD cắt (O) tại M

1.Chứng minh : D là trung điểm của HM

2.Chứng tỏ : Các tứ giác BFEC ,BFHD nội tiếp được

3.Gọi I là giao điểm của EF và AD. Chứng minh : AI.AM=AH.AD

4.Lấy K thuộc AC sao cho HK//EF . Giả sử tanB = 94 , tanC = 4

3 (B,C là góc tam giác ABC).

Tính tỉ số HKBH

Hướng dẫn

1. D là trung điểm của HM

Ta có : BAM = BCM ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

Mà BAM = BCF ( cùng phụ với ABC )

→ BCM = BCF→ BC là tia phân giác của góc HCM

Mà BC⊥HM→ tam giác HCM cân→ HD=HM

2.Các tứ giác BFEC ,BFHD nội tiếp đươc

Do AD,BE,CF là 3 đường cao tam giác ABC

Ta có : BFC = BEC = 90o →Tứ giác BFEC nội tiếp ( 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc

bằng nhau )

Ta có : BDH = AFH = 90o→ Tứ giác BFHD nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )



O

C

A

T

F

M

E

H

D

I

K

B

Hình 7.17:

3. AI.AM=AH.AD

Ta có : ABC = AEF (Tứ giác BFEC nội tiếp )

mà ABC = AMC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

→ AEF = AMC

Xét M AHE và M ACD ta có :

CAD là góc chung ,AEH = ADC = 90o

→M AHEvM ACD (g-g)

→ AEAH = AD

AC → AE.AC = AH.AD

Xét M AEI và M AMC ta có :

MAC là góc chung , AEF = AMC (cmt)

M AEI vM AMC (g-g)

→ AEAI = AM

AC → AM.AI = AE.AC

Từ đó suy ra AH.AD=AM.AI

4.Tính tỉ số HK/BH

Gọi T là trung điểm của AB

Từ giả thiết ta có : tanB.tanC=3

XétM BHD và M ACD ta có :

BDH = ADC = 90o ,BHD = ACD ( cùng phụ với ACB )

M BHD vM ACD (g-g)

→ BDHD = AD

CD → BD.CD = HD.AD

Ta có : tanB.tanC = ADBD . AD

CD = AD2

HD.AD = ADHD

Từ giả thiết trên→AD=3HD

Theo như trên ta có :

Tứ giác BFEC nội tiếp→ EFC = EBC

Tứ giác BFHD nội tiếp→ EBC = CFD

→ EFC = CFD→ FC là tia phân giác trong của tam giác IFD

Lại có : FC⊥AF→ AF là đường phân giác ngoài



Áp dụng tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác IFD ta có :

Theo như trên ta đã có : AD=3HD→AI=3HI→ AIAH = 3

4

Ta có : IE//HK ,Áp dụng định lý ta lét trong tam giác AHK ta có :34 = AI

AH = IEHK → IE = 3HK

4

Từ giả thiết tanC=43 ta tính được cos C=3

5 và sin C=45

Theo như trên ta co : AD=3HD→ AH=2HD

Do D là trung điểm của HM→HM=2HD→AH=MH→AH=12AM

Ta thấy 4/5 = sinC = sinAHE = AEAH (doAHE = ABC)

mà AH=12 AM→ AE

AM = 25

Theo như trên ta đã có : M AEI vM AMC (g-g)

→ 25 = AE

AM = IEMC mà MC=HC

→ IE = 2HC5

Mà cũng như trên ta có :IE = 3HK4

→ HCHK = 8

15

Cũng từ giả thiết tan B=94 ta tính được cosB = 4

97

Ta có : BHCH = HD. cos BHD

HD. cos CHD= cosC

cos B = 35 . 97

4√

97= 291

20√

97

→CH = BH.20√

97291

Cũng từ trên→ BH.20√

97291 = 8HK

15 →HKBH = 25.

√97

194

Bài tập 7.18. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có AB<AC. Vẽ 3 đường cao

AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

1.Chứng tỏ :Các tứ giác BFEC nội tiếp ,xác định tâm I

2.Vẽ đường kính AK của (O) .Chứng tỏ :3 điểm HI,K thẳng hàng và AH=2OI

3.Tia EF cắt (O) lần lượt tại M và N (M thuộc cung nhỏ AB) .

Chứng tỏ : Tam giác AMN là tam giác cân

4. Chứng tỏ : AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác MHD

5. Giả sử và BC=2EF và OH//BC . Tính diện tích tam giác AMN theo R

Hướng dẫn

1/Tứ giác BFEC nội tiếp –xác định tâm I

Ta có : BFC = BEC = 90o ( do BE và CF là đường cao tam giác ABC)

→Tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn đường kính BC

→Tâm I là trung điểm của BC

2/ Ba điểm H,I,K thẳng hàng và AH=2OI

Ta có : ACK = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kình AK )

→ AC⊥KC mà BE⊥AC→ BE//CK

Chứng minh tương tự ta có BK//FC



O

A

BCD

E

F

H

I

K

M

N

L

Hình 7.18:

Trong tứ giác BHKC ta có : FC//BH , BE//KC

→Tứ giác BHCK là hình hình hành→ HK đi qua trung điểm của BC

→ 3 điểm H,I,K thẳng hàng

Xét trong tam giác AHK có O và I lần lượt là trung điểm của AK và HK

→ OI là đường trung bình tam giác AHK→AH=2OI và AH//OI

3/ Tam giác AMN là tam giác cân

Gọi L là giao điểm của EF và BC Ta có : ACB = AFE ( Tứ giác BFEC nội tiếp)

mà ACB = AKB ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

→ AFE = AKB .Ta có : ABK = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AK )

Xét M AFL và M AKB ta có :

BAK là góc chung , AFE = AKB (cmt)

→M AFLvM AKB (g-g)

90o = ABK = ALF→ AK⊥MN

Ta có : AK⊥MN → ( quan hệ đường kính và dây cung )→AM=AN ( liên hệ giữa cung và

dây )→tam giác AMN cân

4/ AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác MHD

Xét M AMF và M ABM ta có :

MAB là góc chung , AMF = ABM ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung AM và AN bằng nhau

)→M AMF vM ABM(g-g)

→ AMAF = AB

AM → AM2 = AB.AF

Xét M AFH và M ADB ta có :

BAD là góc chung , AFH = ADB = 90o

→M AFH vM ADB (g-g)

→ AFAH = AD

AB → AF.AB = AH.AD

Từ đó suy ra AM2 = AH.AD→ AHAM = AM

AD

Xét M AMH và M ADMta có :



MAD là góc chung , AHAM = AM

AD (cmt)

→M AMH vM ADM (c-g-c)→ AMH = ADM

Xét trong đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD ,kẻ tia tiếp tuyến tại M như hình vẽ ta có :

Ta có : ADM = xMH ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung MH )

→ AMH = xMH→ 2 tia AM và Ax trùng nhau→ AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại

tiếp tam giác MHD

5/Diện tích tam giác AMN theo R

Từ giả thiết⇒ EFBC = 1

2

Xét M AEF và M ABC ta có :

BAC là góc chung , AEF = ABC(tứ giác BFEC nội tiếp)

→M AEF vM ABC (g-g)

→ 12 = EF

BC = AEAB = cosA→ A = 60o

Dễ thấy tam giác OBC là tam giác cân lại có OI là trung tuyến

→ OI là tia phân giác và OI ⊥BC→ BOC = 2COI mà BOC = 2BAC (liên hê góc ở tâm và góc

nội tiếp cùng chắn 1 cung )

60o = BAC = COI

Theo như trên ta có : xét trong tam giác vuông COI

AH=2OI=2OC.cosCOI= R

Xét tứ giác DHOI ta có : OH//BC ,DH//OI

→Tứ giác OHDI là hình hình hành→OI=HD

→ HD = OI = R2

→ AD = AH + HD = 3R2

Theo như trên ta có : AM2 = AH.AD = R.3R2

→AM = R.√

62

Dễ thấy tam giác AMI vuông Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMI có ML là

đường cao→ AM2 = AL.AK→ AL = AM2

AK = 3R4

Tính dược ML=√

AM2 − AL2 =√

6R2

4 −9R2

16 = R.√

154

Do tam giác AMN cân có AL là đường cao

→AL là trung tuyến→MN=2ML = R

Do đó : SMAMN=12 .AL.MN = 1

2 .3R4 . R

√15

2 = 3R2.√

1516

Bài tập 7.19. Từ 1 điểm A ngoài (O;R) ,Kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C là tiếp

điểm và 1 cát tuyến ADE đến (O) sao cho AD<AE (D và C nằm ở 2 mặt phẳng bờ OA khác

nhau ) . Gọi H là giao điểm của OA và BC

1.Chứng tỏ :Tứ giác ABOC nội tiếp được ,xác định tâm

2.Chứng tỏ : AD.AE=AH.AO→Tứ giác DHOE nội tiếp được trong đường tròn

3.Chứng minh rằng : EB.EC=EH.ED

4.Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác EHA



Chứng minh rằng : tan DHA =Rr

. Từ đó tính AD theo R trong trường hợp R=r và BDC =

120o

Hướng dẫn

O

D

A

B

C

E

H

Hình 7.19:

1/Tứ giác OBAC nội tiếp ,xác định tâm

Do AB và AC là tiếp tuyến của (O)

→ OBA = OCA = 90o

→ OBA + OCA = 900 + 900 = 1800

→Tứ giác ABOC nội tiếp trong đường tròn (tổng 2 góc đối bằng 1800 )đường kính OA

→tâm của nó là trung điểm của OA

2/Tứ giác DHOE nội tiếp được

XétM ABD và M AEB ta có :

BAE là góc chung , ABD = AEB ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng

chắn cung BD)

→M ABD vM AEB (g-g)

→ ABAD = AE

AB → AB2 = AD.AE Ta có : OB=OC=R ,AB=AC ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

→ OA là trung trực của BC→ OA⊥BC tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBA có BH là đường cao→ AB2 = AH.AO

Từ đó suy ra AD.AE=AH.AO→ ADAH = AO

AE

Xét M ADH và M AOE ta có :

OAE là góc chung , ADAH = AO

AE (cmt)

→M ADH vM AOE (c-g-c )

→ DHA = AEO→ Tứ giác EOHD nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )

3/EB.EC=EH.ED

Dễ thấy tam giác ODE cân→ AEO = ODE

Do tứ giác EOHD nội tiếp→ ODE = OHE

Mà DHA = AEO (cmt)→ DHA = OHE



→ EHB = DHB ( cùng phụ với 2 góc bằng nhau )

→ BH là tia phân giác của góc EHD )

Theo như trên ta có BH là phân giác của góc EHD

→ EHD = 2EHB mà EHD = EOD (Tứ giác EOHD nội tiếp)

Và EOD = 2ECD ( tính chất góc ở tâm và 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

→ EHB = ECD

Xét M HBE và M CDE ta có :

EHB = ECD(cmt) , EBH = EDC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

→M HBEvM CDE( g-g)

→ EHEB

=ECED→ EB.EC = EH.ED

4/ tan DHA = Rr . Tính AD theo R

Bài toán phụ :Cho tam giác ABC có AD là đường cao và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC và khi đó ta có : AB.AC=AD.2R Xét trường hợp D nằm giữa B và C

Hình 7.19a:

O

C

A

B D

K

Hình 7.19b:

O

B

A

C

K

D

(trường hợp D nằm ngoài BC chứng minh tương tự)

Xem hình vẽ bên trái : dễ thấy AKC = 900

Xét M ABD và M AKC ta có :

ABD = AKC(2góc nội tiếp cùng chắn cung KC ), ADB = ACK = 900

→M ABD vM AKC (g-g)ABAD = AK

AC → AB.AC = AD.2R

Bài toán phụ đã được chứng minh :

Quay trở lại bài toán lớn :

Từ E dựng EP⊥BC tại P và EQ⊥OA tại Q

Áp dụng bài toán phụ : Ta có :EB.EC=EP.2R ,EH.ED=EQ.2r

mà EB.EC=EH.ED (cmt)

→ EP.R = EQ.r→ Rr = EQ

EP

Dễ thấy tứ giác EPHQ là hình chữ nhật từ từ đó suy ra EP=HQ kết với DHA = OHE

→ tan DHA = tan EHO = EQHQ = EQ

EP = Rr

Nếu R=r→ 450 = DHA = OED



Dẫn đến tam giác OED vuông cân→DE= R√

2

Nếu BDC = 1200→ BEC = 600

Dễ dàng chứng minh được :BOA = BEC = 600

Ta có : AD.AE = AB2 = OC2.sin2BOA = 3R2

→ AD(AD + R√

2) = 3R2→ AD2 + R√

2.AD− 3R2 = 0

Đặt AD=x ( ĐK :x>0 ) ta có :x2 + R√

2.x− 3R2 = 0

→ ∆ = (R√

2)2 − 4.1.− 3R2 = 14R2 > 0

→Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

x1 =−R√

2+R√

141.2 > 0 (nhận ) ,x2 =

−R√

2−R√

142 < 0 (loại )

Tóm lại AD=−R√

2+R√

142 .

Bài tập 7.20. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng

bờ BC chứa điểm A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, Nửa đường tròn đường

kính HC cắt AC tại F.

1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật.

2. BEFC là tứ giác nội tiếp.

3. AE. AB = AF. AC.

4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn .

Hướng dẫn

A

C BHJ

G

I

F

E

K

Hình 7.20:

1/AEHF là hình chữ nhật

Có CFH = 900 góc nội tiếp chắn nửa đt

HEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đt)

Xét tứ giác AEHF:

CAB = 900 (gt)

AFH = 900(vì kề bù với CFH = 900)

AEH = 900(vì kề bù với HEB = 900)

→ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.



2/BEFC nội tiếp

Do AH ⊥BC (gt)→ AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HB

→ HBE = AHE (cùng chắn cung HE)

Do AEHF là hình chữ nhật (cmt)→KA=KE=KH=KF(tính chất)

→M KHE cân tại K→ KHE = KEH(tính chất tam giác cân)

Có HE//FA (tính chất hcn)→ AFK = KEH (slt)

→ AFK = HBE

mà AFK + EFC = 1800 (kề bù)

→ HBE + EFC = 1800→ Tứ giác BEFC nội tiếp

3. AE. AB = AF. AC.

Xét M AEF và M ACB

Có Achung, AFK = ABC(cmt)

→M AEF vM ACB(g.g)→ dpcm

4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn .

Gọi I,J lần lượt là tâm các đường tròn tâm đường kính HB và đường tròn đường kính HC

Xét (I):

có M IEH cân tại I→ IHE = IEH

Lại cóKEH = KHE(cmt)

mà KHE + IHE = 900(do AH⊥BC)

Do đó→ KEH + IEH = 900→ KEI = 900→ FE⊥IE

Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Chứng minh tương tự EF cũng là tiếp tuyến của (J)

Vậy EF là tiếp tuyến chung của (I) và (J)

Bài tập 7.21. Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. Vẽ về một

phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo

thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo

thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K).

1. Chứng minh EC = MN.

2. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K).

3. Tính MN.

4. Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn .

Hướng dẫn

1. Chứng minh EC = MN.

Có AEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

AMC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)



E

A BCI

G

K

M

N

O

Hình 7.21:

CNB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác EMCN có:

AEB = 900 (cmt) EMC = 900 (kề bù với AMC = 900)

ENC = 900 (kề bù với CNB = 900)

→Tứ giác EMCN là hcn nên EC=MN (tính chất hcn)

2. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K).

CóM EMC =M NCM (c-c-c)

→ ECM = NMC

Có M IMC cân tại I (do IM=IC (bán kính))

→ IMC = ICM

Ta lại có ECM + ICM = 900(doEC⊥AB)

nên NMC + IMC = 900

Do đó→ NMI = 900→ MN⊥IM

Vậy MN là tiếp tuyến của (I)

Chứng minh tương tự ta có MN là tiếp tuyến của (K)

3. Tính MN.

Xét M AEB vuông tại E,có EC là đường cao

EC2=AC.CB (hệ thức lượng)

EC2=10.40=400→ EC=20 cm

→MN=EC=20 cm

4. Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn

Gọi S1 là diện tích nửa đường tròn (O)

S2 là diện tích nửa đường tròn (I)

S3 là diện tích nửa đường tròn (K)

Khi đó S là diện tích phải tìm thì S = S1 − S2 − S3

S1 = π(AB2 )2 = π.252 = 625π

S2 = π(AC2 )2 = π.52 = 25π

S3 = π(BC2 )2 = π.202 = 400π



→ S = 625π − 25π − 400π = 200π

Bài tập 7.22. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O)

có đường kính MC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường

tròn (O) tại S.

1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .

2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.

3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA,

EM, CD đồng quy.

4. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

Hướng dẫn

21

AC

B

M O

E

I

D

S

Hình 7.22:

1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .

BDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác ABCD:

Có BDC = BAC = 900(cmt)

→ A,D là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông

→ Tứ giác ABCD nội tiếp.

2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.

C2 = SDM(góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

C1 = SDM(góc nội tiếp cùng chắn cung MS)

→ C1 = C2 do đó CA là phân giác của SCB

3.Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.

Có BDC = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét M IBC có BD,CA là đường cao

mà BD cắt CA tại M suy ra M là trực tâm của M IBC



Lại có IM⊥ BC nên IM cũng là đường cao của M IBC

→IM đi qua I

Vậy các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy tại I.

4. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

Do C1 = C2(cmt)→MS_

= ME_

→ MDS = MDE(góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

→MD là phân giác của ADE (1)

Tứ giác AICE nội tiếp nên AEI = ACI (góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

Mặt khác ACI = MED(góc nội tiếp cùng chắn cung MD)

→ME là phân giác của AED (2)

Từ (1)(2)→M là tâm đường tròn nội tiếp M ADE.

Bài tập 7.23. Cho tam giác ABC vuông ở A, và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn

đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng

minh :

1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.

2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .

3. AC //FG.

4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy.

Hướng dẫn

AB

C

D O

E

G

FI

Hình 7.23:

1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.

Có DEB = DFB = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét M ABC và M EBD có:B chung

CAB = DEB = 900

→M ABC vM EBD(gg)



2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .

*CóDEC = 900(kề bù với với DEB = 900)

Xét tứ giác ADEC có:DAC, DEC là hai góc đối diện

có DAC + DEC = 900

→ Tứ giác ADEC nội tiếp.

*Xét tứ giác AFBC có:

A,F là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 900

→ AFBC nội tiếp

3. AC //FG.

Có DFG = DEG(góc nội tiếp cùng chắn cung DG)

DEG = DCA(góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

→ DCA = DFG mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC//FG.

4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy.

Xét M IBC có BA,CF là đường cao

mà BA cắt CF tại D suy ra D là trực tâm của M IBC

Lại có DE⊥ BC nên DE cũng là đường cao của M IBC

→DE đi qua I

Vậy các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy tại I.

Bài tập 7.24. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (

M không trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB, AC. Chứng minh:

1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp

tứ giác đó.

2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH.

3. Chứng minh OH ⊥PQ.

4. Chứng minh rằng khi M di động trên đoạn BC thì O chuyển động trên một đoạn thẳng cố

định

Hướng dẫn

1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

đó.

*MP⊥AB(gt)→ APM = 90o

MQ⊥AC(gt)→ AQM = 900

Xét tứ giác APMQ:

APM + AQM = 90o

→Tứ giác APMQ nội tiếp.

2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH.



B C

A

MH

P

Q

OI J

Hình 7.24:

Đặt BC=a, MC=x;

→ BM = a− x, BH = a2

Ta có B = C = BAC = 60o

MP=MB.sinB = (a− x)sin60o =√

32 (a− x)

MQ=MC.sinC = x.sin600 =√

32 x

MP+MQ=√

32 (a− x) +

√3

2 x = a√

32

AH=BHtanB = a2 tan60o = a

√3

2

Vậy MP+MQ=AH.

3. Chứng minh OH ⊥PQ.

Do tam giác ABC đều có AH là đường cao nên AH cũng là phân giác của BAC

→ HAP = HAQ(tính chất tia phân giác)

→HP_

= HQ_

→ HP = HQ (liên hệ giữa cung và dây) (1)

Mặt khác OP=OQ (bán kính của (O)) (2)

Từ (1)(2)→ OH là trung trực của PQ nên OH⊥PQ

4. Chứng minh rằng khi M di động trên đoạn BC thì O chuyển động trên một đoạn thẳng

cố định

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và AC

→ J I là đường trung bình của M ABC

→JI đi qua O và JI //BC,JI cố định do tam giác ABC cố định

Vậy nếu M chuyển động trên đoạn BC thì O chuyển động trên đoạn IJ cố định .

Bài tập 7.25. Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất

kì ( H không trùng O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài

đường tròn ; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và

BC.



1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .

2. Chứng minh các đường tròn AD, BC, MH đồng quy tại I.

3.Chứng minh AC.AM+BI.BC không đổi

Hướng dẫn

A BOH

M

C

DI

Hình 7.25:

1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .

ACB = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

ADB = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác MICD:

→ MCI + MDI = 1800

→MICD nội tiếp.

2. Chứng minh các đường tròn AD, BC, MH đồng quy tại I.

Xét tam giác MAB:

Có I là trực tâm

MH là đường cao

→MH đi qua I

→MH,AD,BC đồng quy tại I

3.Chứng minh AC.AM+BI.BC không đổi

Do HBCM nội tiếp nên AC.AM=AH.AB

Do ACIH nội tiếp nên BI.BC=BH.BA

Vây AC.AM+BI.BC=AH.AB+BH.BA=AB.(AH+HB)=AB.AB=AB2 = 4R2=const

Bài tập 7.26. Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B

khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB,

CD cắt đường tròn đường kính BC tại I.

1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .

2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.



3. Chứng minh BI //AD.

4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.

Hướng dẫn

AC

BOM

F

D

E

I

Hình 7.26:

1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .

CóAB⊥DE(gt)→ DMB = 90o

BIC = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ BID = 90o(do kề bù với BIC)

Xét tứ giác BMDI:

DMB và BID là hai góc đối

mà DMB + BID = 1800

→Tứ giác BMID nội tiếp

2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.

Có MA=MB (gt)

MD=ME (đường kính vuông góc với dây cung)

→ Tứ giác ADBE là hình bình hành

mà AB⊥DE nên ADBE là hình thoi

3. Chứng minh BI //AD.

Có ADC = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)→ AD⊥DC

Có BI⊥DC (cmt)

→AD//BI.

4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.

Có BE//AD (tc hình thoi)

Có BI//AD (cmt)

→ B,I,E thẳng hàng (tiên đề Euclid)



Bài tập 7.27. Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC

và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc

với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại

G. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác MDGC nội tiếp .

2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn

3. Tứ giác ADBE là hình thoi

4. B, E, F thẳng hàng

5. DE, CG, BF đồng quy.

6. MF = 12DE.

7. MF là tiếp tuyến của (O’).

Hướng dẫn

A BCO

O′M

D

E

F

G

Hình 7.27:

1. Tứ giác MDGC nội tiếp .

CGB = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

nên CGD = 90o(kề bù với CGB)

→ DMC + CGD = 180o

→ Tứ giác MDGC nội tiếp.

2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn

DFB = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác MDBF:

M,F là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn BD dưới một góc vuông

→ Tứ giác MDBF nội tiếp

3. Tứ giác ADBE là hình thoi

Có MA=MB (gt)

MD=ME (đường kính vuông góc với dây cung)

→ ADBE là hình bình hành mà DE⊥AB



→ ADBE là hình thoi.

4. B, E, F thẳng hàng

Có CFB = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Có AD//EB (tính chất hình thoi)

màADC = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ DF⊥FE→ DFE = 90o

Ta có EFB = CFE + CFB = 90o + 90o = 180o

→ E,F,B thẳng hàng.

5. DE, CG, BF đồng quy.

Xét tam giác BDE:

Có DF,BM là đường cao

DF cắt BM tại C→ C là trực tâm của tam giác BDE

Mặt khác CG ⊥BD→ CG là đường cao của M BDE

→ CG đi qua E→đpcm

6. MF = 12DE.

Xét tam giác DFE vuông tại F, có FM là đường trung tuyến

→ MF = 12 DE

7. MF là tiếp tuyến của (O’).

Có MD=MF (cmt)→MMFD cân tại M

→ CFM = CDM

Có O’F=O’C(bk)→MO′CF cân tại O’

→ O′FC = O′CF(tính chất)

mà O′CF = DCM(đối đỉnh)

Lại có MDC + DCM = 90o(DM⊥CM)

nên CFM + O′FC = 90o

Vậy O′F⊥MF→ MF là tiếp tuyến của (O’)

Bài tập 7.28. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA và đường tròn

tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q.

1. Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc trong nhau tại A.

2. Chứng minh IP //OQ.

3. Chứng minh rằng AP = PQ.

4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn

1. Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc trong nhau tại A.

Có OA-IA=OI nên (O) tiếp xúc trong với (I)



OA B

I

P

Q

H

Hình 7.28:

2. Chứng minh IP //OQ.

IPA cân tại I nên IAP = IPA

OAQ cân tại O nên OAQ = OQA

Do đó IPA = OQA mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IP//OQ

3. Chứng minh rằng AP = PQ.

Xét tam giác OAQ:

Có IP//OQ (cmt)

IA=IO (gt)

→ IP là đường trung bình của MOAQ

nên PA=PQ

4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.

Kẻ QH⊥AB

SAQB = 12 QH.AB = 1

2 .QH.2R = QH.R

→ SAQB đạt max khi QH đạt max

Đặt HOQ = α

Xét M HOQ vuông tại H:

QH = OQ.sinα = R.sinα ≤ R do (sinα ≤ 1)

→ QHmax=R khi sinα = 1→ α = 90o

hay HOQ = 90o

→ Q là điểm chính giữa cung AB

Khi đó P là điểm chính giữa cung OA

Bài tập 7.29. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông

góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. Chứng

minh:

1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp .

2. Tính góc CHK.

3. Chứng minh KC. KD = KH.KB



4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào?

Hướng dẫn

A D

B C

O

E

KH

Hình 7.29:

1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp .

Có BH⊥DE (gt)→ BHD = 90o

ABCD là hình vuông nên BCD = 90o

Xét tứ giác BHCD:

H,C là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh BD dưới một góc 90o

→ Tứ giác BHCD nội tiếp

2. Tính góc CHK.

CHK = BDC = 45o

3. Chứng minh KC. KD = KH.KB

Do M KHC vM KDB→ đpcm

4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào?

H di chuyển trên cung nhỏ BC

Bài tập 7.30. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình

vuông ABHK, ACDE.

1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.

2. Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, Chứng minh FBC là tam

giác vuông cân.

3. Cho biết gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm

trên một đường tròn.

4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn



A B

C

E

D

KH

O

F

M

Hình 7.30:

1.Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng

Do ACDE là hình vuông nên M ACD vuông cân→ CAD = 45o

Do ABHK là hình vuông nên M ABH vuông cân→ BAH = 45o

Xét HAD = CAD + CAB + BAH = 45o + 90o + 45o = 180o

→ H,A,D thẳng hàng.

2.Chứng minh FBC là tam giác vuông cân.

BFC = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Có CAF = CBF = 45o(góc nội tiếp cùng chắn cung CF)

Xét tam giác BFC:

BCF = 90o − CBF = 90o − 45o = 45o

Do đó FBC = BCF = 45o

→M FBC vuông cân tại F

3.Chứng minh 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn.

Do M FBC cân tại F nên FC=FB (1)

Do HD là trung trực của BK nên FB=FK (2)

Do HD là trung trực của EC nên FC=FE (3)

Có BMC = 12(sdBC

_− sdFC_

) = 12 sdFB

_= 45o

Xét tam giác FMC vuông tại F:

FCM = 90o − BMC = 45o

→M FMC cân tại F→ FC=FM (4)

Từ (1)(2)(3)(4)→ FC = FB = FK = FE = FM

→B,K,E,M,C cùng cách đều điểm F

→B,K,E,M,C cùng nằm trên đường tròn tâm F bán kính FC

4.Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xét tam giác BMC có MBC = BMC = 45o

→M BMC vuông cân tại C→ MC⊥BC

→ MC là tiếp tuyến của đường trong ngoại tiếp M ABC



Bài tập 7.31. Cho tam giác nhọn ABC có ABC = 450 . Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm

O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E.

1. Chứng minh AE = EB.

2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi

qua trung điểm I của BH.

3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.

4.Tứ giác ODIE là hình gì ? Chứng minh?

Hướng dẫn

x

CB

A

O

D

E

H

I

J

Hình 7.31:

1. Chứng minh AE = EB.

Có AEC = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ AEB = 90o(do kề bù với AEC)

Xét M ABE có:

EAB = 90o − EBD = 90o − 45o = 45o

→ EAB = EBA = 45o

Do đó M EAB cân tại E nên AE=EB

2.Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH.

Gọi J là trung điểm của HE

Dựng IJ là trung trực của HE

Ta có:AE⊥BE(gt)

I J⊥AE (tính chất đường trung trực)

→ IJ //BE

Xét M HBE có:I J//BE(cmt)

J là trung điểm của HE

→ IJ là đường trung bình của M HBE

→ I là trung điểm của BH

3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.

Có ABE = EAD = 12 sdDE_

= 45o



→ sdDE_

= 90o

Ta có DOE = 90o(tính chất góc ở tâm)

Mặt khác OD=OE (bk) nên M DOE vuông cân tại O

→ ODE = OED = 45o

Do đó DBE = ODE = 45o

Trên nửa mặt phẳng có bờ là DE có chứa điểm O dựng tiếp tuyến Dx với đường tròn ngoại

tiếp tam giác BDE

Ta có xDE = DBE = 12 sdDE_

(1)

Mặt khác DBE = ODE = 45o (cmt) (2)

Từ (1)(2)→ xDE = ODE (3)

Như vậy trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là DE có chứa điểm O,hai tia Dx và DO cùng

tạo với DE một góc bằng nhau (do (3)) nên DO≡ Dx

Mà Dx là tiếp tuyến của của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE

→OD là tiếp tuyến của của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE

4.Tứ giác ODIE là hình gì

Có IDE = 90o − EDO = 90o − 45o = 45o

Ta có M IDE cân vuông cân tại I (do ID=IE và IDE = 450)

→ DIE = 900

Xét tứ giác ODIE:

EOD = ODI = DIE = 90o

→ ODIE là hình chữ nhật

Bài tập 7.32. Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường

tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường

vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK

là P; giao điểm của CM, IH là Q.

1. Chứng minh tam giác ABC cân.

2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp .

3. Chứng minh : MI2 = MH.MK

4. Chứng minh PQ ⊥MI.

Hướng dẫn

1. Chứng minh tam giác ABC cân.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB=AC→M ABC cân tại A

2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp .

MI⊥BC→ MIB = 90o; MK⊥AB→ MKB = 90o

→ MIB + MKB = 180o mà đây là hai góc đối→ BIMK nội tiếp



1

11 2

1

12

O

BC

A

MK

H

I

P Q

Hình 7.32:

Chứng minh tương tự:CIMH nội tiếp.

3. Chứng minh : MI2 = MH.MK

Do BIMK nội tiếp→ KMI + KBI = 180o

Do CIMH nội tiếp→ HMI + HCI = 180o

mà KBI = HCI( vì tam giác ABC cân tại A)→ KMI = HMI (1)

Ta có BIMK nội tiếp→ B1 = I1(góc nội tiếp cùng chắn cung KM)

CHMI nội tiếp→ H1 = C1(góc nội tiếp cùng chắn cung IM)

Mà B1 = C1 =12 sdBM_→ I1 = H1 (2)

Từ (1)(2)→MMKI vMMIH→ MIMH = MK

MI → MI2 = MH.MK

4. Chứng minh PQ ⊥MI.

Có I1 = C1;

chứng minh tương tự ta có I2 = B2 mà C1 + B2 + BMC = 180o

→ I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800

mà đây là hai góc đối→PMQI nội tiếp→ Q1 = I1 mà I1 = C1→ Q1 = C1

→ PQ//BC(vì có hai góc đồng vị bằng nhau)

Theo gt MI⊥BC nên IM⊥PQ

Bài tập 7.33. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB

tại H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm

của AM và CB. Chứng minh :

1. KCKB = AC

AB

2. AM là tia phân giác của góc CMD.

3. Tứ giác OHCI nội tiếp.

4. Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại M.



Hướng dẫn

OA B

C

D

M

J

I

K

Hình 7.33:

1. KCKB = AC

AB

Theo gt M là trung điểm của BC_→ MB = MC→ CAM = BAM (góc nội tiếp cùng chắn hai

cung bằng nhau)

→ AK là phân giác của CAB→ KCKB = AC

AB (tính chất tia phân giác trong tam giác)

2. AM là tia phân giác của góc CMD.

Theo gt CD⊥AB→ A là trung điểm của CD_

→ CMA = DMA→ MA là tia phân giác của CMD

3. Tứ giác OHCI nội tiếp.

Theo gt M là trung điểm của BC_

→OM⊥BC tại I→ OIC = 900;CD⊥AB = H

→ OHC = 900→ OIC + OHC = 1800 mà đây là hai góc đối

→OHCI nội tiếp

4. Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại

M.

Kẻ MJ⊥AC ta có MJ//BC( vì cùng vuông góc với AC).

Theo trên OM⊥BC→OM⊥MJ = J

→ MJ là tiếp tuyến của đường tròn tại M.

Bài tập 7.34. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm

đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.

1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành.

2. E, F nằm trên đường tròn (O).

3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.

4. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn



O

B

A

C

H

B′

C′

A′

E

I

F

G

Hình 7.34:

1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành.

Theo gt F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC→ I là trung điểm BC và HE

→ BHCF là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

2. E, F nằm trên đường tròn (O).

Tứ giác AB’HC’ nội tiếp→ BAC + B′HC′ = 180o

mà BHC = B′HC′ (đối đỉnh)

→ BAC + BHC = 1800.

Theo trên BHCF là hbh→ BHC = BFC→ BFC + BAC = 180o

→ ABFC nội tiếp→ F thuộc (O)

*H và E đối xứng nhau qua BC→M BHC =M BEC(ccc)

→ BHC = BEC→ BEC + BAC = 1800→ ABEC nội tiếp → E ∈ (O)

3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.

H và E đối xứng nhau qua BC→ BC⊥HE (1) và IH=IE mà I là trung điểm của HF

→ EI = 12 HE→M HEF vuông tại E hay FE ⊥ HE (2)

Từ (1) và (2)→ EF//BC→BEFC là hình thang .(3)

Có E∈ (O)→ CBE = CAE (góc nội tiếp cùng chắn cung CE) (4)

Có F∈ (O) và FEA = 900→AF là đường kính của (O)

→ ACF = 900→ BCF = CAE (cùng phụ với ACB) (5)

Từ (4)(5) suy ra BCF = CBE (6)

Từ (3)(6)→BEFC là hình thang cân.

4. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Có AF là đường kính của (O)→O là trung điểm của AF ;

BHCF là hbh→ I là trung điểm của HF

→ OI là đường trung bình của M AHF→OI = 12 AH

Theo gt I là trung điểm của BC nên OI ⊥ BC (đường kính vuông góc dây cung)



→ OIG = HAG (so le trong)

Lại có OGI = HGA (đối đỉnh)

→MOGI vM HAG

→ GIGA = OI

HA mà OI=12 AH

→ GIGA = 1

2 mà AI là trung tuyến của M ABC (do I là trung điểm BC)

→ G là trọng tâm của M ABC

Bài tập 7.35. BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC 6= 2R). Điểm A di động trên

cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam

giác ABC đồng quy tại H.

1. Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.

2. Gọi A’ là trung điểm của BC, Chứng minh AH = 2OA’.

3. Gọi A1 là trung điểm của EF, Chứng minh R.AA1 = AA′.OA′.

4. Chứng minh R (EF + FD + DE) = 2SABC

suy ra vị trí của A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn

O

B

A

C

H

E

F

D I

K

J

Hình 7.35:

1. Tứ giác BFEC nội tiếp→ AEF = ACB (cùng bù với BFE)

AEF = ABC( cùng bù với CEF)

→M AEF vM ABC

2. Vẽ đường kính AK→ KB//CH (cùng vuông góc AB)

KC//BH (cùng vuông góc AC)

→BHKC là hình bình hành→I là trung điểm của HK

→OK là đường trung bình của M AHK→ AH = 2OI



3. Áp dụng tính chất nếu hai tam giác đồng dạng thỉ tỉ số giữa hai trung tuyến, tỉ số giữa

hai bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng.

Ta có M AEF vM ABC→ RR′ =

AIAJ (1)

trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp M ABC

R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp M AEF

AI là trung tuyến của M ABC

AJ là trung tuyến của M AEF

Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đây cũng là đường tròn ngoại

tiếp M AEF

Từ (1)→ R.AJ = AI.R′ = AI. AH2 = AI.2IO

2

Vậy R.AJ=AI.IO (2)

4. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC,AB ta có OM⊥AC;ON⊥AB (bán kính đi qua

trung điểm của một dây không đi qua tâm)

→ OI,OM,ON lần lượt là các đường cao của tam giác OBC,OCA,OAB

SABC = SOBC + SOAB = 12(OI.BC + OM.AC + ON.AB)

2SABC = OI.BC + OM.AC + ON.AB (3)

Theo (2)→OI = R. AJAI mà AJ

AI là tỉ số giữa hai trung tuyến của hai tam giác đồng dạng

AEF và ABC nên AJAI =

EFBC .

Tương tự ta có : OM=R. FDAC ;ON = R. ED

AB

Thay vào (3) ta được

2SABC = R( EFBC .BC + FD

AC .AC + FDAB .AB)

⇔ 2SABC = R (EF + FD + DE)

Mà R=const nên EF + FD + DE đạt GTLN khi SABC lớn nhất.

Ta có SABC = 12 AD.BC do BC không đổi nên SABC lớn nhất khi AD lớn nhất

⇔ A là điểm chính giữa cung lớn BC

Bài tập 7.36. Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Vẽ

đường cao AH và bán kính OA.

1. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.

2. Giả sử B > C . Chứng minh: AOH = B− C

3. Cho BAC = 600 và OAH = 200 . Tính:

a) B và C của tam giác ABC.

b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC theo R.

Hướng dẫn

1. AM là phân giác BAC→ BAM = CAM

→ BM_= MC_→M là trung điểm của cung BC→OM⊥BC



O

B

A

C

M

D

HI

Hình 7.36:

Theo gt AH⊥BC→OM//AH→ HAM = OAM (slt)

Mà OMA = OAM (vì MOAM cân tại O do có OM=OA=R)

→ HAM = OAM→ AM là phân giác của OAH

2. Vẽ dây BD⊥OA→ AB_

= AD_→ ABD = ACB

Ta có OAH = DBC (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

→ OAH = ABC− ABD→ OAH = ABC− ACB

hay OAH = B− C

3. (a) Theo gt BAC = 60o→ B + C = 120o

theo trên B− C = OAH→ B− C = 20o

⇒

B + C = 120o

B− C = 20o⇔

B = 70o

C = 50o

(b) Sviên phân = S quạt BOC − S∆BOC = π.R2.120o

360o − 12 .R√

3 R2

= πR2

3 −R2√

34 =

R2(4π−3√

3)12

Bài tập 7.37. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết BAC = 600.

1. Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R.

2. Vẽ đường kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC.

Chứng minh BD //AH và AD //BH.

3. Tính AH theo R.

Hướng dẫn

1. BAC = 60o→ sdBC_

= 120o(góc nội tiếp )

→ BOC = 120o (tính chất góc ở tâm)

* Có BC_

= 120o→ BC là cạnh của một tam giác đều nội tiếp (O;R)

→ BC = R√

3



B

A

CM

O

60

H

D

Hình 7.37:

2. CD là đường kính→ DBC = 90o hay DB⊥BC;

theo gt AH là đường cao

→ AH⊥BC→ BD//AH

Chứng minh tương tự ta có :AD//BH

3. Theo trên DBC = 90o→M DBC vuông tại B có BC=R√

3;CD=2R

→ BD2 = CD2 − BC2→ BD2 = (2R)2 − (R√

3)2 = 4R2 − 3R2 = R2

→ BD = R

Theo trên BD//AH;AD//BH→ BDAH là hbh→ AH = BD→ AH = R

Bài tập 7.38. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh

trung điểm H của OB.

1. Chứng minh khi MN di động, trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn cố

định.

2. Từ A kẻ Ax ⊥MN, tia By cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành.

3. Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN.

4. Khi MN quay quanh H thì C di động trên đường nào.

5. Cho AM.AN = 3R2 ; AN = R√

3 . Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác

AMN.

Hướng dẫn

1. I là trung điểm của MN→OI⊥MN = I( quan hệ đường kính và dây cung)

→ OIH = 90o

Do OH cố định nên khi MN di động thì I cũng di động nhưng luôn nhìn OH dưới

một góc 90o, do đó I di động trên đường tròn đường kính OH. Vậy khi MN di động thì

trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn cố định.



xy

O

A BH

M

N

I

D

C

K

Hình 7.38:

2. Theo gt Ax⊥MN ,theo trên OI⊥MN tại I → OI//Ax hay OI//AC mà O là trung điểm

của AB→ I là trung điểm của BC, lại có I là trung điểm MN (gt)→ CMBN là hình bình

hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

3. CMBN là hình bình hành → MC//BN mà BN⊥AN (vì ANB = 90o do là góc nội tiếp

chắn nửa đường tròn)

→ MC⊥AN; theo trên AC⊥MN→ C là trực tâm của M AMN

4. H là trung điểm của OB, I là trung điểm của BC→ IH là đường trung bình của MOBC

→ IH//OC

Theo gt Ax⊥MN hay IH⊥Ax → OC⊥Ax = C→ OCA = 90o → C thuộc đường tròn

đường kính OA cố định.

Vậy khi MN quay quanh H thì C di động trên đường tròn đường kính

5. Có AM.AN = 3R2; AN = R√

3→ AM = AN = R√

3

→M AMN cân tại A (1)

Xét M ABN vuông tại N ,có AB=2R;AN=R√

3→ BN = R và ABN = 60o

ABN = AMN(góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

→ AMN = 60o (2)

Từ (1)(2)→M AMN là tam giác đều→ SAMN = 3R2√

34

→ S = S(O) − SAMN = π.R2 − 3R2√

34 =

R2(4π−3√

3)4

Bài tập 7.39. Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt

đường tròn tại M. Chứng minh:

1. Chứng minh OM ⊥ BC.

2. Chứng minh MC2 = MI.MA .

3. Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q.

Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đường tròn .

Hướng dẫn



12

1 2

12

1 O

B

A

CI

M

N

P

Q

K

Hình 7.39:

1. AM là phân giác của BAC→ BAM = CAM

→ BM_= CM_→M là trung điểm của cung BC

→OM⊥BC

2. Xét MMCI và MMAC có:

MCI = MAC(hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

M chung

→MMCI vMMAC→ MCMA = MI

MC → MC2 = MI.MA

3. MAN = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ P1 = 90o − K1 mà K1 là góc ngoài của M AKB

nên K1 = A1 + B1 =A2 + B

2 (tính chất tia phân giác của một góc)

→ P1 = 90o − A+B2 (1)

Có CQ là phân giác của ACB

→ C1 =C2 = 1

2(180o − A− B) = 90o − A+B2 (2)

Từ (1)(2)→ P1 = C1 hay QPB = QCB

mà P,C nằm cùng về một nửa mặt phẳng bờ là BQ

nên cùng nằm trên cung chứa góc 90o − A+B2 dựng trên BQ

Vậy bốn điểm P,C,B,Q cùng thuộc một đường tròn.

Bài tập 7.40. Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = 6 cm, chiều cao AH = 4 cm, nội tiếp

đường tròn (O) đường kính AA’.

1. Tính bán kính của đường tròn (O).

2. Kẻ đường kính CC’, tứ giác CAC’A’ là hình gì? Tại sao?

3. Kẻ AK ⊥ CC’ tứ giác AKHC là hình gì? Tại sao?

4. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác ABC.

Hướng dẫn



1 2

12

1

1

O

B

A

C

A′

C′

K

H

Hình 7.40:

1. Vì M ABC cân tại A nên đường kính AA’ của đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH

xuất phát từ đỉnh A trùng nhau, tức là AA’ đi qua H.

→M ACA′ vuông tại C có đường cao CH= BC2 = 3cm

AH=4 cm→ CH2 = AH.A′H→ A′H = CH2

AH = 32

4 = 2,5

→ AA′ = AH + HA′ = 4 + 2,5 = 6,5cm→ R = AA′2 = 6,5

2 = 3,25cm

2. Vì AA’ và CC’ là hai đường kính nên cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường →ACA’C’ là hbh. Lại có ACA′ = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên suy ra tứ

giác ACA’C’ là hình chữ nhật.

3. Theo gt AH⊥BC; AK⊥CC′→ K và H cùng nhìn AC dưới một góc bằng 90o nên cùng

nắm trên đường tròn đường kính AC hay tứ giác ACHK nội tiếp (1)

→ C2 = H1(góc nội tiếp cùng chắn AK_)

Có M AOC cân tại O (vì OA=OC=R)

→ C2 = A2→ A2 = H1→ HK//AC(vì có hai góc slt bằng nhau)

→ Tứ giác ACHK là hình thang (2)

Từ (1)(2)→ ACHK là hình thang cân.

Bài tập 7.41. Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho

AI = 23AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao

cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.

1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .

2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.

3. Chứng minh AM2 = AE.AC .

4. Chứng minh AE.AC− AI.IB = AI2 .

5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác CME là nhỏ nhất.

Hướng dẫn



OA B

I

M

N

C

EJ

Hình 7.41:

1. Có MN⊥AB = I,→ EIB = 90o

ACB = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

hay ECB = 90o

→ EIB + ECB = 180o mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ

giác nội tiếp.

2. Có MN⊥AB(gt) nên A là trung điểm của MN_→ AMN = ACM (hai góc nội tiếp cùng

chắn hai cung bằng nhau)

hay AME = ACM. Lại thấy CAM là góc chung của hai tam giác AME và AMC do đó

M AMEvM ACM.

3. Do M AMEvM ACM→ AMAC = AE

AM → AM2 = AE.AC

4. AMB = 90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

MN⊥AB=I;→M AMB vuông tại M có MI là đường cao

→ MI2 = AI.BI (hệ thức lượng)

Xét M AIM vuông tại I:

AI2 = AM2 −MI2→ AI2 = AE.AC− AI.BI

5. Theo trên AMN = ACM→ AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp M ECM. Nối

MB ta có AMB = 90o, do đó tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECM phải nằm

trên BM.

Ta thấy NJ nhỏ nhất khi NJ là khoảng cách từ N đến BM→ NJ⊥BM

Gọi J là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được J là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác CME có bán kính là JM. Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn tâm J bán

kính JM với đường tròn (O) trong đó J là hình chiếu của N trên BM.



Bài tập 7.42. Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của

tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC.

Chứng minh:

1. Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật.

2. Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp .

3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng.

4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

Hướng dẫn

1

2

1

2

1

A

BC

H

D

EF

MN

P Q

Hình 7.42:

3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng.

N1 = D1 (góc nội tiếp cùng chắn cung HP)

D1 = C1 (cùng phụ với PDC)

Xét M HNP và M HCB có:

NHP chung

D1 = C1 (cmt)

→M HNPvM HCB (g.g)

4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

Do tứ giác DNMB nội tiếp (cmt) nên N2 = D2 (1)

Có DM//CF (gt) nên D2 = C1 (2)

Mà N1 = C1 (vì cùng bằng D1) (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra N1 = N2

Mặt khác B,N,H thẳng hàng nên M,N,P thẳng hàng.

Chứng minh tương tự :N,P,Q thẳng hàng.

Bài tập 7.43. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài

BC, B ∈(O), C ∈ (O’) . tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.



1. Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO’ nội tiếp .

2. Chứng minh BAC = 900

3. Tính số đo góc OIO’.

4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm.

Hướng dẫn

49O A O′

B

CI

Hình 7.43:

2. Chứng minh BAC = 900

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

IA=IB,IA=IC

M ABC có AI = 12 BC→M ABC vuông tại A

hay BAC = 90o

3. Tính số đo góc OIO’.

Có IO là tia phân giác của BIA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

IO’ là phân giác của CIA

mà hai góc BIA và CIA là hai góc kề bù→ IO⊥IO′→ OI′O = 90o

4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm.

Ta có MOIO′ vuông tại I có IA là đường cao (do AI là tiếp tuyến chung nên AI⊥OO’)

→ IA2 = AO.AO′ = 9.4 = 36→ IA = 6→ BC = 2.IA = 2.6 = 12 cm.

Bài tập 7.44. Cho hai đường tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung

ngoài, B∈(O), C∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở M. Gọi

E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh :

1. Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp .

2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

3. ME.MO = MF.MO’.

4. OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

5. BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’.

Hướng dẫn



O A O′

B

CM

I

EF

Hình 7.44:

1. Tự chứng minh.

2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

MA=MB→MMAB cân tại M. Lại có ME là phân giác của AMB nên ME⊥AB (1)

Chứng minh tương tự có MF⊥AC (2)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có:MO và MO’ là phân giác của hai góc bề bù

BMA và CMA→ MO⊥MO′ (3)

Từ (1)(2)(3)→MEAF là hình chữ nhật.

3. ME.MO = MF.MO’.

Theo (gt) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn→ MA⊥OO′→M MAO vuông tại A

có AE⊥MO (theo trên ME⊥AB)→ MA2 = ME.MO (4)

Tương tự có MMAO′ có AF⊥MO′→ MA2 = MF.MO′ (5)

Từ (4)(5)→ME.MO=MF.MO’.

4. OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

Đường tròn đường kính BC có tâm là M vì theo trên MB=MC=MA, đường tròn này đi qua A

và có MA là bán kính .Theo trên OO′⊥MA tại A→ OO’ là tiếp tuyến tại A của đường tròn

đường kính BC.

5. BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’.

Gọi I là trung điểm của OO’ ta có IM là đường trung bình của hình thang BCO’O →IM⊥BC = M (*)

Ta chứng minh được OMO′ = 90o nên M thuộc đường tròn đường kính OO’

→ IM là bán kính đường tròn đường kính OO’. (**)

Từ (*)(**)→ BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’

Bài tập 7.45. Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm ngoài đường tròn .Kẻ hai tiếp tuyến

PA, PB với đường tròn (O)(A, B là hai tiếp điểm). PO cắt đường tròn tại hai điểm K và I (K

nằm giữa P và O) và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của

PD với đường tròn (O).

1.Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp .

2.Chứng minh AC ⊥ CH.



3.Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. Tia AM cắt IB tại Q. Chứng minh M là

trung điểm của AQ.

Hướng dẫn

O KIP

A

B

H

D

CM

Q

Hình 7.45:

2/AC⊥CH

PA=PB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA=OB=R

→OP là đường trung trực của AB→OP⊥AB và HA=HB

→ HCB = HPB(cùng chắn cung HB của (BHCP))

→ HPB = HBO(góc có hai cạnh tương ứng vuông góc)

→ HBO = ACD (cùng chắn cung AD của (O))

→ HCB = ACD

→D đối xứng với B qua tâm O→ BD là đường kính đường tròn (O)

→ DCB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ ACH = ACD + DCH = HCB + DHC = DCB = 900

→ AC⊥CH

3/ M là trung điểm của AQ

AHM = ACM (cùng chắn cung AM)

ACM = ABI (cùng chắn cung AI của (O))

→ AHM = ABI→MH//QB mà HA=HB (cmt)

→MA=MQ (định lí đường trung bình trong M AQB)

Vậy M là trung điểm AQ.

Bài tập 7.46. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O), một điểm D trên cung nhỏ AB. Trên

tia đối các tia BD, CD lấy M, N sao cho CN = BM. Gọi giao điểm thứ hai của AM, AN với O

thứ tự là P, Q.

a, Tam giác AMN là tam giác gì? Vì sao?

b, Chứng minh tứ giác ADMN nội tiếp; MN//BQ//PC



Hướng dẫn

O

B

A

C

K

D

M

NP

Q

Hình 7.46:

a. Tứ giác ACBD nội tiếp (O)

ACD = ABD (góc nội tiếp)

ABM = ACN (cùng kề bù với hai góc bằng nhau)

Do ∆ABC cân tại A nên AB= AC

Dễ chứng minh: ∆ABM = ∆ACN(c.g.c)

⇒ AM = AN

⇒ ∆AMN cân tại A.

b.∆ABM = ∆ACN

AMD = ANC

⇒Tứ giác ADMN nội tiếp.

*Tứ gíác ADMN nội tiếp nên AMN = ADN

Tứ giác ADPC nội tiếp nên ADC = APC

AMN = APC

⇒ PC//MN (có 1 cặp góc đồng vị bằng nhau) (1)

Ta có:

AQB = ANM( cùng bù với ADB)

⇒ BQ//MN (có 1 cặp góc đồng vị bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) ta có BQ //PC //MN

Bài tập 7.47. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O),có H là trực tâm , ACB = 45o , các đường

cao AM, BN cắt (O) tại P và Q. Hai đường thẳng AQ, PB cắt nhau tại S

a, Chứng minh PQ là đường kính của (O)

b, Chứng minh tứ giác ACBS là hình bình hành.

c, Chứng minh M ASH =M APQ



Hướng dẫn

O

BC 45

A

M

P

N

Q S

H

Hình 7.47:

a. ∆AMC vuông tại M có C = 450⇒ CAM = 450

∆BNC vuông tại NcBCN = 450⇒ NBC = 450

Có NBC = CAQ = 450(góc nội tiếp cùng chắn cung QC)

⇒ PAQ = CAM + CAQ = 900

⇒ PQ là đường kính của (O).

b. PAQ = 900

⇒ PA ⊥ SQ

⇒ BC//SQ(⊥ PA)

Lại có:PBQ = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ QB ⊥ SP

⇒ SP//CA(⊥ BQ)

Do BC//SA, SB//CA nên tứ giác ACBS là hình bình hành.

c. Có:APB = ACB = 450

⇒ ∆ASP vuông cân tại A.

⇒ AS = AP

Tương tự:∆AHQvuông cân tại A.

⇒ AH = AQ

Dễ chứng minh: ∆ASH = ∆APQ (2 cạnh góc vuông)

Bài tập 7.48. Cho (O), BC không phải đường kính, A là điểm chuyển động trên đường tròn

sao cho tam giác ABC nhọn; đường cao BM, CN (M thuộc AC, N thuộc AB) cắt (O) tại P,

Q.Chứng minh:

a, Tứ giác BNMC, ANHM nội tiếp (CN cắt BM tại H)

b, PQ//MN

c,OA⊥MN

d, Độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN không đổi khi A chuyển động.

Hướng dẫn



O

BC

A

HN

MQ

P

Hình 7.48:

a. Gọi I là trung điểm BC. Ta có:

IM = IB = IC và IN = IB = IC (Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Suy ra IB = IC = IM = IN, vậy bốn điểm B, C, M, N cùng nằm trên cùng một đường tròn tâm

I. Vậy tứ giác BCMN là tứ giác nội tiếp với tâm đường tròn là trung điểm cạnh BC.

Theo đề chúng ta có

ANH = AMH = 900 nên ANH + AMH = 1800

Vậy tứ giác ANHM là tứ giác nội tiếp.

b. Vì tứ giác BCMN là tứ giác nội tiếp nênBMN = BCN(Vì cùng chắn cung BN) ;

Vì tứ giác BCPQ là tứ giác nội tiếp nên BPQ = BCQ (tức BPQ = BCN) (Vì cùng chắn cung

BQ).

Suy ra BMN = BPQ = BCN tức HMN = HPQ⇒ MN//PQ.

c. Hai góc nội tiếp ABP và ACQ lần lượt chắn các AP_

và AQ_.

Trong đó, ABP = ACQ( Vì ABM = ACN). Suy ra AP_

= AQ_.

Vậy A là điểm nằm cách đều hai cung AP và cung AQ nên OA vuông góc với PQ (Theo định

lý liên hệ giữa cung và dây căng cung), do đó nên OA vuông góc với MN (Vì MN //PQ).

Bài tập 7.49. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB>AC),trên đoạn AB lấy điểm I sao cho

AI=AC, dựng đường tròn đường kính BI, cắt BC tại M,CI cắt đường tròn N,MN cắt AB tại

E,AN cắt đường tròn tại D.

Chứng minh: DE ⊥ AN

Hướng dẫn

Gọi O là tâm đường tròn đường kính IB; NO cắt (O) tại P→ PD⊥AN (1)

M ACI vuông cân tại A→ ACI = AIC = 45o

M BNI vuông cân tại N→ON⊥BI ( vì O là trung điểm BI )

Các tứ giác ACMI và BMIN nội tiếp → AMI = ACI = 45o; NMI = NBI = 45o → AMN =

90o mà NMP = 90o→ A,M,P thẳng hàng .

Trong tam giác ANP có AO ⊥ NP và NM ⊥AP



A

B

C

I

O

M

N

ED

P

Hình 7.49:

→ E là trực tâm M ANP→ PE⊥AN(2)

Từ (1) và (2)→ P; E; D thẳng hàng hay ED ⊥ AN (đpcm)

Bài tập 7.50. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm bất kì thuộc cung AB.

Vẽ CH vuông góc với AB. Gọi I,K thứ tự là tâm các đường tròn nội tiếp M CAH và M CBH.

Đường thẳng IK cắt AC và BC lần lượt tại M và N.

(a) Chứng minh rằng MIHA nội tiếp

(b) Chứng minh rằng CM=CN

(c) Xác định vị trí điểm C để tứ giác ABNM nội tiếp

(d) Vẽ CD vuông góc với MN. Chứng minh rằng khi C di động trên cung AB thì CD luôn đi

qua một điểm cố định

Hướng dẫn

OA B

C

H

IK

P Q

MN

E

D

Hình 7.50:

a/ HI cắt AC tại P; HK cắt BC tại Q

HP là phân giác của AHC

HQ là phân giác của BHC



→ CHP = CHQ = 45o⇒ PHQ = 90o mà PCQ = 90o

→ tứ giác CPHQ nội tiếp

→ CPQ = CHQ = 45o = CHP = CQP

→M CPQ vuông cân tại C→ CP = CQ (1)

Mặt khác theo tính chất đường phân giác trong tam giác:

Xét tam giác CHP có CI là phân giác C nên: IPIH = CP

CH

Xét tam giác CHQ có CK là phân giác C nên : KQKH = CQ

CH = CPCH ( theo (1))

→ IPIH = KQ

KH ⇒IKPQ hay MN//PQ→ CMI = CPQ = 45o ( đồng vị)

→ AMI = 180o − 45o = 135o

→ AMI + AHI = 135o + 45o = 180o→ tứ giác MIHA nội tiếp

Vì MN//PQ→M CMN vuông cân tại C→ CM = CN

b/ Vì CMN = 45o không phụ thuộc vị trí của C→ AMN = 135o không đổi nên để tứ giác

ABNM nội tiếp thì ABN = 45o⇒ C là điểm chính giữa cung AB

c/ Gọi E là giao điểm của CD với phần nửa đường tròn (O) còn lại. Vì tam giác CMN vuông

cân tại C và CD ⊥MN → CD là phân giác ACB→ ACE = BCE = 45o - không đổi → E là

điểm chính giữa của nửa đường tròn AB còn lại và E cố định khi C di động trên cung AB

Bài tập 7.51. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB). Đường cao AH=4,8 cm và trung

tuyến AM=5cm. Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AC tại E và cắt tia đối của tia BA tại

D

(a) Chứng minh rằng D,H,E thẳng hàng

(b) Chứng minh rằng M ABC vM AED rồi suy ra tỉ số đồng dạng

(c) Chứng minh rằng BECD nội tiếp

(d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BECD. Tính diện tích tứ giác AHIM

Hướng dẫn

b/ Tỉ số đồng dạng: AC /AD

Ta Chứng minh rằng AMC v AHD

hai tam giác này là hai tam giác cân ( AM = 12 BC = MC; HA = HD vì H ,D thuộc đường tròn

(H))

c/ACM = HAD

Có ACM + ABC = 90o

HAB + ABH = 90o(AH⊥BC)

→ ACM = HAD (cùng phụ với hai góc bằng nhau )

Từ đó suy ra M AMC vM AHD(g− g)

→ ACAD = AM

AH = 54,8 = 25

24

d/ Tính HM = 1.4 cm (Định lý pitago trong tam giác vuông AHM )



A B

C

M

H

E

D

I

K

Hình 7.51:

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BECD nên

I thuộc trung trực của BC và DE

Hơn nữa ta có M là trung điểm của BC; H là trung điểm của DE ( DH =HE =HA )

⇒ IM⊥BC và IH⊥DE

Có AH⊥BC(gt)→ AH//MI (*)

Lại có MAC = MCA

AED = ABC (2 tam giác đồng dạng )

Cộng hai vế : MAC + AED = MCA + ABC = 90o

→ MAC + AED = 90

Gọi K là giao của AM và HE

Xét M AKE có tổng hai góc bằng 90o

→ AKE = 90o

→ AK⊥HE

Lại có HI ⊥HE (cmt)

→ HI //AK (**)

Từ (*)(**) ta suy ra tứ giác AHIM là hình bình hành.

Đường cao HM; 2 cạnh đáy là AH và MI = 4.8 cm

Vậy SAHIM = 12(AH + MI).HM = 1

2 .9,6.1,4 = 6,72(cm2)

Bài tập 7.52. Cho đường tròn (O) cố định và tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường

tròn (O), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt ở D’ và E’

(a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp và DE//D’E’

(b) Chứng minh rằng OA vuông góc với DE

(c) Cho các điểm B,C cố định.Chứng minh rằng khi A di động trên cung lớn BC sao cho tam

giác ABC là tam giác nhọn thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi.



Hướng dẫn

12

1

2

11O

B

A

C

D

E

E′

D′

N

H

M

Hình 7.52:

(a)

*Có BD và CE là các đường cao của M ABC→ BD⊥AC,CE⊥AB

→ BDC = 90o; BEC = 90o

*Tứ giác BEDC có BDC = 90o; BEC = 90o mà 2 góc này cùng chắn cạnh BC→ tứ giác BEDC

nội tiếp

*Tứ giác BEDC nội tiếp→ E1 = B1 =12 sdDC

_(1)

*Xét đường tròn (O) có B1 = D′1 =12 sdE’C_ (2)

Từ (1)(2)→ D′1 = E1 mà đây là hai góc đồng vị nên DE//D’E’

(b)

*Tứ giác BEDC nội tiếp→ B2 = C2 =12 sdED_

*Trong đường tròn (O) có→ B2 = C2→ sdAE’_= sdAD’

_→ A là điểm chính giữa cung D’E’

→ AO đi qua trung điểm của D’E’→ AO⊥D′E′ mà DE//D′E′→OA⊥DE

(c)

Ta có tứ giác AEHD có AEH = ADH = 90o → AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ

giác AEHD

→AH đồng thời là đường kính của đường tròn ngoại tiếp M ADE→ AH2 là bán kính của

đường tròn ngoại tiếp M ADE.

*Vẽ đường kính AN của đường tròn (O)→ NCA = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ NC⊥AC→ NC//BD

*Chứng minh tương tự ta có BN//CE→ tứ giác BHCN là hình bình hành.

*Gọi M là giao điểm của BC và HN

→ M là trung điểm của HN→ AH = 2.OM

Mặt khác M là trung điểm của BC nên OM⊥BC→OM là khoảng cách từ O đến BC , mà BC

cố định , O cố định nên OM không đổi→ AH không đổi.

Bài tập 7.53. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, K là điểm chính giữa AB_

, trên AB_

lấy một điểm M , trên tia AM lấy điểm N sao cho AN=BM, kẻ dây BP//KM.



(a) So sánh M AKN và M BKM.

(b) Chứng minh rằng :M KMN vuông cân.

(c) Tứ giác APKN là hình gì ? Chứng minh?

Hướng dẫn

A BO

K

M

N

P

Hình 7.53:

(a)

Do KA_= KB_⇒ KA = KB (liên hệ giữa cung và dây cung)

Có KAM = KBM (góc nội tiếp cùng chắn KM_)

*Xét M AKN và M BKM có:KA = KB(cmt)

KAM = KBM(cmt)

AN = MB(gt)

⇒ M AKN = M BKM (c.g.c)

(b)

*Do M AKN = M BKM (cmt)

⇒ KM = KN (2 cạnh tương ứng)⇒M KMN cân (đn)

⇒ KMN = KNM (tính chất)

Mặt khác KMN = KMA = 12 sdKA_= 1

2 .90o = 45o (tính chất góc nội tiếp)

Xét M KMN có:KMN = KNM = 45o

⇒ MKN = 90o.Vậy M KMN vuông cân tại K.

(c)

• Do BP // KM (gt)

⇒ KP_

= MB_ (2 cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau) (1)

Mà KA_= KB_

(gt) (2)

Từ (1)(2)⇒ AP_

= KM_

Ta có AKP = KAM (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) mà hai góc này ở vị trí

so le trong nên PK // AN (*)

• Có KP_

= MB_ (cmt) MP_= KB_

.

⇒ KPB = MBP(tính chất góc nội tiếp) mà KM // BP nên tứ giác BMKP là hình thang cân.



⇒ KP = MB = AN (**)

Từ (*)(**) suy ra tứ giác APKN là hình bình hành.

Bài tập 7.54. Cho (O) đường kính AB dây cung MN vuông góc với AB, C là một điểm thuộc

cung nhỏ MB, tiếp tuyến tại C cắt MN ở K; AC cắt MN ở E.

(a) Chứng minh rằng : M KEC cân.

(b) Gọi I là điểm đối xứng của E qua K . Chứng minh rằng :I,C,B thẳng hàng.

Hướng dẫn

B

A

O

MN

C

K EI

H

Hình 7.54:

(a)

Có OM=ON (bán kính của (O))

Do MN⊥AB (gt)⇒ HM = HN (đường kính vuông góc với dây cung)

⇒ OH là trung trực của MN

Mà A∈ OH nên AM=AN⇒ AM_

= AN_ (liên hệ giữa cung và dây)

Có KEC = CEM = 12(sdCM_+ sdAN_) = 1

2(sdCM_+ sdAM_

) = 12 sdAC_

Có KCE = 12 sdAC_

(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Do đó KEC = KCE⇒M KEC cân tại K (đn).

(b)

Do M KEC cân (cmt)⇒ KC = KE

Do I đối xứng với E qua K nên KI=KE

Xét M ICE có CK là trung tuyến mà CK=12 IE

⇒M ICE vuông tại C

⇒ ICE = 90o

Mà BCA = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy ICB = ICE + BCA = 90o + 90o = 180o

⇒I,C,B thẳng hàng.

Bài tập 7.55. Cho M ABC nội tiếp đường tròn (O) các tia phân giác của góc A và B cắt nhau

ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E .Chứng minh rằng :



(a) M BID cân.

(b) DE là trung trực của IC.

(c) F là giao điểm của DE và AC .Chứng minh rằng IF //BC.

Hướng dẫn

O

A

BC

I

D

E

F

Hình 7.55:

a) Có DAB = DAC (gt)⇒ BD_

= CD_⇒ BD = CD

Có EBA = EBC (gt)⇒ AE_

= EC_⇒ AE = EC

IBD = 12 sdED_

(góc nội tiếp) (1)

BID = 12(sdBD

_+ sdAE

_) = 1

2(sdCD_

+ sdEC_

) = 12 sdED_

(2)

Từ (1) và (2)⇒ IBD = BID⇒ ∆IBD cân tại D.⇒ DI = DB

b) Chứng minh tương tự ∆IAE cân tại E⇒ EA = EI

Do đó DI=DC và EI=EC nên DE là trung trực của IC.

c) Do IAF = IEF⇒ tứ giác IAEF nội tiếp.

⇒ IFA = IEA (góc nội tiếp cùng chắn IA_

)

Mà IEA = BCA nên IFA = BCA mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IF // BC.

Bài tập 7.56. Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A vẽ tiếp tuyến AB với đường

tròn (O) ( B là tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO có chứa B vẽ một

đường thẳng qua A cắt (O) tại C và D.( C giữa A và D)

a)Chứng minh rằng : AB2 = AC.AD

b)Gọi M là trung điểm của CD, kẻ BH vuông góc với AO, BH cắt AD tại K.

Chứng minh rằng : các tứ giác KMOH và ABMO nội tiếp

c)Chứng minh rằng : AC.AD=AK.AM

d)Chứng minh rằng : tứ giác CHOD nội tiếp suy ra KC.AD=KD.AC

e)Đường thẳng qua A vuông góc với AO cắt BD,BC lần lượt tại E và F.

Chứng minh rằng : AE=AF.

Hướng dẫn



O

A

B

C

DM

H

K

E

F

Hình 7.56:

a) Xét ∆ABC và ∆ADB có:BAC chung

BDC = ABC( cùng = 12 sdBC_

)

⇒ ∆ABC v ∆ADB (g-g)

⇒ ABAD = AC

AB ⇒ AB2 = AC.AD (1)

b) Do MD=MC (gt)⇒OM⊥CD (định lí đảo đường kính vuông góc dây cung)

⇒ KMO = 90o

Lại có BH⊥OA (gt) nên KHO = 90o

Xét tứ giác KMOH có:

KMO + KHO = 90o + 90o = 180o

⇒ Tứ giác KMOH nội tiếp (dhnb).

*Xét tứ giác ABMO:

OMA = 90o

OBA = 90o(t/c tiếp tuyến)

⇒ OMA = OBA = 90o

Ta có M,B là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh OA dưới một góc bằng nhau .

⇒ Tứ giác ABMO nội tiếp (dhnb).

c) Chứng minh AC.AD=AK.AM ?

Do tứ giác KMOH nội tiếp⇒ MOH = AKH

Xét ∆AKH và ∆AOM có:

MOH = AKH (cmt)

KAH chung

⇒ ∆AKH v ∆AOM(g-g)

⇒ AKAO = AH

AM ⇒ AK.AM = AH.AO (2)

Xét tam giác ABO vuông tại B, có BH là đường cao

Theo hệ thức lượng thì AH.AO=AB2 (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra AC.AD=AK.AM=AB2

d) Từ (1) và (3) suy ra AH.AO=AC.AD⇒ AHAC = AD

AO

Xét ∆ACH và ∆AOD có:



HAC chungAHAC = AD

AO (cmt)

⇒∆ACH v ∆AOD (c-g-c).

⇒ AHC = ADO (2 góc tương ứng).

⇒ Tứ giác CHOD nội tiếp.

+Ta có OHD = OCD = ODA⇒ OHD = CHA⇒ DHK = CHK

⇒HK là phân giác trong và HA là phân giác ngoài tại đỉnh H của ∆CHD

⇒ KCKD = HC

HD = ACAD

⇒KC.AD=KD.AC

e) Theo câu d thì : KC.AD = KD.AC⇔ ADKD = AC

KC (*)

Mặt khác vì BK//EF ( cùng vuông góc với AO) nên:AEBK = AD

KD (**)AFBK = AC

KC (***)

Từ (*); (**); (***)⇒ AEBK = AF

BK ⇒ AE = AF(đpcm)

Bài tập 7.57. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R, vẽ tiếp tuyến Ax cùng phía

với nửa đường tròn đối với AB.Từ điểm M trên tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp

điểm),AC cắt OM tại E,MB cắt (O) tại D (D 6= B).

a) Chứng minh rằng các tứ giác AMCO,AMDE nội tiếp.

b) Chứng minh ADE = ACO.

c) Vẽ CH ⊥ AB tại H. Chứng minh MB đi qua trung điểm của CH.

Hướng dẫn

x

A BO

C

M

N

D

E

H

K

Hình 7.57:

a) *Có MCO = OAM = 90o (tính chất tiếp tuyến).

+Xét tứ giác AMCO có:

MCO + OAM = 90o + 90o = 180o

⇒ Tứ giác AMCO nội tiếp.



*Có ADB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ ADM = 90o (kề bù với ADB)

*Có MC=MA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

mà OC=OA (bán kính của (O))

⇒ OM là trung trực của AC⇒OM⊥AC⇒ AEM = 90o.

*Xét tứ giác AMDE có:

D;E là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh MA dưới một góc bằng nhau (ADM = AEM = 90o)

⇒ Tứ giác AMDE nội tiếp.

b) *Do AMDE nội tiếp nên ADE = AME (góc nội tiếp cùng chắn AE_

) (1)

*Do AMCO nội tiếp nên AME = ACO (góc nội tiếp cùng chắn OA_) (2)

Từ (1)(2) suy ra ADE = ACO.

c) *Gọi N = Ax ∩ BC; K = MB ∩ CH

*Có ACB = 90o nên ACN = 90o (kề bù với ACB)

+Xét4ACN vuông tại C, có MA=MC (cmt)

⇒MA=MN

*Có Ax ⊥ AB và CH ⊥ AB nên suy ra CH // Ax.

+Xét4BMN có KC // MN, theo Talét thì CKMN = BK

BM (3)

+Xét4BAM có KH // MA ,theo Talét thì KHMA = BK

BM (4)

Từ (3)(4)⇒ CKMN = KH

MA mà MN=MA (cmt)⇒ CK=KH.

Vậy MB đi qua trung điểm K của CH.

Bài tập 7.58. Cho đường tròn (O;R) điểm P nằm ngoài đường tròn sao cho OP = 2R.Vẽ cát

tuyến PAB và hai tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. Kẻ MH vuông góc OP tại H

a) Chứng minh MO vuông góc AB tại I và tứ giác MIHP nội tiếp

b) Chứng minh OH.OP = OI.OM

c) Chứng minh độ dài OH luôn không đổi khi cát tuyến PAB quay quanh P

d) Cho OI = R3 . Tính diện tích M PHA theo R

Hướng dẫn

a) Có MA=MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA=OB (bán kính) nên OM là trung trực

của AB⇒OM⊥AB tại I⇒ MIP = 90o

mà MH⊥OP(gt)⇒ MHP = 90o

⇒ MIP = MHP = 90o.

Xét tứ giác MIHP có:

I,H là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh MP dưới một góc bằng 90o.

⇒ MIHP nội tiếp.

b) Do tứ giác MIHP nội tiếp (cmt)⇒ MPH = OIH.



O

P

A

B

M

H

I

Hình 7.58:

Xét tam4OHI và4OMP có:

IOH chung.

MPH = OIH (cmt)

⇒4OIH v4OMP (g.g)

⇒ OIOM = OH

OP ⇒OI.OP = OH.OM

c)

• Cách 1

*Tứ giác OHBA nội tiếp đường tròn có cát tuyến PAB; POH

PH.PO = PA.PB

* Kẻ tiếp tuyến PK của (O)

PK2 = PA.PB

mà PK2 = PO2 −OK2 = (2R)2 − R2 = 3R2

PH.PO = 3R2

PH = 3R2

2R2 =32 R

OH = OP− PH = 12 R

• Cách 2

Phương tích của điểm P đối với (O) là PP/(O) = PA.PB = PO2 − R2 (R là bán kính của (O))

⇒ PA.PB = (2R)2 − R2 = 3R2 = const.

Do4PAH v4POB nên:

⇒ PH.PO = PA.PB = const⇒ H cố định (vì O,P cố định).Do đó OH có độ dài không đổi

khi cát tuyến PAB quay quanh P.

*Tính OH ?

PH.PO = 3R2⇒ PH.2R = 3R2⇒ PH = 3R2 ⇒OH = OP− PH = 2R− 3R

2 = R2 .

d) Xét4IOP vuông tại I có: OI = R3

IP2 = OP2 −OI2 = 4R2 − R2

9 = 35R2

9 ⇒ IP = R√

353 .

Xét tam giác IOA vuông tại I có:

IA2 = OA2 −OI2 = R2 − R2

9 = 8R2

9 ⇒ IA = R√

83



PA = IP− IA = R√

353 − R

√8

3 = R(√

35−√

8)3

SPIO = 12 IO.IP = 1

2 . R3 . R√

353 = R2

√35

18

Ta có: SPAHSPIO

= PAPI . PH

PO =R(√

35−√

8)3

R√

353

.3R2

2R =3(√

35−√

8)4√

35

⇒ SPAH =3(√

35−√

8)4√

35.SPIO =

3(√

35−√

8)4√

35. R2√

3518 =

R2(√

35−2√

2)24 (đvdt).

Bài tập 7.59. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường

tròn (B,C là các tiếp điểm), vẽ cát tuyến ADE không đi qua tâm O và nằm trên nửa mặt

phẳng bờ là đường OA có chứa điểm B (D nằm giữa A và E).

a. Chứng minh AB2 = AD .AE

b. Gọi M,S lần lượt là trung điểm của DE và OA. Chứng minh A,M,B,O,C cùng thuộc đường

tròn tâm S

c. Chứng minh MA là tia phân giác của góc BMC

d. Đường thẳng qua D vuông góc với OB cắt BC, BE lần lượt tại I,N. Chứng minh góc IDM

= góc BAM và tứ giác IDCM nội tiếp

e. Gọi K là giao điển của IE và AB. Tính SK theo R

Bài tập 7.60. Cho đường tròn (O;R). Từ A ở ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C

là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a. Chứng minh AO vuông góc BC tại H

b. Kẻ đường kính BD của (O). Chứng minh:DC //AO

c. AD cắt (O) tại K (K khác D). Chứng minh AK.AD = AH.AO

d. Tia OA cắt (O) lần lượt tại I, J. Chứng minh : IH.AJ = AI.HJ

Bài tập 7.61. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Vẽ 2 tiếp tuyến MA

,MB (A,B là 2 tiếp điểm). Đường OM cắt AB tại K.

a. Chứng minh AB vuông góc OM và 4 điểm M,A,O,B cùng thuộc 1 đường tròn.

b. Vẽ đường kính AN của (O) , BH vuông góc AN tại H.

Chứng minh MB.BN =BH.MO

c. Đường MO cắt (O) tại C,D (C nằm giữa O,M). Chứng minh OK.MK = CK.DK

d. E đối xứng với C qua K. Chứng minh E là trực tâm của tam giác ABD

e. Chứng minh :sinMAB = CKAK + CK

AM

Bài tập 7.62. Cho nửa đường tròn (O;R) , AB là đường kính. Trên OB lấy H sao cho HB =

2HO. Đường thẳng vuông góc AB tại H cắt nửa đường tròn (O) tại D. Vẽ đường tròn (S)

đường kính AO cắt AD tại C

a. Chứng minh C là trung điểm AD

b. Chứng minh D,C,O,H cùng thuộc 1 đường tròn

c. Đoạn thẳng CB cắt OD tại E. Chứng minh BC là tiếp tuyến của (S)

d. Tính diện tích tam giác AEB theo R.



Bài tập 7.63. Cho tam giác ABC nhọn có A = 45o (AB<AC) nội tiếp (O;R). (I) đường kính BC

cắt AB, AC lần lượt tại D và E; BE và CD cắt nhau tại H.

a)Chứng minh rằng tứ giác AEHD nội tiếp và AH vuông góc với BC.

b)Chứng minh rằng : AD.AB=AE.AC

c)Tứ giác BDOE là hình gì ? Vì sao?

d)Chứng minh rằng : SBDEC = SADE và tính DE theo R.

Gợi ý:

d) Dễ có tam giác ABE và ADC là các tam giác vuông cân nên AC = AD√

2

Mặt khác theo câu b ta có: AD.AB = AE.AC hay ADAC = AE

AB

→ ADAC = AE

AB = 1√2

Cũng do: ADAC = AE

AB nên tam giác ADE đồng dạng với ACB (c.g.c). Nên ta có: tỷ số diện tích

bằng bình phương tỷ số động dạng:SADESACB

= (ADAC )

2 = 12

Mà SADE + SBDEC = SABC nên ta có SADE = SBDEC

Ta có A = 45o→ BOC = 45o

→Tam giác BOC vuông cân→ BC = BO√

2 = R√

2

Từ tam giác ADE đồng dạng với ACB nên DEBC = 1√

2

→ DE = BC√

2 = R√

2√2= R

Bài tập 7.64. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) và AB<AC và 3 đường cao AD,

BE, CF cắt H, I là trung điểm BC. Chứng minh:

1) BFEC và DHEC nội tiếp

2)Vẽ đường kính AK của (O)

Chứng minh:BH=KC và H,I,K thẳng hàng

3) KH cắt (O) tại N, EF cắt BC tại M

Chứng minh: NFHE nội tiếp

4)Chứng minh: A,N,M thẳng hàng

5)Gọi Q và G lần lượt là trung điểm của BF và CE.

Chứng minh:M QDG vM FHE

6)So sánh SAHI và SAOF

Bài tập 7.65. Cho(O), dây AB. Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại D. Vẽ cát tuyến DEF

( E giữa D và F, AE<EB) và dây AC //EF.

a)Chứng minh: tứ giác OADB nội tiếp

b)Chứng minh: DB2 = DE.DF

c)Gọi I là giao điểm của BC và EF.

Chứng minh: I là trung điểm của EF.



d) Gọi H,G,K lần lượt là hình chiếu của F trên các đường thẳng AB, BC, AC.

Chứng minh: H,G,K thẳng hàng.

Gợi ý:

d) Theo (gt) :

KGF = KCF (1) ( dễ thấy KCGF nội tiếp đường tròn đường kính FC)

KCF = ABF = HBF (2) ( vì ABFC nội tiếp (O))

Từ (1)(2)→ KGF = HBF(3)

Mà HBF + HGF = 180o (4) ( dễ thấy HBFG nội tiếp đường tròn đường kính BF)

Từ (3) và (4) KGF + HGF = 180o.

Bài tập 7.66. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi (CD

6= AB). Các tia BC, BD cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lần lượt ở E, F.

a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp.

b) Khi đường kính CD thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của EF theo R.

c) Đường tròn đi qua ba điểm O, D, F và đường tròn đi qua ba điểm O, C, E cắt nhau ở G (G

6=O). Chứng minh ba điểm B, A, G thẳng hàng.

Bài tập 7.67. Cho đường tròn (O) đường kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F

theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ) ,(K) theo thứ tự là các

đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

1. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).

2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?.

3. Chứng minh AE. AB = AF. AC.

4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất.

Bài tập 7.68. Cho nửa đường tròn tâm O,đường kính AB=2R. M là điểm bất kì trên cung AB

(M khác A và B), tiếp tuyến tại A và M cắt nhau tại C.

a.Chứng minh: OC //BM

b.Gọi H là trực tâm tam giác ACM. Chứng minh tứ giác AHMO là hình thoi. Tính theo R

diện tích hình thoi AHMO trong trường hợp MAB = 30o.

c.Kẻ MK ⊥ AB (K thuộc AB), đường BC cắt MK tại I.Chứng minh :IM=IK

Bài tập 7.69. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By.

Trên Ax lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

1. Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB.

2. Chứng minh AM.AN = R2 .

3. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (I).

4. Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra.



Bài tập 7.70. Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt

lấy các điểm D, E sao cho

1. Chứng minh tích BD. CE không đổi.

2. Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của

góc BDE

3. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với

DE.

Bài tập 7.71. Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường

tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C lần lượt cắt AB, AC ở D và E. Chứng minh :

1. CD2 = DA.DB

2. Tứ giác BCDE nội tiếp .

3. BC // DE.

Bài tập 7.72. Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn . Vẽ điểm N

đối xứng với A qua M, BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.

1. Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp .

2. Chứng minh NE ⊥ AB.

3. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O).

4. Chứng minh FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Bài tập 7.73. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn

(O) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đườntròn

(O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A

qua B. Chứng minh rằng:

1. AB ⊥ KB.

2. Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn.

Bài tập 7.74. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm

của AC; tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F.

1. Chứng minh BC //AE.

2. Chứng minh ABCE là hình bình hành.

3. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI. So sánh BAC và BGO.

Bài tập 7.75. Cho đường tròn (O) đường kính AB , trên đường tròn ta lấy hai điểm C và D

sao cho AC_

= AD_. Tiếp tuyến với đường tròn (O) vẽ từ B cắt AC tại F.

1. Chứng minh hệ thức :AB2 = AC.AF

2. Chứng minh BD tiếp xúc với đường tròn đường kính AF.

3. Khi C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB (không chứa điểm D ). Chứng minh rằng

trung điểm I của đoạn chạy trên một tia cố định , xác định tia cố định đó



Bài tập 7.76. Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ

đi qua B và C ( BC không là đường kính của (O). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E;

F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với

(O) là D. Chứng minh:

1.AE2 = AB.AC .

2. Tứ giác AEOF

3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đường tròn.

4. ED //AC.

5. Khi (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố

định.

Bài tập 7.77. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB; AC

tại E và D. BD cắt CE tại H; AH cắt BC tại I. Vẽ các tiếp tuyến AM và AN của (O). Chứng

minh:

1. Các tứ giác ADHE; ADIB nội tiếp được.

2. CD.CA + BE.BA = BC2

3. M; H; N thẳng hàng.

4. Tính chu vài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE nếu tam giác ABCD là tam giác đều có

cạnh bằng 2a.

Bài tập 7.78. Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB; BC

của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC . Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx,

đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A; AC cắt Mx tại I. Vẽ đường kính BB’. Qua O

kẻ đường thẳng vuông góc với BB’ đường này cắt BC lần lượt tại K và E . Chứng minh:

1. Tứ giác MOIC nội tiếp.

2. OI ⊥Mx.

3. ME có độ dài không phụ thuộc vị trí của điểm M.

4. Khi M di động mà OM = 2R thì K chuyển động trên đường nào? Tại sao?

Bài tập 7.79. Cho (O; R) và điểm A ∈ (O). Một góc vuông xAy quay quanh A và luôn thoả

mãn Ax; Ay cắt (O). Gọi các giao điểm thứ hai của Ax; Ay với (O) lần lượt là B; C. Đường

tròn đường kính AO cắt AB; AC tại các điểm thứ hai tương ứng là M; N. Tia OM cắt (O) tại

P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chứng minh:

1. Tứ giác AMON là hình chữ nhật.

2. MN //BC.

3. Tứ giác BPHO nội tiếp.

4. Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất

Bài tập 7.80. Cho (O;R) từ một điểm M ở ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là các

tiếp điểm). Lấy một điểm C trên cung nhỏ AB (C khác A và B). Gọi D, E ,F lần lượt là hình



chiếu vuông góc của C trên AB,AM,BM.

(a) Chứng minh rằng AECD là tứ giác nội tiếp

(b) Chứng minh rằng CDE = CBA

(c) Gọi I là giao của AC và DE, K là giao của BC và DF. Chứng minh rằng IK//AB

(d) Xác nhận vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất

đó khi OM=2R.

Bài tập 7.81. Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn . Kẻ tiếp tuyến AB,AC với đường

tròn (B,C là các tiếp điểm).

(a) Chứng minh rằng ABOC nội tiếp

(b) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE⊥OA và OE.OA = R2

(c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại

K của đường tròn (O;R) cắt AB,AC theo thứ tự tại P,Q. Chứng minh rằng tam giác APQ có

chi vi không đổi khi K chuyển động trên trên cung BC nhỏ.

(d) Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB,AC theo thứ tự tại các

điểm M,N. Chứng minh PM+QN≥MN.

Bài tập 7.82. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn

thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa

đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của

nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.

1. Chứng minh tứ giác BCFM là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh EM = EF.

3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng,

từ đó suy ra góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.

Bài tập 7.83. Cho một nửa đường tròn (O), đường kính AB một điểm M nằm trên AB_

, gọi

H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của

(O) tại điểm K. Các tia AH,BM cắt nhau tại một điểm S.

(a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Vì sao ? Suy ra điểm S nằm trên đường tròn cố định.

(b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng KS với đường tròn (B;BA)

(c) Đường tròn đi qua B,I,S cắt đường tròn (B;BA) tại một điểm N. Chứng minh rằng đường

thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB.

(d) Xác định vị trí của M sao cho MKA = 90o

Bài tập 7.84. Cho (O), một dây AB và một điểm C ở ngoài đường tròn nằm trên tia AB. Từ

điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại D. Tia

CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I, các dây AB và QI cắt nhau tại K

1.Chứng minh rằng PDKI nội tiếp



2.Chứng minh rằng CI.CP=CK.CD

3.Chứng minh rằng IC là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB

4.Giả sử A,B,C cố định .Chứng minh rằng đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A,B thì

đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.

Bài tập 7.85. Cho tam giác ABC cân (AB=AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AI,

gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Trên tia BM lấy một điểm D ở ngoài đường tròn sao

cho MD=MC

(a) MA là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh M của tam giác MBC

(b) Tứ giác MDCI là hình gì ? Tại sao ?

(c) Chứng minh rằng AM đi qua trung điểm H của CD

(d) So sánh chu vi của tam giác MBC và tam giác ABC

(e) Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên một đường tròn cố

định

Bài tập 7.86. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là trung điểm của cung

AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt các dây AB tại E, F. Các dây AD và

PC kéo dài cắt nhau tại I , các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K.Chứng minh rằng :

(a) CID = CKD

(b) Tứ giác CDFE nội tiếp

(c) IK//AB

(d) Đường tròn ngoại tiếp M AFD tiếp xúc với PA tại A

Bài tập 7.87. Cho (O;R) đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho

AP>R. Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm)

(a) Chứng minh rằng BM//OP

(b) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Tứ giác OBNP là hình gì? tại sao?

(c) Gọi K là giao điểm của AN với OP , I là giao điểm của ON với PM , J là giao điểm của PN

với OM .Chứng minh rằng K,I,J thẳng hàng.

(d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đường tròn (O).

Bài tập 7.88. Cho đường tròn (O) . Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Trong

đoạn AB lấy điểm M (khác O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N.

Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với (O) tại N ở điểm P. Chứng minh

rằng :

(a) Tứ giác OMNP nội tiếp .

(b) Tứ giác CMPO là hình bình hành

(c) Chứng minh rằng tích CM.CN không đổi.

(d) Chứng minh rằng khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.



Bài tập 7.89. Cho (O) trên đó lấy điểm A cố định . Kẻ tia Ax tiếp xúc với (O) tại A. Lấy điểm

M trên tia Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn .Gọi I là trung điểm của MA và K là giao

điểm thứ hai của BI với đường tròn (O). Tia MK cắt (O) tại điểm thứ hai C.

(a) Chứng minh rằng :MMIK vM BIM

(b) Chứng minh rằng : BC//MA

(c) Có vị trí nào của M để tứ giác AMBC là hình bình hành hay không ? Tại sao ?

(d) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB . Tìm tập hợp điểm H khi M di động trên tia Ax.

Bài tập 7.90. Xét tam giác ABC có các góc B,C nhọn ,các đường tròn đường kính AB và AC

cắt nhau tại điểm thứ hai H. Một đường thẳng d bất kì qua A lần lượt cắt hai đường tròn nói

trên tại M,N

(a) Chứng minh rằng :H thuộc cạnh BC

(b) Tứ giác BCNM là hình gì ?Tại sao ?

(c) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của BC và MN. Chứng minh rằng 4 điểm A,H,P,Q thuộc

một đường tròn

(d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.

Bài tập 7.91. Cho đường tròn (O) và dây AB, gọi M là điểm chính giữa của cung AB và C là

một điểm bất kì nằm giữa A và B , tia MC cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng (a)

MA2 = MC.MD

(b) MB.BD=BC.MD

(c) Đường tròn ngoại tiếp M BCD tiếp xúc với MB tại B.

(d) Chứng minh rằng khi C di động trên AB thì các đường tròn (O1);(O2) ngoại tiếp các

M BCD và M ACD có tổng bán kính không đổi.

Bài tập 7.92. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O,R) . Các đường cao AD,BE cắt

nhau tại H và kéo dài cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai tương ứng là D’ và E’.

(a) Chứng minh rằng DD’=DH; EE’=EH

(b) Chứng minh rằng :Bán kính các đường tròn đi qua H và hai trong ba đỉnh A,B,C đều

bằng R.

(c) Nối CH cắt AB tại G và cắt (O) tại điểm thứ hai G’.

Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp M D′E′G′

Bài tập 7.93. Xét đoạn thẳng AB và một điểm P nằm giữa A và B . Trên nửa mặt phẳng có

bờ là AB, người ta kẻ các tia Ax,By vuông góc với AB và lần lượt trên hai tia đó lấy hai điểm

C,D sao cho: AC.BD=AP.PB (1)

(a) Chứng minh rằng : M CAPvM PBD

(b) Chứng minh rằng CPD = 90o.

(c) Gọi M là hình chiếu của P trên CD .Chứng minh rằng AMB = 90o.

(d) Tìm tập hợp điểm M khi C,D di động trên Ax,By nhưng vẫn thoả mãn (1)



Bài tập 7.94. Cho M ABC cân tại A,nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M bất kì trên cung

AC nhỏ. Tia Bx vuông góc với AM cắt CM tại D.

(a) Chứng minh rằng AMD = ABC

(b) Chứng minh rằng :M BMD cân

(c) Chứng minh rằng khi M di động thì D chạy trên một đường tròn cố định và đọ lớn của

góc BDC không đổi.

(d) Xác định vị trí của M để tứ giác ABMD là hình thoi

Tính AM ở vị trí đó biết BAC = α và bán kính (O) là R.

Bài tập 7.95. Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d tiếp

xúc với (O1), (O2) lần lượt tại B,C

(a) Chứng minh rằng M ABC vuông

(b) Gọi M là trung điểm của BC .Chứng minh rằng Am là tiếp tuyến chung của (O1), (O2)

(c) Chứng minh rằng :O1M⊥O2M

(d) Các tia BA và CA cắt (O2) và (O1) lần lượt tại các điểm thứ hai D và E. Chứng minh rằng

SADE = SABC

Bài tập 7.96. Cho tam giác ABC vuông tại A.(AB>AC) có đường cao là AH . Trên nửa mặt

phẳng có bờ BC chứa đỉnh A. Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt cạnh AB tại E và nửa

đường tròn đường kính HC cắt cạnh AC tại F .Chứng minh rằng :

(a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật

(b) Tứ giác BEFC nội tiếp .

(c) EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn .

Bài tập 7.97. Cho nửa đường tròn đường kính AB , K là điểm chính giữa của cung AB, M là

điểm bất kì trên cung phần tư AK . Trên tia BM lấy điểm N sao cho BN=AM.Chứng minh

rằng :

(a) M AMK =M BNK

(b) M BNK vuông cân và MK là tia phân giác ngoài của góc AMN.

(c) Khi M di động trên cung AK thì đường vuông góc với BM kẻ qua N luôn đi qua một

điểm cố định .

Bài tập 7.98. Cho hai đường tròn (O),(O’) cắt nhau tại hai điểm A,B các đường thẳng AO,AO’

cắt đường tròn (O) lần lượt tại điểm thứ hai C,D và cắt (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai E,F.

Chứng minh rằng :

(a) B,F,C thẳng hàng

(b) Tứ giác CDEF nội tiếp được.

(c) A là tâm đường tròn nội tiếp M BDE.

(d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O),(O’).



Bài tập 7.99. Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và một điểm M bất kì trên nửa đường

tròn (M khác A,B). Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung

trực của đoạn AB tại I. Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D (D

nằm trong góc BOM).

(a) Chứng minh rằng các tia OC,OD là các tia phân giác của các góc AOM và BOM.

(b) Chứng minh rằng :CA và DB vuông góc với AB.

(c) Chứng minh rằng :M AMBvM COD.

(d) Chứng minh rằng : AC.BD = R2

(e) Xác định vị trí của M sao cho diện tích hình thang ABCD đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 7.100. Cho M ABC, A < 90o nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R . Hai đường cao

BI và CJ lần lượt cắt đường tròn tại I’, J’.

(a) Chứng minh rằng tứ giác BJIC nội tiếp .

(b) Chứng minh rằng : IJ//I’J’ và OA⊥I J.

(c) Cho B,C cố định , A di chuyển trên cung lớn BC của (O).

Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp M AI J không đổi.

Bài tập 7.101. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn ,từ A kẻ hai tiếp

tuyến AB,AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B,C,M,N thuộc đường tròn và AM<AN).

Gọi E là trung điểm của dây MN , I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O).

(a) Chứng minh rằng Bốn điểm A,O,E,C cùng nằm trên một đường tròn.

(b) Chứng minh rằng :AOC = BIC và BI//MN.

(c) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập 7.102. Cho (O) ,đường kính AB=2R, dây MN vuông góc với AB tại I sao cho IA<IB.

Trên đoạn MI lấy điểm E (E 6= M; E 6= I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.Chứng

minh rằng :

(a) Tứ giác IEKB nội tiếp.

(b) M AMEvM AKM.

(c) AE.AK+BI.BA=4R2.

(d) Xác định vị trí của I sao cho chu vi tam giác MIO đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập 7.103. Cho đường tròn (O,R), một dây CD có trung điểm là H. Trên tia đối của tia

DC lấy một điểm S qua S kẻ các tiếp tuyến SA,SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt các

đường thẳng SO và OH lần lượt tại E,F. Chứng minh rằng :

(a) SEHF nội tiếp.

(b) OE.OS=R2.

(c) OH.OF=OE.OS

(d) Khi S di động trên tia đối của tia DC hãy Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua

một điểm cố định.



Bài tập 7.104. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm P

vẽ cát tuyến PMN (M nằm giữa P và N). Vẽ AD và BC vuông góc với MN , BC cắt (O) tại I.

(a) Tứ giác AICD là hình gì ? Tại sao ?

(b) Chứng minh rằng : DN=CM

(c) Chứng minh rằng :AD.BC=CM.CN

Bài tập 7.105. Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn . Từ

một điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MP,

MP’ với đường tròn . Dây PP’ cắt OM tại N và cắt OA tại B.

(a) Chứng minh rằng :Các tứ giác MPOP’;MNBA nội tiếp.

(b) Chứng minh rằng : OA.OB = OM.ON = R2

(c) Khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d thì tâm đường tròn nội tiếpMMPP′ di chuyển

trên đường nào ?

(d) Cho PMP′ = 60o và R=8. Tính diện tích tứ giác MPOP’ và diện tích hình quạt POP’.

Bài tập 7.106. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm chính giữa của nửa đường

tròn ,D là điểm chính giữa của cung AC,E là giao điểm của BD và CO.

(a) Chứng minh rằng tứ giác ADEO nội tiếp.

(b) Tính DAE

(c) Chứng minh rằng : CD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEO.

Bài tập 7.107. Cho tam giác vuông ABC, (B = 90o; A > 60o), M là trung điểm của AC. Đường

vuông góc hạ từ A xuống BM cắt BC tại điểm I, kẻ đường tròn (I) tiếp xúc với AC tại K. Đường

thẳng qua A tiếp xúc với đường tròn (I) tại điểm E(khác K) cắt đường thẳng BM tại N.

(a) Chứng minh rằng : 5 điểm A,B,E,I,K nằm trên cùng một đường tròn.

(b) Tứ giác EKMN là hình gì ? Tại sao?

(c) Chứng minh rằng M NEB cân.

(d) EB có thể song song với AC hay không tại sao ?

Bài tập 7.108. Cho hình thang ABCD (AB//CD;AB<CD) nội tiếp (O) bán kính R. Các đường

chéo AC và BD cắt nhau tại E , các cạnh bên AD và BC kéo dài cắt nhau tại F.

(a) Chứng minh rằng :MOAC =MOBD.

(b) Chứng minh rằng tứ giác ADOE;AOCF nội tiếp.

(c) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BD và AC, P là hình chiếu vuông góc của B trên

đường thẳng DC.

Chứng minh rằng MNCP là hình bình hành.

(d) Cho DOC = 120o; AOB = 90o . Tính diện tích hình thang ABCD theo R.

Bài tập 7.109. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và AC>AB. Đường tròn (O) đường

kính BC cắt AB,AC lần lượt tại E và D . Gọi H là giao điểm của CE và BD.



(a) Chứng minh rằng AEHD nội tiếp trong một đường tròn và AD.AC=AE.AB

(b) Gọi K là giao của AH và BC .Chứng minh BHK = AED

(c) Dựng các tiếp tuyến tại AI,AJ với đường tròn (O),(I,J là tiếp điểm ).

Chứng minh KA là tia phân giác của góc IKJ

Gợi ý

(a) AEH = ADH = 90o

→ AEH + ADH = 180o→ AEHD nội tiếp.

M AEC vM ADB→ AE.AB = AD.AC

(b) AEHD nội tiếp→ AED = AHD và AHD = BHK

→ BHK = AED

(c) H là trực tâm của M ABC→ AH⊥BC

Do đó AIO = AKO = AJO = 90o

→ 5 điểm A,I,K,O,J cùng thuộc đường tròn đường kính AO

và trong đường tròn đó có AI=AJ→ AI_

= AJ_→ AKI = AKJ

Bài tập 7.110. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H.Dựng hình bình hành BHCD

và gọi I là giao điểm của 2 đường chéo.

a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp được.

b) So sánh góc BAH và góc OAC (O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

c) Gọi G là giao điểm của AI và OH. CMR: G là trọng tâm tam giác ABC

Bài tập 7.111. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O).Ba đường cao

AD,BE,CF cắt nhau tại H (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB ).

a) Chứng minh tứ giác BFHD là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh BF.BA=BD.BC

c) Chứng minh DA là tia phân giác của góc EDF

Bài tập 7.112. Cho đường tròn ( O) đường kính AB , vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Từ

B vẽ tiếp tuyến Bt. Gọi M là trung điểm OC , AM kéo dài cắt đường tròn tại E và Bt tại I .Tiếp

tuyến tại E của (O) cắt Bt tại D. Chứng minh rằng :

a)4IDE cân.

b) OD là đường trung bình của4IAB.

c) Chứng minh tứ giác MODE nội tiếp.

Hướng dẫn

a) Xét (O):AIB = ABE( cùng phụ góc EAB)

EAB = xEA( cùng chắn cung EA)

Mà xEA = IED(2 góc đối đỉnh)



x t

AB

O

C

M

IE

D

Hình 7.59:

⇒ AIB = IED

⇒ tam giác EID cân tại D⇒ DI=DE

b) *Tiếp tuyến ED cắt tiếp tuyến DB tại D⇒ DE=DB

Từ trên⇒DI=DB⇒ D là trung điểm IB

Xét tam giác AIB: D là trung điểm IB

O là trung điểm AB

⇒ OD là đường trung bình của4AIB

c) Do OD là đường trung bình của4AIB

⇒OD // AB hay OD // ME .

⇒ DOB = EAB (đồng vị) (1)

Có MD là đường trung bình của4IAB

⇒ EAB = EMD (2)

+Có EOD = DOB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (3)

Từ (1)(2)(3)⇒ EMD = EOD

⇒Tứ giác OMED nội tiếp( đỉnh O và M liên tiếp nhìn đoạn ED dưới 1 góc α).

Bài tập 7.113. Cho đường tròn (O) đường kính AB, từ A và B vẽ Ax vuông góc với AB và By

vuông góc BA ( Ax và By cùng phía so với bờ AB) .Vẽ tiếp tuyến x’My’ ( tiếp điểm M ) cắt Ax

tại C và By tại D; OC cắt AM tại I và OD cắt BM tại K .Chứng minh tứ giác CIKD nội tiếp .

Bài tập 7.114. Cho hình vuông ABCD, AB=10 cm. Gọi các điểm I, K lần lượt là trung điểm

của AB và BC. Gọi M là giao điểm của DI và AK.

a) Tính DI

b) Chứng minh rằng tứ giác IMKB nội tiếp

Bài tập 7.115. Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng (B nằm giữa A và C) .Vẽ đường tròn tâm O

đường kình AB,AT là tiếp tuyến vẽ từ A .Từ tiếp điểm T vẽ đường vuông góc với BC ,đường

thẳng này cắt BC tại H và cắt đường tròn tại K (K khác T) đặt OB=R.

a) Chứng minh OH.OA=R2

b) Chứng minh TB là phân giác góc ATH



c)Từ B vẽ đường thẳng song song với TC.Gọi D,E lần lượt là giao điểm của đường thẳng vừa

vẽ với TK,TA .Chứng minh tam giác TED cân

d) Chứng minh HBHC = AB

AC

Bài tập 7.116. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O; R) hai đường cao

AK và BF cắt nhau tại H. Gọi CD là đường kính của đường tròn (O). Qua D kẻ tiếp tuyến

của (O) cắt đường thẳng AB tại E; gọi I là trung điểm của AB.

a) Chứng minh O, D, E, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh ED2 = EA.EB và OC vuông góc với KF.

c) Chứng minh: D, I, H thẳng hàng và KH.KA = BC2

4

d) Đường thẳng EO cắt AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh: O là trung điểm của

MN.

Bài tập 7.117. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB 6=AC. Đường tròn tâm O, đường kính

BC cắt AB, AC tại F và E . BE cắt CF tại H, AH cắt BC tại D.

a) Chứng minh rằng :BDHF,CDHF nội tiếp.

b) Chứng minh 4 điểm D,O,E,F cùng thuộc một đường tròn.

c) Vẽ tiếp tuyến AI với (O). Chứng minh AI2 = AH.AD.

d) EF cắt BC tại M.Chứng minh: M, H, I thẳng hàng.

Bài tập 7.118. Cho A nằm trên đường tròn (O) đường kính BC, phân giác của góc BAC cắt

BC tại D và cắt đường tròn (O) tại M, AH là đường cao của tam giác ABC.

a) Chứng minh OM ⊥ BC và MB2= MA.MD

b) Phân giác của góc ABC cắt AH tại E; cắt AM tại I; cắt AC tại F và cắt (O) tại N.Chứng minh

MI = MB = MC.

c) Chứng minh EA.FA = EH.FC

d) Qua I kẻ IP vuông góc AB tại P, IP cắt BC tại K. Chứng minh N, K, M thẳng hàng.

Bài tập 7.119. Cho đường tròn (O,R) và điểm A nằm ngoài (O,R). đường tròn có đường kính

OA cắt (O,R) tại M và N. đường thẳng d qua A cắt (O,R) tại B và C (d không đi qua O, điểm

B nằm giữa 2 điểm A và C). Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh : AM là tiếp tuyến của (O,R) và H thuộc đường tròn đường kính AO.

b) Đường thẳng đi qua B vuông góc với OM cắt MN ở D. Chứng minh :AHN = BDN

c) DH // MC

d) HB + HD > CD

Bài tập 7.120. Cho đường tròn (O;R);dây cung AB, I là điểm chính giữa cung nhỏ AB.Qua I

kẻ 2 dây cung IE;IF chúng cắt AB lần lượt tại C,D.

a) Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp.

b) Chứng minh IA.IA=IC.IE và IC.IE = ID.IF



c) Gọi K làm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE, AK cắt (O) tại J .Chứng minh IJ là

đường kính của (O).

Bài tập 7.121. Tam giác ABC nội tiếp (O). D và E theo thứ tự là điểm chính giữa cung AB và

AC. Gọi giao điểm DE với AB,AC theo thứ tự là K,H.

(a) Chứng minh : ∆AHK cân.

(b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. Chứng minh : AI vuông góc với DE.

(c) Chứng minh :CEKI là tứ giác nội tiếp.

(d) Chứng minh : IK // AB.

Bài tập 7.122. Cho đường tròn (O,R). Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Điểm

E thuộc cung nhỏ BC , điểm F thuộc cung nhỏ BD sao cho EF=R√

2 . Dây AE cắt CD và BC

thứ tự ở M và N ;Dây AF cắt CD và BD thứ tự ở P và Q.

a) Tính số đo góc EAF.

b) Chứng minh tứ giác MNQP nội tiếp được đường tròn.

c) Chứng minh rằng NQ song song với EF.

d) Tính chu vi tam giác BNQ theo R.

e) Xác định vị trí của dây EF để diện tích tam giác BNQ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn

nhất đó theo R.

Bài tập 7.123. Từ A nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai cát tuyến ABC và ADE (B nằm giữa

A và C; D nằm giữa A và E) BE cắt CD tại I. Vẽ đường thẳng d qua B và vuông góc AC; OI

cắt d tại F. Chứng minh tứ giác ABFD nội tiếp?

Bài tập 7.124. Cho đường tròn (o) dây BC cố định, một điểm A chuyển động trên cung lớn

BC sao cho AC > AB, AC > BC. Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC, Các tiếp tuyến tại C,

và D cắt nhau tại E. Gọi P và Q là giao điểm của AB với CD và AD với CE.

a, Chứng minh: PACQ nội tiếp

b, PQ // BC

c. Gọi giao của AD và BC là R.Chứng minh rằng 1CE = 1

CQ + 1CR

Bài tập 7.125. Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp (O). Vẽ đường cao AH của tam giác ABC

và đường kính AI của (O). Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại M.Chứng

minh rằng

a) AM cũng là tia phân giác của góc HAO

b) MB2=MD.MA

c) AB.CI+AC.BI=AI.BC

Bài tập 7.126. Cho 2 tiếp tuyến B,C của (O) cắt nhau tại A. Vẽ cát tuyến AEF của (O) sao cho

E nằm giữa A và F, B và O nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AF. Kẻ OH vuông góc với EF



a. Chứng minh ABOH nội tiếp

b. Từ E kẻ đường thẳng d // AB cắt BC, BF lần lượt là I,K. Chứng minh IHEC nội tiếp

c. Chứng minh I là trung điểm EK

d. Đoạn thẳng EK, FI cắt (O) lần lượt tại G, M . Chứng minh A, M, G thẳng hàng.

Bài tập 7.127. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm E và vẽ (K) đường kính EC

cắt BC tại M, tia BE cắt (K) tại D, AD cắt (K) tại S.Chứng minh rằng :

a) Các tứ giác ABCD, ABME nội tiếp

b) CA là tia phân giác của góc BCS và MS //AB

c) EMA = ESA

d) 4 điểm A, M, K, D cùng thuộc 1 đường tròn

Bài tập 7.128. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường cao AH, tia phân giác góc BAC cắt (O)

tại M và BC tại I. Kẻ CK vuông góc AM, KH cắt AB tại E.Chứng minh rằng :

a) OM đi qua trung điểm của BC và tứ giác AHKC nội tiếp.

b) AM là tia phân giác của góc HAO.

c) 4 điểm A, E, H, I cùng thuộc 1 đường tròn.

Bài tập 7.129. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), M là trung điểm của cung BC không chứa A,

E là giao điểm của AM và BC, trên AC lấy AD= AB.

a) Chứng minh : AM là phân giác của góc BAC.

b) Chứng minh : DCME nội tiếp.

c) MD cắt (O) tại N, BN cắt AM tại K. Chứng minh : 4 điểm A, N, D, K cùng thuộc 1 đường

tròn .

d) Chứng minh : ED //BN.

Bài tập 7.130. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AB<BC, hai đường cao BM và CN giao nhau

tại H. Tia CN cắt (O) tại E.

a) Chứng minh : Các tứ giác ANHM, BNMC nội tiếp , xác định tâm K của đường tròn ngoại

tiếp tứ giác BNMC.

b) Chứng minh : MN vuông góc với tiếp tuyến xy tại A của (O).

c) Chứng minh : E và H đối xứng với nhau qua AB

d) Gọi I là trung điểm MN. Chứng minh OA // IK

e) Gọi D là giao điểm của BE và KN. Chứng minh 4 điểm B, D, M, K cùng thuộc 1 đường

tròn.

Bài tập 7.131. Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R). AH, BE và CK là 3 đường cao của tam giác

ABC giao nhau tại I, tia BI cắt (O) tại M.Chứng minh rằng

a) BKEC nội tiếp.

b) CI=CM.



c) OA vuông góc KE.

d) Gọi p là nửa chu vi tam giác HKE. Chứng minh SABC = Rp.

Bài tập 7.132. Cho AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O) , lấy I thuộc BC, đường thẳng vuông góc

OI tại I cắt AB và AC tại M và N.Chứng minh rằng

a) ABOC, OINC, OMBI nội tiếp.

b) OM=ON.

c) A, M, O, N cùng thuộc 1 đường tròn.

d) Lấy E thuộc AB sao cho CBA = NIE . Chứng minh : BE.CN=BI.IC

Bài tập 7.133. Cho AB và CD là hai đường kính của (O) vuông góc nhau. Lấy điểm E thuộc

cung nhỏ BC. Tiếp tuyến tại E cắt AB tại M, Tia CE cắt AB tại K. Gọi I là giao điểm của ED

và AB. Chứng minh rằng

a) EA là phân giác của góc CED.

b) Tứ giác OEKD nội tiếp được 1 đường tròn mà ta xác định được tâm.

c) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEKD. Chứng minh : 4 điểm O, E, M, H cùng

thuộc 1 đường tròn.

d) Chứng minh : EB là tia phân giác của KEI rồi suy ra AI.BK=IK.IB

Bài tập 7.134. Cho AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O,4cm), vẽ cát tuyến AMN với (O).Chứng

minh rằng

a) ABOC nội tiếp và OA vuông góc BC tại H.

b) AB2 = AM.AN.

c) O, H, M,N cùng thuộc 1 đường tròn.

d) Giả sử AM = 5cm và BOC = 120o. Tính độ dài AM và SAON.

Bài tập 7.135. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R), hai

đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp được đường tròn có tâm là M. Xác định vị trí của M.

b) Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh: EB là tia phân giác của FED

c) Đường thẳng EF cắt (O) tại M và N (điểm F nằm giữa N và E). Chứng minh tam giác AMN

cân.

d) Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD.

Bài tập 7.136. Cho (O;R) đường kính AB cố định. Dây CD di động vuông góc với AB tại H

nằm giữa A và O. Lấy điểm F thuộc cung AC nhỏ. BF cắt CD tại E; AF cắt tia DC tại I.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEF là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng: HA. HB = HE. HI

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF cắt AE tại M. Chứng minh rằng: M thuộc (O;R)

d) Tìm vị trí của H trên OA để tam giác OHD có chu vi lớn nhất.


Chương 8

Một số đề thi chính thức

8.1. Các đề thi chính thức vào lớp 10 các năm trước

Đề thi Toán vào lớp 10 tỉnh Tiền Giang năm 2015

Thi ngày 12/6/2015

Thời gian :120 phút

Câu 1.(2,5 điểm)

1) Rút gọn biểu thức:A =

√(3−√

2)2

+√

2

2) Giải hệ phương trình và các phương trình sau:

a)

x + y = 5

x− y = 1b) x2 − 2x− 8 = 0

c) x4 − 3x2 − 4 = 0

Câu 2.(1 điểm) Cho phương trình :x2 − 2(m− 1)x + m2 − 3m = 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x21 + x2

2 + 7

Câu 3.(2 điểm) Cho (P):y = x2 và (d):y = −x + 2

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.

b) Bằng phép tính , xác định tọa độ giao điểm A,B của (P) và (d).

c) Tìm tọa độ điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất.

Câu 4.(1,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một canô đi xuôi dòng từ A đến B ,rồi đi

ngược dòng trở về A ngay. Thời gian kể từ lúc đi cho đến lúc về là 5 giờ 20 phút. Tính vận

tốc dòng nước,biết vận tốc thực của canô là 12km/h.

Câu 5.(2 điểm)


8.1. Các đề thi chính thức vào lớp 10 các năm trước TOÁN HỌC 9

Từ điểm M nằm ngoài (O) vẽ các tiếp tuyến MA,MB với (O) (A,B là tiếp điểm). Vẽ cát tuyến

MCD không đi qua tâm O,C nằm giữa M và D.

a) Chứng minh : Tứ giác MAOB nội tiếp .

b) Chứng minh : MA2 = MC.MD

c) Gọi trung điểm của dây CD là H, tia BH cắt O tại điểm F.Chứng minh : AF//CD.

Câu 6.(1 điểm)

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm, đường sinh bằng 13 cm.Tính diện tích xung quanh

và thể tích của hình nón đã cho.

Đề thi Toán vào lớp 10 tỉnh TP.HCM năm 2015

Thi ngày 12/6/2015


Câu 1.(2 điểm) Giải phương trình,hệ phương trình sau:

a) x2 − 8x + 15 = 0

b) 2x2 −√

2x− 2 = 0

c) x4 − 5x2 − 6 = 0

d)

2x + 5y = −3

3x− y = 4Câu 2.(1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2 và đường thẳng (D):y = x + 2 trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) ở trên bằng phép tính.

Câu 3.(1,5 điểm) Thu gọn biểu thức sau:

A =√

x√x−2 +

√x−1√x+2 +

√x−10x−4

B =(

13− 4√

3)(

7 + 4√

3)− 8√

20 + 2√

43 + 24√

3

Câu 4.(1,5 điểm) Cho phương trình: x2 −mx + m− 2 = 0 (1) (x là ẩn)

a) Chứng minh rằng (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ∈R.

b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của (1) thỏa mãn: x21−2

x1−1 . x22−2

x2−1 = 4


Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh

AC,AB lần lượt tại E,F. Gọi H là giao điểm của BE và CF; D là giao điểm của AH và BC.

a) Chứng minh AD⊥BC và AH.AD = AE.AC.

b) Chứng minh : EFDO là tứ giác nội tiếp.

c) Trên tia đối của tia DE lấy điểm L sao cho DL=DF. Tính số đo góc BLC.

d) Gọi R,S lần lượt là hình chiếu của B,C lên EF. Chứng minh : DE+DF=RS.

Đề thi Toán vào lớp 10 tỉnh Đà Nẵng năm 2015



Thi ngày 11/6/2015


Câu 1.(1,5 điểm)a) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn của biểu thức

√28a4

b) Tính gia trị của biểu thức A =(√

21−√

7√3−1

+√

10−√

5√2−1

): 1√

7−√

5Câu 2.(1,0 điểm).

Giải hệ phương trình sau:

3

2x − y = 61x + 2y = −4

Câu 3.(2,0 điểm).Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P)1) Vẽ đồ thị (P).2) Cho hai hàm số y = x + 2 và y = −x + m (với m là tham số) lần lượt có đồ thị là (d) và(dm).Tìm tất cả giá trị của m để trên cùng một mặt phẳng tọa độ các đồ thị (P),(d),(dm) cùngđi qua một điểm.Câu 4.(2,0 điểm).Cho phương trình x2 − 2(m− 1)x− 2m = 0 với m là tham số.1) Giải phương trình khi m = 1.2) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Gọi x1, x2 là hainghiệm của phương trình,tìm tất cả các giá trị của m sao cho x2

1 + x1 − x2 = 5− 2m.Câu 5.(1,0 điểm).Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C làcác tiếp điểm).a) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp.b) Cho bán kính đường tròn (O) bằng 3cm, độ dài đoạn thẳng OA bằng 5cm.Tính độ dàiđoạn BC.c) Gọi (K) là đường tròn qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại C. Đường tròn (K) vàđường tròn (O) cắt nhau tại điểm thứ hai là M. Chứng minh rằng đường thẳng BM đi quatrung điểm của đoạn thẳng AC.Gợi ý: Gọi E là giao điểm của BM và AC.

+Xét4EMC và4ECB có MEC = CEB và MCE = EBC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến CA cùng

chắn cung MC của đường tròn (O)).

+Có MAE = MCB (3) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến CB cùng chắn cung MC của đường tròn (K))

+Có MCB = ABE (4) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến BA cùng chắn cung MB của đường tròn (O))

Từ (3)(4)⇒ MAE = ABE⇒4EMAv4EAB

(vì có AEM chung và MAE = ABE (cmt))

Do đó EA2 = EM.EB (*)

Mà4ECMv4EBC nên⇒ EC2 = EM.EB (**)

Từ (*)(**) suy ra EA2 = EC2⇒ EA = EC.Vậy E là trung điểm AC.



Đề thi Toán vào lớp 10 tỉnh Hà Nội năm 2015

Thi ngày 11/6/2015


Câu 1.(2 điểm)

Cho hai biểu thức P = x+3√x−2 và Q =

√x−1√x+2 +

5√

x−2x−4 với x > 0, x 6= 4

1) Tính giá trị của P khi x = 9.

2) Rút gọn Q.

3) Tìm giá trị của x để biểu thức PQ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 2.(2 điểm)

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng

sông có vận tốc dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời

gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ.

Câu 3.(2 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2 (x + y) +

√x + 1 = 4

(x + y)− 3√

x + 1 = −52) Cho phương trình x2 − (m + 5)x + 3m + 6 = 0 (x là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam

giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.


Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A,C

khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là

điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM,

BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.

a) Chứng minh tứ giác ACMD nội tiếp.

b) Chứng minh CA.CB=CH.CD

c) Chứng minh ba điểm A,N,D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua

trung điểm của DH.

d) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố

định.

Câu 5.(0,5 điểm) Với hai số thực không âm a,b thỏa mãn a2 + b2 = 4, tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức M = aba+b+2 .

ĐÁP ÁN

Câu 1.

1) P=12.

2) Q =√

x√x−2



3) Ta có PQ = x+3√

x =√

x + 3√x

Cauchy≥ 2

√3

Dấu bằng xảy ra khi√

x = 3√x ⇔ x = 3 (thỏa mãn).

Câu 2.

Đáp số: Vận tốc tàu tuần tra khi nước yên lặng: 22km/h.

Câu 3.

1) Điều kiện ; x ≥ −1

Đặt a = x + y;b =√

x + 1 ta được hệ :

2a + b = 4

a− 3b = −5⇔

a = 1

b = 2

Từ đó :

x + y = 1√

x + 1 = 2⇔

x = 3

y = −2(thỏa mãn)

2) *Chứng minh phương trình có nghiệm

Ta có ∆ = (m + 5)2 − 4(3m + 6) = (m− 1)2

Vì (m− 1)2 ≥ 0,∀m nên ∆ ≥ 0,∀m⇒ (đpcm) .

*Tìm m để phương trình ...

Tìm được hai nghiệm x1 = 3; x2 = m + 2

Yêu cầu bài toán :

x1 = 3 > 0

x2 = m + 2 > 0

x21 + x2

2 = 25(∗)Giải (*) ta được m = 2 (TM) hoặc m = −6 (loại).

Câu 4.

a) Chứng minh được AMD = 90o

A BOC

KM

D

HN

E

I

Hình 8.1:

Vì ACD = AMD = 90o nên M,C thuộc đường tròn đường kính AD

⇒ Tứ giác ACMD nội tiếp.

b) Chứng minh CA.CB=CH.CD

Xét tam giác CAH và CDB ta có:

ACD = DCB = 90o

Mặt khác CAH = CDB (cùng phụ CBM)



Do đó ∆CAH và ∆CDB đồng dạng.

⇒ CA.CB = CH.CD (đpcm).

c) *Chứng minh A,N,D thẳng hàng.

Chứng minh được H là trực tâm của ∆ABD⇒ AD⊥BH

Vì AN ⊥ BH và AD⊥ BH nên A,N,D thẳng hàng.

*Chứng minh tiếp tuyến tại N ...

Gọi E là giao điểm của CK và tiếp tuyến tại N.

Ta có BN⊥DN,ON⊥EN⇒ DNE = BNO

Mà BNO = OBN,OBN = EDN⇒ DNE = EDN

⇒ ∆DEN cân tại E⇒ ED = EN (1)

Ta có ENH = 90o − END = 90o − NDH = EHN

⇒ ∆HEN cân tại E⇒ EH = EN (2)

Từ (1)(2) suy ra E là trung điểm của HD (đpcm).

d) *Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định.

Gọi I là giao điểm của MN và AB; Kẻ IT là tiếp tuyến của nửa đường tròn với T là tiếp điểm

⇒ IN.IM = IT2 (3).

Ta có EM⊥OM (vì ∆ENO = ∆EMO và EN⊥ ON)

⇒ N,C,O, M cùng thuộc một đường tròn

⇒ IN.IM = IC.IO (4)

Từ (3)(4)⇒ IC.IO = IT2⇒ ∆ICT và ∆ITO đồng dạng⇒ CT⊥IO⇒ T ≡ K⇒ I là giao điểm

của tiếp tuyến tại K của nửa đường tròn và đường thẳng AB⇒ I cố định. (đpcm)

Câu 5.

Ta có: a2 + b2 = 4⇒ 2ab = (a + b)2 − 4

⇒ 2M = (a+b)2−4a+b+2 = a + b− 2

Có a + b ≤√

2 (a2 + b2) = 2√

2⇒ M ≤√

2− 1

Dấu bằng xảy ra khi a = b =√

2

Vậy maxM=√

2− 1 khi a = b =√

2.



Câu 1.(2 điểm)

1.Tính giá trị của biểu thức A =√

x+1√x−1 khi x=9

2.Cho biểu thức P =(

x−2x+2√

x + 1√x+2

).√

x+1√x−1 với x>0 và x 6= 1

(a) Chứng minh rằng P =√

x+1√x

(b) Tìm giá trị của x để 2P = 2√

x + 5

Câu 2.(2 điểm) Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một

số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân



xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi

ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Câu 3.(2 điểm)

1. Giải hệ :

4

x+y +1

y−1 = 51

x+y −2

y−1 = −1

2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = −x + 6 và parabol (P): y = x2.

a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P).

b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.

Câu 4.(3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của

đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các

đường thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P.

1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại điểm F.

Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.

4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của

đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5.(0,5 điểm) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức

Q =√

2a + bc +√

2b + ca +√

2c + ab

ĐÁP ÁN

Câu 1.

1) Với x = 9⇒√

x = 3⇒ A = 3+13−1 = 4

2 = 2

2.a)

P =

(x−2√

x(√

x+2)+

√x√

x(√

x+2)

).√

x+1√x−1

= x+√

x−2√x(√

x+2).√

x+1√x−1

=(√

x−1)(√

x+2)√x(√

x+2).√

x+1√x−1 =

√x+1√

x

2.b)

Điều kiện: 0 < x 6= 1; P = 2√

x + 5

⇔ 2(√

x+1)√x = 2

√x + 5⇔ 2

√x + 2 =

√x(2√

x + 5)

⇔ 2x + 3√

x− 2 = 0⇔[ √

x = −2( loại )√

x = 12

⇔ x = 14( thỏa mãn )

Câu 2.

Gọi số sản phẩm làm mỗi ngày theo kế hoạch là x (x ∈N ).

Số sản phẩm làm mỗi ngày thực tế là x + 5.



Số ngày làm dự định là 1100x .

Số ngày làm thực tế là 1100x+5 .

Vì hoàn thành sớm 2 ngày nên ta có phương trình: 1100x −

1100x+5 = 2 (*)

Giải (*) ta được: x = −55 (loại) ;x = 50 (thỏa mãn)

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày làm được 50 sản phẩm.

Câu 3.

1)

4

x+y +1

y−1 = 5(1)1

x+y −2

y−1 = −1(2)ĐK:x 6= −y;y 6= 1

Lấy (1) và (2) trừ theo vế, ta được: 9y−1 = 9⇔ y− 1 = 1⇔ y = 2(TM)

Thay vào (1) suy ra: 4x+2 = 4⇔ x + 2 = 1⇔ x = −1

Vậy (x;y) = (−1;2)

2)

a) A(2;4); B(−3;9)

b)SOAB = 15 (đvdt)

−4 −2 2 4 6

2

4

6

8

10

12

0

y = x2

y = −x + 6

A

B

D

Hình 8.2:

Câu 4.

O

A

B

M

N

P QF E

Hình 8.3:

(a) ABMN là hình chữ nhật



Xét tứ giác AMBN có:

AMB = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

MBN = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

ANB = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ Tứ giác AMBN là hcn (dấu hiệu nhận biết hcn)

(b) Bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn

Ta có: AMN = 12 sdAN_(góc nội tiếp chắn cung AN của (O)) (1)

APQ = 12(sdAMB

_ − sdNB_

) = 12(sdANB

_ − sdNB_

) = 12 sdAN_ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AMN = APQ

Xét tứ giác MNPQ có:

APQ + QMN = AMN + QMN = AMQ = 1800

Mà APQ và QMN là hai góc ở vị trí đối đỉnh.

Do đó tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Vậy M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn.

(c) F là trung điểm của BP và ME//NF

Xét M ABQ có:

E là trung điểm của BQ (gt)

O là trung điểm của AB (OA=OB (bk))

→ OE là đường trung bình của M ABQ

→ OE//AQ mà OF ⊥ OE→ OF⊥ AQ (*)

Lại có AP⊥AQ (cmt) (**)

Từ (*)(**) suy ra OF//AP

Xét M ABP có:

OF//AP (cmt)

OA=OB

→ OF là đường trung bình của M ABP

→ F là trung điểm của PB

* ME//NF (vì cùng vuông góc với MN)

(d) Tìm vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

SMNPQ = SAPQ + SAMN

2SMNPQ = 2SAPQ − 2SAMN = 2R.PQ− AM.AN = 2R(PB + BQ)− AM.AN(3)

Xét hệ thức lượng trong tam giác vuông APQ có: PB.BQ=AB2 = (2R)2

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: PB + BQ ≥ 2√

PB.BQ = 2√(2R)2 = 4R (4)

Lại có AM2 + AN2 = MN2(Pitago)

⇔ AM2 + AN2 = 4R2 ≥ 2√

AM2.AN2 = 2AM.AN

→ AM.AN ≤ 2R2 (5)

Từ (3)(4)(5) suy ra 2SMNPQ ≥ 2R.4R− 2R2 = 6R2



Dấu”=” xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB.

Câu 5.

Q =√

a(a + b + c) + bc +√

b(a + b + c) + ac +√

c(a + b + c) + ab

Q =√(a + b)(a + c) +

√(b + c)(b + a) +

√(c + a)(c + b)

Q ≤ (a+b)+(a+c)2 + (b+c)+(b+a)

2 + (c+a)+(c+b)2 = 2(a + b + c) = 4

→ Qmax = 4⇔

a + b = a + c

b + c = b + a

c + a = c + b

a + b + c = 2

⇔ a = b = c = 23



Câu 1.(2 điểm)

Cho A=2+√

x√x và B=

√x−1√

x + 2√

x+1x+√

xa.Tính giá trị của A khi x = 64

b.Rút gọn B

c.Tìm x để AB > 3

2

Câu 2.(2 điểm) Quãng đường AB dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B, khi đến B

người đó nghỉ 30 phút rồi quay về A với vận tốc lớn hơn lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ

lúc bắt đầu đi từ A cho đến lúc trở về A là 5 giờ. Tính vận tốc lúc đi từ A đến B.

Câu 3.(2 điểm)

1. Giải hệ :

3 (x + 1) + 2 (x + 2y) = 4

4 (x + 1)− (x + 2y) = 92. Cho (P) : y = 1

2 x2 và (d) : y = mx− 12 m2 + m + 1

(a) Với m=1 tìm tọa độ giao điểm giữa (d) và (P)

(b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn |x1 − x2| = 2.

Câu 4.(3,5 điểm) Cho (O) và điểm A bên ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến AM,AN với (O),(M,N là

tiếp điểm). Một đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại hai điểm phân biệt B,C (AB<AC), (d)

không đi qua O.

(a) Chứng minh rằng : Tứ giác AMON nội tiếp.

(b) Chứng minh rằng : AN2 = AB.AC

(c) Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng NI cắt (O) tại điểm thứ hai là T.

Chứng minh : MT//AC

(d) Hai tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại K.Chứng minh rằng K thuộc một đường

thẳng cố định khi (d) thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 5.(0,5 điểm) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c+ab+bc+ca=6abc.

Chứng minh rằng



1a2 +

1b2 +

1c2 ≥ 3

ĐÁP ÁN

Câu 1.

(1) Với x = 64 thì A = 2+√

64√64

= 2+88 = 4

(2)B =

√x−1√

x + 2√

x+1√x(√

x+1)= x−1+2

√x+1√

x(√

x+1)

= x−2√

x√x(√

x+1)=√

x(√

x−2)√x(√

x+1)=√

x−2√x+1

(3)Với x > 0 ta có :AB > 3

2 ⇔2+√

x√x : 2+

√x√

x+1 > 32 ⇔

√x+1√

x > 32

⇔ 2√

x + 2 > 3√

x⇔√

x < 2⇔ 0 < x < 4.( do x > 0)Câu 2.

Đặt x (km/h) là vận tốc đi từ A đến B, vậy vận tốc đi từ B đến A là x + 9(km/h)

Do giả thiết ta có:90x + 90

x+9 = 5− 12 ⇔

10x + 10

x+9 = 12 ⇔ x (x + 9) = 20 (2x + 9)

⇔ x2 − 31x− 180 = 0⇔ x = 36 ( vì x > 0)Câu 3.

1)3x + 3 + 2x + 4y = 4

4x + 4− x− 2y = 9⇔

5x + 4y = 1

3x− 2y = 5

⇔

5x + 4y = 1

6x− 4y = 10⇔

11x = 11

6x− 4y = 10⇔

x = 1

y = −12)

a) Với m = 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

12 x2 = x + 3

2 ⇔ x2 − 2x− 3 = 0⇔[

x = −1

x = 3Ta có y(−1) = 1

2 ;y(3) = 92 .

Vậy tọa độ giao điểm A và B là (−1; 12), và (3; 9

2)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:12 x2 = mx− 1

2 m2 + m + 1⇔ x2 − 2mx + m2 − 2m− 2 = 0 (*)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x1; x2

Khi đó:∆′ = m2 −m2 + 2m + 2 > 0⇔ m > −1

Theo Viét ta có:

x1 + x2 = 2m

x1x2 = m2 − 2m− 2

Xét |x1 − x2| = 2⇔ x21 + x2

2 − 2x1x2 = 4⇔ (x1 + x2)2 − 4x1x2 = 4

⇔ 4m2 − 4(m2 − 2m− 2

)= 4⇔ m = −1

2



Câu 4.

1) Xét tứ giác AMON có hai góc đối

O

BA

M

N

CI

T

K

Q

P

H

Hình 8.4:

ANO = 90o; AMO = 90o

nên là tứ giác nội tiếp

2) Hai tam giác ABM và AMC đồng dạng nên ta có AB.AC = AM2 = AN2 = 62 = 36⇒ AC = 62

AB = 62

4 = 9 (cm)

⇒ BC = AC− AB = 9− 4 = 5 (cm)

3) MTN = 12 MON = AON (cùng chắn cung MN trong đường tròn (O)), và AIN = AON (do

3 điểm N,I,M cùng nằm trên đường tròn đường kính AO và cùng chắn cung 90o)

Vậy AIN = MTI = T IC nên MT//AC do có hai góc so le bằng nhau.

4) Xét ∆AKO có AI vuông góc với KO. Hạ OQ vuông góc với AK. Gọi H là giao điểm của

OQ và AI thì H là trực tâm của ∆AKO , nên KMH vuông góc với AO. Vì MHN vuông góc

với AO nên đường thẳng KMHN vuông góc với AO, nên KM vuông góc với AO. Vậy K nằm

trên đường thẳng cố định MN khi BC di chuyển.

Cách giải khác:

Ta có KB2 = KC2 = KI.KO. Nên K nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn tâm O và

đường tròn đường kính AO. Vậy K nằm trên đường thẳng MN là trục đẳng phương của 2

đường tròn trên.

Câu 5.Từ giả thiết đã cho ta có 1

ab +1bc +

1ca +

1a +

1b +

1c = 6

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:12

(1a2 +

1b2

)≥ 1

ab ; 12

(1b2 +

1c2

)≥ 1

bc ; 12

(1c2 +

1a2

)≥ 1

ca12

(1a2 + 1

)≥ 1

a ; 12

(1b2 + 1

)≥ 1

b ; 12

(1c2 + 1

)≥ 1

c

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:32

(1a2 +

1b2 +

1c2

)+ 3

2 ≥ 6⇔ 32

(1a2 +

1b2 +

1c2

)≥ 6− 3

2 = 92

⇔ 1a2 +

1b2 +

1c2 ≥ 3.






1.Cho biểu thức A=√

x+4√x+2 .Tính giá trị của A khi x = 36

2.Rút gọn biểu thức B=( √

x√x+4 +

4√x−4

): x+16√

x+2 với x ≥ 0, x 6= 16

3.Với các biểu thức A và B ở trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức

B.(A-1) là số nguyên.

Câu 2.(2 điểm) Hai người cùng làm chung một công việc trong 125 giờ thì xong. Nếu mỗi

người làm một mình thì thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai

là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu thì xong công việc.


1.Giải hệ

2x + 1

y = 26x −

2y = 1

2.Cho phương trình :x2 − (4m− 1)x + 3m2 − 2m = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x21 + x2

2 = 7

Câu 4.(3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M

là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A và C ), BM cắt AC tại H . Gọi K là hình chiếu

của H trên AB.

1)Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh ACM = ACK .

3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác

vuông cân tại C.

4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao

cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MBMA = R . Chứng minh

đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.


Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =x2+y2

xy

ĐÁP ÁN

Câu 1.

1) Với x = 36 thì A =√

36+4√36+2

= 108 = 5

4

2) Với x ≥ 0; x 6= 16 ta có:

B =

(√x(√

x−4)x−16 +

4(√

x+4)x−16

) √x+2

x+16

=(x+16)(

√x+2)

(x−16)(x+16) =√

x+2x−16

3) Xét biểu thức B (A− 1) =√

x+2x−16

(√x+4−

√x−2√

x+2

)= 2

x−16 là số nguyên



⇔ x− 16 =Ư(2)

mà Ư(2)= ±1;±2.Do đó

x− 16 = 1

x− 16 = −1

x− 16 = 2

x− 16 = −2

⇔

x = 17

x = 15

x = 18

x = 14Câu 2.

Đặt x là số giờ người thứ nhất hoàn thành công việc⇒ x + 2 là số giờ người thứ hai hoàn

thành công việc. Vậy ta có phương trình :1x + 1

x+2 = 512 ⇔ x = 4

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ và người thứ hai làm xong công việc

trong 6 giờ.

Câu 3.

1)

2x + 1

y = 26x −

2y = 1

⇔

2x + 1

y = 2

− 5y = −5

⇔

y = 12x = 1

⇔

x = 2

y = 12)

∆ = (4m− 1)2 − 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0,∀m

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ∀m

Theo Viét ta có:x1 + x2 = − b

a = 4m− 1

x1x2 =ca = 3m2 − 2m

Xét x21 + x2

2 = 7

⇔ (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 7

⇔ (4m− 1)2 − 2(3m2 − 2m

)= 7

⇔ 10m2 − 4m− 6 = 0⇔[

m = 1

m = −35

Câu 4.

1) Tứ giác CBKH có hai góc đối HCB = HKB = 90o nên tứ giác CBKH nội tiếp trong vòng

OA B

CM

H

K

Q

PE

Hình 8.5:

tròn đường kính HB.



2) Ta có ACM = ABM (góc nội tiếp chắn AM_

)

ACK = HCK = HBK (vì cùng chắn cung HK_)

Vậy ACM = ACK

3) Xét 2 tam giác MAC và EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB và MAC = MBC (vì cùng

chắn cung MC) nên 2 tam giác đó bằng nhau.

Vậy ta có CM = CE và CMB = 45o vì chắn cung CB_

= 90o.

Vậy tam giác MCE vuông cân tại C.

4) Xét 2 tam giác PAM và OBM

Theo giả thuyết ta cóAP.MB

MA = R⇔ APMA = OB

MB . Mặt khác ta có:PAM = ABM (vì cùng chắn cung AM_

)

⇒ ∆PAMv ∆OBM (c.g.c)

Vì tam giác OBM cân tại O nên tam giác PAM cũng cân tại P. Vậy PA = PM.

Kéo dài BM cắt d tại Q. Xét tam giác vuông AMQ có PA = PM nên PA = PQ vậy P là trung

điểm của AQ nên BP cũng đi qua trung điểm của HK, do định lí Thales (vì HK//AQ).

Câu 5.

M = x2+y2

xy ; x,y > 0&x ≥ 2y

Ta có : 1M = 2(xy)

2(x2+y2)≤ x2+4y2

4(x2+y2)= x2+y2+3y2

4(x2+y2)(BĐT Cauchy cho hai số x và 2y ở trên tử số)

= 14 +

3y2

4(x2+y2)≤ 1

4 +3y2

4(4y2+y2)= 1

4 +320 = 2

5 (Thay mẫu số bằng số nhỏ hơn).

⇒ max 1M = 2

5 ⇔ x = 2y⇒min M = 52 ⇔ x = 2y

Đề thi Toán vào lớp 10 tpHCM năm 2013


Câu 1.(2 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình:

a) x2 − 5x + 6 = 0

b) x2 − 2x− 1 = 0

c) x4 + 3x2 − 4 = 0

d)

2x− y = 3

x + 2y = −1Câu 2.( 1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2 và đường thẳng (D):y = −x + 2 trên cùng hệ trục tọa

độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Câu 3. (1,5 điểm) Thu gọn biểu thức:

A =( √

x√x+3 +

3√x−3

).√

x+3x+9 với x ≥ 0; x 6= 9

B = 21(√

2 +√

3 +√

3−√

5)2− 6(√

2−√

3 +√

3 +√

5)2− 15√

15



Câu 4.(1,5 điểm) Cho phương trình 8x2 − 8x + m2 + 1 = 0 (*) (x là ẩn)

a) Định m để phương trình (*) có nghiệm x = 12

b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1; x2 thỏa điều kiện:

x41 − x4

2 = x31 − x3

2


Cho tam giác ABC không có góc tù (AB<AC), nội tiếp đường tròn (O;R),(B,C cố định, A

di động trên cung lớn BC).Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng

song song với AB , đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC),cắt BC tại F,cắt

AC tại I.

a) Chứng minh rằng MBC = BAC. Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng FI.FM=FD.FE

c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại

T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P,T,M thẳng hàng.

d) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tứ giác IBC có diện tích lớn nhất.

ĐÁP ÁN

Câu 1.

(a) x = 2; x = 3 (b) x = 1±√

2

(c) x = ±1 (d) (x;y) = (1;−1)

Câu 2.

(a) Hình 8.5

−3 −2 −1 1 2

1

2

3

4

0

y = x2y = −x + 2

A

B

Hình 8.6:

(b) (−2;4); (1;1)



Câu 3.

A = 1√x−3

B = 212

(√4 + 2

√3 +

√6− 2

√5)2− 3(√

4− 2√

3 +√

6 + 2√

5)2− 15√

15

= 212

(√3 + 1 +

√5− 1

)2− 3(√

3− 1 +√

5 + 1)2− 15√

15

= 152

(√3 +√

5)2− 15√

15 = 60Câu 4.

(a) m = ±1

(b) ∆′ = 16− 8m2 − 8 = 8(1−m2)

Nếu ∆′ = 0 thì m = ±1 khi đó x1 = x2 thỏa mãn x41 − x4

2 = x31 − x3

2

Điều kiện để PT đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

∆′ > 0⇔|m| < 1

Theo Viét:

S = x1 + x2 = 1

P = x1x2 =m2+1

8Xét x4

1 − x42 = x3

1 − x32⇔

(x2

1 − x22)(

x21 + x2

2)= (x1 − x2)

(x2

1 + x22 + x1x2

)⇔ (x1 + x2)

(x2

1 + x22)=(x2

1 + x22 + x1x2

)( do x1 6= x2)

⇔ (x1 + x2)[(x1 + x2)

2 − 2x1x2

]= (x1 + x2)

2 − x1x2

⇔ S(S2 − 2P

)= S2 − P

⇔ 1(12 − 2P

)= 12 − P ( vì S = 1)

⇔ P = 0⇔ m2 + 1 = 0 ( vô nghiệm )

Do đó yêu cầu bài toán⇔ m = ±1

Câu 5.

a)

O

B

A

C

M

D

E

F

I

P

Q

T

Hình 8.7:

Ta có BAC = MBC (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Và BAC = MIC (đồng vị) do AB // MI

⇒ MBC = MIC, nên bốn điểm ICMB cùng nằm trên đường tròn đường kính OM

(vì 2 điểm B,C cùng nhìn OM dưới một góc vuông)



b)

Do 2 tam giác FBD và FIC đồng dạng nên FB.FC=FE.FD

Có 2 tam giác FBM và FIC đồng dạng nên FB.FC=FI.FM.

So sánh ta có: FI.FM=FD.FE

c)

Ta có PTQ = 90o do POIQ là đường kính

Và hai tam giác đồng dạng FIQ và FTM có 2 góc đối đỉnh F bằng nhau và FIFQ = FT

FM (vì

FI.FM=FD.FE=FT.FQ)

Nên FIQ = FTM mà FIQ = OIM = 90o (I nhìn OM dưới góc 90o)

Nên P,T,M thẳng hàng vì PTM = 180o

d)

Ta có BC không đổi. Vậy diện tích SIBC lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến BC lớn

nhất . Vậy I trùng O là yêu cầu bài toán vì I nằm trên cung BC . Vậy diện tích tam giác IBC

lớn nhất khi và chỉ khi AC là đường kính của (O;R).

Cách khác:

• O’ là trung điểm của OM.

• BC cắt OO’ ,O’T lần lượt tại L,T.

• Vẽ IH vuông góc BC tại H.

IH ≤ IT = O′ I −O′T ≤O′O−O′L = OL

Đề thi Toán vào lớp 10 tpHCM năm 2014


Câu 1:(2đ) Giải phương trình và hệ phương trình:

a) x2 − 7x + 12 = 0

b) x2 − (√

2 + 1)x +√

2 = 0

c) x4 − 9x2 + 20 = 0

d)

3x− 2y = 4

4x− 3y = 5Câu 2:(1,5đ)

a) Vẽ đồ thị (P):y = x2 và đường thẳng (D):y = 2x + 3 trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Câu 3:(1,5đ) Rút gọn biểu thức:

A = 5+√

5√5+2

+√

5√5−1− 3

√5

3+√

5

B =(

xx+3√

x + 1√x+3

):(

1− 2√x + 6

x+3√

x

)Câu 4:(1,5đ) Cho phương trình: x2 −mx− 1 = 0 (1) (x là ẩn)

a) Chứng minh rằng (1) luôn có hai nghiệm trái dấu.



b) Gọi x1; x2 là các nghiệm của (1), tính giá trị của biểu thức

P =x2

1 + x1 − 1x1

− x22 + x2 − 1

x2

Câu 5:(3,5đ)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ,nội tiếp đường tròn tâm O, (AB<AC). Các đường cao

AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng tứ giác BFHD nội tiếp .Suy ra AHC = 180o − ABC

b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm

đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp .

c) Gọi I là giao điểm của AM và HC, gọi J là giao điểm của AC và HN.Chứng minh AJ I =

ANC

d) Chứng minh rằng OA ⊥ IJ

ĐÁP ÁN

Câu 1:

a) x = 3; x = 4 b) x = 1; x =√

2

c) x = ±2; x = ±√

5 d) x = 2;y = 1

Câu 2:

a) Hình 8.7

−4−3−2−1 1 2 3 4 5

123456789

10

0

y = 2x + 3

y = x2

A

B

Hình 8.8:

b) A(−1;1), B(3;9)

Câu 3:

A =√

5 b) B = 1

Câu 4:



a) ∆ = m2 + 4 > 0,∀m

P = x1x2 =ca = −1 < 0

⇒ Phương trình có 2 nghiệm trái dấu với mọi m.

b)

Cách 1:

Theo Viét có:

x1 + x2 = m

x1x2 = −1

P =x2

1+x1−1x1

− x22+x2−1

x2=

x21+x1+x1x2

x1− x2

2+x2+x1x2x2

= x1 + 1 + x2 − x2 − 1− x1 = 0

Cách 2:

x21 −mx1 − 1 = 0⇔ m =

x21−1x1⇒ m + 1 =

x21+x1−1

x1

Chứng minh tương tự ta có:

m + 1 =x2

2+x2−1x2

⇒ P =x2

1+x1−1x1

− x22+x2−1

x2= 0

Câu 5:

a)

x

y

O

B

A

CD

F

H

M

E

N

I

J

Hình 8.9:

Có BFC = BDA = 90o (AD,CF là đường cao)

⇒ BFC + BDA = 180o⇒ tứ giác BFHD nội tiếp

⇒ ABC + DHF = 180o

⇒ ABC + AHC = 180o

⇒ AHC = 180o − ABC

b)

Ta có AMC = ABC (cùng chắn cung AC)

AMC = ANC(tính chất đối xứng)

⇒ ANC = ABC

Mà AHC + ABC = 180o

⇒ AHC + ANC = 180o

⇒ AHCN nội tiếp



c)

Ta có MAC = NAC (tính chất đối xứng)

NAC = NHC (cùng chắn cung NC)

⇒ MAC = NHC hay IAJ = IHJ

⇒ AHI J nội tiếp (2 đỉnh kề cùng nhìn cạnh dưới một góc bằng nhau)

⇒ AJ I = 180o − AHC = ANC

d)

Vẽ tiếp tuyến xy của (O) tại A⇒OA⊥xy

AJ I = ANC = AMC = yAC⇒ I J//xy

⇒OA⊥xy

Đề thi Toán vào lớp 10 tp Đà Nẵng năm 2013


Bài 1:(1,5 điểm)

(a) Tìm số x không âm biết√

x = 2

(b) Rút gọn P =(

2+√

2√2+1

+ 1)(

2−√

2√2−1− 1)

Bài 2:(1 điểm) Giải hệ phương trình:3x + y = 5

5x + 2y = 6Bài 3:(2 điểm)

a. Vẽ đồ thị hàm số (P) : y = 12 x2

b. Cho hàm số bậc nhất y = ax− 2. Hãy xác định hệ số a biết rằng a > 0 và đồ thị hàm số cắt

trục hoành Ox và trục tung Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho OB = 2OA (Với O là gốc tọa

độ)

Bài 4 (2 điểm)

Cho phương trình: x2 + (m− 2)x− 8 = 0, với m là tham số

a. Giải phương trình khi m = 4

b. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 sao cho biểu thức Q =(x2

1 − 1)(

x22 − 4

)có giá trị lớn nhất.

Bài 5 (3,5 điểm)

Cho MABC nội tiếp đường tròn (O; R) có BC = 2R và AB < AC. Đường thẳng xy là tiếp

tuyến của (O) tại A. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt đường thẳng xy tại D

và E. Gọi F là trung điểm của DE.

a. Chứng minh rằng ADBO là tứ giác nội tiếp.

b. Gọi M là giao điểm thứ hai của FC và (O:R). Chứng minh CED = 2AMB

c. Tính tích MC.BF theo R.



ĐÁP ÁN

Bài 1:(1,5 điểm)

(a) x = 4 (b) P = 1

Bài 2:(1 điểm)

(x;y) = (4;−7)

Bài 3:(2 điểm)

a)

−3 −2 −1 1 2 3−1

1

2

3

4

5

0

y = 12 x2

Hình 8.10:

b) Gọi A (xA;0) ; B (0;yB)

A nằm trên đường thẳng (1) nên yA = axA − 2 = 0⇒ axA = 2⇔ xA = 2a (a > 0)

B nằm trên đường thẳng (1) nên yB = axB − 2 = a.0− 2⇔ yB = −2

OB = 2OA⇔ |yB| = 2 |xA| ⇔ |−2| = 2∣∣2

a

∣∣⇔ a = 2 (a > 0)

Bài 4 (2 điểm)

(a) Với m = 4 phương trình: x2 + 2x− 8 = 0⇔ x = 2 hay x = −4

(b) ∆ = (m− 2)2 + 32 > 0,∀m⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo Viét:

x1 + x2 = − (m− 2)

x1x2 = −8Do x1x2 = −8⇒ x2 =

−8x1

Q =(x2

1 − 1)(

x22 − 4

)=(x2

1 − 1)(64

x21− 4)= 68− 4

(x2

1 +16x2

1

)≤ 68− 4.8 = 36(

do x21 +

16x2

1≥ 8)

. Ta có max Q = 36⇔ x1 = ±2

Khi x1 = 2 thì m = 4

Khi x1 = −2 thì m = 0.

Do đó ta có giá trị lớn nhất của Q=36 khi m = 0 hoặc m = 4

Bài 5 (3,5 điểm)

(a) Ta có DBC = DAO = 90o nên tứ giác ADBO nội tiếp.

(b) AMB = 12 AOB (cùng chắn cung AB)

mà CED = AOB vì cùng bù với AOC nên CED = 2AMB



x

y

B CO

A

D

E

FM

Hình 8.11:

(c) Ta có FO là đường trung bình của hình thang BCED nên FO // DB

nên FO⊥BC

Xét 2 tam giác vuông FOC và BMC đồng dạng theo 2 góc bằng nhau

Nên MCOC = BC

FC ⇒ MC.FC = MC.FB = OC.BC = R.2R = 2R2

Đề thi Toán vào lớp 10 tp Đà Nẵng năm 2014


Bài 1:(1,5điểm)

1.Tính giá trị của biểu thức: A =√

9−√

4

2.Rút gọn biểu thức P = x√

22√

x+x√

2+√

2x−2x−2 với x > 0&x 6= 2

Bài 2: (1,0 điểm)

Giải hệ phương trình:

3x + 4y = 5

6x + 7y = 8Bài 3: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và hàm số y = 4x + m có đồ thị (dm)

1) Vẽ đồ thị (P)

2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (dm) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, trong

đó tung độ của một trong hai giao điểm đó bằng 1.


Cho phương trình x2 + 2(m− 2)x−m2 = 0, với m là tham số.

1) Giải phương trình khi m = 0.

2) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với x1 < x2, tìm tất

cả các giá trị của m sao cho |x1| − |x2| = 6


Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ đường tròn (C) có

tâm C, bán kính CA. Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là D.



1) Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (C).

2) Trên cung nhỏ của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với AB. Đường

thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F. Gọi K là trung điểm của EF. Chứng minh

rằng:

a) BA2 = BE.BF và BHE = BFC.

b) Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với nhau từng đôi một.

ĐÁP ÁN

Bài 1:

1) A = 3− 2 = 1

2) P = 1

Bài 2: (x;y) = (−1;2)

Bài 3:

1)

−3−2−1 1 2 3

1234

0

y = x2

Hình 8.12:

2) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (dm):

x2 = 4x + m⇔ x2 − 4x−m = 0 (1)

(1) có ∆′ = 4 + m

Để (dm) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì ∆′ > 0⇔ 4 + m > 0⇔ m > −4

y = 4x + m = 1⇔ x = 1−m4

Yêu cầu bài toán tương đương với:m > −4

2±√

4 + m = 1−m4

⇔

m > −4√

4 + m = −m−74

hay

m > −4

−√

4 + m = −m−74

⇔

m > −4

m < −7√

4 + m = −m−74

( loại) hay

m > −4

m > −7

4√

4 + m = m + 7m > −4

16 (4 + m) = m2 + 14m + 49⇔

m > −4

m2 − 2m− 15 = 0⇔

m > −4

m = 5 hay m = −3⇔ m = 5 hay m = −3

Bài 4:



1) Khi m = 0 ,phương trình thành: x2 − 4x = 0⇔ x2 − 4x = 0⇔ x = 0 hay x = 4

2) ∆′ = (m− 2)2 + m2 = 2m2 − 4m + 4 = 2(m2 − 2m + 1) + 2 = 2(m− 1)2 + 2 > 0,∀m

Vậy PT luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo Viét:

S = x1 + x2 = 2 (2−m)

P = x1x2 = −m2 ≤ 0

Ta có: |x1| − |x2| = 6⇒ x21 − 2 |x1x2|+ x2

2 = 36⇔ (x1 + x2)2 − 2x1x2 + 2x1x2 = 36

4(2−m)2 = 36⇔ (m− 2)2 = 9⇔ m = −1 hay m = 5

Khi m=-1 ta có: x1 = 3−√

10; x2 = 3 +√

10⇒ |x1| − |x2| = −6 (loại)

Khi m=5 ta có: x1 = −3−√

34; x2 = −3 +√

34⇒ |x1| − |x2| = 6 (thỏa)

Vậy m = 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5:

1) Ta có BAC = 90o nên BA là tiếp tuyến với (C)

A

BC

H

D

E

F

K

N

Hình 8.13:

BC⊥AD nên H là trung điểm AD. Suy ra BDC = BAC = 90o nên BD cũng là tiếp tuyến với

(C).

(2a)

Tam giác vuông ABC ta có: AB2 = BH.BC (1)

Xét tam giác đồng dạng ABE và FBA vì có chung góc B và BAE = BFA (cùng chắn cung AE)

⇒ ABFB = BE

BA ⇒ AB2 = BE.FB (2)

Từ (1)(2) ta có: BH.BC=BE.FB

Từ BH.BC=BE.FB⇒ BEBC = BH

BF

Do đó 2 tam giác BEH và BCF đồng dạng vì có góc B chung và BEBC = BH

BF

⇒ BHE = BFC

(2b)

Do kết quả trên ta có BFA = BAE

HAC = EHB = BFC do AB// EH. Suy ra DAF = DAC− FAC = DFC− CFA = BFA

⇒ DAF = BAE⇒ AE_

= DF_

Gọi giao điểm của AF và EH là N. Ta có 2 tam giác HED và HNA bằng nhau (Vì có H đối



đỉnh,HD=HA,EDH = HDN( do AD//AF))

Suy ra HE=HN ,nên H là trung điểm của EN.Suy ra HK là đường trung bình của M EAF

Vậy HK // AF⇒ ED//HK//AF

Đề thi Toán vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2012-2013



Cho biểu thức: A =(

1√x+2 +

1√x−2

).√

x−2√x

a) Rút gọn A.

b) Tìm giá trị của x để A > 12 .

c) Tìm giá trị của x để B = 73 A là một số nguyên.


Quãng đường AB dài 156 km. Một người đi xe máy từ A, một người đi xe đạp từ B. Hai xe

xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ thì gặp nhau. Biết vận tốc người đi xe máy nhanh hơn

vận tốc của người đi xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc mỗi xe ?

Câu 3.(2 điểm)

Cho phương trình : x2 − 2(m− 1)x + m2 − 6 = 0 (*)

a) Giải (*) khi m = 3

b) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x21 + x2

2 = 16

Câu 4.(4 điểm)

Cho điểm M nằm ngoài (O).Vẽ các tiếp tuyến MA,MB (A,B là tiếp điểm) và cát tuyến MCD

không đi qua O (C nằm giữa M và D) của (O).Đoạn OM cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và

I.Chứng minh rằng :

a) Tứ giác MAOB nội tiếp.

b) MC.MD = MA2

c) OH.OM + MC.MD = MO2

d) CI là phân giác của MCH

ĐÁP ÁN


a) A = 2√x+2 điều kiện: x > 0; x 6= 4

b) x > 4

c) x =

19 ; 64

9


Gọi vân tốc của xe đạp là x (km/h), điều kiện x > 0

Thì vận tốc của xe máy là x + 28 (km/h)

Trong 3 giờ:



+ Xe đạp đi được quãng đường 3x (km),

+ Xe máy đi được quãng đường 3(x + 28) (km), theo bài ra ta có phương trình:

3x + 3(x + 28) = 156

Giải tìm x = 12 (TMĐK)

Trả lời: Vận tốc của xe đạp là 12 km/h và vận tốc của xe máy là 12 + 28 = 40 (km/h)

Câu 3.(2 điểm)

(a) x = 1; x = 3

(b) m = 0;m = −4

Câu 4.(4 điểm)

(a) Vì MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B nên các góc của tứ giác MAOB

O

M

A

B

C

D

H I

Hình 8.14:

vuông tại A và B, nên nội tiếp được đường tròn.

(b) ∆MAC và ∆MDA có chung M và MAC =MDA (cùng chắn AC_

), nên đồng dạng.

Từ đó suy ra MAMC = MD

MA → MC.MD = MA2 (đpcm).

(c) ∆MAO và ∆AHO đồng dạng vì có chung góc O và AOM = HAO (cùng chắn hai cung

bằng nhau của đường tròn nội tiếp tứ giác MAOB).

Suy ra OH.OM = OA2

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông MAO và các hệ thức OH.OM =OA2; MC.MD =

MA2 để suy ra điều phải chứng minh.

(d) Từ MH.OM = MA2; MC.MD = MA2 suy ra MH.OM = MC.MD⇒ MHMD = MC

OM (*)

Trong ∆MHC và ∆ MDO có (*) và DMO chung nên đồng dạng.MCHC = MO

OD = OMOA hay MC

CH = MOOA (1)

Ta lại có MAI = IAH (cùng chắn hai cung bằng nhau AI_

= BI_

)

⇒AI là phân giác của MAH .

Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: MIIH = MA

AH (2)

Xét ∆MAH và ∆ MAO có OMA chung và MHA = MAO = 90o do đó đồng dạng (g.g)

→ MOOA = MA

AH (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra suy ra CI là tia phân giác của góc MCH






Cho biểu thức: P =(

2x−4 +

1√x+2

): 1√

x+2a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của x để P = 32 .


Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài

4 m thì diện tích mảnh vườn giảm 2m2. Tính diện tích của mảnh vườn.

Câu 3.(2 điểm)

Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình với m = 2.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x21 + 2(m + 1)x2 ≤ 3m2 + 16


Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau

tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.

c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam

giác ABC.

Câu 5.(1 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.

Chứng minh rằng a2

a+b +b2

b+c +c2

c+a ≥12

ĐÁP ÁN


(a) P =√

x√x−2 Điều kiện: x ≥ 0, x 6= 4

(b) x = 36


Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh vườn ( 0<x<25)

Chiều dài của mảnh vườn là: 50− x.

Diện tích của mảnh vườn là: x(50− x).

Nếu tăng chiều rộng 3m thì chiều rộng mới là x + 3; giảm chiều dài 4 m thì chiều dài mới là

46− x.

Diện tích mới của mảnh vườn là: (x + 3)(46− x)

Theo bài ra ta có phương trình: x(50− x)− (x + 3)(46− x) = 2



⇔ x = 20

Vậy diện tích của mảnh vườn là 20(50-20)=600 m2 .

Câu 3.(2 điểm)

(a) x1 = 2; x2 = 4

(b) Để PT có hai nghiệm x1; x2⇔ ∆′ ≥ 0⇔ m ≥ 32 (*)

Theo Viét có:

x1 + x2 = 2 (m + 1)

x1x2 = m2 + 4x2

1 + 2 (m + 1) x2 ≤ 3m2 + 16⇔ x21 + (x1 + x2) x2 ≤ 3m2 + 16

⇔ x21 + x2

2 + x1x2 ≤ 3m2 + 16⇔ (x1 + x2)2 − x1x2 ≤ 3m2 + 16

⇔ (2m + 2)2 −m2 − 4≤ 3m2 + 16⇔ 8m ≤ 16⇔ m ≤ 2

Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra 32 ≤ m ≤ 2


a,

O

B

A

C

H

F E

D

M

G

Hình 8.15:

Xét tứ giác BCEF có BFC = BEC = 90o( cùng nhìn cạnh BC)

Suy ra BCEF là tứ giác nội tiếp

b,

Ta có ACD = 90o ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) DC ⊥ AC

Mà HE ⊥ AC; suy ra BH//DC (1)

Chứng minh tương tự: CH//BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành

c,

Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD.

Do đó AM, HO trung tuyến của ∆AHD⇒G trọng tâm của ∆AHD⇒ GMAM = 1

3

Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, GMAM = 1

3

Suy ra G là trong tâm của ABC

Câu 5.(1 điểm)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:



a2

a+b +a+b

4 ≥ a; b2

b+c +b+c

4 ≥ b; c2

c+a +c+a

4 ≥ c

⇒ a2

a+b +b2

b+c +c2

c+a ≥ (a + b + c)−(

a+b4 + b+c

4 + c+a4

)= a+b+c

2 = 12




Cho biểu thức A =(

1√x−1 −

√x

x−1

): 1√

x+1a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A

b) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 0.


Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 180 km, khởi hành cùng một lúc đi

ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 10

km/h. Tính vận tốc của mỗi xe.

Câu 3.(2 điểm)

Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x− 2m4 + m2 = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = 1.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Câu 4.(3 điểm)

Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn

đó (B, C là các tiếp điểm). Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng MC cắt đường tròn

(O) tại N (N khác C).

a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: MB2 = MN.MC

c) Tia AN cắt đường tròn (O) tại D ( D khác N). Chứng minh: MAN = ADC

Câu 5.(1 điểm)

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y ≤ z . Chứng minh rằng:(x2 + y2 + z2)( 1

x2 +1y2 +

1z2

)≥ 27

2

ĐÁP ÁN


(a) P = 1√x−1 Điều kiện: x ≥ 0, x 6= 1

(b) 0≤ x < 1


Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h)

Vận tốc của xe máy là y (km/h) ( Đk: x > y> 0, x > 10)

Ta có phương trình : x – y = 10 (1)



Sau 2 giờ ô tô đi được quãng đường là 2x (km)

Sau 2 giờ xe máy đi được quãng đường là: 2y (km)

thì chúng gặp nhau, ta có phương trình: 2x + 2y = 180 hay x + y = 90 (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình :

x− y = 10

x + y = 90⇔

x = 50

y = 40( thỏa mãn )

Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h và vận tốc của xe máy là: 40 km/h

Câu 3.(2 điểm)

(a) x = −2±√

5

(b) ∆′ = 2m4 + 2m + 1 = 2m4 − 2m2 + 12 + 2m2 + 2m + 1

2

= 2(

m2 − 12

)2+ 2(

m + 12

)2≥ 0,∀m

Nếu ∆′ = 0⇔

m2 − 12 = 0

m + 12 = 0

( hệ vô nghiệm )

Do đó ∆′ > 0,∀m.Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Câu 4.(3 điểm)

a). Xét tứ giác ABOC có :ABO + ACO = 90o + 90o = 180o nên tứ giác ABOC nội tiếp

OA

B

C

M

N D

Hình 8.16:

b). Xét ∆MBN và ∆MCB có :

M chung

MBN = MCB (cùng chắn cung BN)

⇒ ∆MBN v ∆MCB(g− g) nên MBMC = MN

MB ⇔ MB2 = MN.MC

c). Xét ∆ MAN và ∆MCA có :

M chung.

Vì M là trung điểm của AB nên MA =MB

Theo câu b ta có: MA2 = MN.MC⇔ MAMN = MC

MA

Do đó : ∆MAN v ∆MCA (c-g-c)

⇒ MAN = MCA = NCA (1)

mà: NCA = NDC ( cùng chắn cung NC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MAN = NDC hay MAN = ADC

Câu 5.(1 điểm)



VT =(x2 + y2 + z2)( 1

x2 +1y2 +

1z2

)= 3 + x2+y2

z2 + z2(

1x2 +

1y2

)+ x2

y2 +y2

x2

Áp dụng bất nẳng thức Cô si cho hai số dương ta có: x2

y2 +y2

x2 ≥ 2√

x2

y2 . y2

x2 = 2

VT ≥ 5 +(

x2

z2 +z2

16x2

)+(

y2

z2 +z2

16y2

)+ 15z2

16

(1x2 +

1y2

)Lại áp dụng bất nẳng thức Cô si ta có:x2

z2 +z2

16x2 ≥ 2√

x2

z2 . z2

16x2 =12 ;

y2

z2 +z2

16y2 ≥ 2√

y2

z2 . z2

16y2 =12 ;

Và 1x2 +

1y2 ≥ 2

xy ≥2

( x+y2 )

2 =8

(x+y)2 nên

15z2

16

(1x2 +

1y2

)≥ 15z2

16 . 8(x+y)2 =

152

(z

x+y

)2= 15

2 (vì x + y ≤ z)

Suy ra: VT ≥ 5 + 12 +

12 +

152 = 27

2 .Đẳng thức xảy ra khi x = y = z2

Vậy(x2 + y2 + z2)( 1

x2 +1y2 +

1z2

)≥ 27

2 .

Đề thi Toán vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang năm 2014-2015


Câu 1.(2 điểm)

1. Tính giá trị biểu thức A =(

2√

9 + 3√

36)

: 6−√

4

2. Tìm m để hàm số y = (1−m)x− 2, (m 6= 1) nghịch biến trên R.

Câu 2.(3 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

x + 3y = 4

3x− 4y = −1

2. Rút gọn biểu thức:B = 4√x+1 +

21−√

x −√

x−5x−1 ; x ≥ 0, x 6= 1

3. Cho phương trình: x2 − 2(3−m)x− 4−m2 = 0 (x là ẩn, m là tham số) (1).

a. Giải phương trình (1) với m= 1.

b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn ||x1| − |x2|| = 6.


Hai lớp 9A và 9B có tổng số 82 học sinh. Trong dịp tết trồng cây năm 2014, mỗi học sinh lớp

9A trồng được 3 cây, mỗi học sinh lớp 9B trồng được 4 cây nên cả hai lớp trồng được tổng số

288 cây. Tính số học sinh mỗi lớp.

Câu 4.(3 điểm)

Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho

AC = R. Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. Lấy điểm M bất kì trên (O) không trùng

với A, B. Tia BM cắt đường thẳng d tại P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N,

tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q.

1. Chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp.

2. Tính BM.BP theo R

3. Chứng minh hai đường thẳng PC và NQ song song.



4. Chứng minh trọng tâm G của tam giác CMB luôn nằm trên một đường tròn cố định khi

M thay đổi trên (O).


Cho 3 số thực dương a,b,c .Chứng minh rằng : 9ab+c +

25bc+a +

64ca+b > 30

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TỈNH NINH BÌNH

NĂM HỌC 2013 - 2014

Ngày thi: 21/6/2013

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (1,5 điểm).

1. Rút gọn biểu thức M =√

2 + 2√

8−√

18.

2. Giải hệ phương trình

2x + y = 9

3x− 2y = 10.

Câu 2 (2,0 điểm). Cho biểu thức A = 2x2+41−x3 − 1

1+√

x −1

1−√

x (với x ≥ 0, x 6= 1 ).

1. Rút gọn A.

2. Tìm giá trị lớn nhất của A.

Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + 2m = 0 (1) (với x là ẩn, m là tham số).

1. Giải phương trình (1) với m= 0.

2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác

vuông có cạnh huyền bằng√

12 .

Câu 4 (3,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc

đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa

đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của

nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.

1. Chứng minh tứ giác BCFM là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh EM = EF.

3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng,

từ đó suy ra góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.

Câu 5 (1,5 điểm).

1. Chứng minh rằng phương trình: (n + 1) x2 + 2x− n (n + 2) (n + 3) = 0 (x là ẩn, n là tham

số) luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n.

2. Giải phương trình: 5√

1 + x3 = 2(x2 + 2

)Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Bắc Giang năm học 2014-2015

Câu 1: Cho biểu thức: P =(

a+3√

a+2(√

a+2)(√

a−1) −a+√

aa−1

):(

1√a+1 +

1√a−1

)a) Rút gọn P.

b) Tìm a nguyên để P + 14 là số nguyên.



Câu 2 :

a ) Giải phương trình: 2√

x− 1 + 3√

x− 2 =√

x2 − 3x + 2 + 6

b) Giải hệ phương trình:

3xy − 2 =

√3x− 2y + 6y

2√

3x +√

3x− 2y = 6(x + y)− 4

Câu 3: Cho a,b, c là các số nguyên dương thỏa mãn: a4...b,b4...c, c4...a.

Chứng minh rằng: (a + b + c)21...abc

Câu 4: Cho ∆ABC vuông tại A(AB < AC), đường tròn (O1) đường kính AB, đường tròn

(O2) đường kính AC. Hai đường tròn trên cắt nhau tại D. Gọi M là điểm chính giữa cung

nhỏ CD của (O2), AM cắt (O1) tại N và cắt BC tại E. Chứng minh rằng:

a) ME.BN = MC.AN

b) Tứ giác DMO2N nội tiếp.

c) O1KO2 = 90o, với K là trung điểm MN.

Câu 5 : Cho a,b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

a2√

b + 3+

b2√

c + 3+

c2√

a + 3≥ 3

2

—Hết—


Tài liệu tham khảo

[1] www.vnmath.com

[2] olm.vn

[3] Bộ 54 đề thi vào THPT năm học 2011-2012

[4] 500-bai-toan-on-thi-vao-lop-10 - www.MATHVN.com

[5] 268BaiTapBD-HSG-Toan9-www.MATHVN.com

[6] Bộ 50 bài toán hình học về đường tròn


Phân lo⁄i và phương pháp gi£i TOÁN 9 · 2015-12-25 · TOÁN H¯C 9 L˝I M— ĐƒU Đ”...

Documents

Transcript of Phân lo⁄i và phương pháp gi£i TOÁN 9 · 2015-12-25 · TOÁN H¯C 9 L˝I M— ĐƒU Đ”...