Phần thiết diện lớp 11

K

Q

J

I

P

N

A

B

C

D

S

M

Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm

Các d ng thi t di n theo cách xác đ nh m t ph ng:ạ ế ệ ị ặ ẳ1.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) qua 3 đi m không th ng hàngể ẳ2.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) ch a m t đ ng th ng và song songứ ộ ườ ẳ v i m t đ ng th ng cho tr cớ ộ ườ ẳ ướ3.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) qua m t đi m vàộ ể song song v i haiớ đ ng th ng cho tr c.ườ ẳ ướ4.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) qua m t đi m và song song v i m tộ ể ớ ộ m t ph ng cho tr c.ặ ẳ ướ5.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) ch a m t đ ng th ng và vuôngứ ộ ườ ẳ góc m t đ ng th ng cho tr c. ộ ườ ẳ ướ 6.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) qua m t đi m và vuông góc v iộ ể ớ m t m t ph ng.ộ ặ ẳ

D ng 1ạ : Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) qua 3 đi m không th ngể ẳ hàng

Ph ng pháp:ươB c 1:ướ T hai đi m chung có s n, xác đ nh giao tuy n đ u tiên c a m từ ể ẵ ị ế ầ ủ ặ ph ng ẳ (P) v i m t m t c a hình chóp.ớ ộ ặ ủB c 2:ướ Cho giao tuy n v a tìm đ c c t các c nh c a m t đó c a hình chópế ừ ượ ắ ạ ủ ặ ủ ta s đ c các đi m chung m i c a ẽ ượ ể ớ ủ (P) v i các m t khác. T đó xác đ nh đ cớ ặ ừ ị ượ giao tuy n v i các m t này.ế ớ ặB c 3ướ : Ti p t c nh trên t i khi các đo n giao tuy n t o thành m t đa giácế ụ ư ớ ạ ế ạ ộ ph ng khép kín ta đ c thi t di n. ẳ ượ ế ệB c 4ươ : D ng thi t di n và k t lu n.ự ế ệ ế ậ

Ví d 1ụ : Cho hình chóp t giác ứ S.ABCD, M là đi m b t kì n m trên c nh ể ấ ằ ạ SC (không trùng v i ớ S, C), N và P l n lu t là trung đi m c a ầ ợ ể ủ AB, AD. Tìm thi t di n c a hìnhế ệ ủ chóp v i ớ (MNP).

Gi i:ảTa có:( ) ( )MNP ABCD NP∩ =Kéo dài BC và NP c t nhau t i ắ ạ I,

khi đó ( ) ( )MNP SBC KM∩ =Kéo dài DC c t ắ NP t i ạ J,

( ) ( )( ) ( )MNP SCD MQ

MNP SAD PQ

∩ =

∩ =V y thi t di n là ngũ giác ậ ế ệ KMQPN.

1

K

N

I

M

O

C

A D

B

S


D ng 2:Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ạ ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) ((P) ch a m t đ ngứ ộ ườ th ng ẳ a song song v i m t đ ng th ng ớ ộ ườ ẳ b cho tr c (ướ a và b chéo nhau)) .

@Ph ng pháp:ươB c 1ướ : Ch ra 2 mp ỉ (P) và (Q) l n l t ch a hai đ ng th ng song song ầ ượ ứ ườ ẳ a và b .B c 2:ướ Tìm m t đi m chungộ ể M c a hai m t ph ng ủ ặ ẳ ( có th d ng thêm các đ ngể ự ườ ph ).ụB c 3ướ : Khi đó: ( ) ( )P Q Mt a b∩ = P P

B c 4:ướ S d ng các cách tìm thi t di n đã bi t ta tìm giao tuy n c a m t ph ng ử ụ ế ệ ế ế ủ ặ ẳ (P) v i các m t còn l i c a hình chóp.ớ ặ ạ ủB c 5ướ : D ng thi t di n và k t lu n.ự ế ệ ế ậ

Ví d 2:ụ Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành, M là trung đi m c a ể ủ SC, (P) là m t ph ng qua ặ ẳ AM và song song BD. Tìm thi t di n c a hình chóp khi c t ế ệ ủ ắ (P).Gi i:ảTa có:

( ) ( ),BD P BD SBD⊂P

G i ọ O là tâm c a hình bình hành ủ ABCD.G i ọ I SO AM= ∩Khi đó ( ) ( )P SBD Ix BD∩ = P

Ix c t ắ SB t i ạ K, c t ắ SD t i ạ N.Do đó:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

P SBC MK

P SCD MN

P SAB AK

P SAD AN

∩ =

∩ =

∩ =

∩ =V y thi t di n là t giác ậ ế ệ ứ KMNA.

D ng 3:Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (P) qua m t đi m và song songạ ế ệ ủ ớ ặ ẳ ộ ể v i hai đ ng th ng cho tr c:ớ ườ ẳ ướ

@Ph ng pháp:ươB c 1ướ : Tìm đi m M ể ∈ (P) ∩ (Q)B c 2ướ : Ch ra mp (P)ỉ P a ( ho c ặ b ) ⊂ (Q). Suy ra giao tuy n ế (P) và (Q) là đ ngườ th ng qua ẳ M và song song a ( ho c ặ b ).B c 3ướ : Ti p t c tìm giao tuy n c a các m t khácế ụ ế ủ ặ c a hình chóp v i ủ ớ (P) b ng cácằ cách đã bi t.ếB c 4:ướ D ng thi t di n và k t lu n. ự ế ệ ế ậ

Ví d 3ụ : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang ( AD song song BC ), M là đi mể b t kì thu c ấ ộ AB và ( )α là m t ph ng qua ặ ẳ M và song song v i ớ AD và SB.Tìm thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ ( )α .

2

PK

N

A D

B

S

C

M

KP

N

S

B

DA

C

M


Gi i:ảTa có: ( ) ( )M ABCDα∈ ∩( )α song song v i ớ AD nên:

( )( ) ABCD Mx ADα ∩ = P

G i ọ N Mx CD= ∩( )α song song v i SB nên:ớ

( )( ) SAB MP SBα ∩ = P

T ng t ta có: ươ ự ( )( ) SAD Px ADα ∩ = P

G i ọ K Px SD= ∩( )( ) SCD KNα ∩ =

V y thi t di n là hình thang ậ ế ệ MNKP.

D ng 4:Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (P) đi qua m t đi m và songạ ế ệ ủ ớ ặ ẳ ộ ể song v i m t m t ph ng cho tr c.ớ ộ ặ ẳ ướ

Ph ng pháp:ươB c 1ướ : Tìm đi m chung M c a hai m t ph ng ể ủ ặ ẳ (P) và m t m t ph ng nào đó c a hìnhộ ặ ẳ ủ chóp.

B c 2:ướ Ch ra ỉ ( ) ( )P QP .

Tìm ( ) ( ) ( ) ( )( )a P R b Q R= ∩ = ∩ . Khi đó giao tuy n là đ ng th ng qua Mế ườ ẳ

song song v i ớ a ( ho c ặ b ).B c 3:ướ D ng thi t di n và k t lu n.ự ế ệ ế ậ

Ví d 4ụ : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang, c nh đáy ạ AB, CD AB< .( )α là m t ph ng qua ặ ẳ M trên c nh ạ AB và song song v i m t ph ng ớ ặ ẳ (SAD).

Tìm thi t di n c a hình chóp v i ế ệ ủ ớ ( )α .

Gi i:ảTa có:

( ) ( )M ABCDα∈ ∩ ,

( ) ( )M SABα∈ ∩

Do ( )α song song v i ớ (SAD) nên:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

ABCD MN AD

SAB MK SA

SCD NP SD

SBC KP

αααα

∩ =

∩ =

∩ =

∩ =

P

P

P

V y thi t di n là hình thang ậ ế ệ KMNP.

3

IH

D

B C

A

S


D ng 5:Thi t di n qua m t đi m và vuông góc v i m t đ ng th ng cho tr cạ ế ệ ộ ể ớ ộ ườ ẳ ướGi s c n xác đ nh thi t di n c a m t hình chóp c t b i m t ph ng ả ử ầ ị ế ệ ủ ộ ắ ở ặ ẳ (P) đi qua m tộ đi m ể M và vuông góc v i ớ d cho tr c. ướPh ng pháp chung: ươB c 1: Tìm hai đ ng th ng ướ ườ ẳ a và bc t nhau cùng vuông góc v i ắ ớ d ( trong đó ít nh t m t đ ng th ng đi qua đi m ấ ộ ườ ẳ ể M).B c 2: Khi đó (P)ướ P ( a ,b).B c 3: Tìm giao tuy n c a ướ ế ủ (P) v i hình chóp b ng các cách đã bi t.ớ ằ ếB c 4: D ng thi t di n và k t lu n.ướ ự ế ệ ế ậ

Chú ý: N u đã có s n 2 đ ng th ng c t nhau ho c chéo nhau mà cùng vuông góc v iế ẵ ườ ẳ ắ ặ ớ d thì ta ch n ọ (P) song song v i ớ a (hay ch a ứ a ) và b song song v i ớ (P) (hay ch a ứ b). R i th c hi n các b c còn l i.ồ ự ệ ướ ạ

Ví d 5ụ : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình ch nh t, ữ ậ SA vuông góc v i m tớ ặ ph ng ẳ (ABCD).

G i ọ ( )α là m t ph ng quaặ ẳ A và vuông góc v i ớ SB. Xác đ nh thi t di n khi ị ế ệ ( )α c tắ

hình chóp (S.ABCD).Gi i:ảTa có:

( )AD AB

AD SABAD SA

AD SB

⊥ ⇒ ⊥⊥

⇒ ⊥T ừ A k đ ng th ng vuông góc v i ẽ ườ ẳ ớ SB t i ạ H.

Do đó ( ) ( )HADα ≡Khi đó:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

SAB AH

SAD AD

ABCD AD

ααα

∩ =

∩ =

∩ =

Do ( ) AD BCα ⊃ P

Nên ( ) ( )SBC Hx BCα ∩ = P

G i ọ I Hx SC= ∩Khi đó ( ) ( )SBC HIα ∩ =V y thi t di n c n tìm là hình thang ậ ế ệ ầ AHID. D ng 6ạ : Th t di n ch a m t đ ng th ng a và vuông góc v i m t m t ph ng .ế ệ ứ ộ ườ ẳ ớ ộ ặ ẳ

B c 1ướ : Ch n ọ 1 đi m ể A n m trên đ ng th ngằ ườ ẳ a sao cho qua A có th d ng đ cể ự ượ

đ ng th ng ườ ẳ b vuông góc v i mpớ ( )α m t cách d nh t.ộ ễ ấ

B c 2ướ : Khi đó, mp ( a ,b) chính là mp ( )α c n d ngầ ự

B c 3:ướ Tìm giao tuy n c a ế ủ ( )α v i hình chóp b ng các cách đã bi t.ớ ằ ế B c 4:ướ D ng thi t di n và k t lu n.ự ế ệ ế ậ

4

N

JI

C

A D

B

S

K

P

I

N

M

B

C

A1C1

B1

A


Ví d 6ụ : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình ch nh t, SA vuông góc v i m tữ ậ ớ ặ ph ng (ABCD). G i I, J l n l t là trung đi m c a AB, CD. G i (P) là m t ph ng quaẳ ọ ầ ượ ể ủ ọ ặ ẳ và vuông góc v i m t (SBC). Tìm thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (P).Ị ớ ặ ế ệ ủ ớ ặ ẳ

Gi i:ả

Ta có ( )IJ ABIJ SAB IJ SB

IJ SA

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥⊥

T I k đ ng th ng vuông góc v i SB t i K.ừ ẻ ườ ẳ ớ ạDo đó ( ) ( )P KIJ≡

Ta có

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

P SAB KI

P ABCD IJ

P IJ BC P SBC KN BC

P SCD NI

∩ =

∩ =

⊃ ⇒ ∩ =

∩ =

P P

V y giao tuy n là hình thang ậ ế KNIJ.

Chú ý: Vi c tìm thi t diên c a m t ph ng ệ ế ủ ặ ẳ ( )α v i hình lăng tr đ c ti n hành t ngớ ụ ượ ế ươ

t nh đ i v i hình chóp. Nh ng chú ý r ng hình lăng tr có 2 m t đáy song songự ư ố ớ ư ằ ụ ặ

nhau, n u ế ( )α c t 1 m t đáy nào thì cuãng c t m t đáy còn l i theo giao tuy n songắ ặ ắ ặ ạ ế

song v i giao tuy n v a tìm đ c.ơ ế ừ ượVi c tìm thi t di n c a hình l p ph ng đ c ti n hành gi ng nh đói v i hình lăngệ ế ệ ủ ậ ươ ượ ế ố ư ớ tr .ụ

Ví d 7ụ : Cho hình lăng tr tam giác ụ ABC.A1B1C1, các đi m ể M, N l n l t là trung đi mầ ượ ể c a ủ BC và CC1.Xác đ nh thi t di n c a hình lăng tr v i m t ph ng ị ế ệ ủ ụ ớ ặ ẳ (A1MN).Gi i:ả( ) ( )1 1 1A MN BCB C MN∩ =Kéo dài AC và A1N c t nhau t i ắ ạ I.Khi đó:

( ) ( )( ) ( )

1

1 1 1 1

A MN ABC MP

A MN ABB A PA

∩ =

∩ =

V y thi t di n là t giác ậ ế ệ ứ PMNA1.

5


Nh ng khó khăn c b n khi gi i toán thi t di n và bi n pháp kh c ph c.ữ ơ ả ả ế ệ ệ ắ ụ

Tìm thi t di n c a m t hình nào đó c t b i m t ph ng nào đó ch ng h n tìm thi tế ệ ủ ộ ắ ở ặ ẳ ẳ ạ ế di n c a hình chóp c t b i m t ph ng P: là ta tìm các giao tuy n c a m t ph ng (P)ệ ủ ắ ở ặ ẳ ế ủ ặ ẳ v i các m t c a hình chóp. Các “đo n giao tuy n” liên ti p t o ra khi c t các m t c aớ ặ ủ ạ ế ế ạ ắ ặ ủ hình chóp b i m t ph ng (P) hình thành m t đa giác ph ng, ta g i hình đa giác đó làở ặ ẳ ộ ẳ ọ thi t di n t o b i m t ph ng ế ệ ạ ở ặ ẳ (P) v i hình chóp.ớNh v y, th c ch t bài toán tìm thi t di n chính là bài toán tìm các giao đi m c a m tư ậ ự ấ ế ệ ể ủ ặ ph ng ẳ (P) v i các c nh c a hình chóp và tìm các đo n giao tuy n c a m t ph ng ớ ạ ủ ạ ế ủ ặ ẳ (P) v i các m t c a hình chóp.ớ ặ ủT đó ta có th th y nh ng khó khăn trong khi gi i bài toán v thi t di n ph n l n b từ ể ấ ữ ả ề ế ệ ầ ớ ắ ngu n t nh ng khó trong vi c tìm “giao đi m”(c a m t ph ng và các ồ ừ ữ ệ ể ủ ặ ẳ c nhạ c a hìnhủ chóp đ c c t b i m t ph ng) cũng nh xác đ nh các “đo n giao tuy n”(c a m tượ ắ ở ặ ẳ ư ị ạ ế ủ ặ ph ng và các m t c a hình đ c c t b i m t ph ng)ẳ ặ ủ ượ ắ ở ặ ẳ

Ta s l n l t ch ra nh ng khó khăn đó, nh ng m t khó khăn đ u tiên mà ta có thẽ ầ ượ ỉ ữ ư ộ ầ ể b t g p trong gi i toán thi t di n là làm sao có m t hình v thu n l i cho vi c gi iắ ặ ả ế ệ ộ ẽ ậ ợ ệ ả toán, vì hình h c không gian (HHKG) đòi h i s t duy tr u t ng cao mà thi t di n làọ ỏ ự ư ừ ượ ế ệ m t v n đ t ng đ i ph c t p c a HHKG, do v y m t hình v thích h p s tăngộ ấ ề ươ ố ứ ạ ủ ậ ộ ẽ ợ ẽ kh năng t duy c a chúng ta.ả ư ủ1. Nh ng khó khăn trong vi c v hình không gian và vi c tìm l i gi i d a nhi uữ ệ ẽ ệ ờ ả ự ề vào tr c giác, thi u c s t các đ nh lý hay h qu d n l i gi i sai:ự ế ơ ở ừ ị ệ ả ẫ ờ ả Hình v ch a th hi n h t gi thi t bài toán, hình v sai gây nên s b t c trongẽ ư ể ệ ế ả ế ẽ ự ế ắ vi c tìm l i gi i, hay tr c giác không chính xác d n t i bài gi i sai.ệ ờ ả ự ẫ ớ ảM t s h c sinh ch u nh h ng quá n ng c a hình h c ph ng do v y khi v hìnhộ ố ọ ị ả ưở ặ ủ ọ ẳ ậ ẽ trong HHKG l i tuân th m t cách máy móc v đ dài, di n tích, góc…đi u này sạ ủ ộ ề ộ ệ ề ẽ làm cho các em b b t t khi gi i toán HHKG.ị ế ắ ảVí dụ 0: khi v m t hình chóp ẽ ộ S.ABCD có đáy ABCD là m tộ hình vuông thì các em m c nhiên v hình chóp có đáy ặ ẽ ABCD là hình vuông và có đ nh là S.ỉRõ ràng hình v th a yêu c u bài toán nh ng vi c v hìnhẽ ỏ ầ ư ệ ẽ nh v y s g p nhi u khó khăn trong khi gi i bài toán.ư ậ ẽ ặ ề ả

- Th nh t: hình v có nhi u đ ng khu t mà ta cóứ ấ ẽ ề ườ ấ th h n ch đ c. Đi u này gây nhi u khó khăn khiể ạ ế ượ ề ề gi i nh ng bài toán ph c t p.ả ữ ứ ạ

- Th hai: c nh ứ ạ AD là nét khu t nh ng ch a đ c thấ ư ư ượ ể hi n trên hình v .ệ ẽ

- Th ba: giao di n m t bên ứ ệ ặ ( )SAD quá nh , đi u nàyỏ ề

gây nhi u khó khăn trong vi c gi i nh ng bài toán màề ệ ả ữ ta c n k thêm nh ng đ ng th ng n m trong m tầ ẻ ữ ườ ẳ ằ ặ ph ng đó.ẳ

- Th t : đa giác đáy là hình vuông thì đ c h c sinhứ ư ượ ọ th hi n hoàn là m t hình vuông nh bên hình h cể ệ ộ ư ọ

6

A

D C

B

S

N

M

A'

B'C'

B

D A

C

D'

P

N

M

B'

A'D'

A

C

B

D

C'


ph ng. N u đ bài yêu c u thêm là m t ph ng ẳ ế ề ầ ặ ẳ ( )SAD vuông góc v i m tớ ặ

ph ng đáy thì h c sinh khó mà v đ c hình đúng nh ý mình.ẳ ọ ẽ ượ ưNgoài ra, vi c th hi n nh ng hình v nh v y còn làm cho h c sinh m t nhi u th iệ ể ệ ữ ẽ ư ậ ọ ấ ề ờ gian cho vi c v hình.ệ ẽVí d 1:ụCho hình l p ph ng ậ ươ .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ . D ng thi t di n c a hình l p ph ng v i m tự ế ệ ủ ậ ươ ớ ộ m t ph ng di qua trung đi m ặ ẳ ể M c a c nh ủ ạ 'DD , trung đi m ể N c a c nh ủ ạ ' 'D C và đ nh ỉ A .H c sinh gi i bài toán nh sau: ọ ả ưDo hai m t bên ặ ( )BB A A′ ′ và ( )CC D D′ ′ song song v iớ

nhau nên giao tuy n c a hai m t này v i m t ph ngế ủ ặ ớ ặ ẳ ( )AMN cũng ph i song song v i nhau. Do đóả ớ

( ) ( )' ' ',AMN AA B B AB AB MN′∩ = P

( ) ( )' 'AMN AA D D AM∩ =

( ) ( )' ' ' ' 'AMN A B C D B N∩ =V y thi t di n c n tìm chính là hình ậ ế ệ ầ AMNB′Phân tích sai l m: ầH c sinh đã bi t đ c giao tuy n c a m t ph ngọ ế ượ ế ủ ặ ẳ ( )AMN và m t ph ng ặ ẳ ( )BB A A′ ′ là đ ng th ng điườ ẳ

qua A và song song v iớ MN. Tr c giác cho th y giao tuy n đó làự ấ ế đ ng th ng ườ ẳ AB′ . Đi u này ch a đúng vì ch a có c s ch ng minh ề ư ư ơ ở ứ AB MN′ P .

Gi iảTa có: ( ) ( )' 'AMN AA D D AM∩ =

Trong m t ph ng ặ ẳ ( )' 'AA D D d ng ự AM c t ắ ' 'A D t i ạ P.

( ) ( )' ' ' 'AMN A B C D PN∩ =

Trong m t ph ng ặ ẳ ( )' ' ' 'A B C D ta nh n th y ậ ấ, , 'P M B th ng hàng.ẳ

th t v y,ậ ậTa có:

1 1

2 2

MD PD

AA PA

′ ′= ⇒ =

′

Ta l i có ạ1

2

D N

A B

′=

′ ′

t đó suy ra ừ PN đi qua B′ và 1

2

NB

PB

′=

′ .

( ) ( )AMN CC D D MN′ ′∩ =

( ) ( )AMN AA B B AB′ ′ ′∩ =V y thi t di n c n tìm chính là hình ậ ế ệ ầ AMNB′ .

7

B

S

A

CD


Đ i v i bài toán tìm thi t di n thì hình v là r t quan tr ng.ố ớ ế ệ ẽ ấ ọ@ Nguyên nhân:

V hình không th hi n h t gi thi t ho c v hình sai. Do b c đ u ti p xúcẽ ể ệ ế ả ế ặ ẽ ướ ầ ế v i hình h c không gian đòi h i tr u t ng và t duy cao, không th ng xuyên luy nớ ọ ỏ ừ ượ ư ườ ệ t p v hình.ậ ẽ

Không n m v ng đ c nh ng khái niêm do dó không th hi n h t gi thi tắ ữ ượ ữ ể ệ ế ả ế d n đ n không đ d ki n đ gi i quy t bài toán. Các khái ni m HS không n m v ngẫ ế ủ ữ ệ ể ả ế ệ ắ ữ ho c hi u nh m, ví d : “ t di n đ u”, “ hình chóp có đáy là tam giác đ u”, “ hìnhặ ể ầ ụ ứ ệ ề ề chóp đ u”, “hình lăng tr đ u”(hình lăng tr đ ng và có đáy là đa giác đ u, các m tề ụ ề ụ ứ ề ặ bên là hình ch nh t…)ữ ậ

@ Bi n pháp kh c ph c:ệ ắ ụ giúp h c sinh n m v ng nh ng quy t c v hình trong khôngọ ắ ữ ữ ắ ẽ gian, rèn luy n cho h c sinh k năng v hình trong không gian nh : hình chóp( hinhệ ọ ỹ ẽ ư chóp t giác đ u, hình chóp có đáy là hình vuông,…), hình lăng tr , hình h p. Giúp h cứ ề ụ ộ ọ sinh n m v ng khái ni m v các hình trong không gian đ có cách v hình chính xác….ắ ữ ệ ề ể ẽCác quy t c c b n khi v hình trong không gian:ắ ơ ả ẽ - Dùng nét ( ___ ) đ bi u di n cho nh ng đ ng nhìn th y.ể ể ễ ữ ườ ấ - Dùng nét (---) đ bi u di n nh ng đ ng khu t.ể ể ễ ữ ườ ấ - Hai đ ng th ng song song ( c t nhau ) đ c bi u di n thành hai đ ng th ngườ ẳ ắ ượ ể ễ ườ ẳ song song ( c t nhau ).ắ - Hình bi u di n c a hình thang là hình thang.ể ễ ủ - Hình bi u di n c a hình thoi, hình ch nh t, hình bình hành, hình vuông là hìnhể ễ ủ ữ ậ bình hành. - M t tam giácộ ABC có th xem là hình bi u di n c a m t tam giác b t kì….ể ể ễ ủ ộ ấChú ý: v hình không gian đúng quy t c là ch a đ mà còn ph i đ m b o th t có l iẽ ắ ư ủ ả ả ả ậ ợ cho vi c quan sát tr c giác, đi u này giúp ta d tìm ra l i gi i cho bài toán.ệ ự ề ễ ờ ả

Kh năng t duy tr u t ng kém t o ra nh ng khó khăn v tr c giác. Khi gi i m t sả ư ừ ượ ạ ữ ề ự ả ộ ố bài t p HS th ng m c ph i các sai l m do quan sát tr c quan t o ra.ậ ườ ắ ả ầ ự ạ

2. Khó khăn trong vi c tìm ra m t l i gi i t gi thi t.ệ ộ ờ ả ừ ả ế H c sinh th ng r i vào b t c không bi t b t đ u t đâu cho m t bài toán tìm thi tọ ườ ơ ế ắ ế ắ ầ ừ ộ ế di n.ệVí d 2:ụ Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

( )SA ABCD⊥ . G i ọ ( )α là m t ph ng qua ặ ẳ A và vuông góc v i ớ SB.

Hãy xác đ nh thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ị ế ệ ủ ớ ặ ẳ ( )α .

Trong bài toán này h c sinh th ng r i vào b t c,ọ ườ ơ ế ắkhông bi t b t đ u l i gi i t đâu, doế ắ ầ ờ ả ừkhông th y đ c hình bi u di n c a m t ph ng ấ ượ ể ễ ủ ặ ẳ ( )α

Nguyên nhân:Do h c sinh ch a n m đ c ph ng pháp chung đọ ư ắ ượ ươ ểgi i các d ng bài t p tìm thi t di n.ả ạ ậ ế ệgi iả

8

N

B

DC

A

S

M


Trong m t ph ng ặ ẳ ( )SAB d ng ự AM SB⊥

Ta có: AD SA

AD AB

⊥⊥

do đó ( )AD SAB⊥suy ra AD SB⊥ (1)m t khác ặ AM SB⊥ (2)

t (1) và (2) suy ra ừ ( )ADM SB⊥

v y ậ ( ) ( )ADM α≡

ta có:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

AD

BC SBCMt SBC

AD BC

M SBC

α

α

α

⊂

⊂ ⇒ = ∩ ∈ ∩

P

,Mt BC Mt ADP P Mt c t ắ SC t i ạ N.

( ) ( )( ) ( )

SAB AM

SDC DN

αα

∩ =

∩ =V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ DAMN.@ Bi n pháp kh c ph c:ệ ắ ụ - Hình thành cho h c sinh ph ng pháp chung nh t đ gi i bài toán tìm thi t di n:ọ ươ ấ ể ả ế ệTìm giao tuy n gi a m t ph ng v i các m t c a hình chóp hay hình lăng tr …T đóế ữ ặ ẳ ớ ặ ủ ụ ừ suy ra các đo n giao tuy n. N i các đo n giao tuy n ta đ c đa giác ph ng, đó chính làạ ế ố ạ ế ượ ẳ thi t di n c n tìm.ế ệ ầPhân lo i các d ng bài t p tìm thi t di n, giúp h c sinh bi t đ c cách gi i v i t ngạ ạ ậ ế ệ ọ ế ượ ả ớ ừ d ng bài toán đ cho (ph n này đ c trình bài m c 1).ạ ề ầ ượ ở ụ - Nh đã nói trên ngu n g c c a nh ng khó khăn trong gi i toán thi t di n đ cư ở ồ ố ủ ữ ả ế ệ ượ xu t phát ph n l n nh ng khó khăn v tìm “giao đi m” cũng nh xác đ nh “đo nấ ầ ớ ở ữ ề ể ư ị ạ giao tuy n”. Mà vi c xác đ nh “đo n giao tuy n” ho c là ta đã có ho c n u không cóế ệ ị ạ ế ặ ặ ế s n thì xác đ nh đo n giao tuy n b ng cách tìm các giao đi m là ph bi n (tuy nhiênẳ ị ạ ế ằ ể ổ ế còn có ph ng pháp khác s nêu ra sau)ươ ẽ - Nh v y quy cho cùng v n đ tìm “giao đi m” là c t lõi trong bài toán thi t di n.ư ậ ấ ề ể ố ế ệV y làm sao đ tìm đ c “giao đi m” ch ng h n là giao đi m c a hình chóp c t b iậ ể ượ ể ẳ ạ ể ủ ắ ở m t ph ng nào đó.ặ ẳKhó khăn b t đ u t đây mà nguyên nhân ch y u là các em h c sinh không n m v ngắ ầ ừ ủ ế ọ ắ ữ ph ng pháp d n đ n sai l m.ươ ẫ ế ầ

Có th nêu ra hai ph ng pháp tìm giao đi m c a m t đ ng th ng và m t đ ngể ươ ể ủ ộ ườ ẳ ộ ườ th ng:ẳCách 1:Đ tìm giao đi m c a đ ng th ng ể ể ủ ườ ẳ a và m t ph ng ặ ẳ (P) ta đi tìm giao đi m c a đ ngể ủ ườ th ng ẳ a và m t đ ng th ng b n m trong m t phăng ộ ườ ẳ ằ ặ (P).

9


( ) ( )b Pa P I

a b I

⊂ ⇒ ∩ =∩ =

Cách 2:Đ tìm giao đi m c a đ ng th ng a và m t ph ng ể ể ủ ườ ẳ ặ ẳ (P) ta ch n m t ph ng ph ọ ặ ẳ ụ (Q) ch a ứ a, sau đó xác đ nh giao tuy nị ế b c a hai m t ph ng ủ ặ ẳ (P) và (Q). Khi đó giao đi mể c n tìm là giao đi m c a hai đ ng th ng ầ ề ủ ườ ẳ a và b.

( )( ) ( ) ( )a Q

P Q b a P I

a b I

⊂

∩ = ⇒ ∩ = ∩ =Chú ý: cách 2 khi tìm giao đi m ở ể I ta c n xác đ nh giao tuy n c a hai m t ph ng (P)ầ ị ế ủ ặ ẳ và (Q). Vi c xác đ nh giao tuy n c a hai m t ph ng th ng là ta tìm hai đi m chungệ ị ế ủ ặ ẳ ườ ể c a hai m t ph ng đó. Nh ng đôi khi vi c xác đ nh nh v y l i g p nh ng khó khănủ ặ ẳ ư ệ ị ư ậ ạ ặ ữ và t đó d n đ n nh ng khó khăn cho bài toán tìm thi t di n.ừ ẫ ế ữ ế ệTa có m t cách khác tìm giao tuy n c a hai m t ph ng:ộ ế ủ ặ ẳ Ta tìm m t đi m chung c a hai m t ph ng. N u hai m t ph ng đó l n l tộ ể ủ ặ ẳ ế ặ ẳ ầ ượ ch a hai đ ng th ng song song nhau. Giao tuy n là đ ng th ng qua đi m chung vàứ ườ ẳ ế ườ ẳ ể song song v i hai đ ng th ng đó.ớ ườ ẳM t ví d minh h aộ ụ ọ :Ví d 2.1:ụ Cho hình chóp S.ABCD. G i M là đi m n m trong tam giác SCD. Xác đ nhọ ể ằ ị thi t di n c a hình chóp khi c t b i mp(ABM).ế ệ ủ ắ ở

:

K

JI

O

P

B C

A

D

S

M

Gi iả :

10


Đ u tiên ta tìm giao đi m ầ ể I c a ủ AM và (SBD) G i ọ P SM DC= ∩Khi đó trên mp(ABCD), g i ọ O AP BD= ∩Ta có ( ) ( )SO SAP SBD= ∩G i ọ I AM SO= ∩Mà ( )AM SAP⊂V y ta suy ra ậ ( )I AM SBD= ∩ .

Trên mp(SBD), g i ọ J BI SD= ∩Khi đó trên mp(SCD), g i ọ K JM SC= ∩V y t giác ậ ứ ABKJ là thi t di n c n tìm.ế ệ ầ

Ví d 2.2 : ụ Cho t di n ứ ệ ABCD. G i ọ M và N l n l t là các đi m n m trên các c nhầ ượ ể ằ ạ BC và CD sao cho BM = 2MC và CN = 2ND. G i ọ P là trung đi m ể AD. Xác đ nh thi tị ế di n c a hình chóp khi c t b i mpệ ủ ắ ở (MNP).Gi i:ả

Q

E

P

B D

C

A

M

N

Vì BM = 2MC và CN = 2ND nên MN không song song v i ớ BD, do đó BD và MN c tắ nhau t i ạ E.Trên mp(ABD), PE c t ắ AB t i ạ Q, khi đó: MN,NP,PQ,QM l n l t là các đo n giaoầ ượ ạ tuy n khi c t các m t c a t di n b ng mpế ắ ặ ủ ứ ệ ằ (MNP).V y t giác ậ ứ MNPQ là thi t di n c n tìm.ế ệ ầ

3. Nh ng khó khăn do không hi u k các đ nh lý, h qu d n đ n nh ng k tữ ể ỹ ị ệ ả ẫ ế ữ ế lu n sai.ậ - S d ng các đ nh lý, h qu m t cách ch quan d a trên tr c giác và nh ng ý nghĩử ụ ị ệ ả ộ ủ ự ự ữ

hình h c ph ng, ch ng h n HS th ng cho r ng trong không gian có đ nh lý sau:ở ọ ẳ ẳ ạ ườ ằ ị “hai đ ng th ng cùng vuông góc v i m t đ ng th ng thì song song v i nhau”, “ haiườ ẳ ớ ộ ườ ẳ ớ

11

P

N

Q

I

A C

B

S

M

P

N

Q

I

S

B

C

A

M


m t ph ng cùng vuông góc v i m t m t ph ng thì song song v i nhau”,… ho c cácặ ẳ ớ ộ ặ ẳ ớ ặ đ nh lý, h qu mà HS th ng hi u nh m:ị ệ ả ườ ể ầ + M t đ ng th ng song song v i m t m t ph ng thì song song v i m i đ ng th ngộ ườ ẳ ớ ộ ặ ẳ ớ ọ ườ ẳ n m trong m t ph ng đó.ằ ặ ẳ + Hai m t ph ng c t nhau theo m t giao tuy n, đ ng th ng nào n m trong m t m tặ ẳ ắ ộ ế ườ ẳ ằ ộ ặ ph ng mà vuông góc v i giao tuy n thì vuông góc v i m t ph ng kia.ẳ ớ ế ớ ặ ẳ + Luôn có th d ng đ c m t m t ph ng đi qua 4 đi m phân bi t.ể ự ượ ộ ặ ẳ ể ệVí d 3:ụ

Cho t di nứ ệ SABC có tam giác ABC đ uề , ( )SA ABC⊥ . L y m t đi mấ ộ ể M b tấ

kỳ trên c nh ạ SC .G i ọ ( )α là m t ph ng qua ặ ẳ M và vuông góc v i ớ AB .

h c sinh gi i nh sau:ọ ả ư( )⊥ ⇒ ⊥SA ABC SA AB

( ) ⊥ ABα

Suy ra ( ) SAα P

Trong m t ph ng (SAC) ặ ẳk đ ng th ng qua ẽ ườ ẳ M và song song v i ớ SA c t ắ AC t i ạ QG i ọ I là trung đi m ể AB, khi đó: AB CI⊥M t khác ặ MQ SAP , nên ( )MQ ABC MQ AB⊥ ⇒ ⊥

Do đó MQ CIP

Suy ra ( ) CIα P

Mà ( ) ( ) ( )CI ABC ABC⊂ ⇒ αP

Suy ra ( ) BCα P

Do đó: ( ) ( )SBC MN BCα ∩ = P

( ) ( )ABC QP BCα ∩ = P

( ) ( )SAB NP SAα ∩ = P

V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ MNPQ .

Gi iảTa c ó ( )SA ABC SA AB⊥ ⇒ ⊥

( ) ABα ⊥

Suy ra ( )SA αP

Ta có ( )SA SAC⊂

( ) ( )M SACα∈ ∩

Do đ ó ( ) ( )SAC MQα ∩ = , MQ SAP c t ắ AC

t i ạ Q. g iọ I là trung đi m c a ể ủ AB ta có CI AB⊥ .

12

N

MD

B A

C

S


Suy ra ( )CI αP( )CI ABC⊂ .

Do đ ó ( ) ( )ABC QPα ∩ = , QP CIP và c t ắ AB t i ạ P.

Ta có ( )SA αP , ( )SA SAB⊂

( ) ( )P SABα∈ ∩ suy ra ( ) ( )PN SABα= ∩ v i ớ PN SAP , PN c t ắ SB t i ạ N.

( ) ( )MN SBCα= ∩V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ MNPQ .

@ Nguyên nhân: - Hình h c không gian khá tr u t ng nên vi c n m k các đ nh lý r t khó khăn, vàọ ừ ượ ệ ắ ỹ ị ấ tr c giác không mang l i k t qu nh hình h c ph ng mà đôi khi còn đánh l a ng iự ạ ế ả ư ọ ẳ ừ ườ gi i toán khi h th hi n sai trên hình v .ả ọ ể ệ ẽ - HS còn d a nhi u vào nh ng ki n th c hình h c ph ng, th n nhiên áp d ng m tự ề ữ ế ư ở ọ ẳ ả ụ ộ cách tùy ý b ng cách suy di n t hình h c ph ng sang hình h c không gian.ằ ễ ừ ọ ẳ ọ@ Kh c ph c:ắ ụ - Giúp HS n m v ng các đ nh lý trong SGK b ng cách v n d ng vào gi i các bài t p.ắ ữ ị ằ ậ ụ ả ậ Vi c v n d ng các đ nh lý, h qu vào các bài gi i ph i hi u đó là đ nh lý, h qu nàoệ ậ ụ ị ệ ả ả ả ể ị ệ ả thu c quan h song song hay quan h vuông góc, phát bi u chính xác h qu đ nh lýộ ệ ệ ể ệ ả ị đó. - V hình rõ ràng nh m t n d ng h t giẽ ằ ậ ụ ế ả thi t, đi u này r t có l i đ áp d ng cácế ề ấ ợ ể ụ đ nh lý.ị - Phân d ng các bài t p v thi t di n. M i d ng th ng v nạ ậ ề ế ệ ỗ ạ ườ ậ d ng nh ng đ nh lý, hụ ữ ị ệ qu nào,…ả4. Khó khăn do hi u nh m các khái ni m, d n t i b t c ho c có m t l i gi iể ầ ệ ẫ ớ ế ắ ặ ộ ờ ả sai.Các khái ni m mà h c sinh không n m v ng có th d n t i vi c th hi n thi u dệ ọ ắ ữ ể ẫ ớ ệ ể ệ ế ữ ki n c a bài toán, ho c đ a ra nh ng khái ni m sai.ệ ủ ặ ư ữ ệ

Ví d 4:ụ Cho hình chóp t giác đ u ứ ề S.ABCD và các m t bên h p v i đáy 1 góc ặ ợ ớ α . Hãy xác đ nh thi t di n t o nên b i m t ph ng phân giác c a góc nh di n c nh ị ế ệ ạ ở ặ ẳ ủ ị ệ ạ BC v i cácớ m t bên c a hình chóp.ặ ủPhân tích: tr c giác cho HS th y r ng m t ph ng phân giác c a góc nh di n c nh ự ấ ằ ặ ẳ ủ ị ệ ạ BC ph i ch a hai đ ng phân giác c a góc ả ứ ườ ủ ¼SBA và ¼SCD

HS ti n hành gi i nh sau:ế ả ưTrong mp (SAB) ta d ng đ ng phân giác ự ườ BM c a góc ủ ¼SBA c t ắ SA t i ạ M

Ta có: ( ) ( )SAB BMα ∩ =Trong m t ph ng ặ ẳ (SAD) d ng đ ng ự ườphân giác góc ¼SCD c t ắ SD t i ạ N.

13

M

N

K

JI

D

B A

C

S

AB

D

C

S


( ) ( )SCD CNα ∩ =

( ) ( )SAD MNα ∩ =

( ) ( )ABCD BCα ∩ =V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ BCNM .Nguyên nhân d n đ nẫ ế sai l m đó: do h c sinh không hi uầ ọ ểm t ph ng phân giác c a góc nh di n là gì, đ nh nghĩaặ ẳ ủ ị ệ ị góc gi a hai m t ph ng.ữ ặ ẳ

Gi i:ảG i ọ ( )P là m t ph ng phân giác c a góc nh di n c nhặ ẳ ủ ị ệ ạ BC , ( )P đi qua BC.

( ) ( )ABCD BCα ∩ = .

D ng trung đi m ự ể I, J c a c nhủ ạ BC và BD.Ta có: SI BC⊥ ( do tam giác SBC cân t i Sạ ). IJ BC⊥Do đó »SIJ chính là góc ph ng nh di n c nhẳ ị ệ ạ BC.

D ng phân giác ự IK c a góc ủ »SIJ c t ắ SJ t i ạ K.

V y ậ ( ) ( ),P BC IK≡

Ta có: ( ) ( ), ,BC AD BC P AD SAD⊂ ⊂P

( ) ( )K P SAD∈ ∩

Do đó ( ) ( )MN P SAD= ∩,MN AD MN BCP P v i ớ MN đi qua K và c t ắ

SA, SD l n l t t i ầ ượ ạ M và N.( ) ( )( ) ( )

MB P SAB

NC P SCD

= ∩

= ∩V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ BCNM .@ Nguyên nhân : không n m các khái ni m,các đ nh nghĩa, d a vào quan sát tr c giácắ ệ ị ự ự đ hình thành khái ni m trên c s c a hình h c ph ng…ể ệ ơ ở ủ ọ ẳ@ Kh c ph c:ắ ụ - Giúp h c sinh n m v ng các khái ni m, các đ nh nghĩa ch ng h n: góc gi a hai m tọ ắ ữ ệ ị ẳ ạ ữ ặ ph ng, góc gi a đ ng th ng và m t ph ng, hai m t ph ng song song, đ ng th ngẳ ữ ườ ẳ ặ ẳ ặ ẳ ườ ẳ song song v i m t ph ng….ớ ặ ẳ - Hình thành cho h c sinh ph ng pháp xác đ nh góc gi a hai m t ph ng, góc gi aọ ươ ị ữ ặ ẳ ữ đ ng th ng và m t ph ng, cách ch ng minh hai m t ph ng song song,…ườ ẳ ặ ẳ ứ ặ ẳ4. CÁC K NĂNG C N RÈN LUY N CHO H C SINH TRONG QUÁ TRÌNHỸ Ầ Ệ Ọ

GI I CÁC BÀI TOÁN THI T DI N.Ả Ế Ệ

a) Rèn luy n cho h c sinh k năng v hình đúng và chính xác, giúp cho các em năngệ ọ ỹ ẽ

cao kh năng t duy t ng t ng trong hình h c không gian ch ng h n nh các ví dả ư ưở ượ ọ ẳ ạ ư ụ

sau:

14

BC

A D

S

D

BC

A

S

B C

A

S

D


- N u đáy là t giác l i tùy ý, ta v hình th ng dùng là: ế ứ ồ ẽ ườ

- N u đáy là hình bình hành, hình ch nh t, hình thoi, hình vuông:ế ữ ậ

- N u đáy là hình thang: ế

Hay cho các em bi t là thi t di n c a m t t di n không th là ngũ giác, vì t di n chế ế ệ ủ ộ ứ ệ ể ứ ệ ỉ

có b n m t, thi t di n c a t di n cũng không nh t thi t là t giác …ố ặ ế ệ ủ ứ ệ ấ ế ứ

15

P

ID

B

C

A

M

N

K


Ví d 1:ụ Ch ng h n ví d 2, 4 mà ta xét sau đây.ẳ ạ ở ụ

b) Nâng cao k năng gi i bài toán tìm giao tuy n c a hai m t ph ng. Th c ch t c aỹ ả ế ủ ặ ẳ ự ấ ủ

bài toán tìm giao tuy n c a hai m t ph ng là tìm hai đi m chung c a hai m t ph ng,ế ủ ặ ẳ ể ủ ặ ẳ

khi đó giao tuy n chính là đ ng th ng đi qua hai đi m chung đó. Chú ý giúp h c sinhế ườ ẳ ể ọ

hi u đ c đ nh lý : “N u m t đ ng th ng đi qua hai đi m phân bi t c a m t m tể ượ ị ế ộ ườ ẳ ể ệ ủ ộ ặ

ph ng thì m i đi m c a đ ng th ng đ u n m trong m t ph ng đó”.ẳ ọ ể ủ ườ ẳ ề ằ ặ ẳ

+ Tr ng h p: đ đã cho s n hai đi m chung c a hai m t ph ng khi đó ta ch c nườ ợ ề ẵ ể ủ ặ ẳ ỉ ầ

d ng giao tuy n là đ ng th ng đi qua hai đi m đó.ự ế ườ ẳ ể

+ Tr ng h p đ ch cho m t đi m chung c a hai m t ph ng ta có hai cách tìm giaoườ ợ ề ỉ ộ ể ủ ặ ẳ

tuy n nh sau: ế ư

cách 1: d ng thêm m t đi m chung khác n a b ng cách kéo dài các đ ng th ng c tự ộ ể ữ ằ ườ ẳ ắ

nhau thu c hai m t ph ng đó.ộ ặ ẳ

Ví d 2ụ : Cho t di n ứ ệ ABCD. G i ọ M, N, K l n l t là 3 đi m b t kì trên ầ ượ ể ấ AB, AD và BC

sao cho MN không song song v iớ BD. Tìm thi t di n c a t di n v i m t ph ngế ệ ủ ứ ệ ớ ặ ẳ

(MNK).

Gi i:ả

Ta có:

( ) ( )MNK ABC MK∩ =

( ) ( )MNK ABD MN∩ =

Trong m t ph ng ặ ẳ ( )ABD d ng ự MN c t ắ BD t i ạ I

ta đ c ượ ( ) ( )MNK ABC IK∩ = , IK c t ắ DC t i ạ P

( ) ( )MNK ADC NP∩ =

V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ MNPK .

Cách 2: t m t đi m chung đã có ta s d ng các đ nh lý v quan h song song đ tìmừ ộ ể ử ụ ị ề ệ ể

quan h gi a giao tuy n v i đ ng th ng đã có mà ta có th d ng đ c đ ng giaoệ ữ ế ớ ườ ẳ ể ự ượ ườ

tuy n đó. Ch ng h n s d ng h qu : “n u hai m t ph ng ch a hai đ ng th ngế ẳ ạ ử ụ ệ ả ế ặ ẳ ứ ườ ẳ

16

X

U

VJ

T

W

LI

N

A

M

CB

D

S

PK

HB

D

C

A

M


song song c tắ nhau theo m t giao tuy n thì giao tuy n đó song song v i hai đ ngộ ế ế ớ ườ

th ng đó”.ẳ

Ví d 3ụ : Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình bình hành. G i ọ ,I J l m l t làầ ượ

tr ng tâm c a tam giác ọ ủ SAB∆ và tam giác SAD∆ . M là trung đi m ể CD . Xác đ nhị

thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ ( )IJM .

Trong m t ph ng ặ ẳ ( )SLN ta có 2

3

SJ SI

JL IN= = do đó IJ LNP .

( ) ( ),IJ JIM NL ABCD⊂ ⊂

( ) ( )M JIM ABCD∈ ∩

Suy ra ( ) ( )Mt JIM ABCD∈ ∩

Mt c t ắ ,AD BC l n l tầ ượ

t i ạ T và W ta đ c:ượ

( ) ( )MW JIM ABCD∈ ∩

( ) ( )TJ JIM SAD= ∩

Trong m t ph ng ặ ẳ ( )SAD d ng ự JT c t ắ ,SA SD

l n l t t i ầ ượ ạ U và V .

( ) ( )UI JIM SAB= ∩ ,

Trong m t ph ng ặ ẳ ( )SAB d ng ự UI c t ắ SB t i ạ X .

Ta có ( ) ( )XW JIM SBC= ∩

( ) ( )MV JIM SCD= ∩ , v y thi t di n c n tìm là ngũ giác ậ ế ệ ầ UVMWX .

c) Rèn luy n cho h c sinh k năng có ph ng pháp gi i t ng d ng toán trong bài toánệ ọ ỹ ươ ả ừ ạ

thi t di nế ệ (trình bày m c 1)ở ụ

d) Rèn luy n cho h c sinh k năng phân tích và d đoán đ c các tr ng h p có thệ ọ ỹ ự ượ ườ ợ ể

x y ra c a yêu c u bài toánả ủ ầ trong gi i bài toán thi t di n.ả ế ệ

Ví dụ 4 : Cho t di n ứ ệ ABCD. G i ọ H, K l n l t là trung đi m các c nh ầ ượ ể ạ AC, BC. Trong

tam giác BCD l y đi m ấ ể M sao cho hai đ ng th ng ườ ẳ KM và CD c t nhau. Tìm thi tắ ế

di n c a t di n v i m t ph ng ệ ủ ứ ệ ớ ặ ẳ (HKM).

17

I

N

P

K

HB

D

C

A

M


Gi i ả

G iọ P KM CD= ∩ .Ta có hai tr ng h p:ườ ợ

Tr ng h p 1:ườ ợ Đi m ể P thu c đo n ộ ạ CD

Khi đó ta đ cượ :

( ) ( )HKM BCD KP∩ = .

( ) ( )HKM ACD HP∩ =

( ) ( )HKM ABC KH∩ =

Do đó, thi t di n c n tìm là ế ệ ầ HKP∆ .

Tr ng h p 2ườ ợ : đi m ể P ngoài đo n ở ạ CD. Khi đó:

G i ọ I KM BD= ∩ .

( ) ( )HKM ABC KH∩ =

Trong m t ph ng ặ ẳ (ACD) d ng ự HP c t ắ AD t i ạ N.

Khi đó :

( ) ( )HKM ACD HN∩ =

( ) ( )HKM ABD NI∩ =

V y thi t di n là t giác ậ ế ệ ứ KHNI.

Ví d ụ 5 : Cho t di n S.ABC có ABC là tam giác đ u c nh b ng a. ứ ệ ề ạ ằ SA a= và vuông

góc v i m t ph ng (ABC). G i M là m t đi m tùy ý trên c nh AC, ớ ặ ẳ ọ ộ ể ạ ( )α là m t ph ngặ ẳ

đi qua M và vuông góc v i AC. Tùy theo v trí đi m M trên c nh AC, có nh n xét gì vớ ị ể ạ ậ ề

thi t di n t o b i ế ệ ạ ở ( )α v i t di n S.ABC.ớ ứ ệ

Gi iả

G i ọ E là trung đi m c a ể ủ AC, ta có BE AC⊥

18

( ) ( )∩ =HKM BCD KI

Q

P

N

E

S

B

CA

M

N

P

EA

C

B

S

M


Do đó, ta c n xét hai tr ng h p khác nhau v v rí c a ầ ườ ợ ề ị ủ M trên c nh ạ AC và trong đó ta

gi s d ngả ử ự ( )SA ABC SA AC⊥ ⇒ ⊥ .

Tr ng h p 1ườ ợ : M thu c ộ CE

Ta có: ( )( )SA ABC SA AC

ACα⊥ ⇒ ⊥

⊥

Do đó: ( )SA αP , ( )SA SAC⊂

( ) ( )M SACα∈ ∩

V y ậ ( ) ( )SAC Mt SAα ∩ = P , Mt c t ắ SC t i ạ N.

Do đó ( ) ( )SAC MNα ∩ =

Ta có BE AC⊥ nên t ng t ta cũng có: ươ ự

( ) ( )ABC Mx BEα ∩ = P

Mx c t ắ BC t i ạ P. Do đó ( ) ( )ABC MPα ∩ =

( ) ( )SBC NPα ∩ =

V y thi t di n c n tìm là tam giác vuông ậ ế ệ ầ MNP vuông t i ạ M.

Tr ng h p 2ườ ợ : M thu c đo n ộ ạ AE ( tr đi m ừ ể E).

G i ọ E là trung đi m c a ể ủ AC, ta có BE AC⊥

Ta có: ( )( )SA ABC SA AC

ACα⊥ ⇒ ⊥

⊥

Do đó: ( )SA αP , ( )SA SAC⊂

( ) ( )M SACα∈ ∩

V y ậ ( ) ( )SAC Mt SAα ∩ = P , Mt c t ắ SC t i ạ P.

Do đó ( ) ( )SAC MPα ∩ =

Ta có BE AC⊥ nên t ng t ta cũng có: ươ ự

( ) ( )ABC Mx BEα ∩ = P

Mx c t ắ AB t i ạ N. Do đó ( ) ( )ABC MNα ∩ =

19

K

TL

Q

N

P

M

OD

B C

A

S


Do đó: ( )SA αP , ( )SA SAB⊂

( ) ( )N SABα∈ ∩

V y ậ ( ) ( )SAB Ny SAα ∩ = P , My c t ắ SB t i ạ Q.

Do đó ( ) ( )SAB NQα ∩ =

( ) ( )SBC QPα ∩ =

Nh v y, trong tr ng h p này ta đ c thi t di n là hình thang vuôngư ậ ườ ợ ượ ế ệ

MNQP ( vuông t i ạ M và N).

d) Rèn luy n cho h c sinh k năng tìm các đo n giao tuy n thông qua vi c d ng thêmệ ọ ỹ ạ ế ệ ự

các chi ti t ( đi m, đo n th ng, m t ph ng ) trong hình v .ế ể ạ ẳ ặ ẳ ẽ

Ví d 6:ụ Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. G i ọ M, N, P l n l t làầ ượ

trung đi m c a ể ủ SB, SD và OC.

Tìm thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (MNP)

Gi iả

Ta l n l t tìm các đo n giao tuy n c a m t ph ng ầ ượ ạ ế ủ ặ ẳ ( )MNP

V i các m t c a hình chóp.ớ ặ ủ

Ta có MN BDP mà ( ) ( )( ) ( )

,MN MNP BD ABCD

P MNP ABCD

⊂ ⊂

∈ ∩

Nên ( ) ( )MNP ABCD Pt∩ = v i ớ ,Pt MN Pt BDP P .

Trong m t ph ng ặ ẳ ( )ABCD d ng ự

Pt BDP c t ắ , ,AB BC CD l n l t t i ầ ượ ạ , ,T L Q

V y ậ ( ) ( )MNP ABCD LQ∩ =

Trong m t ph ng ặ ẳ ( )SAB n i ố KM c t ắ

SA t i ạ M ta đ c:ượ

( ) ( )MNP SAB MK∩ =

( ) ( )MNP SAD KN∩ =

( ) ( )MNP SCD NQ∩ =

20


( ) ( )MNP SBC LM∩ = .

V y thi t di n c n tìm là ngũ giác ậ ế ệ ầ MKNQL .

CÁC BÀI TOÁN V THI T DI NỀ Ế Ệ

D ng 1ạ : Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) qua 3 đi m không th ngế ệ ủ ặ ẳ ể ẳ hàng.

Bài 1 : Cho hình chóp đ nh S có đáy là hình thang ABCD v i AB là đáy l n. G i M,Nỉ ớ ớ ọ theo th t là trung đi m c a các c nh SB và SC. Tìm thi t di n c a hình chópứ ự ể ủ ạ ế ệ ủ S.ABCD c t b i m t ph ng (AMN). ắ ở ặ ẳ

Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. G i M, N,P, l n l t là trungọ ầ ượ đi m SA, BC, CD. D ng thi t di n c a hình chóp khi c t b i m t ph ng (MNP).ể ự ế ệ ủ ắ ở ặ ẳ

Bài 3 : Cho t di n ABCD. G i M, N l n l t là trung đi m c a AB và AC, E là đi mứ ệ ọ ầ ượ ể ủ ể trên c nh CD v i ED = 3 EC. F là đi m trên c nh BD sao cho EF // BC. Tìm thi t di nạ ớ ể ạ ế ệ t o b i m t ph ng (MNE) và t di n ABCD.ạ ở ặ ẳ ứ ệ

Bài 4 : Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD c nh bên và c nh đáy đ u b ng a.G i M,ứ ề ạ ạ ề ằ ọ N, P là trung đi m AB, AD và SC.ể

a) D ng thi t di n t o b i m t ph ng (MNP).ự ế ệ ạ ở ặ ẳ

b) Tìm di n tích th t di n.ệ ế ệ

c) Ch ng minh r ng thi t di n chia hình chóp thành hai ph n t ng đ ng ( t c làứ ằ ế ệ ầ ươ ươ ứ hai ph n có th tích b ng nhau).ầ ể ằ

D ng 2 : Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) qua đ ng th ng a và songạ ế ệ ủ ặ ẳ ườ ẳ song v i đ ng th ng b ( a và b chéo nhau).ớ ườ ẳ

Bài 1 : Cho t di n ABCD. Trên các c nh AB, CD cho l n l t các đi m M, N. G iứ ệ ạ ầ ượ ể ọ (P) qua MN và song song v i AD. XÁc đ nh thi t di n c a (P) và t di n (ABCD).ớ ị ế ệ ủ ứ ệ

Bài 2 : Cho hinh chóp S.ABCD, M, N là hai đi m l y trên các c nh AB và CD. ể ấ ạ G i (P)ọ là m t ph ng qua MN và song song v i SA. Tìm thi t di n c a (P) và hình chópặ ẳ ớ ế ệ ủ S.ABCD.

Bài 3 : Cho t di n ABCD. G i M, N l n l t là các đi m l y trên BD và AC, (P) làứ ệ ọ ầ ượ ể ấ m t ph ng qua MN và song song v i AD.Tìm thi t di n c a t di n và m t ph ng.ặ ẳ ớ ế ệ ủ ứ ệ ặ ẳ

Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. G i M là trung đ mọ ể c a AB và N là m t đi m thu c BC. G i (P) là m t ph ng qua MN và song song v iủ ộ ể ộ ọ ặ ẳ ớ SD. Xác đ nh thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P).ị ế ệ ủ ặ ẳ

21


D ng 3: Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) đi qua m t đi m và songạ ế ệ ủ ặ ẳ ộ ể song v i hai đ ng th ng cho tr c.ớ ườ ả ướ

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là t giác l i, O là giao đi m c a hai đ ngứ ồ ể ủ ườ chéo AC và BD. Xác đ nh thi t di n c a hình chóp khi c t b i m t ph ng đi qua O,ị ế ệ ủ ắ ở ặ ẳ song song v i AB và SC. Thi t di n đó là hình gì?ớ ế ệ

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác đ nh thi t di n c a hìnhị ế ệ ủ chóp khi c t b i m t ph ng đi qua trung đi m M c a c nh AB song song v i BD vàắ ở ặ ẳ ể ủ ạ ớ SA.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD O là giao đi m c a ACể ủ và BD, M là trung đi m c a SA. Tìm thi t di n c a m t ph ng (P) vói hình chópể ủ ế ệ ủ ặ ẳ S.ABCD n u (P) qua M và đ ng th i song song v i SC và AD.ế ồ ờ ớ

D ng 4: Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) song song v i m t m tạ ế ệ ủ ặ ẳ ớ ộ ặ ph ng cho tr c:ẳ ướ

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD v i đáy là hình thang ABCD có AD song song v i BC,ớ ớ AD =2BC. G i E là trung đi m AD và O là giao đi m c a AC và BE. I là m t đi m diọ ể ể ủ ộ ể đ ng trên c nh AC khác v i A và C. Qua I, ta v m t ph ng (P) song song v i (SBE).ộ ạ ớ ẽ ặ ẳ ớ Tìm thi t di n t o b i (P) và hình chóp S.ABCD.ế ệ ạ ở

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD, O là giao đi m hai đ ngể ườ chéo, , ,AC a BD b= = tam giác SBD đ u. G i I là đi m di đ ng trên đo n AC v iề ọ ể ộ ạ ớ

(0 )AI x x a= < < . L y (P) là m t ph ng đi qua I và song song v i m t ph ng (SBD).ấ ặ ắ ớ ặ ẳ

a) Xác đ nh thi t di n c a m t ph ng (P) v i hình chóp S.ABCD.ị ế ệ ủ ặ ẳ ớ

b) Tìm di n tích S c a thi t di n câu a) theo ệ ủ ế ệ ở , ,a b x . Tìm x đ S l n nh t.ể ớ ấ

Bài 3: Cho t di n đ u SABC c nh A. G i I là trung đi m c a đo n AB, M là đi mứ ệ ề ạ ọ ể ủ ạ ể di đ ng trên đo n AI. Qua M v m t ph ng (P) song song v i (SIC). Tìm thi t di nộ ạ ẽ ặ ẳ ớ ế ệ t o b i ((P) và SABC.ạ ở

D ng 5: Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) qua đi m M cho tr c vàạ ế ệ ủ ặ ẳ ể ướ vuông góc v i đ ng th ng d cho tr c.ớ ườ ẳ ướ

Bài 1: Cho hai m t ph ng vuông góc (P) và (Q) có giao tuy n ặ ẳ ế ∆ . L y A, B thu c ấ ộ ∆ và

l y ấ ( ) ( ),C P D Q∈ ∈ sao cho ,AC AB BD AB⊥ ⊥ và AB AC BD= = . Xác đ nh thi tị ế

di n c a t di n ABCD khi c t b i m t ph ng ệ ủ ứ ệ ắ ớ ặ ẳ ( )α đi qua đi m A và vuông góc v iể ớ

CD. Tính di n tích thi t di n khi ệ ế ệ AC AB BD a= = =

Bài 2: Cho t di n SABC có đáy là tam giác đ u và c nh SA vuong góc v i m tứ ệ ề ạ ớ ặ ph ng ABC. G i (P) là m t ph ng qua B và vuông góc v i SC. Tìm thi t di n c a tẳ ọ ặ ẳ ớ ế ệ ủ ứ di n SABC c t b i m t ph ng (P).ệ ắ ở ặ ẳ

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A. C nh SAạ ạ vuông góc v i m t ph ng (ABCD). G i M là m t đi m trên c nh AB và (P) là m tớ ặ ẳ ọ ộ ể ạ ặ

22


ph ng qua M vuông góc v i AB. Tìm thi t di n c a hình chóp S.ABCD và m t ph ngẳ ớ ế ệ ủ ặ ẳ (P).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. SA vuông góc v i m tớ ặ (ABCD). G i O là giao đi m c a AC và BD. M t ph ng (P) là m t ph ng qua O vàọ ể ủ ặ ẳ ặ ẳ vuông g c v i AD. Xác đ nh thi t di n c a hình chóp S.ABCD và m t ph ng (P).ố ớ ị ế ệ ủ ặ ẳ

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC, trong đó ABC là tam giác vuông t i A, v iạ ớ · 0, 60AB a ABC= = . C nh ạ SC a= và vuông góc v i (ABC).ớ

a) Tìm thi t di n qua ế ệ M SA∈ và vuông góc SA.

b) Đ t ặ AM x= . Tính di n tích thi t di n.ệ ế ệ

c) V đ ng bi u di n di n tích. Tìm v trí c a M đ thi t di n đ t di n tích l nẽ ườ ể ễ ệ ị ủ ể ế ệ ạ ệ ớ nh t.ấ

D ng 6: Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) ch a m t đ ng th ng aạ ế ệ ủ ặ ẳ ứ ộ ườ ẳ vuông góc v i m t ph ng (Q)ớ ặ ẳ

Bai 1: Cho hình vuông ABCD c nh A. Trên đ ng th ng vuông góc v i m t ph ngạ ườ ẳ ớ ặ ẳ (ABCD) t i A l y đi m S. G i (P) là m t ph ng ch a AB và vuông góc v i m tạ ấ ể ọ ặ ẳ ứ ớ ặ ph ng (SCD). Hãy xác đ nh m t ph ng (P). M t ph ng (P) c t hình chóp S.ABCD theoẳ ị ặ ẳ ặ ẳ ắ thi t di n gì?ế ệ

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc v i m t đáy (ABCD). ABCD là hìnhớ ặ ch nh t tâm O. G i (P) là m t ph ng qua SO và vuông góc v i m t ph ng (SAD).ữ ậ ọ ặ ẳ ớ ặ ẳ Hãy tìm thi t di n c a hình chóp S.ABCD và m t ph ng (P).ế ệ ủ ặ ẳ

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. C nh bên là SA vuông gócạ v i m t ph ng (ABCD). G i (P) là m t ph ng ch a AB và vuông góc v i m t ph ngớ ặ ẳ ọ ặ ẳ ứ ớ ặ ẳ (SCD). Hãy xác đ nh thi t di n c a m t ph ng (P) và hình chóp S.ABCD.ị ế ệ ủ ặ ẳ

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t, SA vuông góc v i m tữ ậ ớ ặ ph ng (ABCD). G i I,J l n l t là trung đi m c a AB và CD. G i (P) là m t ph ngẳ ọ ầ ượ ể ủ ọ ặ ẳ qua I,J và vuông góc v i m t ph ng (SBC). Tìm thi t di n c a (P) và hình chópớ ặ ẳ ế ệ ủ S.ABCD.

Bài 5: Cho hình chóp t giác đ u có các m t bên t o v i đáy góc ứ ề ặ ạ ớ ϕ .

a) Tìm thi t di n qua AC và vuông góc v i m t ph ng (SAD).ế ệ ớ ặ ẳ

b) Tìm t s th tích ỉ ố ể 1

2

V

V hai ph n c a hình chóp b chia b i thi t di n nói trên.ầ ủ ị ở ế ệ

M t s bài toán khác.ộ ố

Bài 1: Cho hình h p ộ . ' ' ' 'ABCD A B C D . Hai đi m M và N l n l t n m trên hai c chể ầ ượ ằ ạ

AD và 'CC sao cho '

AM CN

MD NC= . Xác đ nh thi t di n c a hình h p c t b i m t ph ngị ế ệ ủ ộ ắ ở ặ ẳ

đi qua MN và song song v i m t ph ng ớ ặ ẳ ( )'ACB .

23


Bài 2: Cho hình l p ph ng ậ ươ . ' ' ' 'ABCD A B C D và các trung đi m E,F c a các c nhể ủ ạ , 'AB DD . Hãy xác đ nh các thi t di n c a hình l p ph ng c t b i các m t ph ngị ế ệ ủ ậ ươ ắ ở ặ ẳ

(EFB), ( )EF 'C và (AFK) v i K là trung đi m c a c nh ớ ể ủ ạ ' 'B C .

Bài 3: Cho hình l p ph ng ậ ươ . ' ' ' 'ABCD A B C D . G i O là tâm c a hình l p ph ng.ọ ủ ậ ươ

a) Tìm thi t di n qua O và vuông góc v i đ ng chéo ế ệ ớ ườ 'A C .

b) Ch ng minh r ng thi t di n chia hình l p ph ng thành hai ph n t ngứ ằ ế ệ ậ ươ ầ ươ đ ng.ươ

Bài 4: Cho hình l p ph ng ậ ươ . ' ' ' 'ABCD A B C D . G i M và N là tâm c a đáy ABCD vàọ ủ m t bên ặ ' 'DCC D .

a) Tìm thi t di n t o b i ế ệ ạ ở ( )'A MN .

b) Tìm t s th tích ỉ ố ể 1

2

V

V hai ph n c a hình l p ph ng b chia b i thi t di n nóiầ ủ ậ ươ ị ở ế ệ

trên.

Bài 5: Cho hình l p ph ng ậ ươ . ' ' ' 'ABCD A B C D c nh a. M là đi m di đ ng trên AB.ạ ể ộ

a) Tìm thi t di n t o b i ế ệ ạ ở ( )'A MC . Thi t di n là hình gì.ế ệ

b) Xác đ nh v trí c a M đ thi t di n là hình ch nh t. Có v trí nào c a M đị ị ủ ể ế ệ ữ ậ ị ủ ể thi t di n là hình vuông không?ế ệ

c) Xác đ nh v trí c a M đ thi t di n có di n tích bé nh t và hãy tính giá tr y.ị ị ủ ể ế ệ ệ ấ ị ấ

24

Phần thiết diện lớp 11

Documents

Transcript of Phần thiết diện lớp 11