PHÂN BỐ CỰC

PHÂN BỐ CỰCHỒI TIẾP TRẠNG THÁI

Cho hệ thống bậc n buAxx

Gỉa sử tất cả các biến trạng thái đều đo được, ta dùng luật điều khiển tuyến tính dạng

u(t) = -k1x1 - k2x2 -…- knxn = - kx

k là ma trận hằng số, độ lợi hồi tiếp

Phương trình trạng thái hệ kín là xbkAbkxAxx )(

Đa thức đặc trưng hệ kín det(sI-A+bk)

Chọn các giá trị của k để các nghiệm cực của đa thức nằm ở các vị trí phù hợp thuộc nửa mặt phẳng trái, lúc đó hệ thống sẽ ổn định, x(t) tiến về 0 bất kỳ giá trị ban đầu x0. Ta gọi là hệ thống điều chỉnh

Trong hệ thống điều chỉnh tín hiệu đặt là r = 0

PHÂN BỐ CỰCMa trận trạng thái dạng đồng hành thứ nhất

Gỉa sử các cực mong muốn là 1 , 2,, …n

Ta có |sI-A+bk| = (s- 1)(s- 2)…(s- n) = 0 (1)

Nếu chọn ma trận A dạng đồng hành thứ nhất

nn

nn

n

kaskakaka

s

s

kkkk

aaaas

s

s

bkAsI

1322110

121

1210

..

1..000

::::::::::

0..10

0..01

..

1

0

:

0

0

..

0..000

::::::::::

0::100

0::010

..000

0..000

::::::::::

0..00

0..00

PHÂN BỐ CỰCMa trận trạng thái dạng đồng hành thứ nhất

Định thức ma trận:

)2(,0)()(..)()( 10212

121

1

kaskaskaskas n

nnn

nnn

Cân bằng (1) và (2) ta được các giá trị của ki

Trường hợp ma trận A không phải dạng chính tắc điều khiển ta phải giải n phương trình bậc nhất để tìm k

Trường hợp u là vectơ p thành phần thì k là ma trận p hàng n cột, do đó có p tập hợp giá trị k để chọn lựa

Ví dụ :ux

1

0

0

321

100

010

Các cực mong muốn là : -3, -4, -5

Phương trình đặc trưng mong muốn s3 +12s2+47s+60 = 0

K thỏa các phương trình k1+1=60, k2-2= 47, k3-3 = 12

k1 = 59, k2 = 49, k3 =15

PHÂN BỐ CỰC

Ví dụ:

PHÂN BỐ CỰCVí dụ:

Hệ thống có phương trình trạng thái

1

0,

00

101

2

21

bA

xy

ux

xx

Phương trình trạng thái hệ kín xkk

xbkAx

21

10)(

Đa thức đặc trưng hệ kín s2 + k2s + k1= 0

Chọn các cực hệ kín là – 4 j4, k thỏa phương trình

s2 + k2 s + k1 = s2 + 8s +32

Suy ra k1=32, k2=8

PHÂN BỐ CỰCCông thức Ackermann

1/ Điều kiện cần và đủ để tìm được k là hệ thống phải điều khiển được, nghĩa là ma trận U=[b Ab…An-1b] có hạng n

2/ Tính đa thức đặc trưng mong muốn

(s) = sn + a1 sn-1 +..+ an-1 s + an

3/ Tính k bằng công thức k = [0 0…0 1]U-1 (A)

Công thức trên thuận tiện khi giải bằng máy tính vì tính toán nhiều trên ma trận

Ví dụ:

1

0,

00

10bA

Đa thức đặc trưng mong muốn (s) = s2+8s+32

832

320

832

01

1010)(10

320

832

10

0132

01

108

01

10

01

10)(

1

AUk

A

01

10

01

10

1U

AbbU

PHÂN BỐ CỰCDùng MATLAB

>> A = [0 1;0 0];

>> b = [0;1];

>> p = [-4+i*4 -4-i*4];

>> k = place (A, b, p)

k =

32.0000 8.0000

>> ka = acker (A, b, p)

ka =

32 8

>> ptttk = ss (A-b*k, [0 ; 0], [1 0], 0);

>> t = 0 : 0.1 : 10;

>> u = zeros (size (t));

>> [y,t] = lsim (ptttk, u, t, [1;1]);

>> plot (t, y)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

QUAN SÁT TRẠNG THÁI

Trường hợp không đo được các biến trạng thái ta phải dùng ước lượng của biến trạng thái

)(ˆ)( txktu

Cho hệ thống cxybuAxx ,

Các biến trạng thái ước lượng thỏa phương trình

xcybuxAx ˆˆ,ˆˆ

Nếu biết chính xác x(0) và cho )0()0(ˆ xx

thì chắc chắn ước lượng đúng

Tuy nhiên không thể biết chính xác x(0)

))(ˆ)((ˆˆ tytymbuxAx Đặt

Sai số ước lượng

)(ˆ)()(~)(ˆ)()(~

txtxtx

txtxtx

QUAN SÁT TRẠNG THÁI)(~)()(~ txmcAtx Suy ra

Nếu chọn vectơ m phù hợp thì ma trận A-mc sẽ có nghiệm riêng bên mặt phẳng trái, do đó sai lệch ước lượng sẽ tiến về 0

det(sI-A+mc)= đa thức đặc trưng mong muốn = (s)

Định thức ma trận và ma trận chuyển vị giống nhau, nên

det(sI-AT+cTmT)= (s)

Như vậy ta có thể dùng công thức Ackermann để tính Mt

mt=acker(A’, c’, p)

PHÂN BỐ CỰC VÀ QUAN SÁT TRẠNG THÁI

Ghép chung phân bố cực và quan sát trạng thái

)ˆ(ˆˆ

)ˆ(ˆˆ

ˆ

xxmcxbkxA

yymbuxAx

xbkAxbuAxx

x

x

mcbkAmc

bkA

x

x

ˆ̂

Kết hợp hai phương trình

Phương trình đặc trưng hệ kín

mcbkAsImc

bkAsIdet

Cộng cột 1 cuả ma trận với cột thứ hai định thức không thay đổi

0det

mcbkAsIbkAsI

bkbkAsI


Lấy hàng 2 trừ hàng 1 00

det

mcAsI

bkbkAsI

Cuối cùng phương trình đặc trưng hệ kín là

det(sI-A+bk) det(sI-A+mc)=0

Điều này có nghĩa cực hệ kín gồm hai tập riêng rẽ từ phân bố cực và quan sát, đây là đặc tính phân ly của hệ thống

Ví dụ: 01,1

0,

00

10

cbA

Chọn cực điều khiển là -4j4, cực quan sát là –10, -10

Đa thức đặc trưng bộ quan sát: (s) = (s+10)2 = s2 +20s+100

10

0111 TTT cAcU


10020

0100

10

01100

01

0020

01

00

01

00)( TA

1002010020

010010

Tm

Phần trước ta đã tính k= [ 32 8]

Phương trình trạng thái hệ kín

1

2

1

2

1

2

1

2

1

ˆ

ˆ

81320100

120020

83200

0010

ˆ

ˆ

xy

x

x

x

x

x

x

x

x

QUAN SÁT GIẢM CẤPThay vì ước lượng x(t) từ y(t) ta có thể giả sử đã đo được thành phần x1(t) =y(t) và phải ước lượng thành phần còn lại xe(t)

e

eeeee

e

e

x

xy

ub

b

x

x

Aa

aa

tx

tx

1

11

1

1111

01

)(

)(

Phương trình động học của xe ubyaxA

ubxaxAx

eeeee

eeeeee

1

11

Phương trình động học của x1

ee

ee

xaubyay

ubxayayx

1111

11111

Áp dụng phương pháp ước lượng như phần trước

)ˆ(ˆˆ 11111 eeeeeeee xaubyaymubyaxAx

Đặt sai số ước lượng eee xxx ˆ~

Phương trình trạng thái của sai số ước lượng là: eeeee xmaAx ~)(~1

Chọn các cực phù hợp để sai số ước lượng tiến nhanh về 0

QUAN SÁT GIẢM CẤPVí dụ

Cho hệ thống

2

1

2

1

2

1

01

1

0

00

10

x

xy

ux

x

x

x

Đo được y = x1, phải ước lượng x2

Phân khối ma trận

1

0,

00

10 1

1

111

eeee

e

b

b

Aa

aa

Phương trình đặc trưng của ước lượng s- (0 - m) = 0

Chọn cực là 10 suy ra m = 10

Luật điều khiển phân bố cực là: 212211 ˆ832ˆ xxxkxku Trong biểu thức của ước lượng ta có số hạng đạo hàm của y, để tránh điều này, đặt biến mới là

myxx ee ˆ,

Phương trình trạng thái mới là :

umbbymaaxmaAx eeeeeee )()(ˆ)( 11111,

myxx ee ,ˆ

ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍNCho hẽ bậc hai

)2(

2

n

n

ss

_

Phương trình trạng thái 01,0

,20

102

cbAnn

Hàm truyền hệ kín22

2

2 nn

n

s

Cực hệ kín: jjs nn 22,1 1

Đáp ứng với hàm nấc:

10),cossin(1

1)( 1

2

te

tyt

gọi là tỷ số đệm, n là tần số dao động tự nhiên

ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍNĐồ thị đáp ứng theo , 0 <= <=1

ảnh hưởng đáp ứng hệ kín, khi 0 < < 1 ,vọt lố tối đa là21

max 1

ey

Thời điểm xảy ra vọt lố đầu tiên là2max

1

n

t

ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍN

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Khi > 0.7, độ vọt lố nhỏ hơn 5%

Thời gian xác lập ts là thời gian để y đạt từ 0.95 đến 1.05 trị xác lập.

17.0,5.4

7.03.0,2.3

ns

ns

t

t

ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍN Trường hợp cực thật

Hàm truyền hệ kín: ))(( bsas

ab

Đáp ứng nấc: btat ebaa

eabb

ty

1)(

Thời gian xác lập càng nhỏ

khi cực càng âm

Nếu hai cực trùng nhau ateatty )1(1)(

ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍN Trường hợp hệ bậc ba

Ví dụ: xét hệ có hàm truyền hở, hồi tiếp đơn vị

)3008)(26,400(10*5.1

)000.204.13,3408(

10*5.1)(

7

2

7

sssK

sss

KsG

Hàm truyền vòng kín:

Ksss

KsGk 723

7

10*5.1000.204.13,3408

10*5.1)(

Nghiệm phương trình đặc trưng thay đổi theo K

K=7,248 s1 = -156,21 s2 = -230,33 s3 = -3021,8

K=14.5 s1 = -186,53 +j 192 s2= - 186,53- j 192 s3 = - 3035,2

K=181.2 s1 = -57,49 +j906,6 s2= - 57,49 –j 906,6 s3 = -3293,3

K=273.7: s1= j 1097.3 s2=-j 1097.3, s3=-3408.3

Ba trường hợp đầu , nghiệm s3 gấp khoảng 10 lần hai nghiệm kia (phần thực), đáp ứng chủ yếu là do s1 và s2, các cực âm gần trục ảo hơn gọi là cực chủ yếu

ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍN Trường hợp hệ bậc ba

Nhìn chung thêm một cực âm vào phương trình đặc trưng hệ kín làm giảm vọt lố và thời gian xác lập khi cực đó càng gần trục ảo

Nhìn chung thêm một cực âm vào hàm truyền hệ hở làm tăng vọt lố và thời gian xác lập khi cực đó càng gần trục ảo

Nhìn chung thêm một zero âm vào phương trình đặc trưng hệ kín làm tăng vọt lố và giảm thời gian xác lập khi zero đó càng gần trục ảo

Nhìn chung thêm một zero âm vào hàm truyền hệ hở làm giảm vọt lố và giảm thời gian xác lập khi zero đó càng gần trục ảo

PHÂN BỐ CỰC VỚI TÍN HIỆU VÀO

)()(

)()()(

tcxty

tbutAxtx

s

s

s

ytyty

xtxtx

ututu

)()(~)()(~)()(~

ss

ss

s

buAxubxA

uubxxA

uubAxtxtx

~~)~()~(

)~()()(~

Cho hệ thống

Dùng điều khiển đặt cực u(t) = - kx(t) để y(t) → r, t → ∞ với r = hằng số

Khi y đạt giá trị r thì x đạt giá trị xác lập xs. y = cxs = r

Ta có thể coi như vấn đề điều khiển là duy trì hệ thống ở giá trị xs ứng với luật điều khiển là us

Đặt các biến mới

Suy ra

Mà ss buAx 0

Nên ubxAtx ~~)(~

ss

ss

kxutkxtu

xtxkutu

xku

)()(

))(()(

~~

PHÂN BỐ CỰC VỚI TÍN HIỆU VÀO

Tính us+kxs và u(t)

Nrtkxtu

NrrbbkAckxu

kxubbkAccxr

kxubbkAx

kxubxbkA

bubkxbkxAxbuAx

ss

sss

sss

sss

ssssss

)()(

])([

)()(

)()(

)()(

0

11

1

1

PHÂN BỐ CỰC VỚI TÍN HIỆU VÀOVí dụ:

832

,01,1

0,

00

101

k

rrcbA

121

1

11

1

11

32832)(

3232

1

]032

101[]

1

0

832

10[01[

]1

0]832

1

0

00

10[01[

rxxtu

N


cxy

bNrxbkAx

)(

PHÂN BỐ CỰC VỚI TÍN HIỆU VÀODùng Matlab vẽ đáp ứng

>> a=[0 1;0 0];

>> b=[0;1];

>> c=[1 0];

>> k=[32 8];

>> N=32;

>> r=3;

>> t=0:0.1:10;

>> u=r*ones(size(t));

>> htk=ss(a - b*k, b*N, c, 0);

>> x0=[1; 1];

>> [y, t, x]=lsim (htk, u, t, x0);

>> plot(t,y)

Sai số xác lập bằng 0

PHÂN BỐ CỰC VỚI TÍN HIỆU VÀO THAY ĐỔI

Với tín hiệu vào là hàm dốc

>> u=t;

>> [y, t, x]=lsim (htk, u, t, x0);

>> plot (t, y)

>> grid on; hold on;

>> plot (t, t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Có sai số xác lập giữa r và t

PHÂN BỐ CỰC VỚI TÁC ĐỘNG NHIỄU

Hệ thống đã khảo sát có sơ đồ khối sau:

r y(t)1/sN 1/s

k2

k1

x2

x1

_ _

uv w+ +

v và w là nhiễu tác động vào hệ thống

328

)()()(32)( 2

ss

ssWsVsRsY

k2

Sai lệch:328

)()()8)(()()()( 2

2

ss

ssWsVsssRsRsYsE

PHÂN BỐ CỰC VỚI TÁC ĐỘNG NHIỄU- Đối với tín hiệu vào r(t)

r(t) =1(t), e() = 0

r(t) = t, e() = 0.25

0},328

)8)((*lim{)( 2

2

sss

sssRse

- Đối với nhiễu v(t) 0},328

)(*lim{)( 2

s

ss

sVse

v(t) = 1(t), e() = 1/32

- Đối với nhiễu w(t) 0},328

)(*lim{)( 2

s

ss

ssWse

w(t) = 1(t), e() = 0

Kết luận:

-sai số đối với tác động vào r(t) tùy thuộc loại tín hiệu và hàm truyền hở hệ thống, thể hiện ở số tích phân (số cực ở gốc zero)

-Sai số đối với nhiễu phụ thuộc hàm truyền hở hệ thống và vị trí tác động của nhiễu

THÊM KHÂU TÍCH PHÂN VÀO HÀM TRUYỀNĐể giảm sai số ta cần phải đưa thêm khâu tích phân vào hệ thống

Sai số r(t) – y(t) sẽ được tích phân để tạo u(t) khác không

Biến trạng thái là x, n*1. Đưa thêm biến mới là xn+1 vào hệ thống, ngoài ra hệ thống bị tác động của nhiễu n(t)

dtyrktKx

xktKxtu

tCxty

tytrtx

tEntButAxtx

n

nn

n

)()(

)()(

)()(

)()()(

)()()()(

1

11

1

Cxty

rCxx

EnxBkBKxAxx

n

nn

)(1

11

Phương trình trạng thái

1

11

0

01

0

00

0

n

nn

x

xCy

nE

ruB

x

x

C

A

x

x

THÊM KHÂU TÍCH PHÂN VÀO HÀM TRUYỀN

1

1

1

1

0

01

0

0

n

n

n

n

x

xCy

nE

rx

x

C

BkBKA

x

x

Ta tính phân bố cực cho hệ thống bậc n+1

0

,0

0 BB

C

AA

Tìm K=[k1 k2…kn] và kn+1


THÊM KHÂU TÍCH PHÂN VÀO HÀM TRUYỀNVí dụ

2

1

2

1

2

1

01

1

0

1

0

00

10

x

xy

nux

x

x

x

Thêm khâu tích phân

yrx

x

x

x

y

nu

x

x

x

x

x

x

3

3

2

1

3

2

1

3

2

1

001

0

1

0

0

1

0

001

000

010

Chọn cực – 4 j4 và –2, suy ra k1= 48, k2 = 10, k3 = - 64

THÊM KHÂU TÍCH PHÂN VÀO HÀM TRUYỀNVí dụ>> a = [0 1 0; 0 0 0; -1 0 0];

>> b = [0 ; 1; 0];

>> p = [-4+i*4 -4-i*4 -2];

>> K = place (a, b, p);

>> c = [1 0 0];

Tính đáp ứng với tín hiệu vào>> pthk = ss (a-b*K, [0; 0; 1], c, 0)

>> t = 0:0.1:10;

>> r = ones (size (t));

>> [y, t, x] = lsim (pthk, r, t, [0 0 0]);

>> plot (t, y)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tính đáp ứng với nhiễu

>> pthk = ss (a-b*K, [0; 1; 0], c, 0)

>> [y, t, x] = lsim (pthk, r, t, [0 0 0]);

>> plot (t, y) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

THÊM KHÂU TÍCH PHÂN VÀO HÀM TRUYỀN

PHÂN BỐ CỰC

Documents

Transcript of PHÂN BỐ CỰC